C39N13.dvi
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- 货疋 华
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1 數 學 傳 播 39 卷 1 期, pp 杵 臼 關 節 阿 基 米 德 多 面 體 1 蕭 文 強 1. 中 國 數 學 家 華 羅 庚 說 過 這 樣 一 段 話 : 宇 宙 之 大 粒 子 之 微 火 箭 之 速 化 工 之 巧 地 球 之 變 生 物 之 謎 日 用 之 繁 無 處 不 用 數 學 ( 華 羅 庚 科 普 著 作 選 集, 上 海 教 育 出 版 社, 1984; 原 刊 於 1959 年 5 月 28 日 人 民 日 報 ) 讓 我 就 以 一 個 數 學 應 用 例 子 來 開 始 1981 年 春 某 天, 一 位 香 港 大 學 醫 學 院 的 同 事 向 我 們 提 出 他 在 醫 學 實 驗 當 中 碰 到 的 一 個 數 學 問 題 這 個 問 題 和 它 的 解 決 方 法, 且 聽 我 慢 慢 道 來 動 物 的 骨 骼 關 節 有 好 幾 類, 其 中 一 類 叫 做 杵 臼 關 節 (ball-and-socket) 杵 凸 出 的 部 分 和 臼 凹 入 的 部 分 並 非 完 全 吻 合, 唯 其 如 此, 杵 臼 關 節 才 能 較 好 承 受 應 力 但 杵 臼 之 間 不 時 磨 擦 卻 促 使 兩 者 的 形 狀 漸 趨 吻 合, 幸 好 關 節 的 正 常 生 長 又 抵 消 了 這 種 吻 合 現 象, 這 個 此 消 彼 長 的 過 程 在 醫 學 上 叫 做 重 模 過 程 (remodelling process) 那 位 醫 學 院 同 事 的 研 究 項 目, 就 是 探 討 外 力 對 關 節 重 模 過 程 的 影 響 了 解 這 個 情 況, 對 於 醫 療 步 驟 而 言 是 有 用 的 實 驗 是 要 計 算 受 不 同 程 度 外 力 的 杵 臼 接 觸 部 分 的 面 積 在 實 驗 過 程 中, 把 關 節 剖 開, 把 臼 部 分 拍 照, 利 用 一 種 染 色 技 巧, 把 杵 臼 的 接 觸 部 分 區 別, 在 照 片 上 顯 現 如 果 要 計 算 照 片 上 著 色 區 域 的 面 積, 那 還 好 辦, 打 方 格 便 成 了 ( 見 圖 1) 數 一 數 著 色 區 域 佔 多 少 方 格, 就 能 估 計 面 積 方 格 分 得 越 細, 估 計 值 越 準 確 圖 1 1 二 十 年 前 香 港 大 學 數 學 系 創 辦 每 年 一 度 的 普 及 數 學 講 座 系 列 數 趣 漫 話, 第 一 講 由 梁 鑑 添 博 士 主 講 350 年 懸 案 : 費 馬 最 後 大 定 理 (1994 年 3 月 12 日 ), 接 著 是 這 一 講 (1994 年 3 月 26 日 ) 當 年 中 學 的 普 及 數 學 活 動 極 少, 每 次 講 座 都 吸 引 了 數 百 名 師 生 來 參 加 際 此 數 趣 漫 話 二 十 週 年, 把 這 一 講 的 文 本 刊 於 EduMath 第 37 期 (2014 年 12 月 ), 讓 多 一 些 中 小 學 師 生 可 以 讀 到, 有 些 教 師 或 者 可 以 從 中 想 到 更 好 的 教 學 活 動, 固 我 所 願 也 承 蒙 EduMath 及 數 學 傳 播 兩 本 刊 物 的 主 編 同 意, 讓 文 本 在 兩 本 刊 物 上 刊 登, 擴 大 了 讀 者 圈, 就 更 是 我 所 願 也 謝 謝 兩 位 主 編 26
2 杵 臼 關 節 阿 基 米 德 多 面 體 27 那 位 同 事 碰 到 的 困 難 是 什 麼 呢? 照 片 只 是 平 面 投 影, 他 真 正 要 計 算 的 部 分 卻 是 個 曲 面 ( 見 圖 2) 為 了 作 近 似 計 算, 不 妨 假 設 骨 臼 是 個 半 圓 球, 它 的 橫 截 面 照 片 是 半 圓 球 面 的 投 影, 是 一 個 圓 圓 內 某 些 區 域 著 了 色, 那 是 半 圓 球 面 上 著 了 色 的 區 域 的 投 影 數 學 問 題 是 : 怎 樣 從 圓 內 著 色 的 區 域 推 算 半 圓 球 面 上 相 應 區 域 的 面 積 呢? 圖 2 數 學 提 供 了 解 決 這 種 問 題 的 理 論 工 具 : 高 等 微 積 分 的 曲 面 積 分 (surface integral), 這 屬 於 大 學 一 年 級 的 數 學 課 程 範 圍 但 是, 隨 意 給 出 圓 內 某 個 區 域, 它 可 能 難 以 用 數 學 公 式 刻 畫, 怎 麼 計 算 它 上 面 的 曲 面 積 分 呢? 那 位 醫 學 院 同 事 也 不 一 定 熟 悉 高 等 微 積 分, 他 要 求 的 是 一 種 既 簡 單 又 可 以 自 己 動 手 量 度 的 方 法, 於 是 向 我 們 提 出 這 個 問 題 大 家 來 想 一 下 計 算 平 面 區 域 面 積 的 方 法, 為 什 麼 打 方 格 這 辦 法 行 得 通 呢? 關 鍵 在 於 每 一 個 方 格 的 面 積 是 相 等 的 估 計 圖 形 所 佔 方 格 的 數 目, 乘 以 每 格 面 積, 就 得 到 答 案 了 怎 樣 在 曲 面 上 做 類 似 的 事 情 呢? 請 注 意, 我 們 看 到 的 不 是 曲 面 而 是 它 的 平 面 投 影 的 照 片, 只 能 把 照 片 上 的 區 域 分 成 小 部 分, 於 是 自 然 地 提 出 以 下 的 問 題 : 怎 樣 把 照 片 劃 成 小 部 分, 每 部 分 相 應 的 曲 面 的 面 積 都 是 相 等 的? 如 果 能 這 樣 做, 就 能 估 計 曲 面 上 區 域 的 面 積 了 既 然 平 面 上 的 方 格 那 麼 有 用, 把 它 們 投 影 到 曲 面 上, 問 題 就 解 決 了 嗎? 可 惜 答 案 是 : 不! 平 面 上 的 方 格 是 等 面 積 的, 把 它 們 投 影 到 球 面 上 卻 不 再 是 等 面 積 的 位 於 中 心 附 近 的 一 格 相 應 的 曲 面 面 積, 比 起 位 於 圓 周 附 近 一 格 相 應 的 曲 面 面 積 是 小 了 ( 見 圖 3) 圖 3 不 難 看 到, 如 果 我 們 畫 一 組 等 分 圓 周 的 半 徑, 由 這 些 線 段 組 成 的 扇 形 在 曲 面 上 的 相 應 面 積 是 相 等 的 如 果 我 們 能 夠 再 適 當 地 畫 一 組 同 心 圓, 把 這 些 扇 形 分 為 小 部 分, 使 曲 面 上 的 相 應 面 積 相 等, 問 題 不 是 解 決 了 嗎 ( 見 圖 4)?
3 28 數學傳播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 圖4 我帶著問題回到家, 它一直在腦子裏盤旋 晚飯後我跟一歲半的兒子玩耍, 他正在把弄一 件玩具, 是一個由一組顏色不同厚度相等的球台合拼而成的圓球 (見圖 5) 瞠著那件玩具, 我忽 地靈機一動, 想到了關鍵的問題! 那套球台的厚度兩兩相等, 它們的側面積是否也兩兩相等呢? 如果的確相等, 把球台投影到通過球中心的平面, 就得到所需的同心圓了 待兒子睡著後我連忙 拿紙筆算一算, 果然不出所料, 兩個球台只要厚度相等, 它們的側面積也相等 我再翻查數學手 冊, 證實我的計算無誤 手冊上寫著, 從半徑是 R 的圓球截取一個厚度是 H 的球台, 它的側面 積是 2πRH (見圖 6) 特別地, 具相同 H 的球台有相等的側面積 圖5 圖6 利用球台側面積的性質, 我們懂得如何把圓劃分, 使每小部分相應的曲面面積相等, 如圖 所示 (見圖 7) 數一數著色區域佔多少部分便能估計半圓球上著色區域的面積 由於那組同心 圓在平面上不是均勻的, 把劃分加細時必須作出適當處理, 其中的技術細節, 就從略了 圖7
4 杵 臼 關 節 阿 基 米 德 多 面 體 雖 然 杵 臼 關 節 的 問 題 告 一 段 落, 我 意 猶 未 盡, 因 為 球 台 側 面 積 的 公 式 很 有 意 思, 十 分 漂 亮 卻 不 明 顯 如 此 優 美 的 公 式, 前 人 是 怎 樣 發 現 的 呢? 為 求 進 一 步 了 解 這 個 問 題, 我 翻 閱 書 本, 尤 其 是 古 代 希 臘 的 數 學 文 獻, 因 為 在 那 個 時 代, 幾 何 發 展 尤 其 蓬 勃 果 然, 我 在 阿 基 米 德 (Archimedes, 公 元 前 287 年 至 公 元 前 212 年 ) 的 著 述 圓 球 與 圓 柱 (On the sphere and cylinder) 裏 面 找 到 了 解 釋 阿 基 米 德 考 慮 的 是 整 個 圓 球 的 表 面 積 A, 以 今 天 的 表 達 方 式, 答 案 是 A = 4πR 2 (R 是 圓 球 的 半 徑 ), 這 是 書 中 第 三 十 三 條 定 理 的 內 容 他 也 考 慮 球 冠 的 表 面 積, 答 案 就 是 由 頂 點 至 邊 緣 的 線 段 作 為 半 徑 的 圓 的 面 積, A = πl 2 = 2πRh ( 由 於 L 2 = 2Rh, h 是 球 冠 的 高 ), 這 是 書 中 第 四 十 二 條 定 理 的 內 容 ( 見 圖 8) 一 個 球 台 可 以 看 成 是 從 一 個 大 球 冠 減 去 一 個 小 球 冠, 假 設 大 球 冠 的 高 是 h 1, 小 球 冠 的 高 是 h 2, 那 麼 球 台 的 側 面 積 是 A = 2πRh 1 2πRh 2 = 2πR(h 1 h 2 ) = 2πRH, 其 中 H 是 球 台 的 厚 度 圖 8 阿 基 米 德 運 用 窮 竭 法 (method of exhaustion) 來 證 明 這 些 定 理, 內 裏 蘊 含 後 世 微 積 分 的 極 限 (limits) 思 想, 在 這 兒 不 岔 開 話 題 了, 不 如 讓 我 用 現 代 數 學 語 言 來 解 釋 球 台 側 面 積 的 公 式 吧 一 個 球 台 可 以 看 成 是 由 眾 多 層 截 頭 圓 錐 體 近 似 地 組 成, 每 層 越 薄, 組 成 的 物 體 便 越 趨 近 於 球 台 先 來 看 一 層 典 型 的 截 頭 圓 錐 體, 頂 是 一 個 半 徑 為 r i 的 圓, 底 是 一 個 半 徑 為 r i 的 圓, 斜 長 是 l i, 高 是 h i, 從 圓 球 中 心 至 圓 錐 側 面 的 垂 直 線 長 度 是 p i 利 用 相 似 三 角 形 的 性 質 可 知 (r i +r i)/2 : p i = h i : l i, 因 此 l i (r i +r i) = 2p i h i ( 見 圖 9) 我 們 也 知 道 截 頭 圓 錐 體 的 側 面 積 是 πl i (r i +r i) ( 留 給 讀 者 作 為 習 題, 可 以 參 考 圖 9), 也 就 是 2πp i h i 把 球 台 看 成 是 由 眾 多 層 截 頭 圓 錐 體 組 成, 每 層 越 薄, p i 趨 近 於 定 值 R, 所 以 眾 多 層 截 頭 圓 錐 體 的 側 面 積 合 起 來 趨 近 於 2πRh 1 + 2πRh 2 + =
5 30 數 學 傳 播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 2πR(h 1 +h 2 + ) = 2πRH, 其 中 H 是 眾 h i 的 和, 等 於 球 台 的 厚 度 圖 9 3. 阿 基 米 德 的 時 代, 是 古 代 希 臘 數 學 的 高 峰, 幾 何 方 面 尤 其 發 達, 由 以 上 敘 述 的 例 子 可 見 一 斑 但 奇 怪 地, 雖 然 有 些 結 果, 一 經 提 出, 當 時 任 何 一 位 希 臘 數 學 家 完 全 不 會 感 到 陌 生, 卻 從 來 沒 有 人 提 出 過, 遑 論 證 明 了 以 下 我 們 將 要 介 紹 一 個 這 樣 的 結 果, 它 距 阿 基 米 德 二 千 年 後 才 有 人 提 出 來 並 且 試 作 解 釋 這 個 結 果 對 後 世 數 學 發 展 非 常 重 要, 可 以 說 得 上 是 數 學 史 上 的 一 個 里 程 碑 讓 我 從 一 封 書 信 開 始 敘 述 這 段 故 事 吧 1750 年 十 一 月, 瑞 士 數 學 家 歐 拉 (Leonhard Euler, ) 寫 了 一 封 信 給 德 國 數 學 家 哥 德 巴 赫 (Christian Goldbach, ), 談 及 一 些 多 邊 形 (polygon) 與 多 面 體 (polyhedron) 類 比 的 問 題 特 別 地, 對 多 邊 形 而 言 有 以 下 兩 個 熟 知 的 結 果 : (*1) 頂 點 ( 角 ) 的 數 目 等 於 邊 的 數 目 ( 記 作 N); (*2) 內 角 和 等 於 2(N 2) 個 直 角 大 家 在 初 中 數 學 課 上 都 碰 到 (*2) 吧? 對 凸 多 邊 形 (convex polygon) 容 易 證 明 這 回 事, 但 其 實 對 凹 多 邊 形 (concave polygon), 那 依 然 是 對 的, 詳 細 情 形 在 這 兒 就 不 說 了, 回 到 歐 拉 的 信 吧 他 在 信 上 引 進 幾 個 參 數 : 多 面 體 的 面 的 數 目, 現 多 記 作 F; 頂 點 的 數 目, 現 多 記 作 V; 棱 的 數 目, 現 多 記 作 E 請 注 意 一 點, 歐 拉 特 意 引 入 棱 (edge, 原 拉 丁 文 是 acies) 這 個 新 名 詞, 有 別 於 邊 (side, 拉 丁 文 是 latus), 是 有 其 用 意 的, 暫 且 按 下 不 表, 遲 些 再 談! 用 歐 拉 自 己 的 話 說 : 由 於 沒 有 公 認 的 名 稱, 我 把 它 叫 作 棱 接 著, 歐 拉 在 信 上 寫 下 了 幾 條 命 題, 他 還 說 : 命 題 六 和 命 題 十 一 是 很 重 要 的, 但 那 是 如 此 困 難, 至 今 我 還 沒 有 發 現 滿 意 的 證 明 讓 我 們 先 看 命 題 十 一 : 若 多 面 體 有 V 個 頂 點, 則 面 角 和 等 於 4(V 2) 個 直 角 嚴 格 而 言, 面 角 和 並 非 (*2) 中 內 角 和 的 真 正 類 比, 因 為 多 邊 形 的 邊 的 真 正 類 比 是 面, 所 以 多 邊 形 的 內 角 的 真 正 類 比 應 該 是 面 與 面 構 成 的 角 但 是 如 果 考 慮 面 與 面 構 成 的 角, 卻 找 不 到 較 好 的 類 比 結 果 反 而 考 慮 面 角 和, 倒 有 一 條 與 (*2) 相 似 的 公 式
6 杵 臼 關 節 阿 基 米 德 多 面 體 31 試 看 一 個 特 殊 例 子, 即 是 一 個 棱 柱 體 (prism), 它 的 底 和 面 是 相 同 的 N 邊 形, 連 接 相 應 的 點 是 N 條 垂 真 的 棱 ( 見 圖 10) 那 麼 底 和 面 的 內 角 和 各 是 2(N 2) 個 直 角, 合 起 來 是 4(N 2) 個 直 角 側 面 由 N 個 矩 形 組 成, 每 個 矩 形 的 內 角 和 是 4 個 直 角, 合 起 來 是 4N 個 直 角 因 此, 棱 柱 體 的 內 角 和 是 8N 8 個 直 角, 也 就 是 4(V 2) 個 直 角, 因 為 V 等 於 2N 反 之, 把 命 題 十 一 應 用 到 這 個 棱 柱 體 上, 可 以 得 到 (*2) 這 條 公 式 圖 10 上 面 只 是 提 供 了 一 條 線 索, 我 們 無 從 確 定 歐 拉 如 何 發 現 命 題 十 一 的 公 式 但 根 據 他 的 工 作 習 慣, 讓 我 們 試 圖 重 建 一 個 可 能 的 策 略, 就 是 考 慮 一 些 實 驗 數 據 大 家 可 不 要 小 覷 這 個 看 似 平 凡 的 策 略 呀! 以 Σ 記 作 面 角 和, V 記 作 頂 點 數 目, 收 集 一 些 例 子, 寫 下 各 例 子 的 V 和 Σ, 將 會 看 到 Σ 全 是 4 的 倍 數, 而 且 隨 V 增 大 ( 見 圖 11) 圖 11 再 仔 細 觀 察, Σ 等 於 4(V 2) 個 直 角 這 回 事, 已 經 呼 之 欲 出 了! 再 從 另 一 個 角 度 看 看 這 回 事, 可 以 加 強 對 這 個 猜 測 的 信 念, 那 就 是 看 看 面 角 和 與 4V 個 直 角 相 差 多 少 為 什 麼 看 這 個 差 呢? 面 角 和 可 以 把 每 一 面 的 內 角 相 加 而 得, 也 可 以 把 每 一 個 頂 點 上 的 面 角 相 加 而 得 如 果 多 面 體 是 個 凸 多 面 體, 每 個 頂 點 上 的 面 角 相 加 不 能 大 於 4 個 直 角 二 千 多 年 前 的 希 臘 數 學 家 也 懂 得
7 32 數 學 傳 播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 這 回 事, 它 是 公 元 前 三 世 紀 初 歐 幾 里 得 (Euclid, 約 公 元 前 330 至 公 元 前 275) 的 巨 著 原 本 (Elements) 裏 卷 十 一 的 第 二 十 一 條 定 理 因 此 在 凸 多 面 體, 面 角 和 Σ 不 大 於 4V 個 直 角 ( 見 圖 12), 看 看 兩 者 相 差 多 少 或 者 有 點 意 思 要 是 你 收 集 一 批 例 子, 便 會 看 到 總 有 4V Σ = 8 個 直 角 ( 見 圖 11), 於 是 便 猜 測 Σ 是 4(V 2) 個 直 角 了 雖 然 歐 拉 在 信 上 及 論 文 中 都 沒 有 聲 明, 其 實 他 只 是 考 慮 凸 多 面 體 的 情 況 不 過 如 今 我 們 曉 得 多 面 體 是 凸 是 凹 都 沒 有 關 係 你 試 找 一 個 凹 多 面 體 的 例 子 看 看, 面 角 和 還 是 4(V 2) 個 直 角 ( 見 圖 13) 圖 12 圖 13 數 學 上 難 有 巧 合, 所 謂 巧 合, 內 裏 必 有 文 章! 雖 然 歐 拉 當 時 在 信 上 並 沒 有 證 明 面 角 和 是 4(V 2) 個 直 角, 他 已 有 理 由 相 信 那 是 一 個 可 靠 的 猜 測, 因 此 提 出 了 信 上 的 命 題 十 一 這 條 命 題 完 全 以 古 代 希 臘 的 幾 何 語 言 表 達, 但 從 來 沒 有 在 古 代 希 臘 的 數 學 文 獻 上 出 現, 奇 怪 嗎? 如 果 我 們 看 看 信 上 的 命 題 六, 便 能 夠 加 深 對 這 個 問 題 的 理 解 命 題 六 是 : 多 面 體 的 面 的 數 目 和 頂 點 的 數 目 合 起 來, 比 棱 的 數 目 多 二, 即 是 說 F +V E = 2 你 有 沒 有 發 現, 命 題 六 和 命 題 十 一 都 是 描 述 同 一 回 事 呢? 假 定 F 個 面 分 別 是 E 1 邊 形 E 2 邊 形 E F 邊 形, 那 麼 面 角 和 等 於 2(E 1 2)+2(E 2 2)+ +2(E F 2) 個 直 角, 即 是 2(E 1 +E 2 + +E F ) 4F 個 直 角 多 面 體 的 每 條 邊 都 屬 於 兩 個 面, 因 此 在 E 1 +E 2 + +E F 中, 每 條 邊 都 算 了 兩 次, 所 以 E 1 +E 2 + +E F = 2E 由 此 可 見 面 角 和 等 於 4E 4F = 4(E F) 個 直 角 因 此, 面 角 和 等 於 4(V 2) 個 直 角, 相 當 於 V 2 = E F, 即 是 F +V E = 2 請 留 意, 命 題 六 的 提 法 中 完 全 不 涉 及 角 的 大 小 或 線 段 的 長 短, 雖 然 命 題 十 一 卻 涉 及 角 的 度 量! 這 一 點 與 古 代 希 臘 幾 何 的 傳 統 極 不 合 拍, 因 為 古 代 希 臘 幾 何 論 及 全 等 形 相 似 形 三 角 圓 等 等, 往 往 都 涉 及 角 和 線 段 的 度 量 像 命 題 六 這 種 結 果, 與 角 或 線 段 的 度 量 無 關, 超 越 了 古 代 希 臘 幾 何 的 範 圍 運 用 古 代 希 臘 幾 何 的 知 識, 不 足 以 駕 馭 這 種 問 題, 甚 至 根 本 不 會 提 出 這 種 問 題 ( 從 高 等 數 學 的 角 度 看, 這 兩 個 味 道 完 全 不 同 的 定 理 是 敘 述 同 一 回 事, 內 裏 蘊 含 深 刻 的 意 義 限 於 作 者 的 學 識, 不 容 易 在 這 兒 說 明 白, 只 好 暫 時 擱 下 不 表 )
8 杵臼關節 阿基米德 多面體 為什麼歐拉會提出這種問題呢? 從他的另一份文獻Elementa doctrinae solidorum (1750 年十一月在聖彼得堡科學院宣讀, 但直至 1758 年才刊印出來), 或者可見其端倪 歐拉在那篇論 文說: 在平面幾何把多邊形分類很容易, 只要看它有多少條邊, 它就有多少個角 (見圖 14) 在 立體幾何把多面體分類卻困難得多, 單看它有多少個面是不足夠的 的確, 以下所示的三個六 面體 (見圖 15), 你不會說它們是同類吧? 它們每一個的頂點數目都不同 即使它們的面的數目 和頂點的數目都各自相同, 你也不一定願意說它們是同類的, 例如以下所示的兩個六面體 (見圖 16), 各有八個頂點, 其中一個每面都是四邊形, 另一個有兩面是四邊形, 兩面是五邊形, 兩面是 三角形 為了突顯多面體的各個面的邊, 歐拉特意引入 棱 這個新術語, 與平面圖形的 邊 有 別 看來似乎他起初對 棱 寄予厚望, 以為它有助於把多面體分類 讓我們再審視上一節的實 驗數據, 看來若 F 相同與 V 相同, 則 E 也相同 對多面體分類而言, 此非妙事, 它意味 棱 的引入沒有幫助 但從另一角度看, 卻有意外收獲, 它意味 F V E 之間存在著某種關係! 這 有如 1492 年哥倫布 (Christopher Columbus, ) 本想尋找往中國和印度的海路, 卻到了美洲! 圖 14 圖 15 圖 16 E 似乎隨 F 和 V 增大, 不妨看看 E 和 F + V 的關係 從實驗數據不難得到猜測 F + V E = 2 (見圖 17), 多看一些凹多面體, 猜測依然成立 (見圖 18) 不過, 猜測始終是猜 測 ; 無論有多少數據支持, 未經嚴謹證明, 沒有滿意解釋, 它始終不能算作定理 時至今天, 我 們知道 F + V E = 2 這道公式對某一大類多面體是正確的 自歐拉以降不少數學家試圖證 明這道公式, 有些人以為證明了, 其後又有人指出證明欠善, 如此往復摸索, 直至 1847 年 (距離 歐拉發現該公式已經差不多一個世紀!) 施圖特 (K.G.C. von Staudt, ) 才給出一
9 34 數學傳播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 個叫人滿意的證明 圖 17 圖 18 歐拉在 1750 年十一月的信上結尾說: 我感到詫異, 就我所知前人從沒有注意到這些立體 幾何的結果 如果他指的是古代希臘數學家, 他說對了 但如果他包括所有十八世紀或以前的 人, 話就不對了 他並不曉得笛卡兒 (Rene Descartes, ) 早在 1630 年左右已經發 現並討論 F + V E = 2 這道公式, 不過笛卡兒的文稿 De solidorum elementis 直至 1860 年才重現世間, 當時歐拉作古已近八十年 今天我們習慣把這道公式叫做歐拉-笛卡兒公式, 以 紀念兩位大師的貢獻 (有數學史家考據史料, 認為笛卡兒的文稿在運送途中曾經失而復得, 在 1675 年至 1676 年間德國哲學家數學家萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz, ) 還把文稿手抄了, 但其後原稿及手抄本再度失去蹤跡, 至 1860 年才有人找回萊布尼茲的手抄 本 也有數學史家認為笛卡兒的文稿其實並沒有發現 F + V E = 2 這道公式, 只是後人誤 讀了文稿的內容 ) 歐拉在 1751 年宣讀了一篇論文, 提出了 F + V E = 2 的一個證明, 驟看去是很自 然的解釋 的確, 在十九世紀也有不少數學家接受這樣的解釋 他按次從多面體削去一個四面 體, 在過程中保持 F + V E 的值不變更 (見圖 19), 至最後剩下一個四面體, F + V E 的值是 = 2 但想深一層, 這個解釋只說明了公式對某些形狀的多面體成立 對一 般多面體而言, 可保證不了這樣的削法一帆風順! 法國數學家柯西 (Augustin Louis Cauchy, ) 在 1811 年對這道公式提出了另一個著名的證明, 中心思想相當巧妙 他把多面體 其中一個面拿掉, 將其餘的面攤開來成為一個平面圖, 於是新的 F +V E 是原來的 F +V E 減掉 1 (拿走的一面) 接著他把平面圖剖分成眾多的三角形, 過程中需要添加某些邊 (見圖 20 第三個小圖中加上的虛線), 但卻不會更改 F + V E 的值! 接著他逐一從外而內把一個一個 三角形去掉 (見圖 20 小圖中著色的部分), 過程中也不會更改 F + V E 的值 (見圖 20)! 最
10 杵臼關節 阿基米德 多面體 35 後剩下一個三角形, 即是 F 化為 1 V 化為 3 E 化為 3, 即是 F + V E 等於 1, 原來的 F + V E 就是 2. 圖 19 圖 20 歐拉和柯西提出的證明及別的人提出的一些證明後來都受到質疑, 其中某些步驟不如想像 中理所當然 漸漸越來越多奇奇怪怪的反例被提出來, 有些是穿了孔的多面體, 有些是在一條棱 上相連的兩個多面體, 有些是在一個頂點上相連的多面體 (見圖 21) 最有趣的一個例子, 靈感 源自某種雙結晶體, 是一個立方, 中心是個鏤空了的小立方 (見圖 22) 據說有人反駁說, 那其 實是兩個多面體, 猶如孕婦懷著胎兒, 你能否說那位母親有兩個頭呢? 這些反例其實極富建設 性, 它們揭示了證明的困難所在, 是定義何謂多面體, 並找出對那些多面體 F + V E = 2 這 道公式成立 當數學家弄清楚問題的癥結後, 叫人滿意的證明亦隨之出現, 不過距離歐拉提出問 題, 已經過了一個世紀了 圖 21 圖 22
11 36 數 學 傳 播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 也 許 我 們 應 該 用 多 面 形 代 替 多 面 體, 因 為 我 們 其 實 感 興 趣 的 只 是 多 面 體 的 表 面, 由 眾 多 多 邊 形 組 合 而 成 姑 且 從 俗, 讓 我 們 仍 然 用 多 面 體 這 個 名 稱 吧 我 們 要 考 慮 的 多 面 體, 是 個 怎 麼 樣 的 東 西 呢? 它 是 由 有 限 多 個 平 面 多 邊 形 組 成, 按 照 下 述 意 義 拼 湊 在 一 起 :(1) 若 兩 個 多 邊 形 相 交, 它 們 交 於 一 條 公 共 的 邊 ; 多 邊 形 的 每 一 條 邊 恰 好 是 另 一 個 並 且 只 是 另 一 個 多 邊 形 的 邊 (2) 對 每 個 頂 點, 那 些 包 含 它 的 多 邊 形 可 以 排 成 一 連 串 Q 1 Q 2 Q s, 使 Q 1 與 Q 2 有 一 條 公 共 邊, Q 2 與 Q 3 有 一 條 公 共 邊,, Q s 1 與 Q s 有 一 條 公 共 邊, Q s 與 Q 1 有 一 條 公 共 邊 現 在 可 以 敘 述 何 謂 歐 拉 - 笛 卡 兒 定 理 : 設 P 是 滿 足 下 列 兩 個 條 件 的 多 面 體, (a) P 的 任 何 兩 個 頂 點 可 以 用 一 連 串 棱 連 接, (b) P 上 任 何 由 線 段 ( 不 一 定 是 P 的 棱 ) 構 成 的 圈 把 P 分 劃 成 兩 片 則 對 P 來 說, F +V E = 2 讓 我 們 看 一 個 形 象 化 的 證 明, 把 棱 看 作 是 堤, 把 面 看 作 是 堤 圍 成 的 區 域, 其 中 一 面 是 湖, 其 餘 是 旱 地 每 次 打 破 一 道 堤, 唯 一 條 件 是 決 堤 後 必 須 多 了 一 塊 並 且 僅 多 了 一 塊 旱 地 被 水 淹 了 ( 見 圖 23) 如 此 這 般, 直 至 全 部 區 域 被 淹 為 止, 數 數 有 多 少 道 堤 破 掉 一 方 面, 每 打 破 一 道 堤 即 多 一 塊 旱 地 被 淹 沒, 因 此 破 掉 的 堤 的 數 目 是 F 1, 沒 破 掉 的 堤 的 數 目 是 E (F 1) = E F+1 另 一 方 面, 從 一 個 頂 點 至 另 一 個 頂 點 沿 著 旱 堤 走 有 唯 一 的 路 ( 請 讀 者 想 一 想, 為 什 麼 會 如 此? 附 錄 中 給 出 一 種 解 釋 ) 所 以 沒 給 破 掉 的 堤 的 數 目 是 V 1 ( 也 請 讀 者 想 一 想, 為 什 麼 會 如 此 附 錄 中 給 出 一 種 解 釋 ) 把 兩 種 數 法 合 起 來 看, 有 E F +1 = V 1, 即 是 F +V E = 2 圖 這 道 歐 拉 - 笛 卡 兒 公 式 的 數 學 意 義, 較 諸 它 的 實 際 內 容 和 應 用 來 得 重 要, 超 越 了 古 典 幾 何 的 範 圍, 開 闢 了 一 個 新 的 數 學 領 域 在 結 尾 這 一 節 我 只 能 把 它 簡 略 地 介 紹 一 下 先 來 看 兩 個 多 面 體 ( 見 圖 24) 第 一 個 有 F = 14 V = 16 E = 28, 故 F +V E = 2; 第 二 個 有 F = 16 V = 16 E = 32, 故 F +V E = 0 它 們 有 沒 有 相 異 之 處 呢? 把 這 兩 個 多 面 體 想 像 成 以 橡 皮 做 成 ( 或 者 以 麵 粉 或 泥 膠 搓 成 ), 第 一 個 可 以 變 為 一 個 圓 球 的 面, 第 二
12 杵 臼 關 節 阿 基 米 德 多 面 體 37 個 可 以 變 為 一 個 圓 環 ( 救 生 圈 ) 的 面 在 變 形 過 程 中, 允 許 任 意 把 面 拉 長 縮 短, 允 許 任 意 把 面 扭 曲, 但 不 允 許 把 面 撕 裂, 也 不 允 許 把 面 上 不 同 的 點 黏 合 在 一 起 如 果 兩 個 立 體 圖 形 可 以 通 過 這 種 變 換 過 程 由 一 個 變 成 另 一 個, 我 們 便 說 它 們 是 同 胚 ( 或 稱 拓 樸 等 價 ) 的 與 圓 球 同 胚 的 多 面 體 有 一 個 很 漂 亮 的 性 質, 便 是 F +V E = 2 要 把 圓 環 變 換 成 圓 球, 必 須 把 圓 環 中 間 的 各 點 黏 合 成 一 點 前 面 已 經 說 過, 這 是 不 允 許 的, 因 此 圓 環 與 圓 球 不 同 胚, 但 與 圓 環 同 胚 的 多 面 體 也 有 一 個 很 漂 亮 的 性 質, 便 是 F +V E = 0 我 們 把 F +V E 這 個 數 值 叫 做 那 類 多 面 體 的 歐 拉 示 性 數 (Euler characteristic) 歐 拉 示 性 數 是 一 個 在 同 胚 關 係 底 下 的 不 變 量, 就 是 說, 在 上 述 拉 拉 扯 扯 的 過 程 中, 這 個 數 值 是 不 變 更 的 這 種 看 法 在 古 希 臘 幾 何 中 從 來 沒 有 出 現, 因 為 古 希 臘 幾 何 涉 及 角 和 線 段 的 度 量, 在 拉 拉 扯 扯 的 過 程 中, 這 些 度 量 都 變 更 了 圖 24 這 種 看 法 導 致 數 學 家 尋 找 同 胚 關 係 底 下 別 的 不 變 量 這 方 面 的 研 究 在 十 九 世 紀 後 半 期 漸 漸 成 型, 其 中 法 國 數 學 大 師 龐 卡 萊 (Henri Poincaré, ) 的 貢 獻 至 為 重 要 歐 拉 示 性 數 的 推 廣 稱 作 歐 拉 - 龐 卡 萊 示 性 數 (Euler-Poincaré characteristic) ( 如 今 回 頭 看 看 第 三 節 開 首 的 (*1), 雖 看 似 平 凡 不 過, 卻 添 了 一 重 新 意! 它 是 說 V E = 0, 命 題 六 是 說 F +V E = 2 當 中 涉 及 的 不 變 量, 其 一 是 V E, 另 一 是 V E +F 更 一 般 的 情 況, 是 在 三 維 四 維 五 維 以 至 n 維 空 間 的 研 究, 歐 拉 - 龐 卡 萊 示 性 數 就 是 由 某 一 串 數 字 依 次 加 減 而 成 ) 這 個 新 領 域, 叫 做 拓 樸 學 (topology), 是 二 十 世 紀 數 學 發 展 的 主 要 方 向 以 下 兩 本 讀 物, 程 度 適 合 中 學 同 學, 可 供 進 一 步 了 解 歐 拉 - 笛 卡 兒 公 式 和 拓 樸 學 的 關 係 : (1) R. Courant, H. Robbins, What is Mathematics?, Oxford University Press, 1941;
13 38 數 學 傳 播 39 卷 1 期 民 104 年 3 月 修 訂 本 (I. Stewart), 1996 ( 有 中 譯 本, 數 學 是 什 麼?, 科 學 出 版 社, 1985); (2) 江 澤 涵, 多 面 形 的 歐 拉 定 理 和 閉 曲 面 的 拓 樸 分 類, 人 民 教 育 出 版 社, 1964; 香 港 版, 智 能 教 育 出 版 社, 2003 還 有 一 本 很 好 的 書, 以 師 生 對 話 形 式 討 論 歐 拉 - 笛 卡 兒 公 式 的 證 明 過 程, 旨 在 闡 述 作 者 的 數 學 哲 學 觀 點, 寓 意 深 刻 : (3) I. Lakatos, Proofs and Refutations, Cambridge University Press, 1976 ( 有 中 譯 本, 證 明 與 反 駁, 上 海 譯 文 出 版 社, 1987) 附 錄 首 先, 請 注 意 一 件 事, 從 每 一 點 必 定 能 循 某 些 剩 下 的 堤 走 去 任 何 另 一 點, 而 且 這 條 途 徑 是 唯 一 的 這 是 因 為 每 打 破 一 道 堤, 它 的 兩 個 端 點 都 仍 被 某 些 還 未 被 打 破 的 堤 點 接 點 地 連 結 著, 否 則 不 會 是 多 了 且 只 多 了 一 塊 旱 地 給 淹 沒 了! 如 果 有 至 少 兩 條 不 同 的 途 徑, 便 表 示 其 間 出 現 了 由 某 些 堤 圍 成 的 一 個 圈, 但 那 不 可 能, 因 為 那 意 味 著 還 有 一 塊 旱 地 沒 給 淹 沒 ( 見 圖 25)! 用 圖 論 (graph theory) 的 語 言, 我 們 說 剩 下 來 的 堤 構 成 一 株 樹 (tree) 既 然 如 此, 我 們 有 辦 法 把 那 V 點 和 那 些 連 結 著 它 們 的 堤 依 次 排 成 以 下 的 樣 子 : 定 了 其 中 一 點, 設 為 a, 先 考 慮 走 過 一 道 堤 便 到 達 的 點, 放 在 第 一 層, 再 考 慮 走 過 兩 道 堤 便 到 達 的 點, 放 在 第 二 層, 如 此 類 推 ( 見 圖 26) 從 圖 中 數 一 數 有 多 少 道 堤, 答 案 是 V 1 圖 25 圖 26 本 文 作 者 為 香 港 大 學 數 學 系 退 休 教 授
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1 1 1 1983 549 1977 59 2 2 3 4 5 2 2000 5-143 3 4 1998 709 5 640 3 4 5 6 6 6 10-12 7 8 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7 1 12 1921 7 66-79 8 12 1929 12 691-697 9 1962 9 20 10 1989 3 385-397 11 1963 343-365
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北京市基本医疗保险政策解答
首 都 经 济 贸 易 大 学 全 日 制 本 科 学 生 学 籍 管 理 规 定 首 经 贸 政 发 2013 60 号 第 一 章 总 则 第 一 条 根 据 教 育 部 普 通 高 等 学 校 学 生 管 理 规 定 和 首 都 经 济 贸 易 大 学 学 生 管 理 规 定, 结 合 我 校 实 际 情 况, 制 定 本 规 定 第 二 条 本 科 基 本 修 业 年 限 为 四 年, 实
174 與 自 然 對 話 In Dialogue with Nature 符 合 美 的 客 觀 準 則 若 言 美 麗 的 科 學, 是 知 性 靈 魂 中 的 一 株 花 朵, 那 麼 這 四 大 特 點, 正 是 此 花 的 不 同 部 分, 四 者 同 在, 方 令 科 學 展 現 出 最
科 學 之 花 論 科 學 之 美 莊 家 樂 新 亞 書 院 數 學 一 引 言 漫 天 星 辰 俯 瞰 人 間 唏 噓, 瀑 布 飛 流 疑 是 銀 河 直 下 萬 諸 景 象 出 於 自 然, 世 人 窮 盡 心 思, 歌 頌 這 些 景 象 之 美 然 而, 甚 麼 是 美? 萬 般 景 象, 予 人 之 感 皆 是 感 觀 的 美 科 學, 一 門 探 究 世 間 景 象 規 律 分 析
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黃 庭 堅 遷 謫 時 期 的 戲 作 詩 鍾 美 玲 高 苑 科 技 大 學 通 識 教 育 中 心 摘 要 受 北 宋 新 舊 黨 爭 的 影 響, 黃 庭 堅 於 紹 聖 元 年 責 授 涪 州 別 駕 黔 州 安 置, 從 此 展 開 一 連 串 遷 謫 的 命 運, 最 後 卒 於 遷 謫 地 宜 州 考 察 其 遷 謫 時 期 的 詩 歌, 有 許 多 以 戲 字 為 題 的 作 品,
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2 目錄 5A 5A 5A 5A 高慧冰 譚雅樂 余雅瑩 周子慧 劇本... P.4-P.5 奔跑人生... P.6 唐老師... P.7 唐老師... P.8 5B 5B 5B 5B 5B 5B 徐子盈 呂惠雅 黃智昭 熊雪瑩 鍾詠晴 吳博倫 敬愛的人... P.9 偶像... P.10 冬天... P.11 春夏秋冬... P.12 唐老師... P.13 安南讓決策從此變得簡單... P.14
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证 券 代 码 :600696 证 券 简 称 : 匹 凸 匹 编 号 : 临 2016-113 匹 凸 匹 金 融 信 息 服 务 ( 上 海 ) 股 份 有 限 公 司 关 于 出 售 匹 凸 匹 金 融 信 息 服 务 ( 深 圳 ) 有 限 公 司 100% 股 权 暨 关 联 交 易 的 公 告 本 公 司 董 事 会 及 全 体 董 事 保 证 本 公 告 不 存 在 任 何 虚 假 记
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2014 年 全 港 春 華 杯 普 通 話 朗 誦 及 拼 音 认 读 大 賽 朗 誦 誦 材 幼 稚 園 K1- 散 文 組 娃 娃 的 夢 花 兒 的 夢, 是 紅 的, 小 樹 的 夢, 是 綠 的, 露 珠 的 夢, 是 圓 的, 娃 娃 的 夢, 是 甜 的 幼 稚 園 K1- 兒 歌 組 小 白 兔 小 白 兔, 白 又 白, 兩 隻 耳 朵 豎 起 來, 愛 吃 蘿 蔔 和 青 菜,
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André-Marie Ampère 13Leonhard Euler, 1707-1783 Johannes Bernoulli, 1667-1748 Abbé Daburon 50 Pioneers of Electrical Communication, p. 37 20034364 57
56 20034364 André-Marie Ampère 13Leonhard Euler, 1707-1783 Johannes Bernoulli, 1667-1748 Abbé Daburon 50 Pioneers of Electrical Communication, p. 37 20034364 57 Pioneers of Electrical Communication, p.
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CHAPTR 17 律 17-1 17-2 17-3 CHAPTR 17 律 17-1 17-2 17-3 17-4 17-5 17-6 17-7 17-8 17-9 17-10 17-11 17-12 17-13 17-14 17-15 17-16 17-1 A Φ = A Φ (17-1) P. 3 17-1 SI 2 P. 4 A 17-2 A A A n Φ = (17-2) An cos
目 录 专 稿 唐 少 杰 工 宣 队 刍 议 以 清 华 大 学 工 宣 队 为 例 要 有 光 胡 杰 绘 画 何 为? 关 于 伊 娃 这 本 书 的 插 图 依 娃 寻 找 我 的 姨 婆 舅 舅 和 小 姨 随 笔 启 之 暗 语 变 形 记 红 色 话 语 小 议 之 三 札 记 胡 庄
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我是誰？
( 十 二 ) 我 在! 借 張 曉 風 散 文 再 看 戲 劇 行 動 作 者 簡 介 張 曉 風 是 台 灣 著 名 作 家 她 既 寫 散 文 小 說, 又 是 著 名 的 劇 作 者, 她 早 年 的 武 陵 人 第 五 牆 自 烹 等 作 品, 曾 多 次 搬 上 舞 台 內 容 簡 介 這 篇 散 文 的 內 容 並 不 複 雜, 簡 單 來 說, 是 叩 問 人 是 誰? 我 是 誰?
/,,,,,,,,,,,,,,, ;,,,, ( ),,, ;,,, 1933,, ( ) ( ), 1988,,,, :,, ; :,,,,, 20,,,,,, :,,, 2001, 299 :, :, 2006, 35 :,, ( ( ), 1997, 74 ),
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Stephen F. Teiser Stephen F. Teiser, The Ghost Festival in Medieval China, (Princeton: Princeton University Press, 1988), pp.48-62. 61 1990 2007 1942 1964 62 198419941939 1974 1984 1994 2004 63 5 2004
中國歷史上的環境與社會國際學術研討會
1 1 (1990) 9 2 ()(2003) 30 3 38-4144-45 4 47-51 5 60-65 100 6 79-84 2 7 85-88 8 89-91 9 99-100 10 119-121 11 125-129 12 139-148 3 13 149-151 14 (1995) 167 15 173-174 175-177 16 177-179 4 17 182-183 18
中國女性書寫──國際學術研討會論文集
林 海 音 的 女 性 小 說 與 臺 灣 文 學 史 林 海 音 的 女 性 小 說 與 臺 灣 文 學 史 應 鳳 凰 * 一 前 言 林 海 音 長 久 的 寫 作 歷 史, 以 及 多 年 的 編 輯 與 出 版 經 歷, 使 她 在 臺 灣 文 壇 具 有 相 當 高 的 知 名 度 比 較 於 同 時 代 其 他 作 家, 她 對 戰 後 臺 灣 文 學 發 展 也 有 較 大 影 響
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R. [Richard Courant & Herbert Robbins. What is Mathematics 1978. 1985.] = (Logical Knowledge) C.Delaunay 1867 (Heuristic Knowledge) [B. Russell: Recent Work on the Principle of Mathematics, Intemational,
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1 ( ) ( Angrosino, M. (2007). Doing Ethnographic and Observational Research (Book 3 of The SAGE Qualitative Research Kit). London: Sage. Barbour, R. (2007) Doing Focus Group (Book 4 of The SAGE
Eg. 某 婚 友 社 想 要 撮 合 3 個 男 生 : 周 杰 倫 (a) 劉 德 華 (b) 蘇 友 朋 (c) 與 4 個 女 生 : 林 志 玲 (r) 侯 佩 岑 (s) 林 嘉 綺 (t) 白 歆 惠 (u) 如 果 周 杰 倫 喜 歡 林 志 玲 與 侯 佩 岑, 劉 德 華 喜 歡
有 趣 的 數 學 理 論 數 學 的 分 類 與 功 用 一 般 將 數 學 分 成 代 數 (algebra) 幾 何 (geometry) 分 析 (analysis) 統 計 (statistics) 及 離 散 數 學 (discrete mathematics) 五 大 類, 而 離 散 數 學 已 經 擴 展 成 計 算 機 科 學 然 而 以 上 之 分 類 並 非 全 無 交 集,
2000 mental image 23 M e r l e a u - P o n t y, 1945 2003 Horta, 1992 1 992 s i g n i f i c a t i o n signifying fact signifying practices H o o p e r - Greenhill, 1991 Roland Barthes c o n n o t a t i
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大 學 入 學 考 試 中 心 102 學 年 度 指 定 科 目 考 試 試 題 考 科 - 作 答 注 意 事 項 - 考 試 時 間 :80 分 鐘 作 答 方 式 : 選 擇 題 用 2B 鉛 筆 在 答 案 卡 上 作 答 ; 更 正 時, 應 以 橡 皮 擦 擦 拭, 切 勿 使 用 修 正 液 ( 帶 ) 未 依 規 定 畫 記 答 案 卡, 致 機 器 掃 描 無 法 辨 識 答 案
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- 143-1. 2. 1 60 30 1959 8 1998 pp.544~48 - 144-3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. ( ) 10. 11. 12. 13. - 145 - -i 2. 13. -i -ii 2 1993 6 pp.46~51 3 1993 pp.69~76 p.552 4 1985 5 pp.257~58 - 146-1. 3. 5. 7. 9. ( ) 11.
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海 航 集 团 官 方 网 站 二 维 码 海 航 集 团 官 方 微 博 二 维 码 海 航 集 团 官 方 微 信 二 维 码 CONTENTS P03-P17 P21-P37 P39-P50 P51-P55 02 03 04 05 06 6 7 13 15 8 14 1 12 9 5 10 2 3 11 17 4 16 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
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概 念 革 命 所 導 致 的 文 化 變 革 : 以 戀 愛 文 化 為 例 * 華 梵 大 學 哲 學 系 冀 劍 制 摘 要 : 概 念 是 人 們 思 考 的 基 本 工 具, 依 據 不 同 的 概 念 就 會 產 生 不 同 的 思 考 而 文 化 則 是 由 一 群 人 所 組 成 的 社 群 藉 由 一 些 共 同 的 想 法 與 做 法 所 形 成 的 風 俗 習 慣 與 認 知
关于印发广东省“互联网+”现代农业行动计划（2016-2018年）的通知
关 于 印 发 广 东 省 互 联 网 + 现 代 农 业 行 动 计 划 (2016-2018 年 ) 的 通 知 各 地 级 以 上 市 ( 顺 德 区 ) 农 业 局, 深 圳 市 经 济 贸 易 和 信 息 化 委, 厅 有 关 处 室 及 事 业 单 位 : 为 加 快 转 变 农 业 发 展 方 式, 打 造 创 新 协 调 绿 色 开 放 共 享 的 现 代 农 业 发 展 新 格 局,
政治制度史研究的省思：以六朝隋唐為例
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編輯要旨 一 教育部為了協助本國失學民眾 新住民及 其他國外朋友 有系統的學習華語文的 聽 說 讀 寫 算等識字能力及跨文化 適應 以培養具有基本公民素養的終身學 習者 特別委託新北市政府教育局新住民 文教輔導科團隊編輯本教材 二 依據上述目的 本教材共有六冊 並分為 六級 分級及單元名稱詳如下表
基 本 識 字 教 材 第 2 冊 初 二 級 教 育 部 編 印 編輯要旨 一 教育部為了協助本國失學民眾 新住民及 其他國外朋友 有系統的學習華語文的 聽 說 讀 寫 算等識字能力及跨文化 適應 以培養具有基本公民素養的終身學 習者 特別委託新北市政府教育局新住民 文教輔導科團隊編輯本教材 二 依據上述目的 本教材共有六冊 並分為 六級 分級及單元名稱詳如下表 第一冊 第二冊 第三冊 第四冊 第五冊
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國家圖書館典藏電子全文
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遇见神
Peter Berger 70 1945 44 78 1 45 2 3 4 5 6 7 8 9 agnosticism a posteriori a priori atheism cosmological 46 ontological telelogical Dr. Orlo Strunk,Jr 107 Ignace Lepp 157-158 Albert Camus Jean-paul-Sartre
公民化與現代化
Michael Mann 行 類 歷 行 來 來 不 說 了 切 行 理 了 參 類 略 了 論 1 理 了 金 說 了 度 兩 來 數 行 裡 2 金 了 不 不 3 了 數 論 讀 4 1 見 參 戦 立 說 力 不 說 行 力 2 參 金 論 聯 論 年 參 金 論 列 柳 年 3 參 葉 錄 錄 北 流 六 4 力 隸 讀 參 聯 歷 略 讀 參 聯 金 1 論 論 歷 兩 說 兩 不 兩
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( 总 第 1124 期 ) 浙 江 省 人 民 政 府 主 办 2016 年 7 月 18 日 出 版 目 省 政 府 令 浙 江 省 行 政 执 法 证 件 管 理 办 法 ( 浙 江 省 人 民 政 府 令 第 346 号 ) (3) 省 政 府 办 公 厅 文 件 浙 江 省 人 民 政 府
( 总 第 1124 期 ) 浙 江 省 人 民 政 府 主 办 2016 年 7 月 18 日 出 版 目 省 政 府 令 浙 江 省 行 政 执 法 证 件 管 理 办 法 ( 浙 江 省 人 民 政 府 令 第 346 号 ) (3) 省 政 府 办 公 厅 文 件 浙 江 省 人 民 政 府 办 公 厅 转 发 省 总 工 会 等 部 门 关 于 在 全 省 开 展 激 发 职 工 创 业
1. 逾 期 註 冊 與 退 學 ( 大 法 官 釋 字 第 382 563 號 解 釋 參 照 ) 2. 大 學 之 選 課 糾 紛 ( 大 法 官 釋 字 第 380 450 號 解 釋 參 照 ) 3. 國 籍 切 結 書 之 問 題 ( 二 ) 教 學 研 究 與 推 廣 事 務 4. 教
校 園 法 律 問 題 及 其 因 應 ~ 以 學 生 輔 導 為 中 心 臺 灣 高 雄 地 方 法 院 法 官 庭 長 楊 富 強 壹 溫 馨 友 善 校 園 之 建 立 與 現 行 校 園 事 件 之 危 機 : 代 前 言 一 從 大 法 官 釋 字 第 603 號 ( 按 捺 指 紋 案 ) 談 起 ( 一 ) 隱 私 權 及 人 格 發 展 自 由 之 憲 法 保 障 ( 二 ) 按 捺
背景资料（1）
前 言 线 性 代 数 (linear algebra) 是 代 数 学 的 一 个 分 支, 它 以 研 究 向 量 空 间 与 线 性 映 射 为 对 象 ; 由 于 法 国 数 学 家 费 马 (Fermat,1601 1665) 和 笛 卡 儿 (Descartes,1596 1665) 的 工 作, 线 性 代 数 基 本 上 出 现 于 17 世 纪 代 数 这 一 词 在 我 国 出
萧启庆教授《蒙元社会文化史》研究介绍
萧 启 庆 教 授 蒙 元 社 会 文 化 史 研 究 介 绍 许 守 泯 ( 成 功 大 学 历 史 学 系 ; 台 湾 台 南 ) 一 经 历 简 介 萧 启 庆 教 授 是 当 今 海 内 外 蒙 元 史 研 究 最 重 要 的 学 者 之 一 萧 教 授 生 于 1937 年, 祖 籍 江 苏 泰 兴 1955 年 就 读 台 湾 大 学 历 史 系, 深 受 姚 从 吾 先 生 (1894
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可 是, 香 港 人 的 殖 民 經 驗, 就 僅 只 是 一 個 經 濟 奇 蹟 發 生 的 故 事 嗎? 香 港 的 過 去, 就 僅 只 是 一 個 孩 子 由 養 父 交 還 給 生 母 的 故 事 嗎? 回 歸 的 故 事, 的 確 是 一 個 如 此 簡 化 的 一 齣 煽 情 劇, 而
香 港 本 土 意 識 的 前 世 今 生 羅 永 生 一 前 言 : 被 動 的 回 歸 這 幾 年 間, 香 港 興 起 了 關 於 本 土 意 識 的 熱 烈 話 題, 也 出 現 了 不 少 訴 諸 本 土 意 識 和 香 港 人 族 群 身 分 的 新 興 社 會 運 動 身 分 政 治 毫 無 疑 問 已 經 占 據 了 香 港 的 文 化 及 政 治 舞 台, 成 為 決 定 香 港
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《二十一世紀》網絡版
二 十 一 世 紀 網 絡 版 二 五 年 六 月 號 總 第 39 期 2005 年 6 月 30 日 從 天 理 世 界 觀 到 公 理 世 界 觀 的 轉 換 汪 暉 關 於 中 國 現 代 性 的 論 說 陳 贇 現 代 中 國 思 想 的 興 起 探 討 的 中 心 問 題 是 現 代 中 國 的 含 義 如 何 理 解 中 國 的 現 代 這 就 必 須 追 問 現 代 的 中 國 認
70 臺 中 教 育 大 學 學 報 : 人 文 藝 術 類 Abstract Over the past few years, it became more obvious that students with low level of English language competence in
69 臺中教育大學學報 人文藝術類 00 年 ( ) - 影響學生英語能力之內部因素探討 Study on Intrinsic Factors Affecting English Language Competence 王 珩 Heng Wang 收件日期 年 月 0 日 接受日期 年 月 日 摘 要 國內近年來學生英語程度低落已是一項不爭的事實 在語言輸出及理解上呈現各種不 同類型的錯誤 深深地影響到個人的語言技能
韩国与日本经济发展模式之比较
韩 日 经 济 发 展 模 式 之 比 较 崔 志 鹰 内 容 提 要 : 韩 日 两 国 经 济 发 展 模 式 有 四 个 共 同 点 : 政 府 都 对 经 济 进 行 干 预, 储 蓄 率 较 高, 重 视 节 能 和 环 保, 企 业 管 理 崇 尚 权 威 本 文 着 重 对 韩 日 两 国 经 济 发 展 模 式 的 不 同 点 进 行 比 较, 指 出 韩 国 奉 行 出 口 第 一,
1957 1976 36 1957 678 1958 1445 1959 524 1960 298 1961 192 1962 149 1963 68 1964 297 1965 591 1966 756 1967 55 1968 5 1969 1972 1973 1113 1974 1129 19
1957 1976 1977 8 1992 2 1 9 19 2 119 1977 1957 1976 36 1957 678 1958 1445 1959 524 1960 298 1961 192 1962 149 1963 68 1964 297 1965 591 1966 756 1967 55 1968 5 1969 1972 1973 1113 1974 1129 1975 657 1976
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用 博 弈 论 来 解 读 孙 子 兵 法 Emerson M.S. Niou 杜 克 大 学 Peter C. Ordeshook 加 州 理 工 学 院 英 文 原 文 刊 登 于 Emerson M. S. Niou and Peter C. Ordeshook. "A Game-Theoretic Analysis of Sun Tzu's The Art of War," Journal
西昌学院关于实施《西昌学院学分制学生学籍管理办法》
西 昌 学 院 关 于 印 发 西 昌 学 院 学 分 制 学 生 学 籍 管 理 办 法 的 通 知 学 院 各 教 学 系 ( 部 ): 发 布 时 间 :13/9/2005 为 适 应 学 分 制 改 革 的 需 要, 维 护 我 院 正 常 的 教 学 工 作 和 秩 序, 完 善 学 生 的 学 籍 管 理, 根 据 教 育 部 普 通 高 等 学 院 学 生 管 理 规 定 和 西 昌
9 20 20 20 42 No. 4 200 2005 227
* - ** 930 50 958 96 97 975 985 988 994 2003 97 972 985 986 989 992 994 4 9 20 20 20 42 No. 4 200 2005 227 96 955 968 980 / / 996 39 2009 43 No. 4 200 / / / / 77 2 / / / 236 2 44 2006 64 249 232 / / /
2004年05月28日
2015 年 1 月 30 日 2015 年 第 1 期 总 第 48 期 主 责 编 : 戴 益 聪 编 : 方 兴 承 办 部 门 : 法 律 合 规 部 顾 问 机 构 : 德 恒 律 师 事 务 所 栏 目 及 目 录 私 募 基 金 板 块 中 国 证 券 投 资 基 金 业 协 会 发 布 证 券 期 货 经 营 机 构 资 产 管 理 业 务 登 记 备 案 和 自 律 管 理 办 法
約翰‧納什在北京的國際數學家大會
約 翰 納 什 在 北 京 的 國 際 數 學 家 大 會 EduMath 15 (12/2002) 李 學 數 純 粹 的 數 學 是 美 麗 的 ~~ 約 翰 納 什 (John Nash) 從 統 計 學 看 來, 任 何 一 個 已 經 66 歲 的 數 學 家 或 科 學 家 都 不 可 能 通 過 持 續 的 研 究 工 作, 在 他 或 她 以 前 的 成 就 基 礎 上 更 進 一
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HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 二 版 坦 也 說 : 如 果 歐 幾 里 得 無 法 點 燃 你 年 輕 的 熱 情, 那 麼 你 生 來 就 不 是 一 位 科 學 思 想 家 甚 至 美 國 女 詩 人 米 蕾 (Millay) 頌 揚 歐 幾 里 得 也 稱 讚 : 只 有
HPM 通 訊 第 十 卷 第 十 一 期 第 一 版 發 行 人 : 洪 萬 生 ( 台 灣 師 大 數 學 系 教 授 ) 主 編 : 蘇 惠 玉 ( 西 松 高 中 ) 副 主 編 : 林 倉 億 ( 家 齊 女 中 ) 助 理 編 輯 : 李 建 勳 黃 俊 瑋 ( 台 灣 師 大 數 學 所 研 究 生 ) 編 輯 小 組 : 蘇 意 雯 ( 成 功 高 中 ) 蘇 俊 鴻 ( 北 一 女
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1 4 100 24 16 =16 ( 24 4 ) 100= 16.7% 20. 1. 2. (1) (2) (3) (4) 3. 2 Bass Method 15 18 24 19 19 27 26 24 21 36 31 29.3 24 45 38 35.7 39 53 42 44.7 49 62 54 55 3 3. 4 牙 齒 咬 合 面 的 小 窩 裂 溝, 牙 縫 牙 齒 與 牙 齒
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色 相 婚 姻 制 度 內 的 年 齡 歧 視 - 為 何 不 能 與 年 紀 小 的 人 談 戀 愛? 伍 翠 瑤 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 引 言 現 代 社 會 中, 唯 一 受 確 認 的 給 合 只 有 在 法 律 條 例 下 的 婚 姻 註 冊 制 度 只 有 在 婚 姻 制
2014年融360中国小微企业“普惠”指数
2014 年 中 国 小 微 企 业 普 惠 指 数 报 告 出 品 : 融 360 金 融 搜 索 平 台 一 导 语 近 年 来, 小 微 企 业 融 资 难 融 资 成 本 高 问 题 引 起 了 国 务 院 银 监 会 地 方 政 府 等 各 个 层 面 政 府 机 构 的 高 度 关 注 今 年 以 来, 国 务 院 召 开 的 常 务 会 议 提 及 小 微 企 业 的 有 9 次 乊
Chapter 1 選 用 好 的 燜 燒 罐 選 用 好 的 燜 燒 罐 是 做 好 燜 燒 罐 料 理 最 重 要 的 步 驟, 除 了 須 注 意 使 用 的 材 質 是 否 符 合 食 器 使 用 標 準, 也 須 注 意 燜 燒 罐 的 保 溫 效 果, 才 能 安 心 享 用 燜 燒 罐
作 者 序 不 僅 吃 得 好, 瘦 身 成 效 更 好 在 學 校 指 導 學 生 飲 食 控 制 的 時 候, 發 現 外 宿 的 學 生 不 能 自 己 開 伙, 只 能 吃 學 生 餐 廳 或 在 校 外 隨 便 吃 一 般 學 生 餐 廳 提 供 的 自 助 餐, 相 較 於 其 他 餐 點 較 為 天 然 健 康 便 宜, 但 是 學 生 多, 常 常 去 得 晚 了 就 沒 菜 了,
附件2：
附 件 8: 省 级 精 品 开 放 课 程 推 荐 表 所 属 学 校 淮 北 师 范 大 学 推 荐 形 式 选 题 课 程 选 题 / 课 程 名 称 所 属 学 科 课 程 负 责 人 申 报 日 期 推 荐 单 位 高 等 数 学 数 学 叶 永 升 2012 年 8 月 10 日 淮 北 师 范 大 学 数 学 科 学 学 院 安 徽 省 教 育 厅 制 二 一 二 年 六 月 填 写
嶺南地區的大開發時期始於宋代 當時 由於陸上絲路無法通行 朝廷特別注重南方 海上貿易發展 於廣州設 市舶司 管理 來華朝貢和貿易的蕃舶 北宋滅亡後 南宋 定都江左 大量北方漢人被迫逃往南方 有 朝廷官宦家眷沿贛江南下 或越過南嶺 定 居南雄地區 或沿北江直下廣州 在珠江三 角洲地區開基立業 繁衍後代
祠堂建築 蕭麗娟 前言 下去 這亦間接鼓勵祠堂建築及文化的傳承 發展和更新 從歷史檔案及田野考察調查的資料顯示 在大埔區延綿約14,800公頃的範圍內 先後 建成的祠堂共約160座 現仍保留的約120 座 它們在形制 歷史及面積方面均有不同之 處 這些祠堂大部分仍保留著傳統功能 是氏 族進行宗族活動的地方 亦是村落的焦點 它 們實在是大埔區的重要文化財產 香港發展迅速 雖然香港島及九龍半島 的傳統村落已不復存在
2005 3 2005 12 31 Hajo Broersma 2005 5 8 5 11 2005 12 9 1 2005 5 29 George AndrewsRichard AskeyRichard Stanley very strong Chen Yang 2 3 17 27 2005 4 5 1 4 13 2005 5 2005 12 3 Google 400 Google PageRank
包伟民 K24 A 0447-662X 2013 01-0078 - 19 1 2 1 3 1963 11 2 1979 2 560 3 2010 295 1 78 5 1 2 1 1985 7 1990 5 1990 9 1991 5 1996 2 2004 107-127 14 2005 3 19-50 1980-2005 35 2006 6 221-250 1997-2006 17 11-25
第二章：蘇維埃的政體與身體
1928 1 2 ( ) 1980 1 1 Bryan S. Turner, The Body and Society Newbury Park: Sage Publications, 1996[1984] ; Mike Featherstone, Mike Hepworth, and Bryan S. Turner, The Body: Social Process and Cultural Theory
州 等 地, 则 是 屡 次 游 历 从 1899 年 第 一 次 到 中 国 开 始, 他 就 与 分 散 收 藏 在 中 国 官 私 各 处 的 中 国 典 籍 结 下 了 不 解 之 缘, 了 解 打 探 借 观 翻 拍 复 印 购 买, 必 欲 携 归 日 本 而 后 安 而 后 快 回 到
1) 此 生 成 就 名 山 业 不 厌 重 洋 十 往 还 内 藤 湖 南 中 国 访 书 及 其 学 术 史 意 义 述 论 钱 婉 约 近 代 日 本 中 国 学 家 来 华 访 书, 作 为 一 种 普 遍 性 的 学 术 活 动, 开 始 于 十 九 世 纪 九 十 年 代 中 后 期 一 方 面, 日 清 战 争 前 后 日 本 普 遍 加 强 了 对 中 国 的 关 注, 一 批 敏
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臺 南 市 後 壁 區 無 米 樂 社 區 農 村 再 生 計 畫 地 點 : 臺 南 市 後 壁 區 無 米 樂 社 區 申 請 單 位 : 臺 南 市 後 壁 區 後 廍 社 區 發 展 協 會 中 華 民 國 101 年 6 月 4 日 修 正 臺 南 市 後 壁 區 無 米 樂 社 區 農 村 再 生 計 畫 一 農 村 社 區 名 稱 : 臺 南 市 後 壁 區 無 米 樂 社 區 二 申
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课 程 质 量 标 准 汇 编 ( 数 学 学 院 2010) 教 务 处 编 印 PDF 文 件 使 用 "pdffactory Pro" 试 用 版 本 创 建 www.fineprint.cn 目 录 高 等 代 数 方 法 选 讲 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 1 数 学 分 析 方 法 选 讲 课 程 简 介 教 学 大 纲 考 核 大 纲 7 数 学 分 析 课 程 简
126 中 西 中 古 税 制 比 较 研 究 或 由 纳 税 人 代 表 组 成 的 机 关 处 于 主 导 地 位, 相 关 税 务 的 处 理 通 常 表 现 为 集 体 议 决 一 集 权 与 专 一 如 前 所 论, 中 国 赋 税 基 本 理 论 不 仅 特 别 古 老, 根 深 蒂 固
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1989 10 12 1990 2 1989 9 21 1988 351 1989 347 1990 41 42 1991 1988 88161 1988 161 4222 3 1929 1949 63 1990 45 12 85 4 1992 146 1980 3 68 22 48 (11) 724 4 1992 140 23 1980 237 22 39 1 1975 49 30 4
國立中山大學學位論文典藏.pdf
The Research on the Voting Behavior of Jiua n Tsu en and R ung Ji a Ethnic Group in Kaohsiung County on 2001 Legislative Election 91 1 The Research on the Voting Behavior of Jiua n Tsu en and R ung Ji
素 ４ 在上述学 者 观 点 的 基 础 上本 文 认 为 员 工 需 要 一 理论与假设 同时具备创新意 识 创 新 能 力 创 新 动 机 和 创 新 机 会 才 能产生创新行为 创新 意 识 是 指 员 工 能 通 过 对 组 织 环 境 一 组织的创新战略与员工的创新行为 的解读认识到创新
中国人民大学学报 ５ 年第 ５ 期 Ｎ ５５ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＲＥＮＭＮ ＵＮＶＥＲ ＴＹ ＯＦ ＣＨＮＡ 组织创新战略如何转化为 员工创新行为 以中关村Ｔ 行业为例 苏中兴 张雨婷 曾湘泉 摘要 随 着 市 场 竞 争 加 剧 和 劳 动 力 成 本 快 速 上 升 越 来 越 多 的 中 国 企 业 开 始 采 用 创 新 战 略 来 应 对挑战 组织特定的战略需要匹配的员工行为作为支撑因此激发员工的创新
アジアにおける国際分業の構造と展開
6 IT 2000 2012 1.9 46.8% 63.5% ASEAN 177 1 2013a2000 6 3,660 2012 2.8 17 6,477 2002 2003a 16 1 2000 26.4% 2012 30.7% IT 2 2000 1 2,288 2012 1.9 2 3,494 46.8% 63.5% 2 Global Trade Atlas 3 4 1 ASEAN 10 16
目 录 1. 河 海 文 化 学 校 简 介 学 校 沿 革 校 训 校 徽 (1) 原 国 务 院 总 理 温 家 宝 在 视 察 河 海 大 学 时 的 讲 话 (7) 2. 管 理 规 定 河 海 大 学 学 生 管 理 规 定 (9) 3. 学 籍 管 理 河 海 大 学 全 日 制 普 通
(2014 版 ) 学 生 工 作 处 教 务 处 目 录 1. 河 海 文 化 学 校 简 介 学 校 沿 革 校 训 校 徽 (1) 原 国 务 院 总 理 温 家 宝 在 视 察 河 海 大 学 时 的 讲 话 (7) 2. 管 理 规 定 河 海 大 学 学 生 管 理 规 定 (9) 3. 学 籍 管 理 河 海 大 学 全 日 制 普 通 本 科 生 学 籍 管 理 规 定 (12) 4.
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2011 10 * N031 A 0257-5833 2011 10-0115-11 030006 Epistemic epistemological contextualism Theory of Knowledge 1 20 relevant alternatives RA 2 3 2011-06-11 * 09FZX011 0905502 1 2 2010 10 3 Argument from
第 2 版 读 者 之 窗 2015 年 10 月 总 第 29 期 发 第 2015 年 6 月 10 日 -13 日, 第 三 届 中 美 三 高 校 图 书 馆 合 作 发 展 论 坛 在 我 馆 成 功 举 办 展 届 本 届 论 坛 由 中 国 高 校 人 文 社 会 科 学 文 献 中
四 川 大 学 图 书 馆 主 办 2015 年 10 月 ( 总 第 29 期 ) 四 川 大 学 图 书 馆 业 务 办 公 室 编 http://lib.scu.edu.cn 校 长 谢 和 平 院 士 一 行 到 图 书 馆 调 研 2015 年 9 月 8 日 下 午, 校 长 谢 和 平 院 士 带 队 到 图 书 馆 调 研 古 籍 保 护 与 开 发 工 作, 并 召 开 现 场 会
制 (binary system) 高 等 教 育 體 系 所 謂 高 等 教 育 的 雙 軌 制, 即 係 完 成 中 等 教 育 後 的 學 生 通 過 一 定 方 式 分 流, 分 別 到 綜 合 大 學 接 受 一 般 學 術 理 論 為 主 的 教 育, 或 到 職 業 培 訓 院 校 接
梁 淑 雯 一 前 言 教 育 是 人 類 社 會 一 種 實 踐 活 動, 從 廣 義 的 角 度, 所 有 傳 播 和 學 習 知 識 和 經 驗 的 過 程 都 可 以 稱 之 為 教 育, 這 是 一 項 推 動 着 社 會 延 續 和 發 展 的 人 類 活 動 1 在 現 代 社 會 學 的 範 疇, 教 育 則 通 常 按 其 狹 義 被 理 解, 即 指 培 養 新 生 一 代 準
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雲林科技大學漢學所國際會議論文摘要
雲 林 科 技 大 學 漢 學 所 國 際 會 議 論 文 摘 要 薛 清 江 ( 南 台 科 技 大 學 通 識 教 育 中 心 助 理 教 授 ) E-Mail: ajohnch@mail.stut.edu.tw 論 文 題 目 : 李 昂 小 說 殺 夫 中 的 倫 理 與 人 性 關 懷 以 柏 納 德. 威 廉 斯 的 道 德 運 氣 為 核 心 的 詮 釋 論 文 摘 要 : 在 台 灣
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关 于 开 展 2016 年 金 融 学 院 寒 假 社 会 实 践 的 通 知 金 融 学 院 各 团 支 部 : 为 积 极 响 应 校 团 委 关 于 推 动 我 校 社 会 实 践 活 动 全 面 深 入 有 序 开 展 的 总 体 要 求, 引 导 青 年 大 学 生 进 一 步 理 解 现 实 国 情 下 四 个 全 面 的 发 展 战 略, 带 动 大 家 对 改 革 深 水 期 的
宜蘭縣政府公報 公 告 農業處 修正 宜蘭縣 H5 H7 亞型家禽流行性感冒防治措施 38 地方稅務局 公示送達吳昇芳君土地增值稅應送達文書 41 法規命令草案預告 工務處 預告修正 宜蘭縣公共污水處理廠回饋地方自治條例 42 2
宜蘭縣政府公報 105 年 1 月 中華民國 105 年 1 月 30 日出刊 本公報同步登載宜蘭縣政府全球資訊網 第 184 期 法 規 制定 宜蘭縣特定行業設置管理自治條例 3 政 令 教育處 訂定 宜蘭縣立國民中小學校園餘裕空間活化實施要點 5 工務處 修正 宜蘭縣政府公共工程優質獎評選及獎勵作業要點 7 地政處 陳碧源君等 3 名申請不動產估價師開業證書事務所地址變更 32 計畫處 修正 宜蘭縣政府辦理各項活動作業要點
国防科学技术大学
国 防 科 学 技 术 大 学 2016 年 硕 士 研 究 生 入 学 考 试 自 命 题 及 复 试 科 目 考 试 大 纲 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 2015 年 6 月 目 录 航 天 科 学 与 工 程 学 院 ( 联 系 人 : 李 人 杰,0731 84573119)... 1 科 目 代 码 :812 科 目 名 称 : 空 气 动 力 学... 1 科 目 代
12期.FIT)
2009 年 第 12 期 渊 总 第 64 期 冤 两岸文化交流中的媒体自觉 写在两岸 三通 实现一周年之际 文 / 福建海峡电视台总监 互动 是新时代传媒的核心特征 也是福建海峡电视台成立五年来摸索出的一种行之有效 的文化交流传播方式 寻找 事件点 策划出一系列独具 海峡 特色的大型活动 以调动信息接 收者参与体验的形式 吸引受众的关注和参与 建立与受众之间的情感联系 形成海峡电视台将 满足受众对两岸全方位认知和了解的期待
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由 神 經 科 學 評 析 創 造 力 之 發 展 / 張 妤 婷 曹 傑 如 張 軒 健 47 由 神 經 科 學 評 析 創 造 力 之 發 展 張 妤 婷 1 曹 傑 如 2 3 張 軒 健 1 臺 中 教 育 大 學 教 育 學 系 2 臺 中 教 育 大 學 教 育 測 驗 統 計 研 究 所 3 臺 中 教 育 大 學 特 殊 教 育 學 系 壹 前 言 創 造 力 是 一 種 生 產
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中 国 科 学 院 江 西 省 千 烟 洲 红 壤 丘 陵 综 合 开 发 试 验 站 2013 年 第 1 期 ( 总 第 1 期 ) 2013 年 6 月 30 中 国 科 学 院 江 西 省 千 烟 洲 红 壤 丘 陵 综 合 开 发 试 验 站 简 介 中 国 科 学 院 - 江 西 省 千 烟 洲 红 壤 丘 陵 综 合 开 发 试 验 站 ( 千 烟 洲 站 ) 始 建 于 1983 年,
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119 以 吉 田 松 阴 的 东 坡 策 批 评 为 中 心 北 京 大 学 历 史 系 唐 利 国 吉 田 松 阴 是 日 本 幕 末 时 期 倒 幕 志 士 的 著 名 先 驱 他 是 长 州 藩 的 兵 学 师 范 ( 教 官 ), 其 门 下 涌 现 了 久 坂 玄 瑞, 高 杉 晋 作, 木 户 孝 允, 伊 藤 博 文, 山 县 有 朋 等 倒 幕 维 新 运 动 的 重 要 领 导
流动性充足 燃料油震荡走高
LLDPE PP 需 求 淡 季 压 力 重 重 投 研 部 谢 祥 华 电 话 :020-85586915 核 心 观 点 当 前 原 油 价 格 面 临 两 大 风 险 : 冻 产 会 议 不 及 预 期, 原 油 库 存 高 企 只 要 任 一 风 险 引 起 大 家 恐 慌, 即 便 有 美 联 储 暂 不 加 息 的 利 好, 油 价 亦 会 再 度 下 行, 如 若,PP 价 格 亦 会
Microsoft Word - 1-1《國文》試題評析.doc
國 文 試 題 評 析 王 冕 老 師 一 形 式 範 疇 : 序 別 類 別 題 數 配 分 備 註 字 字 音 2 4 形 聲 偏 旁 外 來 語 音 譯 詞 字 形 1 2 六 書 ( 會 意 ) 一 測 字 義 3 6 同 字 異 義 通 同 字 驗 成 語 3 6 字 形 改 錯 文 義 運 用 二 修 辭 6 12 對 偶 轉 品 鑲 嵌 ( 增 字 ) 借 代 ( 年 齡 ) 設 問
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远 大 前 程 译 者 : 姜 春 香 目 录 译 者 序... 1 第 一 章... 4 第 二 章... 9 第 三 章... 17 第 四 章... 22 第 五 章... 30 第 六 章... 38 第 七 章... 40 第 八 章... 49 第 九 章... 59 第 十 章... 65 第 十 一 章... 71 第 十 二 章... 83 第 十 三 章... 88 第 十 四