Microsoft Word - 1-5三角測量_修改_.doc

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苦半宋
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1 1 5 三角測量現實生活中涉及的測量問題很多, 如測量河寬山高等往往由於地形條件的限制, 有一些數據不容易被直接測量, 這時就需要利用一些容易測量到的數據, 並透過正弦定理與餘弦定理加以計算, 求出不易被測量的數據不過三角測量所用到的角度, 並不一定都是特別角 30,45 或 60, 而這些非特別角的正弦餘弦與正切, 雖然有些可利用和角差角倍角或半角等公式求出來, 但大部分並非可經由這樣的計算得到的, 這時我們可以透過查表或電算器, 求得這些角度的正弦餘弦與正切給定一個廣義角 θ, 則正弦 sinθ 餘弦 cosθ 正切 tanθ 都分別確定, 故正弦餘弦正切都是一種函數, 依次稱為正弦函數餘弦函數與正切函數, 它們統稱為三角函數 ( 甲 ) 銳角的正弦餘弦與正切之求法 (1) 查三角函數值表前面說過任意的廣義角 ( 非象限角 ), 都可以藉由參考角, 求出它的正弦餘弦與正切, 所以我們把 0 到 90 之間的角度與其對應的正弦餘弦與正切列成一張表, 稱為三角函數值表我們將 1 度等分為 60 分, 即 1 度 =60 分, 記作 1 =6 表中以 1 為一間隔, 此表共有四行, 結構說明如下 : 三角函數值表的介紹 : 左起第一行表示角度 θ, 由上而下依次是 0,0 1,,44 5,45 ; 第二行至第四行的最上面一列, 由左至右依次寫著符號 sin,cos,tan, 而這些符號下面的數就是這些角度 θ 對應的 sinθ,cosθ,tanθ 之值 ( 大部分為近似值 ) 最右邊的一行也是表示角度 θ, 由下而上依次是 45,45 1,,89 5, 90 ; 第二行第三行第五行的最下面一列, 由左至右, 依次寫著符號 cos,sin,tan 而這些符號上面的數, 就是這些角度 θ 對應的 cosθ,sinθ, tanθ 之值 ( 或近似值 ) 如何查三角函數值表 : 根據下表, 若 x=cos 25 1, 則 x~0.9051, 若 cosθ=0.9051, 則 θ~25 1; 又若 x=sin 64 5, 則 x~0.9051, 若 sinθ=0.9051, 則 θ~64 5 ( 練習 1) 利用三角函數值表求下列各小題 : ~1 5 1~

2 (1)cos15 20 / (2)sin50 10 / (3)tan / Ans:(1) (2) (3) (2) 利用線性內插法從 0 到 90 中, 以 10 / 為單位者, 其三角函數值可從表中查出值, 但單位更小者, 無法從表中查出, 故使用線性內插法求之 [ 例題 1] 利用本書所附的三角函數值表, 求 sin 33 33' 的近似值 [ 解法 ]: 查表無法查出 sin 33 33', 只能查到其鄰近的 sin 33 3~ 與 sin 33 4~ 因為當角度 θ 由 0 漸漸遞增到 90 時, sinθ 也由 0 漸漸增為 1, 所以 sin 33 33' 之值必大於且小於設 sin 33 33'=y, 如右圖所示, 則 CE =y , BF = AE =33 33'-33 3=33'-3, AF = =4-3 因為 33 33' 與 33 4 非常接近, 所以 DE ~ CE =y 在 ABF 中, DE // BF, 故即 DE = 33'-3 4-3, DE AE BF = AF, 整理得 DE = = , 而 y = CE ~ DE, 於是 sin 33 33'=y~ = ~ θ sinθ ' y [ 例題 2] 設 cos40 =0.7660,cos41 =0.7547, 請利用線性內插法 (1) 求 cos40 10 / 之近似值 (2) 若 cosθ=0.76, 求銳角 θ 的近似值 [ 解答 ]: (1) 因為角度由 0 增加到 90 時, 餘弦值會愈來愈小, y 所以 cos41 < cos40 10 / <cos40 設 y=cos40 10 /,A(40,0.7660) B(41,0.7547) 因為 / 40 都很接近, 故 C(40 10 /,y) 可視為 AB 上的點 y / 40 = y =( 10/ /) ( ) y= (2) 根據線性內插法的精神, y A C O / 41 B x ~1 5 2~

cosθ cos40 = cos41 cos40 41 40 θ 40 =( θ 40 41 40 cos41 cos40 )(cosθ cos40 ) 1 θ=40 +.(0.76 0.7660) θ=40.53 0.7547 0.

8030, 且 180 <θ <270, 則 θ = Ans:233 25 / (3) 利用計算機 (a) 利用 Windows 系統中的小算盤來計算 : 在檢視 (V) 中選取工程型 (S) 出現的視窗如右圖 (b) 要計算 sin43 30 /,43 30 / =43.5 輸入 43.5, 再點選 sin, 即得下圖 sin43.5 0.

3 cosθ cos40 = cos41 cos θ 40 =( θ cos41 cos40 )(cosθ cos40 ) 1 θ=40 +.( ) θ= ( 練習 2) 利用三角函數值表與線性內插法, 試求下列各小題 : (1)cos17 45 / (2)θ 為銳角且 tanθ=0.1923, 求 θ 的近似值 Ans:(1) (2)10 53 / ( 練習 3) 若 sin53 20 / =0.8021,sin53 30 / =0.8039,sinθ = , 且 180 <θ <270, 則 θ = Ans: / (3) 利用計算機 (a) 利用 Windows 系統中的小算盤來計算 : 在檢視 (V) 中選取工程型 (S) 出現的視窗如右圖 (b) 要計算 sin43 30 /,43 30 / =43.5 輸入 43.5, 再點選 sin, 即得下圖 sin ( 乙 ) 平面與立體測量前面已學過初步的三角學的基礎知識與概念, 接下來利用這些知識去解決一些實際測量上的問題, 而測量上的問題, 時常會牽涉到方向與距離一個物體的方向, 又必須藉助觀察者對該物體所在位置的仰角俯角或方位來描述, 因此在處理測量問題之前, 要先介紹測量上常用的一些術語一般而言, 目標物與地心的連線叫做鉛垂線, 而透過觀測者眼睛與鉛垂線垂直的直線, 叫做水平線, 如圖另外, 通過觀測者眼睛與目標物觀測點的直線, 叫做視線, 至於仰視目標物或俯視目標物時, 視線與水平線間所夾的銳角, 則分別稱為仰角與俯角 ~1 5 3~

4 (a) (b) 另外方位也很重要, 除了大家熟知的東西南北四個主要方位外, 如果想進一步更精確地指出目標物的方位時, 我們就必須配合角度說明 : 如右圖, 假設觀測者所在的位置為 O 點, 那麼 A 點的方位為東 25 北 ( 或北 65 東 ); B 點的方位為西 41 北 ( 或北 49 西 ); C 點的方位為西 72 南 ( 或南 18 西 ); D 點的方位為東 35 南 ( 或南 55 東 ) 至於東北方位西北方位西南方位東南方位分別指的是東 45 北西 45 北西 45 南與東 45 南 [ 例題 3] 在 A B 兩支旗竿底端連線段中某一點測得 A 旗竿頂端的仰角為 29 B 旗竿頂端的仰角為 15 在底端連線段中另一點測得 A 旗竿頂端的仰角為 26 B 旗竿頂端的仰角為 19 則 A 旗竿高度和 B 旗竿高度的比值約為 ( 四捨五入到小數點後第一位 ) Ans:3.3 (2009 指定甲 ) ~1 5 4~

5 [ 例題 4] 如圖所示, 設 AB=30, 1=60, 2=45, 3=30, 4=60, 求 PQ=? [ 解答 ]: ( 法一 ) (1) 在 ΔABP 中, 因為 5=45, 故 AP= 30.sin30 = 15 2 sin45 在 ΔABQ 中, 因為 6=45, 故 AQ= 30.sin90 =30 2 sin45 (2) 在 ΔAPQ 中, 根據餘弦定理 PQ 2 =(15 2) 2 +(30 2) cos60 =1350 PQ=15 6 ( 法二 ) (1) 因為 1= 4, 故可得知 ABQP 四點共圓, 設外接圓半徑為 R AB (2) 在 ΔABP 中, = 2R, 在 ΔAPQ 中, sin 45 故 PQ= 30.sin60 =15 6 sin45 PQ sin 60 = 2R [ 例題 5] 一船向東 37 南航行, 速度為 50 浬 / 時, 於上午九時, 測得一島之方向為東 53 北, 若航向與速度不變, 繼續航行, 至同日中午十二時, 再測得該島之方向為北 23 西, 則當時 ( 中午十二時 ) 船與該島的距離為多少浬? [ 解法 ]: [ 解答 ]: 如圖, 船於上午 9 點上午 12 點的位置在 A B 兩點,C 點代表小北島的位置依題意可知 ΔABC 為直角三角形, C( 小島 ) 且 BAC=90, CBA=53 23 =30, ACB=60, AB= 設 BC=x, 可得 3 = x 2 x=100 3 西 A 東 B ( 練習 4) 某人測得一山峰之仰角為 30, 他向山前進 200 公尺, 再測得山峰之仰角為 45, 則山高為多少公尺? Ans:100( 3+1) 公尺南 ( 練習 5) ΔABC 為邊長為 5 的正三角形,P 點在三角形內部, 若線段長度 PB=4 且 PC=3, 則 cos ABP= ( 四捨五入到小數點後第二位, 2 的近似值是 1.414, 3 的近似值是 1.732) Ans:0.92 (2009 指定甲 ) ( 練習 6) 例題四中, 若 1=75, 2=45, 3=30, 4=45, AB=30, 求 PQ=? ~1 5 5~

6 Ans:10 15 ( 練習 7) 設有一湖, 欲測湖岸兩點 CD 長, 但湖岸築有鐵絲網不能靠近, 在鐵絲網外取 A B 兩點間距離為 30 公尺, 分別自 A B 可看到其餘三點 C D B 或 C D A, 因而測得如圖, CAB=120, DBA=135, DAB =30, CBA=45, 則 CD 長為公尺 Ans:30( 6+ 2) ( 練習 8) 如下圖, 地面上兩點 B,C 被一池塘隔開, 在地面上找一點 A, 量得 AB =80 公尺, AC=50 公尺, 並測得 CAB=60, 則 BC= 公尺 Ans:70 ( 練習 9) 設一颱風中心為 O, 下午 3 時被測出在 A 地南 60 西, 距 A 地 100 公里的海上, 正朝東以每小時公里速度侵襲, 且其暴風半徑為公里 3 3 假定這颱風半徑及行進方向與速度均不變, 試預測何時 A 地會進入暴風圈, 何時可望脫離? Ans: 下午 5 時進入暴風圈, 下午 7 時脫離 [ 例題 6] 自塔之東一點 A, 測得塔頂之仰角為 45 ; 在塔之南 60 東一點 B, 測得塔頂之仰角為 30 設 A B 兩點相距 10 公尺, 則塔高為公尺 Ans:10 P W N A S B 10 E [ 例題 7] 一直線上三點 C D E 測得山頂之仰角分別為 ( 但 C D E 三點與山頂之垂足不共線 ), 若 CD=600 公尺, DE=400 公尺, 則山高為多少公尺?Ans: 公尺 A h C 30 B ~1 5 6~ D 400 E

7 C 3h B 600 D h h E ( 練習 10) 從相距 100 公尺的 A B 兩點, 測量氣球 C 之高度, 設氣球正下方為 D 點, 在 A 點測得氣球仰角為 30, BAD=75, 在 B 點測得 ABD=60, 試求氣球的高度為公尺 Ans:50 2 ( 練習 11) 一塔高 25 公尺, 某人由塔頂 A 測得海面上二點 B,C 俯角分別為 30 及 θ, 若 sinθ = 5 6, 且 BAC=120, 則 B,C 二點之距離為多少公尺? Ans:70 ( 練習 12) 某人在燈塔 AB 的頂端 A 測得一船在正西方 C 點, 俯角為 45,5 分鐘後再測得該船在西 30 南的 D 點, 其俯角為 60, 已知 AB =200 公尺, 求船的時速 Ans:800 3 公尺 / 小時 ( 練習 13) 從一直線上之三點 A,B,C 測得一山之仰角各為 30,45,60, 已知 A,B,C 與山腳不共線, AB =30 公尺, BC =20 公尺, 求山高 Ans:10 15 公尺 ( 練習 14) 設有甲乙兩山, 一人從平地 A 點爬上乙山, 想藉此求得甲山高度, 如圖所示 : 設 M,N 分別為甲乙兩山的山頂, 此人從 A 沿直線斜坡 AN 爬上乙山, AN =800 公尺, 若 MAN=15, AN 的傾斜角為 30, 此人爬到 N 後, 又測得對 M 之仰角為 60, ANM=120, 試求甲山的山高 Ans:200(5 3) 公尺 M A N ~1 5 7~

8 綜合練習 (1) 查三角函數值表可知 tan35 =0.7002,tan36 =0.7265, 試利用線性內插法求下列二小題 : (a)tan35 20 / 的近似值 (b) 若 θ 為銳角且 tanθ=0.7100, 求 θ 的近似值到小數點後 2 位 (2) 氣象局測出在 20 小時期間, 颱風中心的位置由恆春東南方 400 公里直線移動到恆春南 15 西的 200 公里處, 試求颱風移動的平均速度 ( 整數以下, 四捨五入 ) (89 學科 ) (3) 在坐標平面的 x 軸上有 A(2,0),B( 4,0) 兩觀測站, 同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點, 測得 BAC 及 ABC 之值後, 通知在 D( 5 2, 8) 的砲台此兩個角的正切值 8 8 分別為 9 及 3 那麼砲台 D 至目標 C 的距離為 (90 學科 ) (4) 如下圖所示, 有一船位於甲港口的東方 27 公里北方 8 公里 A 處, 直朝位於港口的東方 2 公里北方 3 公里 B 處的航標駛去, 到達航標後即修正航向以便直線駛入港口試問船在航標處的航向修正應該向左轉多少度? A ( 整數以下, 四捨五入 ) (89 學科 ) B 甲 (5) 將一長為 5 公尺之竹竿, 斜靠在垂直地面而高為 3 公尺的牆頭, 有部分伸出牆外假設竹竿與地面所成夾角為 θ, 竹竿伸出牆外部分 ( 不計牆的厚度 ) 於日正當 a 中時, 在地面的影長為 tanθ +bcosθ (a b 為常數 ), 則 a=?b=? (6) 小山頂有一砲台, 台頂上有高為 60 尺之瞭望塔, 今在平地上一點, 側得山頂台頂塔頂之仰角依次為 45,60,75, 則山高為尺, 砲台高為尺 (7) A,B,C 三地兩兩相距 14 公里甲從 A 地出發走向 B 地, 在同一時間乙從 B 地出發走向 C 地, 已知甲速為乙速的 2 倍, 試求甲乙兩人間的最短距離 (8) 淡水河岸 A,B 兩點距離為 400 公尺,CD 為新光三越大樓,D 為樓頂,C 為基底若 BAC=105, 由 A 測得 D 的仰角為 14, 又 ABC=45, 求 CD 高度 ( 但 sin14 =,cos14 =,tan14 = ) (9) 莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球在上午 10: 00 熱氣球的仰角為 30, 到上午 10 :10 仰角變成 34 請利用下表判斷到上午 10 :30 時, 熱氣球的仰角最接近下列哪一個度數? ~1 5 8~

(1) 39 (2) 40 (3) 41 (4) 42 (5) 43 (2013 學科能力測驗 ) (10) 如右圖, 自停泊中一船測兩燈塔均在北 15 東之方向, 此船向北西方向前進 5 浬後再看燈塔, 則一在正東, 另一在北東, 則兩塔距離為 (A)15 5 3 (B) 15 6 3 (C) 15 4 3 (D) 15 2 3 (E) 15 3 浬 A (11) 某人在岸邊小土墩上 A

(12) 從平地上三點 A,B,C 測得某山頂之仰角均為 15, 設 BAC=30,BC=250 公尺, 求山高 ( 註 :tan15 =2 3 ) (13) 自地面上共線的相異三點 A,B,C 測得一山頂的仰角分別為 30,45,60 若點 B 介 A,C 之間且 AB =200 公尺,BC =100 公尺, 並且山腳與三點 A,B, C 不共線, 試求山高 (14) 一直線上三點 A B

9 (1) 39 (2) 40 (3) 41 (4) 42 (5) 43 (2013 學科能力測驗 ) (10) 如右圖, 自停泊中一船測兩燈塔均在北 15 東之方向, 此船向北西方向前進 5 浬後再看燈塔, 則一在正東, 另一在北東, 則兩塔距離為 (A) (B) (C) (D) (E) 15 3 浬 A (11) 某人在岸邊小土墩上 A 點看一漁船在海岸附近慢行, 已知土墩高出水面 20 公尺, 當他第一眼看到漁船在 C 點時, 俯角 30, 過 5 分鐘後, 船行至 D 點, 再測得俯角為 45, 且 DAC=45, 則船速為何? (12) 從平地上三點 A,B,C 測得某山頂之仰角均為 15, 設 BAC=30,BC=250 公尺, 求山高 ( 註 :tan15 =2 3 ) (13) 自地面上共線的相異三點 A,B,C 測得一山頂的仰角分別為 30,45,60 若點 B 介 A,C 之間且 AB =200 公尺,BC =100 公尺, 並且山腳與三點 A,B, C 不共線, 試求山高 (14) 一直線上三點 A B C, 測一山之仰角各為 ( 但 A B C 三點與山頂之垂足不共線 ), 若 AB= BC=80 公尺, 求山高 (15) 站在瞭望臺 O 點處, 發現正北方仰角 60 之 A 點處有一架飛機, 等速朝東飛行,5 秒後測得該飛機經 B 點處時的仰角為 30, 假設這段時間內飛機的飛行高度保持在公尺, 而地面上 C,D 兩點恰好分別是飛機飛航中 A,B 兩點的正下方請問 : (a) OC 與 OD 的長度是多少? (b) 該飛機的速度為何? (16) 某人測得一山峰之仰角為 θ, 當他向山峰前進距離 a 後, 再測得山峰之仰角增 a sinφ sinθ 大為 φ, 則山峰的高度為, 證明之 sin(φ-θ) (17) 在塔之正東方 A 處與正南方 B 處, 分別測得塔頂之仰角為 α 與 β, 已知高度為 h, 試求 AB 的值 ( 以 h α β 表示 ) (18) 設 a b c 為 ΔABC 之三邊長, 若 b>c,a + b + c = 20, 且內切圓半徑為 3, A = 60, 試求 (1 ) a b c 之值? (2 ) ΔABC 之面積? (3 ) 外接圓半徑 R=? (4 ) cos A : cos B : cos C =? C B D ~1 5 9~

10 (1)(1) (2)35.37 (2) 17 公里 / 時 (3) 13 (4) 45 度 (5) a= 3,b=5 綜合練習解答 (6) 30,30( 3 1) (7) 21 (8) (9) (3) (10) (A) (11) 4 2 公尺 / 分 (12) 250(2 3) 公尺 (Hint:A,B,C 三點共圓 Why?) (13) 300 公尺 (14) 40 6 (15) (a)500 公尺 1500 公尺 (b)200 2 公尺 / 秒 (16) 如右下圖, CAB=ϕ θ, 由正弦定理可得 a AC=sinθ sin(ϕ θ), 而高 h= a sinφ sinθ AC sinϕ, 所以高 = sin(φ-θ) (17) h tan α tan β 7 3 (18) ( 1)7,5,8 (2)10 3 (3) (4)7 :11: 2 3 D θ a C ϕ A h B ~1 5 10~

11 18 附表三角函數值表角度 sin cos tan ~1 5 11~

12 cos sin tan 角度附表三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan ~1 5 12~

13 cos sin tan 角度附表三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan ~1 5 13~

14 cos sin tan 角度附表三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan ~1 5 14~ 59

15 cos sin tan 角度附表三角函數值表 ( 續 ) 角度 sin cos tan ~1 5 15~ 51

16 cos sin tan 角度 ~1 5 16~

ok313 正餘弦定理

ok313 正餘弦定理 1 主題一三角形面積公式若 a b 和 c 分別表 BC 三內角表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題