- 一元二次不等式 基礎型. 試解下列各不等式 ()x+ > x, 答 : () x + x < x, 答 : () ( x+ )( x), 答 : 答 () x < () x > () x 解 ()x+ > x + > x x > x () 同乘 6 得 :( x) (x+ ) < 6(x ) 9x x < 8x 6 + 6< 8x 5x < x () 同乘 ( ) 得 : ( x+ )(x ) x
. 試解下列各不等式 () + x x >, 答 : () 5x 86x 6 <, 答 : () x 8x+ > x 6x, 答 : () 9x + 6 < x, 答 : 答 () < x < 5 () < x < () x 為任意實數解但 x () x 無解 5 解 () 同乘 ( ) 得 : x x < ( x 5)( x+ ) < < x< 5 () 5x 86x 6 < (x+ )(5x ) < < x < 5 () 原式 x + 6x 8x x+ > 9x x+ > (x ) > 但 ( ) 故 x 為任意實數解但 x x 恆成立 () 原式 9x x+ 6 < (x ) < 但 (x ) 恆成立, 故 x 無解. 解下列不等式 : () x + > 5, 答 : () x, 答 : 7 答 () x > 或 x < () x 解 () x+ > 5 (x+ ) > 5 (x+ ) 5 (x+ + 5)(x+ 5) > (x+ 7)(x ) > x> 或 x < 7 () x x x x + x ( ) ( ) ( )( ) ( x+ )( x ) x
. 若不等式 5x > kx + 的解為 x >, 則 k = 答 解 5x > kx + (5 k) x > x > 5 k 與 x > 同義 k k 6 k 5 k = = = = 5. 若不等式 x ax + 恆成立, 則整數 a 共有個 答 5 個 解因 x 的係數為 > 且 D= ( a) ()() ( a+ )( a ) a, 得整數 a =,,,, 共計 5 個 進階型 6. 解下列不等式 : () x 6, 答 : () x > x 7, 答 : 5 7 答 () < x 或 x < () < x < x x 或 x x 或 x 解 () 原式 5 7 x < 6 6< x < 6 < x < 圖解 : 5 7 故 < x 或 x < () x > x 7, 因兩邊均非負數, 可將兩邊平方 得 : x > x 7 ( x ) > (x 7) (x 7) ( x ) < [(x 7) + ( x )][(x 7) ( x )] < (x 8)(x 6) < 8( x )( x ) < < x<
7. 解 x+ > x > 5x, 答 : 答 < x < x+ > x x x < ( x )( x+ ) < 解原式 x > 5x x 5x+ > ( x )( x ) > < x < x > 或 x < 圖解 : 故 < x < 5 8. 若不等式 ax + bx < 的解為 < x <, 則不等式 ax 為 答 x < 或 x > 解根與係數的關係 : 5 b 7 b ( ) + = = 7 a 6 a b = 得 5 ( ) = = a = a a ax bx + > 即為 x 7x+ > ( x )(x+ ) > x< 或 x > bx + > 之解
- 絕對不等式 基礎型. 若 a >, b> 且 a+ b=, 則 ab 之最大值為, 此時 a = 且 b = 答 6;; 解算幾不等式 : ( a ) + ( b ) ( a)( b) 故 ab 之最大值為 6 此時 a = b= = 6, 即 a = 且 b = 6 6 6ab ab 6. 若 x >, 則 y = x+ 的最小值為 x 答 5 解 y = x + ( x ) x = + x+ + x> x > 且 > x 利用算幾不等式 : ( x ) + ( x )( ) ( x ) + x x x y = ( x ) + + + x 故 y 的最小值為 5
. 若 x, y 均為正數且 xy =, 則 x+ y的最小值為 答 6 解算幾不等式 : x+ y ( x)( y) x + y 6xy x+ y 8 所求最小值為 8 = 6. 若 a, b 為實數且 a + b =, 則 a+ b的最大值為 ; 其最小值為 答 ; 解柯西不等式 : ( a + b )( + ) ( a+ b) ()() ( a+ b) 兩邊同時開平方得 : a+ b 故最大值為, 最小值為 5. 若 x, y 為實數且為 答 5 ; 5 x + y =, 則 x y的最大值為 ; 其最小值 解柯西不等式 : [( x) + y ][() + ( ) ] [( x)() + y( )] ()() ( x y), 得 x y 即 5 x y 5, 故最大值為 5, 最小值為 5
6. 若 a, b, c 為實數且 a + b + c = 6, 則 a b + c 的最大值為 ; 其最小值為 答 ; 解柯西不等式 : [ a + b + ( c) ][() + ( ) + ( ) ] ( a b+ c) (6)(+ + ) ( a b+ c) 得 a b+ c, 故最大值為, 最小值為 7. 若 x, y 為實數且 + =, 則 x + y 的最小值為 x y 答 9 解柯西不等式 : [( ) + ( ) ][( x) + ( y) ] [( )( x) + ( )( y)] x y x y ()( x + y ) (+ ) x + y 9 故最小值為 9 進階型 b a 8. 若 a >, b> 且 ab = 9, 則 ( a + )( b ) a + 的最小值為 b 答 6 a b b a 解所求 = ab + + + = + + b a a b 利用算幾不等式 : b + a ( b )( a ) b + a ab a b a b a b 即 + b a 9 a + b + 故最小值為 9 + = 6
9. 設 a>, b> 且 a+ b= 8, 則 ab 的最大值為 答 6 解 a b = aaab, 將 a+ b= 8改寫為 a+ a+ a+ b= 8 利用算幾不等式 a+ a+ a+ b a+ b ( a)( a)( a)( b) ab ab ab ab 6 故 ab 的最大值為 6. 若 a, b, c 均為正數且 a+ b+ c= 7, 則 + + 的最小值為 a b c 答 7 解利用柯西不等式 ( a+ b+ c)( + + ) a b c = [( a) + ( b) + ( c) ][( ) + ( ) + ( ) ] a b c ( a + b + c ) a b c 又 a+ b+ c= 7, 代入上式得 7 ( + + ) ( + + ) a b c 即 + + 7 a b c 則 + + 的最小值為 7 a b c
- 二元一次不等式的圖形 基礎型. 圖解下列二元一次不等式 : ()x+ y 6 () x y+ < () x 5 () x+ 5y x+ y 答解 ()x+ y 6 x y 6 圖解如圖 : () x y+ < x y 圖解如圖 : () 5 x x 5 5 y 圖解如圖 :
() x+ 5y x+ y x x+ y 5y + x y+ x y 圖解如圖 :. 設點 Pm (,) Q (,) 在直線 L: x y+ = 的異側, 則 m 的範圍為 答 m < 解 P Q 在 L 的異側 ( m + )( + ) < ( m ) < m<
x. 不等式 y 的圖解區域面積為 x+ y 答 9 解圖解聯立不等式, 如下圖 : 得所求為 ABC = AB AC = 6 = 9 ( 平方單位 ) y > x. 不等式 的區域圖形會落在第 x < 答二 y > x x+ y > 解 x< x< 象限 可知圖形會落在第二象限
進階型 5. 若 Pk (, ), Q(, ), 且 PQ 恆與直線 L:x y+ = 相交, 則實數 k 的範圍 為 ( 提示 :P Q 在直線 L 的異側或線上 ) 5 答 k 解依題意 :P Q 在 x y+ = 異側或在線上得 (k + + )( + ) 5 (k+ 5) k 6. 試以不等式表示右圖之灰色三角形區域 : 答 x y x y 6 x y 解由截距式可得直線 + = x y 6= 又三角形區域分別在直線左側 x 軸下方 y 軸右側 x y x y 6
- 線性規劃 基礎型. 若滿足 x, y,x+ y 的條件, 則 5x+ y的最大值為 ; 最小值為 答 ; 解圖解不等式, 如圖 : 令 f( xy, ) = 5x+ y 利用頂點原理, 可得 : f (, ) = f (, ) = 5 () + () = f (, ) = 5 () + () = 8 故最大值為 且最小值為. 若滿足 x, y, x+ y,x+ y 6, 則 x+ y的最大值為 答 9 解聯立不等式的可行解區域如圖所示 其頂點為 (,),(,),(,) 目標函數 f( xy, ) = x+ y f(, ) = 8, f(,) = 9, f(, ) = 6 x+ y最大值為 9
. 若滿足 x, y, x+ y, x+ y 的條件, 則 x+ y的最小值為 答 6 解圖解聯立不等式, 如圖 : 令 f( xy, ) = x+ y 利用頂點原理, 可得 : f (6,8) = + = 6 f (, ) = 6 f (, ) = 6 故最小值為 6 x+ y. 若 x, y 滿足聯立不等式 : x + y 8, 則 f( xy, ) = x+ 5y的最大值為 x + y 答 7 解圖解不等式, 如圖 : 利用頂點原理, 可得 5 5 5 f (, ) = f (, 7) = + 5 = 7 f (7,) = + 5 = 9 故最大值為 7
進階型 5. 有甲 乙兩種款式的毛線手套, 甲款式用藍色毛線 5 公尺, 綠色毛線 公尺, 每套可賺 5 元 ; 乙款式用藍色毛線 公尺, 綠色毛線 公尺, 每套可賺 元, 現有藍色毛線 9 公尺, 綠色毛線 公尺, 若毛線全用來織甲 乙兩款式的手套, 則最多可賺元 答 解設製作甲款式 x 套乙款式 y 套 x, y 之正整數 則限制條件為 5x+ y 9( 藍色毛線限制 ) x+ y ( 綠色毛線限制 ) x, y 5x+ y 9 x + y 圖解如下 : 所求為目標函數 f( xy, ) = 5x+ y 利用頂點原理, 可得 : f (8, ) = 9 f (, ) = 5 + 6 = f (,) = + 9 = 9 故最多可賺 元
6. 某汽車公司有甲 乙兩家裝配廠, 生產 A B C 三種不同型的汽車, 其營業 狀況如下所示 若欲使成本花費最低, 則甲工廠每週需開工 日, 乙工 廠每週需開工 日 甲廠乙廠每週需求量 ( 輛 ) A 型 8 B 型 C 型 8 96 每日開支 8 6 答 ;6 解設甲廠開工 x 日, 乙廠開工 y 日 由題意列出限制條件 : x, y x, y x y 8 + x+ y x+ y x+ y 8 8x+ y 96 x+ y 圖示可行解區域可得頂點 (,),(,6),(6,),(,) 目標函數 f( xy, ) = 8x+ 6y f (,) = 7 f (, 6) = 5 最小值 f (6, ) = 6 f (, ) = 96 故甲廠應開工 日, 乙廠應開工 6 日, 花費成本最低
第四章自我評量 - ( ). 設 a> bc, > d>, 試問下列敘述何者為真? 答 (A) (A) a+ c> b+ d (B) a c> b d (C) c a> d b (D) a > b c d 解 (B) 反例 : 取 a =, b =, c =, d =, 則 a c= 8而 b d = (C) 反例 : 取 a =, b =, c =., d =., 則 c a =.8而 d b=.9 a (D) 反例 : a =, b =, c =., d =., 則 c = b 而 d = ( ). 不等式 + x x > 的解為何? (A) < x < (B) x > 或 x < (C) < x < (D) x < 或 x > 答 (C) 解 + x x > x x < ( x )( x+ ) < 圖解 : 故 < x < 5 ( ). 若 < (x ) < 5, 則 x 的範圍為何? (A) < x < 5 5 (B) < x < 或 < x < (C) < x < (D) < x < 或 < x < 答 (D) < (x ) < (x + )(x ) 解原式 (x ) < 5 (x + 5)(x 5) < 5 < (x )(x 5) x> 或 x< (x+ )(x 8) < < x < 圖解 : 5 故 < x < 或 < x < ( ). 若 x + bx + c > 之解為 x > 或 x <, 則 b+ c=? (A) 7 (B) 7 (C)7 (D)7 答 (A) 解利用根與係數
a + ( ) = a = 5 a+ b= 7 b b = ( ) = ( ) 5. 若 ax + 5x + b > 的解為 < x <, 則 a b 之值為何? (A) a =, b= (B) a=, b= (C) a =, b= (D) a =, b= 答 (A) 解 + 5 + > 5 < 其解為 < x < ax x b ax x b ( 5) 5 ( ) + = = ( a) a a = 得 ( b) b= ( )() = = ( a) ( ) 6. 不等式 x 答 (C) 解解 x x < 之整數解有幾個? (A) (B) (C)5 (D)6 ± ± 5 x =, 得 x = = = ± 5 [ x ( + 5)][ x ( 5)] < 5 < x< + 5 故 x 的整數解有,,,,, 共 5 個 ( ) 7. 若 a 為實數, 使對任意實數 x, 不等式 x + ax a 恆成立, 試問 a 之範圍為何? (A) a (B) a 或 a (C) a (D) a 答 (C) 解 x + ax a 恆成立, 得 x 係數為 > 且 D= ( a) ()( a) aa ( + ) a ( ) 8. 不等式 ( x + x+ 5)( x x ) < 的解為何? (A) x < 或 x > (B) < x < (C) x < 或 x > (D) < x < 答 (B) 9 9 9 解 x + x+ 5 = x + x+ + = ( x+ ) + 恆正 同除 ( x + x+ 5) 得 : ( x x ) < ( x )( x+ ) <, 故 < x < ( ) 9. 下列哪一個不等式的解與 x > 的解相同? (A) x > (B) x + < (C) ( x )( x+ ) > (D) ( x )( x ) >
答 (D) 解 x > x > 或 x < x> 或 x < (A) : x > x > 或 x < x> 或 x < (B) : x+ < < x+ < < x < (C) : ( x )( x+ ) > x> 或 x < (D) : ( x )( x ) > x> 或 x < ( ). 下列哪一個不等式無解? (A) x + x+ < (B) x + x+ 9 (C) x x+ > (D) x + x+ < 答 (D) 解 (A) x + x+ = ( x+ ) < ( x+ ) < < x+ < < x< (B) x + x+ 9 = (x+ ) x+ = x= (C) x x+ = ( x ) + 恆成立, ( x ) + > 有解 7 (D) x + x+ = ( x+ ) + 恆正, x + x+ < 無解 8 - ( ). 設 x 與 y 為正實數, 若 x+ y =, 試問 + 的最小值為何? (A) (B) (C) (D) x y 答 (A) 解 x + + = y = x y xy xy 利用算幾不等式 : x + y xy xy 故 xy 有最大值為, 得 有最小值 xy ( ). 設 xyz,, 均為正數, 若 x+ y+ z = 8, 試問 xyz 的最大值為何? (A)8 (B) (C)6 (D) 答 (C) x+ y+ z 解算幾不等式 ( x)( y)( z) 6 6xyz 6 xyz 故 xyz 最大值為 6 ( ). 設 x>, y >, x+ y = 6, 試問答 (D) xy 之最大值為何? (A)6 (B)8 (C)5 (D)
x + x + y ( x )( x )( y) 故 xy 最大值為 解 8 xy xy ( ). 設 x >, 試問 x + + 的最小值為何? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 x + 答 (B) 解 x> x+ > 令 y = x+ + = ( x+ ) + + ( x+ )( ) + x+ x+ x+ y +, 故 y 之最小值為 6 ( ) 5. 若 xyz,, 均為實數且 x + y + z = 9, 試問 x y+ z的最大值為何? (A)9 (B) (C) 7 (D) 答 (B) 解柯西不等式 : ( x + y + z )[() + ( ) + () ] (x y+ z) + + (9)() (x y z) x y z 故最大值為 9 9 ( ) 6. 若 a >, b>, 試問 ( a + )( b ) b + 的最小值為何 b? (A)6 (B)5 (C)6 (D)8 答 (D) 9 9 8 8 解 ( a + )( b + ) = ab + 6 + 9 + = ab + + 5 b a ab ab 由算幾不等式得 8 8 ab + ab 8 6 ab ab = = 9 9 故 ( a + )( b ) b + 的最小值為 a 6 + 5 = 8 - ( ) 7. 下列何點與原點在直線 x y 5= 的同側? (A) (, ) (B) (, ) (C)(, ) (D) (, ) 答 (C) 解原點 (,) 代入 x y 5得 5<, 表在直線左側半平面 (C) (, ) 代入 : () () 5 = 5 < 與原點同側 ( ) 8. 設 k 為整數 若坐標平面上點 Pk (, ) 在直線 y x= 8 之右半平面, 試問 k 之最小值為何? (A) 9 (B) (C) (D)
答 (A) 解 Pk (, ) 代入 y x 8 = ( ) ( k) 8 = k < ( 於直線右半面 ) k >, 故整數 k = 9, 8, 7, 最小值為 9 ( ) 9. a 為實數, 若 P(, a ) 不在 x+ y > 5的圖形內, 則 a 的範圍為何? (A) a < (B) a (C) a > (D) a 答 (B) 解 P 不在 x+ y > 5的圖形內 + a 5 a ( ). 如右圖所示, 灰色部分區域是下列哪一個不等式的解? x 5 x (A) y 5 x (B) y + (C) + y > (D) x 5 y 5 5 答 (B) 解直線方程式為 y = ( x ) x+ y = 5 ( ) 黃色區域為 x+ y 5 x 5 故選 (B) y + x+ y 5 x y ( ). 若 xy, 滿足不等式 x + y, 試問所圍成圖形的面積為何? y (A) (B)6 (C)8 (D) 平方單位答 (B) 解圖解如下 : 所求為 ABC = 6 = 6 ( 平方單位 ) ( ). 求不等式 x y 所圍的區域面積為何? (A)6 (B)8 (C) (D) x + y 答 (B) 解圖解如圖所示
區域面積 = = 8 - x, y ( ). 滿足 x + y 的條件, 試問 x+ y的最大值為何? (A) (B) (C) (D)6 x + y 6 答 (B) 解圖解如右 : 令 f( xy, ) = x+ y 利用頂點原理 : f (, ) = f (, ) = + 9 = f (, ) = + = 故最大值為 ( ). 如右圖所示, 求灰色區域中使得 f ( x, y) = bx ay + 有最大值的點為何? (A) ( ab, ) (B) (, ba ) (C) (, b a) (D) ( ab, ) 答 (C) 解令 f ( x, y) = bx ay + f ( a, b) = ab ab + = f(, ba) = b a + f(, b a) = b + a + f ( a, b) = ab ab + = ab + 由圖知 : ab, 均為正數故點 ( ba, ) 時, f( xy, ) 為最大 ( ) 5. 王老先生有塊面積 平方公尺的建地, 他想要用最多 萬的經費建造透天厝和公寓兩種住宅 已知透天厝每棟佔地 平方公尺 造價 萬, 可獲利 萬 ; 公寓每棟佔地 平方公尺 造價 萬, 可獲利 5 萬, 試問王老先生若要在此地建造這兩種住宅, 最多可獲利多少萬元呢? (A) (B)5 (C)6 (D)75 答 (C)
解依題意整理如下表佔地 造價 獲利 透天厝 公寓 5 設建造透天厝 x 棟, 公寓 y 棟, 可列式如下 x, y x, y x+ y x+ y x y + x+ y 圖示可行解區域可得頂點 (,),(,8),(5,) 目標函數 f( xy, ) = x+ 5y f (,) = 5 f (,8) = 6 最大值 f (5, ) = 故最多可獲利 6 萬