何謂 高中數學? 教材, 竸試, 科展, 科學競賽, 面 面觀. 2004 年 1 月 5 日於新 竹 高中 國家理論科學中 心 王 金 龍
何謂數學? 數學是 人類 心智的 一種表現, 它反映出 人類具有堅強活潑的意志, 慎思明辨的理性, 以及追求完美的意願. 其基本要素是邏輯和直覺, 解析和建構, 概括和分殊. 雖然不同的傳統, 可能強調不同的 方 面, 但是唯有這些反對 力量的交互作 用, 以及他們互相綜合的努 力, 才能提供數理科學以 生命, 效 用, 和崇 高無 比的價值. ( 取 自 Courant: What is Mathematics.)
中學數學教育的 目標 1. 引導學 生瞭解數學的 內容, 方法 與 精神. 培養學 生使 用數學 方法思考問題的素養與能 力. 2. 增進學 生的基本數學能 力, 奠定學習相關學科的基礎. 提供學 生在 實際 生活 與 未來 生涯 所需的數學知能. 3. 培養學 生欣賞數學內涵 簡明有效 及結構 嚴謹優美 的特質.
數學的基本內容 代數幾何分析機率與統計
數學的基本 方法 演算法邏輯推理歸納法創造概念
數學的基本精神 內涵簡明 - 有效結構嚴謹 - 優美
Part I: 教材與教學篇 教育部中教司現 行 高中教材 大綱 第 一年 : 基礎概念, 數與坐標系, 數列與級數, 多項式, 指數與對數, 三 角函數的基本概念, 三 角函數的性質與應 用. 第 二年 : 向量, 空間中的直線與平 面, 一次 方程組與矩陣的列運算, 圓與球 面, 圓錐曲線, 排列 組合, 機率與統計 (Ⅰ). 第三年 : 機率與統計 (Ⅱ), 平 面上的坐標變換, 矩陣, 不等式, 極限的概念, 極限的應 用.
1.1 基礎概念 1. 簡單的邏輯概念 : 利 用國中平 面幾何知識來介紹簡單的邏輯概念 包含充分條件, 必要條件 充要條件及反證法的例 子. 2. 集合的基本概念 : 集合的表 示法, 屬於, 交集, 聯集, 子集, 補集, 以將來要 用到的實例為主, 不涉及抽象的集合. 3. 函數的基本概念 : 以變量的對應關係說函數的意義.
1.2 數與坐標系 1. 整數 : 含因數, 倍數與輾轉相除法. 2. 有理數與實數 : 介紹無理數如 3,π 等. 3. 平 面坐標系 : 複習平 面坐標系, 並介紹直線 方程式與斜率. 4. 複數與複數平 面 : 介紹 i 的由來 ( 含 一元 二次 方程式根的討論, 特別是判別式 小於 0 之情形 ), 複數的四則運算, 複數平 面只是強調 一 一對應關係.
1.3 數列與級數 1. 等差級數與等 比級數 : 含數列的基本概念 2. 無窮等 比級數與循環 小數 : 這裡先給學 生 一些最基本的極限概念 3. 數學歸納法 : 主要在教 數學歸納法 這個 方法, 及 用來歸納並證明 一些級數的和並引進遞迴數列的例 子
1.4 多項式 1. 多項式的四則運算 : 含綜合除法. 2. 餘式定理 因式定理 : 含整係數多項式的 一次因式檢驗法. 3. 最 高公因式與最低公倍式 : 利 用輾轉相除法求最 高公因式. 4. 多項函數 : 包含 一次, 二次函數圖形. 5. 多項 方程式 : 含代數基本定理, 勘根定理與實係數多項 方程式虛根成對定理. 6. 多項不等式 : 利 用因式分解來解不等式並與圖形相配合.
1.5 指數與對數 1. 指數. 2. 指數函數及其圖形. 3. 對數. 4. 對數函數及其圖形 : 說明反函數的意義及其圖形. 5. 查表, 內插法 : 可 用電算器求出指數函數與對數函數的值.
1.6 三 角函數的基本概念 1. 銳 角三 角函數. 2. 三 角函數的基本關係 : 倒數關係, 平 方關係, 商數關係, 餘 角關係. 3. 簡易測量與三 角函數值表 : 可 用電算器按出三 角函數值. 4. 廣義 角的三 角函數. 5. 正弦定理與餘弦定理. 6. 基本三 角測量.
1.7 三 角函數的性質與應 用 1. 三 角函數的圖形 : 含弧度. 2. 和 角公式. 3. 倍 角, 半 角公式. 4. 和, 差與積的互化. 5. 正餘弦函數之疊合. 6. 反三 角函數的基本概念. 7. 複數的極式.
2.1 向量 1. 有向線段與向量 : 含向量的加法, 減法, 係數積與內積等運算. 2. 向量的基本應 用 : 如三 角形兩邊中點連線定理, 平 行四邊形定理, 向量在平 面幾何證題上的應 用. 3. 平 面向量的坐標表 示法 : 含加法, 減法, 係數積等運算以及分點坐標, 直線的參數式. 4. 平 面向量的內積 : 含柯 西不等式, 正射影, 兩直線的夾 角, 點到直線的距離.
2.2 空間中的直線與平 面 1. 空間概念 : 空間中直線與直線或直線與平 面, 平 面與平 面的位置關係. 2. 空間坐標系. 3. 空間向量的坐標表 示法 : 含加法, 減法, 係數積, 內積等運算. 4. 平 面 方程式 : 含法向量, 平 面的夾 角, 點到平 面的距離. 5. 空間直線 方程式 : 含直線的參數式, 點到直線的距離 平 行線的距離, 不相交直線的公垂線 長.
2.3 一次 方程組與矩陣的列運算 1. 一次 方程組的解法與矩陣的列運算 : 含 高斯消去法. 2. 行列式 : 限 二階與三階, 含 行列式的基本性質及 用 行列表 示 面積與體積. 3. 克拉瑪公式 : 限 二元, 三元.
2.4 圓與球 面 1. 圓的 方程式. 2. 圓與直線的關係. 3. 球 面 方程式. 4. 球 面與平 面的關係.
2.5 圓錐曲線 1. 拋物線 : 方程式只介紹標準型式 2. 橢圓 : 方程式只介紹標準型式 3. 雙曲線 : 方程式只介紹標準型式 4. 圓錐曲線與直線的關係 : 含光學性質 附記 : 在國中我們已 大量減少了古典平 面幾何以及證明的訓練. 在 高中我們也就無法去 見證古代 人如何發現圓錐曲線. 也沒有如阿波羅圓之類的好題材.
2.6 排列 組合 1. 集合元素的計數 : 含排容原理. 2. 乘法原理, 加法原理. 3. 排列. 4. 組合. 5. 二項式定理 : 以組合導出, 並可視為數學歸納法的 一個應 用.
2.7 機率與統計 (Ⅰ) 1. 樣本空間與事件. 2. 機率的性質. 3. 數學期望值. 4. 統計抽樣 : 意義與功 用, 介紹簡單隨機抽樣 方法, 並說明收集資料應注意事項. 5. 次數分配表與累積次數分配曲線 : 含離散及連續數據次數分配圖表編製 方法, 配合圖表解釋常態分配的意義與性質. 6. 平均數 : 含算術平均數, 中位數, 眾數, 幾何平均數及適 用時機. 7. 離差 : 含全距, 四分位差及標準差的意義及解釋.
3.1 機率與統計 (Ⅱ) 1. 條件機率與 貝 氏定理. 2. 獨 立事件. 3. 變異係數 : 重視意義及解釋 4. 相關係數 : 含散佈圖, 係數計算與解釋, 數據集中直線趨勢以最 小平 方法之決定係數表 示, 不必出現 高, 中, 低相關的內容
3.2 平 面上的坐標變換 1. 平移. 2. 旋轉. 3. 二元 二次 方程式的圖形.
3.3 矩陣 1. 矩陣的加法與數積 : 強調矩陣的意義, 多 用實例說明. 2. 矩陣的乘法及其意義 : 含乘法的代數性質, 轉移矩陣 (transition matrix) 多 用實例說明含反 方陣. 3. 二階 方陣所對應的平 面變換 : 旋轉 鏡射 伸縮 推移 (shear).
3.4 不等式 1. 絕對不等式 ( 證明不等式 ): 柯 西不等式, 算幾不等式, 應 用實例. 2. 條件不等式 ( 解不等式 ): 利 用代數 方法, 幾何 方法 ( 圖形 ), 以及絕對不等式求極 大, 極 小. 3. 線性規劃 : 只限 二元.
3.5 極限的概念 1. 數列的極限 : 以數線上的變動, 直觀說明即可 2. 函數的極限 : 多舉多項函數, 有理函數為例, 以圖形說明左, 右極限. 3. 連續函數 : 僅以圖形說明概念, 含多項 方程式的勘根定理.
3.6 極限的應 用 1. 導數的基本概念. 2. 多項函數的導數 : 介紹 f (x) 這個符號, 但不介紹 dy/dx. 3. 函數的遞增與遞減 : 以 一階導數判別. 4. 極值問題. 5. 曲線下的 面積 : 用極限來求, 當作極限的應 用, 以 一次函數, 二次函數為例, 不出現積分符號.
教學 方法 1. 教學時應以教導學 生整體觀念與 方法為導向, 避免強調零碎知識的背誦或記憶 2. 教學活動除了以演講式講解外, 應視各單元之需要, 以討論, 問答, 操作等交互運 用, 以啟發學 生的思考與創造能 力 3. 教師應隨時注意培養學 生的邏輯思考能 力, 加強推理 方 面的訓練. 4. 教學過程中宜透過引導與啟發, 使學 生形成解決問題所需的數學觀念, 過程, 技能和科學態度. 教師應避免過早提出解題 方法與結論, 且不宜作機械式的解題訓練.
5. 教學時應依據學 生個別差異, 設計教學活動, 鼓勵學 生主動參與. 培養完整的學習成就感, 並啟發其學習與研究數學的興趣. 6. 教師應儘量提供適合學 生程度的有趣數學問題, 以提 高學 生的學習興趣. 7. 教師應使 用各種 方法使每個學 生都樂於上數學課, 並使學 生對 自 己的能 力有信 心. 8. 教師上課時不宜補充超越學 生程度之難題或過多之題 目.
教具及有關教學設備 1. 為增進學習效果, 各校應充實各種數學教具模型, 電腦, 影帶等教學設備, 並 鼓勵 老師與學 生使 用. 2. 各校宜設置數學資源教室, 提供 老師教學與研究之資料. 3. 配合各單元之需要, 教學時應選 用或 自製各種教學媒體或操作性教具.
教學評量 1. 評量 方式除紙筆測驗外, 應配合單元 目標採 用討論觀察 口頭回答, 實際操作, 專題研究等 方式. 2. 在教學過程中隨時採 用各種評量 方式評量學 生的學習狀況, 以便調整教學策略, 提 高教學效果. 3. 定期評量或平時測驗命題時, 宜針對教學 目標與教材內容, 考慮試卷的信度與效度. 試題內容與難度應顧及所有應考學 生的程度. 4. 除了選擇題與填充題外, 宜多利 用計算, 證明, 作圖, 應 用等題型, 以評量學 生學習情況, 並培養學 生的表達能 力.
Part II: 數學競試 高中數學競試的變 革奧林匹克數學競試數學競試與基礎 人才之培育數學競試與數學研究的關係 High School Algebra?
Part III: 科學展覽 高中科學展覽的意義我們期待看到怎樣的作品? 評審的標準與公平性 一個 1985 實例探討 一流 高中 數學教師的挑戰
Part IV: 科學競賽 研究數學的 方法創意與學習旺宏科學獎 (2002 雄 女, 魏可欣 )- 海 虎不等式 (2003 彰中, 黃皓倫 )- 挑剔數列
(2002 魏可欣 )- 海 虎不等式 猜想 23 ( 海 馬猜想 ): 三 角錐之四個 面的 面積能否決定其體積? 猜想 24 ( 海 虎公式 ): 三 角錐的體積能否可以明確地 用其六邊 長來表 示? 猜想 25 ( 海 虎不等式 ): 除了三 角不等式之外, 是否尚有其他條件使得任意給定之六個正數恰可作為 一三 角錐的六邊 長? ( 充分必要.)
(2003 黃皓倫 )- 挑剔數列 在 一個偶然的機會下, 接觸到 一種特別的數列, 這種數列是由 1~7 等數字組成, 其中每個數字都重複使 用兩次, 在總共 14 格的格 子裡排列, 而且要符合 1 與 1 之間有 1 個數 2 與 2 之間有 2 個數字 6 與 6 之間有 6 個數字 7 與 7 之間有 7 個數字 例 :2 3 7 2 6 3 5 1 4 1 7 6 5 4 依據此種排列規則也找出 1~3 組成的數列 312132 1~4 組成得數列 41312432, 將此數列改成由 1~n 所組成的 2n 位數列, 並討論此 2n 位數列的各種特性, 並將有此特別規則的數列命為 挑剔數列
目的 -( 主要結果 ) 證明 n = 4k + 1 和 4k + 2 (k 為 非負整數 ) 時不存在挑剔數列 找出 一種排法能排出 2n 位的挑剔數列 証明此排法並反推 n = 4k 和 4k + 3 時 一定有挑剔數列存在
n=4k+1,4k+2 挑剔數列不存在 序數 之定義 : 此挑剔數列從左邊開始數來, 第 一位之序數 = 1, 第 二位之序數 = 2, 依序遞增. 證明 : 一個需填 入 1~n 各兩次的挑剔數列, 其序數和為 1 + 2 + 3 + 4 + + 2n = n(2n + 1). 當 r = 1 時, 兩個 1 分別對應序數 A 1,A 1 + (1+1) 當 r = 2 時, 兩個 2 分別對應序數 A 2,A 2 + (2+1) 當 r = n 時, 兩個 n 分別對應序數 A n,a n + (n+1) n(2n + 1) = 2 (A 1 + + A n ) + n(n + 1)/2 + n n(3n - 1) = 4 (A 1 + + A n ).
挑剔數列之化簡 1. 先把挑剔數列中最 大的數字 n 寫下, 再依造數字的 大 小順序由第 一個 n 的右邊開始空 一格依序填 入直到第 2 個 n 之左 方 例 : 7_6_5_4_7 (n = 7) 2. 把步驟 一所填 入的數字往其右 方填 入第 二次, 同時在第 一個 n 之左 方補上此挑剔數列應有但尚未畫上之空格 例 : 7_6_5_4_7 6 5 4 (n = 7)
3. 把剩餘數字的偶數由左到右遞增填 入偶數格中, 這些偶數的第 2 次皆填 入原先填 入之偶數的右 方 偶數格的定義為與第 1 個 n 之序數差為偶數的格 子 奇數格的定義為與第 1 個 n 之序數差為奇數的格 子 例 : 2 _ 4 2 11_10 4 9_8_7_6 _ 11 10 9 8 7 6 (n = 11) 4. 把剩餘的數字與空格 一起作化簡, 把剩餘的奇數皆減 一再除以 二, 空格與空格間的距離也減 一再除以 二, 使之變為 一 新的挑剔數列 例 : 原 n = 11 的挑剔數列化簡為 _ X _ X X 表 示此格在 原挑剔數列 中已被填 入過數字
新挑剔數列之排法 新挑剔數列之定義 : 由 0 至 n 1 之挑剔數列 : 新挑剔數列之形式為 _ X _ 其中 X 之數量為右 方連續空格之數量減 二.
num(x) = 4a + 1 時的排法 先把偶數由右往左遞增填 入偶數格中, 填 入這偶數的第 2 次時, 最 大偶數的第 2 次往原來的右 方填, 其餘的往左 方填 入 例 : _ X _ X _ X _ X _ X 2 4 _ 2 0 0 4 剩餘的數字與空格 一起作化簡, 剩餘的奇數皆減 一再除以 二, 空格與空格間的距離也減 一再除以 二, 使此挑剔數列再做變化 例 : 原 num(x) = 5 變為 _ X _ 再把偶數由左往右遞增填 入偶數格, 這些偶數的第 2 次填 入中最 大的偶數第 2 次往原來的左 方填, 其餘的往右 方填 入. 再化簡 一次, 則此數列就會變回新挑剔數列, 形成 一循環過程, 每次循環後原 num(x) = 4a + 1 之 a 值減少 2 (a 0)
附記 : 費 馬無窮遞降法 2 1/2 是無理數. 畢 氏整數解 : X 2 + Y 2 = Z 2, X = p 2 - q 2, Y = 2pq, Z = p 2 + q 2. 費 馬最後定理 : X n + Y n = Z n 在 n > 2 時, 沒有全 非零之整數解. (A. Wiles 1995.) 特殊情形 n = 3 及 n = 4 可 用費 馬無窮遞降法證明.
結語
THE END 僅以這場演講獻給 竹中之友我 心中永遠的典範盧澄根 老師以祝賀他的光榮退休