統計的データ解析　誤差、母集団、誤差伝搬、最尤法

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仑叮杨
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1 統計的データ解析林田清 ( 大阪大学大学院理学研究科 )

2 実験データの統計処理基本となる考え方誤差について母集団と標本平均値と標準偏差誤差伝播最尤法平均値につく誤差いろいろな確率分布最小二乗法カイ二乗フィット検定と推定 ( 時間があれば ) モンテカルロシミュレーションの基礎

3 セミナーの方針林田が概念を説明次週までの問題を各自 ( 少なくとも M は必ず ) 解く問題の解答を発表次の章の説明へ最終試験問題は参加者に考えてもらう予定説明資料は web に順次掲載していく参考書 ( 他にもあれば紹介してほしい ) 誤差解析入門, Joh R. Taylor ( 東京化学同人 ) 実験精度と誤差, N.C. バーフォード ( 丸善 ) Data reducto ad error aalyss, Bevgto & Robso Numercal Recpe C, ( 技術評論社 ) 後半では演習の回を設ける演習で使用する予定のソフト oocalc, Ecel qdp, guplot spec ds45, root

4 誤差 (Error): 真の値からのずれ測定誤差物差しが曲がっていた測定する対象が室温が低いため縮んでいた g の単位までしかデジタル表示されない計りで g 以下計りの目盛りを読み取る角度によって値が異なる統計誤差放射線源を検出器で測定したときの計数率テレビの視聴率偶然誤差 (Radom Error) と系統誤差 (Systematc Error)

5 測定値の分布測定値の分布 6 5 頻度分布 = ヒストグラム頻度 4 3 個の測定値,,, の分布例えば本の棒の長さを人の人が同じものさしを使って測定する ( 同じ設計で製作した ) 本の棒の長さ個の放射線源について分間あたりの放射線の検出個数を回測定するある振り子の振動周期を回測定する分布の広がりが誤差を表す

6 母集団と標本母集団同じ条件で無限回の測定を繰り返したときの測定値の分布 ( 極限頻度分布 ) 実際には無限回の測定は不可能極限頻度分布は存在すると仮定する測定は母集団から標本を採取する操作採集された標本から母集団の分布パラメータを推定するのが統計的解析真の値は不可知

7 平均値標準偏差回の ( 独立な ) 測定,,..., 各々の誤差はわざわざ標本のといわないのが普通 ( 標本の ) 平均値母集団の平均 μ = = lm ( μ) その他中央値最頻値 ( 標本の )( 不偏 ) 分散 (= 標準偏差 ) lm s ( ) *) 不偏分散に対して ( ) を標本分散とよぶこともあるので注意母集団の分散

8 標本の分散 ( 標準偏差 )( なぜ - で割るのか?) 平均 jの平均 s j ( ) j= ( j) + j + j 二項間の分散の和 Δj + j = ( j) = ( ( ) ( j ) ) = ( ) + ( ) ( )( ) Δ = Δ ( 不偏 ) 分散 s 標準偏差 s ( j j ) = ( ) ( ) j= ( + ( j ) ( )( j ) ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( j ) j=

9 f( u, v,...) = lm ( ) ( u u) + ( v v) + u v = 誤差伝播 lm ( u u) + ( v v) + u v lm ( u u) + ( v v) + ( u u)( v v) + u v u v u = lm ( u u), v lm ( v v) = = uv lm [( u u)( v v) ] (covarace) 共分散 u + v + + uv + u v u v 測定値 u,v の関数としてが定義されているときの誤差は u,v の測定誤差からどう計算 ( 伝播 ) されるか

10 誤差伝播 lm ( )( ) uv [ u u v v ] u v uv u v u v u と v が独立のとき ( 相関がないとき ) 共分散 uv はゼロ u v + + u v

11 誤差伝播 3 足し算引き算誤差は同じバックグランドの引き算で誤差が大きくなるかけ算 = u+ v あるいは = u v = + u v 相対誤差の大きい成分が全体の誤差を決める = uv = uv + vu = u v + u v u v

12 平均値の誤差 (Error) 不確かさ (Ucertaty) 回の ( 独立な ) 測定,,..., 各々の誤差は標本平均値誤差伝播則を使うと標本平均値の誤差は = = 測定を N 回繰り返して平均を取ることで ( 偶然 ) 誤差を / に小さくできる

13 最尤法 (Mamum Lkelhood Method) 回の ( 独立な ) 測定,,..., を考える母集団が平均値 μ 標準偏差の正規 ( Gauss) 分布の場合回の測定で + d の値を観測する確率は dq = Pd μ P ep π ここで μ は不可知推定値は μ',,..., の組が得られる ( 得られた ) 確率を尤度とよぶ尤度が最大になるようなμ ' が最もよい推定値と考えるこれが最尤法 (Mamum Lkelhood Method) の考え方最尤法 ( 正規分布の場合の例 )

14 最尤法平均値 μ' 標準偏差 ' = の正規分布を仮定するとを観測する確率は μ ' P ( μ ') = ep π 回の測定で,,..., を観測する確率 ( 尤度 ) は P( μ') = P( μ') 考え方 : 最も確率の高い標本分布 ( 測定値の組 ) が実現されているはず μ ' = ep π P( μ') を最大にするμ' が最も確からしいμの推定値最尤法 ( 正規分布の場合の例 )

15 最尤法 3 最も確からしい母集団平均 (mea) の推定値は加算平均 (average) ( ') ' ' 0 ' ' P X X dx d μ μ μ μ μ = = = = = = = = を最大にすることは次のを最小にするのと同じ最尤法 ( 正規分布の場合の例 )

16 問題 A. 独立でない測定値 u,v とその関数 =f(u,v) の具体例をひとつあげよこの例において誤差伝搬則で共分散を無視するか考慮するかでの誤差が過大評価されるか過少評価されるか定性的に述べよ. あるきめられた時間 T(s) の間に個の放射線検出器を用いて放射線源の強さを測定するソースを測定しているときの ( バックグランド込みの ) カウントレートの期待値が r(c/s), ソースを外したときのカウントレートの期待値が b(c/s) であるとき時間 T のうちでソース測定の時間をいくらにとるのが最適か? 3. ある本の棒の長さに関して,,, の回分の測定値がある測定誤差は全て等しいと仮定してこの棒の長さを最尤法で推定せよ ( 結果自体は当たり前の答え ) 4. 独立な二つの測定量,y が, y の誤差をもっているとき +y の誤差は誤差伝搬則を使うと sqrt( + y ) とかける,y が正規分布に従うことから出発してこれを証明せよ (Taylor の本の p.53 を参照 ;5.53 式は / 間違い?)

untitled

untitled Ⅲ 利用の手引き 2. 財務比率等の解説と度数分布の修正箇所について部門の度数分布について下記の箇所に誤りがありました修正箇所 : 階級範囲全体の最頻値上下 2.5% 削除後の最大値から変動係数の全て 38.3 25.0 35.0 40.0 45.0 50.0 55.0 60.0 65.0 70.0 249.5 24.9 29.9 34.9 39.9 44.9 49.9 54.9 59.9

統計的データ解析 誤差、母集団、誤差伝搬、最尤法

統計的データ解析　誤差、母集団、誤差伝搬、最尤法