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1 02 數位資料表示法 CHAPTER 2-1 資料型態 2-2 二進位表示法 2-3 各種進位表示法的轉換 2-4 整數表示法 2-5 浮點數表示法 2-6 ASCII 及 Unicode

2 0 與 1 的組合 計算機概論 2

3 數位資訊的單位 位元 (binary digit, 簡稱 bit) 是數位資訊的基本粒子, 也是電腦儲存或傳遞資料的最小單位, 常用 0 或 1 來表示 當初電腦會採用位元表示資料, 主要是因為電子元件的穩定狀態有兩種 : 一種是 開 ( 通常用來表示 1 ) 一種是 關 ( 通常用來表示 0 ) 電腦常以 8 個位元為存取單位, 因此 8 個位元稱為 位元組 (byte) 計算機概論 3

4 數位資訊的單位 ( 續 ) 縮寫單位 全名 精確位元組個數 大約位元組數 範例 KB KB Kilo Byte 2 10 = 1,024 一千 (10 3 ) 這個檔案的大小約 238 KB MB MB Mega Byte 2 20 = 1,048,576 一百萬 (10 6 ) 此大姆碟的容量為 512 MB GB GB Giga Byte 2 30 = 1,073,741,824 十億 (10 9 ) 本片 DVD 的容量為 4.7 GB TB TB Tera Byte 2 40 = 1,099,511,627,776 一兆 (10 12 ) 這部高容量磁碟可儲存 20 TB 的資料 計算機概論 4

5 2-1 資料型態 數 文 字 字 資料類型 影像 圖片 語音 音樂 影片 動畫 計算機概論 5

6 2-2 二進位表示法 一個數字在不同的位置上所表示的數值也就不同, 如三位數 523, 右邊的 3 在個位上表示 3 個一, 中間的 2 在十位上就表示 2 個十, 左邊的 5 在百位上則表示 5 個百, 換句話說,523 = 5 x x 以 B 為基數, 則 d n d n-1 d 2 d 1.r 1 r 2 r m-1 r m 所表示的數為 d n x B n-1 + d n-1 x B n d 2 x B 1 + d 1 x B 0 + r 1 x B -1 + r 2 x B r m-1 x B-(m-1) + r m x B -m 二進位表示法 :B=2 註 : 若數值表示成 d n d n-1 d 1 d 0.r -1 r -2, 則次方更一致 計算機概論 6

7 計算機概論 7 二進位 十進位 十六進位 B A 十進位 F E D C 十六進位二進位十六進位二進位十進位

8 一個字根問題 Octal 八進位 ;Decimal 十進位 Oct- 這個字根代表 8;Dec- 這個字根代表 10 為什麼 October 不是八月而是十月? 為什麼 December 不是十月而是十二月? 計算機概論 8

9 因為插入了七月和八月 July 源於凱撒 (Julius Caesar) 之名, 在凱薩之前就有曆法, 那時是以 March 為一年的開端, 而 July 是第十五個月 ; 凱撒修改曆法後, 將一年的開始訂為 January, 而將 July 提升到第七位, 這個改變一直沿用至今 凱撒的繼承人奧古斯都 (Augustus) 去世後, 羅馬元老院決定將他列入 神 的行列, 並且將 8 月稱為 奧古斯都 月, 這也是歐洲語文中 8 月的來源 那二月為什麼只有二十八天呢? 計算機概論 9

10 二月被砍過兩天 二月為什麼通常只有二十八天? 凱撒 (Julius Caesar) 修改曆法時, 本來規定每年十二個月裡, 逢單是大月三十一日, 逢雙是小月三十日, 但是這樣算下來, 一年就變成三百六十六日, 所以必須設法在一年中扣去一天 那時候判處死刑的人犯均在二月分執行, 因此人們認為二月是不吉利的月分, 既然要扣除一天, 那麼就由二月分來扣掉, 讓不吉利的日子減少一天, 因此二月分就成了二十九日 七月是逢單為大月三十一日, 為了讓八月也偉大, 就改為大月三十一日 糟了! 又多出一天怎麼辦? 那還是由二月分來扣除, 因此結果二月分就變成二十八日 計算機概論 10

11 2-3 各種進位表示法的轉換 二進位轉十進位 所對應的十進位數為 計算機概論 11

12 十進位整數轉二進位 十進位 181 所對應的二進位數為 計算機概論 12

13 十進位小數轉二進位 十進位 所對應的二進位數為 計算機概論 13

14 十進位 0.1 的 二進位表示法 為何? 十進位 0.1 所對應的二進位數為無窮位數的 計算機概論 14

15 二進位轉十六進位 二進位數換成十六進位數時, 每四個位數合成一項 計算機概論 15

16 二進位轉十六進位 的十六進位表示法為 1B5.D8 16 計算機概論 16

17 十六進位轉二進位 1B5.D8 16 的二進位表示法為 計算機概論 17

18 2-4 整數表示法 表 2-2: 以 8 位元所表示的 無正負符號的整數 位元字串 十進位數 計算機概論 18

19 帶正負符號大小表示法 表 2-3: 以 8 位元所表示的 帶正負符號大小表示法 位元字串 十進位數 計算機概論 19

20 一補數表示法 給定一個十進位數值, 轉換成它的一補數表示法步驟如下 : 步驟 1 先忽略其符號, 將數字的部分轉成二進位數值 步驟 2 若該二進位數值超過 n - 1 個位元, 則為 溢位 (overflow), 無法進行轉換 ; 否則在它的左邊補 0, 直到共有 n 個位元為止 步驟 3 若所要轉換的數為正數或零, 則上步所得數值即為所求 ; 若為負數, 則將每個位元做補數轉換, 原為 0 的轉成 1; 原為 1 的轉成 0 ( 好像打拱猪時的猪羊變色 ) 計算機概論 20

21 -41 的一補數表示法為 計算機概論 21

22 一補數轉十進位 如果最左邊的位元是 0, 則表示該數是正數, 只要將後面的位元以前面介紹的二進位轉十進位方式求出其數值即可 如果最左邊的位元是 1, 則表示該數是負數, 先將每個位元做補數轉換, 原為 0 的轉成 1; 原為 1 的轉成 0 然後將該二進位轉成十進位, 再加上一個負號即可 範例 9 給定一補數 , 因為最左邊的位元是 1, 所以我們先將這補數原為 0 的轉成 1; 原為 1 的轉成 0, 得 再將二進位的 轉成十進位的 41, 然後加上一個負號得 -41 計算機概論 22

23 二補數表示法 給定一個十進位數值, 轉換成它的二補數表示法步驟如下 : 步驟 1 先忽略其符號, 將數字的部分轉成二進位數值 步驟 2 若該二進位數值超過 n - 1 個位元, 則為 溢位 (overflow), 無法進行轉換 ; 否則在它的左邊補 0, 直到共有 n 個位元為止 步驟 3 若所要轉換的數為正數或零, 則上步所得數值即為所求 ; 若為負數, 則最右邊的那些 0 及最右邊的第一個 1 保持不變, 將其餘的每個位元做補數轉換, 原為 0 的轉成 1; 原為 1 的轉成 0 計算機概論 23

24 40 和 -40 的二補數表示法為何? 範例 的二補數表示法為何? 第一步先將 40 轉成二進位數值 ; 第二步在二進位數值左邊補上 0, 使得 共有 8 個位元, 因為要表示的數為正數, 所以 即為所求 範例 的二補數表示法為何? 第一步先將 40 轉成二進位數值 ; 第二步在二進位數值左邊補上 0, 使得 共有 8 個位元 ; 這時所要表示的數為負數, 所以最右邊的三個 0 及第一個 1 維持不變, 其餘的將原為 0 的轉成 1; 原為 1 的轉成 0, 得 計算機概論 24

25 二補數轉十進位 如果最左邊的位元是 0, 則表示該數是正數, 只要將後面的位元以前面介紹的二進位轉十進位方式求出其數值即可 如果最左邊的位元是 1, 則表示該數是負數, 保留最右邊的那些 0 及最右邊的第一個 1, 將其餘的每個位元做補數轉換, 原為 0 的轉成 1; 原為 1 的轉成 0 然後將該二進位轉成十進位, 再加上一個負號即可 範例 12 給定二補數 , 因為最左邊的位元是 1, 所以我們先保留最右邊的那三個 0 及最右邊的第一個 1, 再將其他的位元原為 0 的轉成 1; 原為 1 的轉成 0, 得 再將二進位的 轉成十進位的 40, 然後加上一個負號得 -40 計算機概論 25

26 二補數表示法位元字串與數值的對應關係 計算機概論 26

27 二補數表示法的兩正數相加 計算機概論 27

28 二補數表示法的一正一負相加, 且結果為正 二補數表示法的一正一負相加, 且結果為負 計算機概論 28

29 二補數表示法的兩負數相加 二補數表示法的兩正數相加結果超過正數儲存範圍 計算機概論 29

30 二補數表示法的兩負數相加結果小於負數儲存範圍 -40 的二補數表示法正好是 計算機概論 30

31 為何二補數可以這樣做運算 假設是 n bits 正數 + 正數 ( 和一般情況一樣 ) 負數 (-x) + 負數 (-y) -x 在二補數表示值為 2 n -x -y 在二補數表示值為 2 n -y 2 n -x + 2 n -y = 2 n + (2 n -(x+y)) 進位 -(x+y) 的二補數表示法 計算機概論 31

32 為何二補數可以這樣做運算 ( 續前頁 ) 正數 (x) + 負數 (-y) -y 在二補數表示值為 2 n -y 得 2 n +x-y (1) x >= y x-y 為正值或 0;2 n 為進位 (2) x <y 2n+x-y = 2n-(y-x) -(y-x) 的二補數表示法 計算機概論 32

33 2-5 浮點數表示法 IEEE 754 標準 單倍精準數 符號 指數部分 尾數部分 雙倍精準數 符號 指數部分 尾數部分 計算機概論 33

34 單倍精準數 符號位元 指數部分 尾數部分 1 個位元, 以 0 表示正數 ; 以 1 表示負數 8 個位元, 以過剩 127(Excess 127) 方式表示 23 個位元, 從標準化的小數點後開始存起, 不夠的位元部份補 0 計算機概論 34

35 浮點數表示法 範例 19 給定一實數 , 先轉換成 , 因為是正數, 所以符號位元為 0, 其尾數部分為 , 指數部分為 4, 以過剩 127 方式儲存, 必須先加上 127, 得 131, 再將 131 轉換成二進位, 得 因此 若按 IEEE 754 標準儲存, 為 範例 20 實數 的浮點數表示法 實數 的浮點數表示法 又是如何儲存呢? 先轉換成 , 因為是負數, 所以符號位元為 1, 其尾數部分為 0011, 指數部分為 -3, 以過剩 127 方式儲存, 必須先加上 127, 得 124, 再將 124 轉換成二進位, 得 因此 若按 IEEE 754 標準儲存, 為 計算機概論 35

36 浮點數表示法的數值 範例 21 在 IEEE 754 標準下, 所儲存的數值為多少呢? 首先, 位元符號為 0, 所以是正數, 指數部分是 , 換成十進位為 133, 再減去 127, 得 6, 因此, 所儲存的數值為 , 也就是 範例 22 在 IEEE 754 標準下, 所儲存的數值為多少呢? 首先, 位元符號為 1, 所以是負數, 指數部分是 , 換成十進位為 5, 再減去 127, 得 -122, 因此, 所儲存的數值為 計算機概論 36

37 請試試下面的例子 (IEEE 754 單倍精準數表示法 ) ( 芃安助教提供的驗算網址 ) 計算機概論 37

38 IEEE 754 單倍精準數 0 的公訂表示法為 也是 0( 代表 -0) 指數部分的 -127( ) 和 +128( ) 做為特殊用途 最小的正數為 其數值為 最大的正數為 其數值為 ( )x2 127 計算機概論 38

39 2-6 ASCII 及 Unicode 在電腦裡, 所有的文字也存成位元字串, 因此我們必須有公訂的對照表, 以便我們能在儲存時將文字轉成位元字串, 而在解讀時能將位元字串轉回文字 ASCII Unicode Big5 GB EBCDIC 計算機概論 39

40 ASCII (7 位元 ) 計算機概論 40

41 Unicode What is Unicode? Unicode provides a unique number for every character, no matter what the platform, no matter what the program, no matter what the language. 萬國碼係啥米碗糕啊? 每個字符在萬國碼中有個唯一的代號無論在哪種機器上無論在哪個程式裡無論用哪種語言 計算機概論 41

42 Unicode 已發展出多種編碼方式 : UTF-8 分別以 : UTF-16 UTF-32 8 位元 16 位元 32 位元 為基本單元的編碼方式 UTF-8 在全球資訊網最通行,UTF-16 為 Java 及 Windows 所採用, 而 UTF-32 則為一些 Unix 系統使用 e.g. 在 UTF-16 編碼方式中 : 趙 (8D99) 坤 (5764) 茂 (8302) 計算機概論 42

43 Unicode 符號對照表 範圍 F F FF 0E00-0E7F 0E80-0EFF FF FF FF FFF 代表的字符群基本拉丁字符 ( 與 ASCII 相同 ) 擴充的拉丁字符希臘字符泰文寮文數學符號方塊圖形及幾何圖形平假名及片假名 CJK; 中文 日文及韓文之漢字 計算機概論 43

44 Unicode 官方網頁 計算機概論 44

45 從造字程式找 計算機概論 45

46 從造字程式找 ( 續 ) 按確定選擇字碼 從視窗欄選參照 在形狀區輸入中文字 計算機概論 46

47 Unicode Translation Format 在實際應用上,Unicode 並非皆以 16 位元儲存字元, 讀者可參照 Wikipedia 上的相關條目 UTF-8( 以 8 位元為基本編碼單元的 Unicode Translation Format)vs. UTF-16( 以 16 位元為基本編碼單元的 Unicode Translation Format) 在 UTF-8 的編碼方式中, 傳統的 ASCII 字符仍以一個位元組儲存 ( 位元組首位為 0, 後面的 7 位元為原 ASCII 的編碼 ) 例如 : A 的 UTF-8 為 41 UTF-16 則為 0041 在 UTF-8 的編碼方式中, 其餘非 ASCII 字符, 再依類別而有不同長度的編碼方式 例如 : 趙 的 UTF-8 為 E8B699 UTF-16 則為 8D99 MadEdit 是一個免費的跨平台編輯軟體, 它可檢視各個字符在不同編碼法下的十六進位數值 ( 感謝大葉大學李立民教授來函介紹 ) 計算機概論 47

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