6 年广州市普通高中毕业班综合测试 ( 二 ) 理科数学试题答案及评分参考 评分说明 : 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不超过该部分正确解答应得分数的一半 ; 如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不给分 解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 只给整数分数 选择题不给中间分 一 选择题 ()C ()B ()A ()B (5)A (6)C ()D (8)D (9)C ()B ()B ()A 二 填空题 () y () (5) 5 5y (6) 9 三 解答题 ()(Ⅰ) 解 : 当 时, 由 a S, 得 a S, 分两式相减, 得 a a S S a, 分 a a a 分 a a 当 时, a, a S a 9, 则 a 分 数列 a 是以 a 为首项, 公比为 的等比数列 5 分 a 6 分 (Ⅱ) 解法 : 由 (Ⅰ) 得 b a http://wwwguagztreduc/ T 5, 分 5 T, 8 分 - 得 T 9 分
T 分 6 分 分 解法 : 由 (Ⅰ) 得 b a, 8 分 T b b b b 分 分 (8)(Ⅰ) 解 : 依据分层抽样的方法, 名女同学中应抽取的人数为 名, 分 8 名男同学中应抽取的人数为 8 名, 分 故不同的样本的个数为 C C 8 (Ⅱ) (ⅰ) 解 : 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 名, 的取值为,,, C P, P P 的分布列为 C 5 CC, P C 5 分 CC 8, C 5 P 5 C 分 C 5 8 分 8 9 E 5 5 5 5 9 分 http://wwwguagztreduc/ 8 5 5 5
(ⅱ) 解 : 56 b 65, a y b 8 65 5 6 分 8 线性回归方程为 y 65 6 分 当 96 时, y 6596 6 96 可预测该同学的物理成绩为 96 分 分 (9)(Ⅰ) 证明 : 取 CD 的中点 O, 连接 OB,OM BCD 是等边三角形, OB CD 分 CMD 是等腰直角三角形, CMD 9, OM CD 分 平面 CMD 平面 BCD, 平面 CMD 平面 BCD CD,OM 平面 CMD, OM 平面 BCD 分 AB 平面 BCD, OM AB O, M, A, B 四点共面 分 OB OM O,OB 平面 OMAB,OM 平面 OMAB, CD 平面 OMAB 5 分 AM 平面 OMAB, CD AM 6 分 (Ⅱ) 解法 : 作 MN AB, 垂足为 N, 则 MN OB BCD 是等边三角形, BC, OB, CD 在 Rt ANM 中, AN AM MN AM OB 分 CMD 是等腰直角三角形, CMD 9, OM CD AB AN NB AN OM 8 分 如图, 以点 O 为坐标原点,OC 所在直线为 轴, BO 所在直线为 y 轴, OM 所在直 线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 O yz, http://wwwguagztreduc/ M,,, 则,, B,,, AM,,, BM,, 设平面 BDM 的法向量为, y, z, D, A,,, BD,, A N B C O z M y D
yz, 由 BM, BD, 得 y, 9 分 令 y, 得, z,, 是平面 BDM 的一个法向量 分 设直线 AM 与平面 BDM 所成角为, AM 则 si cos AM, 分 AM 直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为 解法 : 作 MN AB, 垂足为 N, 则 MN OB BCD 是等边三角形, BC, OB, CD 在 Rt ANM 中, AN AM MN AM OB 点 M 到平面 ABD 的距离等于点 O 到平面 ABD 的距离 B 作 OK BD, 垂足为 K, 分 分 CMD 是等腰直角三角形, CMD 9, OM CD AB AN NB AN OM 8 分由 (Ⅰ) 知 OM AB, AB 平面 ABD,OM 平面 ABD, OM 平面 ABD AB 平面 BCD,OK 平面 BCD, OK AB AB 平面 ABD, BD 平面 ABD, AB BD B, OK 平面 ABD, 且 OK OD si6 9 分 在 Rt MOB 中, MB OM OB, http://wwwguagztreduc/ 在 Rt MOD 中, MD OM OD, MD BDM 的面积为 S MD MB 设点 A 到平面 BDM 的距离为 h, A N C O M K D
V V 由 ABDM M ABD, 得 h S OK S ABD, OK S 得 h S ABD 分 设直线 AM 与平面 BDM 所成的角为, 则 si h AM 分 直线 AM 与平面 BDM 所成角的正弦值为 注 : 求 h 的另法 分 由 VABDM VM ABD VO ABD VABDO ODOB AB, 得 hs, 得 h S () (Ⅰ) 解 : 依题意, 点 P 到点, F 的距离等于它到直线 l 的距离, 分 点 P 的轨迹是以点 F 为焦点, 直线 l : 为准线的抛物线 分 曲线 C 的方程为 y (Ⅱ) 解法 : 设点 P 分, y, 点 M, m, 点 N, y m 直线 PM 方程为 : y m, 化简得, y m y y m m PMN 的内切圆方程为 y, 圆心, 到直线 PM 的距离为, 即, 分 http://wwwguagztreduc/ y m m y m 故 y m y m m y m m 5 分 5
, 上式化简得, m y m 易知 同理, 有 y, 6 分 分 m 是关于 t 的方程 t y t 的两根 m y, m 8 分 y MN m m m y, y, MN 6 y 直线 PF 的斜率 k, 则 k k MN 函数 y 在, 上单调递增, k MN y 9 分 分 分 http://wwwguagztreduc/ k MN 的取值范围为, 分 解法 : 设点 P y, 点 M, m, 点 N,,, 6
直线 PM 的方程为 y m k 直线 PM 与圆, 即 k y k m, 分 y 相切, k m k m k 5 分 m m m 直线 PM 的方程为 y m 点 P 在直线 PM 上, m m y m, 上式化简得, m y m 易知 同理, 有 y, 6 分 分 m 是关于 t 的方程 t y t y m 的两根, m 8 分 y MN m m m y, y, MN 6 y 直线 PF 的斜率 k, 则 k k MN 函数 y 在, 上单调递增, y 9 分 http://wwwguagztreduc/ 分
分 k MN k MN 解法 : 设点 P 的取值范围为, 分, y, 直线 PM 的方程为 y y k 即 k y k y,, 得 y y k 令 M, M, y k, 分 直线 PM 与圆 k k y y 相切, 化简得, k yk y 5 分 同理, 设直线 PN 的方程为 y y k 则点 N, y k,, 且 k y k y 6 分 k, k 是关于 k 的方程 k yk y 的两根 http://wwwguagztreduc/ k k y, y kk 依题意,, y MN k k 分 8 分 8
k k k k y y y 9 分 y 直线 PF 的斜率 k, 则 k k MN 函数 y 在, 上单调递增, y k MN k MN 分 分 的取值范围为, 分 解法 : 设点 P, y, 如图, 设直线 PM, PN 与圆 O 相切的切点分别为 R,T, 依据平面几何性质, 得 PM PN PR MN, 分 http://wwwguagztreduc/ S MN MN PM PN OR, 5 分 由 PMN MN MN PM PN, 得 y P MN PR MN 6 分 得 M R O T N 9
MN PR PO 分 得 故 MN y 8 分 依题意,, y MN 9 分 y 直线 PF 的斜率 k, 则 k k MN 函数 y 在, 上单调递增, y k MN k MN () (Ⅰ) 解 : 当 a 时, 令 f 当 分 分 的取值范围为, 分, 得 时, f 函数 (Ⅱ) 解 : 若 f e, 则 f 分 e ; 当 时, f f 在区间,上单调递减, 在区间 当 时, 函数 f 取得最小值, 其值为 f 时, f l, 即 e a 分 http://wwwguagztreduc/, 上单调递增 分 l (*)
令 g e a l, 则 g e a 若 a, 由 (Ⅰ) 知 e, 即 e, 故 e g e a a a a 函数 g 在区间, 上单调递增 g g (*) 式成立 若 a, 令 e a, e 则 e 函数 由于 在区间 a, 故 a, 使得, 则当, 上单调递增 分 5 分 a a e a a a a a a 6 分 分 时,, 即 g 函数 g 在区间, 上单调递减 g g, 即 (*) 式不恒成立 8 分 综上所述, 实数 a 的取值范围是, 9 分 (Ⅲ) 证明 : 由 (Ⅱ) 知, 当 a 时, 则 g g, 即 e g e l 在, 上单调递增 http://wwwguagztreduc/ l 分 l e 分 e e e, 即 e 分
()(Ⅰ) 证明 : 连接 OC, AC, BC CD, CAB CAD 分 AB 是圆 O 的直径, OC OA CAB ACO 分 CAD ACO AE OC 分 CF AE, CF OC 分 CF 是圆 O 的切线 5 分 (Ⅱ) 解 : AB 是圆 O 的直径, ACB 9, 即 AC BE A F D CAB CAD, 点 C 为 BE 的中点 BC CE CD 6 分由割线定理 : EC EB ED EA, 且 AE 9 分 得 ED 8 分 9 在 CDE 中,CD CE,CF DE, 则 F 为 DE 的中点 6 DF 9 分 9 6 65 在 Rt CFD 中, CF CD DF 分 9 9 65 CF 的长为 9 cos, ()(Ⅰ) 解 : 由 得 y, y si, 曲线 C 的直角坐标方程为 y 分 由 si( ), 得 si cos cos si, 分 http://wwwguagztreduc/ 化简得, si cos, 分 y 直线 l 的直角坐标方程为 y 5 分 O E C B
(Ⅱ) 解法 : 由于点 Q 是曲线 C 上的点, 则可设点 Q 的坐标为 cos,si, 6 分 cos si 点 Q 到直线 l 的距离为 d 分 cos 6 8 分 当 cos 时, d ma 9 分 6 点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 解法 : 设与直线 l 平行的直线 l 的方程为 y m, 由 分 y m, 消去 y 得 6m m, 6 分 y, 令 m m 6, 分 解得 m 直线 l 的方程为 y, 即 y 8 分 两条平行直线 l 与 l 之间的距离为 d 9 分 点 Q 到直线 l 的距离的最大值为 分 ()(Ⅰ) 解 : 由题设知 :, 分 当 时, 得, 解得 分 当 时, 得, 无解 分 当 时, 得, 解得 分 函数 () f 的定义域为,, 5 分 http://wwwguagztreduc/ (Ⅱ) 解 : 不等式 f ( ), 即 a 8, 6 分 R 时, 恒有, 8 分 又不等式 a 8解集是 R, a 8, 即 a 5 9 分
a 的最大值为 5 分 http://wwwguagztreduc/