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1 中科院研究生物理有机化学课程,2011年10月 第五讲 第 讲 量子化学的概念和方法 授课教师 王任小 研究员 授课教师 王任小 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, CAS
2 授课提纲 一. 量子力学的基本概念 (chapters ) 二. 计算化学的基本方法 单点能的计算 结构优化 / 能量最小化 振动频率分析 寻找反应过渡态 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 2
3 参考教材 参考教材 : Eric V. Anslyn, Dennis A. Dougherty, Modern Physical Organic Chemistry, University Science Books, Sausalito, California, i 补充参考教材 : Andrew R. Leach, Molecular Modeling: Principles and Applications, 2nd Ed., Prentice Hall, 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 3
4 I. Introduction to Quantum Mechanics 经典力学 (Since 16th century) Newton Galileo 旧量子论 (since late 19th century) Plank Einstein Bohr Schrodinger Dirac Heisenberg Hawking 现代量子力学 (since 20th century) 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 4
5 The Greatest Minds in the 20th Century 第一排 : 欧文 朗缪尔 马克斯 普朗克 玛丽 居里 亨得里克 洛仑兹 阿尔伯特 爱因斯坦 保罗 朗之万 Ch. E. Guye CTR C.T.R. 威尔逊 OW O.W. 里查森 ; 第二排 : 彼得 德拜 马丁 努森 威廉 劳伦斯 布拉格 H. A. Kramers 保罗 狄拉克 亚瑟 康普顿 路易 德布罗意 马克斯 波恩 尼尔斯 玻尔 ; 第三排 : 奥古斯特 皮卡尔德 E. Henriot 保罗 埃伦费斯特 Ed. Herzen T. D. Donder 欧文 薛定谔 E. Verschaffelt 沃尔夫冈 泡利 沃纳 海森堡 R.H. 福勒 里昂 布里渊中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 5
6 Introduction to Quantum Mechanics 量子力学与经典力学的差别首先表现在对体系的状态和力学量的描述及其变化规律之上 在量子力学中, 体系的状态由状态函数表示, 状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态 状态随时间的变化遵循一个线性微分方程, 该方程预言体系的行为, 物理量由满足一定条件的 代表某种运算的算符表示 测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作, 对应于代表该量的算符对其状态函数的作用 测量的可能取值由该算符的本征方程决定, 测量的期待值由一个包含该算符的积分方程计算 量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果 它预言一组可能发生的不同结果, 并告诉我们每个结果出现的概率 状态函数的平方代表作为其变数的物理量出现的几率 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 6
7 The Schrödinger Equation 在量子力学中为了描述微观粒子状态变化的规律, 就需要找出波函数所满足的运动方程 这个方程是薛定谔在 1926 年首先提出的, 被称为薛定谔方程 求解薛定谔方程, 即可从电子结构层面来阐明分子的能量 性质及分子间相互作用的本质 Time-dependent form: Time-independent form: Erwin Schrödinger ( ) Winner of the Nobel Prize in Physics 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 7
8 Wavefunction 量子力学用波函数 (wavefunction) 来描述粒子的状态 波函数是坐标 (r) 和时间 (t) 的复函数 It contains all the measurable information about a system. Its square gives the probability of finding the particle in a given region of space. * d 1 Wavefunctions are additive. new 1 2 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 8
9 Eigenfunction 在某函数空间中定义的线性算子 A 的本征函数就是对该空间中任意一个非零函数 f 进行变换仍然是函数 f 本身或者其倍数的函数 A f f eigenfunction operator eigenvalue 2 d f 2 dx f 2 f 2 dx k ( Acoskx Bsin kx) k f Acoskx d 2 2 f Bsin kx 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 9
10 Atomic Units 原子单位制 (atomic units, au) 是一套广泛应用于原子物理学 电磁学与量子电动力学中的单位制, 在研究电子的相关性质时应用得尤为广泛 Property Description Value 电荷 The absolute charge on an electron e = C 质量 The mass of an electron m e = kg 长度 (Bohr) 能量 (Hartree) The radius of the first orbital in Bohr s treatment of the hydrogen atom a 0 = h 2 /4 2 m e e 2 The interaction energy between two E a = e 2 /4 0 a 0 = electrons separated by the Bohr radius J 角动量 Planck s constant h = 2 and thus ħ = 1. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 10
11 The Hamiltonian Operator 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 11
12 Solving the Schrödinger Equation 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 12
13 Solutions to the Schrödinger Equation 原子轨道是单电子体系薛定谔方程的合理解 ψ, 也就是波函数 (wave function) 对于氢原子而言 : h / 2m e / r A H 1 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 13
14 Shapes and Properties of Atomic Orbitals Shapes and Properties of Atomic Orbitals ) ( ) ( 1 m r n Y e r N r S ), ( ),, ( nlm Y l e r N r S 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 14
15 H 2+ : Why do Bonds Form? H H A = 1s orbital of a hydrogen atom B = gerade state (g), bonding orbital C = ungerade state (u), anti-bonding orbital 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 15
16 H 2+ : Why do Bonds Form? H + 2 分子中化学键的形成是因为成键轨道中电子的动能 (T g ) 得到降低 与两个孤立的原子相比, 该分子中成键轨道的势能 (V g ) 实际上升高了 H H 体系动能和势能的加合结果揭示 : H + 2 分子存在一个最佳成键距离, 该化学键的能量随键长的变化规律为典型的 Morse 型函数 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 16
17 Solving the Schrödinger Equation 在复杂的分子体系中精确求解薛定谔方程几乎是不可能的, 因而求解时必须引入各种近似, 进而发展出不同的计算方法 从头计算法 (ab initio ): Hartree-Fock Fock, MP2 半经验算法 (semi-empirical ): PM3,AM1,MNDO 密度泛函方法 (density function theory,dft) : B3LYP 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 17
18 The ab initio Molecular Orbital Theory The term ab initio means from first principles ; it does not mean without approximation. Born-Oppenheimer approximation: it allows the wavefunction of a molecule to be broken into its electronic and nuclear components. nuclei electron The orbital approximation: The total wavefunction is considered as a product of one-electron electron wavefunction known as orbitals. The non-relativity it approximation 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 18
19 The Variational Theorem 变分原理 (The variational theorem) : 薛定谔方程的任何近似解所对应的能量均比体系基态的能量要高 设定所研究体系的 Hamilton 算符为 H, 任意一个归一化的波函数为 Ψ, 则有 : E E 0 此处 E 0 为体系基态的能量 只有当 Ψ 与描述体系基态的波函数相同时, 才有 E = E 0 根据变分原理, 我们就可以通过最小化波函数的能量来逼近体系的真实状态 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 19
20 The The Variational Variational Theorem Theorem 任一个波函数 φ 都可以展开为哈密顿算符的本征函数的线性组合这些本征函数是正交归一的 : 合, 这些本征函数是正交归一的 : n n n c 则体系的哈密顿算符的期望值是 : n m m m m n n m m m n n n c E c c H c H E c E c c 2 * 如果把 E n 替换成基态能量 E 0, 从求和公式中提出来, 那么等号就 n m n n n m n m m n E c E c c 变成大于等于号 : E E c H n 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences n n
21 The Hartree-Fock Equation 分子整体的波函数可以写作若干单电子波函数的乘积 分子里若存在 n 个电子, 就有 n 个这样的单电子波函数 对于每个这样的波函数, 则有以下 Hartree-Fock 方程 : Fock Operator orbital core integral Coulomb integral exchange integral (one-electron integral) (two-electron integral) (two-electron integral) kinetic energy of election & electron-electron repulsion electron-nuclei attraction 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 21
22 The Hartree-Fock Equation 体系的总能量因此可以写作 : This correction must be made otherwise each electron-electron repulsion is counted twice. Left: Douglas R. Hartree ( ) 1958) Right: Vladimir A. Fock ( ) 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 22
23 The Self-Consistent Field Theory 根据自洽场理论 (self-consistent field, SCF) 的处理方法, 每个电子均处于由其他电子所形成的势场中运动 这个势场本身不因该电子的运动而变化 1. 首先猜测一套波函数 0 ; 2. 解出所有的 J 积分和 K 积分 ; 3. 解 Hartree-Fock 方程, 获得一套新的波函数 ; 4. 重复步骤 2 和 3, 直至体系的总能量降至最低 根据变分原理, 此时的波函数就逼近代表体系基态的波函数 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 23
24 Linear Combination of Atomic Orbitals LCAO-MO 方法 : 分子轨道由原子轨道线性组合而成 basis function( 基函数 ) 每个分子轨道 ( ) i 均包括分子内每个原子的每个轨道 ( k ) 的贡献 由此组合出来的分子轨道的总数等于分子内原子轨道的总数 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 24
25 Basis Sets: Slater-Type Orbitals One choice would be simply use the wavefunctions of the hydrogen atom adapted for other atoms, which is called Slater-type orbital (STO). S nlm ( r,, ) N r n 1 e r Y m l (, ) John C. Slater ( ) It is unfortunately difficult to evaluate the complex two-electron integrals (J and K) with STOs. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 25
26 Basis Sets: Gaussian-Type Orbitals A popular p alternative is to use a set of Gaussian-type orbitals (GTOs) to represent atomic orbitals. Integrals that must be evaluated are much easier to compute with GTOs. l m n G ( r ) N X Y Z e r 2 STO GTO 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 26
27 Basis Sets: Gaussian-Type Orbitals 在量子力学计算中使用 Gaussian 型基函数的依据是所谓的 Gaussian Product Theorem : 对于两个中心分别位于空间中两个分隔的点上的 Gaussian 函数, 它们的积可以表示为中心位于这两个点的连线上某处的有限个 Gaussian 函数的加和 如此以来, 四中心的积分就可以转化为若干双中心中积分的加和, 而双中心积分又可以进一步转化为若干单中心积分的加和 与使用 STO 轨道作为基函数相比, 这种数学处理方法提升计算速度约 4~5 个数量级 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 27
28 Minimal Basis Sets: STO-3G STO-3G is a minimal basis set, in which each STO is represented as a linear combination of three Gaussians. The coefficients before those Gaussians are optimized to fit experimental data. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 28
29 Extended Basis Sets Another common basis set is 3-21G, which uses a linear combination of three Gaussians for each core atomic orbital; while each valence atomic orbital is split into two functions ( i & i, ) split valence basis set i = a 1 G 1 + a 2 G 2 I = a 3 G 3 Split valence basis sets are used to account for the diffusion of atomic orbitals (the change in size). 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 29
30 Extended Basis Sets Today s most popular basis sets in QM for studying simple to medium-sized molecules are 6-31G(d) and 6-31G(d,p), i.e. 6-31G* and 6-31G**. One six-fold contracted core function 3+1 split valence functions 6-31G(d,p) Polarization of orbitals: change in shape One set of d polarization functions on heavy atoms, one set of p polarization functions on hydrogen atoms. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 30
31 Full Extended Basis Sets The more complex basis set below is applicable to H to Br atoms. One six-fold contracted core function One three-fold contracted tight valence functions, one medium & one loose valence function G(3df,2pd) One set of diffusion valence functions on heavy atoms & hydrogen atoms Three sets of d and one set of f polarization functions on heavy atoms; two sets of p and one set of d polarization functions on hydrogen atoms. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 31
32 Basis Sets: An Example Question: 如果使用 G(d,p) 基组来处理 CH 4 分子, 所使用的基函数的总数会是多少? Answer: H: 1s1s 2s2p ( =6) C: 1s2s2s 2p2p 3s3p3d ( =18) Total: =42 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 32
33 Summary: The Roothaan Procedure 体系整体的波函数表示为单电子波函数的乘积 使用自洽场方法来解 Hartree-Fock 方程, 得出一套单电子波函数的最优解 分子轨道表征为分子内所有原子轨道的线性组合 (LCAO-MO) 为了方便积分运算, 原子轨道通常用一套 Gaussian 函数来表示 (basis set) C.J. Roothaan 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 33
34 Problem in the Hartree-Fock Method 轨道近似 (Orbital approximation) : 体系整体的波函数表示为若干单电子波函数的乘积, N- 电子 Hamiltonian 被 N 个单电子 Hamiltonian 代替,N- 电子 Schrodinger 方程被 N 个 Fock 方程代替 Hartree-Fock 方法将电子之间的排斥处理为单电子和其他电子所形成的势场之间的作用 电子运动之间的耦合 (electron correlation) 是一种稳定体系的效应 该方法忽略了这种效应, 因此该方法所得出的体系的总能量总是高于真实值 : E HF,SCF E reality 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 34
35 Post Hartree-Fock Methods 以下各种方法在处理电子耦合效应方面都有改进, 原则上可以获得更精确的能量数值 Configuration interaction (CISD) Coupled cluster (CCSD) Møller Plesset perturbation theory (MP2, MP3, MP4) Quadratic configuration interaction (QCI) Quantum chemistry composite methods (G2, G3, CBS) Van der Waals 相互作用 ( 即 London 色散力 ) 本质上是一种电子耦合效应, 因此 HF 方法原则上无法应用于由 VDW 相互作用或其他一些非共价弱相互作用占主导的分子复合物 CISD, MP2 或是 CCSD 方法可以处理此类体系 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 35
36 MOT versus VBT: The Methane Molecule VBT prediction MOT prediction Ionization potentials of methane measured by photoelectron spectroscopy 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 36
37 Computational Costs of ab initio Methods 对于典型的 HF ab initio 计算, 计算量通常与 n 4 成正比 (n 为分子轨道所使用的基函数的总数 ) 假设分子的复杂度加大 1 倍, 则计算量将相应地增大 2 4 = 16 倍 A regular organic molecule: 30 atoms. A medium-size protein molecule: 3000 atoms. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 37
38 Semi-Empirical and Approximation Methods HF-SCF 方法中计算量的瓶颈在于计算双电子积分 (J & K) 为了节省计算量, 一些近似方法要么忽略这些积分, 要么使用经验参数来代替这些积分 Methods such as CNDO/2, INDO and NDDO that were introduced by John Pople. The implementations aimed to fit, not experiment, but ab initio minimum basis set results. These methods are now rarely used but the methodology is often the basis of later methods. Methods that are in the MOPAC and/or AMPAC computer programs originally from the group of Michael Dewar.These are MINDO, MNDO, AM1, PM3, RM1 and SAM1. Here the objective is to use parameters to fit experimental heats of formation, dipole moments, ionization potentials, and geometries. Methods whose primary aim is to calculate excited states and hence predict electronic spectra. These include ZINDO and SINDO. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 38
39 Density Functional Theory (DFT) Hohenberg-Kohn 定理 (1965) 指出 : 体系基态的能量以及基态其他由电子结构决定的性质均唯一的是体系电子密度分布的函数 E f = g(x,y,z) 密度泛函理论用电子密度取代波函数做为描述体系能量的变量 多电子体系波函数有 3N 个变量 (N 为电子数 ), 而电子密度 () 仅是三个变量的函数, 无论是在概念上还是实际应用中都更方便处理 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 39
40 Density Functional Theory 根据密度泛函理论, 体系的总能量可以分解为 : Exchange-correlation term Electron Nuclear-electron Electron-electron kinetic energy potential energy repulsions 与 Hartree-Fock 方法不同, DFT 方法从源头上就考虑了电子交换 - 耦合效应 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 40
41 Density Functional Theory Density Functional Theory DFT 方法之所以计算效率更高, 是因为它使用一个单变量积分来代替双电子的 Coulomb 积分以及用一个泛函 (V XC ) 来代替双电子的电子交换 耦合积分 ) ( ) ( ) ( ) ( e r e Z A ) ( ) ( ) ( ) ( r r r V dr r e r r e Z m i i i A XC ia A i i r r 2 ) ( ) ( ) XC ( XC E V i 但是 DFT 理论本身并没有给出 V 泛函的具体形式 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 41 但是 DFT 理论本身并没有给出 V xc 泛函的具体形式
42 Density Functional Theory: B3LYP The B3LYP (Becke, three-parameter, Lee-Yang-Parr) method is essentially a hybrid DFT/HF method. B3LYP calculates l the HF wavefunction and uses its exchange energy as part of the DFT exchange energy. E E KE E J E X HF The energy function of the B3LYP method X X X LYP ( 1)( LDA EB88) EB88 EC (1 E ) E VWN C The LYP correlation functional is derived to reproduce the correlation of the He atom. E LYP C E CI He E HF He Energy calculated with high-level ab initio method with consideration of electron correlations. Energy calculated with HF method 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 42
43 How Good is Density Functional Theory? DFT 方法目前在量子化学计算中得到广泛的应用, 成为了基于波函数的计算方法的重要补充 DFT methods predict good structures. DFT methods often underestimate activation barriers (2-5 kcal/mol). DFT methods often overestimate frequencies by 1-5 %. Errors: E HF>E PW91>E MP2>E B3LYP>E CISD>E QCISD>E CCSD CPU time: T CCSD >T QCISD >T CISD >T MP2 >T B3LYP >T HF >T PW91 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 43
44 Quantum Chemistry Methods 从头计算法 (ab initio methods):hartree-fock, MP2/MP3/MP4, CISD and etc. 除了三个基本假设与数学上应用变分或微扰法之外, 不再引入其它近似 ; 求解方程中所遇到的各类积分, 一一严格计算, 不借助任何经验或半经验参数 ; 体系的 Hamilton 算符包含价层电子以及全部内层电子的贡献 半经验算法 (semi-empirical ii methods) d) : MNDO, AM1, PM3 针对 Hartree-Fock-Roothaan 方程, 在波函数 Hamilton 算符和积分运算三个层次上进行简化, 使用经验参数, 计算量显著减少 密度泛函理论 (density functional theory, DFT) : B3LYP 使用电子密度取代波函数做为描述体系能量的变量, 在概念上还是实际应用中都更方便处理 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 44
45 Nobel Prize to Quantum Chemistry! 量子化学已经发展成为广大化学家使用的工具, 将化学带入了一个新的时代 在这个新时代里, 实验和理论能够共同协力探讨分子体系的性质 化学因此不再是单纯的实验科学了 1998 年瑞典皇家科学院诺贝尔化学奖发布公告 Left: Prof. John A. Pople ( ) Right: Prof. Walter Kohn (1923- ) Winners of the Nobel Prize in Chemistry in 1998 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 45
46 Software for Quantum Chemistry 各种量子化学方法目前已经整合在一些商业软件中, 被普通的有机化学家广泛应用于解决各种问题 Gaussian 09 (Gaussian Inc.) Spartan (Wavefunction Inc.) Jaguar (Schrodinger Inc.) 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 46
47 II. Essentials of Computational Chemistry 理论化学 (Theoretical chemistry) 应用物理学的基本原理来理解化学现象 现代理论化学主要是指量子化学, 即应用量子力学的基本原理来解决化学问题 理论化学的研究范围包括电子结构理论 体系的热力学和动力学性质以及统计力学等等 计算化学 (Computational chemistry) 借助计算机为工具来解决化学问题 计算化学利用理论化学的结论, 以计算机程序将其实现, 用于计算分子体系的结构以及其他性质 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 47
48 A Revisit to Potential Energy Surface Potential energy surface (PES): Graph of the potential function, which is a mathematical function describes how the potential energy changes along with the internal motions of a molecule. What can we do on a potential energy surface? 单点能的计算 结构优化 振动频率分析 寻找反应过渡态 reactant product 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 48
49 Single Point Energy Calculation Single point energy ( 单点能 ) calculation is the prediction of the energy and related properties for a molecular system with a particular geometric structure. Total potential energy (1 hartree = kcal/mol) SCF Done: E(RHF)= A. U. after 6 cycles Outputs produced by the Gaussian software are used as examples on these slides. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 49
50 Single Point Energy Calculation Molecular orbitals and orbital energies 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 50
51 Single Point Energy Calculation Charge distribution (partial atomic charges): through Mulliken population analysis(mpa), Natural bond orbital analysis (NBO), CHelpG, RESP and other methods. Dipole and higher-order multipole moments 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 51
52 Geometry Optimization 结构优化即在分子的势能面上寻找极小点 这些极小点就对应于分子的低能构象 global maximum local maximum local minimum global minimum 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 52
53 Geometry Optimization Minimum ( 极小点 ): Stationary yp point ( 驻点 稳态点 ): 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 53
54 Geometry Optimization & Single Point Energy 为了更有效地得出分子的结构和性质, 一种常用的策略是先使用较粗略的理论方法以及较小的基组对分子的结构进行优化较, 然后在此基础上使用较精确的理论方法和较大的基组计算分子的单点能 B3LYP/6-311+G(3df,2df,2p) // B3LYP/6-31G(d) B3LYP/6-311+G(2d,p) // HF/6-31G(d) MP2/6-311+G(2d,p) // HF/3-21G(d) Method for single point energy calculation Method for geometry optimization 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 54
55 Frequency Calculations 频率分析可以用于多种目的 : 优化分子的几何构型时计算力常数 确定势能面上驻点的性质 得出分子的红外和拉曼光谱性质, 包括振动频率和强度 计算零点能和热力学数据 ( 例如体系的焓和熵 ) 注意 : 频率分析计算时所采用的理论方法和基组必须与几何构型优化采用的方法和基组完全相同 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 55
56 The Hessian Matrix Hessian Matrix: 对于多原子分子体系, 体系的能量相对于坐标 R i (i=1, 2,, 3N-6) 的二阶偏导数矩阵 H = 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 56
57 The Hessian Matrix 通过正则变换, 可以找到一组简正坐标 ξ i (i=1, 2,, 3N-6) 使 Hessian 矩阵对角化 H = Force constant, corresponding to normal mode frequency ( 简正振动频率 ) 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 57
58 Normal Modes 分子的红外以及拉曼光谱可以通过简正振动频率的计算结果来预测 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 58
59 Zero Point Energy and Thermal Energy Final predicted energies must always include a scaled zero point energy (ZPE) and the thermal energy correction. E 0 = E elec +ZPE E = E 0 +E trans +E rot +E vib H = E + RT Thermal energy 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 59
60 Scaling Factors Scaling factors are used to correct the systematic errors produced by QM calculations. 计算方法频率矫正因子零点能矫正因子 HF/3-21G HF/6-31G(d) MP2/6-31G(d) SVWN/6-31G(d) BLYP/6-31G(d) B3LYP/6-31G(d) 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 60
61 Following Reaction Pathways 反应的过渡态是势能面上的一阶鞍点 (first-order saddle point) 这样的 因此被称为虚频 (imaginary frequency). k < 0 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 61
62 Following Reaction Pathways 在势能面上探索反应途径有两种基本方法 : Potential Energy Surface Scan ( 势能面扫描 ) Intrinsic Reaction Coordinates ( IRC, 内禀反应坐标方法 ) Outputs produced by the Gaussian software are used as examples on these slides. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 62
63 Potential Energy Surface Scan QST2: Structures of the reactant and the product are required as inputs. QST3: Structures t of the reactant, t the product, and a guessed transition state are required as inputs. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 63
64 Intrinsic Reaction Coordinates (IRC) IRC 方法的基本思路 : IRC 计算从鞍点开始, 在两个反应方向上根据能量降低来寻找过渡态所连接的两个极小值 势能面上的一阶鞍点不一定就是连接反应物和产物的真实过渡态, 需要通过分析虚频的简正振动模式来判断其是不是所要的过渡态 是所要的过渡态 如果过渡态得到确认, 则可以计算反应的活化能 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 64
65 Routines for IRC Calculations 1. 确定过渡态的结构 : 对反应体系进行结构优化和频率分析, 确认真实的过渡态, 计算其零点能和热力学矫正值 2. 确定反应物和产物的结构 : 生成 Hessian 矩阵并进行 IRC 计算, 在鞍点两侧的能量下降方向寻找极小值, 确定反应物分子和产物分子 对反应物分子和产物分子分别进行结构优化和频率分析, 得到零点能和热力学矫正值 3. 确定反应的活化能 : 对过渡态 反应物和产物分别在较高水平上进行单点能计算, 获得活化能数值 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 65
66 Characterizing Stationary Points 分析目的频率特征结论需要进一步考虑的问题 寻找极小值 没有虚频 是极小点 如有有必要, 可与其它低能构象比较, 最终得出全局最小点 寻找极小值 存在 1 个虚频 是鞍点, 不是极小点 继续尝试, 可以按照虚频的振动模式修正分子结构重新进行结构优化 寻找过渡态没有虚频是极小点尝试 Opt=QST2 或 QST3 寻找过渡态 寻找过渡态 存在 1 个虚频 是鞍点, 可能是过渡态 判断虚频的振动模式是否与反应物和产物相关 ; 尝试 IRC 计算 寻找过渡态 存在多个 是高阶鞍点 尝试 QST2; 检查每个虚频对应的振动 虚频 模式, 按照非过渡态的振动模式修正 分子结构重新进行结构优化 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 66
67 An Example: Reactions of Formaldehyde 1 Molecular l dissociationi 2 12-Hydrogen 1,2 shift 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 67
68 An Example: Reactions of Formaldehyde 步骤一 : 优化得到反应 1 的过渡态结构并验证之 首先猜测反应过渡态的几何构型, 对其进行目标为寻找过渡态的结构优化 对所得结构的频率分析表明其只有一个虚频, 表明它是一个过渡态 TS 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 68
69 An Example: Reactions of Formaldehyde Vibrational mode of TS at the imaginary frequency 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 69
70 An Example: Reactions of Formaldehyde 步骤二 : 计算过渡态的振动力常数, 进行 IRC 计算 在起点上得到了一个类似甲醛分子的结构, 可以认定该反应路线是通向甲醛的 ; 在终点上得到了一个 C-H 键拉长 C-O 键略微缩短的结构, 类似于产物分子 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 70
71 An Example: Reactions of Formaldehyde 步骤三 : 计算反应的活化能 *: Produced at the HF/6-31G(d) level. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 71
72 An Example: Reactions of Formaldehyde 步骤四 : 对于反应 2, 重复以上各步骤 TS 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 72
73 An Example: Reactions of Formaldehyde Vibrational mode of TS at the imaginary frequency 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 73
74 An Example: Reactions of Formaldehyde 根据计算结果, 给出完整的反应途径图 2 1 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 74
75 Calculate Reaction Enthalpies 标准反应焓变的计算方法可以表示为 : ΔH 298 =ΔE Δ(PV) E = ZPE+E E 0 +E +E +E H + + H 2 O H 3 O + e trans rot vib Data computed at the B3LYP/ G(2df,2p) 2p) level. 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 75
76 Summary 计算单点能 : 获得体系能量 分子轨道 电子分布等 结构优化 / 能量最小化 : 获得体系的优势构象 振动频率分析 : 获得振动力常数 简正振动模式以及热力学量 研究反应机理 : 获得反应过渡态的结构以及活化能 焓变等能量性质 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 76
77 What to preview for next lecture Lecture 5: Introduction to Molecular Mechanics Chapter 2.6 中国科学院上海有机化学研究所 Shanghai Institute of Organic Chemistry, Chinese Academy of Sciences 77
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