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- 令 寇
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1 基 于 参 数 规 划 的 艾 滋 病 传 播 模 型 的 研 究 朱 家 荣 南 宁 师 范 高 等 专 科 学 校 数 计 系, 广 西 崇 左 500) 摘 要 : 艾 滋 病 是 人 体 的 免 疫 系 统 被 艾 滋 病 病 毒 破 坏, 使 人 体 对 威 胁 生 命 的 各 种 病 原 体 丧 失 了 抵 抗 能 力, 从 而 发 生 多 种 感 染 或 肿 瘤, 最 后 导 致 死 亡 的 一 种 严 重 传 染 病 国 际 医 学 界 至 今 尚 无 防 治 艾 滋 病 的 有 效 药 物 和 疗 法 因 此, 做 好 艾 滋 病 的 有 效 预 防 和 控 制 应 是 我 们 抗 击 艾 滋 病 最 有 效 的 手 段 本 文 通 过 建 立 参 数 规 划 数 学 模 型 以 Matlab 软 件 包 为 工 具 平 台 研 究 艾 滋 病 的 传 播 过 程 及 流 行 趁 向, 期 望 能 为 政 府 做 好 新 时 期 艾 滋 病 预 防 控 制 工 作 提 供 理 论 参 考 关 键 词 : 艾 滋 病 ; 传 播 模 型 ; 参 数 规 划 ;MATLAB 中 图 分 类 号 : O.8 文 献 标 识 码 : A 0. 引 言 艾 滋 病 在 世 界 范 围 内 的 传 播 越 来 越 迅 猛, 严 重 威 胁 着 人 类 的 健 康 和 社 会 的 发 展, 已 成 为 威 胁 人 们 健 康 的 第 四 大 杀 手 联 合 国 艾 滋 病 规 划 署 006 年 5 月 0 日 宣 布 自 98 年 6 月 首 次 确 认 艾 滋 病 以 来,5 年 间 全 球 累 计 有 6500 万 人 感 染 艾 滋 病 毒, 其 中 50 万 人 死 亡 尤 其 忧 虑 的 是, 全 世 界 约 95% 的 艾 滋 病 患 者 来 自 防 治 能 力 薄 弱 的 发 展 中 国 家, 如 非 洲 南 亚 东 南 亚 中 美 洲 等 地 在 我 国, 中 国 艾 滋 病 防 治 联 合 评 估 报 告 007) 显 示, 截 至 007 年 底, 现 存 艾 滋 病 毒 感 染 者 和 病 人 约 70 万 疫 情 处 于 总 体 低 流 行 特 定 人 群 和 局 部 地 区 高 流 行 态 势, 性 传 播 逐 渐 成 为 HIV 主 要 传 播 途 径, 意 味 着 艾 滋 病 防 控 形 势 更 加 严 峻 未 来 我 国 艾 滋 病 的 流 行 是 趁 向 平 稳 还 是 快 速 增 长, 取 决 于 能 否 大 面 积 地 积 极 开 展 艾 滋 病 预 防 活 动 以 及 提 供 有 效 的 治 疗 建 立 数 学 模 型 研 究 流 行 病 的 发 展 机 理 和 传 播 过 程, 已 有 一 个 多 世 纪 的 历 史, 艾 滋 病 出 现 以 后, 更 引 起 了 生 物 数 学 家 们 的 注 意, 且 在 这 方 面 做 了 较 多 的 研 究 本 文 就 是 在 前 人 的 研 究 基 础 上, 通 过 建 立 参 数 规 划 数 学 模 型 借 助 Matlab 软 件 包 为 工 具 对 一 个 艾 滋 病 传 播 模 型 的 探 讨, 期 望 能 为 政 府 做 好 我 国 新 时 期 艾 滋 病 预 防 和 控 制 工 作 提 供 理 论 参 考. 艾 滋 病 简 介 艾 滋 病 的 医 学 中 文 全 名 为 获 得 性 免 疫 缺 损 综 合 症, 英 文 全 名 为 Acquired Immuno Deficieney Syndrome, 简 称 AIDS, 它 是 由 艾 滋 病 中 英 文 全 名 为 人 体 免 疫 缺 损 病 毒 Human Immunodeficiency Virus, 简 称 HIV) 引 起 的 这 种 病 毒 终 身 传 染, 破 坏 人 的 免 疫 系 统, 使 人 体 丧 失 抵 抗 各 种 疾 病 的 能 力, 从 而 严 重 危 害 人 的 生 命 [] HIV 进 入 人 体 后, 它 就 把 人 体 免 疫 系 统 中 最 重 要 的 CD4 + T 淋 巴 细 胞 作 为 攻 击 目 标, 大 量 吞 噬 破 坏 CD4 + T 淋 巴 细 胞, 从 而 破 坏 人 的 免 疫 系 统, 最 终 使 人 体 免 疫 系 统 崩 溃, 使 人 体 因 丧 失 对 各 种 疾 病 的 抵 抗 能 力 而 发 病 并 死 亡 AIDS 从 感 染 到 发 作 的 进 程 大 致 可 分 个 阶 段 : 感 染 初 期 潜 伏 期 发 作 期 在 感 染 初 期,HIV 进 入 人 体 的 感 染 巨 噬 细 胞, 将 病 毒 带 到 局 部 淋 巴 结, 引 起 各 种 急 性 症 状, 接 着,CD8 + T 淋 巴 细 胞 抗 体 做 出 反 应, 从 而 控 制 疾 病 的 发 展, 血 液 中 的 HIV 持 续 在 一 个 较 稳 定 的 水 平, 疾 病 进 入 潜 伏 期 随 着 HIV 对 巨 噬 细 胞 CD4 + T 细 胞 等 的 感 染, 免 疫 系 统 逐 步 被 破 坏, 被 感 染 的 CD4 + T 细 胞 由 裂 解 而 大 量 产 生 HIV 本 课 题 获 广 西 教 育 科 研 立 项 项 目 离 散 空 间 的 模 糊 多 属 性 决 策 理 论 与 方 法 研 究 No.00707LX07) 的 资 助 - -
2 当 正 常 的 CD4 + T 细 胞 急 剧 减 少 HIV 迅 速 增 加 时, 病 情 发 作, 随 时 出 现 的 各 种 病 原 体 都 可 能 引 起 感 染, 病 人 最 后 因 各 种 机 能 衰 竭 而 死 亡 一 般 在 未 治 疗 情 况 下,AIDS 从 感 染 到 发 作 的 平 均 时 间 约 为 0 年, 但 是 不 同 的 病 人 的 差 异 较 大, 临 床 上 可 观 察 到 到 8 年 的 潜 伏 期, 这 主 要 取 决 于 CD4 + T 细 胞 浓 度 下 降 和 HIV 浓 度 上 升 的 速 度 通 常 健 康 人 每 mm 血 液 中 平 均 有 000 个 CD4 + T 细 胞, 当 HIV 的 携 带 者 的 CD4 + T 细 胞 降 至 00 个 /mm 时, 疾 病 发 作. 艾 滋 病 传 播 模 型 艾 滋 病 传 播 途 径 主 要 有 性 传 播 血 液 传 播 共 用 针 具 的 传 播 和 母 婴 传 播 等 四 种, 其 中 性 传 播 已 成 为 当 今 艾 滋 病 传 播 的 主 要 途 径 故 下 面 的 模 型 主 要 研 究 通 过 性 活 动 引 起 AISD 的 传 播, 通 过 其 他 因 素 引 起 的 传 播 可 以 建 立 类 似 的 模 型. 模 型 建 立 将 目 标 人 群 具 有 性 活 动 者 ) 分 为 类,xt) 为 t 年 易 感 染 的 人 数,yt) 为 被 HIV 感 染 的 人 数,zt) 为 已 患 AIDS 的 人 数, 在 没 有 特 定 目 标 的 情 况 下, 假 定 x,y,z 的 初 始 值 分 别 为 5 0 6, 0 6, [],[] 参 照 其 它 传 染 病 的 传 播 模 型 及 参 数 规 划 模 型 案 例 得 到 模 型 为 dx = s cλ + µ ) x, ) dz = cλ x γ + µ ) y, ) = γ y µ + δ ) z, ) 其 中 各 个 参 数 的 定 义 及 其 定 值 如 下 :s ~ 易 感 染 者 加 入 目 标 人 群 的 速 率 0 6 / 年 );c ~ 获 得 新 的 性 伴 侣 的 平 均 速 率 / 年 );λ ~ 性 伴 侣 被 HIV 感 染 者 的 概 率 0.); µ ~ 易 感 染 者 退 出 目 标 人 群 的 比 例 0.05/ 年 );γ ~HIV 感 染 者 进 入 AIDS 的 比 例 0./ 年 ); µ ~HIV 感 染 者 退 出 目 标 人 群 的 比 例 0.05/ 年 ); µ ~AIDS 退 出 目 标 人 群 的 比 例 0.05/ 年 );δ ~ AIDS 死 亡 的 比 例 0.95/ 年 ) 虽 然 线 性 常 系 数 微 分 方 程 )~) 有 解 析 解, 可 是 我 们 只 想 了 解 数 值 结 果 和 观 察 直 [4] 观 的 变 化 趁 势, 于 是 在 上 面 的 参 数 和 初 值 下 运 用 Matlab7.5 软 件 包 求 数 值 解 便 得 到 了 图 - -
3 可 以 看 出, 人 们 最 关 心 的 被 HIV 感 染 的 人 数 y 在 约 5 年 时 达 到 最 大 值 约 00 万,0 年 后 趁 向 稳 定 值 约 750 万. 模 型 分 析 由 劳 斯 - 霍 尔 维 茨 Routh-Hurwitz) 判 据, 容 易 得 到 方 程 )~) 的 唯 一 平 衡 点 是 s cλ γ x =, y = x, z = y 4) c λ + µ γ + µ µ + δ 因 为 方 程 )~) 的 个 特 征 根 均 为 负 值, 所 以 平 衡 点 是 全 局 稳 定 的, 与 初 始 值 无 关 稳 态 下 HIV 感 染 者 在 目 标 人 群 中 的 比 例 为 β = y = x + y + z γ γ + µ 5) + + µ + δ cλ 当 一 个 参 数 值 增 加 时 引 起 平 衡 点 个 坐 标 及 β 值 的 变 化 见 下 表 如 γ 增 加 时, x 不 变, y 减 少, z 增 加, β 减 少 ) 图 方 程 )~) 的 数 值 解 表 一 个 参 数 值 增 加 时 引 起 个 坐 标 及 β 值 的 变 化 情 况 参 数 x y z β s λ c γ - -
4 µ µ µ δ 由 于 平 衡 点 的 全 局 稳 定 性, 所 以 只 要 采 取 适 当 措 施 使 各 个 参 数 向 正 确 的 方 向 增 加 或 减 少 ) 改 变, 长 期 说 来 就 可 以 使 HIV 感 染 者 和 AISD 的 人 数 减 少, 而 不 管 目 前 情 况 如 何. 接 种 疫 苗 模 型 用 弱 化 的 HIV 作 疫 苗 帮 助 人 体 建 立 对 病 毒 的 免 疫 性, 是 一 种 人 为 的 干 预 措 施, 为 了 建 立 这 种 情 况 模 型, 需 要 增 加 两 个 函 数 : 目 标 人 群 中 接 种 疫 苗 的 人 数 y t ), 接 种 疫 苗 后 又 被 病 毒 感 染 的 人 数 y t ), 假 定 y, y 的 初 始 值 分 别 为 000 和 0 模 型 为 dx dz = p) s cλ + cλ + µ ), 6) x = cλ x γ + µ ) y, 7) = ps + cλ x ϕ) cλy γ + µ ) y, 8) 4 = ϕ ) cλy γ + µ ) y, 9) 5 = γ y + γ y + γ y µ + δ ), 0) z 其 中 新 增 加 的 参 数 及 其 设 定 值 如 下 : p ~ 目 标 人 群 接 种 疫 苗 的 比 例 0.4); λ ~ 性 伴 侣 接 种 疫 苗 的 概 率 0.5);ϕ ~ 接 种 疫 苗 后 起 到 预 防 作 用 的 概 率 0.9); γ ~ 接 种 疫 苗 者 进 入 AIDS 的 比 例 0.005/ 年 ); µ 4 ~ 接 种 疫 苗 人 群 退 出 目 标 人 群 的 比 例 0.05/ 年 ); γ ~ 接 种 疫 苗 者 被 病 毒 感 染 进 入 AIDS 的 比 例 0.95/ 年 ); µ 5 ~ 接 种 者 被 病 毒 感 染 退 出 目 标 人 群 的 比 例 0.05/ 年 ) 虽 然 接 种 疫 苗 还 不 能 预 防 HIV 的 初 期 感 染, 但 是 我 们 可 以 作 简 单 的 计 算 来 预 测 如 果 疫 苗 取 得 进 展 后 的 效 果 [4] 比 如 在 p =0.4,ϕ =0.9 的 情 况 下 利 用 Matlab7.5 软 件 包 求 6)~ 0) 的 数 值 解 即 得 到 图, 从 图 可 以 看 出, 被 HIV 感 染 的 人 数 y 在 约 年 时 达 到 最 大 值 约 600 万, 比 模 型 )~) 的 结 果 减 少 了 一 半,0 年 后 趁 向 稳 定 值 约 00 万, 比 模 型 )~) 的 结 果 减 少 得 更 多 - 4 -
5 .4 结 论 分 析 图 方 程 6)~0) 的 数 值 解 上 面 这 个 艾 滋 病 传 播 模 型 概 念 上 虽 然 较 简 单, 但 涉 及 到 的 参 数 很 多, 对 于 这 些 模 型 来 说, 关 键 在 于 如 何 确 定 其 中 的 参 数 应 用 它 的 主 要 困 难 是 确 定 用 于 特 定 国 家 或 地 区 的 一 组 参 数, 虽 然 乌 干 达 等 非 洲 国 家 已 经 在 这 方 面 做 了 大 量 的 统 计 研 究, 但 是 目 前 还 不 能 得 到 确 定 这 些 参 数 的 较 有 效 方 法, 另 外, 在 临 床 上 较 精 确 地 得 到 被 HIV 感 染 的 和 已 患 AIDS 的 人 数 也 是 困 难 的. 结 束 语 尽 管 目 前 我 国 艾 滋 病 的 疫 情 上 升 速 度 有 所 减 缓, 还 没 有 出 现 艾 滋 病 大 规 模 流 行 之 势, 但 是 我 们 要 清 醒 地 看 到, 疫 情 存 在 潜 在 的 流 行 趁 势,HIV 的 传 播 途 径 已 演 变 成 以 性 传 播 途 径 为 主, 已 经 与 国 际 上 的 流 行 趁 势 一 样, 艾 滋 病 疫 情 地 区 分 布 差 异 大, 艾 滋 病 流 行 因 素 广 泛 存 在, 局 势 越 来 越 严 峻, 一 触 即 发, 并 可 能 出 现 灾 难 性 后 果 因 此, 从 现 在 到 本 世 纪 末 将 是 我 国 预 防 控 制 艾 滋 病 的 关 键 时 期, 如 果 我 们 现 在 不 积 极 采 取 预 防 控 制 措 施, 将 错 失 良 机 当 务 之 急 是 要 全 面 了 解 我 国 艾 滋 病 传 播 途 径 的 变 化 流 行 趁 势 受 影 响 人 群 有 关 的 危 险 行 为 等 情 况, 建 立 一 个 有 效 的 监 测 系 统, 为 决 策 者 提 供 有 关 艾 滋 病 传 播 的 准 确 数 据, 预 测 艾 滋 病 流 行 疫 情 和 趁 势, 为 全 国 艾 滋 病 规 划 策 略 的 制 定 提 供 依 据 随 着 艾 滋 病 在 我 国 不 同 地 区 不 断 蔓 延 扩 大, 其 流 行 模 式 将 变 得 越 来 越 复 杂 因 此, 我 们 的 监 测 系 统 不 仅 仅 是 数 据 的 收 集, 而 应 当 注 重 数 据 的 分 析 以 帮 助 对 策 的 制 定 - 5 -
6 参 考 文 献 [] 曹 毅. 警 惕 艾 滋 病 [M]. 北 京 : 清 华 大 学 出 版 社,005. [] 谭 永 基, 蔡 志 杰. 数 学 模 型 [M]. 上 海 : 复 旦 大 学 出 版 社,005. 0~0. [] Christelle,Christian Prins, Marc Sevaux. 运 筹 学 案 例 [M]. 北 京 : 北 京 林 森 科 技 发 展 有 限 公 司,007. [4] 赵 东 方. 数 学 模 型 与 计 算 [M]. 北 京 : 科 学 出 版 社,007. Model of the spread of AIDS on the basis of estimation programming Zhu Jiarong Nanning Teacher s College,Department of Mathematics & Computer Science, P. R.China Guangxi Province, CongZuo500) Abstract AIDS is a serious infectious disease,it s caused by HIV infection, which damage the bo s immune system and make the bo losing their resistance to various life-threatening pathogens. International medical profession has no effective drugs and treatments of preventing or healing AIDS. Therefore, do a good job in AIDS prevention and control should the most effective means to fight AIDS. Our paper discussed the process of AIDS spreading by establishing math model about estimation programming based on Matlab, and except the government can take it as a reference for AIDS prevention in the new era. Keywords: AIDS; Model of the spread; Estimation programming; Matlab 作 者 简 介 : 朱 家 荣, 男,965 年 生, 华 中 师 范 大 学 数 统 学 院 访 问 学 者, 主 要 研 究 方 向 : 数 学 建 模 运 筹 学 图 论 计 算 机 数 学 软 件 - 6 -
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