前 言 i 前 言 数 学 分 析 的 核 心 内 容 是 微 积 分 微 积 分 的 发 展 大 体 上 经 过 了 三 个 阶 段 牛 顿 (Newto) 和 莱 布 尼 兹 (Leibiz) 在 继 承 公 元 5 6 世 纪 以 来 许 多 杰 出 数 学 家 的 成 果 的 基 础 上,

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1 数 学 分 析 讲 义 梅 加 强 编 著 c 6- 无 厚, 不 可 积 也, 其 大 千 里 惠 施, 公 元 前 四 世 纪

2 前 言 i 前 言 数 学 分 析 的 核 心 内 容 是 微 积 分 微 积 分 的 发 展 大 体 上 经 过 了 三 个 阶 段 牛 顿 (Newto) 和 莱 布 尼 兹 (Leibiz) 在 继 承 公 元 5 6 世 纪 以 来 许 多 杰 出 数 学 家 的 成 果 的 基 础 上, 将 微 积 分 发 展 成 了 一 门 独 立 的 学 问, 微 积 分 被 用 来 解 决 天 文 力 学 工 程 等 方 面 的 大 量 实 际 问 题 9 世 纪 初, 由 于 科 学 技 术 进 步 的 推 动, 为 微 积 分 建 立 牢 固 基 础 的 要 求 十 分 迫 切 经 过 近 二 百 年 的 努 力, 到 9 世 纪 五 六 十 年 代, 柯 西 (Cuchy), 黎 曼 (Riem) 和 魏 尔 斯 特 拉 斯 (Weierstrss) 等 建 立 了 严 格 的 极 限 理 论, 并 用 极 限 的 语 言 严 格 地 证 明 了 微 积 分 的 所 有 定 义 和 定 理, 为 微 积 分 的 普 及 创 立 了 更 加 有 利 的 条 件 到 世 纪 初, 格 拉 斯 曼 (Grssm), 庞 加 莱 (Poicré) 和 嘉 当 (Crt) 等 人 又 发 展 了 外 微 分 形 式 的 语 言, 并 利 用 外 微 分 形 式 的 语 言 把 微 分 和 积 分 这 一 对 矛 盾 统 一 在 斯 托 克 斯 (Stokes) 积 分 公 式 中, 这 就 使 得 牛 顿 和 莱 布 尼 兹 的 微 积 分 基 本 公 式 达 到 了 一 个 统 一 的 新 高 度, 以 后 的 发 展 就 属 于 近 代 数 学 的 范 畴 了 本 书 在 内 容 的 编 排 上 试 图 展 现 微 积 分 发 展 各 阶 段 的 重 要 成 果, 并 适 当 地 采 用 现 代 数 学 的 思 想 方 法 和 观 点 处 理 经 典 的 分 析 问 题 下 面 对 本 书 主 要 内 容 作 一 简 要 介 绍 由 于 数 学 分 析 是 非 常 成 熟 的 一 门 基 础 课 程, 我 们 只 着 重 于 介 绍 和 传 统 教 材 有 较 大 差 别 的 地 方 在 第 一 章 中 我 们 介 绍 了 集 合 与 映 射 的 一 些 基 本 概 念 这 一 章 虽 然 是 复 习 性 质 的, 但 我 们 还 是 引 入 了 确 界 和 可 数 这 两 个 重 要 概 念 我 们 把 确 界 原 理 作 为 一 元 分 析 的 基 础, 在 第 二 章 关 于 数 列 极 限 的 论 述 中 这 一 点 显 得 特 别 突 出 实 数 的 构 造 以 及 实 数 系 的 基 本 性 质 对 于 一 元 分 析 来 说 是 非 常 重 要 的, 但 为 了 减 轻 负 担, 我 们 将 实 数 构 造 的 理 论 放 在 第 一 章 附 录 中 了 第 三 章 研 究 连 续 函 数 和 传 统 教 材 不 同 的 是, 我 们 在 这 里 就 已 经 介 绍 了 连 续 函 数 的 积 分 了 这 样, 在 第 四 章 中, 我 们 就 很 快 得 到 了 微 积 分 的 基 本 定 理 Newto- Leibiz 公 式, 从 而 不 定 积 分 的 内 容 就 显 得 较 为 自 然 微 分 中 值 定 理 和 Tylor 展 开 是 一 元 微 分 学 发 展 的 一 个 高 峰, 我 们 在 第 五 章 中 介 绍 这 部 分 内 容 第 六 章 和 第 七 章 是 一 元 函 数 积 分 的 内 容 Riem 积 分 是 一 元 分 析 的 一 个 难 点 由 于 前 面 已 经 有 连 续 函 数 的 积 分,Riem 积 分 的 理 解 难 度 有 所 降 低 为 了 透 彻 地 理 解 Riem 积 分, 我 们 还 引 入 了 零 测 集 的 概 念, 利 用 它 刻 画 了 可 积 函 数 第 八 九 和 第 十 章 是 关 于 无 穷 级 数 理 论 的, 这 是 分 析 学 的 经 典 内 容 其 中, 关 于 数 项 级 数, 我 们 突 出 了 Kummer 判 别 法 的 作 用, 由 此 简 化 了 众 多 收 敛 发 散 判 别 法 的 叙 述 我 们 在 这 几 章 的 最 后 一 节 中 讨 论 了 一 些 进 一 步 的 内 容, 如 级 数 用 于 近 似 计 算,Euler-Mcluri 公 式 以 及 Stirlig 公 式 的 渐 近 展 开,Fourier 级 数 的 平 均 收 敛 和 一 致 收 敛 性, 以 及 对 于 等 分 布 问 题 和 等 周 问 题 的 应 用 等 对 于 Fourier 级 数 中 重

3 ii 前 言 要 的 Prsevl 等 式, 我 们 所 用 的 证 明 方 法 和 传 统 的 教 材 也 有 所 不 同 第 十 一 章 是 承 前 继 后 的 一 章 我 们 将 实 数 的 基 本 性 质 提 炼 出 来, 引 入 了 内 积 空 间 和 度 量 空 间 的 概 念, 并 通 过 完 备 性, 紧 致 性 和 连 通 性 等 刻 画 了 连 续 映 射 的 基 本 性 质 与 度 量 空 间 有 关 的 内 容 十 分 丰 富, 我 们 在 这 里 只 挑 选 了 最 必 需 的 若 干 概 念 和 定 理, 一 方 面 将 一 元 分 析 中 所 获 得 的 概 念 做 了 一 些 提 升, 另 一 方 面 为 多 元 分 析 准 备 扎 实 的 基 础 当 然, 在 课 时 有 限 的 情 况 下 也 可 将 所 有 的 论 述 局 限 于 欧 氏 空 间 第 十 二 章 是 多 元 函 数 的 微 分 学 这 一 章 对 于 线 性 代 数 的 要 求 较 高, 读 者 应 当 具 备 线 性 映 射 线 性 变 换 的 基 础 知 识 究 其 原 因, 是 因 为 微 分 学 的 基 本 手 法 无 非 是 作 线 性 化, 线 性 代 数 的 语 言 很 自 然 地 要 用 上 比 如, 在 这 一 章 里, 无 论 是 拟 微 分 中 值 定 理, 还 是 逆 映 射 定 理, 隐 映 射 定 理, 甚 至 是 Lgrge 乘 数 法, 它 们 的 严 格 表 述 和 证 明 都 是 用 线 性 代 数 的 语 言 完 成 的, 其 中 Jcobi 矩 阵 起 了 突 出 的 作 用 第 十 三 章 是 多 元 函 数 的 Riem 积 分 和 一 元 函 数 一 样, 我 们 也 是 用 零 测 集 刻 画 可 积 函 数 乃 至 可 求 面 积 ( 体 积 ) 集 的 除 了 强 调 计 算 以 外, 我 们 还 给 出 了 多 重 积 分 变 量 代 换 公 式 的 完 整 证 明, 这 个 证 明 通 常 是 被 省 略 的 我 们 的 证 明 和 其 它 一 些 教 材 上 的 也 不 相 同 第 十 四 章 是 曲 线 曲 面 上 的 积 分 我 们 实 际 上 统 一 处 理 了 欧 氏 空 间 中 正 则 子 流 形 上 的 积 分 关 于 Gree 公 式 Guss 公 式 和 Stokes 公 式, 我 们 没 有 采 用 分 割 积 分 区 域 为 较 简 单 区 域 的 传 统 办 法, 而 宁 愿 使 用 区 域 变 换 的 观 点 讨 论 问 题 这 一 章 的 附 录 中 介 绍 了 重 要 的 Riem-Stieltjes 积 分, 它 们 是 在 考 虑 可 求 长 曲 线 时 自 然 出 现 的 作 为 应 用, 通 过 考 虑 Riem-Stieltjes 积 分 我 们 还 得 到 了 Riem 积 分 的 中 值 公 式, 分 部 积 分 公 式 和 变 量 替 换 公 式 的 最 一 般 情 形 第 十 五 章 部 分 地 反 映 了 微 积 分 发 展 的 第 三 阶 段 的 成 果, 我 们 引 入 了 微 分 形 式, 外 微 分 运 算, 并 给 出 了 整 体 曲 面 的 定 义, 讨 论 了 曲 面 的 定 向, 最 后 统 一 了 Gree 公 式,Guss 公 式 和 曲 面 上 的 Stokes 公 式 第 十 六 章 讨 论 含 参 变 量 的 积 分 其 中, 关 于 Gmm 函 数 的 Stirlig 公 式 的 证 明, 我 们 提 供 了 两 个 办 法, 它 们 和 传 统 教 材 上 的 处 理 方 法 也 不 太 一 样 最 后, 我 们 还 讨 论 了 Fourier 变 换 的 乘 积 公 式, 反 演 公 式 和 Plcherel 公 式, 并 讨 论 了 Fourier 分 析 的 几 个 重 要 应 用 本 书 作 为 讲 义 的 形 式 曾 在 南 京 大 学 数 学 系 多 次 试 用, 在 试 用 过 程 中, 程 健 胡 泽 春 尤 建 功 和 张 高 飞 等 诸 位 老 师 都 贡 献 了 宝 贵 的 意 见 和 建 议 ; 扬 州 大 学 徐 海 峰 博 士 也 仔 细 校 订 了 本 书 前 五 章 初 稿, 作 者 在 此 一 并 致 谢 总 体 而 言, 本 书 的 基 本 内 容 仍 然 属 于 经 典 的 微 积 分 范 畴 在 取 材 方 面 我 们 着 重 理 论 和 应 用, 在 定 理 的 证 明 方 面 我 们 着 重 自 然 和 简 洁 限 于 作 者 的 水 平, 如 有 处 理 得 不 恰 当 的 地 方 还 请 专 家 予 以 批 评 指 正

4 目 录 前 言 i 第 六 章 Riem 积 分 6. Riem 可 积 定 积 分 的 性 质 微 积 分 基 本 公 式 定 积 分 的 近 似 计 算 第 七 章 积 分 的 应 用 和 推 广 定 积 分 的 应 用 曲 线 的 长 度 简 单 图 形 的 面 积 简 单 立 体 的 体 积 物 理 应 用 举 例 进 一 步 应 用 的 例 子 广 义 积 分 广 义 积 分 的 收 敛 判 别 法 广 义 积 分 的 几 个 例 子 第 八 章 数 项 级 数 级 数 收 敛 与 发 散 的 概 念 正 项 级 数 收 敛 与 发 散 的 判 别 法 一 般 级 数 收 敛 与 发 散 判 别 法 数 项 级 数 的 进 一 步 讨 论 级 数 求 和 与 求 极 限 的 可 交 换 性 级 数 的 乘 积 乘 积 级 数 级 数 的 重 排 第 九 章 函 数 项 级 数 9. 一 致 收 敛 求 和 与 求 导 积 分 的 可 交 换 性 幂 级 数 iii

5 iv 目 录 9.3. 收 敛 半 径 及 基 本 性 质 Tylor 展 开 与 幂 级 数 幂 级 数 的 乘 法 和 除 法 运 算 母 函 数 方 法 函 数 项 级 数 的 进 一 步 讨 论 近 似 计 算 回 顾 用 级 数 构 造 函 数 第 十 章 Fourier 分 析 43. Fourier 级 数 Fourier 级 数 的 收 敛 性 Prsevl 恒 等 式 Fourier 级 数 的 积 分 和 微 分 Fourier 级 数 的 进 一 步 讨 论 平 均 收 敛 性 一 致 收 敛 性 等 周 不 等 式 Fourier 级 数 的 复 数 表 示 Fourier 积 分 初 步 第 十 一 章 度 量 空 间 和 连 续 映 射 77. 内 积 与 度 量 度 量 空 间 的 拓 扑 度 量 空 间 的 完 备 性 度 量 空 间 与 紧 致 性 连 续 映 射 连 续 映 射 及 其 基 本 性 质 欧 氏 的 连 续 映 射 二 元 函 数 及 其 极 限

6 第 六 章 Riem 积 分 我 们 在 第 三 章 中 已 经 介 绍 了 连 续 函 数 在 闭 区 间 上 的 积 分. 在 实 际 应 用 中, 往 往 也 需 要 考 虑 非 连 续 函 数 如 何 积 分 的 问 题. 例 如, 函 数 fpxq, x P r, q; fpxq, x P r, s 在 区 间 r, s 上 有 一 个 间 断 点, 但 fpxq 的 图 像 和 三 条 直 线 x, x 以 及 y 所 围 成 的 区 域 仍 然 是 可 以 求 面 积 的, 即 fpxq 在 某 种 意 义 下 也 应 该 可 积. Riem 研 究 了 有 界 函 数 的 积 分, 他 把 可 积 函 数 类 从 连 续 函 数 类 做 了 很 大 的 扩 充. Lebesgue 进 一 步 发 现 可 积 函 数 就 是 几 乎 处 处 连 续 的 函 数. 6. Riem 可 积 设 fpxq 是 定 义 在 闭 区 间 r, bs 上 的 函 数 ( 不 一 定 连 续 ), 考 虑 由 直 线 x, y b, y 及 曲 线 y fpxq 围 成 的 曲 边 梯 形. 受 连 续 函 数 积 分 定 义 的 启 发, 为 了 计 算 它 的 面 积, 我 们 用 若 干 小 矩 形 面 积 之 和 去 逼 近 : 将 r, bs 分 割 为 x ă x ă ă x b, 第 i 个 小 梯 形 的 面 积 可 用 fpξ i q x i 近 似 逼 近, 其 中 ξ i P rx i, x i s, x i x i x i. 于 是 和 fpξ i q x i 表 示 曲 边 梯 形 ABCD 的 面 积 的 近 似 值. 我 们 期 望, 当 r, bs 的 i 分 割 越 来 越 细 时, 这 个 近 似 值 越 来 越 接 近 所 求 面 积, 用 极 限 表 示 出 来 就 是 S ABCD lim }π}ñ i fpξ i q x i, 这 里 }π} mx ďiď t x iu. 如 果 上 述 极 限 存 在, 则 记 为 y fpxqdx. y = f(x) C D A B x 图 6. 曲 边 梯 形 的 面 积

7 第 六 章 Riem 积 分 详 细 说 来, 设 函 数 fpxq 定 义 于 区 间 r, bs, r, bs 中 有 ` 个 点 依 次 为 x ă x ă ă x b, 它 们 将 r, bs 分 成 个 小 区 间 i rx i, x i s p ď i ď q, 这 些 分 点 及 小 区 间 构 成 了 r, bs 的 一 个 分 割, 记 为 π : x ă x ă ă x b. 小 区 间 i 的 长 度 为 x i x i x i, 并 记 称 为 分 割 π 的 模. }π} mx ďiď t x iu, 对 于 分 割 π, 任 取 点 ξ i P i rx i, x i s p ď i ď q. 称 fpξ i q x i i 为 f 在 r, bs 上 的 一 个 Riem 和 或 积 分 和. y f(ξ i ) y = f(x) C D A x i ξ i x i B x 图 6. Riem 和 定 义 6.. (Riem 积 分 ). 设 f 如 上, 如 果 存 在 实 数 I, 使 得 任 给 ε ą, 均 存 在 δ ą, 对 任 何 分 割 π, 只 要 }π} ă δ, 就 有 ˇ fpξ i q x i Iˇ ă ξ i P rx i, x i s, i,,, i 则 称 f 在 r, bs 上 Riem 可 积 或 可 积, I 为 f 在 r, bs 上 的 p 定 q 积 分, 记 为 I fpxq dx lim }π}ñ i fpξ i q x i. 其 中 f 称 为 被 积 函 数, r, bs 称 为 积 分 区 间,, b 分 别 称 为 积 分 下 限 与 积 分 上 限.

8 6. Riem 可 积 3 注. pq 积 分 与 变 量 x 的 选 择 无 关, 即 fpxq dx pq 如 果 f 在 r, bs 上 可 积, 则 积 分 节 的 讨 论 可 知 连 续 函 数 总 是 可 积 的. 之 不 然. fptq dt. fpxq dx 是 惟 一 确 定 的 ; 根 据 第 三 章 第 五 定 理 6.. ( 可 积 的 必 要 条 件 ). 若 f 在 r, bs 上 可 积, 则 f 在 r, bs 上 有 界, 反 证 明. 假 设 f 在 r, bs 上 可 积, 沿 用 上 面 的 记 号, 记 I 为 其 积 分. 取 ε, 由 定 义, 存 在 δ ą, 对 r, bs 的 任 意 分 割 π : x ă x ă ă x b, 当 }π} ă δ 时, 任 取 ξ i P rx i, x i s p ď i ď q, 均 有 ˇ fpξ i q x i Iˇ ă. i 特 别 地, 取 自 然 数 ą b, 对 区 间 r, bs 做 等 分, 即 δ 此 时 }π} b 从 而 ˇ ˇb ă δ. 我 们 有 x i ` i pb q, i,,, fpξ i q Iˇ ξ i P ` i i pb q, ` pb q, i ˇ fpξ i qˇ ď i p ` I q. b 对 于 固 定 的 j P t,,, u, 当 i j 时, 我 们 取 ξ i ` i pb q, 令 则 有 如 下 估 计 : fpξ j q ď ˇ ÿ i ) M mx!ˇˇˇf` ` pb q ˇˇˇ, ďiď i j f` ` i pb q ˇˇˇ ` ď p qm ` p ` I q, b p ` I q b

9 4 第 六 章 Riem 积 分 这 个 估 计 对 任 意 ξ j P ` j pb q, ` j pb q 均 成 立, 因 此 有 fpxq ď p qm ` p ` I x P r, bs, b 这 就 说 明 f 有 界. 有 界 函 数 未 必 可 积, Dirichlet 函 数 Dpxq 即 为 例 子 : 任 给 一 个 分 割, 当 ξ i 取 rx i, x i s 中 的 无 理 数 时, 积 分 和 为 ; 当 ξ i 取 rx i, x i s 中 有 理 数 时, 积 分 和 为. 因 此 Dpxq 的 积 分 和 没 有 极 限. 除 了 连 续 函 数 之 外, 还 有 哪 些 有 界 函 数 是 可 积 的 呢? 如 同 研 究 有 界 数 列 的 收 敛 性 要 考 虑 上 极 限 和 下 极 限 一 样, 我 们 考 虑 有 界 函 数 Riem 和 的 最 大 值 和 最 小 值. 对 于 分 割 记 M i π : x ă x ă ă x b, sup fpxq, m i if fpxq, 令 xprx i,x i s xprx i,x is S M i x i, s i m i x i, 我 们 称 S 为 f 关 于 π 的 Drboux 上 和, 简 称 上 和, 也 记 为 Spπq 或 Spπ, fq; 而 s 称 i 为 Drboux 下 和, 简 称 下 和, 也 记 为 spπq 或 spπ, fq. y y x x 图 6.3 上 和 与 下 和 显 然, 任 何 Riem 和 总 是 介 于 下 和 与 上 和 之 间. 跟 第 三 章 一 样, 我 们 称 ω i M i m i sup fpxq xprx i,x i s if fpxq xprx i,x i s 为 f 在 rx i, x i s 上 的 振 幅. 由 定 义, 上 和 与 下 和 之 差 可 以 表 示 为 S s ω i x i. i

10 6. Riem 可 积 5 Riem 对 于 积 分 的 贡 献 之 一 就 是 证 明 了 f 可 积 当 且 仅 当 S s 的 极 限 为 零 ( 当 分 割 的 模 趋 于 零 时 ). Drboux 进 一 步 研 究 了 任 意 有 界 函 数 的 上 和 与 下 和 的 极 限. 以 下 总 是 假 定 f 为 有 界 函 数, 并 记 M sup fpxq, m if fpxq. xpr,bs xpr,bs 下 面 的 引 理 给 出 了 上 和 与 下 和 的 重 要 性 质, 这 种 单 调 性 质 与 数 列 的 情 形 类 似. 引 理 6... 设 分 割 π 是 从 π 添 加 k 个 分 点 得 到 的, 则 有 Spπq ě Spπ q ě Spπq pm mqk}π}, spπq ď spπ q ď spπq ` pm mqk}π}. 特 别 地, 对 于 给 定 的 分 割 增 加 新 的 分 点 时, 下 和 不 减, 上 和 不 增. 证 明. 为 了 简 单 起 见, 我 们 证 明 k 的 情 形. 此 时, 设 新 添 加 的 分 点 为 x, 则 x 必 落 在 某 个 区 间 px j, x j q 内. 由 上 和 的 定 义, Spπq M i x i M j x j ` ÿ M i x i, i i j Spπ q Mj p x x j q ` Mj px j xq ` ÿ M i x i, 这 里 M j 及 M j 分 别 是 f 在 区 间 rx j, xs 及 r x, x j s 中 的 上 确 界. 因 为 M j ď M j, M j ď M j, 从 而 有 ď Spπq Spπ q pm j M jqp x x j q ` pm j M j qpx j xq ď pm mqp x x j q ` pm mqpx j xq pm mq x j ď pm mq}π}. i j 即 Spπq ě Spπ q ě Spπq pm mq}π}. 下 和 的 情 形 同 理 可 证. 推 论 对 于 任 意 两 个 分 割 π 及 π, 有 spπ q ď Spπ q. 证 明. 用 π Y π 表 示 将 π 和 π 的 所 有 分 点 合 并 后 得 到 的 分 割 ( 重 复 的 分 点 只 取 一 次 ), 则 π Y π 既 可 以 看 成 由 π 添 加 分 点 而 来, 又 可 以 看 作 从 π 添 加 分 点 而 来. 由 引 理 6.., 有 spπ q ď spπ Y π q ď Spπ Y π q ď Spπ q. 这 也 就 是 说 任 意 下 和 总 是 不 超 过 任 意 上 和. 下 面 的 定 理 和 有 界 数 列 的 上 极 限 和 下 极 限 都 存 在 也 是 类 似 的.

11 6 第 六 章 Riem 积 分 定 理 6..4 (Drboux). lim }π}ñ 证 明. 根 据 定 义, 总 有 下 面 的 估 计 : Spπq if Spπq, lim π }π}ñ mpb q ď spπq ď Spπq ď Mpb q, 因 此 if Spπq 和 sup spπq 都 存 在. π π 任 给 ε ą, 由 下 确 界 的 定 义 知, 存 在 分 割 π, 使 得 Spπ q ă if Spπq ` ε π. spπq sup spπq. π 设 π 由 k 个 分 点 构 成. 对 于 任 意 另 一 分 割 π, π Y π 至 多 比 π 多 k 个 分 点. 由 引 理 6.., 有 Spπq pm mqk}π} ď Spπ Y π q ď Spπ q ă if Spπq ` ε π. ε 于 是, 当 }π} ă δ 时, pm m ` qk 这 就 证 明 了 下 和 的 极 限 同 理 可 证. if π Spπq ď Spπq ď pm mqk ε ă if Spπq ` ε, π lim }π}ñ pm m ` qk ` if π Spπq if Spπq. π Spπq ` ε 我 们 称 if Spπq 为 f 在 r, bs 上 的 上 积 分, sup spπq 为 f 在 r, bs 上 的 下 积 分. π π Riem 和 Drboux 关 于 函 数 可 积 性 的 结 果 反 映 在 下 面 的 重 要 定 理 中, 它 可 对 比 于 数 列 极 限 相 应 的 定 理??. 定 理 6..5 ( 可 积 的 充 要 条 件 ). 设 f 为 r, bs 上 的 有 界 函 数, 则 以 下 命 题 等 价 : pq f 在 r, bs 上 Riem 可 积. pq f 在 r, bs 上 的 上 积 分 和 下 积 分 相 等. ř p3q lim ω i x i. }π}ñ i p4q 任 给 ε ą, 存 在 r, bs 的 某 个 分 割 π, 使 得 Spπq spπq ω i x i ă ε. i 证 明. pq ùñ pq: 设 f 在 r, bs 上 可 积, 其 积 分 为 I. 于 是 任 给 ε ą, 存 在 δ ą, 当 }π} ă δ 时, 有 I ε ă fpξ i q x i ă I ` ε. i

12 6. Riem 可 积 7 特 别 地, 我 们 得 到 I ε ď if fpxq x i spπq xprx i,x is ď i sup fpxq x i Spπq i xprx i,x is ď I ` ε, 这 说 明 lim spπq lim Spπq I. 由 Drboux 定 理 即 知 f 的 上 下 积 分 相 等. }π}ñ }π}ñ pq ùñ pq: 设 sup spπq if Spπq I. 由 Drboux 定 理, 任 给 ε ą, 存 在 π π δ ą, 当 }π} ă δ 时, 有 I ε ă spπq ď fpξ i q x i ď Spπq ă I ` ε, 这 说 明 lim i }π}ñ i 也 就 是 说 f 在 r, bs 上 可 积, 积 分 为 I. fpξ i q x i I, pq ðñ p3q: 这 可 由 Drboux 定 理 及 下 式 得 到 lim ω i x i pspπq spπqq if Spπq sup spπq. }π}ñ i p3q ùñ p4q: 这 是 显 然 的. lim }π}ñ π p4q ùñ pq: 如 果 存 在 分 割 π, 使 得 Spπq spπq ă ε, 则 由 π 知 spπq ď sup π spπ q ď if Spπ q ď Spπq π ď if Spπ q sup spπ q ď Spπq spπq ă ε. π π 由 ε 的 任 意 性 即 知 f 的 上 和 与 下 和 相 等. 这 就 证 明 了 pq pq p3q p4q 的 等 价 性. 推 论 pq 设 rα, βs Ă r, bs, 如 果 f 在 r, bs 上 可 积, 则 f 在 rα, βs 上 也 可 积. pq 设 c P p, bq, 如 果 f 在 r, cs 及 rc, bs 上 都 可 积, 则 f 在 r, bs 上 可 积. 证 明. pq 任 给 ε ą, 由 于 f 在 r, bs 上 可 积, 由 定 理 6..5 p3q, 存 在 δ ą, 当 ř }π} ă δ 时, ω i x i ă ε. 取 rα, βs 的 一 个 分 割 π, 使 得 }π } ă δ. 显 然, 可 构 造 i r, bs 的 分 割 π, 使 得 π 是 π 通 过 添 加 r, bs rα, βs 中 的 分 点 得 到, 且 }π} ă δ, 则 ÿ ÿ ω i x i ď ω i x i ă ε. π π

13 8 第 六 章 Riem 积 分 由 定 理 6..5 p4q 知, f 在 rα, βs 上 可 积. () 用 定 理 6..5 p4q 很 容 易 证 明, 留 作 习 题. 例 6... 设 f, g 均 为 r, bs 上 的 可 积 函 数, 则 fg 也 是 r, bs 上 的 可 积 函 数. 证 明. 因 为 可 积 函 数 是 有 界 的, 故 存 在 K ą, 使 得 fpxq ď K, gpxq ď x P r, bs. 任 给 ε ą, 由 定 理 6..5 p3q, 存 在 δ ą, 当 }π} ă δ 时, ÿ ε ω i pfq x i ă K `, π 如 果 rx i, x i s 为 π 中 的 一 个 小 区 间, 则 ω i pfgq ÿ ω i pgq x i ă sup fpx qgpx q fpx qgpx q x,x Prx i,x i s π ε K `. sup fpx qgpx q fpx qgpx q ` fpx qgpx q fpx qgpx q x,x Prx i,x i s ď sup x,x Prx i,x is fpx q gpx q gpx q ` gpx q fpx q fpx q ď Kpω i pgq ` ω i pfqq, 从 而 有 ÿ ω i pfgq x i ď K ÿ pω i pfq ` ω i pgqq x i π π K ÿ π ω i pfq x i ` K ÿ π ω i pgq x i 由 定 理 6..5 知 fg 可 积. ă K ε K ` ` K ε K ` ă ε. 根 据 定 理 6..5 可 以 得 到 几 类 可 积 函 数, 它 们 不 一 定 总 是 连 续 的. 定 理 6..7 ( 可 积 函 数 类 ). pq 若 f 在 r, bs 上 连 续, 则 f 在 r, bs 上 可 积 ; pq 若 有 界 函 数 f 只 在 r, bs 中 有 限 个 点 处 不 连 续, 则 f 可 积 ; p3q 若 f 为 r, bs 上 的 单 调 函 数, 则 f 可 积 ; 证 明. pq 见 第 三 章 第 五 节 (??). pq 我 们 用 定 理 6..5 p4q 来 证 明. 任 给 ε ą, 设 x k pk,, Nq 为 f 的 ε 间 断 点, 取 ă ρ ă 4pM m ` qn, 使 得 p x k ρ, x k ` ρq pk,, Nq 互 不 相 交. 去 掉 这 些 开 区 间 后, r, bs 剩 下 的 部 分 由 有 限 个 闭 区 间 组 成, 且 f 在 这 些 闭 区 间 上 连 续. 根 据 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 一 致 连 续 性, 可 以 取 这 些 闭 区 间 的 分 割, 使 得

14 6. Riem 可 积 9 ε f 在 每 个 小 区 间 上 的 振 幅 均 小 于 pb q. 这 些 闭 区 间 的 分 割 连 同 r x k ρ, x k ` ρs p ď k ď Nq 组 成 了 r, bs 的 分 割, 记 为 π. 对 于 此 分 割, 有 Spπq spπq ď 由 定 理 6..5 p4q 知 f 可 积. ε Nÿ pb q pb q ` pm mq i ρ ď ε Nε ` pm mq 4pM m ` qn ă ε. p3q 设 f 为 r, bs 上 单 调 函 数, 不 妨 设 f 单 调 递 增. 任 给 ε ą, 任 取 r, bs 的 分 ε 割 π, 使 得 }π} ă fpbq fpq `, 则 ω i x i i `fpxi q fpx i q x i i ε ď `fpxi q fpx i q fpbq fpq ` i `fpx ε q fpx q fpbq fpq ` `fpbq ε fpq fpbq fpq ` ă ε, 由 定 理 6..5 p3q 知 f 可 积. 设 f 为 r, bs 上 定 义 的 函 数, 如 果 存 在 r, bs 的 分 割 π : x ă x ă x ă ă x b, 使 得 f 在 每 一 个 小 区 间 px i, x i q 中 均 为 常 数, 则 称 f 为 阶 梯 函 数. 推 论 阶 梯 函 数 均 为 可 积 函 数. 证 明. 这 是 因 为 阶 梯 函 数 至 多 只 有 有 限 个 间 断 点. 例 6... p q r, s 上 的 黎 曼 函 数 是 可 积 的. 证 明. 黎 曼 函 数 Rpxq 定 义 为 $ & q, x p q P p, q, p, q 为 互 素 正 整 数, Rpxq, x,, %, x P p, q 为 无 理 数. 显 然, ď Rpxq ď. 任 给 ε ą, 当 数 不 超 过 N Npεq 个. 取 δ q ě ε, 即 q ď ε 时, r, s 中 形 如 p q 的 既 约 分 ε 4N, 对 于 }π} ă δ 的 任 意 分 割, 包 含 上 述 既 约 分 数

15 第 六 章 Riem 积 分 的 小 区 间 至 多 只 有 N 个, 在 其 余 的 小 区 间 上 Rpxq 的 取 值 均 小 于 ď ÿ i Rpξ i q x i ď N}π} ` ε 这 说 明 Rpxq 在 r, s 上 可 积, 且 积 分 为 零. ÿ x i ď ε, i ε, 因 此 从 上 面 的 讨 论 中 可 以 体 会 到, 要 说 明 f 为 可 积 函 数, 我 们 只 要 找 到 某 个 分 割, 使 得 要 么 f 在 此 分 割 中 的 小 区 间 上 的 振 幅 很 小, 要 么 振 幅 较 大 的 那 些 小 区 间 的 总 长 度 很 小. 这 可 以 总 结 为 下 面 的 结 果. 定 理 6..9 (Riem). 设 f 为 r, bs 上 的 有 界 函 数, 则 f 可 积 的 充 分 必 要 条 件 是 任 给 ε, η ą, 存 在 r, bs 的 某 个 分 割 π, 使 得 从 而 ÿ ω i ěη x i ă ε. 证 明. ( 必 要 性 ) 设 f 可 积, 则 由 定 理 6..5 p4q, 任 给 ε, η ą, 存 在 分 割 π, 使 得 η ÿ ω i ěη ω i x i ă ε η, i x i ď ω i x i ă ε η, 其 中 上 式 左 端 表 示 对 振 幅 大 于 或 等 于 η 的 区 间 求 和, 即 有 ÿ ω i ěη i x i ă ε. ( 充 分 性 ) 由 已 知 条 件, 任 给 ε ą, 存 在 r, bs 的 分 割 π, 使 得 对 于 这 个 分 割, 有 ω i x i i ď ď ÿ ω iě ε pb q ÿ ω iă ε pb q ε pb q ε pb q x i ă ω i x i ` ÿ ω i ă ε pb q ε pm m ` q. ÿ ω iě ε pb q ω i x i x i ` pm mq ÿ ω i ě ε pb q x i ε pb q ` pm mq pm m ` q ă ε. 由 定 理 6..5 p4q 知 f 可 积.

16 6. Riem 可 积 例 p q 设 f 在 r, bs 上 连 续, φ 在 rα, βs 上 可 积, φprα, βsq Ă r, bs. 则 f φ 在 rα, βs 上 仍 可 积. 证 明. 因 为 f 在 r, bs 上 连 续, 故 一 致 连 续. 任 给 ε ą, 存 在 δ ą, 当 x, y P ε r, bs, x y ă δ 时, fpxq fpyq ă pβ αq. 因 为 φ 在 rα, βs 上 可 积, 由 定 理 6..9, 存 在 rα, βs 的 分 割 π : α t ă t ă ă t m β, 使 得 其 中 K mx xpr,bs fpxq. 于 是 mÿ ω i pf φq t i i ÿ ω i pφqěδ ÿ ω i pφqěδ ď K ď K t i ă ε 4K `, ω i pf φq t i ` ÿ ω i pφqěδ t i ` ÿ ω i pφqăδ ε pβ αq ω i pf φq t i ÿ ω i pφqăδ t i ε 4K ` ` ε pβ αq ă ε. pβ αq 由 定 理 6..5 p4q 知 f φ 在 rα, βs 上 可 积. 注. 如 果 条 件 改 为 f 可 积, φ 连 续, 则 复 合 函 数 fpφq 未 必 可 积 ( 有 反 例 ). 在 本 节 最 后, 我 们 简 要 介 绍 一 下 Lebesgue 关 于 可 积 函 数 的 进 一 步 刻 画. 定 义 6.. ( 零 测 集 ). 设 A Ă R, 如 果 任 给 ε ą, 均 存 在 覆 盖 A 的 至 多 可 数 个 开 区 间 ti i u, 使 得 则 称 A 为 零 测 集. I i ď ě, i 例 pq 有 限 集 是 零 测 集 ; pq 可 数 集 是 零 测 集 ; p3q 零 测 集 的 子 集 仍 为 零 测 集 ; p4q 可 数 个 零 测 集 之 并 仍 为 零 测 集. 证 明. pq 设 A tx i u i 为 有 限 点 集, 任 给 ε ą, 记 I i `x i ε, x i ` ε, i,,,. 显 然, ti i u 组 成 了 A 的 一 个 覆 盖, 且 这 些 开 区 间 的 长 度 之 和 为 因 此 A 为 零 测 集. I i i i ε ε,

17 第 六 章 Riem 积 分 pq 设 A tx i u 8 i 为 可 数 点 集, 任 给 ε ą, 记 I i `x i 显 然, ti i u 组 成 了 A 的 一 个 覆 盖, 且 因 此 A 为 零 测 集. p3q 按 定 义, 这 是 显 然 的. ε i`, x i ` ε i`, i,,. I i i i ε ă ε, i` p4q 设 A i pi ě q 为 一 列 零 测 集. 于 是 任 给 ε ą, 对 于 固 定 的 i, 存 在 A i 的 开 ε 区 间 覆 盖 ti ij u, 使 得 ti ij u 中 任 意 有 限 个 区 间 的 长 度 之 和 均 不 超 过 i. 因 为 可 数 个 可 数 集 合 的 并 集 仍 是 可 数 的, 故 所 有 这 些 开 区 间 ti ij u 仍 组 成 了 ta i u 的 并 集 的 覆 盖, 且 任 意 有 限 个 开 区 间 的 长 度 和 不 超 过 因 此 ta i u 的 并 集 仍 为 零 测 集. 定 义 为 ε ` ε ` ε 3 ` ď ε. 现 在 设 f 为 r, bs 上 的 有 界 函 数. 我 们 回 忆 一 下, 函 数 f 在 x P r, bs 处 的 振 幅 ωpf, xq lim supt fpx q fpx q : x, x P px r, x ` rq X r, bsu. rñ` f 在 x 处 连 续 当 且 仅 当 ωpf, xq. 设 δ ą, 记 D δ tx P r, bs ωpf, xq ě δu, 则 f 的 不 连 续 点 ( 间 断 点 ) 全 体 为 D f 8 Ť D. 定 理 6.. (Lebsegue). 有 界 函 数 f 在 r, bs 上 Riem 可 积 的 充 分 必 要 条 件 是 它 的 不 连 续 点 集 D f 为 零 测 集. 证 明. ( 必 要 性 ) 设 f 在 r, bs 上 Riem 可 积. 固 定 δ ą, 任 给 ε ą, 存 在 r, bs 的 分 割 使 得 π : x ă x ă ă x b, i ω i x i ă ε δ. 如 果 x P D δ X px i, x i q, 则 显 然 ω i ě ωpf, xq ě δ. 因 此 从 上 式 可 得 ÿ D δ Xpx i,x i q H x i ă ε.

18 6. Riem 可 积 3 显 然 D δ Ă ď D δ Xpx i,x i q H px i, x i q ď `xi i ε 4p ` q, x i ` ε, 4p ` q 且 ÿ D δ Xpx i,x iq H x i ` 由 定 义 即 知 D δ 为 零 测 集. 这 说 明 Df Ť ε 4p ` q p ` q ă ε ` ε ε, ě D 为 零 测 集. ( 充 分 性 ) 设 fpxq ď x P r, bs. 由 假 设, D f 为 零 测 集, 故 任 给 ε ą, 存 在 开 区 间 tpα j, β j q j,, u, 使 得 D f Ă Ť pα j, β j q, 且 j ÿ ε pβ j α j q ď 4K `. j 对 于 x P r, bs Ť pα j, β j q, 因 为 f 在 x 处 连 续, 故 存 在 包 含 x 的 开 区 间 I x, 使 得 f j ε 在 I x 上 的 振 幅 小 于 pb q. 由 于 tpα j, β j q, I x u 为 紧 致 集 r, bs 的 一 个 开 覆 盖, 它 有 有 限 子 覆 盖, 且 由 下 面 的 Lebesgue 数 引 理, 可 取 r, bs 的 分 割 π : x ă x ă ă x b, 使 得 每 一 个 小 区 间 rx i, x i s 必 含 于 某 个 pα j, β j q 或 I x 中. 此 时 ÿ ÿ ω i x i ď ω i x i ` ω i x i i rx i,x i săpα j,β j q rx i,x i săi x ÿ ε ÿ ď K x i ` x i pb q rx i,x isăpα j,β jq rx i,x isăi x ď K ÿ ε pβ j α j q ` pb q pb q j ď K ε 4K ` ` ε ă ε. 因 此 f 在 r, bs 上 Riem 可 积. 引 理 6.. (Lebesgue 数 ). 设 tu α u αpγ 为 闭 区 间 r, bs 的 一 个 开 覆 盖, 则 存 在 正 数 λ ą, 使 得 任 何 长 度 不 超 过 λ 的 闭 区 间 I Ă r, bs 必 定 完 全 包 含 于 某 个 开 集 U α 中. 证 明. ( 反 证 法 ) 如 果 不 然, 则 存 在 一 列 闭 区 间 I,,,, 使 得 I ă, 但 I 均 不 是 任 何 U α 的 子 集. 记 I r, b s, 由 于 t u 为 有 界 点 列, 从 而 必 有 收 敛 子 列, 不 妨 设 t u 本 身 收 敛, 其 极 限 记 为 ξ P r, bs. 显 然, tb u 也 收 敛 到 ξ. 因

19 4 第 六 章 Riem 积 分 为 tu α u 为 r, bs 的 开 覆 盖, 故 存 在 某 个 α, 使 得 ξ P U α. 又 因 为 U α 为 开 集, 故 存 在 δ ą, 使 得 pξ δ, ξ ` δq Ă U α. 这 说 明, 当 充 分 大 时, 有, b P pξ δ, ξ ` δq Ă U α, 此 时 I r, b s Ă U α. 这 与 I 的 选 取 相 矛 盾. 利 用 Lebesgue 定 理 重 新 判 断 本 节 定 理 和 例 子 中 函 数 的 可 积 性 就 显 得 较 简 单 了, 请 读 者 自 行 完 成. 习 题 6.. 判 断 下 列 函 数 在 r, s 上 的 可 积 性 : $ &, x P Q, pq fpxq %, x P R Q. $ & sgpsi π x q, x, p3q fpxq %, x. $ & x, x P Q, pq fpxq %, x P R Q. $ & x p4q fpxq r xs, x, %, x.. 设 fpxq 在 r, bs 上 可 积, 则 fpx ` cq 在 r c, b cs 上 可 积, 且 3. 计 算 下 列 积 分 : fpxqdx c c fpx ` cqdx. pq ˇ ˇx ` b ˇ dx; pq ` b dx. `x 4. 设 fpxq 在 r, bs 上 可 积, gpxq 与 fpxq 只 在 有 限 个 点 处 不 同, 则 gpxq 也 可 积, 且 5. 设 fpxq 在 r, s 上 可 积, 且 fpxqdx ż gpxqdx. fpxq ą x P rα, βs. ( 提 示 : 用 反 证 法 估 计 上 和.) 6. 设 fpxq 为 r, s 上 的 非 负 可 积 函 数, 且 fpxqdx A ą. 证 明, 存 在 子 区 间 rα, βs, 使 得 ż 在 子 区 间 rα, βs, 使 得 fpxq ă x P rα, βs. fpxqdx. 证 明, 任 给 ε ą, 均 存 7. 设 fpxq 为 r, bs 上 的 连 续 函 数. 如 果 存 在 一 个 分 割, 使 得 关 于 该 分 割 的 上 和 与 下 和 相 等, 则 f 为 常 值 函 数.

20 6. 定 积 分 的 性 质 5 8. 设 fpxq 在 r, bs 上 可 积, 且 存 在 常 数 C ą, 使 得 fpxq ě C p ď x ď bq. 证 明 在 r, bs 上 也 是 可 积 的. f 9. 设 fpxq 在 r, bs 上 可 积, 则 函 数 fpxq if tfptqu, tpr,xs fpxq sup tf ptqu tpr,xs 也 是 r, bs 上 的 可 积 函 数.. 设 fpxq, gpxq 在 r, bs 上 可 积, 且 fpxq 与 gpxq 在 至 多 可 数 个 点 处 不 相 等, 则 fpxqdx gpxqdx.. p q 设 fpxq ą 为 r, bs 上 的 可 积 函 数, 证 明. p q 证 明 任 何 ( 非 退 化 的 ) 区 间 均 不 是 零 测 集. fpxqdx ą. 3. p q 设 f, g 均 为 可 积 函 数, 如 果 f 与 g 只 在 一 个 零 测 集 上 不 相 等, 则 它 们 的 积 分 相 等. ( 提 示 : 用 上 题, 考 虑 任 意 积 分 和.) 4. p q 设 f 可 积, 有 界 函 数 g 与 f 只 在 一 个 闭 的 零 测 集 上 不 相 等, 则 g 也 是 可 积 的, 且 它 们 的 积 分 相 等. 为 了 方 便 起 见, 我 们 约 定 6. 定 积 分 的 性 质 当 ă b 时, 当 b 时, ż b fpxqdx fpxqdx. fpxqdx, 且 定 理 6... pq 设 f, g 在 r, bs 上 可 积, λ, µ P R, 则 λf ` µg 在 r, bs 上 可 积, pλf ` µgqdx λ fpxqdx ` µ gpxqdx. pq 设 f 在 r, bs 上 可 积, c P p, bq, 则 f 在 r, cs 和 rc, bs 上 可 积, 且 fpxqdx ż c fpxqdx ` c fpxqdx.

21 6 第 六 章 Riem 积 分 时 从 而 有 证 明. pq 任 给 ε ą, 由 f, g 可 积 知, 存 在 δ ą, 当 r, bs 的 分 割 π 满 足 }π} ă δ ˇ fpξ i q x i i i fpxqdxˇ ă ε, ˇ rλfpξ i q ` µgpξ i qs x i λ ď λ ˇ fpξ i q x i i ď λ ε ` µ ε p λ ` µ q ε, ˇ 根 据 积 分 的 定 义 知, λf ` µg 可 积, 且 积 分 为 λ gpξ i q x i i fpxqdx ` µ gpxqdxˇ ă ε, gpxqdx ˇˇˇˇ fpxqdxˇ ` µ ˇ gpξ i q x i fpxqdx ` µ i gpxqdx. gpxqdxˇ pq 在 前 节 已 证 f 在 小 区 间 上 也 可 积. 设 π, π 分 别 是 r, cs 和 rc, bs 的 分 割, 当 }π } Ñ, }π } Ñ 时, π π Y π 也 满 足 条 件 }π} Ñ. 于 是 fpxqdx lim }π }Ñ }π }Ñ ż c ÿ π Yπ fpξ i q x i fpxqdx ` c fpxqdx. ÿ lim fpξ i q x i ` }π }Ñ π lim }π }Ñ ÿ π fpξ i q x i 注. 根 据 本 节 开 头 的 约 定, 如 果, b, c 属 于 f 的 某 可 积 区 间, 则 不 论 它 们 的 相 对 位 置 如 何, pq 中 等 式 仍 成 立. 定 理 6... pq 设 f 为 r, bs 上 的 非 负 可 积 函 数, 则 其 积 分 非 负 ; pq 如 果 f, g 在 r, bs 上 可 积, 且 fpxq ě gpxq, 则 fpxqdx ě gpxqdx. p3q 如 果 f 在 r, bs 上 可 积, 则 fpxq 也 可 积, 且 ˇ fpxqdxˇ ď f pxq dx. 证 明. pq 如 果 f 非 负 可 积, 则 其 积 分 和 总 是 非 负 的, 从 而 积 分 非 负. pq 由 定 理 6.. pq, f g 在 r, bs 上 可 积, 由 pq 知 ď pf gqdx fpxqdx gpxqdx.

22 6. 定 积 分 的 性 质 7 因 为 p3q 设 f 在 r, bs 上 可 积, 则 任 给 ε ą, 存 在 r, bs 的 分 割 π 满 足 ÿ ω i pfq x i ă ε. π ˇ ˇ fpxq fpyq ˇˇ ď fpxq fpyq, 故 ω i p f q ď ω i pfq, 从 而 ÿ ω i p f q x i ă ε, π 这 说 明 f 可 积. 因 为 ÿ ÿ ˇ fpξ i q x iˇˇˇ ď fpξ i q x i, π π 取 极 限 知 存 在 µ, ˇ fpxqdxˇ ď f pxq dx. 下 面 的 结 果 是 连 续 函 数 的 积 分 中 值 定 理 的 推 广. 定 理 6..3 ( 积 分 第 一 中 值 定 理 ). 设 f, g 在 r, bs 上 可 积, 且 gpxq 不 变 号, 则 if fpxq ď µ ď sup fpxq, 使 得 xpr,bs xpr,bs fpxqgpxqdx µ 证 明. 不 失 一 般 性, 可 设 gpxq ě. 则 由 定 理 6.. 知 if fpxq xpr,bs 上 式 说 明, 如 果 µ gpxqdx. ` if fpxq gpxq ď fpxqgpxq ď ` sup fpxq gpxq. xpr,bs xpr,bs fpxqgpxqdx gpxqdx gpxqdx ď gpxqdx, 则 f pxqgpxqdx ď, 则 if fpxq ď µ ď sup fpxq. xpr,bs xpr,bs 注. 中 值 定 理 又 称 中 值 公 式. 当 gpxq 时, sup fpxq xpr,bs gpxqdx. fpxqgpxqdx, 此 时 定 理 当 然 成 立. 不 然, 令 fpxqdx µ pb q.

23 8 第 六 章 Riem 积 分 引 理 如 果 fpxq 在 r, bs 上 可 积, 令 F pxq 则 F 是 r, bs 上 的 连 续 函 数. ż x fptqdt, x P r, bs, 证 明. 与 第 三 章 第 五 节 例?? 完 全 一 样, 略. 得 得 定 理 6..5 ( 积 分 第 二 中 值 定 理 ). 设 f 在 r, bs 上 可 积. pq 如 果 g 在 r, bs 上 单 调 递 减, 且 gpxq x P r, bs, 则 存 在 ξ P r, bs 使 fpxqgpxqdx gpq ż ξ fpxqdx. pq 如 果 g 在 r, bs 上 单 调 递 增, 且 gpxq x P r, bs, 则 存 在 η P r, bs 使 fpxqgpxqdx gpbq η fpxqdx. p3q 一 般 地, 如 果 g 为 r, bs 上 的 单 调 函 数, 则 存 在 ζ P r, bs, 使 得 证 明. pq 记 F pxq fpxqgpxqdx gpq ż x ż ζ fpxqdx ` gpbq ζ fpxqdx. fptqdt. 由 引 理 6..4 知 F 连 续, 故 达 到 最 大 值 M 和 最 小 值 m. 又 因 为 f 在 r, bs 上 可 积, 故 f 有 界. 设 fpxq ď x P r, bs. 因 为 g 单 调 递 减, 由 前 节 结 论, g 可 积. 从 而 任 给 ε ą, 存 在 r, bs 的 分 割 π : x ă x ă ă x b, 使 得 因 此 有 ( 注 意 F px q F pq ) ż xi ω i pgq x i ă ε. i f pxqgpxqdx fpxqgpxqdx i x i ż xi ż xi rgpxq gpx i qs fpxqdx ` gpx i q fpxqdx i x i i x i ż xi ď gpxq gpx i q fpxq dx ` gpx i q rf px i q F px i qs i x i i ÿ ď K ω i pgq x i ` F px i q rgpx i q gpx i qs ` F pbq gpx q i i ÿ ď K ε ` M rgpx i q gpx i qs ` M gpx q i K ε ` M gpq.

24 6. 定 积 分 的 性 质 9 对 于 fpxq, 上 式 成 为 ( 注 意 F 的 最 大 值 是 m) 结 合 以 上 两 个 不 等 式, 得 到 令 ε Ñ `, 有 如 果 gpq, 则 m gpq K ε ď fpxq gpxqdx ď K ε m gpq, m gpq ď fpxqgpxqdx ď M gpq ` K ε, fpxqgpxqdx ď M gpq. fpxqgpxqdx. 如 果 gpq ą, 则 有 m ď fpxqgpxqdx ď M, gpq 由 连 续 函 数 的 介 值 定 理, 存 在 ξ P r, bs 使 得 F pξq fpxqgpxqdx gpq F pξq gpq fpxqgpxqdx. 即 gpq ż ξ fpxqdx. pq 令 F pxq fptqdt, F 的 最 大 值 记 为 M. 与 pq 类 似, 有 x ż xi f pxqgpxqdx fpxqgpxqdx i x i ż xi ż xi rgpxq gpx i qsfpxqdx ` gpx i q fpxqdx i x i i x i ď K ω i pgq x i ` gpx i qr F px i q F px i qs i i ď K ε ` gpx q F ÿ px q ` F px i qrgpx i` q gpx i qs i ď K ε ` M gpx q ` M ÿ rgpx i` q gpx i qs K ε ` M gpbq. i 剩 下 的 证 明 和 pq 类 似.

25 第 六 章 Riem 积 分 p3q 先 设 g 单 调 递 减, 令 hpxq gpxq gpbq, 则 h 单 调 递 减, 且 h ě. 由 pq, 存 在 ζ P r, bs, 使 得 ż ζ fpxq hpxqdx hpq fpxqdx. 将 hpxq gpxq gpbq 代 入 上 式, 化 简 即 得 欲 证 结 论. g 单 调 递 增 的 情 况 留 作 习 题. 注. 在 定 理 的 证 明 过 程 中 用 到 了 求 和 的 Abel 变 换 技 巧, 进 一 步 的 讨 论 和 应 用 请 参 见 第 八 章 第 三 节. 例 6... 证 明 lim Ñ8 ż x dx. ` x 证 明. 当 x P r, s 时, ď ` x ď, 故 ż x dx ď ż x ` x dx ď x ď x ` x ď x, ż x dx. Ñ `8 时, 上 式 两 边 极 限 为. 本 例 也 可 以 用 第 一 中 值 公 式 证 明. 例 6... 设 β ě, b ą ą, 证 明 ˇ si x e βx x dxˇˇˇ ď. 证 明. 对 e βx gpxq x, fpxq si x 用 积 分 第 二 中 值 公 式, 此 时 存 在 ξ P r, bs, 使 得 si x e βx e β ż ξ e β x dx si x dx pcos cos ξq, 这 说 明 欲 证 结 果 成 立. 例 证 明 lim AÑ8 ˇ ż A si x e βx x si x x dx 存 在. e β dxˇˇˇ ď ď, 证 明. 在 上 例 中 取 β, 则 当 B ą A ą 时, 有 ˇ ż B ż si x A ż x dx si x B x dxˇˇˇ si x ˇˇˇ A x dxˇˇˇ ď Ñ pa Ñ 8q, A 由 Cuchy 收 敛 准 则 即 知 欲 证 极 限 存 在. 例 p q 证 明 区 间 不 是 零 测 集.

26 6. 定 积 分 的 性 质 证 明. 只 要 对 闭 区 间 证 明 就 可 以 了. 设 闭 区 间 r, bs 被 有 限 个 区 间 ti i u 所 覆 盖, 不 妨 设 I i 均 包 含 于 r, bs. 记 χ i 为 I i 的 特 征 函 数, 即 χ i pxq, 当 x P I i ; χ i pxq, 当 x R I i. 于 是 χ i 为 r, bs 上 的 可 积 函 数, 且 χ i pxq dx I i. 由 ti i u 覆 盖 r, bs 可 知 ÿ χ i pxq x P r, bs. 因 此 有 ÿ I i ÿ i i i χ i pxq dx i ÿ χ i pxq dx ě b. 如 果 r, bs 被 一 列 开 区 间 覆 盖, 则 存 在 有 限 子 覆 盖, 于 是 上 述 论 证 表 明 这 些 开 区 间 的 长 度 之 和 不 小 于 b. 特 别 地, r, bs 不 是 零 测 集. 例 6..5 ( 阶 梯 逼 近 ). 设 fpxq 为 r, bs 上 的 可 积 函 数, 则 任 给 ε ą, 存 在 阶 梯 函 数 gpxq, 使 得 fpxq gpxq dx ă ε. 证 明. 因 为 f 可 积, 故 任 给 ε ą, 存 在 r, bs 的 分 割 π : x ă x ă x ă ă x b, 使 得 ω i pfq x i ă ε. 在 r, bs 上 定 义 阶 梯 函 数 g, 使 得 gpxq fpx i x P rx i, x i q, i,,,. i 则 fpxq gpxq dx ď ż xi i ż xi i ż xi i x i fpxq gpxq dx x i fpxq fpx i q dx ω i pfqdx x i ω i pfqpx i x i q ă ε. i

27 第 六 章 Riem 积 分 因 此 gpxq 就 是 所 求 阶 梯 函 数. 注. 显 然, 我 们 构 造 的 阶 梯 函 数 还 满 足 条 件 使 得 if fpxq ď g ď sup fpxq. xpr,bs xpr,bs 例 6..6 (Riem-Lebesgue). 设 fpxq 为 r, bs 上 的 可 积 函 数, 则 lim λñ`8 fpxq si λxdx, lim λñ`8 fpxq cos λxdx. 证 明. 以 第 一 个 极 限 为 例. 因 为 f 可 积, 故 任 给 ε ą, 存 在 r, bs 的 分 割 π : x ă x ă x ă ă x b, ω i pfq x i ă ε. i 又 因 为 f 有 界, 故 存 在 K, 使 得 fpxq ď x P r, bs. 于 是 当 λ ą 4K 时, 有 ε ż xi ˇ fpxq si λxdxˇ ˇ fpxq si λxdxˇ i x i ż xi ż xi ˇ rfpxq fpx i qs si λxdx ` fpx i q si λxdxˇ i x i i x i ż xi ż xi ď fpxq fpx i q dx ` fpx i q ˇ si λxdxˇ i x i i x i ď ω i pfq x i ` K λ cos λx i cos λx i i ă ε ` K λ ă ε. i 这 说 明 第 一 个 极 限 等 式 成 立. 第 二 个 极 限 等 式 同 理 可 证. 习 题 6.. 如 果 f, g 在 r, bs 上 可 积, 则 mxtf, gu 及 mitf, gu 均 可 积.. 设 fpxq 是 r, bs 上 定 义 的 函 数. 如 果 f pxq 可 积, 则 fpxq 也 可 积. 3. 举 例 说 明, 可 积 函 数 的 复 合 不 一 定 可 积. ( 提 示 : 考 虑 符 号 函 数 和 Riem 函 数 的 复 合.) 4. 设 fpxq 在 r, bs 上 可 积, 证 明 存 在 ξ P r, bs, 使 得 ż ξ fpxqdx ξ fpxqdx.

28 6. 定 积 分 的 性 质 3 5. 设 fpxq, gpxq 在 r, bs 上 可 积, 则 有 如 下 Cuchy-Schwrz 不 等 式 : ı fpxqgpxq dx ď f pxq dx 6. 设 fpxq ě 在 r, bs 上 可 积, λ P R, 则 fpxq cos λx dx ` ( 提 示 : f? f?f, 用 上 题.) 7. 比 较 下 列 各 题 中 积 分 的 大 小 : g pxq dx.. fpxq si λx dx ď fpxq dxı pq si 4 x dx 与 si 3 x dx; pq ż e x dx 与 ż e x dx. 8. 设 fpxq 为 r, s 上 的 可 积 函 数, 则 lim Ñ`8 ż x fpxqdx. ż 9. 设 fpxq 为 r, s 上 的 连 续 函 数, 则 lim x fpxqdx fpq. ( 提 示 : x 在 Ñ`8 r, s 上 积 分 趋 于, 在 r, δs 上 很 小, 如 果 ă δ ă.). 证 明 : pq lim si x dx ; Ñ8 ż `p cos x lim dx pp ą q. Ñ8 x. p q 设 fpxq 为 r, bs 上 的 可 积 函 数, 则 任 给 ε ą, 存 在 连 续 函 数 gpxq, 使 得 if f ď gpxq ď sup f, 且 fpxq gpxq dx ă ε.. p q 设 fpxq 在 rc, ds 上 可 积, 设 r, bs Ă pc, dq, 则 lim hñ fpx ` hq fpxq dx. 3. p q 设, b ą, fpxq 在 r, bs 上 非 负 可 积, 且 x fpxqdx ď b fpxqdx. xfpxqdx, 则 4. p q 设 fpxq, gpxq 为 r, bs 上 同 时 单 调 递 减 或 同 时 单 调 递 增 函 数, 则 fpxqgpxqdx ě b fpxqdx gpxqdx.

29 4 第 六 章 Riem 积 分 6.3 微 积 分 基 本 公 式 定 理 6.3. ( 微 积 分 基 本 定 理 ). 设 f 在 r, bs 上 可 积, 且 在 x P r, bs 处 连 续, 则 F pxq ż x fptqdt 在 x 处 可 导, 且 F px q fpx q. 证 明. 与 定 理?? 相 同, 略. 推 论 设 f 在 r, bs 上 连 续, upxq : pc, dq Ñ r, bs 与 vpxq : pc, dq Ñ r, bs 为 可 微 函 数, 则 有 得 ż upxq vpxq 证 明. 应 用 复 合 函 数 求 导 的 链 规 则, 有 ż upxq vpxq fptqdt fpupxqqu pxq fpvpxqqv pxq. ż upxq fptqdt fptqdt ż u 例 设 F pxq 解. 在 t 处 定 义 ż vpxq fptqdt fptqdt u ˇˇˇu upxq pxq fpupxqqu pxq fpvpxqqv pxq. ż x x si t t F pxq sipxq x ż vpxq si t dt, 求 F pxq 及 F pq. t 为, 此 时 sip xq x 特 别 地, 当 x 时, F pq ` 3. si t t fptqdt v ˇˇˇv vpxq pxq 为 R 上 的 连 续 函 数. 由 上 述 推 论 可 p q psi x ` si xq x 定 理 (Newto-Leibiz 公 式 ). 设 F 在 r, bs 上 可 微, 且 F f 在 r, bs 上 Riem 可 积, 则 ` 此 式 又 写 为 fpxqdx F pbq F pq. F ˇ pxqdx F pbq F pq F pxq 证 明. 任 取 r, bs 的 一 个 分 割 π : x ă x ă x b, 由 微 分 中 值 定 理, 存 在 ξ i P px i, x i q, 使 得 F px i q F px i q F pξ i qpx i x i q fpξ i q x i, i,,. ˇb.

30 6.3 微 积 分 基 本 公 式 5 因 此 F pbq F pq rf px i q F px i qs i 因 为 f 可 积, 故 当 }π} Ñ 时 上 式 右 边 趋 于 这 就 证 明 了 公 式. F pbq F pq fpξ i q x i, i fpxq dx, 这 说 明 fpxq dx. 注. () 本 定 理 结 论 与 第 四 章 第 三 节 相 应 的 定 理 一 样, 只 是 条 件 弱 一 些, 读 者 可 比 较 两 处 的 证 明 有 何 不 同. () 需 要 注 意 的 是, 可 微 函 数 的 导 函 数 不 一 定 是 可 积 的, 如 函 数 $ & x si x, x, F pxq %, x, 在 r, s 上 可 微, 其 导 函 数 为 $ & F x si x pxq x cos x, x, %, x, 这 是 无 界 函 数, 因 此 不 是 Riem 可 积 的. 进 一 步 还 可 以 构 造 导 函 数 有 界 但 不 可 积 的 例 子. 这 说 明 例 设 f 在 r, bs 上 连 续 可 微, fpq, 则 证 明. 我 们 先 来 估 计 f pxq: f pxqdx ď pb q f pxq `fpxq fpq ż x ď ż x ď px q rf ptqs dt f pxqdx ď ż x rf ptqs dt, rf pxqs dx. ı f ptqdt dt pcuchy Schwrzq px q rf ptqs dt pb q rf ptqs dt dx px q ˇ ˇb rf pxqs dx.

31 6 第 六 章 Riem 积 分 定 理 ( 换 元 法 ). 设 fpxq 在 r, bs 上 连 续, x φptq 在 rα, βs 上 连 续 可 微, 且 φprα, βsq Ă r, bs, φpαq, φpβq b, 则 fpxqdx ż β α fpφptqq φ ptqdt. 证 明. 因 为 f 连 续, 由 微 积 分 基 本 定 理, f 有 原 函 数 F, 即 F pxq fpxq, 故 再 由 Newto-Leibiz 公 式, ż β α rf pφptqqs F pφptqq φ ptq fpφptqq φ ptq. fpφptqq φ ptqdt ż β α rf pφptqqs dt F pφptqqˇˇβ α F pbq F pq F pφpβqq F pφpαqq fpxqdx. 注. pq 根 据 定 理 可 知, 关 于 φptq 的 条 件 可 以 降 低, 只 要 φ ptq 可 积, 则 定 理 仍 成 立 ; Gpxq pq 对 于 可 积 ( 不 一 定 连 续 ) 的 f, 下 面 一 般 的 换 元 公 式 仍 成 立 : ( 一 般 的 换 元 法 ) 设 函 数 gptq 在 rα, βs 上 Riem 可 积, 固 定 c P rα, βs 令 ż x c gptq dt, 则 G 为 连 续 函 数. 设 f 在 区 间 Gprα, βsq 上 可 积, Gpαq, Gpβq b, 则 fpgptqqgptq 在 rα, βs 上 可 积, 且 fpxqdx ż β α f pgptqqgptqdt. 我 们 来 证 明 上 述 一 般 换 元 公 式 的 一 个 特 殊 情 形, 它 对 于 大 多 数 应 用 已 经 足 够 了, 一 般 的 情 形 参 见 第 十 四 章 附 录. 定 理 ( 换 元 法 之 二 ). p q 设 φ 为 rα, βs 上 的 单 调 可 微 函 数, 且 φ 可 积. 如 果 f 在 区 间 φprα, βsq 上 可 积, φpαq, φpβq b, 则 fpφptqqφ ptq 在 rα, βs 上 可 积, 且 fpxqdx ż β α fpφptqqφ ptqdt. 证 明. 不 妨 设 φ 是 单 调 递 增 函 数. 任 取 rα, βs 的 一 个 分 割 则 得 到 r, bs 的 一 个 如 下 分 割 π : α t ă t ă ă t β, π : φpαq x ď φpt q x ď ď φpt q x b,

32 6.3 微 积 分 基 本 公 式 7 这 个 分 割 中 可 能 有 相 同 的 分 点. 根 据 微 分 中 值 定 理, 存 在 ζ i P pt i, t i q, 使 得 φpt i q φpt i q φ pζ i qpt i t i q, 特 别 地, 因 为 φ 可 积, 从 而 是 有 界 函 数, 上 式 就 表 明 当 }π} 趋 于 零 时, }π } 也 趋 于 零. 由 φ 的 单 调 性 知 φpζ i q P rφpt i q, φpt i qs rx i, x i s, 因 此 下 面 的 和 fpφpζ i qqpφpt i q φpt i qq i 仍 为 f 在 r, bs 上 的 一 个 Riem 和, 且 和 lim }π}ñ i fpφpζ i qqpφpt i q φpt i qq fpxqdx. 另 一 方 面, 任 取 ξ i P rt i, t i s, 考 虑 函 数 fpφptqqφ ptq 关 于 分 割 π 的 Riem ř fpφpξ i qqφ pξ i qpt i t i q, 我 们 有 如 下 估 计 i ˇ fpφpζ i qqpφpt i q φpt i qq fpφpξ i qqφ pξ i qpt i t i qˇ i i ď ˇ rfpφpζ i qq fpφpξ i qqspφpt i q φpt i qqˇ ď i ` ˇ fpφpξ i qqpφ pζ i q φ pξ i qqpt i t i qˇ i i ω i pfq x i ` sup f pxq xpr,bs ω i pφ q t i, 根 据 f 和 φ 的 可 积 性 可 知, 当 }π} Ñ 时 上 式 最 后 的 不 等 号 的 右 端 趋 于 零, 因 此 fpφptqqφptq 的 Riem 和 收 敛, 且 极 限 为 f 在 r, bs 上 的 积 分. 定 理 ( 分 部 积 分 ). 设 upxq, vpxq 在 r, bs 上 可 微 且 导 函 数 可 积, 则 i upxqv ˇ pxqdx upxqvpxq ˇb u pxqvpxqdx. 证 明. 在 题 设 条 件 下, 函 数 upxqv pxq 和 u pxqvpxq 都 是 可 积 的. 由 定 理 得 定 理 得 证. upxqv pxqdx ` u pxqvpxqdx `upxqv pxq ` u pxqvpxq dx puvq ˇ pxqdx upxqvpxq ˇb.

33 8 第 六 章 Riem 积 分 例 求 下 列 积 分 pq ż? π 解. pq 因 为 t si t dt; pq ` si t ż? x x 4 dx p ą q; p3q x si x ` cos x dx. t si t t si t cos t si t psi t q, 故 令 x si t, 有 积 分 ż x dx rx lp ` xqsˇˇˇ l. ` x pq 令 x cos t, π 当 x 从 变 到 时, t 从 变 到 3, 故 (3) 记 积 分 I 3 对 后 一 积 分 令 x π t, 有 因 此 π x si t ` cos x dx I π si t cos tdt x si x ` cos x dx x si x ` cos x dx ` π ż 例 计 算 积 分 pm P Z`q I m π π tq si t pπ ` cos t dt 3 si3 tˇ si t ` cos t dt π 3 x si x ` cos x dx, si t ` cos t dt π` rctpcos tq ˇˇˇ si m x dx, J m? 3 8. t si t ` cos t dt, cos m x dx. 解. 用 分 部 积 分 法. 易 见 I π{, I. 当 m ě 时 I m si m x dx p si m xqpcos xqˇˇ π ` si m x dpcos xq pm q si m x p si xq dx pm qi m pm qi m, π π 4. pm q si m x cos x dx

34 6.3 微 积 分 基 本 公 式 9 因 此 I m m m I m. 从 而 有 I I 3 I 4 p q!! π pq!!. 同 理 可 得 I ` pq!! p ` q!!. 利 用 变 换 x π t 知 J m I m. 注. 注 意 到 当 ď x ď π{ 时, si ` x ď si x ď si x, 因 此 有 代 入 上 述 计 算 结 果, 得 或 改 写 为 上 式 两 端 之 差 小 于 pq!! p ` q!! I ` ď I ď I, p q!! π p q!! ď ď pq!! p q!!, pq!! ı π ď ` p q!! ď π, 故 极 限 存 在 且 为 π lim Ñ8 pq!! p q!! pq!! p q!! ı, π, 这 就 得 到 了 下 面 的 Wllis 公 式 : ı `. 例 设 f 是 周 期 为 T 的 可 积 周 期 函 数. 则 对 任 意 的 P R, 有 ż `T fpxqdx ż T fpxqdx. 证 明. ż `T ż ż T fpxqdx fpxqdx ` fpxq ` 最 后 的 一 项 积 分 通 过 变 换 x t ` T 成 为 ż 代 入 前 式 就 得 到 了 等 式 的 证 明. fpt ` T qdt ż fptqdt, ż `T T fpxqdx. 例 p q 设 f 为 r, bs 上 的 可 积 函 数, 则 其 中 F pxqdx F pxq ż x fptqdt, pb xqfpxqdx, x P r, bs.

35 3 第 六 章 Riem 积 分 证 明. 先 设 f 连 续. 此 时 F 可 导, 且 F f. 由 分 部 积 分 法 可 得 ˇ F pxqdx F pxqx bf pbq ˇb F pxqxdx xfpxqdx 对 于 一 般 的 情 形, 任 给 ε ą, 存 在 连 续 函 数 g, 使 得 此 时, 令 Gpxq 则 有 F pxq Gpxq ˇ 并 且 于 是 ˇ F pxqdx fpxq gpxq dx ď ε. ż x ż x Gpxqdx gptqdt, pb xqfpxqdxˇ ˇ ď x P r, bs, `fptq gptq dtˇˇˇ ď ε, pb xqgpxqdx. pb x P r, bs, b `F pxq Gpxq dx ż pb xq`fpxq gpxq dxˇ ˇ ˇF pxq Gpxqˇˇdx ` ď pb qε ` pb q ď pb qε, pb xq fpxq gpxq dx fpxq gpxq dx 由 ε 的 任 意 性 即 知 欲 证 等 式 对 f 成 立. 习 题 6.3. 求 下 列 各 导 数 : pq d dx ż cos x ` t dt, pq d ż x dx si x dt ` si t, p3q d dx sipx ` tqdt.. 计 算 下 列 积 分 : pq p4q p7q żπ ż π cos xdx; pq si x dx ` cos x ; p5q cos x cos 4x dx; p8q ż 4 ż π ż ` x? x dx; p3q si 3 x dx; x x dx; p6q p9q ż ż π ż π? x dx; x cos x dx; lp ` xq ` x dx.

36 6.3 微 积 分 基 本 公 式 3 3. 计 算 下 面 的 积 分, 并 利 用 它 们 证 明 3 ` {5 ă π ă 3 ` {7: pq ż p x qx 4 ` x dx; pq ż p xq 4 x 4 ` x dx. 4. 利 用 积 分 求 下 列 极 限 : pq lim p Ñ8 ` ` ` q; pq lim Ñ8 psi π ` si π p3q lim Ñ8 5. 求 下 列 极 限 : 4 p ` 3 ` ` 3 q. ` ` si πq; pq lim xñ x 4 ż x si 3 tdt; pq lim xñ x ż x cos t dt; p3q lim xñ`8 ż x e t dt dt. ż x e t 6. 设 m, 为 非 零 整 数, 则 pq pq p3q ż π π ż π π π si mx dx π si mx si x dx cos mx dx π, si mx cos x dx. π 7. 用 递 推 公 式 求 下 列 积 分 ( m, 为 非 负 整 数 ): cos mx cos x dx pm q, pq p4q p7q ż x żπ żπ 4 dx; pq ` x cos x si xdx; t xdx; p5q p8q ż żπ żπ x dx; p3q ` x cos x cos xdx; si x si x dx; p6q p9q ż żπ żπ p x q dx; cos m x si xdx; si x si x dx. 8. 如 果 fpxq 为 r, s 上 的 连 续 函 数, 则 并 利 用 这 个 等 式 计 算 积 分 9. 计 算 下 列 积 分 : xfpsi xqdx π x si x ` cos x dx. fpsi xqdx, pq ż lp ` xq ` x dx; pq ż rct x ` x dx.

37 3 第 六 章 Riem 积 分. 设 ă α, β ă, 证 明 ż dx? αx ` α βx ` β? l `?αβ αβ?αβ.. 设 fpxq 在 r, bs 上 二 阶 连 续 可 导, 则 fpxqdx rfpq ` fpbqspb q ` px qpx bqf pxqdx.. 设 fpxq 在 r, bs 上 连 续 可 微, 且 fpq fpbq. 证 明, 存 在 ξ P p, bq, 使 得 ż f 4 b ˇ pξq ě ˇˇˇ pb q fpxqdxˇ. ( 提 示 : 考 虑 px `b qf pxq 的 积 分.) 3. 设 fpxq 是 周 期 为 T, 且 在 闭 区 间 上 可 积 的 函 数, 则 lim λñ8 λ ż λ 4. p q 设 fpxq 在 r, s 上 连 续, 证 明 lim Ñ8 ż 5. p q 设 fpxq 在 r, s 上 连 续, 证 明 lim hñ` ż fpxqdx T ż T fpxqdx. fpxq ` x dx π fpq. hfpxq h dx πfpq. ` x 6.4 定 积 分 的 近 似 计 算 本 节 内 容 可 以 作 为 选 读 材 料. 虽 然 利 用 微 积 分 基 本 公 式 可 以 很 方 便 地 算 出 很 多 定 积 分, 但 如 果 被 积 函 数 的 原 函 数 没 有 显 式 表 示, 或 者 被 积 函 数 比 较 复 杂, 直 接 利 用 微 积 分 基 本 公 式 往 往 不 太 实 际. 为 此 我 们 在 本 节 介 绍 一 些 初 步 的 近 似 计 算 方 法, 并 讨 论 误 差 估 计. () 矩 形 公 式 设 f 为 r, bs 上 的 可 积 函 数. 取 c P r, bs, 我 们 可 以 近 似 的 用 矩 形 的 面 积 fpcqpb q 来 估 算 f 在 r, bs 上 的 积 分. 为 了 估 计 误 差, 设 f 可 微, 且 f pxq ď x P p, bq. 由 微 分 中 值 定 理, 有 ˇ fpxqdx fpcqpb qˇ ˇ ď pfpxq fpcqqdxˇ ˇ f pξqpx cqdxˇ f pξq x c dx ď M x c dx M rpc q ` pb cq s.

38 6.4 定 积 分 的 近 似 计 算 33 从 上 式 可 以 看 出, 当 c ` b 时 误 差 估 计 达 到 最 优. 即 有 ˇ ` b fpxqdx f` pb qˇˇˇ ď 4 M pb q. (6.) 注 意 到, 如 果 f 为 线 性 函 数, 则 上 式 左 端 为 零 ( 即 误 差 为 零 ), 而 右 端 并 不 能 反 映 出 这 一 点. 现 在 我 们 进 一 步 设 f 二 阶 可 微, 且 f ` b pxq ď x P r, bs. 将 f 在 处 做 Tylor 展 开, 得 两 边 积 分, 得 因 此 有 ˇ 分, 即 令 fpxq f` ` b ` f ` ` b ` b fpxqdx f` pb q ` fpxqdx fp ` b qpb qˇˇˇ ď M ` b `x ` f pξq`x ` b, f pξq`x ` b dx, ` b dx `x 4 M pb q 3. (6.) 一 般 地, 我 们 将 区 间 r, bs 作 等 分, 在 每 一 个 小 区 间 上 均 用 矩 形 面 积 逼 近 积 R i i ` x i b f`x b i 称 为 f 在 r, bs 上 的 矩 形 公 式. 当 f 可 微 时, 误 差 估 计 为 ˇ fpxqdx R ˇˇˇ ď 当 f 二 阶 可 微 时, 误 差 估 计 为 ˇ () 梯 形 公 式 fpxqdx R ˇˇˇ ď i i f` ` i pb q, (6.3) 4 M `b M 4 pb q ; (6.4) 4 M `b 3 M 4 pb q3. (6.5) 设 f 为 r, bs 上 的 连 续 函 数, 如 果 f 二 阶 可 微, 且 f pxq ď x P r, bs, 则 由 第 五 章 第 四 节 (??) 式 可 得 fpxq lpxq ď M px qpb xq, x P r, bs, 其 中 lpxq x b b fpq ` x b fpbq, x P r, bs.

39 34 第 六 章 Riem 积 分 因 此 有 lpxqdx 这 也 就 是 梯 形 面 积 公 式. 我 们 有 如 下 误 差 估 计 ˇ fpxqdx fpq ` fpbq pb qˇ ď M fpq ` fpbq pb q, px qpb xqdx M pb q3. (6.6) 将 区 间 r, bs 作 等 分, 在 每 一 个 小 区 间 上 均 用 梯 形 面 积 逼 近 积 分, 则 得 到 f 的 梯 形 公 式 T i fpx i q ` fpx i q b b 相 应 地 有 误 差 估 计 ˇ fpxqdx T ˇˇˇ ď (3) Simpso 公 式 i ÿ i M f` ` i pb q ` fpq ` fpbq ı. (6.7) `b 3 M pb q3. (6.8) 设 f 三 阶 可 微, 且 f 3 pxq ď M x P r, bs. 考 虑 经 过 平 面 上 三 点 的 抛 物 线, 即 考 虑 满 足 条 件 p, fpqq, ` ` b, fp ` b q, pb, fpbqq p pq fpq, p ` ` b 的 二 次 插 值 多 项 式, 其 表 达 式 为 p pxq `b px qpx bq p `b qp bq fpq` px qpx bq p `b qp `b 直 接 的 计 算 表 明 p pxqdx b 6 ` b f`, p pbq fpbq f` ` b bq ` b fpq ` 4f` ` fpbq, ` px qpx `b q pb qpb `b q fpbq, 这 是 f 在 r, bs 上 的 近 似 积 分, 称 为 一 次 抛 物 线 公 式 或 Simpso 公 式. 根 据 插 值 多 项 式 的 余 项 公 式, 有 因 此 fpxq p pxq 6 f 3 pξqpx q`x ` b px bq, ξ P p, bq. ˇ fpxqdx b ` b fpq ` 4f` ` fpbq ˇˇˇ 6 ď 6 M 3 px qˇˇx ` b ˇ ˇpb xqdx M 3 9 pb q4. (6.9)

40 6.4 定 积 分 的 近 似 计 算 35 注 意 到 px q`x ` b px bqdx, 因 此 这 个 误 差 估 计 达 不 到 最 优. 下 面 假 设 f 四 阶 可 微. 我 们 选 定 常 数 µ, 使 得 函 数 在 ` b gpxq fpxq p pxq µpx q`x ` b px bq 处 的 导 数 为 零. 设 c, ` b, b. 考 虑 辅 助 函 数 F pxq gpxq gpcq pc qpc `b q pc bq px q`x ` b px bq, 于 是 F pq F p `b q F pbq F pcq, F p `b q. 由 Rolle 定 理, 存 在 三 个 不 同 的 点 ξ, ξ, ξ 3 使 得 F pξ q F pξ q F pξ 3 q, ` b 这 三 个 点 与 也 不 相 同, 因 此 对 F 继 续 重 复 使 用 Rolle 定 理, 就 得 到 点 ξ, 使 得 F p4q pξq. 即 改 写 为 (c 换 成 x) 在 r, bs 上 积 分, 得 f p4q pξq gpcq pc qpc `b 4!, q pc bq gpxq 4 f p4q pξqpx q`x ` b px bq, fpxqdx b ` b fpq ` 4f` ` fpbq 6 f p4q pξqpx q`x ` b px bqdx, 4 如 果 f p4q pxq ď M 4, 则 有 下 面 的 误 差 估 计 ˇ ď 4 M 4 fpxqdx b ` b fpq ` 4f` ` fpbq ˇˇˇ 6 px q`x ` b pb xqdx M 4 8 ˆ 4 pb q5. (6.) 我 们 也 可 以 将 区 间 r, bs 作 等 分, 在 每 个 小 区 间 上 用 抛 物 线 逼 近 函 数 得 到 一 般 的 Simpso 公 式 : S i b 6 i ` x i fpxi q ` 4f`x ` fpxi q. (6.)

41 36 第 六 章 Riem 积 分 误 差 估 计 分 别 如 下. 当 f 三 阶 可 微 时, 当 f 四 阶 可 微 时, ˇ ˇ (4) Newto-Cotes 公 式 fpxqdx S ˇˇˇ ď M pb q4 ; (6.) fpxqdx S ˇˇˇ ď M 4 8pq 4 pb q5. (6.3) 我 们 可 以 将 上 述 积 分 的 近 似 逼 近 过 程 继 续 做 下 去, 即 用 高 阶 插 值 多 项 式 来 逼 近 f. 例 如, 将 区 间 r, bs 分 为 m 等 分, 分 点 为 x i ` i pb q, i,,, m. m 考 虑 在 tx i u 处 与 f 取 相 同 值 的 Lgrge 插 值 多 项 式 p m, p m pxq mÿ ź x x j fpxi q, x i x j i j i 我 们 把 p m 的 积 分 看 成 f 的 积 分 的 近 似 值 : p m pxqdx pb q i mÿ Cpm, iqfpx i q, (Newto-Cotes) 其 中, 系 数 Cpm, iq 与 f 无 关 : Cpm, iq b p q m i m i!pm iq! ź x x j dx x i x j m j i ż m ź pt jqdt. j i ż m ź j i t j i j dt 如 果 f 是 m ` 阶 可 微 函 数, 则 由 插 值 多 项 式 的 余 项 公 式, 有 fpxq p m pxq f pm`q pξq pm ` q! 如 果 f pm`q pxq ď M m`, 则 有 如 下 误 差 估 计 ˇ fpxqdx mź px x i q, i p m pxqdxˇ ď M m` pm ` q! mź x x i dx i M m`pb q m` pm ` q!m m` ż m mź t i dt. 关 于 积 分 近 似 计 算 的 其 它 公 式, 读 者 可 参 考 其 它 专 门 著 作, 我 们 不 再 赘 述. 例 计 算 积 分 π 4 ż ` x dx 的 近 似 值. i

42 6.4 定 积 分 的 近 似 计 算 37 解. 以 为 例. 矩 形 公 式 计 算 积 分 为 梯 形 公 式 计 算 积 分 为 T Simpso 公 式 计 算 积 分 为 R fp 4 q ` fp3 4 q «.79; fpq ` fp q ` fpq 3 4 «.775; S fpq ` 4fp 4 q ` fp q ` 4fp3 4 q ` fpq 8 « 根 据 第 四 章 第 二 节 中 高 阶 导 数 的 计 算, 函 数 fpxq ` x 的 四 阶 导 数 可 以 写 为 f p4q pxq prct xq p5q 4 cos 5 prct xq si 5prct x ` π q, 因 此 f p4q pxq ď 4. 这 说 明 的 Simpso 公 式 的 误 差 要 小 于 实 际 的 误 差 比 这 个 还 要 小. 习 题 ă.5.. 证 明 矩 形 公 式 和 梯 形 公 式 之 间 满 足 下 面 的 关 系 : R T T.. 证 明 矩 形 公 式, 梯 形 公 式 和 Simpso 公 式 之 间 满 足 下 面 的 关 系 : S 3 R ` 3 T. 3. 是 否 存 在 常 数 C, 使 得 对 于 满 足 条 件 f 3 pxq ď M 的 任 意 函 数 f 有 如 下 估 计 : ˇ fpxqdx fpq ` fpbq pb qˇ ď CMpb q 设 fpxq 在 r, bs 上 二 阶 连 续 可 微, 则 存 在 ξ P p, bq, 使 得 ` b fpxqdx pb qf` ` 4 pb q3 f pξq.

43 38 第 六 章 Riem 积 分 5. 设 fpxq 在 r, bs 上 连 续 可 微, 且 f pxq ď x P r, bs. 证 明 ˇ fpxqdx fpq ` fpbq pb qˇ ď 4 Mpb q. 6. 分 别 设 f 的 一 次 导 数 和 二 次 导 数 有 界, 试 估 计 Simpso 公 式 的 误 差. 7. 证 明 Newto-Cotes 公 式 中 的 系 数 满 足 下 面 的 等 式 : Cpm, iq Cpm, m iq, ď i ď m; mÿ Cpm, iq. i 8. 计 算 由 三 次 插 值 多 项 式 给 出 的 Newto-Cotes 积 分 近 似 公 式. 9. 将 区 间 r, bs 等 分 为 k 个 小 区 间, 分 点 为 x i ` i pb q, i,,, k. k 证 明 kź i px x i qdx.. 设 f 为 k ` 阶 可 微 函 数, p k 是 f 的 插 值 多 项 式, 证 明 存 在 ξ 使 得 fpxqdx p k pxqdx pk ` q! f pk`q pξq`x ` b. 分 别 用 矩 形 公 式, 梯 形 公 式 和 Simpso 公 式 计 算 积 分 l 要 求 精 确 到 小 数 点 后 第 二 位.. 设 f 在 r, bs 上 4 阶 连 续 可 微, 用 分 部 积 分 证 明 下 面 的 公 式 : 4 fpxqdx fpq ` fpbq pb q ź k px x i qdx. ż i f p4q pxqpx q px bq dx pb q rf pbq f pqs. x dx 的 近 似 值,

44 第 七 章 积 分 的 应 用 和 推 广 我 们 在 这 一 章 里 先 考 虑 定 积 分 在 几 何 上 的 一 些 应 用, 例 如 计 算 简 单 图 形 的 面 积 或 体 积, 求 曲 线 的 弧 长 等 等. 需 要 指 出 的 是, 关 于 这 些 应 用 的 更 严 格 的 理 论 探 讨 应 参 见 第 十 三 章 和 第 十 四 章. 我 们 利 用 积 分 的 梯 形 面 积 公 式 及 其 误 差 估 计 还 重 新 给 出 了 计 算 阶 乘 的 Stirlig 公 式. 最 后 几 节 则 将 积 分 推 广 到 一 般 的 区 间 以 及 可 能 是 无 界 的 函 数 上, 并 给 出 了 若 干 积 分 计 算 的 例 子. 7. 定 积 分 的 应 用 7.. 曲 线 的 长 度 设 I rα, βs 为 区 间, 映 射 σ : I Ñ R 用 分 量 表 示 为 σptq pxptq, yptqq, t P I. 如 果 xptq, yptq 均 为 连 续 函 数, 则 称 σ 为 R 上 的 连 续 曲 线. 如 果 xptq, yptq 均 可 微 ( 连 续 可 微 ), 则 称 σ 为 可 微 ( 连 续 可 微 ) 曲 线. y x 图 7. 曲 线 的 长 度 设 σ 为 连 续 可 微 曲 线, 通 过 分 割 曲 线 并 用 直 线 段 长 度 之 和 作 逼 近, 我 们 可 以 定 义 σ 的 长 度 为 Lpσq ż β α rpx ptqq ` py ptqq s dt. 这 个 公 式 可 以 如 下 推 导. 首 先 注 意 到 下 面 的 简 单 不 等 式 : ` b ` c ď b b, c P R. 我 们 将 rα, βs 分 割 为 α t ă t ă ă t β, 点 pxpt i q, ypt i qq 把 曲 线 分 成 若 干 段, 每 一 段 的 长 度 可 以 近 似 地 用 直 线 段 的 长 度 表 示, 即 Lpσq «pxpti q xpt i qq ` pypt i q ypt i qq, i 39

45 4 第 七 章 积 分 的 应 用 和 推 广 由 微 分 中 值 定 理, 存 在 ξ i, η i P pt i, t i q, 使 得 xpt i q xpt i q x pξ i qpt i t i q, ypt i q ypt i q y pη i qpt i t i q, 从 而 有 pxpti q xpt i qq ` pypt i q ypt i qq px pξ i qq ` py pη i qq t i. 因 为 而 ˇ ˇpx pξ i qq ` py pη i qq t i px pξ i qq ` py pξ i qq t iˇˇ ď y pη i q y pξ i q t i, y pη i q y pξ i q t i ď ω i py q t i Ñ, i i p}π} mxt t i t i u Ñ q 因 此 有 Lpσq lim }π}ñ i lim }π}ñ i ż β α pxpti q xpt i qq ` pypt i q ypt i qq px pξ i qq ` py pξ i qq t i rpx ptqq ` py ptqq s dt. 注. 如 果 px ptqq ` py ptqq, 令 s ϕptq ż t α rpx puqq ` py puqq s du, t P rα, βs. 则 ϕ : rα, βs Ñ r, Lpσqs 是 严 格 单 调 递 增 函 数, 从 而 可 逆, 其 逆 记 为 t ψpsq, s 称 为 σ 的 弧 长 参 数. 记 σpsq σpψpsqq, s P r, Lpσqs. 根 据 反 函 数 的 求 导 公 式 易 见 } σ psq} p x psqq ` pỹ psqq. y 图 7. 摆 线

46 7. 定 积 分 的 应 用 4 例 7... 求 摆 线 pxptq, yptqq ppt si tq, p cos tqq, ą 一 拱 的 长 度. 解. 我 们 求 t P r, πs 时 曲 线 的 长 度 l rpx ptqq ` py ptqq s dt rp cos tq ` si ts dt si t dt 8. 注. 曲 线 也 可 以 由 别 的 参 数 给 出 ( 如 极 坐 标 ), 这 时 弧 长 公 式 要 考 虑 变 量 替 换. 7.. 简 单 图 形 的 面 积 pq 如 果 f ą 为 r, bs 上 的 连 续 函 数, 则 由 y fpxq, x, x b p ă bq 与 y 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 为 S fpxq dx. 一 般 地, 当 f 变 号 时, 上 式 仍 有 意 义, 称 为 代 数 面 积 和, 而 S fpxq dx 才 是 所 围 面 积 之 和. 更 一 般 地, 由 y f pxq, y f pxq 以 及 x, x b 围 成 的 图 形 的 面 积 为 S y y = f(x) f pxq f pxq dx. y y = f (x) b x y = f (x) b x 图 7.3 函 数 图 像 围 成 的 图 形

47 4 第 七 章 积 分 的 应 用 和 推 广 pq 设 σ 为 平 面 曲 线, 由 极 坐 标 方 程 y r rpθq, θ P rα, βs σ 给 出, 其 中 rpθq 关 于 θ 连 续, β α ď π. 则 由 σ, θ α, θ β 所 围 成 的 图 形 面 积 为 mÿ S lim }π}ñ r pξ i q θ i ż β r pθq dθ. α i 这 个 公 式 是 通 过 使 用 扇 形 的 面 积 和 逼 近 图 形 面 积 得 到 的. β α 图 7.4 极 坐 标 表 示 的 曲 线 p3q 如 果 曲 线 σ 由 σptq pxptq, yptqq, t P rα, βs 给 出, 其 中 yptq ě, x 关 于 t 单 调 递 增, xprα, βsq r, bs. 则 σ 与 x, x b 以 及 y 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 为 S ż β α yptqx ptqdt. 这 个 公 式 仍 然 是 通 过 使 用 矩 形 面 积 之 和 去 逼 近 曲 边 梯 形 得 到. 一 般 地, 如 果 只 设 x 是 单 调 的, 则 面 积 公 式 为 y σ S σ(β) ż β α yptqx ptq dt. y σ x σ(α) b x x 因 为 图 7.5 曲 线 围 成 的 图 形 如 果 σ 除 在 t α, β 处 以 外 无 自 交 点, 则 σ 本 身 围 成 的 图 形 的 面 积 为 S ˇ ż β α ż β α yptqx ptqdtˇ ˇ yptqx ˇ ptqdt yptqxptq ˇβ α ż β α ż β y ptqxptqdt, α xptqy ˇ ptqdtˇ, ż β y ptqxptqdt α

48 7. 定 积 分 的 应 用 43 故 这 个 面 积 公 式 也 可 以 改 写 为 S ˇ ż β α ryptqx ptq y ˇ ptqxptqs dtˇ. 例 7... 求 椭 圆 成 的 面 积. x ` y b 所 围 y b 解. 由 图 形 的 对 称 性, 有 ż c S 4 b x dx 4b 4b si t cos t dt cos t dt πb. 图 7.6 椭 圆 x 例 求 双 纽 线 px ` y q px y q 所 围 成 的 面 积. y r = cos θ 解. 用 极 坐 标 x r cos θ, y r si θ 代 入 方 程, 得 r cos θ, 由 图 形 的 对 称 性, 有 θ P r π 4, π 4 s Y r 3π 4, 3π 4 s. S 4 p4q 旋 转 曲 面 的 面 积 设 σ 为 平 面 曲 线 4 σptq pxptq, yptqq, t P rα, βs, yptq ě. σ 绕 x 轴 旋 转 所 得 曲 面 的 面 积 为 S ż β α πyptqrpx ptqq ` py ptqq s dt. r pθq dθ 4 这 个 公 式 可 以 这 样 来 推 导 : 取 rα, βs 的 一 个 分 割, 在 分 点 t i, t i 之 间 的 曲 线 段 经 过 y 图 7.7 双 纽 线 cos θ dθ. σ(t) = (x(t), y(t)) 图 7.8 旋 转 曲 面 旋 转 后 所 形 成 的 曲 面 的 面 积 可 以 用 圆 台 的 面 积 近 似 逼 近, 这 一 部 分 圆 台 的 面 积 为 πpypt i q ` ypt i qq pxpt i q xpt i qq ` pypt i q ypt i qq, x x

49 44 第 七 章 积 分 的 应 用 和 推 广 因 此 S «πpypt i q ` ypt i qq pxpt i q xpt i qq ` pypt i q ypt i qq, i 和 曲 线 弧 长 公 式 的 推 导 过 程 类 似, 当 分 割 的 模 趋 于 零 时, 我 们 近 似 地 有 pypt i q ` ypt i qq «ypξ i q, pξ i P rt i, t i sq 以 及 pxpti q xpt i qq ` pypt i q ypt i qq «px pξ i qq ` py pξ i qq t i, 当 分 割 的 模 趋 于 零 时, 近 似 逼 近 所 引 起 的 这 些 误 差 之 和 趋 于 零. 因 此 有 S lim }π}ñ i ż β α πypξ i qrpx pξ i qq ` py pξ i qq s ti πyptqrpx ptqq ` py ptqq s dt. 例 求 将 x `py bq p ă ď bq 绕 x 轴 旋 转 所 得 曲 面 的 面 积. 解. 曲 线 的 参 数 方 程 为 xptq cos t, yptq b ` si t, t P r, πs. 故 旋 转 曲 面 面 积 为 S π πpb ` si tqr si t ` cos ts dt 7..3 简 单 立 体 的 体 积 pb ` si tq dt 4π b. y ( cos t, b + si t) t b x 图 7.9 环 面 ( 轮 胎 面 ) pq 平 行 截 面 之 间 的 立 体 体 积 设 Ω 为 R 3 中 一 块 立 体 区 域, 夹 在 平 面 x 与 x b p ă bq 之 间. 记 Spxq 为 x P r, bs 处 垂 直 于 x 轴 的 平 面 截 Ω 的 截 面 面 积 函 数. 如 果 Spxq 关 于 x 连 续, 则 Ω 的 体 积 为 V Spxqdx. 特 别 地, 如 果 两 块 区 域 Ω A 和 Ω B 的 截 面 面 积 函 数 相 等, 则 其 体 积 相 同. 这 个 事 实 在 公 元 5 到 6 世 纪 由 祖 暅 ( 祖 冲 之 之 子 ) 所 发 现, 7 世 纪 时 意 大 利 人 Cvlieri 也 发 现 了 这 一 事 实.

50 7. 定 积 分 的 应 用 45 x b Ω Ω A Ω B z y 图 7. 简 单 立 体 图 形 积. 例 求 椭 球 体 x ` y b ` z c ď 的 体 解. 固 定 x P p, q, 它 的 截 面 为 椭 圆 面 y b ` z c ď ` x, 截 面 面 积 为 Spxq πb` x c` x πbc` x, 故 椭 球 的 体 积 为 V ż pq 旋 转 体 的 体 积 Spxq dx ż 设 f 为 r, bs 上 的 连 续 函 数, Ω 是 由 平 面 图 形 πbc` x dx 4 3 πbc. y z c y b 图 7. 椭 球 y f(x) x tpx, yq ď x ď b, ď y ď fpxq u 绕 x 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体. 该 旋 转 体 在 x P r, bs 处 的 截 面 为 圆 盘, 其 面 积 为 Spxq πf pxq. 因 此 Ω 的 体 积 为 V Spxq dx π z 图 7. 旋 转 体 f pxq dx. b x

51 46 第 七 章 积 分 的 应 用 和 推 广 积. 例 求 高 为 h, 底 半 径 为 r 的 圆 锥 体 的 体 解. 由 上 面 的 体 积 公 式, 有 ż h ` r V π x dx h 3 πr h 物 理 应 用 举 例 z y r h 图 7.3 圆 锥 体 x pq 降 落 伞 的 原 理 质 量 为 m 的 物 体 在 重 力 作 用 下 自 由 下 落, 下 落 时 所 受 空 气 阻 力 与 下 落 速 度 成 正 比, 比 例 常 数 为 k, 则 由 牛 顿 定 律, mg kv m dv dt, 其 中, g 为 重 力 加 速 度, v 为 物 体 的 速 度, 我 们 选 择 指 向 地 心 的 坐 标. 上 面 的 方 程 等 价 于 假 设 初 速 度 为 零, 则 即 e k m t v g d dt pe k m t vq ge k m t, ż t e k m s ds mg k pe k m t q, vptq mg k p e m t q. k 特 别 地, t Ñ 8 时 vptq Ñ mg k, 即 速 度 不 会 增 加 到 无 限 大. pq 第 二 宇 宙 速 度 从 地 球 表 面 发 射 火 箭, 如 果 要 求 火 箭 无 限 飞 离 地 球, 问 : 火 箭 的 初 速 度 至 少 为 多 大? 这 里 主 要 考 虑 火 箭 摆 脱 地 球 引 力 的 问 题, 因 此 我 们 忽 略 太 阳 的 引 力. 根 据 万 有 引 力 定 律, 在 距 地 心 x 处 火 箭 所 受 地 球 引 力 为 F GMmx, 其 中, G 为 万 有 引 力 常 数, M 为 地 球 质 量, m 为 火 箭 质 量. 在 地 球 表 面, 有 GMmR mg, 其 中 R 为 地 球 半 径. 火 箭 从 地 面 升 到 距 地 心 r pr ą Rq 处 需 要 做 的 功 为 ż r R GMmx dx ż r R mgr x dx mgr ` R. r

52 7. 定 积 分 的 应 用 47 因 此, 火 箭 无 限 飞 离 地 球 需 要 做 功 W lim mgr ` rñ8 R mgr. r 由 能 量 守 恒 原 理, 火 箭 的 初 速 度 至 少 为 v, 则 mv mgr, 因 而 v gr «ˆ 9.8pm{s q ˆ 6.37 ˆ 6 m «. pkm{sq. p3q 缆 绳 的 工 作 原 理 绳 索 在 日 常 生 活 中 应 用 十 分 广 泛, 例 如 在 码 头 上 经 常 用 来 系 住 船 舶. 为 什 么 绳 索 能 拉 住 大 型 船 舶? 下 面 我 们 就 来 作 一 个 力 学 分 析, 它 揭 示 了 绳 索 产 生 巨 大 拉 力 的 原 理. 设 一 段 绳 索 缠 绕 在 一 圆 柱 体 上, 绳 索 一 端 施 以 拉 力 f, 绳 索 与 圆 柱 体 之 间 的 摩 擦 系 数 为 k, 如 果 绳 索 共 绕 了 圈, 在 绳 索 的 另 一 端 产 生 的 拉 力 为 F, 我 们 来 求 F 的 值. F + F F N θ f k N F 图 7.4 缆 绳 受 力 分 析 取 角 度 为 θ 的 一 小 段 绳 索, 研 究 其 受 力 状 况. 设 这 一 段 绳 索 承 受 圆 柱 体 的 正 压 力 为 N, 则 摩 擦 力 为 k N. 这 一 段 绳 索 两 端 所 受 拉 力 分 别 为 F, F ` F, 则 考 虑 沿 圆 柱 体 外 法 向 和 切 向 这 两 个 方 向 绳 索 的 受 力, 得 到 方 程 $ & N pf ` F q si θ θ ` F si, % pf ` F q cos θ θ F cos ` k N. 从 方 程 中 消 去 N, 令 θ Ñ, 得 df dθ lim F θñ θ kf,

53 48 第 七 章 积 分 的 应 用 和 推 广 利 用 积 分 解 得 F pθq f e kθ. 当 θ π 时, F f e kπ. 例 如, 设 摩 擦 系 数 k 4, 6, f kg, 则 F e 3π kg ą kg 进 一 步 应 用 的 例 子 pq 近 似 计 算 与 Stirlig 公 式 设 f 为 r, bs 上 的 二 次 连 续 可 微 函 数, 则 由 第 五 章 第 四 节 (??) 式 可 得 fpxq lpxq ď Mpx qpb x P r, bs, 其 中, M mx xpr,bs f pxq, 且 因 此 有 如 下 的 积 分 估 计 ˇ fpxqdx lpxq fpq ` fpbq fpq px q, b x P r, bs. lpxqdxˇ ď M px qpb xqdx Mpb q3. 这 也 就 是 f 在 r, bs 上 的 积 分 用 梯 形 面 积 逼 近 的 误 差 公 式. y y = l x x 图 7.5 梯 形 面 积 逼 近 我 们 考 虑 函 数 f l x 在 r, s 上 的 积 分. 令 ż ż ˇ A l x dx x l xˇ pl xq xdx l `, B pl ` l q ` l! l, 根 据 上 面 的 误 差 估 计, 并 注 意 l x 为 凹 函 数, 则 有 ă ż k` k pl ` l 3q ` ` plp q ` l q l x dx pl k ` lpk ` qq ă k.

54 7. 定 积 分 的 应 用 49 令 C A B, 则 C 是 次 累 计 误 差, 它 关 于 是 单 调 递 增 的. 从 而 ă C ă ÿ k 这 说 明 极 限 lim Ñ8 C C 存 在, 且 ă C C ă ă k k ` k ă p ` q ` ` 下 面 我 们 来 求 极 限 C 的 值. 由 定 义, 有 k ` k k ` 6, p ` qp ` q ` ` `. C A B l ` l! ` l, 因 此! e C ` e. 由 第 六 章 第 三 节 Wllis 公 式, 将! 和 pq! 的 表 达 式 代 入, 有 p!q pq!! lim? lim?? π, Ñ8 pq! Ñ8 p q!!? π lim Ñ8 这 就 得 到! 的 如 下 表 示 e p Cq ` e e C pq p` q e? e C?,!? π ` e C C, e p Stirlig 公 式 q 其 中 ă e C C ă e p ` q ă ` ą. pq π 为 什 么 为 无 理 数. 历 史 上, 最 早 被 发 现 的 无 理 数 之 一 是?, 这 是 毕 达 哥 拉 斯 学 派 发 现 的, 这 个 发 现 在 当 时 引 起 了 很 大 的 恐 慌. 76 年, Lmbert 证 明 了 π 为 无 理 数. 947 年, Nive 给 出 了 π 为 无 理 数 的 一 个 简 单 证 明, 下 面 的 证 明 基 本 上 就 是 Nive 提 出 的. 证 明 用 的 是 反 证 法. 假 设 π 为 有 理 数, π b,, b 为 互 素 正 整 数. 令 fpxq! x p bxq, x P r, πs, 其 中 为 待 定 正 整 数. 我 们 有

55 5 第 七 章 积 分 的 应 用 和 推 广 时, pq fpxq fpπ xq, x P r, πs; pq f pkq pq 为 整 数, k,,..., ; p3q f pkq pπq 为 整 数, k,,...,. 其 中, pq 是 显 然 的. pq 成 立 是 因 为, 当 ď k ă 时 f pkq pq ; 当 ď k ď 这 是 整 数. p3q 可 由 pq 和 pq 直 接 得 到. 如 果 令 f pkq pq Ck k p bq k k!,! F pxq fpxq f pq pxq ` f p4q pxq ` p q f pq pxq, 则 显 然 有 因 此 F pxq ` F pxq fpxq, fpxq si x dx rf pxq si x F pxq cos xsˇˇπ F pπq ` F pq P Z. 另 一 方 面, 在 p, πq 上 ă fpxq ď! pπq, 因 此 ď fpxq si x dx ď fpxq dx ď pπq π Ñ,! p Ñ 8q 这 就 导 出 了 矛 盾. 习 题 7.. 计 算 下 列 曲 线 的 弧 长 : pq y x 3, p ď x ď 4q; pq x e t cos t, y e t si t, t P r, πs; p3q x cos 4 t, y si 4 t, ą, t P r, πs; p4q y x, ą, ď x ď.. 求 下 列 曲 线 所 围 成 图 形 的 面 积 : pq y x, y x, ą ; pq y x x, y x ; p3q y xpx qpx q, y ; p4q y x p x q, ą ;