第2讲金融衍生品交易与运用策略

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恬诰他塔喇
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1 第 19 章期权的风险管理与复制郑振龙厦门大学金融系厦门大学金融工程研究中心 efinance.org.cn

2 目录一个例子 Delta 与期权的套期保值 Theta 与期权的套期保值 Gamma 与期权的套期保值 Vega rho 与期权的套期保值期权复制风险 2

3 Example A bank has sold for $300,000 a European call option on 100,000 shares of a non-dividend paying stock S 0 = 49, K = 50, r = 5%, σ = 20%, T = 20 weeks, µ = 13% The Black-Scholes-Merton value of the option is $240,000 How does the bank hedge its risk to lock in a $60,000 profit? 3

4 Naked & Covered Positions Naked position Take no action Covered position Buy 100,000 shares today What are the risks associated with these strategies? 4

5 Stop-Loss Strategy This involves: Buying 100,000 shares as soon as price reaches $50 Selling 100,000 shares as soon as price falls below $50 5

6 Stop-Loss Strategy continued Ignoring discounting, the cost of writing and hedging the option appears to be max(s 0 K, 0). What are we overlooking? 6

7 期权价值的影响因素 7

8 复制期权卖出价格高估的期权, 然后复制期权, 力图实现无风险套利所谓期权复制, 就是利用现货期货和 ( 或 ) 期权来生产期权只要生产成本低于期权卖价, 就能保证一定赚钱换一种思路 : 我们可以卖出价格被高估的期权, 然后用其他证券动态对冲, 形成套利组合只要这个组合对标的资产价格波动率利率等都不敏感, 我们就实现了无风险套利的目的因此复制的关键是敏感性分析 8

9 Greeks 比较静态的敏感性分析 : 其他条件不变 Delta: 标的资产价格变动 1 单位, 期权价格变多少? Gamma: 标的资产价格变动 1 单位,Delta 变多少? Theta: 时间推移 1 单位, 期权价格变多少? Vega: 波动率变化 1 单位, 期权价格变多少? Rho: 利率变化 1 单位, 期权价格变多少? 9

10 19.2 Delta 10

11 欧式期权的 Delta(Δ) Delta: 标的资产价格变动 1 单位, 期权价格变多少? Delta:Δ= Δcc ΔSS Delta: 期权价格曲线切线斜率看涨期权价格看跌期权价格斜率 = 现货价格现货价格 11

12 期权 Δ 的计算无收益资产欧式看涨期权的 Δ 值为 Δ = N(d 1 ) 无收益资产欧式看跌期权的 Δ 值为 Δ = -N(-d 1 )=N(d 1 )-1 支付已知红利率 q 的欧式看涨期权的 Δ 值为 Δ = e q(t t) N(d 1 ) 12

13 期权 Δ 的性质概率分布的性质 : 0 NN(dd 1 ) 1 无收益资产看涨期权的 Δ 值在 0 和 1 之间, 无收益资产看跌期权的 Δ 值在 -1 和 0 之间无收益资产看涨期权空头的 Δ 值在 -1 和 0 之间, 无收益资产看跌期权空头的 Δ 值在 0 和 1 之间通过 PCP 平价, 我们可以推导出看涨期权和看跌期权 Δ 值以及其他希腊字母之间的关系 13

14 ( 无红利欧式 )Delta 的特征 (I) 看涨期权多头 : 0<Δ<1 空头符号刚好相反看涨期权价格实值看涨 ΔΔ 11 看跌期权多头 : -1<Δ<0 空头符号刚好相反看跌期权价格实值看跌 ΔΔ 11 虚值看涨 ΔΔ 00 平价看涨 ΔΔ 平价看跌 ΔΔ 虚值看跌 ΔΔ 00 现货价格现货价格 14

15 ( 无红利欧式 )Delta 的特征 (II) 看涨期权 Delta= 看跌期权 Delta+1 Delta 值 X c p c+ = p+ S = r T t S S ( ) 看涨期权看跌期权标的资产价格 15

16 Delta 的特征 (III) 快到期时, 实值虚值和平价期权的 Delta 差异较大 16

17 Delta 的特征 (IV) 波动率较高时,Delta 差异较小波动率较低时,Delta 差异较大 17

18 看涨期权曲线的移动剩余期限 :0-1 年波动率 :0%-80% 18

19 看涨期权 Delta/ 现货价格 / 剩余期限三维图 19

20 看跌期权 Delta/ 现货价格 / 剩余期限三维图 20

21 其他证券的 Δ 值期权标的现货资产的 Δ 值为 1 远期合约的 Δ 值同样为 1 无收益资产和支付已知现金收益资产的期货合约的 Δ 值为 Δ =e r(t t) 支付已知连续收益率 q 资产的期货合约的 Δ 值为 Δ = e (r q)(t t) 上述 Δ 都是针对多头而言的, 空头符号相反 21

22 证券组合的 Delta 值头寸 Delta 值 Examples 现货多头 1 现货空头 -1 5 单位现货空头 :5 (-1)=-5 期货多头 1 4 单位期货多头 :4 1=4 期货空头 -1 欧式认购期权多头 ( 无红利 ) 欧式认购期权空头 ( 无红利 ) 欧式认沽期权多头 ( 无红利 ) 欧式认沽期权空头 ( 无红利 ) 投资组合 0<Δ<1-1<Δ<0-1<Δ<0 0<Δ<1 i w i 4 单位认购多头, 每单位 Delta 为 0.5:4 0.5=2 2 单位认沽多头, 每单位 Delta 为 -0.5:2 (-0.5)=-1 5 (-1) (-0.5)=0 22

23 证券组合的 Δ 值证券组合的 Δ 值等于组合中单个资产 Δ 值的总和 ( 标的资产相同 ) nn Δ = 1 ωω ii ii 其中,ωω ii 表示第 i 种证券的数量, ii 表示第 i 种证券的 Δ 值 23

24 Δ 中性状态 Δ 值为 0 的证券组合被称为处于 Δ 中性状态当证券组合处于 Δ 中性状态时, 组合的价值不受标的资产价格波动的影响, 从而实现相对标的资产价格的套期保值除了标的资产本身和远期合约的 Δ 值恒等于 1, 其他衍生产品的 Δ 值可能随时不断变化因此证券组合处于 Δ 中性状态只能维持一个很短的时间 24

25 Δ 中性 Δ 中性意味着投资组合对现货价格变动的一阶敏感性为 0 Δ 中性的实现 : 运用同一标的资产的现货期权和期货等进行相互套期保值, 使证券组合的 Δ 值等于 0 Δ 中性的特点 : 动态, 需要不断调整头寸以使组合重新处于 Δ 中性状态, 这种调整称为再均衡 ( Rebalancing ) 25

26 案例 1 : 期权的 Delta 中性保值某金融机构在 OTC 市场出售了基于股不付红利股票的欧式看涨期权, 收入元该股票的市场价格为 49 元, 执行价格为 50 元, 无风险利率为连续复利年利率 5%, 股票价格年波动率为 20%, 距离到期时间为 20 周由于该金融机构无法在市场上找到相应的看涨期权多头对冲, 这样就面临着风险管理的问题 26

27 案例 1 : 期权的 Delta 中性保值 (cont.) 用标的资产 ( 股票 ) 多头为此期权进行套期保值操作应进行动态套期保值, 以维持资产组合的 Δ 中性但在实际中, 过于频繁的动态调整需要相当的交易费用, 因此我们假设保值调整每周进行一次相关参数为 S = 49; X = 50; r = 0:05;σσ= 0:20; T-t = Delta 对冲模拟过程参看表

28 案例 1 : 期权的 Delta 中性保值 (cont.) 周次股价 Delta 购买的股数成本 ( 千元 ) 累计成本 ( 千元 ) 利息 ( 千元 ) ,200 2, , (6,400) (308.0) 2, (5,800) (274.7) 1, , ,

29 案例 1 : 期权的 Delta 中性保值 (cont.) 周次股价 Delta 购买的股数成本 ( 千元 ) 累计成本 ( 千元 ) 利息 ( 千元 ) ,200 2, , , , , , (17,600) (820.7) (700) (33.7)

30 理解期权的 Delta 中性保值期权 Δ 中性套期保值的结果是 : 通过标的资产构成了一个合成的期权头寸套期保值的成本主要来源于买高卖低的过程, 其总成本等于期权价格 30

31 理解期权的 Delta 中性保值 (cont.) 在实际操作中, Δ 中性保值方法更常见的是利用同种标的资产的期货头寸来进行保值, 可以获得杠杆作用以无收益资产期货合约为例, 由于其 Δ = e r(t t), 这意味着 e r(t t) 个期货单位对标的资产价格变动的敏感性与一个标的资产对其自身价格变化的敏感性是相同的, 因此 Q F = e r(t t) H A /N 31

32 理解期权的 Delta 中性保值 (cont.) Δ 套期保值的意义 : 专业的金融运营和风险运营机构的价格优势机构内部的风险对冲以及外部市场上的净 Δ 套期保值高度灵活性 : 金融机构可以结合自身的资产状况市场预期和风险目标来管理 Δ 指标, 不同目标 Δ 值的设定可以实现不同的风险管理策略 32

33 案例 : 通过中性投机于市场波动 33

34 通过动态调整锁定利润 ( 适用于动荡的市场 ) cc + pp = 2 cc 1 34

35 19.3 Theta 35

36 欧式期权的 Theta (Θ) Theta: 时间推移 1 单位, 期权价格变多少? Theta: Δ= Δcc Δtt 期权的 Θ 通常为负 : 一般来说, 随着到期日的临近, 期权价值逐渐衰减 (time decay) 处于深度实值状态的无红利资产欧式看跌期权和处于实值状态的标的资产红利很高的欧式看涨期权, Θ 可能为正 36

37 Theta 的特征 (I) 剩余期限越短,time decay 速度越快,Theta 负得越多 37

38 Theta 的特征 (II) 与实值虚值期权相比, 平价期权的 Theta 负值最大 38

39 Theta 的特征 (III) 快到期时, 实值虚值和平价期权的 Theta 差异较大 39

40 看涨期权 Theta/ 现货价格 / 剩余期限三维图 40

41 看跌期权 Theta/ 现货价格 / 剩余期限三维图 41

42 Theta 与套期保值由于时间的推移是确定的, 没有风险可言因此无需对时间进行套期保值 Theta 值与 Delta 及下文的 Gamma 值有较大关系在期权交易中, 尤其是在差期交易中, 由于 Theta 值的大小反映了期权购买者随时间推移所损失的价值, 因而无论对于避险者套利者还是投资者而言, Theta 值都是一个重要的敏感性指标 42

43 18.4 Gamma 43

44 欧式期权的 Gamma ( Γ) ΔΔcc DDDDDDDDDD ΔΔΔΔ + 11 GGGGGGGGGG ΔΔΔΔ Gamma: 标的资产价格变动 1 单位, 期权 Delta 变多少? Gamma :ΓΓ= (Δ) = 2 cc SS SS 2 Gamma : 期权价格曲线曲度的主要部分期权价格 C GGGGGGGGGG ΔΔΔΔ 22 C 0 ΔΔcc DDDDDDDDDD ΔΔΔΔ ΔΔcc DDDDDDDDDD ΔΔΔΔ C GGGGGGGGGG ΔΔΔΔ 22 现货价格 S 2 S 0 S 1 44

45 ( 无红利欧式 )Gamma 的特征 (I) 期权价格 C 1 看涨期权 Delta= 看跌期权 Delta 2 2 X c p 2 2 c+ = p+ S = 1 + r T t S S ( ) 期权多头 Gamma>0, 期权空头期 Gamma<0 权价格 C 1 C 0 C 0 C 2 C 2 现货价格现货价格 S 2 S 0 S 1 S 2 S 0 S 1 45

46 当 S =XXee (rr+1.5σσ2 )(TT tt) 点 ( 虚值看涨实值看跌 ) 时, Γ 值最大 46

47 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权 Gamma 值与 T-t 的关系 47

48 48

49 最高点在平价点右侧 49

50 证券组合的 Γ 值只有期权有 Γ 值证券组合的 Γ 值等于组合内各种期权 Γ 值与其数量乘积的总和 : nn Γ = 1 ωω ii Γ ii 50

51 证券组合的 Gamma 值头寸 Gamma 值 Examples 现货多头 0 5 单位现货多头 :5 0=0 现货空头 0 期货多头 0 期货空头 0 4 单位期货空头 :4 0=0 欧式看涨期权多头 ( 无红利 ) >0 欧式看涨期权空头 ( 无红利 ) <0 欧式看跌期权多头 ( 无红利 ) >0 欧式看跌期权空头 ( 无红利 ) <0 4 单位看涨多头, 每单位 Gamma 为 0.12: = 单位看跌空头, 每单位 Gamma 为 -0.12: 4 (-0.12)=-0.48 投资组合 i w Γ i (-0.12)=0 51

52 Γ 中性证券组合 Γ 值为零时称为处于 Γ 中性状态 Γ 中性是为了消除 Δ 中性保值的误差, 同样也是动态的概念由于保持 Γ 中性只能通过期权头寸的调整获得, 实现 Γ 中性的结果往往是 Δ 非中性, 因而常常还需要运用标的资产或期货头寸进行调整, 才能使得证券组合同时实现 Γ 中性和 Δ 中性 52

53 案例 3 :Gamma 中性假设某 Delta 中性的保值组合的 Γ 值等于 -5000, 该组合中标的资产的某个看涨期权多头的 Δ 和 Γ 值分别等于 0.80 和 2.0 为使保值组合 Γ 中性, 并保持 Δ 中性, 该组合应购买多少份该期权, 同时卖出多少份标的资产? 53

54 案例 3 :Gamma 中性 (cont.) 该组合应购入的看涨期权数量等于 : = 2500 购入 2500 份看涨期权后, 新组合的 Δ 值将由 0 增加到 = 2000 因此为保持 Δ 中性, 应出售 2000 份标的资产 54

55 Δ Θ 和 Γ 之间的关系 (cont.) 如果 Δ 中性, 1 2 S 2 2 Θ+ σ Γ= Π 对于一个 Δ 中性组合, 若 Γ 正值并且也很大时,Θ 将为负值并且也很大如果 Δ 和 Γ 同时中性, Θ = rf Δ 中性和 Γ 中性组合的价值将随时间以无风险连续复利率的速度增长 r 55

56 Δ Θ 和 Γ 之间的关系 (cont.) 对于一个 Δ 中性组合, 如果 σσ 不变, Π Θ t + ½Γ S 2 Π Π S S 正 Gamma 负 Gamma 56

57 19.5 Vega Rho 57

58 ν 的定义期权的 Vega( ν ) 是期权价格对标的资产价格波动率 σσ 的偏导数 ν= σσ ν 衡量的是期权价格对标的资产价格波动率的敏感度从理论上说,BSM 期权定价公式假定 σσ 不变, 因此不能用该公式对 σσ 求偏导来求 n, 而应该用随机波动率模型但实际上用两种方法求出来的结果很相近通过 BSM 公式可以求得 ν = SS TT ttnnn(dd 1 ) 58

59 Vega 的特征 (I) Vega>0 ( 欧式 ) 认购期权 Vega= 认沽期权 Vega X c p c+ = p+ S = 1 + r T σ σ ( t) 59

60 Vega 的特征 (II) 平价期权的 Vega 值较大剩余期限越长,Vega 值越大 60

61 Vega 的特征 (III) 初始波动率较大时,Vega 值较大 61

62 期权 Vega/ 现货价格 / 剩余期限三维图 62

63 ν 的计算证券组合的 ν 值等于该组合中各证券的数量与各证券的 ν 值乘积的总和 ν nn = ωω ν 1 ii ii 只有期权有 ν 值, 且期权多头的 ν 值总是正的 63

64 Vega 中性只有期权有 Vega 值证券组合 Vega 值为零时称为处于 Vega 中性状态 Vega 中性是为了消除隐含波动率变化的影响, 同样也是动态的概念由于保持 Vega 中性只能通过期权头寸的调整获得, 实现 Vega 中性的结果往往是 Δ 非中性和 Γ 非中性, 因而常常还需要运用标的资产期货头寸期权头寸进行调整, 才能使得证券组合同时实现 Δ 中性 Γ 中性和 Vega 中性 64

65 rho 与套期保值证券的 rho 等于证券价格对利率的偏导数 : rho= rr rho 衡量的是证券价格对利率变化的敏感度标的资产的 rho 值为 0 65

66 66

67 67

68 希腊字母符号 Delta Gamma Theta Vega 认购多头认购空头认沽多头认沽空头

69 希腊字母之间的关系组合价值变动 ( 忽略利率影响 ) 1 2 Π Delta S + Gamma ( S ) 2 + Theta t + Vega σ 若不考虑隐含波动率的变化,Delta 中性组合价值主要是 Gamma 和 Theta 的权衡 Π Π S S 正 Gamma 负 Gamma 69

70 19.6 期权复制 70

71 期权复制若市场上不存在期权, 期权复制只能使用 Delta 中性复制法在利率变动频繁时可以加上 Rho 中性复制工具既可以是现货, 也可以是期货若市场上已有其他期权, 则可以使用 Delta Gamma Vega 中性复制法 71

72 72

73 期权复制风险从理论上说,Delta 中性复制法的盈亏是固定的, 只取决于期权隐含波动率与期权有效期实际波动率之差在实践中,Delta 中性复制法可能面临风险原因 : 交易成本不连续交易最小交易单位 : 离散复制模型风险 : 改用更接近现实的期权定价模型未来波动率未知 : 波动率互换方差互换波动率期货 Gamma 互换方差期权等 73

74 波动率已知连续复制如果波动率是固定且已知的, 则复制组合的盈亏是固定的如果波动率是变动的但已知的, 有趣的是复制组合的盈亏也还是固定的所售期权隐含波动率 - 实际波动率 74

75 波动率未知连续复制使用预计波动率来计算 Delta 如果所使用的波动率刚好与实际波动率相等, 则盈亏是确定的如果不相等, 则盈亏金额是路径依赖的, 盈亏状态不会改变有点像货币市场账户所售期权隐含波动率 - 实际波动率 75

76 波动率已知离散复制在波动率已知情况下且不考虑成本情况下, 复制频率提高 4 倍, 复制误差减少一半所售期权隐含波动率 - 实际波动率 76

77 波动率未知离散复制在波动率未知情况下, 离散复制错误等于离散复制误差加上未知波动率的误差所售期权隐含波动率 - 实际波动率 77

78 波动率未知时, 使用预计波动率还是隐含波动率? 在 BS 框架下,Peter Carr(2005) 和 Henrard(2001) 指出, 如果用基于波动率 σσ h 的 delta 进行对冲, 总利润的现值等于显然, 如果预计波动率准确的话, 建议使用预计波动率这样最终的利润是确定的 ( 前两项 ) 但每天的盈亏是不确定可能要面对风控部的压力建议盯模如果使用隐含波动率对冲, 虽然每天的盈亏是确定的 ( 只有第三项 ), 但最终盈亏是高度路径依赖的, 而且最高预期利润约等于前两项 78

79 波动率互换方差互换 Gamma 互换波动率互换的回报 (σσ RR σσ KK ) 名义本金方差互换的回报 (VV RR VV KK ) 名义本金 Gamma 互换的回报 (VV RR SS TT SS tt VV KK ) 名义本金 79

80 波动率风险有多大? 80

81 交易费用与期权复制为了保持证券组合处于 Δ Γ 中性状态, 必须不断调整组合然而频繁的调整需要大量的交易费用在实际运用中, 复制者更倾向于使用 Δ Γ ν Θ 和 rho 等参数来评估其证券组合的风险, 然后根据他们对 S r σσ 未来运动情况的估计, 考虑是否有必要对证券组合进行调整如果风险是可接受的, 或对自己有利, 就不调整 ; 若风险对自己不利且是不可接受的, 则进行相应调整 81

82 本讲参考资料郑振龙和陈蓉, 金融工程 ( 第三版 ), 高等教育出版社,2012: 第 14 章 John C. Hull, Options, Futures and other derivatives, 8 th ed., Pearson, 2012: Ch18 Dan Passarelli, Trading Option Greeks: How Time, Volatility and other Pricing Factors Drive Profit,2008 Nassim Taleb, dynamic hedging, wiley, 本科课程金融工程硕士生课程金融工程 82

83 参考文献保罗威尔莫特著, 郑振龙陈蓉等译, 数量金融, 第 7 12 章 83

84 Any Questions? 84

85 The End. 85

Microsoft PowerPoint - 2. Greeks（提交版）

Microsoft PowerPoint - 2. Greeks（提交版） 2. Greeks http:// aronge.net aronge@xmu.edu.cn 2.1 2 1 Delta Theta Time Vega Volatility RhoRate Gamma1Delta -3- 期权代码 50ETF 现货期权市价 Delta Gamma Vega Theta 50ETF102.25 2.257 0.0204 0.5729 7.6232 0.0017-0.0008

第2讲 金融衍生品交易与运用策略

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