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稗架水
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1 第 55 卷第 2 期吉林大学学报 ( 理学版 ) Vol.55 No 年 3 月 JournalofJilinUniversity(ScienceEdition) Mar 2017 doi: /j.cnki.jdxblxb Hom-Leibniz 代数的广义导子周佳, 赵昕, 张宇 ( 吉林农业大学信息技术学院, 长春 ) 摘要 : 给出 Hom-Leibniz 代数 L 的广义导子代数 GDer(L) 拟导子代数 QDer(L) 型心 C(L) 拟型心 QC(L) 及中心导子代数 ZDer(L) 的一些基本性质, 并证明 QDer(L) 可以嵌入并成为一个更大的 Hom-Leibniz 代数的导子. 关键词 :Hom-Leibniz 代数 ; 广义导子 ; 拟导子 ; 型心中图分类号 :O152.5 文献标志码 :A 文章编号 : (2017) GeneralizedDerivationsofHom-LeibnizAlgebras ZHOUJia,ZHAO Xin,ZHANG Yu (SchoolofInformationandTechnology,JilinAgriculturalUniversity,Changchun130118,China) Abstract: We gave some basic properties of the generalized derivation algebra GDer(L), quasiderivationalgebraqder(l),centroidc(l),quasicentroidqc(l)andcentralderivationalgebra ZDer(L)ofaHom-LeibnizalgebraL.WealsoprovedthatQDer(L)couldbeembeddedandbecomea largerderivationofhom-leibnizalgebra. Keywords:Hom-Leibnizalgebra;generalizedderivation;quasiderivation;centroid 1 引言与预备知识 [1] 为了刻画 Wit 代数和 Virasoro 代数某些形变的结构,Hartwig 等提出了 Hom- 李代数的概念. [2-3] Hom- 型代数与形变向量各种类型的杨 -Baxter 方程 Braid 群表示和量子群等密切相关. 文献 [4] 给出一种非对称代数的同调, 从而确定了 Leibniz 代数的概念. 与李代数相比,Leibniz 代数的定义中少了反对称的条件, 因此 Leibniz 代数是李代数的推广. 类似地,Hom-Leibniz 代数可视为 Hom- 李代数的推广. [5-6] 导子和广义导子代数在李 ( 超 ) 代数的研究中占主导地位. 本文将文献 [7] 的结果推广到 Hom-Leibniz 代数, 研究 Hom-Leibniz 代数 L 的导子代数 Der(L) 中心导子代数 ZDer(L) 拟导子代数 QDer(L) 和广义导子代数 GDer(L) 的性质. 定义 1 [8] 设 (L,[,]ἀ) 是一个三元组, 其中 :L 为数域 K 上的线性空间 ; 二元运算 [,]:L L L 满足双线性性 ;α:l L 是线性映射. 若 x,y,z L, 有则称 (L,[,]ἀ) 是一个 Hom-Leibniz 代数. [α(x),[y,z]]+ [α(y),[z,x]]+ [α(z),[x,y]]=0, 定义 2 [8] 设 (L,[,]ἀ) 是一个 Hom-Leibniz 代数. 若 x,y L, 有 α([x,y])=[αxἀy], 则称 L 为保积的 Hom-Leibniz 代数. 收稿日期 : 作者简介 : 周佳 (1982 ), 女, 汉族, 硕士, 讲师, 从事李代数的研究, @qq.com. 基金项目 : 吉林省教育厅十二五科学技术研究项目 ( 批准号 : ) 和吉林农业大学科研启动基金 ( 批准号 : ).

2 196 吉林大学学报 ( 理学版 ) 第 55 卷性质 1 设 (L,[,]ἀ) 是一个 Hom-Leibniz 代数. 定义向量空间 End(L) 的子空间及上的线性变换 ~α 满足 : ={u End(L),uα=αu}, ~α:, ~α(u)=αu. 则关于运算 [u,u ]=uu -u u, u,u 构成一个 Hom- 李代数. 证明 : 由定义直接计算可得. 定义 3 [8] 设 (L,[,]ἀ) 是一个保积的 Hom-Leibniz 代数. 若线性映射 D:L L 满足 Dα=αD, [D(x)ἀ k (y)]+ [α k (x),d(y)]=d([x,y]), x,y L. 则称其为 L 的 α ḵ 导子, 其中 k N. 本文把 α ḵ 导子全体记作 Derα k ( L), 令 Der(L) = 췍 Derα k ( L), 则 Der(L) 关于上述括积运算及线性变换 ~α:der(l) Der(L); ~α(d)=dα 是的 Hom- 子代数, 称为 L 的导子代数. 定义 4 设 (L,[,]) 是数域 K 上的 Hom-Leibniz 代数,D End(L). 若存在 D,D End(L), 使得 Dα=αD, D α=αd, D α=αd, [D(x)ἀ k (y)]+ [α k (x),d (y)]=d ([x,y]), x,y L, k N. 则称 D 是 L 的 α ḵ 广义导子. 将 α ḵ 广义导子全体构成的集合记为 GDerα k ( L), 令 GDer(L) = 췍 GDerα k ( L). 易知 GDer(L) 是的 Hom- 子代数, 称其为 L 的广义导子代数. 定义 5 设 (L,[,]) 是数域 K 上的 Hom-Leibniz 代数,D End(L). 若存在 D End(L), 使得 Dα=αD, D α=αd, (1) [D(x)ἀ k (y)]+ [α k (x),d(y)]=d ([x,y]), x,y L, k N, 则称 D 是 L 的 α ḵ 拟导子. 将 α ḵ 拟导子全体构成的集合记为 QDerα k ( L), 令 QDer(L) = 췍 QDerα k ( L). 易知 QDer(L) 是的 Hom- 子代数, 称其为 L 的拟导子代数. 定义 6 设 (L,[,]ἀ) 是数域 K 上的 Hom-Leibniz 代数,D End(L). 若 D 满足 Dα=αD, [D(x)ἀ k (y)]=[α k (x),d(y)]=d([x,y])=0, x,y L, k N, 则称 D 是 L 的 α ḵ 中心导子. 将 α ḵ 中心导子全体构成的集合记为 ZDerα k ( L), 令 ZDer(L) = 췍 ZDerα k ( L). 易知 ZDer(L) 是的 Hom- 理想, 称其为 L 的中心导子代数. 定义 7 设 (L,[,]) 是数域 K 上的 Hom-Leibniz 代数. 令集合 Cα k ( L)={D End(L)Dα=αD,[D(x)ἀ k (y)]=[α k (x),d(y)]= D([x,y]), x,y L,k N}, 且 C(L) = 췍 Cα k ( L), 则称 C(L) 为 L 的型心. 定义 8 设 (L,[,]) 是数域 K 上的 Hom-Leibniz 代数. 令 QCα k ( L)={D End(L)Dα=αD,[D(x)ἀ k (y)]=[α k (x),d(y)], x,y L,k N}, 且 QC(L) = 췍 QCα k ( L), 则称 QC(L) 为 L 的拟型心. 根据上述定义, 易证 ZDer(L) Der(L) QDer(L) GDer(L) End(L). 定义 9 [8] 设 (L,[,]ἀ) 是数域 K 上保积的 Hom-Leibniz 代数. 若

3 第 2 期周佳, 等 :Hom-Leibniz 代数的广义导子 197 则 Z(L) 称为 L 的中心. Z(L)={x L [x,y]=[y,x]=0, y L}, 2 主要结果 2.1 广义导子代数及其子代数命题 1 设 (L,[,]ἀ) 是一个保积的 Hom-Leibniz 代数, 则 : 1)GDer(L),QDer(L) 和 C(L) 是的 Hom- 子代数 ; 2)ZDer(L) 是 Der(L) 的 Hom- 理想. 证明 :1) 设 D1 GDerα k ( s( L),D2 GDerα L). 则 x,y L, 有 [(~α(d1))(x)ἀ k+1 (y)]= [(D1α)(x)ἀ k+1 (y)]=α[d1(x)ἀ k (y)]= α(d 1 ([x,y])- [α k (x),d 1 (y)])= α(d ~ 1 )([x,y])- [α k+1 (x),~α(d 1 )(y)]. 由于 ~α(d 1 ),~α(d 1 ) End(L), 因此 ~α(d1) GDerα k+1( L). 另一方面, 有 [D1D2(x)ἀ k+s (y)]=d 1D 2 ([x,y])+ [α s+k (x),d 2D 1 (y)]- D 2 ([α k (x),d 1 (y)])-d 1 ([α s (x),d 2 (y)]), [D2D1(x)ἀ k+s (y)]=d 2D 1 ([x,y])+ [α s+k (x),d 1D 2 (y)]- 因此 x,y L, 有 D 1 ([α s (x),d 2 (y)])-d 2 ([α k (x),d 1 (y)]), [[D1,D2](x)ἀ k+s (y)]=[d 1,D 2 ]([x,y])- [α k+s (x),[d 1,D 2 ](y)]. 由于 [D 1,D 2 ] End(L),[D 1,D 2 ] End(L), 因此 [D1,D2] GDerα k+s ( L). 从而 GDer(L) 是的 Hom- 子代数. 同理,QGer(L) 是的 Hom- 子代数. 设 D1 Cα k ( s( L),D2 Cα L). 则 x,y L, 有 [~α(d1)(x)ἀ k+1 (y)]=α([d1(x)ἀ k (y)])=α([α k (x),d1(y)])=[α k+1 (x),~α(d1)(y)], 即 ~α(d1) Cα k+1( L). 另一方面, 有 D1([D2(x)ἀ s (y)])-d2([d1(x)ἀ k (y)])= 同理 D1D2([x,y])-D2D1([x,y])=[D1,D2]([x,y]). [α k+s (x),[d1,d2](y)]=[d1,d2]([x,y]), 因此 [D1,D2] Cα k+s( L). 从而 C(L) 是的 Hom- 子代数. 2) 设 D1 ZDerα k ( s( L),D2 Derα L). 则 x,y L, 有 [~α(d1)(x)ἀ k+1 (y)]=α([d1(x)ἀ k (y)])=αd1([x,y])= α(d1)([x,y])=0. ~ 因此 ~α(d1) ZDerα k+1( L). 由于 [[D1,D2]([x,y])]=D1D2([x,y])-D2D1([x,y])=D1([D2(x)ἀ s (y)]+ [α s (x),d2(x)])=0, 又 [[D1,D2](x)ἀ s+k (y)]= [(D1D2 -D2D1)(x)ἀ s+k (y)]= -(D2([D1(x)ἀ k y]- [α s (D1(x)),D2(α k y)])= -[D1(α s (x))ἀ k (D2(y))]=0, 因此 [D1,D2] ZDerα k+s( L). 从而 ZDer(L) 是 Der(L) 的 Hom- 理想. 命题 2 设 (L,[,]ἀ) 是一个保积的 Hom-Leibniz 代数, 则 : 1)[Der(L),C(L)] C(L); 2)[QDer(L),QC(L)] QC(L); 3)[QC(L),QC(L)] QDer(L); 4)C(L) QDer(L).

4 198 吉林大学学报 ( 理学版 ) 第 55 卷证明 :1) 设 D1 GDerα k ( L),D2 Cα s( L), x,y L, 则 [D1D2(x)ἀ k+s (y)]=d1([d2(x)ἀ s (y)])- [α k (D2(x)),D1(α s (y))]= D1([D2(x)ἀ s (y)])- [D2(α k (x))ἀ s (D1(y))]= 且 D1D2([x,y])- [α k+s (x),d2d1(y)], [D2D1(x)ἀ k+s (y)]=d2([d1(x)ἀ k (y)])=d2d1([x,y])-d2([α k (x),d1(y)])= 因此 D2D1([x,y])- [α k+s (x),d2d1(y)]. 另一方面, 有 D1D2([x,y])-D2D1([x,y])=[D1,D2]([x,y]). [D1D2(x)ἀ k+s (y)]=d1([d2(x)ἀ s (y)])- [α k (D2(x)),D1(α s (y))]= D1([α s (x),d2(y)])- [α k+s (x),d2d1(y)]= [D1(α s (x))ἀ k (D2(y))]+ [α k+s (x),d1d2(y)]- [α k+s (x),d2d1(y)]. 同理 [D2D1(x)ἀ k+s (y)]=[d1(α s (x))ἀ k (D2(y))], 则 [α k+s (x),d1d2(y)]- [α k+s (x),d2d1(y)]=[α k+s (x),[d1,d2](y)]. 从而 [D1,D2] Cα s+k ( L). 因此 [Der(L),C(L)] C(L). 2) 同 1) 的证明. 3) 设 D1 QCα k ( s( L),D2 QCα L), x,y L, 则 [α k+s (x),d2d1(y)]- [α k+s (x),d1d2(y)]= -[α k+s (x),[d1,d2](y)], 即 [[D1,D2](x)ἀ k+s (y)]+ [α k+s (x),[d1,d2](y)]=0. 令式 (1) 中 D =0, 易知 [D1,D2] QDerα k+s( L). 4) 与 1)~3) 的证明类似. 定理 1 设 (L,[,]ἀ) 是一个保积的 Hom-Leibniz 代数, 其中 α 是满射,Z(L) 是 L 的中心, 则 [C(L),QC(L)] End(L,Z(L)). 特别地, 若 Z(L)={0}, 则 [C(L),QC(L)]={0}. 证明 : 设 k( s( D1 Cα L),D2 QCα L),x L. 因为 α 是满射, 所以 y L, y L, 使得 y =α k+s (y). 则 [[D1,D2](x),y ]= [[D1,D2](x)ἀ k+s (y)]=[d1d2(x)ἀ k+s (y)]- [D2D1(x)ἀ k+s (y)]= D1([D2(x)ἀ s (y)])- [α s D1(x),D2α k (y)]= D1([D2(x)ἀ s (y)])-d1([α s (x),d2(y)])= 又 D1([D2(x)ἀ s (y)]- [α s (x),d2(y)])=0. [y,[d1,d2](x)]= [α k+s (y),d1d2(x)]- [α k+s (y),d2d1(x)]= D1([α s (y),d2(x)])- [D2α k (y)ἀ s D1(x)]= D1([α s (y),d2(x)])-d1([d2(y)ἀ s (x)])= D1([D2(y)ἀ s (x)]- [D2(y)ἀ s (x)])=0, 从而 [D1,D2](x) Z(L), 即 [D1,D2] End(L,Z(L)). 特别地, 若 Z(L)={0}, 易知 [C(L),QC(L)]=0. 定理 2 设 (L,[,]ἀ) 是一个保积的 Hom-Leibniz 代数,α 是满射. 若 Z(L)={0}, 则 QC(L) 是一个 Hom- 李代数当且仅当 [QC(L),QC(L)]=0.

5 第 2 期周佳, 等 :Hom-Leibniz 代数的广义导子 199 证明 : 必要性. 设 D1 QCα k ( L),D2 QCα s( L),x L. 因为 α 是满射, 则 y L, y L, 使得 y =α k+s (y). 因为 QC(L) 是 Hom- 李代数, 则 [D1,D2] QCα k+s( L), 即由命题 2 中的证明易知, [[D1,D2](x),y ]=[[D1,D2](x)ἀ k+s (y)]=[α k+s (x),[d1,d2](y)]. [[D1,D2](x),y ]=[[D1,D2](x)ἀ k+s (y)]=-[α k+s (x),[d1,d2](y)]. 从而 [[D1,D2](x),y ]=0. 同理 [y,[d1,d2](y)]=0. 故 [D1,D2]=0. 充分性显然. 2.2 Hom-Lebniz 代数的拟导子命题 3 设 (L,[,]ἀ) 是数域 K 上的一个 Hom-Leibniz 代数,t 是一个未定元. 定义 췍 L =L[tF[t]/t 3 ]= { ( x 췍t+y 췍t 2 ):x,y L }, ~α( 췍 L ) = { ( α(x) 췍t+α(y) 췍t 2 ):x,y L }, 则췍 L 关于括积运算 [x 췍 t i,y 췍 t j ]=[x,y] 췍 t i+j ( x,y L,i,j {1,2}) 是一个 Hom-Leibniz 代数. 证明 : 对 x1,x2,x3 L,i,j,k {1,2}, 有 [~α(x1 췍 t i ),[x2 췍 t j,x3 췍 t k ]]= [α(x1),[x2,x3]] 췍 t i+j+k = 因此췍 L 是一个 Hom-Leibniz 代数. 证毕. ([[x1,x2]ἀ(x3)]+ [α(x2),[x1,x3]]) 췍 t i+j+k = [[x1,x2]ἀ(x3)] 췍 t i+j+k + [α(x2),[x1,x3]] 췍 t i+j+k = [[x1 췍 t i,x2 췍 t j ],~α(x3 췍 t k )]+ [~α(x2 췍 t j ),[x1 췍 t i,x3 췍 t k ]]. 为方便, 记 xt(xt 2 )=x 췍 t(x 췍 t 2 ). 设 U 是 L 的子空间, 使得 L=U 췍 [L,L], 则췍 L=Lt+Lt 2 =Lt+ [L,L]t 2 +Ut 2. 定义映射 φ : QDer(L) End( 췍 L ), 使得对任意的 D QDerα k ( L), 有 φ ( D)(at+bt 2 +ut 2 )=D(a)t+D (b)t 2, 其中 D 和 D 满足式 (1), a L,b [L,L],u U. 命题 4 1) φ 是单射且 φ ( D) 与 D 的选取无关 ;2) φ (QDer(L)) Der( 췍 L ). 证明 :1) 若 φ ( D1)=φ ( D2), 则对任意的 a L,b [L,L] 和 u U, 有 φ ( D1)(at+bt 2 +ut 2 )=φ ( D2)(at+bt 2 +ut 2 ), 使得 D1(a)t+D 1 (b)t 2 =D2(a)t+D 2 (b)t 2. 从而 D1(a)=D2(a). 因此 D1=D2, 即 φ 是单射. 假设存在 D 使得且 φ ( D)(at+bt 2 +ut 2 )=D(a)t+D (b)t 2, [D(x)ἀ k (y)]+ [α k (x),d(y)]=d ([x,y]), 则 D ([x,y])=d ([x,y]). 因此 D (b)=d (b). 即 φ ( D)(at+bt 2 +ut 2 )=D(a)t+D (b)t 2 =D(a)t+D (b)t 2. 故 φ ( D) 由 D 决定. 2) 对 i+j 3, 有 [xt i,yt j ]=[x,y]t i+j =0. 故为证 φ ( D) Der( 췍 L ), 只需证 φ ( D)([xt,yt])=[ φ (D)(xt),~α k (yt)]+ [~α k (xt), φ (D)(yt)]. 对任意的 x,y L, 有 φ ( D)([xt,yt])=φ ( D)([x,y]t 2 )=D ([x,y])t 2 =([D(x)ἀ k (y)]+ [α k (x),d(y)])t 2 = [D(x)tἀ k (y)t]+ [α k (x)t,d(y)t]=[ φ (D)(xt),~α k (yt)]+ [~α k (xt), φ (D)(yt)]. 因此, 对任意的 D QDer(L), 有 φ ( D) Der( 췍 L ). 定理 3 设 (L,[,]ἀ) 是保积的 Hom-Leibniz 代数,α 是满射.Z(L)= {0}, 췍 L, φ 定义如前. 则 Der( 췍 L )=φ ( QDer(L)) 췍 ZDer( 췍 L ).

6 200 吉林大学学报 ( 理学版 ) 第 55 卷证明 : 由已知 Z(L)={0}, 得 Z( 췍 L )=Lt 2. 对 g Der( 췍 L ), 有 g(z( 췍 L )) Z( 췍 L ), 因此 g(ut 2 ) g(z( 췍 L )) Z( 췍 L )=Lt 2. 定义映射 f:lt+[l,l]t 2 +Ut 2 Lt 2, 使得易知 f 是线性的. 注意到 ì g(x) Lt 2, x Lt, ï f(x)= íg(x), x Ut 2, ï î0, x [L,L]t 2, f([ 췍 L, 췍 L ])=f([l,l]t 2 )=0, [f( 췍 L ),~α k L] [Lt 2 ἀ k (L)t+α k (L)t 2 ]=0, 因此 f ZDer( 췍 L ). 又由于且 (g-f)(lt)=g(lt)-g(lt) Lt 2 =g(lt)-lt 2 Lt, (g-f)(ut 2 )=0, (g-f)([l,l]t 2 )=g([ 췍 L, 췍 L ]) [ 췍 L, 췍 L ]=[L,L]t 2, 因此存在 D,D End(L), 使得 a L,b [L,L], 有 (g-f)(at)=d(a)t, (g-f)(bt 2 )=D (b)t 2, 其中 D QDer(L). 事实上, a1,a2 L, 因为 (g-f) Der( 췍 L ) 且由 Der( 췍 L ) 的定义, 有即故 D QDer(L). 因此 [(g-f)(a1t),~α k (a2t)]+ [~α k (a1t),(g-f)(a2t)]=(g-f)([a1t,a2t]), [D(a1),~α k (a2)]+ [~α k (a1),d(a2)]=d ([a1,a2]), g-f=φ ( D) φ ( QDer(L)) Der( 췍 L ) φ ( QDer(L))+ZDer( 췍 L ). 由命题 4 中 2) 知,Der( 췍 L )=φ ( QDer(L))+ZDer( 췍 L ). f φ ( QDer(L)) ZDer( 췍 L ), 存在 D QDer(L), 使得 f=φ ( D). 则 a L,b [L,L], 有 f(at+bt 2 +ut 2 )=φ ( D)(at+bt 2 +ut 2 )=D(a)t+D (b)t 2. 另一方面, 由于 f ZDer( 췍 L ), 所以 f(at+bt 2 +ut 2 ) Z( 췍 L )=Lt 2. 即 D(a)=0, a L. 因此 D=0. 从而 f=0. 故 Der( 췍 L )=φ ( QDer(L)) 췍 ZDer( 췍 L ). 参考文献 [1] HartwigJT,Larsson D,SilvestrovS D.DeformationsofLie Algebras Usingσ-Derivations [J].J Algebra, 2006,295(2): [2] YauD.TheHom-Yang-BaxterEquation,Hom-LieAlgebras,andQuasiṯriangularBialgebras[J].JMathPhys, 2009,42(16): [3] YauD.Hom-Quantum GroupsⅠ:QuasiṯriangularHom-Bialgebras[J].JPhysA,2009,45(6):1-5. [4] LodayJL,PirashviliT.UniversalEnvelopingAlgebrasofLeibnizAlgebrasand(co)Homology[J].MathAnn, 1993,296(1): [5] CHENLiangyun,MA Yao,NILin.GeneralizedDerivationsofLieColorLgebras[J].Resultsin Mathematics, 2013,63(3): [6] LegerGF,LuksE M.GeneralizedDerivationsofLieAlgebras[J].JAlgebra,2000,228(1): [7] 周佳, 牛艳君, 陈良云.Hom- 李代数的广义导子 [J]. 数学学报 ( 中文版 ),2015,58(4): (ZHOUJia, NIU Yanjun,CHEN Liangyun.Generalized Derivationsof Hom-Lie Algebras [J].Acta MathematicaSinica (ChineseSeries),2015,58(4): ) [8] CHENG Yongsheng,SU Yucai.(co)HomologyandUniversalCentralExtensionofHom-LeibnizAlgebras[J]. ActaMathematicaSinica(EnglishSeries),2011,27(5): ( 责任编辑 : 李琦 )

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第 35 卷第期西南大学学报 ( 自然科学版 ) 3 年月 Vol.35 No. JouralofSouthwestUiversity (NaturalScieceEditio) Feb. 3 文章编号 :673 9868(3) 69 4 一类积分型 Meyer-KiḡZeler-Bzier 算子的点态逼近赵晓娣, 孙渭滨宁夏大学数学计算机学院, 银川 75 摘要 : 应用一阶 DitziaṉTotik