338 似. 此外, 中心性指标是衡量网络节点重要性最为广泛采用的方法 [49], 其中, 度中心性指标是最基本的节点排序方法, 由于缺乏考虑节点的全局重要性而不能准确识别关键节点 ( 如 桥连接 节点 ). 相比之下, 介数中心性指标可以从全局角度评价节点在整个网络中的重要性, 但是该方法的计算复

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1 第 49 卷第 2 期 2014 年 4 月西南交通大学学报 JOURNAL OF SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY Vol. 49 No. 2 Apr 文章编号 : (2014) DOI: / j. iss 基于传输效率矩阵的复杂网络节点重要度排序方法 范文礼, 刘志刚 ( 西南交通大学电气工程学院, 四川成都 ) 摘要 : 为了提高网络节点重要度评估的准确性, 应用复杂网络理论, 通过分析非邻接节点对节点重要度评估产生的重要影响, 提出了一种基于网络传输效率矩阵的节点重要度排序方法. 该方法综合了节点的局部重要性和全局重要性, 弥补了节点重要度贡献只依赖于邻接节点的不足. 在 ARPA 网络上对连续移除重要节点的连锁故障进行了仿真. 结果表明, 相比于节点重要度评价矩阵法, 采用本文方法在移除最重要的 2 个节点后网络的最大连通子图规模降低了 23. 8%, 该结果进一步验证了本文方法的准确性. 关键词 : 复杂网络 ; 效率矩阵 ; 重要度贡献 ; 节点度中图分类号 :TN 文献标志码 :A Rakig Method for Node Importace Based o Efficiecy Matrix FAN Weli, LIU Zhigag (School of Electrical Egieerig,Southwest Jiaotog Uiversity,Chegdu ,Chia) Abstract:I order to improve the accuracy of the ode importace evaluatio i complex etworks,a ovel evaluatio method based o efficiecy matrix was proposed through aalysis of the impact of o adjacet odes o the ode importace evaluatio by usig the complex etwork theory. This method combied both the local ad global ode importace comprehesively,ad overcame the limitatios of depedig o just the adjacet odes i the ode importace evaluatio. The cascadig failures by removig importat odes o the ARPA etwork show that whe the top 2 importat odes are removed,the size of the biggest subgraph based o the proposed method falls by 23. 8% compared with that based o the ode importace evaluatio method,which further verifies the accuracy of the proposed method. Key words:complex etworks;efficiecy matrix;importace cotributio;degree 复杂网络理论是复杂性科学中新兴的网络科学, 可以从网络拓扑结构的角度分析 网络结构与网络功能 之间的关联. 不同的网络结构决定了不同的网络功能 [1], 例如无标度网络相比随机网络, 当发生随机故障时具有更强的鲁棒性 ; 当发生蓄意攻击时又表现出了极高的脆弱性. 因此, 有效识别 导致网络脆弱性的关键节点对于提高网络的鲁棒性至关重要. 著名的 PageRak 算法 [2] 与 HITS(hypertext iduced topic search) 算法 [3] 是信息检索领域最为常用的节点排序算法, 但该类算法主要针对有向网络, 在无向网络中的计算效果与度中心性的效果类 收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 (U , , ); 教育部新世纪优秀人才支持计划资助项目 (NECT ); 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目 (SWJTU11CX141) 作者简介范文礼 (1980 -), 博士研究生, 研究方向为复杂网络 电力系统运行分析与控制, fawelihp@ 163. com 通讯作者 : 刘志刚 (1975 -), 男, 教授, 博士, 博士生导师, 研究方向为现代信号处理及其在电力系统和牵引供电系统中的应用, liuzg_cd@ 126. com 引文格式 : 范文礼, 刘志刚. 基于传输效率矩阵的复杂网络节点重要度排序方法 [J]. 西南交通大学学报,2014,49(2):

2 338 似. 此外, 中心性指标是衡量网络节点重要性最为广泛采用的方法 [49], 其中, 度中心性指标是最基本的节点排序方法, 由于缺乏考虑节点的全局重要性而不能准确识别关键节点 ( 如 桥连接 节点 ). 相比之下, 介数中心性指标可以从全局角度评价节点在整个网络中的重要性, 但是该方法的计算复杂度较高. 实际上, 网络节点的重要度不仅和节点局部重要性有关, 而且与其在网络中所处位置以及节点之间的相互依赖程度密切相关 [1011]. 文献 [10] 在考虑节点局域重要性 ( 度值 ) 的基础上, 结合节点的位置信息 ( 介数 ) 提出了重要度贡献矩阵的概念, 以表征节点间的相互依赖关系并用于评价节点的重要度. 但是, 该方法将节点重要度贡献值平均分配给邻接节点, 且与节点度值成反比, 不切合实际. 文献 [11] 综合考虑了节点的效率 度值以及邻接节点的重要度贡献. 文献 [1011] 均认为节点间最直接 最重要的依赖关系仅存在于邻接节点之间. 实际上, 如果存在非邻接节点之间的相互依赖程度高于邻接节点, 那么非邻接节点之间的相互依赖就不容忽视. 基于以上考虑, 借鉴文献 [1011] 中节点重要度贡献的思想, 本文提出一种复杂网络节点重要度排序的新方法. 该方法不仅考虑了邻接节点之间的相互作用, 而且考虑了非邻接节点通过最有效路径对待评估节点的重要度贡献, 从而使节点重要度评价结果更为精确. 通过在 ARPA(advaced research project agecy) 网络中的仿真分析, 验证了该算法的准确性和有效性. 本文进一步分析了网络传输效率强度对节点重要度排序结果的影响, 并根据最优传输效率强度将本文算法和文献 [11] 算法在连锁故障仿真中进行了评价结果准确性对比. 1 理论基础假设无向无权网络用图 G = (V,M) 表示, 其中 : 图 G 中包含 个节点,m 条边,V 表示图中节点的集合,V ={v 1,v 2,,v },M 表示图中边的集合,M ={m 1,m 2,,m }. 定义 1 节点度值 k. 节点 v i 的度 k i (i ) 是指该节点与邻接节点之间连接边的数目. 定义 2 最有效路径. 节点间的最有效路径是网络中信息传播最直接 最有效的路径. 在本文所研究的无权网络中, 最有效路径等价于最短路径, 即节点对之间所含边数最少的路径. 节点对 (v i,v j ) 间最短路径上所含边的数量定义为该节点对之间 西南交通大学学报第 49 卷的距离, 用 d ij 表示. 定义 3 节点效率. 节点 v i 的效率值 e i (i ) 大小用于描述该节点在网络中的中心化程度, 表征该节点到达网络其它节点的难易程度, 定义形式为 e i = 1 1. j = 1,j i d ij 节点 v i 的效率值越大, 说明该节点处于网络中心位置的程度越高, 那么它在信息或能量的传输中所起的作用越大, 对应的重要性就越高. 定义 4 传输效率. 节点对 (v i,v j ) 之间的传输效率 e ij (i,j ) 与两节点之间的最有效路径长度成反比. 节点间的相互作用 影响的程度直接依赖于节点对间的传输效率, 基于传输效率的节点重要度贡献能够更好地反映节点之间的相互依赖关系. 由于实际中节点对间的重要度贡献强度和传输效率存在着错综复杂的非线性关系, 可以把节点对间存在的这种关系用非线性函数描述, 即 e ij = 1 dij, {1,2,,}, 其中 : 为传输效率控制参数. 由此, 具有 个节点网络的全点对间的传输效率矩阵可表示为 e 11 e 12 e 1 e 21 e 22 e 2 E = e 1 e 2 e. (1) 2 问题的提出复杂网络中任何一个节点都并非孤立存在, 而是受到网络其它节点的约束和影响. 节点间的这种影响关系可以采用节点间重要度贡献的形式进行描述 [10], 其它节点可能是邻接节点, 也可能是非邻接节点. 对于某一给定节点, 如果非邻接节点的重要度贡献大于邻接节点的贡献, 那么在计算节点重要度贡献时需要将非邻接节点的重要度贡献考虑在内. 下面以中国教育和科研计算机网 (CERNET) 上病毒传播为例, 探讨邻接节点与非邻接节点在节点重要度贡献上存在的差别. 在图 1 网络中, 可以用节点的度作为病毒传播的强度, 节点间传输效率作为病毒传输到特定节点的传输能力. 综合考虑病毒强度和传输效率, 可以将节点 v j 对节点 v i 的重要度贡献定义为 h ij = k j e ij,

3 第 2 期范文礼等 : 基于传输效率矩阵的复杂网络节点重要度排序方法 339 此时 = 1. 通过效率矩阵计算, 在该网络中, 以节点 v 19 为例, 将其邻接节点 v 18 h 1 与非邻接节点 v 27 作为病毒传播源点, 可以分析得 h H = 2 = E e = 出节点 v 19 受邻接节点与非邻接节点在重要度贡献 上存在的差异, 病毒源点 v 27 对节点 v 19 的影响程度 h 明显高于病毒源点 v 18 对其的影响程度, e 11 e 12 e 1 e 1 h = 12 1 / 2 > h = 2 1. e 通过该例的分析过程可知, 在实际网络中存在 21 e 22 e 2 e 非邻接节点的重要度贡献高于邻接节点的情况. 为 2. (2) e 了更全面准确地评价节点的重要度, 本文提出了全 1 e 2 e e 网络节点间重要度贡献的理念并用于节点重要程由此可得, 节点 v i 在全网的相对重要程度为度的评价中, 以改进以往研究中仅考虑邻接节点间 h i = h ij, (3) 存在重要度贡献的情况 [1011] j = 1,j i. 式中 :h ij 表示节点 v j 对节点 v i 的重要度贡献, h ij = e ij e j. 由式 (3) 可知, 网络节点 v j 对节点 v i 的重要度贡献程度与节点间的传输效率 节点 v j 的效率密切相关. 如果 e ij 越大,e j 越大, 则节点 v j 对节点 v i 的重要度贡献就越大. 本文在考虑全网络节点重要度贡献的基础上, 结合节点本身的局域重要性 ( 度值 ), 可以定义节点的重要度贡献矩阵为 图 1 CERNET 拓扑结构 [12] Fig. 1 Topology of the CERNET etwork [12] 3 节点重要度评估算法节点度用于描述节点在网络中的直接影响力, 节点效率用于评价节点在网络中的中心化程度. 本文综合考虑节点的局部重要度和全局重要度, 利用节点的效率和传输效率矩阵计算网络节点的重要度贡献表征节点间的相互影响程度, 弥补了文献 [1011] 中只考虑在邻接节点之间存在相互作用而造成评价结果不准确的不足 评估算法一个节点的重要度依赖于网络其它节点对其的重要度贡献程度. 由于节点之间的重要度贡献可以通过不同的路由传播, 如何选择相互作用路径 ( 即重要度贡献的路径 ) 就成为影响评判结果准确性的关键问题. 本文选取节点间的最有效路由作为节点间相互作用最主要的作用路径, 并且利用节点效率作为其对全网节点重要度贡献的基准. 因此, 网络中每个节点依赖于其余节点的程度 (H) 可以 d 1 d D = 2 d k 1 k = 2 k h 1 h 2 h 归一化后节点 v i 的重要度为 k i. (4) (e ij e j ) d i j i d i = = d l (k l = 1 l = 1 l (e lm e m )) (5). m l 3. 2 算法流程一般而言, 相互连通节点之间的依赖关系最简单的形式是存在于邻接节点之间. 但是, 如果非邻接节点具有较大的传输效率, 同时具有较大的贡献值, 那么非邻接节点就会产生比邻接节点更明显的重要度贡献. 本文综合考虑影响节点重要度的度值 节点效率以及全网络节点之间的重要度贡献, 提出了基于传输效率矩阵的节点重要度评价算法. 节点重要度评价的简单算法步骤如下 : 步骤 1 根据定义 3, 计算节点的效率值, 并写入节点重要度贡献矩阵式 (2); 步骤 2 根据定义 4, 计算所有节点对之间的传输效率, 并写入式 (2); 步骤 3 根据式 (3), 计算网络所有节点的相

4 340 西南交通大学学报对重要度值, 并写入节点重要度矩阵式 (4), 并根据定义 1, 计算所有节点的度值 ; 步骤 4 根据式 (5), 计算网络中所有节点的 重要度. 将步骤 4 中得出的节点重要度按照从大到小的顺序进行排序, 排在前边的节点即为相对重要的节点 算法复杂度分析对于一个具有 个节点 m 条链路的网络, 本文算法的时间复杂度取决于最短路径的计算. 考虑实际网络具有稀疏性的特点, 提出应用快速最短路径算法 (SPFA,shortest path faster algorithm) [13] 作为节点间效率和效率矩阵计算的求取算法. SPFA 的时间复杂度为 O(e) [13], 由于该算法是单源最短路径算法, 而本文需要计算全点对的最短路径, 故整个算法的时间复杂度为 O(e) [13]. 又由于平均度?k?= 2e /, 故本文所提算法的时间复杂度为 O(?k? 2 ). 当网络为稀疏网络时,?k?, 整个算法的时间复杂度可以达到 O( 2 ), 相比经典的 Floyd 算法具有更大的优势. 4 算例分析 4. 1 算法有效性分析在网络节点重要度评估中, 美国 ARPA (advaced research project agecy) 网络是最典型的网络模型. 该网络的拓扑结构 ( 图 2) 有 21 个节点, 26 条边,?k? 图 2 ARPA 网络拓扑结构 Fig. 2 Topology of the ARPA etwork 本文以 ARPA 网络为例对本文算法进行了验证, 并将计算结果与分别采用节点删除法 [6] 和节点重要度评价矩阵法 [11] 的计算结果进行对比, 结果如表 1 所示. 从表 1 的对比分析可知, 本文算法可以避免文献 [6] 中不能准确区分节点 v 7 ~ v 11 之间重要度差别的缺陷. 从图 2 中可以发现, 节点 v 7 和 v 11 相比节点 v 8 ~ v 10 更处于网络的核心位置, 故其重要度明显高于节点 v 8 ~ v 10, 而本文算法可以有效区分 v 7 ~ 第 49 卷 v 11 之间的重要度差异. 另外, 从表 1 中还可以发现, 本文算法可以得出与其他 2 种方法基本一致的前 5 个重要节点, 说明了本文算法的有效性. 由于 3 种算法判断节点重要度的侧重点不同, 故结果略有差异. 但是, 通过对比表 2 中分别删除网络对应节点后网络平均效率的变化程度不难发现, 删除节点 v 3 后造成的网络平均效率下降程度远大于删除节点 v 2 时的情况, 说明节点 v 3 的重要度最大, 并且同时发现节点 v 14 的重要度要大于节点 v 2. 因此, 本文算法相比文献 [11] 的结果具有更高的准确性. 表 1 Tab. 1 节点删除法 [6] 节点值 ARPA 网络节点重要度评估结果 Evaluatio result of ode importace i the ARPA etwork 重要度评价矩阵法 [11] 节点值 本文算法 ( = 1) 节点值 表 2 Tab. 2 删除相应节点后网络平均效率值对比 Compariso of the average efficiecy before ad after removig ode 网络形式初始网络删除 v 2 删除 v 3 删除 v 14 网络平均效率 算法在连锁故障中的进一步验证复杂网络中节点通过连边的相互作用是其复杂性的重要体现, 并且节点间通过最有效路由进行相互影响是最直接的作用形式. 本文利用效率矩阵

5 第 2 期范文礼等 : 基于传输效率矩阵的复杂网络节点重要度排序方法计算网络节点之间重要度贡献, 并定义了节点重要性的评价标准. 效率矩阵体现了网络任意两节点间信息或能量传输的能力, 此能力与最短路径长度成非线性反比关系. 通过调节参数, 可以控制传输强度. 为了衡量本文算法在不同参数 下的最优值, 分别在 ARPA 网络 WS 网络 ( = 100,k = 4, p = 0. 2) BA 网络 ( = 100,m = 2) 上进行了连锁故障仿真对比, 仿真过程为连续删除节点重要度最大的前 2 个节点, 如图 3 所示. 为了量化网络发生连锁故障后对网络鲁棒性的影响, 本文采用连锁故障发生前后网络最大连通子图的规模之比来表示, 即 G = max, (6) 式中 : max 为故障后网络最大连通子图的规模. 分析图 3 结果发现, 当 = 1 时, 在连续删除剩余网络中的最重要节点后造成网络鲁棒性下降程度最大, 说明在该参数下评价出的结果更为有效. 为了进一步验证本文算法的准确性, 应用本文算法 ( = 1) 与文献 [11] 算法对评价结果进行连锁故障仿真对比, 如图 4 所示. 341 (a)arpa 网络 (b)ws 网络 (a)arpa 网络 (b)ws 网络 图 3 Fig. 3 (c)ba 网络 不同参数下连锁故障的仿真结果 Result comparisos of cascadig failures with differet Fig. 4 图 4 (c)ba 网络 连锁故障中不同节点重要度评价方法的对比 Compariso of differet evaluatio methods for ode importace i cascadig failures 从图 4 可以发现, 应用本文算法计算得出的节

6 342 西南交通大学学报 点重要度评价结果比文献 [11] 中的结果更为有效, 进一步验证了本文算法的准确性. 由图 4(a) 可以看到, 当采用本文算法删除前 2 个最重要节点后网络最大连通子图所含节点数比文献 [11] 中的将降低 23. 8%. 由于实际网络大都具有小世界性和无标度性, 其上的仿真过程对验证本文算法的可行性更具有说服力. 从图 4(b) (c) 中发现, 本文算法更具有普适的可行性. 仿真结果的可行性在 WS 网络中比在 BA 网络中显得更加明显, 主要是由于 BA 网络具有更不均匀的网络结构. 因此, 相比文献 [11] 算法, 本文算法可以作为节点重要度评价的有效算法. 5 结束语复杂网络节点重要度排序是识别关键节点并通过对其加以保护以提高网络抗毁性的有效途径. 排序准确性的关键是能够有效地反映节点之间的相互依赖关系, 利用节点间的传输效率计算节点重要度贡献是最直接的形式. 据此, 本文提出了一种基于传输效率矩阵的节点重要度排序方法. 根据该方法得出的节点重要度排序结果, 通过对比连续移除 ARPA WS BA 网络中的重要节点后网络抗毁性变化, 分析了传输效率强度系数对排序结果准确性的影响. 进一步地, 根据本文方法与文献 [11] 算法的排序结果进行了连锁故障仿真, 结果验证了本文方法在节点重要度排序中的有效性和准确性. 参考文献 : [1] CALLAWAY D S,NEWMAN M E J,STROGATEZ S H,et al. Network robustess ad fragility:percolatio o radom graphs[j]. Phys. Rev. Lett., 2000, 85(25): [2] BRIN S, PAGE L. The aatomy of a largescale hypertextual web search egie[j]. Computer Networks & ISDN Systems,1998,30: [3] KLEINBERG J M. Authoritative sources i a hyperliked eviromet[c] Proceedigs of the Nith Aual ACMSIAM Symposium o Discrete Algorithms, SODA 98, Society for Idustrial ad Applied Mathematics. Philadelphia:[s..],1998: [4] CORLEY H W,SHA D Y. Most vital liks ad odes i weighted etworks[j]. Operatios Research Letters, 1982,1(4): [5] NARDELLI E,PROIETTI G,WIDMAYER P. Fidig the most vital ode of a shortest path[j]. Theoretical Computer Sciece,2001,296(1): 第 49 卷 [6] 陈勇, 胡爱群, 胡啸. 通信网中节点重要性的评价方法 [J]. 通信学报,2004,25(8): CHEN Yog,HU Aiqu,HU Xiao. Evaluatio method for ode importace i commuicatio etworks[j]. Joural of Chia Istitute Commuicatios, 2004, 25(8): [7] 谭跃进, 吴俊, 邓宏钟. 复杂网络中节点重要度评估的节点收缩方法 [J]. 系统工程理论与实践,2006, 26(11):7983. TAN Yueji,WU Ju,DENG Hogzhog. Evaluatio method for ode importace based o ode cotractio i complex etworks[j]. Systems Egieerig:Theory & Practice,2006,26(11):7983. [8] CHEN Duabig,L Liyua. SHANG Migsheg,et al. Idetifyig ifluetial odes i complex etworks[j]. Physica A,2012,391(4): [9] 陈静, 孙林夫. 复杂网络中节点重要度评估 [J]. 西南交通大学学报,2009,44(3): CHEN Jig,SUN Lifu. Evaluatio of ode importace i complex etworks[j]. Joural of Southwest Jiaotog Uiversity,2009,44(3): [10] 赵毅寰, 王祖林, 郑晶, 等. 利用重要性贡献矩阵确定通信网中最重要节点 [J]. 北京航空航天大学学报,2009,35(9): ZHAO Yihua,WANG Zuli,ZHENG Jig,et al. Fidig most vital ode by ode importace cotributio matrix i commuicatio etworks[j]. Joural of Beijig Uiversity of Aeroautics ad Astroautics,2009,35(9): [11] 周漩, 张凤鸣, 李克武, 等. 利用重要度评价矩阵确定复杂网络关键节点 [J]. 物理学报,2012,61(5): 15. ZHOU Xua,ZHANG Fegmig,LI Kewu,et al. Fidig vital ode by ode importace evaluatio matrix i complex etworks[j]. Acta Physica Siica, 2012,61(5):15. [12] 中国教育和科研计算机网网络中心. Ceret 网络结构 [EB / OL]. [ ]. / www. edu. c / ceret _ jia _ jie _ 1327 / / t _ shtml. [13] 段凡丁. 关于最短路径的 SPFA 快速算法 [J]. 西南交通大学学报,1994,29(2): DUAN Fadig. A faster algorithm for shortestptath SPFA[J]. Joural of Southwest Jiaotog Uiversity, 1994,29(2): ( 中文编辑 : 秦瑜英文编辑 : 兰俊思 )

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