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姻育单
7 years ago
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1 陳昭地國立臺灣師範大學數學系壹前言本文旨於仿波利亞怎樣解題的模式來命題探討對一道原先設想成簡易具創意的旋轉體體積求解誤踏陷阱導入誤解轉向正解的過程有如波利亞解題流程一樣以至於判斷正誤解導入簡便求解的旋轉體利器 Pappus 定理來確定正解進而推廣到更一般的試題成題引用這個實際經歷確認西元年就提出的 Pappus 定理是解旋轉體體積絕佳必備的關鍵工具因此提出國內高三微積分無論是課綱教科書或補充教材都應將 Pappus 定理的應用列入定積分的應用 ~ 求旋轉體體積內容列入最後再提出四道相關的成題充作定積分求旋轉體體積教學的參考又到年底學期快結束了正為上學期師大大一物理系的微積分期末考命題傷腦筋的時候有關用定積分求旋轉體體積的問題諸如圓盤法橡皮圈法圓柱殼法中學數學課綱不包含此法總是要出幾道合理簡易的旋轉體來評量學生於是想到教過的幾道旋轉體諸如 : 設 R 為平面上抛物線與直線為界所圍成的區域並設 R 繞軸 ( 或軸 ) 一圈所得的旋轉體為 V 試求 V 的體積此時用圓盤法橡皮圈法極易求得 V 的體積 : ( ) ( ) d ( ) d 旋轉軸為軸時先將同法可得 : R = B d d = P( ) 改為 - -

2 當然以軸為旋轉軸時用圓柱殼法來求會比較便捷些 : ( d ) ( ) d 上面的兩問題簡潔易懂解法也同樣淺顯連高三選修數學的學生兩三分鐘能順利完成總是不好直接命這樣顯得太簡易不具任何挑戰的問題於是我想稍微改變一下下但計算過程要具有創造力不可太複雜把題目改成旋轉軸是直線本身這個旋轉體就有一點像橄欖球比較親切些吧! 希望高中生也是可作的問題但試作的結果一不小心誤踩地雷想當然爾地仿照圓盤法也是兩三分鐘得形式不錯的答案可是放下筆來覺得不太對勁心裡毛毛的題目不應該這麼容易結果只好再檢驗求旋轉體之基本過程思索了好久盯住旋轉軸 P 其 P 長度為應該是變數的範圍的上限繼續做下去發現解法過程較具挑戰性不再那麼容易變成至少需花上一二十分鐘 ; 即使是正確的解法也不太適用作考題 ( 這裏的解法連思考時間可能需花上半小時 ) 於是我終於攤出波利亞解題模式 : 瞭解問題擬定計畫執行計畫核驗解答來處理以下我就把利用波氏的解題流程搬出來! 貳誤解意圖 : 重述題目一遍 : 設 R 為拋物線與直線為界所圍成的平面區域並設 R 繞直線旋轉一圈所得的旋轉為 V 試求 V 的體積很自然地拿到問題先畫一個示. 在拋物線於的部分上任取一點 A ( ). 求 A ( ) 到旋轉軸的距離 :. 用圓盤法求 V 的體積得 d ( ) d R A B = P( ) - 7 -

3 科學教育月刊第期中華民國一年三月如此得 V 的體積為放下筆來想一想是不是解法答案都是正確嗎? 但它是很多學生自然的作法也許有些學生會換一個角度來檢驗解法是否正確此時可把區域 R 換成拋物線 ( ) 與直線為界的區域 R 其它條件不變下 V 的體積依上法就應為 d ( ) d 然也都是同樣大小全等立體! 雖然經過這樣的檢驗表示這可能是正確的解法! 不可馬上寫下答案就結束了! 還須換一換角度想一想例如 : 定積分的範圍取成區間旋轉半徑跟軸不互相垂直覺得有點不對勁! 依定積分的取法理應取成 P 長的區間 [ ] 而且旋轉半徑正好跟 P 垂直換言之定積分的上限應該是而不是這裏應該有問題! 於是就會讓我們另起爐灶重新思考發現問題所在終於發現上面的解法是錯誤的解法而且答案也是錯的! 參正解底下提出上段中問題的正確解法. 在 P 上任取一點 T T 則此點對應的直線上的 ( ) 坐標為 T : 即 = T R P( ) = B T R P A B 答案也是同樣這時讓我們感覺原來上面的兩塊區域對直線成對稱繞直線旋轉一圈它們的旋轉體必. 過 T 作與 P 垂直的直線 - 8 -

4 TA : 即 d 以來表示 TA 與拋物線 A ( ) 點的坐標 : 相交於即故 ( 負不合 ) 即所以即 A. 求 TA 長 TA. 求 V 的體積 : ( ) d ( 其中而 d d ) d ( ) ( ) (9) () d 則可用 u 代換 : 故得 u u d udu u ; u d ( u ) u u du ( u 5 u u 5 u ) du ( ) (7 )

5 科學教育月刊第期中華民國一年三月所以 V 的面積為 9 跟上節的方法所求的答案形式竟然那麼類似只差的倍數! 當然我們也可透過拋物線與直線圍成的區域 R 與 R 對直線成對稱計算 A 坐標 : TA 的直線與即解同樣可解得到旋轉體 V 同樣可表示成 TA d 的交點 ( ) d 換句話說也得到同樣的表示式及答案! 不過這裏計算積分的算式有一個地方要用到代換法這是歷年來國內普通高中數學的微積分課綱未正式涉及的當然本題表面看似簡易但實際是具有難度的對一般未涉及代換法求定積分的學生而言當作考題是不合適的即使學過代換當然對期末考答題時間有限以計算過程有些技巧與繁雜還是不適合當作段考試題 ; 不過當作習題充作挑戰題倒是挺適合 ; 於是這一道考題被甜甜圈的問題來取代 ( 有三種解法 ) 肆攤牌時刻上面兩種方法所得的答案一個是另一個是當然一定至少有一個是錯誤到底是哪一個呢? 首先我們應該想像到原來的問題進一步一般化如下 : 設 R 為平面上單項多項式函數的圖形與直線為界在第一象限所圍成的區域並設 R 繞直線旋轉一圈所得的旋轉體為 V 試求 V 的體積按牌理這樣的 V 也應該可以用人腦計算出來! 但如果第個答案話即 V 的體積為是正確的依其解法過程如法泡製令 P 上的任一點 T 過 T T 的原坐標應為 T 垂直於 P 的直線方程式為即 - -

6 再求與交點坐標 A 在的時就遇到了解三次方程式 : 利用卡丹 ( 義大利數學家 Cardao ) 解一般三次方程式 p q 判別式 q p 7 7 其唯一解為 7 7 A 坐標以表示變得含有很繁雜的根式 TA 仍然很複雜到人腦計算 V 的體積是不可行當然時更是遙不可及了! 為了確定是 V ( V ) 的正確答案必然要用適當的其他方法來檢驗進而對一般的 V 能順利計算出體積來後來我們想起在上微積分的課程用定積分可以求區域 R 形心的坐標而且形心跟旋轉軸的距離 r 有如下的關係 [Pappus 定理 (Pappus of Aleadria 約在西元年提出 )]: 平面上有一區域 R 其內部與直線 l 完全分離如果 R 的形心和 l 的距離是 r 則 R 繞 l 旋轉一圈所得的旋轉體 V 的體積有如下的關係 : V 的體積等於 R 的面積乘上 r 這個定理中的關係恰好可以用來判定上面的兩個答案到底哪一個是正確的於是攤牌的時刻即將來臨看以下的解題程序 :. 先核算 R ( ) d 的面積 : 其面積為. 再求區域 R 的形心 ( ) : ( ) d ( ) d 5 d. 求 ( ) 到旋轉軸的距離 : = R 5. 由 Papus 定理計算出 ( ) B ( 示意圖 ) P( ) 積為 V 的體 V - -

7 科學教育月刊第期中華民國一年三月正確答案已揭曉正是第二個解法的呢! 也就是第一個解法是錯誤! 不僅如此看看解法可不可進一步求相關問題利用上面的方法我們發現更可輕易得到一般解 :. 先核算 R 的面積 : ( ) d ( ). 再求區域 R 的形心 ( ) : ( ) d ( ) ( ) ( ( ) ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) d ( ) ) d ( ) ( ). 求形心 ( ) 到旋轉軸的距離 : ( ) ( )( ). 最後利用 Pappus 定理求出 V 的體積 : V 的體積為 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( 求 V 的體積公式 ) 特殊情形 V ( V ) 的體積為可肯定 V 的面積一般公式無誤! 且由上面的解法其一般結果也都出現倍回頭檢驗這倍對原先第一個誤解當時答案為何? 現這 V ( ) d 5 而正確答案 V 則為倍的關係於是 V ( ( ) d) ( ) d ( ) ( )() 也恰好出 5 換言之誤解過程中將 d 改為 d 其餘不變就變成正解了! 原來這個倍跟轉旋轉 5 再伸長倍有關這樣解法是很直觀的不過當旋轉軸 - -

8 改為跟 R 內部不相交的直線或 5 等等就得再借用 Pappus 定理了! 綜合來說 Pappus 定理還是解這類問題的絕佳利器於是綜合上面的結果我們可以得到下一次有機會涉及類似旋轉體求體積的一道合理命題 : 設 R 為曲線與直線為界在第一象限圍成的區域 V 為由區域 R 繞為旋轉軸旋轉一圈所得的旋轉體 (). 試利用 Pappus 定理求 V 的體積高中選修數學 (II) 積分的考題上不過當作平常作業或作徵答題是具有挑戰性的甚至我感受到 Pappus 定理在微積分定積分的旋轉體體積問題尤其由多項式函數所圍區域的旋轉體常常會發揮了關鍵性的用途甚至 Pappus 定理可用來取代不能使用圓盤法而必須使用圓柱殼法的旋轉體體積問題例如 : 求以函數圖形及兩直線為界的區域繞直線旋轉一圈所得旋轉體的體積 (). 設 a 為 V 的體積試求 lim a 並解釋這個極限的幾何意義 l 伍結論與建議最後我們終於澄清了何者為正確解法不僅如此找出的 Pappus 定理事實也是我在大一微積分課程中強調的一個解足夠好的區域繞旋轉軸旋轉一圈所得旋轉體的體積便捷的求法山不轉路轉在微積分的習題也有諸多的類似顯示正確概念等基本功夫的培養與訓練非常的重要否則給了一堆的錯誤的解法還是茫然不知呢! 原出現在期末考的考題終於被提早發現易生誤解而不用 Pappus 定理的正解又是頗具難度的方法於是被換掉了! 現在發現對於知道 Pappus 定理的學生來說這道被換掉的考題對我的學生而言還是蠻合適! 不過換成的問題雖然比較老舊但它有三種解法也很適合當作考題唯此道問題甚至更一般化的情形都不適用在可用 Pappus 定理解得如下 :. 先求區域面積 A: A : ( ) d. 求區域形心的坐標 : ( ) d ( d) A 5 ( ) 5 可以不必求出來 - -

9 科學教育月刊第期中華民國一年三月 8. 形心 ( ) 到旋轉軸鉛直線的距離為 ( ) 5 8. 旋轉體體積為有鑑於此综合以上結果我個人對高中微積分教學提出如下的建議 : 高中微積分的課綱宜涵蓋 Pappus 定理求旋轉體體積的應用高中選修數學 (II) 在課綱未明列 Pappus 定理之前宜列 Pappus 定理的應用實例高中或大學微積分的教學應補充並重視利用 Pappus 定理求旋轉體體積的方法最後由此命題與解題的過程經歷命題就此結束了嗎? 於是利用一些時間反思研究終於又再提出幾道可以試作的問題當作結尾問題 ( 一 ) 設 R 為平面上函數圖形與直線為界的區域求 R 繞直線旋轉一圈所得旋轉體的體積 ( 參考答案 : 999 ) 5 問題 ( 二 ) 設 R 為平面上三次曲線與直線 8 5 旋轉半圈所得旋轉體體積 ( 參考答案 : ) 5 問題 ( 三 ): 5 在第一象限所圍區域試求 R 繞直線試求下圖邊長分別為 a b 的長方形區域繞直線 l 旋轉一圈所得旋轉體的體積 ( 參考答案 : ab(c a b ) ) l c b a 問題 ( 四 ): 在結論與建議上方的命題中將旋轉軸改為與區域 R 不相交的直線 a b c 旋轉一圈所得旋轉體 V 其餘不變下試求 a 及 lim a - -

10 ( ) ( ) a ( ) b ( 5 ) c ( 參考答案 : a a b ( ) ( a b )( 5) lim a a b c a b ) a b 後記 : * 由本文第頁之旋轉體求體積之命題 : (). 設 a 為 V 的體積試求 lim a 並解釋這個極限的幾何意義知 lim a 恰好是 BP 繞直線旋轉一圈所得旋轉體 ( 兩大小全等其底面的雙正圓錐 ) 的體積若第一種方法繼續作下去得 b d 而 lim b 跟上面情況比較自然不合也可窺出第一種方法確定是誤解 * ** 當 fg 都為多項式函數且 f ( ) g( ) a b 則由 fg 的函數圖形與鉛直線 =a=b 為界所圍區域 R 的形心坐標 ( ) 公式 : b ( f ( ) g( )) d a A( R) b f ( ) g( ) ( )( f ( ) g( )) d a A( R) 其中 A(R) 表區域 R 的面積 ** 參考資料波利亞怎樣解題閰育蘇譯九章出版社印行李虎雄陳昭地朱亮儒等 ( 民 99) 高中選修數學 (II) 康熹文化事業股份有限公司出版李虎雄陳昭地朱亮儒等 ( 民 ) 高中選修數學甲 (II) 書稿康熹文化事業股份有限公司張海潮譯著微積分 ( 第 9 版 )( Larso Edwards 原著 ) 歐亞書局有限公司出版陳昭地顏啟麟等 ( 民 7) 微積分 ( 再版 ) 協進圖書有限公司印行孫文先 ( 民 7) 簡明數學百科全書九章出版社印行 Larso Edwards Calculus (9 h ed.). 歐亞書局有限公司代行 - 5 -

第十一單元(圓方程式)

第十一單元(圓方程式) 第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ