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颉速钮
5 years ago
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1 量子信息论基础之经典信息论简介基本内容 : 信息的基本概念和度量 : 香农熵信源与信道 : 互信息量, 信源编码香农定理

2 什么是信息 : 获得消息和消除掉的不确定性信息量 : 消除不确定性的度量例子 : 事件 x, 出现概率为 P(x) 特征 : 小概率事件信息量大 P( 下雨 ) >> P( 地震 ) 度量事件 x 的信息量 : 自信息量 I(x)=-log[P(x)] 信息论中, 常以 2 为底数

3 事件集合 : 事件集的信息熵 : 事件中各事件自信息量的统计平均香农熵 : 性质 : 正定性 : H(X)>=0 可加性 : 强可加性 : 上凸性 :

4 信源和信道信源 : 物理属性 ( 空间, 时间 ), 概率属性 ( 无记忆,Markov 信源 ), 数学属性 ( 离散, 连续 ) 信道 : 传送信息 input output

5 信道传输概率矩阵 : 噪声信道数学表示互信息量 : 接收信息 B 后消除的对 A 的不确定性 ( 具有对称性 ) 事件集 {A,B} 的总熵 :

6 零概率事件 : 某些情况下, 零概率不一定表示不可能发生例如在实数轴上取点得有理数或整数的概率为零, 但还是会发生零概率事件给出信息无穷大, 但是由于出现概率为零, 对整体信息量计算没有影响 x*logx=logx/(1/x)-->-x-->0 when x-->0

7 事件集的互信息量 : 各信息量之间的关系图 H(A) H(B) H(A B) I(A,B) H(B A) H(A,B)

8 信道的信息传输率 R: 信道容量 : 对于给定的信道, 总存在一种信源, 使得信息的传输率最大, 这个最大值定义为信道的容量. 信道容量有时也表示为单位时间内可传输的二进制位的位数 ( 称信道的数据传输速率, 位速率 ), 以位 / 秒 (b/s) 形式予以表示, 简记为 bps 信源与信道的匹配性 : R=C 匹配 ; R<C 不匹配 ; 信道剩余度 : C-R

9 信源编码 : 在不失真或者减小失真的情况下尽量减少信号传送信息, 提高传输率信源信源编码信道编码信宿信源译码信道译码编码目的 : 适用于信号传输, 增加抗干扰, 保证尽可能大的传输率道信编码 : 使信源符号序列和码字符号 C 中的码字之间建立的一一对应关系信源输出符号集合 : 编码符号集合 : 码字 : 码元

10 码字集合 : 平均码长 : 新信源的传输率 : 信源符号的平均信息量 ( 比特 / 信源符号 ) 码元符号的平均信息量 ( 比特 / 码元符号 ) 编码符号数 ( 码元符号 / 信源符号 ) 信源编码 : 依据输出符号的统计特性, 寻找一定的方法, 把信源输出的序列变成最短的码字序列, 使每个码字携带的平均信息最大例子 : S: s1 s2 s3 s4 P: 1/2 1/4 1/8 1/8 编码 a: 编码 b:

$香农定理 : 1948 年, 香农第一定理 ( 无失真的信源编码定理 ) {A_i} {P(A_i)} 能否用 m 个元素来表示? m<n 要保证信号无失真 or 差别趋于 0: 例子 1:{a,b} with {P(a)=0.99,P(b)=0.$

11 香农定理 : 1948 年, 香农第一定理 ( 无失真的信源编码定理 ) {A_i} {P(A_i)} 能否用 m 个元素来表示? m<n 要保证信号无失真 or 差别趋于 0: 例子 1:{a,b} with {P(a)=0.99,P(b)=0.01} 二次扩展信源符号集合 {aa,ab,ba,bb} 相应概率 {0.9801,0.0099,0.0099,0.0001} 其中 bb 出现概率很小, 可以近似抛弃, 对整体出错率影响不大故传递三种组合 {aa,ab,ba} 就可达到很高的传输效果随着位数的增加, 其组合序列中有一些序列的出现概率指数逼近零, 故在讨论时可以近似忽略

12 NB: 不是对单个信号一一编码, 而是对信源整个符号序列进行编码, 降低平均码长例子 2:Shannon 编码方法 pj sj Pj mj uj 0.4 C B A F G E D H 按概率大小排序 ; 二进制表示概率 ; 确定码元数目 ; 获得码字

13 第一定理 : 离散无记忆信源的 S^N, 其熵为 H(S^N), 并有码字集合 X, 总可以找到一种编码方法, 使得平均码长满足基本思路 : 引入典型序列 (typical string) log(n!)=nlog(n)-+o(logn) (n 很大 ); log C np n n! log ( np)!(1 np)! 信源 X n[ plog p (1 { x, p } p)log(1 p)] n 很大时, 信源不同的 n 字符串共有 2^{nH(X)} 个 i i 0 p 1 1- p N 次扩展 X,, 1, X X 2, 3 最可能出现的序列, 称为典型序列 p( x, x,, x ) p( x ) p( x ) p( x ) p (1 p) n 1 2 最多有 ( ) 2 nh X 个典型序列码元符号 : X { x, x2,, x n 1 r } np (1 p) n nh ( X ) nh( p)

14 香农第二定理 ( 信道编码定理 ) 目的 : 加入冗余, 增强信号传输稳定性例子 : 二元对称信道编码 : 1 ---> 111, 0 ---> 000 P0 1 P1 0 P0 P0^3 3*P0^2*P1 3*P0*P1^2 P1^ ,101, ,010, 解码 : 少数服从多数 (111,110,101,011)-->1 (000,100,010,001)-->0 错误率 :1-P0^3-3*P0^2*P1=3*P0*P1^2+P1^3 1 0

15 定理 : 当 R<C 时, 存在一种编码, 一方面可以使得最小平均错误译码率 P_{emin} 任意小, 另一方面又可以使得信道传输率 R 无限接近信道容量 C

16 量子信息论基础之量子力学基本假设 1). 量子态 : 叠加原理 2). 力学量 : 厄米算符 3). 量子态的演化 :Schrodinger 方程, 幺正演化 4). 测量假设 : 测量投影假设

17 1) 量子态表示叠加原理量子态 --> Hilbert 空间中的射线 Hilbert 空间 : (a) 复矢量空间 ; (b) 定义内积 ; (c) 存在范数 (d) 完备性同一射线上不同点相差一复数因子, 简单起见, 取归一化表示, 用 Dirac 符号表示 : c 0 c c c ;

18 电子光子原子

19 2) 力学量 : 可以被实验观测的量数学上 :Hilbert 空间中的自共轭算子 ( 厄密矩阵 ) 转置求复共轭 : 对两个测量算符 A 和 B, 其对易算符仍为测量算符 : [A,B]=AB-BA; 但 AB,BA 等一般不测量算符, 除非 [A,B]=0. 性质 : 谱分解定理 A A A ( A T * ) A a ipi i i a i i i

20 3) 量子态的演化孤立系统 : Schrodinger 方程 i t ˆ H H: 系统的哈密尔顿量保内积的映射如果 H 不含时间 ( t) U (0), where U e iht / 幺正演化 U U UU I

21 4). 量子测量假设 Von Neumann 测量假定 : n n n Operator: A n a n n n 测量结果为本征值 a n 之一, 相应的概率为 Pn n 2 如果测量结果为 a n, 则测量以后系统的状态为 n 如果未选择测量结果, 将其表达为混合态系综的形式 n n 2 n n

22 说明 : 测量过程 : 系统 + 测量仪器复合系统测量效果 : 新的量子态制备的过程在量子信息和量子计算中, 测量塌缩与态叠加原理互为一对矛盾量子算法设计中尽量减小不需要结果出现的概率

23 量子力学基本假设 : 1. 量子态 : 叠加原理 2. 力学量 : 厄米算符 3. 量子态的演化 :Schrodinger 方程, 幺正演化 4. 测量假设 : 测量投影假设 Copenhagen Interpretation 哥本哈根解释 : 玻尔, 海森堡玻恩等

24 测量塌缩的物理机制? Zurek 消相干理论 (1982) 塌缩的不可逆性, 世界为什么选择了一种塌缩? 有其他的塌缩宇宙末? 平行宇宙 Everett 多世界理论 (1957)

25 Schrodinger s cat

26 基本假设的延伸孤立系统纯态假定 == 混合态系统孤立系统幺正态演化 == 子系统广义演化测量的投影假定 == 广义测量

27 量子信息论基础之混合量子态和 Schmidt 分解 (0). 空间的直和与直积 H A H A B B H H x (1). 混合态 : 描述复合系统的子系统 a 态不一定是射线 b 测量不一定是正交投影 c 演化不一定幺正纠缠态 : a 0 0 b 1 1 A B A B

28 一些概念正算符 (positive operator) 正定算符 (positive definite operator) 向量和矩阵的张量积 v A v 0 v A v 0 运算规则 : 0 1 ; A B * ai vi wi, bj v ' j w' j ai bj vi v ' j wi w' j i j ij

29 直积运算的基本规律 : A A B A B A B n A B A B A B n B Am 1B Am 2B Amn B A B x A x B x, where x *, T,? ( A B) ai vi wi ai A vi B wi i i

30 A 系统中的力学量 M A M A I B M M I Tr[ M ] A A B A A 约化密度矩阵 : A Tr a B 2 [ AB ] Tr 0 0 b 2 B [ 1 1 AB ] 一般地 : A pi i i i { pi, i i } 组合系综解释复合系统纯态的约化状态

31 (2). 密度算符的特征 1. 自共轭性 : 2. 半正定性 : 3. 归一性 : 4. 对纯态 : 密度矩阵的演化 Tr[ ] 2 U e 0 1 iht / it H H 算符演化的 Heisenberg 方程 i [ H, ] t A [ A, H]

32 矩阵的极分解和奇异值分解定理 : 矩阵的极分解 : A 为矢量空间上的线性算符, 那么存在幺正算符 U 和正定算符 J 和 K, 使得 A=UJ=KU,J=(A + A) 1/2, K=(AA + ) 1/2. 如果 A 可逆, 则 U 是唯一的奇异值分解 : A 为方阵, 则存在幺正矩阵 U 和 V, 及非对角矩阵 D, 满足 A=UDV,D 中的对角元称为 A 的奇异值

34 (3). Schmidt 分解定理适用对象 : 两体系统的纯态二粒子系统 A,B, 其 Hilbert 空间记为 H H AH 任一纯态均可以表示成如下的标准形式 p i i AB i A B i 其中 i 为彼此 Hilbert 空间中的一组正交基, 该空间中的说明 : 与奇异值分解定理的联系子系统约化密度矩阵相同 ; 子系统维数可以不同 ; 若约化密度矩阵的非零本征值不相等, 则 Schmidt 分解形式唯一确定 ; 本征值简并时, 分解形式不唯一. B

37 利用纠缠进行光速通讯的不可能性 A B 在 A 端进行本地的局域测量, 统计测量无法识别两个相同的密度矩阵不能传信息

38 关于量子擦除 : 相对相位信息的擦除与复原 SG(z) 相对相位信息丢失 SG(x) SG(z) 相对相位信息恢复

40 4. GHJW (Gisin-Hughstom-Josza-Wooters) 定理混合态纯化的概念 : 任何一个密度算符, 总可以找到一个扩展空间的纯态, 满足 Tr [ ] A B AB 扩展纯态的形式不唯一定理内容 : 同一个密度算符的任意两个纯化态之间相差一个扩展空间的幺正变换

41 1.4 量子比特及其操作 1. 量子比特 (Qubit): 量子信息的基本单元二能态的量子系统光子原子声子

42 数学描述 c 0 c c1 1 泡利矩阵 :3 个独立的 2x2 厄米矩阵 x = 1 0 c y i 0 1 i = i I, i i i i j ijk k i ; 0 z = 0 1 任何 2x2 厄米矩阵均可表示成泡利矩阵的线性组合 1 1P P ip ( ) I P 2 P1iP P 3

43 det( ) 0 1 ( P P P ) 0 P 1 一一对应 : 混合态 : 单位球内一点纯态 : 球面上一点 P Bloch 矢量 i cos 0 e sin ( ) 2 I n n (sin cos,sin sin,cos )

44 Bloch 矢量用途 1 ( ) 2 I P P ( P, P, P ) x Tr[ ] x P 1 y Tr[ ] y P 2 z Tr[ ] z P n Tr[ ( n )] Tr[ n ] Tr[( P )( n )] 2 2 = P n 一般两 qubit 系统的密度算符

45 (3). 量子比特的操作单比特操作 : 二维空间里的特殊幺正变换 SU(2) U U UU I and det( U ) 1 3 个自由参数 n 比特反转 x Xˆ ; Xˆ 1 Xˆ 0

46 相位反转 : 1 1 ˆ ; 0 0 ˆ ˆ Z Z Z z 比特相位同时反转 : y x z i Hadamard 变换 : 没有经典对应 ˆ H ˆ ˆ H H

47 双比特操作 :( 主要 : 控制 -U 门 ) i. 量子 C-NOT 门电路 ii. 量子控制相位门控制 a a 目标 b c a b ; ; 11 10

48 3 比特量子门 ( 控制 - 控制 -U 门 ) 代表 :Toffli 门 ( 控制 - 控制 - 非门 ) (3)

49 Deutsch 门 : 在 x=y=1 时,z 作一个 R 操作 x y z R 非 SU R irx( ) i exp( i x) 2 / 为无理数 : 不可公度普适性 : 任意 n- 比特上的幺正变换, 都可以通过 Deutsch 门级联实现

50 纯态叠加原理混态密度矩阵力学量幺正演化测量投影假设广义演化广义测量

51 广义测量和广义演化正交测量 :Von Neumann 测量测量算符 : n n n n n n n n 本征值 a n, 概率 A a n n a P Prob( a ) Tr[ P ] n n n 2 测量以后系统的状态为 n 如果未选择测量结果, out n n 2 n n

52 唯象理解 : 在微观状态和经典变量之间建立联系系统和测量仪器共同演化算符测量器件初态测量投影假设宏观可区分

53 Schrodinger s cat

54 广义测量概念的引入大空间中的正交测量在子空间中的表现广义测量 :POVM 表示单位算符的正算符值分解 ) POVM 测量在不同扩张空间中所对应的正交投影

55 正交投影测量在子空间中的表示 : 扩展空间 H H H A A 测量算符 E u u, u H a a a a u, H and H a a a a A a A u u a A a a A a a a A a 定义 E 在子空间 H A中的投影 a where a a a 扩展空间中的正交测量, 在子空间中对应正算符值的测量 (POVM), 也称广义测量 Fa I AEaI A a a a, Fa I AEaI A I A a a,

56 POVM 测量特点 : 1) 正性 2) 厄米性 3) 完备性 4) 正交性 (x) 对于一维算符测量单比特上的 POVM 举例 a Fa F a a F 0 F a Prob( a) Tr( F ) a I a ' Fa Fa a nˆ 0, where 0< 1 and 1 a a a a a F ( I nˆ ˆ ) 2 Eˆ ( nˆ ) 2 nˆ nˆ a a a a a a a a

57 1.5.3 Neumark 定理任何由 n 个一维算符组成的广义测量, 总可以用扩展 Hilbert 空间中的正交测量来实现 i H, and dim( H ) N { F, F,, F } and n N ( 1, 2, ) N n 2 I N N 扩展空间的正交投影 : n n n nn ua a a ua ua Ea In F I E I a N a N a a

58 例子 :

59 一些概念正算符 (positive operator) 正定算符 (positive definite operator) 向量和矩阵的张量积 v A v 0 v A v 0 运算规则 : 0 1 ; A B * ai vi wi, bj v ' j w' j ai bj vi v ' j wi w' j i j ij

60 直积运算的基本规律 : A A B A B A B n A B A B A B n B Am 1B Am 2B Amn B A B x A x B x, where x *, T,? ( A B) ai vi wi ai A vi B wi i i

61 1.5.4 直积空间中的正交测量投影算符初态 AB 末态 A 末态 A 不一定是一维算符厄米性正定的完备的 POVM

62 一维 POVM 在直积空间中的实现如果有一个一维 POVM { F a, a=1 n } 在 H A 中, 能否通过引入一个辅助系统, 通过在中实现一个正交测量来实现? B H H H 能否有 Tr E a A B Tr F a A? A B How? { F, a 1,, n rn}, where dim( H ) N and F a A a a a u = = + H H a a a a 1 a ( r1) a A A = r 1 H H AB A B a a 1 a ( r1) a A B Ea a AB a 0 0 Tr[ E ] Tr[ F ] AB A B a AB a A

63 例子 :

64 1.5.5 超算符问题的引入 : 幺正演化在子系统中的表示算符和表示 : U ( 0 0 ) U 直积 AB A B AB ' A TrB [ U AB( A 0 0 ) U AB] M u AM u $( ) B u M u u U AB 0, M B B um u I A u U AB A B U AB M u A M u

65 给定一个算符和表示, 可以创造一个相应的幺正表示 A 中的初态 A u B 为 B 中的一组正交态 U AB : ( A 0 ) M u A u B u B 由混态的统计解释, 这种表示对一般的混合态也成立给定一个超算符和后, 其算符和表示不唯一 $( ) M M N N A u A u v A v u v N U M v vu u

66 超算符的定义 : 1. 线性性 : 2. 保厄米性 : 3. 保迹性 : 4. 正定性 : $ : ' $( ) $( ) $( ) $( 1) 是厄米的 Tr[$( )] 1, if Tr[ ]= $( ) 0 4. 完全正定性 :$ 任意可能的扩展 $ I B还是正定的更符合物理实际

67 转置算符的非完全正定性 ˆ T T Udiag{,,, } U 1 2 n ˆ * T diag{ 1, 2,, n} 正定 T U U T ˆA I B 的非正定性 1 例如 : 纠缠态 ( ), = 2 T T 1 det( ) 0 16

68 POVM 与超算符的演化 ( 通过超算符的形式可以论证 POVM 与正交测量之间的联系 ) 先由幺正变换将 A 与 B 联系起来, 然后对 B 系统实施一个正交测量, 可以描述为实施在 A 系统上的 POVM U AB : ( A 0 ) M B u A u 直积 u define F M M, u u u Prob( u) Tr[ F ] M M { F u } u u A u u A 厄米正定完备, 构成一组 POVM ' u F u u u Tr[ F ] u u F B

69 1.5.6 Kraus 表示理论任何满足以下条件的超算符总可以写成算符和的形式线性性保厄米保迹性完全正定 $( ) $( ) $( ) $( 1) 是厄米的 Tr[$( )] 1, if Tr[ ]= $( ) 0 $ 任意可能的扩展 $ I B还是正定的 $( ) u u M M M u u M u I A u

70 相对态方法 : 作用在子空间 H A 中的算符对应方法 : defin e 建立对应关系 * * B i i B 扩展空间 H 中的量子态 A H N dim( H ) dim( H ) i i ', for a given state AB A B i a * A A B A B i ( M I ) M i i ', M A B AB A A B i ( M I ) A A * A B AB AB i B a i B i A M M I * A作用到上等价于 ( A B) 作用到, 再用投影 A AB B

71 $ 完全正定, $ I 正定 $ I( ) 为正定算符 A A B A B AB $ I ( ) q ( 厄米的 ) A B 其中 q 0, q 1, N u u u u u AB ( 保迹性 ) $ ( ) $ I( ) A A 定义 H A中的算符 M : M B u q * * A B u B * * u AB u * u u A u B u q B B AB M u 线性映射 ; 厄米性 : 保迹性 : $( ) M M A u Tr[$( )] 1 M M I A u A u u u u A

72 推论 : 算符 1 Mu 的个数最大为 N 推论 2: 同一个超算符, 可以对应不同的算符和 2. 表示 { N } 和 { M } N M U v u v u uv u.

73 广义测量和广义演化小结在量子信息中,Von Neumann 测量和幺正演化不是普遍的 ; 最普遍的测量为 POVM 测量, 较普遍的演化为算符和演化 ; 初态为直积态, 无纠缠 POVM 测量和算符和演化对应于扩展空间中的 Von Neumann 测量和幺正演化

74 1.5.7 主方程 ( 子系统的动力学演化 ) Markov 近似 : 系统对过去的历史无记忆, 系统的演化只取决于当前的状态 Lindblad 方程初态为直积态, 无纠缠 M I ( K ih) t; 0 u 0 u 0 u ( t) M ( t) M ( t) O( t) M ˆ u tl Lindblad operator u 1 ˆ L ˆ ulu 2 u0 1 1 t( t)= i[ H, ( t)] ( Lu Lu Lu Lu Lu Lu ) u 2 2 K

75 1.6 EPR 佯谬,Bell 不等式,CHSH 不等式 EPR 佯谬局域实在论假定 : 1. 物理实在 : 系统无干扰的情况下, 如果我们能确定地预言一个物理量的值, 那么这个物理量就必定是一个客观实在, 对应着一个物理实在元素 ; 唯物论 2. 完备性 : 一个完备的理论应当包括所有的物理实在元素 ; 3. 局域性 : 对于类空分开的无相互作用的两系统, 对其中一个作用一定不影响另一个系统

76 从局域实在论出发攻击量子力学 EPR Paradox 1935 正则坐标与正则动量 [ xˆ, pˆ ] i ˆ ˆ ( x1, p1) 2 2 xˆ xˆ Const, pˆ pˆ 可以处在 ( xˆ xˆ ) 和 ( pˆ pˆ ) 的共同本征态 ( xˆ xˆ L) ( pˆ pˆ ) 测量 xˆ 和 pˆ, 可以同时确定 xˆ 和 pˆ xˆ 和 pˆ 应该是物理实在, 同样 xˆ 和 pˆ 也是物理实在 ( xˆ, pˆ ) 量子力学不能精确预言 xˆ 和 pˆ, 所以不完备

77 Bell 不等式和 CHSH 不等式 : 比较局域隐变量理论与量子力学哪个合理, 正确 e1, e 2为空间任意两个方向粒子 1 的自旋 e, 测量值 A( e ) 1 1 粒子 2 的自旋 e, 测量值 B( e ) 2 2 来自同一源的两粒子隐变量理论 : 存在某个隐藏的参数决定 A(e1),B(e2) 的值 A( e, ) { 1} and B( e, ) { 1} 1 2 假定分布函数 : d ( ) 1, 则局域测量 ( e ),( e ) ) 的相关函数 P( e, e ) d( ) A( e, ) B( e 2, ) 源

假定系综反关联 : A( e, ) B( e, ) 源 P( e, e ) P( e, e ' ) 1 2 1 2 来自同一源的两粒子 d( )[ A( e, )

经典隐变量预言 P( e, e ) - P( e, e ' ) 1 2 1 2 1 2 2 2 d( ) A( e, ) B( e, )[1 A( e, ) B(

78 假定系综反关联 : A( e, ) B( e, ) 源 P( e, e ) P( e, e ' ) 来自同一源的两粒子 d( )[ A( e, ) B( e, ) A( e, ) B( e ', )] d( ) A( e, ) B( e, )[1 A( e, ) B( e ', )] 经典隐变量预言 P( e, e ) - P( e, e ' ) d( ) A( e, ) B( e, )[1 A( e, ) B( e ', )] d( ) A( e, ) B( e, ) [1 A( e, ) B( e ', )] = 1 Pe (, e ' )

79 量子力学预言 :Bell 不等式自旋单纯态 : ( A B 沿同一方向测量结果反关联 ) 0 P( e, e ) ( e )( e ) - A B e e - A A - i j i i 隐变量理论对应的不等式为 : cos( e, e ) 1 2 cos( e, e ) cos( e, e ' ) 1 cos( e, e ' ) 量子力学可以违背这一结果 cos 1sin 为锐角时, 上述不等式违背 e 1 e 2 ' 经典结果和量子力学预言相违背! e 2

80 CHSH 不等式及其最大违背经典变量量子力学处理 ab ( a ) ( b ) cos( a b) 举例 b a b a

81 CHSH 不等式及其最大违背 a a

82 非最大纠缠态举例 : 选择测量方向 : CHSH 不等式 : violated!

83 无不等式的 Bell 定理 : 三粒子 GHZ 态为例 1 GHZ 态 GHZ 对于量子力学有 : X Y Z为 Pauli算符 { X Y Y, Y X Y, Y Y X } GHZ GHZ X X X GHZ GHZ 依定域实在论假定 : 测 2 3 粒子的 3 YY X1 1 1 X 1 所以 X1 为物理实在, 同理 {X2,X3,Y1,Y2,Y3} 均为物理实在 m m m 1; m m m 1; m m m 1 X Y Y Y X Y Y Y X 实际上 : m m m X X X GHZ X X X GHZ 1 1 量子力学与经典结果不相容

84 Bell 不等式的试验检验

86 1.7 量子纠缠简介纠缠的定义和特性历史 :EPR(35) Bell 不等式 (60s) 量子密码 (92 ) 量子 teleportation,dense-coding(90s) 量子纠缠于量子通讯和计算量子编码.. 量子纠缠的分类和定量化的必须量子纠缠与物理 : 量子相变量子热力学发展新算法纠缠态的定义 : 纯态 : 不能表示成两个或者多个子系统的直积形式对于两体 :Schmidt 分解项数大于 1 混合态 : 可分态和纠缠态 AB p A B

量子纠缠和经典关联 1 AB 00 00 11 11 2 1 AB 00 11 2 经典关联态可以通过经典通讯和局域态制备实现纠缠的特性 :LOCC

87 量子纠缠和经典关联 1 AB AB 经典关联态可以通过经典通讯和局域态制备实现纠缠的特性 :LOCC 下纠缠不能增加 LO(local operation): 包括局域的 POVM 和广义演化经典通讯 (classical communication)

88 1.7.2 纠缠的度量纠缠定量化的基本要求 : 1. 密度矩阵到正实数之间的映射 ; 2. 对于可分态, 纠缠度为 0; 3. LOCC 下, 平均纠缠度不能增加 ; 4. 对于两体纯态, 纠缠度退化为子系统约化密度矩阵的 Von Neumann 熵 E( ) R Ai A i E( ) pie ), where [ ] pi Tr Ai Ai i Tr[ Ai Ai ] A 为 LOCC操作 i A B E( ) S Tr [ ] S Tr [ ] AB AB AB 可分操作 /LOCC 操作

89 Eg: 两体纯态的纠缠 E( ) S A S B AB 密度矩阵的 Von Neumann 熵 2 S Tr[ log ] i a i i, a i i i A B A i i E ( ) S a log 2 a A A i i i Bell态 :, 2 2 E( ) 1

90 两体复合系统的纠缠度量 : 1. 生成纠缠 (entanglement of formation): 制备目标状态所消耗的 Bell 基的平均最小数目 : A B Bell n 先共享基, 假设制备出 AB, 若制备 AB 需要 k个 Bell基, 则生成纠缠 E F lim n k n min 压缩后用 Bell 基传输

91 2. 蒸馏纠缠 (entanglement of distillation): 通过 LOCC过程, 可以从目标纠缠态中提取的最大 Bell 基数目, k ' 若有 n个 AB, 可以提取 k' 个 bell基, 则蒸馏纠缠 ED lim n n 对于纯态, 两种纠缠度量均等于 Von Neumann 熵纠缠纯化 or 纠缠浓缩 : LOCC 下, 从部分纠缠态中提取最大纠缠态 max ( ) cos 00 sin 11, ( ) cos 00 sin 11 AB A子系统 : cos 0 0 sin 1 1 n 2 2 A n 按 1 的数目划分的子空间 : H H0 H1 Hn 1 n 2 m 2 nm 投影到 H m中的概率 : Pm ( ) (sin ) (cos ) m, 当 m nsin 2 时概率最大 AB n n n

92 典型子空间 : 2 p( x, x,, x n ) 2 n[ H ( X ) ] n[ H ( X ) ] 1 2 x p x x, S( ) p log p H({ p }) x x 2 x x x 典型子空间, 数目为 T( n, ), 投影子为 P( n, ) P n x x x x x x (, ) n n x典型序列 n 给定 0, 对任意 > 0, 当 N 时, Tr[ P( n, ) ] ( 1- ) 当 N 时, 所有典型子空间维数 (1- )2 T ( n, ) 2 n[ H ( X ) ] n[ H ( X ) ] 当 R H( X ) 时, 任意 2 nr 维子空间的投影几率在 N 时可以任意小典型子空间状态可以用 ns( ) 个 bit进行编码 Schumacher 量子无噪声信道编码定理

93 投影到中的概率 : 1 2 H m P( m nsin ) ~ 1 1 n n! n! 投影到 H m中的项数 : ~ 2 2 m m!( n m)! ( nsin )!( n cos )! Stirling's formula : n!~ n n e n n n ne ~ 2 2 ( n sin ) ( n cos ) e 2 nsin 2 n cos n = 1 (sin ) (cos ) ns ( A ) = nsin 2 ncos S( ) (cos ) log (cos ) (sin ) log (sin ) A 2 2 典型子空间的维数 : E D k ' lim S( ) n A n 一般情况下 : E F E D 另一种形式 :

94 2-qubit 纠缠 : PRL 80,2245(1998). 并发度 or 共生 (concurrence) 生成纠缠 : 对于纯态 : * ( y y ) ( y y ) R, 其本征值为 Concurrence: C( )=max{0, } E F C( ) ( ) h( ) where h( x) x log x (1 x)log (1 x) 2 2 反幺正变换

95 基于距离的纠缠度量 D: 非纠缠态集合 T: 所有量子态集合 E=T-D: 所有纠缠态集合 T D 均为凸集合, T( D) (1 ) T( D) E( ) min D( ) D 相对熵距离定义 : S( ) Tr[ (log log )] 2 2 S( ) 0, ( klein不等式 ) D T 纯态下, 退化为 Von Neumann 熵

96 Negativity: 部分转置 : ij, kl i j k l ij, kl A B T B ij, kl i j l k ij, kl A B TB TB 如果可分, 则仍为密度矩阵 N ( ) i i T B i T B 为的本征值 X Tr X X logarithmic negativity B E ( ) log T N 2

97 多体纠缠的度量 ( 尚未完成 ) Eg: 三体纯态 (ABC), 如果 AB 纠缠度大, 则 BC 纠缠度就很小 ; 如果 AB 最大纠缠, 则 AC BC 无纠缠三体 -tangle 度量, 对应并发度的平方 GHZ 态有最大的 tangle,w(werner) 态没有 tangle ( A: BCD ) ( A: B) ( A: C) ( A: D)

98 量子图态 : One-way 量子计算 : 基于测量的量子计算

99 多体纠缠的判定和分类 : 判定两子系统的必要条件 :Peres-Horodecki 判据两体密度矩阵可分, 则其部分转置矩阵仍为半正定的密度矩阵 TB T au, v u v au, vu v uv, uv, B 部分转置正定 :PPT(Positive Partial Transpose ) Horodecki 证明 : 对于 2x2,2x3 系统,P-H 判据为可分态的充要条件 PPT E ( ) 0, 但是 E ( ) 不一定为 0 D 束缚纠缠态的存在 :PPT,NPT 可蒸馏纠缠态 :NPT F 束缚纠缠态

100 Entanglement witness ( 纠缠目击 ) 若有 W W 可分态 : Tr[ W ] 0; 可分态 : Tr[ W] 0; W为的纠缠目击算符 (entanglement witness) 2-qubit 系统 Bell 不等式与 Witness:

101 其他的可分性判据及量子纠缠的当前研究现状 :

102 1.8 量子信息论 Von Neumann 熵定义 : 数学性质 : 2 ai i i i 2 2 S ai log 2 a i i

103 次加性强次加性

104 熵与热力学的关系 : 初始直积态 : 经过演化 : 次加性 : 各子系统的熵之和增加! 热力学第二定律的另一种角度

105 可提取信息与 Holevo 极限定理经典信源 :{ x, p } H( X ) p log 2 p x x x x 量子信源 :{, p }, p x x x x x 定义 Holevo 信息 : ( ) S( ) p S( ) x x x 性质 : 经典互信息 : 正定性 : ( ) 0 Lindhard-Uhlmann 定理 : 操算符演化不能使 Holevo 信息增加等号对应幺正演化

106 {, } 经典 :x p x 编码信道输出 : ' = { p, Sˆ ( )} x x 测量提取信息 Alice 制备量子信源 Bob 进行 POVM 测量 P( x) p, P( y) p( x, y) x x x 2 x y 2 y 2 x y xy H( X ) p log p, H( Y ) p log p, H( XY ) p( x, y)log p( x, y) Acc( ) max I( x, y) 可提取信息量 { } Holevo 极限定理 Acc( ) ( ) F y

107 Von-Neumann 交互熵 : S( A: B) S( A) S( B) S( AB) $ B 信息扩散到环境中 S( A' : B') S( A') S( B') S( A' B') S( A: B) S( A' : B')

108 Holevo 定理的定性理解 : PQM px x x x x 0 0 经典随机变量 :P 编码状态 :Q 测量输出 :M P' Q ' M ' S( P : Q) S( P : QM ) p x x $ 0 0 x x 信道演化 + 测量 S( P : QM ) S( P' : Q' M ') S( P' : M ') y E y x S( P : Q) S( P' : M ') x E y y y Holevo bound 测量能提取的互信息量

109 左边 : 右边 :

110 讨论 : 等号成立当且仅当 x 正交从测量结果精确提取 X 的信息几乎是不可能的对于纯态 : 等概率制备 Holevo bound 取最大值 1 个 qubit 不能容载超过 1 个 bit 的信息

111 量子信源编码定理 {, } px x x p x x x n 当 n 时, 可用 ns( ) 个量子比特表示信源符号典型序列和典型子空间信源 X { x, p } i i 0 p 1 1- p N 次扩展 X,, 1, X X 2, 3 最可能出现的序列, 称为典型序列 p( x, x,, x ) p( x ) p( x ) p( x ) p (1 p) n 1 2 最多有 ( ) 2 nh X n 个典型序列 np (1 p) n nh ( X )

112 典型序列 : 性质 : 2 p( x, x,, x n ) 2 n[ H ( X ) ] n[ H ( X ) ] 1 2 给定 0, 对任意 > 0, 当 N 时, 所有典型序列的几率和至少为 ( 1- ) 当 N 时, 所有典型序列的数目 (1- )2 T ( n, ) 2 n[ H ( X ) ] n[ H ( X ) ] 当 R H( X ) 时, 任意 2 nr 个序列的几率和在 N 时可以任意小典型序列可以用 nh( X) 个 bit进行编码香农第一定理推广到量子编码情况

113 典型子空间 : 2 p( x, x,, x n ) 2 n[ H ( X ) ] n[ H ( X ) ] 1 2 x p x x, S( ) p log p H({ p }) x x 2 x x x 典型子空间, 数目为 T( n, ), 投影子为 P( n, ) P n x x x x x x (, ) n n x典型序列 n 给定 0, 对任意 > 0, 当 N 时, Tr[ P( n, ) ] ( 1- ) 当 N 时, 所有典型子空间维数 (1- )2 T ( n, ) 2 n[ H ( X ) ] n[ H ( X ) ] 当 R H( X ) 时, 任意 2 nr 维子空间的投影几率在 N 时可以任意小典型子空间状态可以用 ns( ) 个 bit进行编码 Schumacher 量子无噪声信道编码定理

114 编码思路 : 投影到 H 为典型空间, E为其投影子, 编码率 R S( )+ 先将向中投影, 则投影到中的概率 = [ ]= - n n P Tr E 1, 然后对典型空间中的转态进行编码, 然后发送 ; 中的几率可忽略 U 0 typical Alice 制备过程 : comp rest 1 U comp 0rest typical ' E E ( I E) i i i i i i, typical i i Bob 测量成功概率 : ns [ ( ) ] 个比特 4 2 F p ' p E p 2 E 1 1 i i i i i i i i i i i 有效!

115 噪声信道的经典信息容量 C 前提 : 直积态编码 1 2 n Holevo-Schumacher-Westmoreland (HSW) theorem: 噪声信道的直积态容量 : 设为保迹映射 ( ) max S p j j p js j {p j, j} j j 对所有系综求最大对于纠缠态编码, 猜想可能与直积态结论相同, 但尚未证明,

116 信息论 : 经典与量子对比经典量子熵 : Shanon 熵 Von Neumann 熵 H ( X ) - p log p S( ) - Tr[ log ] { } x x max I( X, Y ) p x 2 x 2 可提取信息 : 经典码可以识别 Holevo极限定理无噪声信道 : Shanon I: n H ( X ) Schumacher定理 : n S( ) 噪声信道 : S hanon II: HSW定理 ( 经典信息容量 ) C 信道容量????????

117 量子态 : 第一章主要知识点纯态, 混合态, 约化密度矩阵,Bloch 矢量,Schmidt 分解, 量子态的纯化 ; 态演化与测量 : 单比特操作, 双比特操作,Pauli 矩阵, 广义演化,Kraus 表示, 广义测量,POVM 测量, 测量与演化的关系 ; 非局域性 : EPR 佯谬,Bell 不等式及变形, 纠缠的定义度量及判定 ; 信息论 : 信息量,Shannon 熵,Von Neumann 熵, 可提取信息, 典型子空间, 编码定理

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什么是信息 : 获得消息和消除掉的不确定性信息量 : 消除不确定性的度量例子 : 事件 x, 出现概率为 P(x) 特征 : 小概率事件信息量大 P( 下雨 ) >> P( 地震 ) 度量事件 x 的信息量 : 自信息量 I(x)=-log[P(x)] 信息论中, 常以 2 为底数

什么是信息 : 获得消息和消除掉的不确定性信息量 : 消除不确定性的度量例子 : 事件 x, 出现概率为 P(x) 特征 : 小概率事件信息量大 P( 下雨 ) >> P( 地震 ) 度量事件 x 的信息量 : 自信息量 I(x)=-log[P(x)] 信息论中, 常以 2 为底数量子信息论基础之经典信息论简介基本内容 : 信息的基本概念和度量 : 香农熵信源与信道 : 互信息量, 信源编码香农定理什么是信息 : 获得消息和消除掉的不确定性信息量 : 消除不确定性的度量例子 : 事件 x, 出现概率为 P(x) 特征 : 小概率事件信息量大 P( 下雨 ) >> P( 地震 ) 度量事件 x 的信息量 : 自信息量 I(x)=-log[P(x)] 信息论中, 常以