4 期 许 伟 维 等 : 天 体 测 量 法 探 测 系 外 行 星 423 度 法 为 主 要 的 探 测 方 法 ; 2009 年 美 国 国 家 航 空 航 天 局 National Aeronautics and Space Administration, NASA) 建 造 的 开 普

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1 第 57 卷 第 4 期 天 文 学 报 Vol.57 No 年 7 月 ACTA ASTRONOMICA SINICA Jul., 2016 doi: /j.cnki 天 体 测 量 法 探 测 系 外 行 星 许 伟 维 1,2,3,4 廖 新 浩 1,3 周 永 宏 1,3 许 雪 晴 1,3 1 中 国 科 学 院 上 海 天 文 台 上 海 ) 2 上 海 科 技 大 学 物 质 学 院 上 海 ) 3 中 国 科 学 院 行 星 科 学 重 点 实 验 室 上 海 ) 4 中 国 科 学 院 大 学 北 京 ) 摘 要 在 目 前 已 发 现 的 系 外 行 星 中, 绝 大 多 数 是 由 视 向 速 度 法 和 凌 星 法 探 测 得 到 的, 天 体 测 量 法 仅 发 现 了 1 颗. gaia 卫 星 数 据 即 将 发 布, 天 体 测 量 法 将 逐 步 成 为 系 外 行 星 探 测 的 重 要 方 法 之 一. 基 于 天 体 测 量 法 给 出 的 恒 星 位 置 参 数 序 列, 讨 论 了 在 求 解 行 星 质 量 和 轨 道 参 数 时 涉 及 的 动 力 学 条 件 方 程 计 算 问 题, 给 出 了 具 体 微 分 改 正 公 式, 同 时 也 进 行 了 必 要 的 仿 真 模 拟 计 算. 建 立 的 方 法 可 以 较 容 易 地 推 广 到 多 行 星 系 统. 关 键 词 系 外 行 星, 天 体 测 量 学, 天 体 力 学 : 轨 道 计 算 与 定 轨, 方 法 : 数 据 分 析 中 图 分 类 号 : P135; 文 献 标 识 码 : A 1 引 言 系 外 行 星 探 测 和 研 究 是 当 今 国 际 天 文 学 研 究 的 热 点 年, Mayor 和 Queloz 采 用 视 向 速 度 法 在 飞 马 座 51 附 近 发 现 了 第 1 颗 围 绕 着 主 序 恒 星 运 动 的 木 星 质 量 量 级 的 系 外 行 星 飞 马 座 51 b [1]. 近 年 来, 随 着 天 文 探 测 技 术 的 进 步, 特 别 是 Kepler 空 间 望 远 镜 的 成 功 发 射 和 观 测, 新 的 系 外 行 星 不 断 被 发 现, 其 数 量 明 显 增 多. 根 据 系 外 行 星 网 站 exoplanets.eu) 统 计, 截 止 2015 年 12 月 1 日, 已 确 认 发 现 2004 颗 系 外 行 星, 隶 属 于 1269 个 行 星 系 统, 包 括 498 个 多 行 星 系 统 ; 此 外, 400 多 颗 系 外 行 星 候 选 体 需 进 一 步 认 证. 在 这 些 已 发 现 的 系 外 行 星 中, 绝 大 多 数 为 气 态 巨 行 星 和 热 木 星 约 占 70%), 部 分 为 超 级 地 球 20%) 和 地 球 质 量 大 小 的 行 星 2%), 但 尚 未 确 认 存 在 生 命 的 类 地 行 星 系 统. 系 外 行 星 的 探 测 方 法 分 为 间 接 探 测 和 直 接 成 像, 间 接 探 测 有 视 向 速 度 法 天 体 测 量 法 脉 冲 星 计 时 法 凌 星 法 微 引 力 透 镜 法 等 [2], 目 前 实 际 观 测 中 采 用 最 多 的 是 视 向 速 度 法 和 凌 星 法. 天 体 测 量 法 至 今 只 发 现 了 一 颗 系 外 行 星 HD b [3] 年 以 前, 由 于 HARPS High Accuracy Radial velocity Planet Searcher) 的 应 用 [4], 视 向 速 收 到 原 稿, 收 到 修 改 稿 国 家 自 然 科 学 基 金 项 目 ) 和 中 国 科 学 院 先 导 B 项 目 XDBO ) 资 助 @qq.com [email protected]

2 4 期 许 伟 维 等 : 天 体 测 量 法 探 测 系 外 行 星 423 度 法 为 主 要 的 探 测 方 法 ; 2009 年 美 国 国 家 航 空 航 天 局 National Aeronautics and Space Administration, NASA) 建 造 的 开 普 勒 太 空 望 远 镜 发 射 升 空, 凌 星 法 逐 渐 成 为 主 流 方 法, 目 前 该 方 法 已 发 现 超 过 1200 颗 系 外 行 星 exoplanets.eu) 年 12 月 19 日, 欧 洲 空 间 局 European Space Agency, ESA) 研 制 的 gaia 空 间 望 远 镜 升 空, 其 目 的 是 以 前 所 未 有 的 精 度 对 银 河 系 内 数 以 十 亿 计 的 恒 星 进 行 观 测, 测 量 他 们 的 位 置 距 离 和 运 动, 其 观 测 效 率 将 比 同 样 由 ESA 发 射 的 依 巴 谷 卫 星 高 出 数 百 万 倍 [5]. 因 此, 人 们 对 于 利 用 gaia 开 展 太 阳 系 与 系 外 行 星 的 探 测 寄 予 厚 望. 天 体 测 量 法 是 通 过 测 量 恒 星 空 间 位 置 变 化 来 反 演 其 附 近 行 星 的 质 量 和 轨 道 参 数 的, 相 比 于 目 前 通 常 采 用 的 视 向 速 度 法 和 凌 星 法, 天 体 测 量 法 有 其 独 特 的 优 势 : 1) 直 接 确 定 行 星 质 量. 视 向 速 度 法 也 是 通 过 测 量 恒 星 空 间 位 置 变 化 来 反 演 其 附 近 行 星 的 轨 道 参 数 的, 但 因 其 观 测 方 程 中 仅 包 含 了 行 星 质 量 m 与 行 星 轨 道 倾 角 的 正 弦 sin i 的 乘 积 项, 所 以 只 能 推 算 出 m sin i, 不 能 直 接 确 定 行 星 的 质 量. 天 体 测 量 法 对 应 的 观 测 方 程 不 仅 包 含 了 m cos i 项, 而 且 包 含 m 项, 故 可 以 通 过 观 测 资 料 同 时 直 接 推 算 出 行 星 的 质 量 与 轨 道 倾 角 [6]. 2) 寻 找 长 周 期 行 星. 根 据 开 普 勒 第 三 定 律 可 知, 行 星 绕 恒 星 运 动 的 轨 道 半 长 径 3 次 幂 与 行 星 轨 道 周 期 的 平 方 成 正 比 ; 同 样 质 量 的 行 星, 行 星 轨 道 半 长 径 越 长, 对 于 恒 星 绕 系 统 质 心 运 动 的 扰 动 就 越 大, 因 此 越 容 易 被 天 体 测 量 法 分 辨 出 来. 所 以 天 体 测 量 法 对 长 周 期 行 星 探 测 较 为 敏 感. 3) 检 测 多 星 系 统 是 否 共 面. 在 已 知 的 系 外 行 星 中, 大 多 数 具 有 较 大 的 轨 道 偏 心 率, 其 原 因 可 能 是 由 于 受 到 一 颗 或 多 颗 大 质 量 天 体 的 引 力 作 用 [7], 该 作 用 力 使 得 行 星 的 轨 道 面 不 与 恒 星 的 赤 道 面 共 面, 若 在 多 星 系 统 中, 该 作 用 力 将 使 得 各 行 星 轨 道 不 共 面 [8]. 研 究 行 星 质 量 和 相 互 夹 角 对 于 多 星 系 统 的 动 力 学 模 型 动 力 学 稳 定 以 及 轨 道 共 振 具 有 重 要 意 义. 4) 太 阳 系 附 近 寻 找 类 地 行 星. 利 用 空 间 干 涉 的 天 体 测 量 能 达 到 亚 微 角 秒 级 的 精 度, 对 于 造 成 恒 星 扰 动 的 行 星 质 量 检 测 可 达 到 m 地 球 质 量 ) 量 级, 满 足 在 太 阳 系 附 近 寻 找 类 地 行 星 的 要 求 [9]. 对 于 由 1 颗 恒 星 和 1 颗 行 星 组 成 的 二 体 系 外 行 星 系 统, Wright 和 Howard 于 2009 年 建 立 了 基 于 轨 道 根 数 的 天 体 测 量 法 对 应 的 观 测 方 程 [10], 其 在 赤 道 坐 标 系 下, 包 含 了 视 差 自 行 以 及 行 星 质 量 和 轨 道 根 数 等 参 数. 通 过 分 析 二 体 运 动 的 解 和 参 数 估 计 理 论, 可 以 给 出 这 些 参 数 的 最 优 解. 稍 加 分 析 即 可 发 现, 基 于 轨 道 根 数 的 天 体 测 量 方 法, 当 行 星 轨 道 偏 心 率 e 0 时, 因 状 态 转 移 矩 阵 奇 异 而 失 效, 特 别 是 对 于 多 行 星 系 统, 基 于 轨 道 根 数 的 状 态 方 程 和 状 态 转 移 矩 阵 计 算 都 非 常 复 杂, 不 便 于 实 际 应 用, 因 此 需 要 建 立 简 洁 可 行 的 确 定 系 外 行 星 轨 道 的 天 体 测 量 方 法. 本 文 针 对 多 体 系 统 动 力 学 特 性, 提 出 采 用 坐 标 速 度 描 述, 不 仅 可 以 避 免 e 0 对 应 的 状 态 转 移 矩 阵 奇 异 问 题, 而 且 可 以 显 著 降 低 整 个 计 算 的 复 杂 性. 本 文 第 2 节 对 gaia 测 量 数 据 用 于 系 外 行 星 的 确 定 进 行 了 必 要 的 精 度 分 析 ; 第 3 节 较 全 面 地 总 结 了 基 于 轨 道 根 数 的 天 体 测 量 方 法 涉 及 的 理 论 基 础 ; 第 4 节 给 出 了 基 于 坐 标 速 度 的 天 体 测 量 方 法 对 应 的 观 测 方 程 运 动 方 程 和 状 态 转 移 方 程 ; 第 5 节 列 出 了 仿 真 模 拟 计 算 结 果 并 作 了 一 些 分 析 ; 第 6 节 推 导 了 行 星 轨 道 确 定 时 初 始 估 计 满 足 的 约 束 条 件, 由 此 可 以 显 著 提 高 轨 道 确 定 微 分 改 正 的 收 敛 效 率 ; 第 7 节 推 导 了 三 体 问 题 1 颗 恒 星 2 颗 行 星 ) 的 计 算 公 式 ; 最 后 1 节 给 出 本 文 的 结 论, 同 时 也 讨 论 存 在 的 问 题 及 其 解 决 途 径.

3 424 天 文 学 报 57 卷 2 天 体 测 量 观 测 精 度 分 析 当 恒 星 附 近 存 在 行 星 时, 由 于 引 力 作 用, 使 得 恒 星 与 行 星 绕 着 它 们 的 质 心 以 相 同 的 角 速 度 作 椭 圆 运 动. 假 设 恒 星 和 行 星 围 绕 系 统 质 心 运 动 轨 道 半 长 径 分 别 为 a s 和 a p, 则 在 地 面 上 观 察 恒 星 轨 道 半 长 径 时, 可 产 生 一 个 角 度 2θ [11] 如 图 1). θ m ) 1 p a p G M s D 3 m p 4π 2 M 2 3 s 2 p 3 D, 1) 其 中, M s 和 m p 分 别 为 恒 星 和 行 星 的 质 量, G 为 万 有 引 力 常 数, D 为 恒 星 与 观 测 者 之 间 的 距 离, p 为 二 体 运 动 的 轨 道 周 期. 角 半 径 θ 也 称 作 恒 星 的 天 体 测 量 特 征 角, 表 征 了 行 星 对 恒 星 的 扰 动 大 小, 除 行 星 质 量 外, 还 与 恒 星 的 质 量 轨 道 周 期 及 观 测 距 离 有 关. 根 据 目 前 已 发 现 的 系 外 行 星, 表 1 列 出 了 它 们 的 质 量 与 轨 道 周 期 分 布 范 围, 以 及 所 绕 恒 星 的 质 量 和 与 观 测 距 离 的 分 布 范 围 参 见 网 站 exoplanets.eu), 其 中 行 星 质 量 单 位 为 M J 木 星 质 量 ), 恒 星 质 量 单 位 为 M 太 阳 质 量 ). 针 对 上 述 参 数 分 布 范 围, 本 文 选 取 了 5 种 模 型, 模 型 中 恒 星 质 量 皆 取 为 1 M, 行 星 质 量 轨 道 周 期 以 及 观 测 距 离 不 等, 计 算 5 种 模 型 中 恒 星 的 天 体 测 量 特 征 角, 见 表 2. 图 1 二 体 运 动 的 轨 道 示 意 图 Fig. 1 The orbital sketch of the two-body motion 表 1 已 知 系 外 行 星 的 部 分 参 数 范 围 Table 1 The partial parameters range of the known exoplanets Planet Mass/M J Period/yr Star Mass/M Distance/pc 表 2 几 种 模 型 下 恒 星 天 体 测 量 特 征 角 Table 2 The astrometric signature of the star in different models Model Planet mass/m J Star Mass/M Period/yr Distance/pc Signature/µas A B C D E

4 4 期 许 伟 维 等 : 天 体 测 量 法 探 测 系 外 行 星 425 由 于 gaia 对 于 不 同 星 等 的 恒 星 观 测 精 度 不 同, 所 以 还 需 分 析 gaia 对 于 系 外 行 星 的 可 观 测 性. 表 3 给 出 了 对 于 太 阳 质 量 级 的 恒 星, 当 其 观 测 距 离 在 1000 pc 内 时 的 星 等 及 gaia 对 应 的 位 置 测 量 精 度, 由 表 可 知 : 在 1000 pc 内, 恒 星 的 视 星 等 m V mag, gaia 的 观 测 精 度 高 于 10 µas, 其 值 均 小 于 表 2 中 各 模 型 的 天 体 测 量 特 征 角, 因 此 gaia 可 进 行 有 效 观 测. 表 3 太 阳 质 量 级 恒 星 在 不 同 距 离 的 视 星 等 及 gaia 对 其 的 观 测 精 度 Table 3 The apparent magnitude of the sunlike stars at different distances and the accuracies of the gaia Distance/pc Apparent magnitude/mag m V < 10 mag, 4 µas Accuracies of the gaia [12] m V < 15 mag, 10 µas m V < 20 mag, 200 µas 3 基 于 轨 道 根 数 的 观 测 方 程 利 用 天 体 测 量 法 间 接 探 测 系 外 行 星 时, 通 过 观 测 恒 星 的 周 期 性 位 置 变 化 来 判 断 其 是 否 存 在. 对 于 1 颗 孤 立 的 恒 星, 可 通 过 5 个 天 体 测 量 观 测 值 来 描 述 其 在 天 球 上 的 角 位 置, 分 别 是 赤 道 坐 标 系 下 的 赤 经 α 0 赤 纬 δ 0 在 某 一 特 定 的 坐 标 系 下 某 一 历 元 时 的 值, 现 在 一 般 都 取 在 国 际 天 球 参 考 系 下 J 的 值 ), 恒 星 自 行 相 应 的 正 交 分 量 µ α µ δ, 以 及 视 差 ϖ; 绕 着 恒 星 作 椭 圆 运 动 的 行 星 轨 道 可 由 6 个 轨 道 根 数 描 述, 即 轨 道 半 长 径 a 倾 角 i 升 交 点 经 度 Ω 近 星 点 经 度 ω 偏 心 率 e 及 平 近 点 角 M; 行 星 质 量 m 可 由 p 和 a 通 过 Kepler 第 三 定 律 确 定. 因 此, 对 一 个 含 有 n 颗 行 星 的 系 统 进 行 轨 道 拟 合 时, 需 要 5+7n 个 参 数. 建 立 如 图 2 所 示 观 测 示 意 图, 恒 星 的 运 动 轨 道 处 于 O-XY Z 坐 标 系 内, O-xyz 系 为 观 测 面 所 在 坐 标 系, z 轴 表 示 观 测 者 视 线 方 向, x 轴 指 向 北 极, y 方 向 由 右 手 法 则 确 定, i Ω ω 为 3 个 方 位 角. 图 2 二 体 运 动 的 观 测 示 意 图 Fig. 2 The sketch of the observation of the two-body motion

5 426 天 文 学 报 57 卷 恒 星 在 空 间 位 置 的 变 化 反 映 了 其 椭 圆 轨 道 运 动 在 观 测 面 上 的 投 影, 由 赤 经 和 赤 纬 两 个 位 置 参 数 决 定, 分 别 用 ˆηt) ˆξt) 表 示, 对 应 的 观 测 方 程 为 ˆηt) δ 0 + ϱ δ ϖ + µ δ t t 0 ) + ˆx s, 2) ˆξt) α 0 + ϱ α ϖ + µ α t t 0 ) + ŷ s 等 式 左 边 为 观 测 值, 右 边 各 项 依 次 为 初 始 值 视 差 改 正 自 行 改 正 以 及 天 体 扰 动 项, 其 中, ϱ α ϱ δ 表 示 视 差 改 正 参 数 ; ˆx s ŷ s 表 示 恒 星 运 动 在 观 测 面 上 两 个 方 向 的 投 影, 单 位 为 角 度 ; 为 了 计 算 和 公 式 表 达 的 方 便, 选 取 适 当 的 计 算 单 位 是 必 要 的, 本 文 分 别 采 取 太 阳 质 量 M 太 阳 赤 道 半 径 A 作 为 基 本 质 量 和 长 度 单 位, 取 引 力 常 数 G 1, 则 相 应 的 时 间 单 位 为 A 3 ) 1/2 [T ], 3) GM 故 可 通 过 观 测 距 离 D 将 ˆx s ŷ s 归 算 到 系 统 长 度 单 位 下, 分 别 用 x s y s 表 示 x s d ˆx s A y s d. 4) ŷ s A 考 虑 恒 星 附 近 仅 存 在 1 颗 行 星 情 况, 即 n 1, 由 天 体 力 学 二 体 问 题 分 析 解 可 将 x s y s 表 示 为 x s AXt) + F Y t), 5) y s BXt) + GY t) 其 中, Xt) cos Et) e Y t) 1 e 2 sin Et) Et) e sin Et) nt + M, 6) A B F G 称 为 Thiele-Innes 常 数 [13], 可 由 轨 道 根 数 描 述, A a cos Ω cos ω sin Ω sin ω cos i) B a sin Ω cos ω + cos Ω sin ω cos i) F a cos Ω sin ω + sin Ω cos ω cos i) G a sin Ω sin ω cos Ω cos ω cos i). 7) 恒 星 视 差 与 自 行 改 正 可 通 过 一 定 量 天 体 测 量 数 据 计 算 出 来, 故 在 后 面 的 计 算 中 将 视 差 与 自 行 视 为 已 知 量. 至 此, 我 们 可 将 观 测 方 程 改 写 为 η t) AXt) + F Y t). 8) ξ t) BXt) + GY t)

6 4 期 许 伟 维 等 : 天 体 测 量 法 探 测 系 外 行 星 427 这 里, η t) 和 ξ t) 包 含 了 自 行 和 视 差 改 正 项, 已 归 算 为 系 统 长 度 单 位. 假 设 初 始 时 刻 恒 星 轨 道 根 数 和 行 星 质 量 的 估 计 值 为 a i Ω ω e M 及 m, 为 方 便 起 见, 用 矢 量 将 其 表 示 为 σ σ 1, σ 2, σ 3, σ 4, σ 5, σ 6, σ 7 ). 对 上 式 在 恒 星 初 始 运 动 位 置 处 展 开, 有 : 4 [ A η t) Xt)+ F ] 7 [ ] Xt) Y t) Y t) σ i + A+ F σ j + σ i1 i σ i σσ σ j5 j σ j σσ [ ] Xt) Y t) 7 A+ F σ 1 + [AXt)+F Y t)] σ 1 σ σσ P i t) σ i +x t) 1 σσ i1 4 [ B ξ t) Xt)+ G ] 7 [ ], Xt) Y t) Y t) σ i + B+ G σ j + σ i1 i σ i σσ σ j5 j σ j σσ [ ] Xt) Y t) 7 B+ G σ 1 + [BXt)+GY t)] σ 1 σ σσ Q i t) σ i +y t) 1 σσ i1 9) 其 中, P i t) Q i t) 依 次 表 示 对 7 个 参 数 的 微 分 结 果. 如 果 有 k 次 观 测, 那 么 2k 个 观 测 方 程 可 以 写 成 矩 阵 形 式 a η t 1 ) P 1 t 1 )... P 7 t 1 ) i ξ t 1 ) Q 1 t 1 )... Q 7 t 1 ) Ω ω, 10) η t k ) P 1 t k )... P 7 t k ) e ξ t k ) Q 1 t k )... Q 7 t k ) M m 其 中, ηt) η t) x t) ξt) ξ t) y t). 11) 上 述 方 程 10) 包 含 7 个 未 知 量, 因 此 问 题 可 解 至 少 需 要 观 测 4 次. 将 由 估 计 理 论 首 次 解 得 的 σ 0) 叠 加 到 初 始 时 刻 近 似 轨 道 上, 进 行 迭 代 计 算, 当 第 l 次 迭 代 给 出 的 σ l) 小 于 设 定 的 收 敛 标 准 ε 时, 求 解 完 成. 本 文 统 一 设 定 误 差 限 ε 由 上 述 获 得 的 恒 星 轨 道 根 数 与 行 星 质 量 的 估 计 值, 可 以 求 出 恒 星 初 始 时 刻 的 坐 标 r s 与 速 度 rs, 由 此 根 据 二 体 关 系 式, 可 以 求 出 行 星 此 时 对 应 的 坐 标 r p 与 速 度 rp, r p M s r s m r p M s r s m. 12) 对 于 多 行 星 系 统, 即 n 2, 对 应 的 运 动 没 有 分 析 解, 故 上 述 方 法 不 再 适 用.

7 428 天 文 学 报 57 卷 4 基 于 坐 标 速 度 的 观 测 方 程 在 上 一 节 建 立 的 空 间 直 角 坐 标 系 中, 令 r s r p 分 别 表 示 恒 星 和 行 星 的 位 置 矢 量, M s 和 m 分 别 代 表 恒 星 与 行 星 的 质 量. 恒 星 相 对 于 质 心 的 运 动 方 程 为 r s Gm 3 r s m + M s ) 2 r s 3 F. 13) 观 测 方 程 与 轨 道 根 数 法 对 应 的 恒 星 观 测 方 程 相 同, 即 2) 式. 假 定 t t 0 时 刻 恒 星 位 置 与 速 度 和 行 星 质 量 的 估 计 值 分 别 为 r s t 0 ) r s t 0 ) m p, 其 近 似 值 即 初 始 估 计 ) 为 r r m, 两 者 相 差 为 r r m, 将 观 测 方 程 在 r r m 处 展 开 有 ηt) x s r + x s r r r + x s m m ξt) y s r + y s r r r + y. 14) s m m 令 rs v, 恒 星 运 动 和 相 应 的 状 态 转 移 矩 阵 可 以 通 过 联 立 求 解 下 述 方 程 组 获 得, r s v v F ) ) d rs v dt r r ) d v ) ) F rs dt r r s r ) ) d rs v dt v v ) d v ) ) F rs dt v r s v ) ) d rs v dt m m ) d v ) F + ) ) F rs dt m m r s m, 15) 当 t t 0 时, 状 态 转 移 方 程 涉 及 的 初 始 条 件 为 r s r s H, 0, r v 这 里, H 为 3 阶 单 位 矩 阵. v 0, r 5 轨 道 特 征 分 析 与 仿 真 计 算 v v H, r s 0 m v 0 m. 16) 目 前, gaia 的 巡 天 数 据 仍 未 释 放, 因 此 为 了 验 证 上 述 方 法 的 有 效 性, 只 能 进 行 仿 真 模

8 4 期 许 伟 维 等 : 天 体 测 量 法 探 测 系 外 行 星 429 拟 计 算. 假 定 t 0 时 刻 1 组 恒 星 的 轨 道 根 数 和 行 星 质 量 σt 0 ), 由 该 组 参 数 可 模 拟 出 1 组 恒 星 位 置 的 观 测 数 据, 然 后 用 其 反 解 σt 0 ), 由 此 可 以 验 证 和 分 析 评 估 轨 道 确 定 的 方 法 和 精 度. 5.1 轨 道 特 征 的 影 响 小 偏 心 率 对 于 小 偏 心 率 轨 道, 轨 道 根 数 法 不 能 进 行 轨 道 确 定, 但 坐 标 速 度 法 仍 有 效, 其 原 因 是 e 0 时 近 星 点 经 度 不 能 确 定 所 致. 具 体 体 现 在 当 e 0 时, x s y s 可 表 示 为 : x s a [cos Ω cos ω + M) sin Ω sinω + M) cos i], 17) y s a [sin Ω cos ω + M) + cos Ω sinω + M) cos i] 由 上 式 可 以 看 出 x s ω x s M y s ω y s M. 18) 即 状 态 转 移 矩 阵 中 有 关 ω 和 M 的 两 列 相 关, 导 致 状 态 转 移 矩 阵 奇 异, 故 对 于 小 偏 心 率 的 情 况, 轨 道 根 数 法 失 效 轨 道 倾 角 对 于 倾 角 i 0 或 180 的 轨 道, 两 种 方 法 都 不 适 用. 轨 道 根 数 法 中, 由 于 x s y s 中 包 含 的 i 项 都 以 cos i 出 现, 故 当 i 0 或 180 时, x s y s 对 i 的 偏 导 数 都 为 0, 具 体 体 现 在 A i B i F i G i 0. 19) 坐 标 速 度 法 中, 当 i 0 时, r s 中 不 显 含 z 分 量, 即 z 和 ż 分 量. 故 有 r s z r s ż 0. 20) 两 种 情 况 都 导 致 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 奇 异, 无 唯 一 解. 此 外, 天 体 测 量 法 描 述 的 是 恒 星 X Y 方 向 的 运 动 在 观 测 面 上 的 投 影, 对 于 Z 方 向 没 有 直 接 约 束, 这 就 造 成 了 当 i π i 时, σt 0 ) 一 样 能 满 足 观 测 方 程. 但 此 时 除 倾 角 项 外, 升 交 点 的 经 度 Ω 和 近 地 点 的 经 度 ω 也 存 在 相 应 的 变 化, 这 一 点 我 们 可 从 Thiele-Innes 常 数 来 理 解. 我 们 将 其 对 应 关 系 整 理 如 下 : i, Ω, ω) i, Ω, ω) i, Ω, ω) ±i, Ω + π, ω + π). 21) i, Ω, ω) ±i, Ω π, ω π) 5.2 观 测 误 差 的 影 响 观 测 即 有 误 差, 因 此 不 同 的 仿 真 模 型 应 增 加 相 应 的 观 测 误 差. 以 第 2 节 中 模 型 A 为 例, m V 5.63 mag < 10 mag, 此 时 gaia 的 观 测 精 度 θ 4 µas, 若 将 其 视 为 天 体 测 量 观

9 430 天 文 学 报 57 卷 测 误 差, 对 于 观 测 距 离 D 15 pc, 该 误 差 s 的 大 小 为 / ) s θ D 4 µas 15 pc )km km. π 将 其 归 算 到 系 统 长 度 单 位 A, 即 得 该 模 型 的 观 测 误 差 s 为 s s km A km 0.013A. 通 过 Matlab 软 件 可 计 算 出 任 意 两 组 满 足 均 值 为 0 方 差 为 的 高 斯 白 噪 声, 将 其 分 别 增 加 到 恒 星 的 x 和 y 方 向 的 观 测 数 据 上, 则 可 获 得 含 有 观 测 误 差 的 模 拟 观 测 数 据. 由 含 有 误 差 观 测 数 据 可 确 定 初 始 根 数 σt 0 ) 的 估 计 值 σt 0 ), 两 者 之 差 为 σ. 表 4 列 出 了 几 种 模 型 对 于 不 同 观 测 误 差 和 不 同 观 测 次 数 时 确 定 的 初 始 轨 道 估 计 值 误 差 情 况. 模 型 A 表 示 一 个 轨 道 周 期 为 2 yr 的 木 星 绕 一 个 距 离 地 球 15 pc 的 太 阳 作 椭 圆 运 动 见 表 2), 此 太 阳 在 天 球 上 位 置 变 化 最 大 角 度 特 征 角 ) 为 100 µas, 考 虑 不 同 观 测 误 差 与 观 测 次 数 的 组 合, 形 成 了 3 组 模 拟 观 测 数 据 : A-1 A-2 和 A-3. 模 型 A 的 初 始 轨 道 根 数 取 为 : a au, e , i 40.00, Ω 80.00, ω 50.00, M 50.00, m M s ; 轨 道 确 定 误 差 统 计 分 为 x y 方 向 的 残 差 及 轨 道 根 数 的 相 对 误 差. 以 A 模 型 为 例, 对 于 特 征 角 为 100 µas 的 系 外 行 星 系 统, 考 虑 观 测 随 机 误 差 分 别 为 2 µas 和 4 µas 以 及 观 测 点 数 分 别 为 20 和 40 的 情 况. 模 型 A-1 对 应 观 测 误 差 2 µas, 观 测 点 数 20, 由 坐 标 速 度 法 确 定 的 轨 道 残 差 的 x 和 y 分 量 分 别 为 µas 和 µas, 由 轨 道 根 数 法 确 定 的 轨 道 半 长 径 和 轨 道 偏 心 率 的 相 对 误 差 分 别 为 1.65% 和 0.92%, 其 他 根 数 的 误 差 均 小 于 10%, 质 量 确 定 的 精 度 较 高, 可 好 于 千 分 之 一 ; 模 型 A-2 对 应 观 测 误 差 2 µas, 观 测 点 数 40, 相 较 于 A-1 各 根 数 的 相 对 误 差 均 显 著 减 小, 即 拟 合 结 果 更 优 ; 模 型 A-3 对 应 观 测 误 差 4 µas, 观 测 点 数 40, 相 较 于 A-2 大 部 分 根 数 的 相 对 误 差 有 所 增 大. 通 过 比 较 不 同 模 型 对 应 的 计 算 结 果 表 明, 观 测 数 据 越 多, 相 对 误 差 越 小, 轨 道 确 定 的 拟 合 结 果 越 可 靠. 表 4 模 型 A-1 A-2 和 A-3 的 计 算 结 果 Table 4 The calculations of the models A-1, A-2, and A-3 Residuals of x and y components and relative Model θ Error /µas /µas Number errors of orbit elements x/µas y/µas a/a e i/180 Ω + ω + M) m/%) /%) /%) /%) /360 /%) A A A 初 值 的 选 取 由 于 观 测 方 程 2) 中 关 于 恒 星 初 始 轨 道 根 数 或 恒 星 初 始 坐 标 速 度 函 数 的 表 示 均 是 非 线 性 的, 故 在 轨 道 确 定 中 需 要 采 用 微 分 迭 代 方 法 求 解 轨 道 估 计 值, 因 此 需 要 选 定 恰 当 的 迭 代 初 值, 以 使 求 解 过 程 收 敛. 对 于 轨 道 初 值 的 选 取, 最 简 单 的 方 法 是 在 一 定 区 间 内 对

10 4 期 许 伟 维 等 : 天 体 测 量 法 探 测 系 外 行 星 431 每 个 待 解 参 数 进 行 扫 描 计 算, 当 迭 代 初 值 被 选 取 在 参 数 收 敛 区 间 时, 便 可 给 出 估 计 值. 本 文 讨 论 的 问 题 涉 及 的 参 数 收 敛 区 间 是 7 维 的, 因 此 要 获 得 收 敛 的 估 计 值, 需 要 较 大 的 扫 描 计 算 量. 为 了 方 便 计 算, 采 用 固 定 Ω ω M m 进 行 a i e 3 维 检 索, 再 固 定 a i e m 进 行 Ω ω M 3 维 检 索. 计 算 结 果 列 于 表 5, 表 中 列 出 的 是 相 对 误 差 百 分 比 值, 需 要 说 明 的 是 其 中 角 度 量 的 误 差 相 对 量 取 180, 偏 心 率 的 误 差 相 对 量 取 为 1, 主 要 是 为 了 避 免 小 偏 心 率 作 为 相 对 量 导 致 相 对 误 差 失 真. 模 型 A-1 和 A-3 的 轨 道 半 长 径 收 敛 区 间 约 为 5%, 其 他 根 数 的 收 敛 区 间 相 对 较 大, 一 般 大 于 10%, 有 些 甚 至 可 达 20%. 从 初 步 的 扫 描 计 算 结 果 看, 轨 道 半 长 径 a 的 迭 代 初 值 选 取 是 影 响 计 算 收 敛 与 否 的 关 键 因 素, 需 要 尽 量 靠 近 估 计 值. Model 表 5 模 型 A-1 和 A-3 的 收 敛 区 间 Table 5 The convergence interval of the models A-1 and A-3 Convergence interval of each orbit element/%) a/a i/180 Ω/180 ω/180 e/1 M/180 A A 关 于 初 始 估 计 取 值 的 约 束 在 上 节 讨 论 中, 为 减 少 计 算 时 间, 对 7 维 参 数 空 间 仅 进 行 了 两 个 3 维 参 数 空 间 扫 描, 且 行 星 质 量 均 是 固 定 的, 没 有 参 与 扫 描 计 算. 事 实 上, 可 通 过 恒 星 空 间 位 置 观 测 资 料 时 间 序 列 对 上 述 7 维 参 数 空 间 进 行 适 当 的 约 束, 降 低 参 数 空 间 的 维 数. 具 体 做 法 如 下 : 已 知 由 天 体 测 量 方 法 给 出 的 某 颗 恒 星 的 位 置 时 间 序 列 x s t j ), y s t j ), j 1, 2,, k, 其 包 含 了 运 动 周 期 信 息, 通 过 对 其 傅 里 叶 谱 分 析 FFT) 可 获 得 轨 道 周 期 p, 再 根 据 开 普 勒 第 三 定 律 可 以 给 出 恒 星 轨 道 半 长 径 a 和 行 星 质 量 m p 之 间 的 关 系 式, p 2 4π2 µ r3 µ G M s + m p ) m p a r M s + m p, 22) 一 般 认 为 M s 的 值 可 由 天 体 物 理 方 法 获 得. 傅 里 叶 谱 分 析 通 常 针 对 等 间 距 数 据 均 匀 采 样 ) 进 行, 故 需 要 先 对 恒 星 的 观 测 数 据 进 行 插 值, 再 利 用 插 值 数 据 进 行 谱 分 析. 此 外, 还 采 用 了 另 一 种 方 法 LSQ 最 小 二 乘 拟 合 ), 将 插 值 后 的 数 据 进 行 最 小 二 乘, 拟 合 成 一 条 正 弦 曲 线, 该 正 弦 曲 线 的 周 期 即 为 恒 星 运 动 周 期. 已 知 gaia 的 观 测 年 限 为 5 yr, 故 进 行 傅 里 叶 谱 分 析 所 选 取 的 模 型 周 期 不 应 该 大 于 5 yr, 否 则 无 法 观 测 到 一 个 完 整 周 期 的 数 据 ; 又 根 据 奈 奎 斯 特 取 样 定 理, 所 选 模 型 周 期 应 限 制 在 2.5 yr 内. 此 处, 我 们 选 取 5.2 节 中 所 建 立 的 模 型 进 行 计 算, 图 3 给 出 了 A-3 模 型 任 意 选 取 )x y 方 向 误 差 数 据 的 分 布 及 进 行 傅 里 叶 分 析 的 结 果, 并 将 计 算 结 果 列 于

11 432 天 文 学 报 57 卷 表 6 中. 表 6 模 型 A-1 A-2 A-3 进 行 最 小 二 乘 拟 合 和 傅 里 叶 分 析 的 结 果 Table 6 The LSQ and FFT results of the models A-1, A-2, and A-3 Model LSQ/d FFT/d Periods/d A A A 图 3 模 型 A-3 的 x y 方 向 数 据 进 行 傅 里 叶 分 析 的 结 果 Fig. 3 The results of x and y components of the model A-3 with FFT 根 据 统 计, LSQ 和 FFT 均 能 实 现 观 测 数 据 的 周 期 分 析. 模 型 A 的 精 确 周 期 为 730 d, 3 个 子 模 型 进 行 FFT 的 结 果 分 别 为 720 d d 和 d, 明 显 要 好 于 LSQ 的 结 果. 对 序 列 {x s t j ), y s t j ), j 1, 2,, k} 在 时 间 域 上 作 平 均, 可 以 获 得 如 下 关 系 式, x 2 s + y 2 s a2 s 2 x s 2 + ȳ s 2 9e2 s 4 a2 s 1 + cos 2 i s ) + O e 2 ), 23) [ 1 sin 2 ω s sin 2 i s ] + O e 3 ). 24)

12 4 期 许 伟 维 等 : 天 体 测 量 法 探 测 系 外 行 星 433 假 定 已 知 行 星 质 量 m p 恒 星 的 平 近 点 角 M 恒 星 的 升 交 点 经 度 Ω 和 恒 星 的 近 星 点 经 度 ω, 可 以 由 上 述 3 个 约 束 关 系 式 21) 23) 式, 近 似 给 出 恒 星 的 轨 道 半 长 径 偏 心 率 和 轨 道 倾 角, 这 样 将 对 7 维 参 数 空 间 扫 描 问 题 降 低 到 4 维 参 数 空 间 扫 描, 可 以 显 著 提 高 计 算 效 率. 当 然, 在 由 观 测 时 间 序 列 计 算 上 述 平 均 值 时, 会 产 生 计 算 误 差, 将 会 直 接 影 响 到 上 述 约 束 条 件 的 精 度. 7 多 行 星 系 统 的 计 算 坐 标 速 度 法 可 以 作 为 天 体 测 量 法 探 测 系 外 行 星 的 基 本 方 法, 不 仅 是 因 为 它 可 以 用 于 小 偏 心 率 轨 道 计 算, 而 且 较 容 易 将 其 推 广 到 多 行 星 系 统, 求 解 各 个 行 星 的 参 数 位 置 速 度 及 质 量 ). 下 面 仅 推 导 由 1 颗 恒 星 和 2 颗 行 星 组 成 的 三 体 系 统 中 恒 星 观 测 方 程 计 算 具 体 关 系 式, n 体 问 题 的 推 导 思 路 类 似. 建 立 如 图 4 所 示 惯 性 坐 标 系, 恒 星 与 两 颗 行 星 质 量 分 别 为 M s m 1 和 m 2, O 为 系 统 的 质 量 中 心, 空 间 位 置 矢 量 如 图 所 示. 图 4 三 体 运 动 坐 标 示 意 图 Fig. 4 The coordinate s sketch of the three-body motion 3 个 天 体 对 应 的 运 动 方 程 为 GM s m i r i r s ) M s rs r i r s 3 i1 m i ri GM sm i r i r s ) r i r j 3 + Gm im j r i r j ) r i r j 3 i, j 1, 2 且 i j), 25) 因 系 统 质 心 为 坐 标 原 点, 由 质 心 运 动 定 理 知 : M s r s + m 1 r 1 + m 2 r 2 0, 26) 其 中, r s x s, y s, z s ). 由 行 星 引 力 导 致 恒 星 运 动 的 观 测 方 程 可 写 为 M s δ 0 + ϱ δ ϖ + µ δ t t 0 ) ηt)) M s x s t) m 1 x 1 t) + m 2 x 2 t) M s α 0 + ϱ α ϖ + µ α t t 0 ) ξt)) M s y s t) m 1 y 1 t) + m 2 y 2 t). 27) 方 程 25) 左 边 分 别 用 η t) ξ t) 表 示, 可 将 其 改 写 为 η t) m 1 x 1 t) + m 2 x 2 t) ξ t) m 1 y 1 t) + m 2 y 2 t), 28)

13 434 天 文 学 报 57 卷 上 式 中, x i t) y i t) 分 别 表 示 第 i 颗 行 星 的 位 置 坐 标 x y 分 量, 它 们 是 运 动 方 程 初 始 条 件 r 1 t 0 ) r 1 t 0 ) m 1 r 2 t 0 ) r 2 t 0 ) m 2 的 函 数. 仿 照 二 体 问 题 微 分 改 正 的 做 法, 假 设 初 始 估 计 值 为 r 1 r 2 r 1 r 2 m 1 m 2, 上 式 在 初 始 运 动 位 置 处 展 开, 对 应 观 测 方 程 的 微 分 改 正 公 式 为 ηt) x i t) m i + i1 i1 j1 ξt) i1 j1 ) x i m i m m j j yi t) m i + i1 i1 j1 i, j 1, 2) m i y i m j ) i1 j1 m j 由 24) 25) 式 可 求 出 行 星 运 动 方 程 为 m i x i r j ) m i y i r j ) r j + r j + i1 j1 i1 j1 Ms + m i GM s r i + m ) j r j M s M s r i M s + m i r i + m 3 Gm j r i r j ) j r j r i r j 3 M s M s m i x i r j m i y i r j ) ) r j + r j +. 29) F i. 30) 令 ri v i, 则 线 性 方 程 组 28) 的 系 数 矩 阵 可 由 行 星 运 动 方 程 及 其 对 应 的 状 态 转 移 矩 阵 联 立 求 得, r i v i v i F i r i, r j, m i ) i j) ) ) d ri vi dt r j r ) j ) d ri vi dt v j v j ) d vi ) F i ri dt r j r i r j ) d vi ) F i ri dt v j r i v j ) ) d ri vi dt m j m j ) d vi ) F i + dt m j m j ) + ) + F i r i F ) ) i rj r j r j F ) ) i rj r j m j v j ) ) ri F + ) ) i rj r j m j, 31)

14 4 期 许 伟 维 等 : 天 体 测 量 法 探 测 系 外 行 星 435 状 态 转 移 方 程 涉 及 到 的 初 始 条 件 为 : 当 t t 0 时, r i H i j) r i, 0, r j 0 i j) v j v i v i H i j) 0,, r j v j 0 i j) r i m j v i m j 0 0 i, j 1, 2). 32) 这 里, H 为 3 阶 单 位 矩 阵. 8 结 论 与 讨 论 本 文 基 于 天 体 测 量 法 给 出 的 恒 星 空 间 位 置 参 数 序 列, 讨 论 了 在 求 解 行 星 质 量 和 轨 道 参 数 时 涉 及 的 动 力 学 条 件 方 程 计 算 问 题 ; 对 于 采 用 Kepler 轨 道 根 数 和 采 用 坐 标 速 度 描 述 形 式 分 别 给 出 了 具 体 微 分 改 正 公 式, 同 时 也 进 行 了 初 步 必 要 的 仿 真 模 拟 计 算 ; 通 过 天 体 力 学 二 体 问 题 运 动 关 系 式, 对 恒 星 空 间 位 置 时 间 序 列 做 平 均 分 析, 推 导 出 了 待 估 参 数 间 存 在 的 3 个 约 束 条 件 关 系 式, 可 以 显 著 提 升 计 算 效 率. 本 文 没 有 对 恒 星 自 行 和 视 差 等 天 体 测 量 参 数 做 解 算 研 究, 以 后 若 有 实 测 数 据, 可 根 据 实 际 情 况 作 具 体 处 理 : 或 单 独 求 解, 或 与 行 星 轨 道 和 质 量 一 起 求 解. 参 考 文 献 [1] Mayor M, Queloz D. Nature, 1995, 368: 355 [2] Michael P. The Exoplanet Handbook. New York: Cambridge University Press, 2011: 3-5 [3] Luisa G J, Luis A, Barbara P. MNRAS, 2014, 443: 260 [4] 姜 明 达, 肖 东, 朱 永 田. 天 文 学 进 展, 2012, 30: 214 [5] Dou J P, Zhu Y T, Ren D Q. Chinese Journal of Nature, 2014, 36: 124 [6] 张 牛, 季 江 徽. 天 文 学 进 展, 2009, 27: 14 [7] Lin D N C, Ida S. ApJ, 1997, 477: 781 [8] Papaloizou J C B, Terquem C. MNRAS, 2001, 325: 221 [9] 金 文 敬. 天 文 学 进 展, 2013, 31: 375 [10] Wright J T, Howard A W. ApJS, 2009, 182: 205 [11] Sara S. Exoplanets. Arizona: University of Arizona Press, 2010: [12] Michael P, Joel H, Gaspar B, et al. ApJ, 2014, 797: 14 [13] Thiele T N. Astronomische Nachrichten, 1883, 104: 245

15 436 天 文 学 报 57 卷 Exoplanet Detection by Astrometric Method XU Wei-wei 1,2,3,4 LIAO Xin-hao 1,3 ZHOU Yong-hong 1,3 XU Xue-qing 1,3 1 Shanghai Astronomical Observatory, Chinese Academy of Sciences, Shanghai ) 2 School of Physical Science and Technology, ShanghaiTech University, Shanghai ) 3 Key Laboratory of Planetary Sciences, Chinese Academy of Sciences, Shanghai ) 4 University of Chinese Academy of Sciences, Beijing ) ABSTRACT As we known, the exoplanets are mostly detected by the methods of radial velocity and transit, only one is found by the astrometric method. As the data of the gaia to be released, astrometry will become one of the most important method for detecting exoplanets gradually. Based on the position sequence of stars, this paper discusses the calculation of the equations of dynamics conditions involved in solving the mass and the orbit parameters of the planet. Due to the deficiency of the available theory orbital element method), we put forward a new method coordinate velocity method). The differential correction formulae of the two methods are presented, as well as the necessary simulation. In addition, the method established in this paper can be applied to the multi-planet system easily. Key words exoplanet, astrometry, celestial mechanics: orbit calculation and determination, methods: data analysis