中學生小論文比賽(此數為何數---數字系統的探討).doc

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1 篇名 : 作者 : 吳國廷 市立高雄高工 資訊科 / 三年甲班 1

2 壹 前言 從古自今人類為因應生活上的需要而發展出各種不同的數目系統, 例如 : 十進制 二進制 等, 使用上也隨著文明的進步 文化傳統的差異 等因素, 各地方大不相同, 後來全世界進制統一使用十進制取代其他進位法, 原因很簡單 : 因為人習慣用手指計算數字, 所以直到現在人們仍習慣滿十進位之計數方式, 但是在電子科技方面則較常使用二進位, 因為電子元件不是工作在導通 (ON) 就是工作在截止 (OFF) 的狀態, 正好符合二進位只有 0 與 1 的概念, 而為電腦程式設計或分析上採用十六進位法, 其原因為 : 雖然二進制能符合電腦內部元件的工作情形, 可是對人體視覺而言卻容易造成誤判, 特別是位元數多的情況, 使用十六進位可方便讀 寫 總結上述數目系統的內容看似有趣又有一點深奧的學問, 因此選擇這個題目作為研究題材, 以下將介紹各種進制及其互換方法 補數與其他常用的文數碼之功用 貳 正文 ( 一 ) 各種數字系統分類 : 1. 加權碼 : 十進制 二進制 八進制 十六進制 BCD 碼 8421 碼 等 2. 非加權碼 : 加三碼 格雷碼 ASCII 碼 EBCDIC 碼 等 ( 無權值 ) ( 二 ) 十進制 (Decimal): 1. 底數 (radix)=10 2. 使用數字為 逢十進一 4. 常省略下標註腳 5. 日常生活中最常應用的數目系統 ( 三 ) 二進制 (Binary): 1. 底數 =2 2

3 2. 使用數字為 逢二進一 4. 一個二進制位數字稱為位元 (bit), 四個位元稱為半位元組 (Nibble), 八個位元稱 為位元組 (Byte), 即 1Nibble=4bits,1Byte=8bits 5. 最左邊的位元稱為最高有效位元 (MSB,Most Significant Bit), 最右邊的位元稱 為最低有效位元 (LSB,Least Significant Bit) 6. 常用於表示數位電路電壓高低位準 ON OFF 的狀態 ( 四 ) 八進制 (Octal): 1. 底數 =8 2. 使用數字為 逢八進一 4. 一個八進制數字可用三個二進制位元表示 ( 五 ) 十六進制 (Hexadecimal): 1. 底數 =16 2. 使用數字為 A B C D E F 3. 逢十六進一 ( 即超過 F 向左進位 ) 4. 一個十六進制數字可用四個二進制位元表示 5. 常用於電腦程式的設計與分析上, 以方便讀寫 表 ( 一 ) 為各種進制的對照表 3

4 表 ( 一 ) 各種進制對照表 十進位 二進位 八進位 十六進位 A B C D E F ( 六 ) 進制轉換 : 1. 非十進制十進制 : 將每位數字乘以其權值, 再求總合即得 2. 十進制非十進制 : 整數部分使用連除法, 小數部分使用連乘法, 將兩數相加完成轉換 (1) 連除法 : 以短除法連除欲轉換的底數, 在由下往上取餘數即得 (2) 連乘法 : 以乘法連乘欲轉換的底數, 在由上往下取整數即得 (3) 權值比例和法 (Sum of weights method): 直接找出總和等於被轉換的十進制其 適當權值比例的組合, 適用於轉成底數較小, 且須熟記底數的乘方值 3. 二進制 八進制 十六進制間之轉換 : (1) 二進制八進制 : 每三位元為一組, 整數部分若不足三位元向左補 4

5 0, 小數若不足三位元向右補 0 (2) 二進制十六進制 : 每四位元為一組, 整數部分若不足四位元向左 補 0, 小數部分若不足四位元向右補 0 (3) 八進制與十六進制互換 : 方法一 : 將十六 ( 八 ) 進制轉換為十進制, 再由十進制轉換為八 ( 十六 ) 進制 方法二 : 將十六 ( 八 ) 進制轉換為二進制, 再由二進制轉換為八 ( 十六 ) 進制 ( 七 ) 補數 (Complement): 1. 利用補數及加法運算來完成減法運算, 可簡化電路設計之複雜度 2. 底數為 r 的數字系統, 其補數的表示法有二種 : (1) r 的補數 (r s complement) (2)r-1 的補數 (r-1 s complement) 3. 補數的求法 : (1) r 補數的定義 : 對於底數為 r 的正數 N, 整數部分有 n 位, 當 N 不為 0 則 r 補 數為 r n -N, 當 N=0 即為 0 (2)r-1 補數的定義 : 對於底數為 r 的正數 N, 有 n 位整數和 m 位小數, 則 N 之補 數為 r n -r -m -N (3)r 補數與 r-1 補數的關係 :r 的補數 =r-1 的補數 +r -m, 如果 N 為整數則 r 的補數 =r-1 的補數 +1 ( 八 ) 二進制加減法 : 1. 由於計算基僅利用加法處理加減運算, 所以減法時要先將減數轉換成補數再執 行加法運算, 計算機以最高有效位元 (MSB) 為正負符號位元,1 代表負數 0 代表 正數 5

6 2.2 補數 : (1) 將減數取 2 補數加於被減數上 (2) 若相加後之結果沒有超過原來的位數, 即無溢位則結果為負仍以 2 補數表示 (3) 若有溢位則結果為正, 將符號位元捨棄, 即為正確結果 (4) 表示範圍為 -2 n-1 ~+(2 n-1-1),n 為位元總數 3.1 補數 : (1) 將減數取 1 補數後加於被減數上 (2) 若相加之結果沒有超過原來的位數, 即無溢位則結果為負仍以 1 補數表示 (3) 若有溢位將溢位加至最低有效位元 (LSB) 上, 成為端迴進位 (endaround carry) 結果為正 (4) 表示範圍為 -(2 n-1-1)~+(2 n-1-1),n 為位元總數 4. 符號大小 (sign magnitude) 表示法 : (1) 減法運算與 1 補數相同須端迴進位, 符號位元則不參與計算 (2) 表示範圍為 -(2 n-1-1)~+(2 n-1-1),n 為位元總數 5. 十進制負數與 2 s 補數表示法互換 : 十進制負數 2 s 補數 : (1) 將十進制去負號 (2) 將十進制正數轉換為二進制 (3) 將二進制正數取 2 s 補數即得 2 s 補數 (4) 反之亦然 6

7 6. 溢位 (Overflow): 計算機之溢位可用符號位元 (MSB) 相加時的進位 (Cs) 及次高有效位元相加時之進 位 (Cr) 判斷 : 溢位 =Cs Cr( 表 XOR, 互斥或 ) 當 Cs Cr 不同時即溢位產生 7. 溢位的情況 : (1) 正數 + 正數 = 負數 (2) 正數 - 負數 = 負數 (3) 負數 + 負數 = 正數 (4) 負數 - 正數 = 正數 ( 九 )BCD 碼 (Binary-Code Decimal): 1. 由四個位元 (bit) 為一組來表示一個十進制數, 見表 ( 二 ) 表 ( 二 )BCD 碼十進位 BCD 碼 目的在於方便人與機器溝通, 容易讀出其數值 3. 由於 BCD 碼具有 8(2 3 ) 4(2 2 ) 2(2 1 ) 1(2 0 ) 的加權值, 所以又稱 8421 碼 4.BCD 碼使用 0000~1001 表式 0~9,1010~1111 共六碼不使用, 當 BCD 運算超 過 9 須加 6 調整稱為 BCD 調整 7

8 ( 十 ) 加三碼 (Excess-3 Code): 1. 又稱超三碼, 將 BCD 碼加上三 0011(3) 後, 即得加三碼 2. 由於每組數碼均至少有一個 1, 故具有檢誤的功能 3. 為自補碼 (Self-complementing Code), 即某組數碼取 1 的補數, 恰好為其十進制 的 9 補數 ( 十一 ) 格雷碼 (Gray Code) 1. 又稱為反射數碼 (Reflected Code) 或循環碼 (Cyclical Code), 將 n 位元的格雷碼從 中間分隔, 除了最左方之位元外其餘皆上下對稱, 如表 ( 三 ) 所示 表 ( 三 ) 格雷碼 十進位 格雷碼 二進位 G3 G2 G1 G 相鄰兩數碼中只有一個位元的變化 3. 常用於輸出入元件或類比 / 數位轉換器 (A/D Converter) 8

9 4. 二進制轉換成格雷碼 : (1) 格雷碼左起第一個位元與二進制的 MSB( 最高有效位元 ) 相同 (2) 由二進制的 MSB 至 LSB( 最低有效位元 ), 兩兩相鄰的位元互相比較, 若位元 相同則對應之格雷碼為 0, 若不同則為 1( 取兩位元作互斥或運算 ) 5 格雷碼轉換成二進制 : (1) 格雷碼左起第一個位元即為二進制的 MSB (2) 將最高有效位元與次高位元比較, 相同為 0 不同為 1 (3) 再將結果與次次高位元比較 (4) 由左向右重複 (3) 直到取得二進制的 LSB 為止 ( 十二 )ASCII 碼 (American Standard Code for Information Interchange): 1. 中文為美國標準資訊交換碼, 由七個位元的二進制所組成, 共可代表 128 種不 同的符號 2. 如表 ( 四 ) 所示, 其中較常參考者為計算英文字母 ( 大小寫 ) 及阿拉伯數字之 ASCII 碼 表 ( 四 )ASCII 碼 ASCII 代表字 ASCII 代表字 ASCII 代表字 ASCII 代表字 十六進 符 十六進 符 十六進 符 十六進 符 制 制 制 制 20 空白 C L 62 e 21! D M 63 f E N 64 g 23 # F O 65 h 24 $ 3A : 50 P 66 i 25 % 3B ; 51 Q 67 j 26 & 3C < 52 R 68 k 27 3D = 53 S 69 l 28 ( 3E > 54 T 6A m 9

10 29 ) 3F? 55 U 6B n 2A * 56 V 6C o 2B + 41 A 57 W 6D p 2C / 42 B 58 X 6E q 2D - 43 C 59 Y 6F r 2E. 44 D 5A Z 70 s 2F / 45 E 5B [ 71 t F 5C \ 72 u G 5D ] 73 v H 5E a 74 w I 5F b 75 x A J 60 c 76 y B K 61 d 77 z (1) 阿拉伯數字 0~9 以 30H~39H 表示 (2) 大寫英文字母 A~Z 以 41H~5AH 表示 (3) 小寫英文字母 a~z 以 61H~7AH 表示 3. 八位元 ASCII 碼為電腦之間做長距離的資料傳送時偵錯的用途, 即在 MSB 再 增加一個位元作為同位 (Parity) 檢查 4. 廣泛用於電腦及其輸入 / 輸出的周邊設備上, 作為資料的傳遞與儲存 ( 十三 )EBCDIC 碼 (Extend Binary Code Decimal Interchange Code) 1. 由 IBM 公司發展出來, 稱為延展性 ( 或擴展 )BCD 碼 2. 使用八個位元的資料碼, 共有 256 種組合方式 3. 文數字是以四個區域位元及四個數字位元組合表示 4. 通常會加上第九個作為同位檢查的位元, 以防止錯誤產生 5. 表示字元的順序大小為 : 數字 > 大寫字母 > 小寫字母 參 結論 10

11 現今生活周遭到處都可見數目系統的應用實例, 舉例來說 : 買賣交易 計算數字 等, 不過若想要看到較為特殊的進制, 就必須於特定的情況才有機會見到 大多數的數位電路 ( 計算機 電腦 ) 皆以二進制運作, 而大部分的人皆使用十進制於生活中, 即需要一個能將二進位與十進位互換的裝置, 將十進制轉換成二進制的裝置稱為編碼器 (Encoder), 將二進位轉換成十進位的裝置稱為解碼器 (Decoder) 另外一個例子 : 某公司採用數位監控系統來監控工作場所的安全, 當發生火災時場所內的感測器就會輸出 1 至監控系統, 當所有狀況均正常則輸出 0 上述皆是數目系統及其轉換的例子, 每種數目系統都有其優劣和應用之處, 進制的發展本來就是為了讓生活變的更方便, 但事實上對人類歷史並無太大的改變 人類不斷的應用聰明與智慧不斷的研究 發明, 一天比一天創新一天比一天進步, 所以現在是科技蓬勃發展的時代善用科技新知, 讓我們的生活更便捷 肆 引註資料 ( 一 ) 圖書 1. 郭塗註 黃錦華 數位邏輯 ( 台北市 : 華興文化, 民 96) 頁 黃慶璋 數位邏輯設計 ( 台北市 : 全華, 民 95) 頁 2-2~ 黃傑 數位邏輯含實習 ( 台北縣 : 台科大圖書, 民 97) 頁 2-2~

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