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1 Theory of Programming Languages 程序设计语言理论 张昱 School of Computer Science and Technology University of Science and Technology of China December, 2009 Yu Zhang, USTC

2 第 6 章 命题和类型 [PFPL Ch32,33][TPL Ch9] 本章介绍 : Curry-Howard 同构 命题和类型相对应, 证明和程序相对应. 构造逻辑 : 不支持排中率 经典逻辑 : 支持排中率 Yu Zhang, USTC

3 6.1 引言 -1 类型与程序 类型规范行为, 程序实现所规范的行为 静态语义把程序关联到其所实现的类型 动态语义通过逐步执行程序把程序关联到它的化简 命题与证明 命题陈述问题, 证明解答所陈述的问题 形式逻辑系统把证明关联到其所证明的命题 证明化简把等价的证明联系起来 Curry-Howard 同构 命题等同于类型, 证明等同于程序 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 3

4 6.1 引言 -2 Curry-Howard 同构 对每个命题, 存在一个关联的类型, 使得对 的每个证明, 存在一个对应的类型为 的表达式 命题是其证明的类型, 一个证明是相应类型的一个程序 证明有可计算的内容, 程序是证明的一种形式 程序语言中的概念可以引起逻辑中的概念, 相反亦然 最初的同构由 Curry Howard 观测到, 适用于构造逻辑 ; 后来得到扩展和丰富 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 4

5 6.1 引言 -3 构造逻辑和经典逻辑的区别 Yu Zhang, USTC 例定理 : 存在两个无理数 a 和 b, 使得 a b 是有理数 该定理在经典逻辑中可证, 但是在构造逻辑中不可证明. 2 经典逻辑 : 若 2 是有理数, 取 a = b = 2, 因 2 是无理数, 故所取的 a 和 b 满足定理. 2 2 若 2 是无理数, 取 a = 2,b = 2, 则 a 和 b 都是无理数且 a b = ( 2 ) = ( 2) =2 是有理数, 故所取的 a 和 b 满足定理. 2 该证明依据排中率来肯定是有理数或者是无理数. 2 2 构造逻辑 : 不支持排中率, 由于不能证明 2 究竟是有理数还是无理数, 故不能指出如何构造满足定理的 a 和 b. 程序设计语言理论 - 命题和类型 5

6 6.2 构造逻辑 -1 构造逻辑 ( 直觉主义逻辑 ) 的语义 构造逻辑关心两种断言 prop: : 表示 是一个命题 true: 表示 是一个真命题 命题是描述要解决的问题的规范 对命题所引起的问题的解是证明如果命题有一个证明, 则称该命题为真 构造逻辑的特征 : 只有存在命题的证明, 才能判断该命题为真 可构造性 如何评判命题为假? 用反证法证明 ( 假设命题为真, 推出已知事实和假设相矛盾 ) Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 6

7 6.2 构造逻辑 -2 构造逻辑的语义 构造逻辑不接受排中律, 即不接受对于一个命题, 不一定是真 假之一 Why? 总是存在一些尚未解决的命题! 未解决 : 表示尚没有对此命题的证明或反驳例如, P=NP? 命题 是可判定的是指存在对 的证明或反驳. 为定理 例 : 如果 表示两个自然数的不相等命题, 则 是可判定的 因为对于给定的自然数 m 和 n,, 总可以算出 m= n 或者 m n Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 7

8 6.2 构造逻辑 -3 构造逻辑的语义 断言 prop 和 true 是基本的, 是直言断言 一般地, 会更关注假言断言 1 true,..., n true ` true 表示 为真是以 1,, n 都为真为假设的 假言断言满足以下结构性质 ( 是一组命题为真的假设 ) Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 8

9 6.2 构造逻辑 -4 命题逻辑 命题逻辑的联结词 : 永真 (truth) 永假(falsehood) 合取 (conjunction) 析取 (disjunction) 蕴涵 (implication) 否(negation) 命题逻辑的语法 : ::= 也可以用以下推导形如 prop 的断言的规则给出 prop prop propprop prop propprop propprop prop prop Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 9

10 6.2 构造逻辑 -5 命题逻辑 用于证明的规则 引入规则 : 由给定的连接词构成命题的 直接 证明 消去规则 : 由其他命题的 间接 证明构成命题的证明 证明守恒 (conservation of proof) 原理这些规则是互逆的 : 消去规则只能抽取引入规则所引入的信息 ( 证明形式 ) 可以使用引入规则构造证明, 供消去形式使用 永真规则 : 只有引入形式, 没有消去形式 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 10

11 6.2 构造逻辑 -6 命题逻辑 合取规则 引入规则 消去规则 蕴涵规则 引入规则, true true true 消去规则 true true true Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 11

12 6.2 构造逻辑 -7 命题逻辑 永假规则 : 没有引入形式, 只有消去形式 析取规则 引入规则 消去规则 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 12

13 6.2 构造逻辑 -8 使证明显式化 Curry-Howard 同构的关键 断言 true 表示 有一个证明 可用断言 p : 取代 true, 表示 p 是 的一个证明 假言断言修改为 x1: 1,..., xn : n ` p: 构造逻辑的规则可以用证明项重写如下 是一组形如 x i : i 的假设, 且 中不存在重复的变量 x i 永真规则 合取规则 p : q : p: p : andi( pq, ) : ande[l]( p) : ande[r]( p) : Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 13

14 6.2 构造逻辑 -9 构造逻辑的规则可以用证明项重写如下 是一组形如 x i : i 的假设, 且 中不存在重复的变量 x i 蕴涵规则, x : p : impi[ ]( xp. ) : p : q : impe( pq, ) : 永假规则 析取规则 p : p : ori[l][ ]( p) : ori[r][ ]( p) : p :, x : q :, y : r : ore[ ; ]( pxqyr,.,. ) : Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 14

15 6.2 构造逻辑 - 命题作为类型 -1 命题 和其类型 之间的对应关系 命题 类型 unit 空积类型 void 空和类型 二元积类型 函数类型 + 二元和类型 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 15

16 6.2 构造逻辑 - 命题作为类型 -2 证明和程序之间的对应关系 证明 程序 truei * 空积的引入 falsee[](p) Zero * (p ) 空和的消去 andi(p, q) p, q 二元积的引入 ande[l](p) Proj 1 (p ) 二元积的消去 ande[r](p) Proj 2 (p ) 二元积的消去 impi[](x.p) x:.p 函数类型的引入 impe[](p, q) p q 函数类型的消去 ori[l][](p) Inleft(p ) 二元和的引入 ori[r][](p) [][](p) Inright(p ) 二元和的引入 ore[;](p, x.q,y.t) Case p ( x:.q )( y:.r ) 二元和的消去 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 16

17 6.2 构造逻辑 - 命题作为类型 -3 定理 Curry-Howard 同构 1. 如果 prop, 则 type; 2. 如果, 则 上述定理反映出命题和类型, 以及证明和程序之间的静态对应关系 进一步扩展得到动态对应关系 : 消去形式是引入形式的后逆 ande[l](andi(p, q)) p ande[r](andi(p, q)) q impe[ ](impi[ ](x.p), q) [q/x]p ore[; ](ori[l][ ](p), x.q, y.r) [p/x]q ore[; ](ori[r][ ](p), x.q, y.r) [p/y]r Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 17

18 6.3 经典逻辑 -1 构造逻辑 : 不接受排中律, 判断命题为真的唯一标准是要 为该命题构造一个证明 命题 的一个反驳由假言断言 true true 的证据构成. 经典逻辑 : 接受排中律, 即 经典逻辑比构造逻辑所能表达的要弱 例如, 在经典逻辑中, 命题不能说明存在 的一个证明或反例, 而只能说明不可能同时存在对 的证明和反驳 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 18

19 6.3 经典逻辑 -2 经典逻辑 关心三种断言 true: : 表示 是一个真命题 false: 表示 是一个假命题 #: 表示一个已经推导出的矛盾 假言断言 J 是上述三种断言之一, 用 表示为真的假设集, 表示为假的假设集 false true #, fl false fl false, true true Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 19

20 6.3 经典逻辑 -3 经典逻辑, false # true, true # false true false true true false false true false false, true true true false true false true true false false true true false false true Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 20

21 6.3 经典逻辑 -4 经典逻辑 false true true true true true true, true true, true true true true true true true false false Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 21

22 6.3 经典逻辑 -5 经典逻辑 三种断言的显式证明表示 p : 表示 p 是 的一个证明 k 表示 k 是 的一个反驳 k # p 表示 k 和 p 相矛盾 假言断言改为 J: 是上述显式证明形式之一 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 22

23 6.3 经典逻辑 -6 静态语义 矛盾产生于证明和反驳之间的冲突 自反性 永真与永假互补 ccr: call with current refutation ccp: call with current proof 联结词规则组织成永真和永假的引入规则, 后者相当于构造逻辑中的消去规则 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 23

24 6.3 经典逻辑 -7 静态语义 联结词规则组织成永真和永假的引入规则, 后者相当于构造逻辑中的消去规则, x : p : ( x :. p): p : k app( p); k Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 24

25 6.3 经典逻辑 -8 动态语义 : 识别冲突的过程 抽象机的状态 : k # p 执行 : 对 k # p 约简用矛盾状态之间的转换关系来归纳定义 合取 ( 二元积 ) 合取 ( 二元积 ) 析取 ( 二元和 ) 析取 ( 二元和 ) 蕴涵 ( 函数 ) 否定 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 25

26 6.3 经典逻辑 -9 动态语义 : 识别冲突的过程 上面的规则会导致对有两种状态转换 第一种 第二种 如何看待上述情况 将动态语义视为是非确定性的, 即上述两种情况都可能 确定的动态语义 : 规定优先级 选择第一种 : 惰性证明语义 选择第二种 : 急切证明语义 Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 26

27 6.3 经典逻辑 -10 动态语义 : 识别冲突的过程 执行的初始状态或结束状态是什么? 对证明的急切解释假定初始 ( 或终结 ) 的反驳为 halt, 然后形成 halt # p 对反驳的急切解释假定初始 ( 或终结 ) 的证明为 halt, 然后形成 k # halt Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 27

28 习题 1. [TPL] Yu Zhang, USTC 程序设计语言理论 - 命题和类型 28

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