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1 第 16 卷第 2 期北华大学学报 ( 自然科学版 ) Vol. 16 No 年 4 月 JOURNAL OF BEIHUA UNIVERSITY(Natural Science) Apr 文章编号 : (2015) DOI: / j. issn 新疆 HIV 传播的动力学分析与模拟 唐丹丹 1 王凯 2 李冬梅 1 张利萍 2 2 张学良 (1. 新疆医科大学公共卫生学院 新疆乌鲁木齐 ; 2. 新疆医科大学医学工程与技术学院 新疆乌鲁木齐 ) 摘要 : 通过对 HIV 病毒传播机理的分析 利用动力学方法建立 HIV 传播的动力学模型 分析影响疾病传播和控制的关键因素. 通过模型分析得到了决定疾病传播与否的基本再生数 R 0 证明了 R 0 <1 时疾病将会消除 R 0 >1 时疾病将变成一种地方病. 用收集和估计的参数对模型进行了数值模拟 分析新疆 HIV 的流行状况 给出了模型参数的敏感性分析. 关键词 :HIV; 基本再生数 ; 传染病动力学模型 ; 数值模拟中图分类号 :O 文献标志码 :A 引用格式 唐丹丹 王凯 李冬梅 等. 新疆 HIV 传播的动力学分析与模拟 [ J]. 北华大学学报 : 自然科学版 (2 ): Analysis and Simulation of Dynamic Model of HIV Transmission in Xinjiang Tang Dandan 1 Wang Kai 2 Li Dongmei 1 Zhang Liping 2 Zhang Xueliang 2 (1. College of Public HealthXinjiang Medical UniversityUrumqi China; 2. College of Medical Engineering and TechnologyXinjiang Medical UniversityUrumqi China) Abstract: By analyzing the mechanism of HIV virus transmission and using the dynamics method HIV transmission dynamic model is builtthe key factors influenced the spread of disease and control are analyzed. The model analysis to get the basic reproductive number R 0 decide the spread of disease or notit proves that when the basic reproductive number R 0 is less than 1disease will eliminate. When the basic reproductive number R 0 is greater than 1 the disease will become endemic disease. Stimulating the model number through collecting and estimating parametershiv epidemic status is analyzed in Xinjiangsensitivity analysis of model parameters are given. Key words: HIV;basic reproductive number;infectious disease dynamics model;numerical simulation 1 引言 艾滋病 (Aquired Immunode-ciency Syndrome 简称 AIDS ) 是由人类免疫缺陷病毒 (Human Immunodecicncy Virus 简称 HIV) 感染所导致的一种慢性传染病 [1]. 艾滋病已成为世界性的严重的公共卫生问题和 社会问题. 新疆是我国艾滋病 (AIDS) 流行较为严重的省区之一 自 1995 年首次报告艾滋病病毒 (HIV) 收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( ); 新疆自然科学基金项目 ( C C031); 新疆研究生科研创新项目 (XJGRI ). 作者简介 : 唐丹丹 (1987-) 女 硕士研究生 主要从事传染病动力学 流行病与卫生统计研究 @ 163. com; 通信作者 : 张学良 (1964-) 男 教授 主要从事传染病动力学 生物统计研究 shuxue2456@ 126. com.

2 第 2 期 感染者病例以来 此后感染人数逐年上升 截至 2010 年累积报告人数列全国第 5 位. 由此可见 新疆所面 临的防控 AIDS 的形势仍然十分严峻 疫情有向全区进一步蔓延之势 [2]. 为了准确掌握 AIDS 的流行状况 和趋势 国内外学者在艾滋病疫情估计和预测方面进行了大量的理论研究和实践研究. 但由于艾滋病感染 人群的特殊性 隐匿性 导致 AIDS 患者的报告数与实际的感染数存在着较大的差距. 因此建立传染病动 力学模型 [3] 了解艾滋病的传播规律及流行趋势已经成为研究艾滋病疫情传播的重要研究方法. 国内外 [4 ] 许多学者对艾滋病传播的数学模型做过大量的研究 2006 年 Ram Naresh 等学者考虑了一个非线性的 [5 ] HIV 流行的数学模型 模拟了 HIV 在一个变化的种群中的垂直传播和水平传播 ;2011 年 F. Nyabadza 等 [6 ] 学者通过一个简单的数学模型模拟了 HIV / AIDS 在南非的流行趋势 ; 同年 Zhang 等学者建立了符合云 南省 HIV / AIDS 流行特点的数学模型 分析了云南省 HIV / AIDS 的流行趋势. 但关于新疆艾滋病传播与控 制的数学模型的研究目前还比较少 本文将就这一系列问题开展深入系统的研究. 2 模型建立与分析 根据 HIV 病毒的传播机理 可以将人群分为四个仓室 : 易感染者 S(t) 感染者 I(t)HIV 患者 P(t) 艾 滋病患者 A(t). 并做出如下模型框图结构 : 唐丹丹 等 : 新疆 HIV 传播的动力学分析与模拟 151 Fig. 1 图 1 HIV 动力学模型 The diagram of HIV dynamic model 根据模型框图建立了以下 HIV 传播的动力学模型 : ìds = π - μs - βsi dt di dt = βsi - í dp dt = aγi - da îdt = kp + ( μ + γ) I ( μ + k) P ( 1 - a) γi - ( μ + d) A 其中 :π 表示每年新进人口数 ;μ 表示人的自然死亡率 ;β 表示感染率 ;γ 表示移出率 ;a 表示部分感染者到 HIV 的移出率 ;k 表示 HIV 到艾滋病的转移率 ;d 表示疾病死亡率. [7] 很显然模型 (1) 的无病平衡点 E 0 (S 0 000) = (π / μ000). 下面用下一代再生矩阵的方法来计 算模型 (1) 的基本再生数. 设 βsi F = 0 V = 0 ( γ + μ ) I ( μ + k) P - aγi ( μ + d) A - kp - ( 1 - a) γi 计算 FV 关于 (IPA) 的在 E 0 处的 Jacobian 矩阵得出 FV: 计算 F = βπ μ V = μ + γ aγ μ + k 0 ( a - 1 ) γ - k μ + d (1)

3 152 北华大学学报 ( 自然科学版 ) 第 16 卷 V -1 1 = ( μ + γ ) ( μ + k) ( μ + d) FV -1 的谱半径为基本再生数 R 0 很显然 数方程为 ( μ + k) ( μ + d) 0 0 aγ ( μ + d) ( μ + γ ) ( μ + d) 0 μγ + kγ + aμγ βπ 0 0 μ ( μ + γ ) FV -1 = R 0 = ρ ( FV -1 βπ ) = μ ( μ + γ ). k( μ + γ ) ( μ + γ ) ( μ + k) 下面研究地方病平衡点的存在性. 设模型 (1) 存在地方病平衡点 E (S I P A ) 则其满足的代 经过简单计算 可以得到下面的定理 : ìπ - μs - βs I = 0 βs I - ( μ + γ ) I = 0 í aγi - ( μ + k) P = 0 îkp + ( 1 - a) γi - ( μ + d) A = 0. 定理 1 模型 (1) 始终存在无病平衡点 E 0 (π / μ000); 当 R 0 > 1 时 模型 (1) 除了无病平衡点之 外 还存在唯一的地方病平衡点 E (S I P A ) 其中 : S = μ + γ β I = μ β ( R - 1 ) 0 P = aγ μ + k I A = 关于平衡点的稳定性 有以下结论 : kaγ ( μ + d) ( μ + k) I + (1 - a)γ μ + d I. 定理 2 当 R 0 < 1 时 无病平衡点 E 0 (π / μ000) 局部稳定 ; 当 R 0 > 1 时 无病平衡点 E 0 不稳定 地 方病平衡点 E (S I P A ) 局部稳定. 证明 : 根据文献 [7] 直接可以得到 : 当 R 0 < 1 时 无病平衡点 E 0 局部稳定 ; 当 R 0 > 1 时 E 0 不稳定. 所 以 只需证明地方病平衡点 E (S I P A ) 的稳定性. 将模型 (1) 在 E 处线性化 得到 Jacobian 矩 阵为 对应的特征方程为 J( E ) = - μ - βi - βs 0 0 βi βs - ( μ + γ ) aγ - ( μ + k) 0 0 ( 1 - a) γ k - ( μ + d) - μr 0 - ( μ + γ ) 0 0 μ ( R 0-1 ) aγ - ( μ + k) 0 0 ( 1 - a) γ k - ( μ + d) det(λi - J(E )) = λ 2 + μr 0 λ + μ(μ + γ)(r 0-1) = 0 当 R 0 > 1 时很容易看出特征根均具有负实部 则地方病平衡点 E 局部稳定. 证毕. 注 1 通过定理 1 和定理 2 可以看出 基本再生数 R 0 的值完全决定了模型 (1) 的动力学性质. 为此 在 实际应用中只需要控制基本再生数 R 0 即可控制疾病的传播. =

4 第 2 期 3 模型应用 唐丹丹 等 : 新疆 HIV 传播的动力学分析与模拟 153 为了应用模型 我们需要先估计模型的参数 数据主要来源于国家人口与健康科学数据共享平台中的 公共卫生科学数据中心 [8] ( 见表 1). 年份 表 年新疆艾滋病与 HIV 感染数据 Tab. 1 The infection data of AIDS and HIV in Xinjiang from 2006 to 2011 艾滋病 发病数死亡数发病数死亡数 模型 (1) 的参数取值见表 2. Tab. 2 表 2 各参数值 Each parameter symbol and parameter value 参数参数值参数说明出处 μ 自然死亡率 [9] π 新进人口数拟合 d 因病死亡率 [8] β 易感者与感染者的有效接触率 γ 移出率 [10] k 0. 5 HIV 患者到艾滋病患者的转移率 [11] a 部分感染者到 HIV 患者的移出率 [11] 模型参数说明 : 1) 新疆人口平均寿命为 岁 [9] 因此取 μ = ) 利用人口方程 N = π - μn 拟合得 π = 见图 2. 3) 采用 AIDS 发病数累积数据 利用非线性最小二乘法得到 β 的估计值为 β ( 见图 3). 这里初值选取为 S(0)= I(0)= 3 000P(0)= 21A(0)= 268. HIV 拟合 Fig. 2 图 2 新疆地区人口模拟 Population simulation of Xinjiang 图 3 新疆地区 AIDS 发病数模拟 Fig. 3 AIDS incidence simulation of Xinjiang 根据新疆 年实际报告的 AIDS 累积发病数 用模型 (1) 进行仿真得到新疆地区 AIDS 累积 发病数模拟 见图 3. 从图 3 中可以看出 模型模拟的结果与新疆实际的数据匹配较好 这表明该模型具有 一定的合理性. 根据 R 0 的表达式得出 R 这说明新疆 HIV 的感染状况较为严重 如果不加以适

5 154 北华大学学报 ( 自然科学版 ) 第 16 卷 当的控制该疾病会持续流行. 固定其他参数不变 只改变易感者与感染者的有 效接触率 β 如图 4 所示 可以发现易感者与感染者的 有效接触率 β 对疾病传播的控制具有更大的作用. 随着 易感者与感染者的有效接触率 β 的增加 影响疾病能否 传播的基本再生数 R 0 有明显的增加. 当 β 时 基本再生数 R > 1HIV 可以在 人群中持续传播. 但降低易感者与感染者的有效接触 率 β 使得 β < 时 可以使基本再生数 R 0 < 1 来控制疾病的传播. 因此 对 HIV 传播的控制要从 易感者与感染者的有效接触率开始. 通过以上分析 预 防 HIV 针对不同传播途径 建议采取以下措施 : 首先注 图 4 Fig. 4 基本再生数 R 0 和 β 之间的关系 Relationship between the basic reproductive number R 0 and β 意 HIV 的性传播 减少与 HIV 感染者的有效接触率 ; 其次注意 HIV 的血液传播 通过不使用未经检测的血 液及血液制品等多种途径来降低 HIV 病毒的接触危险. HIV 的传播过程十分复杂 本文的探讨也有一些局限性 首先对人只是笼统的分为易感染者 感染者 HIV 患者 艾滋病患者 实际上不同年龄的人群对疾病的抵抗力也不同 应区别对待 ; 其次 收集的数据很 有限 尽管模拟的结果与一些理论的研究结果大致吻合 但若数据再丰富准确些 拟合的精确度会有很大 提高. 参考文献 : [1] 张孔来. 艾滋病 [M]. 北京 : 中国协和医科大学出版社 [2] 吐尔文江 吐尔逊. 新疆艾滋病病毒感染者 / 艾滋病病人医疗救治现状调查及应对策略 [J]. 中国预防医学杂志 (1): [3] 马知恩 周义仓 王稳地 等. 传染病动力学的数学建模与研究 [M]. 北京 : 科学出版社 [4] Ram Naresh Agraj Tripathi Sandip Omar. Modelling the spread of AIDS epidemic with vertical transmission [ J]. Applied Mathematics and Computation (2): [5] F NyabadzaZ MukandavireS D Hove-Musekwa. Modelling the HIV / AIDS epidemic trends in South Africa:Insights from a simple mathematical model[ J]. Nonlinear Analysis:Real Word Applications201112(4): [6] Tailei ZhangManhong JiaHongbing Luoet al. Study on a HIV / AIDS model with application to Yunnan provincechina[ J]. Applied Mathematical Modelling201135(9): [7] P Van den DriesscheJ Watmough. Reproduction numbers and sub-threshold end emic equilibria for compartmental models of disease transmission[ J]. Math Biosci : [8] 公共卫生科学数据中心. 艾滋病分地区查询 [ DB / OL]. [ ] ( ). http: / / www. phsciencedata. cn / Share / ky_sjml. jsp? id = c2ca694e c7f ed0aaf14556&show = 0. [9] Kai Wang Xueliang Zhang Zhen Jin et al. Modeling and analysis of the transmission of Echinococcosis with application to Xinjiang Uygur Autonomous Region of China[ J]. Journal of Theoretical Biology : [10] 唐振柱 蓝光华 陈世鹏 等. 艾滋病潜伏期研究进展 [J]. 应用预防医学 (5): [11] S A PedroJ M Tchuenche. HIV / AIDS dynamics:impact of economic classes with transmission from poor clinical settings[ J]. Journal of Theoretical Biology : 责任编辑 : 伍林

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