期权价格满足条件几何布朗运动 3 B-S-M 模型

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旱洪
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1 Professional Accounting Eucation Provie by Acaemy of Professional Accounting (APA) 期货从业知识讲解期货及衍生品分析与应用第二章衍生品定价第五讲期权定价 ( 一 ) 讲师 :LpingLee ACCAspace 中国 ACCA 国际注册会计师教育平台 Copyright ACCAspace.com

2 期权价格满足条件几何布朗运动 3 B-S-M 模型

3 实际应用中的期权符号 C E 欧式看涨期权价格执行价 P E 欧式看跌期权价格 S 0 资产的期初价格 C A 美式看涨期权价格 r 年无风险利率 P A 美式看跌期权价格 t 期权到期时间 3

4 无分红标的资产的期权价格需满足的条件 C C P P 0 S 0 E A E A C S e p e S rt rt Max,0 Max E 0,0 E 0 3 其他条件相同时, 执行价不同的欧式看涨期权, 若, CE( C ( ) ) E E E 也试用于美式期权 P ( P ( ) ) 4 其他条件相同时 P ( ) ( ), 到期日不同的美式期权, A t PA t t t C ( ) ( ) A t CA t 这一原则 4

5 5 欧式期权看涨看跌平价关系, p rt C + E e + E S 0 美式为 rt C E e A S 0 C A 其他条件相同时, 执行价不同的欧式看涨期权, ) ) ) rt C E( ( ( C E e ) ) ) rt PE( PE( ( e C ( ) C ( ) + ( ) P ( ) ( ) E e E E P E 7 其他条件相同时, 执行价不同的欧式期权 λ 3 3 p ( λp ( + ( λ) p ( ) ) ) E E E 3 C ( λc ( + ( λ) C ( ) ) ) E E E 3 p rt < < 3 < 5

6 真题精选 05 年 7 月 6 个月后到期的欧式看涨期权价格为 5 元, 标的资产价格为 50 元, 执行价格为 50 元, 无风险利率为 5%, 根据期权定价公式, 某对应的欧式看跌期权价格为 () 元 A..99 B C D 解析根据 rt C + E e + E S 0 rt 得出 p C E e S e E p 5%/

7 法国数学家巴舍利耶在投资交易理论中股票价格遵循布朗运动萨缪尔森 965 年提出股价 S 遵循布朗运动, 由此 S 的随机微分方程 S µ t S t + t S tbt 股价几何布朗运动的解析形式 S S B + µ t t t exp 0 股价短时期内收益来源于两个方面, 短时间内预期收益率变化, 随机正态波动项考题精选 03 年法国数学家巴舍利耶在投资交易理论中提出股价 S 遵循布朗运动 () 解析此论点有萨缪尔森提出 7

8 l B-S-M 模型 l Black-Scholes-Merton( 布莱克斯科尔斯莫顿 ) 定价模型, 主体思想 : 无套利机会下, 构造一个由期权和股票所组成的无风险资产组合, 这一组合收益率必定为无风险利率 r 期权运动服从随机微分方程, 进而求出期权价格 8

9 l B-S-M 模型假设条件 : 标的资产价格服从布朗运动标的资产可以自由买卖无交易成本允许卖空 3 期权有效期内, 投资者可视无风险利率 r 和预期收益 µ 为常数, 投资者可以以无风险利率无限制借入和贷出资金 4 期权有效期内, 标的资产没有现金支付的标的资产价格是连续的变动, 不存在跳跃 ( 结合第一个条件 ) 5 标的资产价格波动率为常数 6 无套利市场 9

10 无红利标的欧式看涨期权定价公式无红利标的欧式看跌期权定价公式辅助表达式 ln ( ) e ( ) C SgN g gn e ( ) ( ) P g gn SgN ( ) S + r T + 字母的含义 S 为 ( 无收益标的资产 ) 当前价格, ( 无收益标的资产 ) 价格波动率, 为欧式看涨期权的执行价格,T 欧式看涨期权到期时间, ( ) C 欧式看涨期权价格 N ln N ( ) ( ) S + r T 表示标准正态分布的概率 0

11 例题假设 IBM 股票市场价格为 50 美元无风险利率 %, 股票年波动率 0%, 求执行价格为 50 美元期限为一年的欧式看涨期权与看跌期权的理论价格? 由已知 :S50 美元,50 美元,T 年,r0., 0. ln( S ) + r T + ( 50 ) ( 0.0 ) ln ( S ) + r T ( ) ( ) ln ln

12 l l l 通过正态分布 N ( ) ( ) N 由此欧式看涨期权与价格为 rt ( ) e ( ) e 由此欧式看涨看跌期权理论 0. C SgN g g N 美元 rt e ( ) ( ) e 0. P g gn Sg N 50 ( )-50 ( ) 0.7美元

13 B-S-M 模型的扩展和应用支付红利模型标的资产支付红利已知, 则红利支付导致标的资产价格下降, 看涨期权的价格也随之下降在存续期内支付红利为 I, 看涨模型变为 ( ) ( ) rt rt C ( SIe ) gn ge gn 看跌模型为 ( ) ( rt ) ( ) e Ie P g gn S gn 相关表达式 Ie ( S ) ln r T + + Ie ( S ) ln r T + + T 3

14 例题市场中, 股票股价为 30 美元 / 股, 年波动率为 0., 无风险利率为 5%, 预计 50 天后股票红利为 0.8 美元 / 股, 求 6 个月到期后, 执行价格为 3 美元的欧式看涨期权的理论价格已知 :S30,3,r0.05,0.,I0.8 Ie ( S ) ln r T e 365 ln / 根据进一步求出 T 看涨期权理论价格 N ( ) 0.36 N ( ) Ie g ( ) ge g ( ) C ( S ) N N 4

15 股指期权定价股指期权是以股票指数为标的物的期权产品分红差异性现金交易特性均要求定价公式修正为看涨模型变为 r i L t C ( S ϖ ii i ) gn g gn i 看跌模型为 ( ) ( ) e e r i L t ( ) ( ) P ge gn S ϖ ii ie gn( ) i L rt i ( S ) ϖ ii ie 相关表达式 ln i + r + + T 5

16 例题当前股票指数 000 点,3 个月到期看涨欧式股指期权执行价格 00 点 ( 每点 50 美元 ), 年波动率 30%, 无风险利率 6%, 预计 3 个月内分红的成分股信息权重 (%) 分红日期 ( 年 ) 分红 ( 元 ) A B 解答应用等式 L rt i ( S i i ) ϖ I e ln i + r + 6

17 相关数值代入等式中 L rt i ( S i i ) ϖ I e ln i + r + 根据 0.06* * ln 进一步得出 + 求出 T e N ( ) 0.35 ( ) N r i L t C ( S ϖ ii ie ) gn( ) ge gn( ) 94.9 i e 0.3 7

18 新版教材与老教材相比变动之处相关内容在老版教材的第九章, 总结了以下有以下变动之处名称的变化 : 老版教材为 B-S 模型 ( Black-ScholeS) 新版为 B-S-M 模型 ( Blac k-scholes-merton) 支付红利模型表达式的变化 : 新版教材 Ie g ( ) ge g ( ) C ( S ) N N ( ) ( ) rt ( rt e Ie ) Ie P g gn S gn ( S ) ln r T + + ( S ) ln Ie r T + 老版教材新版教材出现了股指期权定价, 老版教材没有 gt Se 0 g ( ) ge g ( ) gt ge g ( ) S 0 e g ( ) C N N P N N ln 0 + r g + T 8 S S ln 0 + r g T

19 Professional Accounting Eucation Provie by Acaemy of Professional Accounting (APA) 谢谢!

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