以色列希伯莱大学教授罗伯特 奥曼恩 (Robert J.A u m a n n ) 和美国马里兰大学经济学系和公共政策学院教授托马斯 斯基林 (Thomas C.S c h e l l i n g )

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1 博弈论和信息经济学 主讲人 : 李永刚博士 教授 浙江工商大学经济学院

2 以色列希伯莱大学教授罗伯特 奥曼恩 (Robert J.A u m a n n ) 和美国马里兰大学经济学系和公共政策学院教授托马斯 斯基林 (Thomas C.S c h e l l i n g )

3 一 博弈论的研究对象与内容 Game theory : 对策论游戏理论博弈论 1. 社会行为主体 (individual or group of people) 相互关联, 相互依存和相互作用的普遍性 (1) 相互关联 (2) 相互依存 (3) 相互作用

4 2. 对社会行为主体的基本假定 理性人假定 (1) 理性人假定 : 动机自利, 完全理性算计 能力, 效用最大化 ;

5 (2) 既定约束假定 : 偏好既定, 能力与资源禀赋既定 ; (3) 完全信息假定 : 信息是充分的 对称的 完全的, 该知道的都知道 ; (4) 零交易成本假定 ;

6 3. 社会向为主体相互作用的基本类型 (1) 协同合作 (2) 矛盾对抗 4. 博弈论是研究人们矛盾和对抗性关系中的行为决策规律的学科

7 它主要关心的问题 : (1) 在矛盾对抗人们的行为决策是否有规律, 规律如何达到? (2) 人们的行为是不断相对变化还是会趋于稳定和收敛? (3) 稳定和收敛的条件是什么?

8 假设有 x,y 两个人, 且他们的行为选择为 B x,b y, 有 B x =F x (B y ),B y = F y (B x ). * 1 是否存在 (B x*,b y* ) 使 y 选择 B y 时,x * * 选 B x*, 并且同时当 x 选择 B x 时 y 选择 B y? 2 在什么条件下存在 (B x*,b y* )?

9 3 从任意的 (B x,b y ) 开始, 会不会收敛到 (B x*,b y* )? * * * 4 如果 B x 或 B y 有一个微小的扰动, B y * 或 B x 会不会发散? 若 B x =B x* +, 则 B y =F y (B x* + ) 当 * 0 时,B x B x,b y = F y (B x* + ) 是否会 By*

10 如 : 以色列与巴勒斯坦人的博弈, 印度 与巴基斯坦关于克什米尔的争端与博弈 以色列 : 当巴勒斯坦选择人体炸弹爆炸时, 选择侵略与占领 巴勒斯坦 : 当以色列选择侵略时, 选择人体炸弹

11 关于耶鲁撒冷的地位? 阿拉法特是否会作 错误的选择? 哈马斯与以色列该如何选择? 在什么条件下, 以色列和巴勒斯坦都会选择和平? 大陆和台湾的对局博弈 : 统一还是分裂? 台湾检方与陈水扁的博弈

12 二 博弈论的创立与发展 年, 冯 诺依曼 摩根思坦出版了 博弈论与经济行为 一书, 分析了孤岛上的 鲁宾逊 一个人的经济行为选择与社会交换条件下的多人经济行为选择的区别 : 鲁宾逊 面临的是一个普通的极大值问题, 而在多人交换经济中, 结果不仅取决于他自身的行为, 而且取决于其他人的行为选择 冯 诺依曼 摩根思坦发现, 此前的经济学只是研究解决了 鲁宾逊 所面临的单方选择问题, 而没有研究解决经济行为相互依存条件下的行为选择问题

13 纳什的贡献 年 Nash 提出了 Nash 均衡的概念, 并证明了 Nash 均衡的存在 真正奠定了博弈论作为一门学科的基础 之前, 虽然有很多人致力于研究博弈对策的规律, 但总没有得出有意义的成果, 直到 Nash

14 那什

15 (1) 非均衡策略 设当 x 取策略 B x 时,y 的最优对策 B y =F y (B x ), 以及当 y 取策略 B y 时,x 的最优策略 B x =F x (B y ) 设 x 的策略集合为 B x =B x (B x1,b x2,,b xn ) 设 y 的策略集合为 B y =B y (B y1,b y2,,b yn ) 当 x 选择策略 B xn 时,y 选择策略 B ym, 对于 x 的策略 B xn,b ym 不是 y 的最优策略 对于 y 的策略 B ym,b xn 也不是 x 的最优策略

16 1 阿以博弈 2 印巴博弈是为了克什米尔博弈 3 大陆与台湾 4 中日博弈 a. 石油资源 b. 日本加入常任理事国 c. 东海资源 d. 钓鱼岛 e. 靖国神社 因此 x,y 都会变换策略, 这种情况称为非 策略均衡

17 (2) 上策均衡 对 x 来说, 存在一个策略 B xn * B x (B x1,b x2,,b xn ), 对于 y 的任意策略 B ym B y (B y1,b y2,,b yn ),B xn * 都是一个最优策略, 则 B xn * 称为上策 同时对 y 来说, 存在一个策 B ym * B y (B y1,b y2,,b yn ), 对于 B xn B x (B x1,b x2,,b xn ),B ym * 都是 y 的 最优策略,B ym * 亦称为 y 的上策 ( 或超优策略 )

18 当 x 和 y 选择策略组合 (B xn*,b ym* ) 时, x 和 y 谁不会改变策略, 则称这种局面为 上策均衡或超优均衡 孙悟空 72 变, 如来佛手掌心 小孩斗法 三十六计, 走为上计 不变应万变

19 (3)Nash 均衡 设存在一个策略组合 B x 和 B y, 且 B x B x (B x1,b x2,,b xn),b y B y (B y1,b y2,,b yn ), 当 x 选择 B x 时,y 的最优策略选择是 B y, 同时, 当 y 选择 B y 时,x 的最优选择是 B x, 因此,x 和 y 选择了 B x 和 B y 时, 谁都不会再改变策略 这种局面称为 Nash 均衡, 是 Nash 最早提出并证明了它的存在

20 例 1 囚徒困境 (prisoners dilemma) 坦白 B 不坦白 A 坦白 A 不坦白 例 2 中美南海飞机撞击事件的博弈 美道歉美不道歉 中方退还中方不退还

21 例 (3): 智猪博弈 - 搭便车问题 大猪按大猪等 小猪按小猪等 大猪先吃 9, 小猪剩 1, 按的成本为 2, 总食量 10 小猪先吃 4, 大猪剩 6, 同时吃, 大猪 7 小猪 3 问题 : 大猪还是小猪该按按钮?

22 例 (4) 斗鸡博弈 1962 年, 苏美古巴导弹危机, 两国面临的局面与选择美进退 苏 进 退退 -2 ; -2 2 ; 0 0 ; 2 0 ; 0 Nash 均衡与环保问题 : 污染问题 个体理性与整体理性

23 问题 : (1) 鲁宾逊 孤岛 经济与寡头竞争经济区别在哪里? (2) 或者说给定条件下的静态经济世界和竞争动变过程中的经济世界的区别在哪里? (3) 什么是纳什均衡? 纳什均衡与传统经济学的局部均衡和一般均衡方法区别在哪里? (4) 为什么说纳什均衡概念奠定了博弈论的理论基石? (5) 什么是囚徒困境? 囚徒困境说明了什么? 试举更多理性人选择陷入囚徒困境的例子

24 问题 : (5) 试用囚徒困境说明市场可能失效的原因, 以及政府对经济管理调控的作用? 你主张一个完全自由的市场和一个完全无为而治的政府吗? (6) 美国金融危机的原因是什么? 最发达最有效率的美国金融市场为什么出错? 最聪明的美国金融家如何共同做了一件大傻事? (7) 如何可能摆脱和防止囚徒困境 可能的途径与方法? 交流交往协商达成共识或者通过外部控制干预.

25 年, 泽尔腾将动态分析引入 Nash 均衡, 提出了子博弈精练 Nash 均衡的概念 (1) 静态博弈与动态博弈 静态博弈 : 一次性, 同时决策 动态博弈 : 重复性, 可以有先后决策 (2) 多重 Nash 均衡的存在的可能性

26 如 : 恋爱博弈爱男不爱 女爱女不爱 在此有两个 Nash 均衡 :( 爱, 爱 ),( 不爱, 不爱 )

27 (3) 精练 Nash 均衡 排除不可信 的 Nash 均衡 有些 Nash 均衡的可信度 ( 可能性 ) 较低, 因此可以予以排除, 主要考虑那个可性最大 ( 最可信 ) 的 Nash 均衡 如上例 : 如果我知道女朋友非常爱我那么就不需要考虑 ( 不爱, 不爱 ) 的均衡 如果认为女朋友一点也不爱我, 就不需要考虑 ( 爱, 爱 ) 的 Nash 均衡

28 女 不爱 ( 0 0 ) 男 爱 爱 ( 5 5 ) 不爱 ( 0 0 ) 树状扩展型博弈

29 年, 海萨尼研究了不完全信息条件下的静态博弈, 提出了贝叶斯 Nash 均衡概念 (1) 不完全信息 不知道双方支付矩阵, 偏好结构 (2) 高成本在位者和低成本在位者 ( 见书 28 页 ) (3) 贝叶斯 Nash 均衡 在仅有对手的概率 性知识的条件下, 寻求期望效用最大化 年, 泽尔腾等人, 又进一步把贝叶斯 Nash 均衡从静态博弈扩展到动态博弈, 提出了精炼贝叶斯 Nash 均衡的概念

30 (1) 条件概率和贝叶斯公式 PAPBA ()() PAB () PB() (2) 通过对方的行为选择使关于对方的概率 性知识不断精练 (3) 例子 : 黔驴和老虎

31 博弈论的最新发展 6 二十世纪八十年代, 史密斯把生物演化方程 引入博弈论, 提出了演化稳定战略的概念, 使 演化博弈论获得了快速发展. 7 几乎与此同时, 合作博弈理论研究也取得了 突破性进展.

32 三 博弈论与现代经济学 1. 经济学的源流与发展 亚当斯密 李嘉图 萨伊 马克思 边际学派 列宁 数理学派

33 凯恩斯 凯恩斯的心理动机 马歇尔 储蓄偏好 流动性偏好 弗里德曼希克斯萨缪尔森 新古典经济学

34 2. 新古典经济学的理论特征 : (1) 完全信息 (2) 完全理性 ( 自利最大化计算智能 ) (3) 交易成本为零 (4) 既定制度 技术, 市场分工水平 (5) 最优均衡 ( 局部均衡与一般均衡 ) 3. 主流经济学面临的各种理论挑战 (1) 福利经济学家庇古对传统经济学的质疑 外部性与市场失灵 公共产品供给的市场失灵自然垄断产业与政府管制政府管制

35 (2) 信息经济学对经济学的质疑 : 信息不对称与 柠檬市场 问题 (3) 制度经济学对经济学的影响 交易成本与产权制度对市场效率的影响

36 经济学的最新发展 (4) 演化经济学对主流经济学的质疑 (5) 实验经济学对主流经济学的修正 (6) 行为经济学对主流经济学的挑战

37 (7) 博弈论方法对经济学研究方法 和理论视野的变革 研究方法影响 : 从局部和一般均衡转向纳什均衡 研究视野的影响 : 囚徒困境与理性最优

38 囚徒困境 : 个人理性与公共理性的冲突与悖论 公地悲剧 过度猎捕 环境污染 核武器扩散 金融危机 价格大战

39 完全信息静态博弈 一 基本概念 (1) 参与人 行为主体 (2) 行为或战略选择 (3) 完全信息 (4) 信息信念信仰与共同知识 完美信息和完全信息 共同信息 : 你知道我所知道的, 我亦知道你所知道的知识

40 (5) 效用支付 (6) 均衡 每个人的战略选择都是给定其他人战略选择下的最优战略当 n 个人博弈时, 给定 x 的选择 B x*,b y* 是 y 的最优选择, 给定 y 的选择 B y*,b x* 是 x 的最优选择 N 人博弈的 Nash 均衡定义 G={A 1,A 2,A 3,.,A N ;U 1,U 2, U 3,,U N }

41 如果存在一个策略组合 {a 1*, a 2*,,a N* }, 其中 a 1 * A 1, a 2 * A 2,.,a N * A N, 使 U i* =U i {a 1*, a 2*,,a N* } U i {a 1*,,a i-1*,a ij*,a i+1*,a N* } 对 i N 都成立, 则 {a 1*, a 2*,,a N* } 为 Nash 均衡 2. 完全信息静态博弈的特征 (1) 完全信息 : 信息无遮蔽, 透明

42 第一, 你知道, 我也知道 第二, 你知道我知道, 我也知道你知道 博弈者 ( 双方 ) 对博弈规则, 双方偏好与效用支付函数有完全的并且相同的了解 如 : 囚徒困境中,A B 都知道双方选择可能的后果

43 (2) 同时性一次性决策 博弈者同时一次性选择策略 ( 双方都不知道对方选择情况下的选择 ) 3. 上策均衡的类型及上策均衡的确定 (1) 双方上策均衡如 : 囚徒困境 (2) 单方上策均衡如 : 智猪博弈 (P18) (3) 下策循环排除法如 : 囚徒困境 (P64) 4. 强 Nash 均衡与弱 Nash 均衡

44 5.Nash 均衡的求解法 1 离散有限策略博弈 : 划线法严格下策消去法 2 连续无限策略博弈 : 反映函数法 设 :U x =U x (x,y) U y =U y (x,y) x,y,u x,u y 连续,U x,u y 二阶可微

45 2 2 ux uy 并且 <0, <0, 2 2 x y uy 则求解反映函数 : =0 y ux =0 x 其解即为 Nash 均衡

46 (3) 零和博弈的 Nash 均衡 a. 零和博弈 U x + U y =0 ( 损人才能利己 ) b. 负和博弈 U x + U y <0 ( 可能损人而不利己 ) c. 正和博弈 U x + U y >0 ( 利己又不损人, 或利己又利人 )

47 问题 : 以下博弈属于哪类博弈? a. 生产产量博弈无市场 资源约束下 ( 正和博弈 ) 有市场 资源约束下 ( 零和博弈 ) b. 财富分配博弈 ( 财政预算, 奖金分配, 单位分房 ) c. 两男争一女或两女争一男的博弈 d. 权利博弈 ( 强权意志, 权利社会 )( 零和 )( 强权与服从的对称性 ) e. 写诗比赛博弈 ( 正和博弈 ) 画画比赛博弈 ( 正和博弈 ) 学习竞赛博弈 ( 正和博弈 ) 运动竞技博弈

48 第一, 有限离散策略零和博弈 最大最小值方法 : X 给出一个策略 a x, 则 y 会给出一个行动 a y, 使 U x (a x,a y )=minu x (a x,a y ), 而 x 要选择一个 a x*, 使 U x 最大,U x (a x*,a y* )=max minu x (a x,a y )=min maxu x (a x*,a y* ). y 的一个策略 a y,x 却会选一个 a x 使 U x 最大, * 即 U x (a x,ay)=maxu x (ax,ay), 则 y 会选一个 a y 使 U x (a x*,a y* )=minmaxu x (a x,a y )

49 第二, 无限连续策略零和博弈的 Nash 均衡解 U x =U x (X a,y a ) U y =U y (X a,y a ) X a,y a 是连续可微的行为变量 U x,u y 是 X a,y a 的效用函数 ux y 如果 :U x,, 连续 ux y ux x ux x 2 ux y 2 ux 2 x 并且 =0, >0 2 ( 极小值条件 ) =0, <0 ( 极大值条件 ) 则求解反映函数方程

50 对 X 而言 : ux y ux yx =0 =0 极大极小 对 Y 而言 : uy uy =0 =0 极小极大 y xy 则解 x *, y * 是满足最大最小条件的 Nash 均衡解 由于 Ux=-Uy, 所以对 x 而言求得的解与对 y 而言求得的解是等价的, 可以相互推出

51 四 循环相克博弈的 Nash 均衡解法 (1) 什么是循环相克博弈 博弈者的任何一项战略行为都受到对方某种战略 的完全克制, 对手之间的各个战略, 形成相互克制的封 闭环. (2) 循环相克博弈的纯战略 Nash 均衡不存在 石 头 剪子 布 游戏 (3) 循环相克博弈只存在混合战略 Nash 均衡

52 游戏 : 剪刀 - 斧头 - 锤 甲 剪刀 石头 布 乙 剪刀 石头 0 ; 0 1 ; 0 0 ; 1 0 ; 0 1 ; 0 1 ; 0 布 0 ; 1 1 ; 0 0 ; 0

53 何谓混合战略 捣浆糊战略? 设 :,A x ={a x1,a x2,,a xn },A y ={a y1,a y2,,a ym } 设 x 在 A x 中随机选择战略, 且某种战略被选 择概率是, =1, 则 ={ (a x1 ), Xk n k 1 Xk (a x2 ),, (a xn )} 是 x 的混合战略 X X2 XN 同理,y 的混合战略 ={ (a y1 ), (a y2 ),, (a ym )} Y y 1 X 1 y2 ym

54 (4) 混合战略 Nash 均衡的确定原则 无差异原则 即给定我的混合战略, 你的任何战略都是无差异的 同时, 给定你的混合战略, 我的任何战略也都是无差异的 在循环相克博弈中, 均衡的状态就是从彼此克制中摆脱, 使彼此相克转为彼此都不能相克 彼此不被对方克制的状态就是一种双方同时实现最优的状态 因为, 任何一种纯战略都会陷入被对方克制的局面, 只有采取一种混合战略, 才能摆脱相互克制的局面 同时, 这种混合战略还必须使对方的战略都无差异

55 (5) 例 : 政府与流浪汉的博弈找工作流浪 救济不救济 3, -1, 3 2-1, 1 0, 0 通过划线法可知, 上述的博弈的纯战略 Nash 均衡不存在, 但是存在混合战略 Nash 均衡

56 Nash 均衡引起的问题 一 个人理性与整体理性的冲突 个人最优与整体最优 卡特尔 环保 地球路 中美飞机对撞 二 搭便车问题 三 多重 Nash 均衡选择和甄别的存在性 不确定性

57 第一个问题通过重复博弈解决 重复性博弈均衡制成制度坦白从宽牢底坐穿抗拒从严回家过年第二个问题通过博弈解决 子博弈精炼 Nash 均衡 ( 动态博弈 ) 智猪博弈 搭便车

58 例 :1 大户做庄, 小户跟风 2 大户铺路 修桥, 小户跟风 3 大企业创新, 小企业模仿 4 大股东监督, 小股东不管 性别战博弈 俄罗斯与车臣绑匪的博弈

59 一 静态 1. 战略均衡 : 上策均衡 :, Y * 使 U A (X,Y * )>U A (X,Y * ), 同 时 Y, X *, 使 U B (X *,Y)>U B (X,Y) x Nash 均衡 : 给定 X *, Y *, 使 U A (X *,Y * )>U A (X *,Y), 并且 U B (X *,Y * )>U B (X,Y * )

60 2. 博弈种类及均衡解法 1 离散 有限策略博弈 : 划线法 2 连续 无限策略博弈 : 反映函数法 3 零和博弈 : 最大最小法 4 循环相克博弈 : 混合战略

61 当代人类面临的危机及其根源所在 一 核战危险 核扩散 : 印 巴 以 伊朗 朝鲜 中 苏 法 英 美 ( 日本 ) 二 恐怖主义 ( 生物恐怖, 电脑病毒, 核恐怖, 化武恐怖 ) 三 水资源危机 ( 中国北方 ) 四 荒漠化五 大气圈异变 ( 臭氧空洞, 温室效应, 北极冰融 ) 六 病毒侵袭 (SARS,AIDS, 尼罗河 )

62 当代人类面临的危机及其根源所在 问题的原因 : 人类的自利行为 ( 根源于自利理 性 ) a. 人口的繁殖过量 b. 对大自然的过渡侵夺 c. 有污物质的过度排放 d. 国家主义 民族主义已经走到了尽头, 个人主义也已经走到了尽头 地球是我们共同的家园, 人类是一个生存共同体

63 人和命运环境的博弈 人的知识甚少, 而不确定性太多, 所以完全凭信仰来决定 捣浆糊策略, 万精细策略, 西瓜皮策略追求信仰 以不变应万变 人生战略 :a. 以不变应万变, 信仰坚定 b. 随遇而安战略, 脚踹西瓜皮 c. 糊涂战略, 难得糊涂

64 恋爱博弈 : 你爱我, 我爱你 你不爱我, 我不爱你 机会主义战略无论你是否爱我, 我要追求你 信仰战略 知识与博弈均衡 (1) 知识可以扩展博弈的策略集合战争博弈 : 古代矛 盾近代枪炮 坦克现代导弹 反导弹人与自然的博弈 (2) 共同知识有利于达成博弈的 Nash 均衡

65 制度与博弈均衡 (1) 制度提供了一种关于行为策略的共同信息, 即什么是可能的什么是不可能的 制度是博弈均衡 原始状态 : 一些人与一些人的战争, 掠杀 抢夺 偷盗 社会契约 制度 博弈均衡 如环保制度的形成, 也是在保护环境和破坏环境的博弈中形成的

66 (2) 制度是一种信息的浓缩, 关于 策略集合的信息 但反过来, 制 度又为博弈提供了行为预期 如 : 市场竞争受法规制度的规范

67 信仰与博弈均衡 ( 一 ) 不同的信仰有不同的效用函数 ( 二 ) 不同的信仰有不同的策略集合伊斯兰原教义主义者 : a. 伊斯兰教义 b. 古兰经 ( 妇女蒙面, 不工作 ) 例一 : 基督教文明 : a. b. 现代, 大众传媒, 女性优先 文明的冲突

68 独裁与自由的博弈 王权天授真命天子普天之下天生平等卢梭天赋人权自由平等上帝面前人人平等真理面前人人平等独裁 宪政与自由终身制普选制

69 应用 : 一 产量竞争模型 ( 库洛特博弈 ) N 个企业,P=a-Q, Q= i=q i (a-q-c) 2 =q i (a-c)- q i - q -i q i N i1 2 =-q i +(a-c-q -i )q i i =-2q i +(a-c-q -i )=0 qi a-c-q -i =2q i a-c=(n-1)q i +2q i q i = ac n 1 Q i

70 双寡头模型 1= q 1 (a- q 1 - q 2 -c) 2= q 2 (a- q 1 - q 2 -c) P=a-Q 成本 =c 1 q1 =-2q 1 +(a-q 2 -c)=0 q 1 = q2 2 =-2q 2 +(a-q 1 -c)=0 aqc 2-2q 2 +(a- -c)=0 2 q2-2q 2 + +a- + a c -c= ac q 2 = = q 1 3 aqc 2 2

71 应用 二 价格竞争模型 ( 豪泰林 Hotelling) 1 消费者在 0 和 1 之间均匀分布, 密度 为 1, 距离成本系数为 t, 设住在 x 的 人在 shop1 与 shop2 无差异

72 D 1 =x D 2 =1-x P 1 +xt=p 2 +(1-x)t D 1 =x= D 2 =1-x= p-p+t 21 2t p-p+t 12 2t 1 1=(P 1 -c)d 1 = (P 1 -c)(p 2 -P 1 +t) 2t 1 2t 2=(P 2 -c)d 2 = (P 2 -c)(p 1 -P 2 +t)

73 δπ δp 1 1 = P2+c+t-2P1=0 δπ δp 1 =P+c+t-2P= P=P= 12 c+t t π= 12 π= 2

74 2 设 a 0, 1-a-b 0, 距离成本为 td 2 设 x 到 1 与 2 无差异则 P 1 +t(x-a) 2 = P 2 +t(1-b-x) 2 t(x-a+1-b-x)(x-a-1+b+x)= P 2 - P 1 (2x-a-1+b)= x= 1 ab 2 pp21 tab (1) pp21 tab (1)

75 1+a-bp-p D1=x=+ 2t(1-a-b) 1-a+bp-p D2=1-x=+ 2t(1-a-b) π π=(p-c)d π=+ 1 π= (p-c)(1+a-b)(p-c)(p-p) 1121 (p-c)(1-a+b)(p-c)(p-p) 2212 δπ(1+a-b)(p-p) 121 由 =+- δp22t(1-a-b) 1 22t(1-a-b) 22t(1-a-b) t(1+a-b)(1-a-b)+p2-2p1+c=0...a p-c 1 2t(1-a-b) =0

76 δπ1-a+bp1-p2p2-c 2 由 =++=0 δp22t(1-a-b2t(1-a-b) 2 t(1-a+b)(1-a-b)+p1-p2+c=0...b 当时 a=b=0, p1=p2=c+t 当时竞争润为 a=1-b, p1=p2=c( 分, 利零充 ) A 2 B :t(1-a-b)3+a-b+3c=3p1 加上得 pi=c+t(1-a-b)(1+) 代入 A :p2=c+t(1-a-b)(1+) 得 a-b 3 a-b 3

77 三 公共草场模型 设有一种公共草场,n 个农民, 各养羊 g i, n 共 Cg, 羊的平均价值为 i V i1 当 C < C max 时,V(C) > 0 C > C max 时,V(C) = 0 2 δvv <0,<0 δcc 农选民 i g需 2 i 使 π=gv(g)-gc 大化 iiii 最

78 因此 i gi VCgVCc ()'()-0 i 由此可得出反映函 N个数 并得出 : 每民最佳的偷羊量 个农养 g i * * 总养的偷羊量 Cg n i1 i 将个条 n 人最优件相加得 : C * (*)'(*) VCVCc n

79 社会最优为 maxcv(c)-cc 一阶条件为 V(C ** )+C ** V (C ** )=c 显然 C * >C ** V(C ** )-V(C * ) 1 n =[ C * V (C * )-C ** V (C ** )]

80 四 公共物品的私人供给模型 设 n 个居民, 公共物品为 C= 居民 i 的效用函数为 u i (x i,c) n i 1 g i 预算约束为 M i =p x x i +p C g i

81 构造 LuiXiGMipgipX (,)() ui 一件阶条 : pg 0 G u -0 pin x 1,2, xi ui G pg ui px xi gxi

82 1 C PC xi= Px (1) *( Ci i x i g i i j g ji i i j ji PX XPC MiC gi P M gg P M ggn Pc -1 ii xc 设 u=xc C 预约个应数 ) 代入算束反函

83 注意 : 当时,( 收入相同 ) Cngg ii (1) nm P i C * g= i np M C Cng * * i nm np C

84 个选择以上是人最优得 Nash 衡, 均 下面考社最优的帕累托 虑会选择 设 wrururur nni 总预约为 算束 nn LwMPXPC [] ii 11 nn ii 11 ii MPXPC ii xc xc

85 一次最优件如下 : 条 LL 0 0 1,2,..., in Cx i Lu 00 CC n i1 Lu 00 rpix xx ii r i Px ui x i rp i i i C

86 n Pu xi ui i1 x 设数为效用函并且所有的人 的收入与都一, 有 : n XCPnX 1 ici XCPC 1 ix i P C uixc 购买样则 C i,

87 引入算束预约 : nmipxnxipc X i nmpc nmpccp ic icc nppn xx () C 因为 CngnMPng g i iici M PP C() i () M C

88 Nash均衡供与帕累托供之比 : n n+ n 给 n 1 给帕累托供大于 Nash 衡供, 均 总个体理性优于体理性

89 设则, N 2, MMM 则 ) 12 ** 12 ggnash 如果收入不平等并且 =, 则 gg 收入平均相等 ( P. C 均衡,M=2M,M=1M,

90 gg 12 2M P C gg 21 M P C 当时, g 1 2M P C 0g 2 则现猪车现出智博弈中的搭便象

91 混合战略 Nash 均衡 1. 纯战略 Nash 均衡的非存在性案例 社会福利博弈找工作流浪救济 不救济 2 3, -1, 1-1, 3 0, 0 对一种循环相克的博弈和剪子, 包袱, 锤博弈, 就没有 Nash 均衡, 任何纯战略都不可能实现均衡

92 2. 混合战略 Nash 均衡对纯战略 Nash 均衡的补充 但是, 如果政府和流浪汉各自选择一 种混合战略都可以实现一种 Nash 均衡, 如政府以 (0.5,0.5) 的概率选择救济和不救济, 流浪汉以 (0.2,0.8) 的概率来选择工作和流浪, 却是一种相互耦合的最优决策

93 给定我的混合战略, 你的任何选择的期望效用无差异, 同时给定你的混合策略, 我的任何期望效用无差异 如何摆脱循环相克? 只有选择一种混合策略

94 政府 救济 不救济 流浪汉找工作流浪 , 2-1, 政府 -0.2, , 1.5 流浪汉 30.2(1) , 3 0, 0-0.2, , 1.5

95 政府 -0.2, , 1.5 流浪汉 11 (0.2)(0.2) , , 1.5

96 3. 混合战略的定义 N 个竞争者, 其每人的策略集为 S i ={S i1 (S i1 ),S i2 (S i2 ),,S ik (S ik )} i 在 S i 集中随机选择策略, 每种策略选 择的概率是 : 则 iiiik ikikik, {(),(),...,()} 12 SSS iiik 12 叫混合战略组合 K 0,1 i1

97 设为 : i 期望效用 VV ii (,...) 1 设 N 2, (,,...,), (,,...,), 则 VuSS (,)(,) in K kj 11 kj k k j kj

98 (,) 1 (,) 1 (,) 1 j kj j j j ksj kj j k j k ksj kj kj uss i us i us i 给定条, 给条, 选择给, 选择 1k 是的件下的期望效用是定以概率 K 的期望效用 是定以不同的概率各种策略的期望效用 的件下

99 4. 混合策略的 Nash 均衡 : 给定对手的混合策略, 我的策略是 无差异的 给定我的混合策略, 对手 的策略是无差异的 无差异均衡.

100 在这里, 使对手无差异就是最优, 因为可以避免被对手相克, 使你无法克我 使纯战略下的循环相克博弈, 变成混合战略下的无差异均衡博弈 譬如, 在政府和流浪者博弈中, 流浪汉应该选一种混合战略, 不被政府相克, 使政府在选择救济或是不救济间无差异

101 设流浪者混合策略为 (r,1-r), 在 此策略下, 政府选择救济的期望效 用是 : V G (1,r)=3r+(-1)(1-r)=4r-1 应该等于选择不救济的期望效应 : V G (0,r)=(-1)r+0(1-r)=-r 所以 4r-1=-r, r=0.2, 1-r=0.8

102 同样, 设政府的混合策略是 (,1- ), 则此策略亦应该使 流浪者在选择工作或不工作之 间无差异 V L (,1)=2 +1- =1+ V L (,0)=3θ+0(1- ) =3θ=1+ 即政府选择 =0.5 时, 流浪者 在工作与不工作之间无差异 可以 证明这种无差异及是最优的

103 设 (,1),(,1) rr LC 则为政府的期望效用 : V C (,) CL 3(1)(1) rr (1-)(-1)0(1-) rr (41)(1) rr (51) rr

104 在里有最优值这, 没 V C 其最优值就是 当时, r 0.2 V C 对无 是差异的 V C rr -0.2 V C V L (,) CL 21(1)(1)30(1) rr rr(1)3(1) r(21)3

105 V r L V1.5 L 这没对在里, 也有于的最优 Vr L 就是找不到一值, 使最大 说个 rv L 因不依存于, 依存于, 但 Vr L 仅还 可以找到一值, 使于差 个对无 Vr L 异 在里差异就是一最优值 这无个

106 如果流浪 则时选择济此政府救与不救并 汉选择设 rr0.2,0 不是差异的 无 政府救 : 济 VrC (1,0.1)30.1(-1) 政府不救济 : VrC (0,0.1)

107 政府不救, 即 将选择济 = 0 因为 VcrVcr (0,0.1)(1,0.1) 如果流浪, 则济间政府在救与不救之也 汉选择设 rr0.23 不是差异的 无 Vcr (1,0.3)30.3(-1) Vcr (0,0.3)

108 显 然 : VcrVcr (1,0.3)(0,0.3) 政府救, 即 将选择济 1 另一方面 : 如果政府的 选择 0.5 则汉 之的也是差异的. 流浪在工作与不工作 间选择无

109 设 则汉选择为流浪工作的效用 : V V L L (0.4,1) 流浪不工作的效用 : 汉选择为 (0.4,0) 由于 VVLL(0.4,1)1.4(0.4,0)1.2 所以流浪工作, 即 汉将选择 r 1

110 如果 则汉选择为流浪工作的效用 : V V L L (0.6,1) 流浪不工作的效用 : 汉选择为 (0.6,0) 因 VVLL(0.6,0)1.8(0.6,1)1.6 所以流浪不工作, 即 汉将选择 r 0

111 综对变 合以上可能化的分析, r, 可能有以下明的果 : 简结 0,0.2 r p 政府 选择 0,1, 0.2 r 1, 0 r f.2 1, p 0.5 流浪 汉选择 r 0,1, 0.5 0, 0.5 f

112 如果 如果 如果 r, 政府将选择单方相克的纯策略 0.2, 流浪汉将选择单方相克的纯策略 0.5 r 0.2,0.5, 则双方处于混合战略均 衡状态 ( 相互策略无差异状态 ) 图视如下 : 1 rr r

113 5. 税收监管博弈 混合战 略博弈选择的又一个案例 参与人 纳税人 税务机关 设 a 应纳税,c 监督成本, F 罚款 cafafc pf 0 监发税督生概率,. 逃概率 r

114 纳税人 税局 逃税监督 a-c+f, -a-f 不监督 0, 0 不逃税 a-c, -a a, -a

115 给应税监与定使局督 r (1) 不督的收益相等, 监 (0) 即 cc 1,0, rr racfracr 1,-(-)(1-) c -rfac c 0,01-1- rrarar

116 应有 : rfacaar -- r * 当时 r* 税监间无局在督与不督之差异. c af c af,

117 当时 r*<, 税选择监 局不督 θ=0 效用优于的 c a+f 监会 督 θ=1, 此有 θ=0. 因 当时 r* c af, 税选择监 =1局督的效用大于不 监 =0 会督的效用, 因此有 1.

118 给纳税应无定人的期望效用差异, 即 :,1,0 pp,1 af 01 p - af,0 aaa 1 p aaf * a af

119 当时纳税因此,. 当时纳税因此,. 当时双处战 r 方于混合略均衡. * * ** a p af 人逃的效用大于不逃. r 1 a f af 人逃的效用小于不逃. r 0 ca afaf,,,, Nash

120 6. 混合战略与不完全信息的区别. 不完全信息 : 对奸猾纳税人的监督成本很高 (C H ) 对普通纳税人的监 督成本较低 (C L ) 但税局对纳税人的类型不确知, 但有 一个概率性的知识, 如 : 是第一类型, 是第二类 型, 这属于不完全信息博弈 这是概然性信息, 而混合策略是概然策略

121 监督 不监督 逃税 a-c H +F, -a-f 0, 0 不逃税 a-c H, -a a, -a

122 Nash 均衡的多重性及对多 重 Nash 均衡的选择与甄别. 一 Nash 均衡的多重性 例一 : 性别战博弈 男 足球 芭蕾 足球 2, 1 0, 2 女芭蕾 0, 0 1, 2 有两个 Nash 均衡 :( 足球, 足球 ),( 芭蕾, 芭蕾 )

123 例二 : 斗鸡博弈 A 进 退 进 B 退 -3, -3 2, 0 0, 2 0, 0 如 1962 年的古巴导弹危机 : 美国出动 军舰拦截苏联载导弹核武的战船

124 例三 : 分赃博弈 IfXXX, 12 则为各其所 IfXXX, 12 f 则两个无获 一所 IfXXXXXNash,, 1212 则任何都是均衡

125 二 对不同 Nash 均衡的选择与甄别 1. 帕累托最优型 Nash 均衡 设 x,y 是两个 player,(a x1,a y1 ) 和 (a x2,a y2 ) 是两组 Nash 均衡策略,(u x1,u y1 ) 和 (u x2,u y2 ) 是 x 和 y 在两种 Nash 均衡策略下的效用 () 如果满足 u x1 >u x2, 并且 u y1 >u y2, 则称,(a x1,a y1 ) 是帕累托最优的 Nash 均衡

126 例一 : 战争与和平的博弈 Y 园 战争 和平 X 园战争 -5, -5-10, 8 和平 8, , 10 这里有两组 Nash 均衡 :( 战争, 战 争 ),( 和平, 和平 ) 但 u x 和平 >u x 战争, 并且 u y 和平 >u y 战争, 因此,(a x 和平,a y 战争 ) 是比 (a x 和平,a 战争 y ) 帕累托占优的 Nash 均衡

127 2. 风险稳定 ( 浮动 ) 型 Nash 均 衡 设 (a x1,a y1 ),(a x2,a y2 ) 是两组 Nash 均衡, (u x1,u y1 ),(u x2,u y2 ) 是 x 和 y 的 Nash 均衡效 1 用 () 1 如果 a x 出现一个微量浮动 1 Va x 是 y 的最优策略, u y (a x1 +,a y1 )< u y (a x1 +,a y2 ). Va x 1 Va x, 则 a y 1 就不再

128 则称 (a x1,a y1 ) 是风险浮动型 Nash 均衡, 是针尖上的均衡 ( 针尖上的舞蹈 ) 如果对于 a x 2 的一个浮动 最优策略. 即 u y (a x2 +,a y2 )> Vax, a y 2 仍是 y 的 Vax 2 2 u y (a x2 + 2 型 Nash 均衡,a y1 ) 则称 (a x2,a y2 ) 是风险稳定 Vax

129 例一 两个企业的合作博弈 企业 B 真心合作 假意合作 企业 A 真心合作假意合作 9, 9 0, 8 8, 0 6, 6

130 该博弈有两个 Nash 均衡 ( 真, 真 ),( 假, 假 ), 而 ( 真, 真 ) 是较 ( 假, 假 ) 帕累托占优的 Nash 均衡 但实际上真心合作总是比较困难的, 这是因为 ( 真, 真 ) 的风险稳定性差, 是风险浮动型均衡, 而 ( 假, 假 ) 是风险稳定型的 Nash 均衡

131 只要企业 A 真心合作的可能 <, 即只 V 1 7 要 a A 真的浮动 a A 真 > a A 真, 则 B 的最优策 略就不是 a B 真, 而是 a B 假 6 7 证明如下 : V V u B 真 (a A 真 - a A 真,a B 真 )=9(1- ) u B 假 (a A 真 - a A 真,a B 假 )=8-2 V 1 7 当 > 时, u B 真 < u B 假, 证毕 V V

132 下面再分析 (a A 假,a B 假 ) V 给定 a A 假一个浮动 a A 假, 则有 : V u B 假 (a A 假 - a A 假,a B 假 ) V =8 +6(1- ) V =6+2 V V u B 真 (a A 假 - a A 假,a B 真 )=9 V V V u B 假 - u B 真 = =6-7 V

133 当时,6-7 >0 p 6 7 V V 即 u B 假 (a A 假 - a A 假,a B 假 )>u B 真 (a A 假 - V a A 假,a B 真 ) 也就是说只要 a A 假的浮动程度 6 小于, 就不会改变均衡策略, 因此 (a A 假,a B 假 ) 7 是一对风险稳定性的 Nash 均衡策略

134 这两个分析说明了人与人之间以及企业与企业之间的真诚的信任与合作难以建立的原因 许多人往往会取曹孟德的策略 宁我负天下人, 莫让天下人负我 真诚的合作与真心的友谊往往是非常脆弱的, 经不起挫折, 因此是非常不稳定的 因为好朋友如果稍有不忠不慎得罪怠慢之处, 你就会有被欺骗, 吃苍蝇的感觉

135 行为偏离发生的原因通常有三种 : (1) 蓄意偏离 机会主义倾向导致蓄意偏离, 以谋求单方面的好处 (2) 行为的误差 任何行为都可能产生误差 (3) 由于偶发因素导致的行为偏离, 并没有主观故意 (4) 误解 行为并没有偏离, 但是其中的某一方误判了对方的行为, 认为对方行为偏出正轨

136 例二 : 狩猎博弈 两个猎人猎捕鹿 兔 猎人 B 猎鹿 猎兔 猎人 A V猎兔 5, 5 0, 3 1V 猎鹿 3, 0 3, 3

137 该博弈有两组 Nash 均衡 ( 猎鹿, 猎鹿 ) ( 猎兔, 猎兔 ), 但第一组 Nash 均衡不稳定 任何一方的策略略有偏离浮动, 均衡就会失陷, 就不成立 而第二组均衡是稳定性均衡, 对方的策略浮动和偏离, 对他的效用不发生负面改变

138 3. 聚点均衡 在多重 Nash 均衡中, 如果存在某种因素使其中的一种均衡成为更可能繁盛的聚焦点, 则这一 Nash 均衡称为聚占均衡 ( 这种因素可能使文化 历史 信息等 )

139 例一 : 选食物博弈 海鲜 A 海鲜 牛肉 猪肉 B 牛肉 猪肉

140 如果 A,B 是广东 宁波人, 则聚点均衡是 ( 海鲜, 海鲜 ) 如果 A,B 是伊斯兰人, 则聚点均衡是 ( 牛肉, 牛肉 ) 如果 A,B 是内地人, 则聚点均衡是 ( 猪肉, 猪肉 )

141 例二 : 性别博弈 如果是男生, 则 ( 足球, 足球 ) 是聚点均衡 如果是女生, 则 ( 芭蕾, 芭蕾 ) 是聚点均衡 例三 : 报时博弈 (12,12) 最可能是聚点均衡 例四 : 城市分组博弈 ( 杭州宁波, 长春沈阳 ) 是聚点均衡 例五 : 分赃博弈

142 4. 相关均衡 多重博弈均衡的实现与博弈的解的某种事件相关 例一 : 男女性别博弈 男女在公交车站等车, 既可以乘车去看足球, 也可以乘车去看芭蕾 如果来的车是去足球场, 则 ( 足球, 足球 ) 是相关均衡 如果来的车是芭蕾舞院, 则 ( 芭蕾, 芭蕾 ) 是相关均衡

143 例二 : 巴以博弈 ( 战, 战 ) ( 和, 和 ) 是两种均衡, 最终均衡的实现取决于外部的相关因素 如果国际社会加以干预, 则 ( 和, 和 ) 均衡会实现, 如果国际社会不加以干预, 则 ( 战, 战 ) 均衡会实现 上述是四种对多重均衡的选择甄别法则

144 四 Nash 均衡的存在性四种类型的静态均衡 (1) 上策均衡 (2) 重复剔除的上策均衡 (3) 纯策略 Nash 均衡 (4) 混合策略 Nash 均衡 ( 循环相克博弈 ) 每一种都是后者的特例只要证明了最后一种 Nash 均衡的存在, 就同时证明了前三种 Nash 均衡的存在

145 完全信息动态博弈 一 什么是动态博弈 1. 博弈选择有先后顺序 ( 对比静态博弈 ) 2. 行为者可观察到对手的策略选择 ( 对比静态博弈 ) 3. 博弈过程要你来我往的多个回合如 : 巴以博弈

146 二 动态博弈的两种基本类型 1 重复性动态博弈 相同结构的博弈多次轮回重复 2 序贯动态博弈 每一阶段博弈的结构 ( 信息 策略 资源 禀赋 ) 都不相同, 博弈路径具有依赖 继承与扩展性

147 三 动态序贯博弈的扩展式表达 ( 一 ) 基本要素 (1) 参与人 (2) 行为顺序 (3) 策略空间 (4) 信息集 (5) 支付函数 (6) 自然选择

148 ( 二 ) 动态序贯博弈扩展式表述的树状结构 (1) 结 参与人采取行动的时点, 在不同的决策结参与人拥有不同的信息, 同时面临不同的选择 a. 决策结的传递性 :a<b,b<c, 则 a<c b. 决策结的反对称性 : 若 a<b, 则不可能有 b<a c. 全排序性 : 若 a<c,b<c, 则要么 a<b 要么 b<a

149 d. 初始结和终点结 : 定义 : P(X) 为 x 之前的所有结的集合 ( 前列集 ) T(X) 为 x 之后的所有结的集合 ( 后续集 ) 当 P(x)= 时, 称为初始结 当 T(x)= 时, 称为初始结

150 (2) 枝 枝是决策结与直接后续结之间的连线, 表示一种策略选择 对于一个给定的决策结 x, 存在一个给定的行为结合 A(x), 与 x 的直接后续结集合一一对应 如果 aaxaaxaa,',', 那么必然有,,', 即行为选择不同, 则后续结不同 TxaTxa

151 (3) 信息集 反映了不同决策结点的参与人的信息状况

152 ( 三 ) 树状博弈表达的结构原则 (1) 一个决策结不能是同一信息集其他决策结的前列结或后续结 设 x,x 属于同一个信息集 H(x), 则 x 不属于 P(x ), 且 x 不属于 P(x) (2) 同一个信息集的所有结都是同一个参与人的决策结

153 第一, 一个信息集可能包含确定信息, 也可能包含不确定信息 一个信息集如只包含一个决策结, 称为单结信息集, 它包含的是确定信息, 说明参与人对相关信息有完全确定的知识 如果博弈的所有信息集都是单结的, 称其为完美信息博弈 确定信息 单结信息集 不确定信息 多结信息集 (P145)

154 第二, 单结信息集 意味确定信息多结信息集 意味着不确定信息 ( 用虚线连接 ) 第三, 一个不确定信息的解属于一个信息集, 而不能被两个信息集所分割

155 完全完美信息与完全不完美信息 (1) 完全完美信息动态博弈 ( 知道而且看 到 ) 如房地产企业 A,B 博弈,A 是先在企业, 有成本大和成本小两种概型,A 的类型是自然 (N) 的选择 在此 N 选择的 A 的类型,A 选择开发或不开发,B 亦选择开发或不开发,B 不仅知道 N,A 可能的选择, 而且看到了 N A 的实际选择, 这就属于完全完美信息动态博弈

156 完全完美信息搏弈的树状结构图式 不研核 伊拉克 美核查不核查配合 研核美核查不核查伊拉克不配合美罢休军事威胁 退让 伊拉克 不退让 不进攻美进攻

157 完全不完美信息搏弈的树状结构图式 不研核 伊拉克 美不核查核查配合 研核美核查不核查伊拉克不配合美罢休军事威胁 退让 伊拉克 不退让 不进攻美进攻

158 (2) 完全不完美信息动态博弈 在此 B 知道 A 有高成本与低成本两种类型, 但没有到 N 到底选择了 A 的哪种类型, 在此属于完全但不完美信息动态博弈 ( 博弈历史信息的丢失或遗忘, 对自然选择的遗忘 )

159 动态博弈的两种基本类型 1. 重复博弈 相同结构的博弈重复多次 如 : 囚徒困境 2. 序惯博弈 子博弈的博弈结构都不相同, 博弈路径继承性

160 三 序惯博弈的战略式表述方式 (1) 战略式表述与扩展式的表述的区别 第一, 战略式表述式运筹帷幄法 制定一个全面的战略计划 扩展式表述是相机抉择法 走一步看一步, 相机而动 第二, 战略式表述运用支付矩阵 扩展式表述运用树状路径图

161 房地产企业之间的博弈 扩展式表达如下 : 开发 绿城 不开发 万科 万科 (-3;-3) (1;0) (0;1) (0;0) 战略式表达如下 : 万科 ( 开发, 开发 )( 开发, 不开发 )( 不开发, 开发 () 不开发, 不不开发 绿城 开发 不开发 -3 ; -3 0 ;1-3 ; -3 0 ; 0 1 ; 0 0 ; 1 1 ; 0 0 ; 0

162 美伊博弈 扩展式表达如下 : 服从 伊 不服从 美美动武不动武动武不动武 (-10;2) (-2,8) (-8,2) (0,5) 战略式表达 : 美 ( 动, 动 ) ( 动, 不动 ) ( 不动, 动 )( 不动, 不动 ) 伊 服从 不服从 -10, 2-8, 2-10,2 0, -5-2,8-8,2-2,8 0,-5

163 天人博弈 扩展式表达如下 : 下雨 天 不下雨 人人带伞不带伞带伞不带伞 (1,0) (-1,0) (-1,0) (1,0) 战略式表达如下 : 人 ( 带伞, 带伞 )( 带伞, 不带伞 )( 不带伞, 带伞 )( 不带伞, 不带伞 ) 天 下雨 不下雨 0, 1 0, -1 0, 1 0, 1 0,-1 0, -1 0,-1 0, 1 有备无患相机而定精神失常好汉战略

164 (2) 序量博弈战略的空间结构序量博弈战略是一个完备的战略计划, 是一个 多维战略空间的元素, 这个战略空间的结构是 : 第一, 空间的纬度 hh 取决于信息集的数量 设 H 为信息集的集合,h 为信息集, A 为行动集合, 即博弈者根据掌握的信息所可能 采取的行动 AUAhSHA,: hh

165 以美伊博弈为例 : 美国的信息集有两个, 即伊拉克服从与不服从 即 H={h 1,h 2 }, h 1 服从, h 2 不服从, 对于每一个信息集 h 1 和 h 2, 美国都有一个行动集 A(h 1 ) 和 A(h 2 ) A(h 1 )={a 1 动武,a 2 不动武 } A(h 2 )={a 1 动武,a 2 不动武 }

166 美国的纯策略 S 是从信息集 H 到 A 的一个映射 即 S: HA 对于每一个信 息集 hh, 美国都有一个相应的战 略 ShAh

167 因此, 美国的纯战略空间是由信息集决定的行 动集合的笛卡尔积 即 SAh hh 12 AhAh, 这是一个纯战略空间 12 AhAh

168 第二, 战略空间的总战略元素等于 每个空间的战略元素的乘积 即 ## SAh hh # 指战略元素

169 在上例中,#A(h 1 )=2 #A(h 2 )=2 #S=#A(h 1 ) #A(h2)=2 2=4 即 ( 动武, 动武 ),( 动武, 不动武 ),( 不动武, 动武 ),( 不动武, 不动武 )

170 四 序惯博弈的纯战略 Nash 均 衡 S i* argmaxu(s i,s -i* ) 如 : 房地产博弈就有三个 Nash 均衡 { 开发,( 不开发, 开发 )} { 开发,( 不开发, 不开发 )} { 不开发,( 开发, 开发 )}

171 五 序惯博弈的混合战略 Nash 均 衡 (1) 序量博弈的混合战略 在刚才的房地产博弈中, 开发商 A 有四个纯战略选择, 他可选择其中任意一个纯战略, 他也可以选择一个混合战略 2, 即四个战略的概率组合 : 以的概率选择 ( 开发, 开发 ), 3 ( 开发, 不开发 ), ( 不开发, 开发 ), ( 不开发, 不开发 ), 这种战略称为混合战略

172 (2) 序惯博弈的 行为战略 这种全面谋划进程的混合战略, 又等价于在相机抉择过程中的 行为战略, 即参与人在每个信息集上, 以一定的概率选择行为 以房地产开发为例 设行为人的行为战略为 1111, 即相对于第一个信息集 b2,,, H 1 :A 开发,B 的行动选择 2222 集合 A(H 1 )

173 是一个概率集合 设他最终选择的概率开发, 1 2 概率不开发 对于第二个信息集 H 2 :A 不开发,B 的行动选 择集合也是一个无序的行动概率组合, 设他选择 1 2 其中的概率开发, 概率不开发

174 这样一个行为战略 等价于一个混合战略 D 1111,,, 2222 在信息集 H 1 (A 开发 ) 的情况下,B 选择开发的 行动战略, 只有当 B 选择纯战略 ( 开发, 开 发 ),( 开发, 不开发 ) 时才有可能 即有

175 在 H 1 (A 开发 ) 的信息下,B 选择不开发的行为战 略, 只有当 B 选择纯战略 ( 不开发, 开发 ),( 不 开发, 不开发 ) 才有可能, 即 由此推出 即行为战略等 价于纯战略 ,,, b 1111,,, 2222

176 六 子博弈精练 Nash 均衡 1. 序量博弈 Nash 均衡的多重性如房地产博弈就有三个 Nash 均衡 :{A 开发,B( 不开发, 开发 )},{A 开发,B( 不开发, 不开发 )},{A 不开发,( 开发, 开发 )} 1 不可信均衡 在这三个均衡中, 有些均衡是不可信的, 是一种 颤抖 的均衡, 针尖上的均衡

177 因为 : 第一, 包含有不可置信的威信 如 :B 的战略 ( 开发, 开发 ), 对 A 来说就是不可置信的 第二, 包含有偶然性因素 如 :B 的战略 ( 不开发, 不开发 ), 只有当 A 选择开发时, 才是最优的 当 A 选择不开发时, 就不是最优的, 也就是说只有在特定的博弈路径上才是均衡

178 2 可信的均衡 有些均衡是可信的 合理的 因为它在所有的博弈路径都是均衡策略 3. 子博弈精练 Nash 均衡 子博弈精练 Nash 均衡就是要剔除掉那些不可信的 只在特定的博弈路径 ( 子博弈 ) 上成立的均衡, 寻找到可信的 在所有博弈路径上成立的均衡

179 1 什么是子博弈? 由博弈路径上一个单结信息集开始的, 并且它的后续结不与其它信息集粘连的博弈过程 特点 : a. 信息确定 b. 信息不丢失, 过去知道的现在亦知道 2 子博弈精练 Nash 均衡 博弈战略组合 S*=(S i*,s -i* ) 是一个子博弈精练 Nash 均衡, 如果 : 第一,S 是原博弈的纳什均衡 第二,S 在每一个子博弈上给出纳什均衡

180 也就是说均衡战略不能是 碰巧 均衡的, 而必须是完全均衡的, 即在每一种可能的情况下都必须均衡的 如在房地产开发中,B 的战略可能只在 A 选择开发 或者不开发时时最优的, 而必须在 A 无论选择开发还是不开发时都是最优的

181 子博弈精炼纳什均衡的解法 逆向归纳法 1 逆向归纳法的图形解借钱博弈 ( 一 ) 借乙不借 分 (2,2) 甲 不分 (1,0) 打 乙 不打 (1,0) (0,4) 法律完备环境下的均衡 { 甲 : 分 ; 乙 :( 借, 打 )}

182 借钱博弈 ( 二 ) 如果法律不健全, 情况又如何呢? 借 乙 不借 分 甲 不分 (1,0) (2,2) 打 乙 不打 (-1,0) (0,4) 法律不健全环境下的均衡 :{ 甲 : 不分 ; 乙 ( 不借 ; 不打 )}

183 2 逆向归纳法的函数解 设一个二人参加的二阶段博弈, 第一人的行为空间是 A 1, 第二人的行为空间是 A 2 第一人首先选择 a 1 A 1, 第二行为人观察到 a 1 后, 再选择 a 2 A 2, a 2 的选择满足 : a 2 =argmaxu 2 (a 1 ;a 2 ) 然而,a 2 的选择取决于 a 1, 因此有 : a 2 =R(a 1 ) 第一行为人知道 a 2 =R(a 1 ), 因此, 他要选择 a 1 使满足 : a 1 =argmaxu 1 (a 1 ;R 2 (a 1 ))

184 蜈蚣博弈与合作理性问题 n 人接力博弈 1 A 2 A 3 A N A (2..2) D D D D (1.1) (1/2 1/2) (1/3 1/3) (1/n.1/n) 按逆向归纳法,n 个行为人应该选择行为路径 A, 而不是 D, 但前提是每个行为人都具有完全理性和对他人完全行为理性的信念既必须相信后来行为人都会选择行为 A

185 机会主义是怎样产生的呢? 如果行为人对其余行为人的行为理性存有怀 疑, 既认为其余行为人选择行为 A 的概率 P<1, 那么 n 个合作行为人共同选择 A 的概率就是 P n, 当 n 扩大时, P n 就会越小 这样, 就会导致行为人萌发选择机会主义行为 D 的动机

186 (2) 两人合作循环博弈 如下图所示 : A 1 2 A 1 A A 1 A 2 A (100;100) D D D D D D (1,1) (0;3) (2;2) (97;100) (99;99)(98;101) 按逆向归纳法, 只要任何一方具有机会主义 倾向, 合作就无法达成

187 子博弈精炼纳什均衡的应用 1 斯坦克尔伯格寡头竞争模型 首先回顾一下完全信息静态博弈的库诺特模 型 : 两个企业 A B, 选择产量 Q A Q B, 使 Л A Л B 最大化,()P=a-( Q A -Q B ) Л A = Q A (P-C) Л B = Q B (P-C) 根据问题的一阶条件可以推出 : Q A =Q B =⅓(a-C)

188 动态博弈结果又会如何呢? 以上是静态博弈下 A B 同时选择产量的结 果 但是在动态博弈下,A 首先选择产量, 然 后 B 选择产量 我们用逆向归纳法求解 从 B 开始倒推 :Q B =argmax Л B (Q A, Q B ) 即 Q B 满足 : Л Q B = 0 B B 0,() QaQc BA Q B 1 2

189 A 将如何选择呢? A 知道 B 将选择 1 QaQc () BA 2 A 现在要选择 Q AA argmax AA QPc () () QaQQc AAB 1 QaQc () 2 AA

190 下面请看结果 : 如果 1 令,(a-c ) A 0 Q A Q 2 A 1 Q (a-c ) B 4 代入上面式子又可得 : 在动态博弈中, 出现了明显的先发优势, 首 先行动者占有更大的份额

191 委托代理模型 ( 一 ) 企业主与经理人之间的委托 代理博弈 委托 委托人 不委托 接受 代理人 拒绝 [R(0);0] 努力 代理人 偷懒 [R(0);0] [R(e)-W(e);W(e)-e] [R(s)-W(s);W(s)-s] 参与约束 :W(e)-e>0,W(s)-s>0; 激励兼容 :W(e)-e>W(s)-s R(e)-W(e)>R(s)-W(s)

192 给相关函数赋值后可以得出什么结果呢? 设 R(e)=10e-e 2,e=2,s=1 则 R(0)=0,R(e)=16,R(s)=9 再设 W(e)=4,W(s)=2, 则有 : 委托 委托人 不委托 接受 代理人 拒绝 (0;0) 代理人 (0;0) 努力 偷懒 [12;2] [7;1] 由逆向归纳推出均衡为 :[ 委托人 : 委托 ; 代理人 : 接受, 努力 ]

193 委托代理模型 ( 二 ) 设 e 为连续变量,R 是 e 的随机函数, R=R(e);C 是努力的辛苦成本 ; W=W[R(e)]; 代理人机会成本为 U 委托人收益 :R(e)-W[R(e)] 代理人收益 :W[R(e)]-C(e) 委托代理人接受 委托人 不委托 [R(0);U] 拒绝 努力 代理人 偷懒 [R(0);U] [R(e)-W(R(e));W(R(e))-C(e)]

194 注意以下区别 参与约束 :W[R(e)]-C(e)>U 委托人意图 :W[R(e)]=U+C(e) 委托人得益 :R(e)-W[R(e)] =R(e)-U-C(e) 委托人得益最大化条件 : 激励相容条件 : WeCeRe ()()() eee ReCe ()() ee

195 上面关系可见下图 : R(e)W(e)C(e) R(e) W(e) C(e) e* 设 R(e) W(e) 为凹函数,C(e) 为凸函数 e

196 我们可以给各函数赋型 设 R(e)=4e+η, 其中 η 是随机扰动项, C(e)=e 2,U=1,W=A+B[R(e)] =A+B[4e+η] 委托人收益为 : R-W=4e+η-{A+B(4e+η)} =4(1-B)e+(1-B)η-A 因为 η 是均值为 0 的随机变量, 所以委托人期望收益为 :E(R-W)=4(1-B)e-A 代理人收益为 :W-C=A+B(4e+η)- e 2 E(W-C)=A+B4e-e 2 当 e*=2b 时,E(W-C) 达到最大值

197 代入参与约束条件 :E(W-C)>U=1 最低参与约束 :A+B4e=1+e 2 满足参与人约束的委托人收益 :4e-1-e 2 当 e=2 时,4e-1-e 2 达到最大值 令 e=2, 代入 e*=2b, 可以推出 :B=1, 再代入 A+B4e=1+e 2 A, 推出 :A=-3 则有 :W=A+B[R(e)]=-3+R 由此可以看出, 最有效率的工资制度是一种固定上交利润的承包制

198 国际关税动态博弈模型 设 :I J 两国,Q i Q j 为产量,P i P j 为价 格,C 为生产成本,T i T j 为两国关税,H i E i H j E j 为两国企业的国内和国际生产份 额, Q i = H i + E J, Q J = H J + E j 市场需求函数为 :P i =a- Q i P J =a-q J 国家首先决定关税 T, 以最大化国家利益 ; 企业根据国家关税决定国内与国际贸易出口 份额, 同样为了最大化企业收益

199 根据逆向归纳法, 首先推导企业的策略选择 I 国企业目标 : maxu i 国际 ={E i [a-(e i +H j )-C]-T j E i } maxu i 国内 ={H i [a-(h i +E j )-C]} J 国企业目标 : maxu j 国内 ={H j [a-(h j +E i )-C]} maxu j 国际 ={E j [a-(e j +H i )-C]-T i E j } 以上四式分别对 H i E i H j E j 求导, 并令 其导数为零 acti, 可得 : actj H = E =

200 actj acti 2 H j = E j = 3 3 现在再推演国家策略 T 国家目标为: W i =U i +T i E j +1/2(H i +E j ) 2 其中 U i : 企业收益,T i E j : 国家税收, 1/2(H i +E j ) 2 : 消费者剩余 P a Pi a-pi Pi=a-Qi a-pi=hi+ej 0 Q

201 将 Hi Ei Hj Ej 代入 Wi Wj 得出 : 2 22 [2()]()(2)(3) actiactiactjtiactj Wi [2()]()(2)(3) actjactjactitjacti Wj 令 WiWjac 0,0 TiTj TiTj 3 ; 代入上面式子 (a-c ) 4 HiHjEiEj ; 99 ac

202 轮流出价的讨价还价模型 A B 两人分一块蛋糕, 轮流讨价还价 X 表示 A 得到的份额,(1-X) 表示剩余给 B 的份额 X A 是 A 给自己的出价,X B 是 B 给 A 的出价,(1-X A ) 是 A 给 B 的出价,(1-X B ) 是 B 给自己的出价 设每轮讨价还价花费一个时间单位,T 轮讨价还价共花费 T 个时间单位, 每个时间单位对 A B 的贴现因子是 δ A δ B 下面应用逆向归纳法求解动态讨价还价博弈的子博弈纳什均衡

203 首先设 T=2,A 先开价,B 再还价 B 还价时可以提出 X B =0,(1-X B )=1, 因为 A 没有再还价的机会, 所以只能接受 B 的出价 B 在 T=2 时, 得到 1 个单位的蛋糕, 相当于在 T=1 时得到 1 δ B 个单位的蛋糕 如果 A 在第一轮出价时提出给 B 蛋糕 1 δ B 个单位,B 将会同意 A 的出价 所以子博弈精炼纳什均衡的策略是 {A:(1- δ B );B:δ B } 再看 T=3 时的情况 最后由 A 出价, 由于 B 已经没有还价的机会, 因此 A 会提出 X A =1,B 只能同意 A

204 因此, 如果在 T=2 时,B 提出 X B =δ A,A 当会同意 这时 B 得到 (1-δ A ) 的份额, 这相当于 B 在 T=1 时得到 δ B (1-δ A ) 所以, 如果 A 在第一轮时提出给 B: δ B (1-δ A ),A:1- δ B (1- δ A ),B 当会同意 A 的出价 因此, 三回合动态博弈的子博弈纳什均衡是 : {A:1- δ B (1-δ A ); B: δ B (1-δ A )} 再看 T=4 的情况 : 轮 第四轮 第一轮第二轮第三 A: 1-δ B [1-δ A (1-δ B )]; δ A (1-δ B ); 1-δ B 0

205 当 T 为任意大于等于三的整数时, 情 形又如何呢? 设当 T 轮时,A 所得份额是 M, 这相当与在 T-1 轮时 A 得到 δ A M, 此时 B 所得应该为 1- δ A M,B 在 T -1 轮时得到 1 - δ A M, 相当于在 T-2 轮时 得到 δ B ( 1 - δ A M ), 此时 A 所得应该为 1- δ B ( 1 - δ A M ), 就是说,A 在 T 轮所得应该相当于在 T-2 轮时得到的 即有 :M= 1- δ B ( 1 - δ A M ) 由此可以推出 : M= 1 1 B AB

206 什么是决定博弈最终得失与输赢的重 要因素呢? 从以上动态博弈中可以发现, 如果是一个多轮回的长时间博弈, 其博弈结果在很大程度上取决于双方的耐心较量, 即 A B 时间贴现率 δ A δ B 之间的比较 如果 A 很有耐心, 而 B 很没有耐心, 即当 δ A 1, 同时 δ B 0 时, 则 A 可以凭借耐心几乎全部获得整个博弈利益 反之反是 世间许多政治 经济 社会方面的博弈都是如此 中东地区巴勒斯坦与以色列的冲突与争夺, 实际上就是一场比谁更有耐心的博弈 最终的胜者是更坚韧 更有耐心的民族

207 重复性动态博弈的纳什均衡解 定义 : 由一个基本元博弈多次重复构成的多轮回动态博弈叫重复性动态博弈 特点 :(1) 不同阶段博弈之间没有继承 扩展 延续的必然联系 ;(2) 博弈历史被博弈人完美记忆 ;(3) 博弈人的得益是所有阶段性得益的贴现值或加权平均值 (4) 在动态博弈中, 时间影响并且进入价值 问题 : 今年的 100 元钱与明年的 100 元钱是否具有相同价值? 明年 100 元钱在今年相当于多少? 什么贴现率? 贴现率公式 : 1 = 1+r

208 有限次重复性博弈的纳什均衡解 1 循环相克博弈的有限重复博弈 例如 : 二人石头 剪刀 布的多轮博弈游戏, 其元博弈的纳什均衡解是 : 各人以三分之一的相同概率选择石头 剪刀 布 如果是一个多轮重复博弈, 通过逆向归纳法可以证明 : 其子博弈纳什均衡与原来博弈相同, 仍然是每次都以三分之一的概率选择石头 剪刀 布 2 具有唯一纯战略纳什均衡博弈的有限重复博弈 例如 : 囚徒困境博弈的有限重复博弈 通过逆向归纳法可以推出, 其子博弈纳什均衡与原来博弈相同, 即双方每次都选择坦白 理论结论 : 循环相克博弈和具有唯一纯战略纳什均衡博弈的有限重复博弈的纳什均衡解是 : 每一论都选择与元博弈纳什均衡战略相同的战略

209 3 多个纯战略纳什均衡博弈的有限重复博弈 触发战略和子博弈精炼纳什均衡的多重性 这一类博弈的子博弈精炼纳什均衡结果非常复杂与多样, 不仅存在由元博弈纳什均衡组合构成的重复性动态博弈纳什均衡, 而且存在由 触发战略 构成的子博弈精炼纳什衡 例如, 两个厂商之间的定价博弈, 它们各有高 中 底三种价格策略 这个元博弈有两个纯战略纳什均衡 : (M, M) 和 (L, L) 但是该博弈的两次重复博弈 厂商一 厂商二 H M L H 5 ; 5 0 ; 6 0 ; 2 M 6 ; 0 3 ; 3 0 ; 2 L 2 ; 0 2 ; 0 1 ; 1 均衡一 :(M, M);(L, L) 均衡二 :(M, M);(M, M) 均衡三 :(L, L);(L, L) 均衡四 :(L, L);(M, M)

210 另外, 还有一个触发战略 : 厂商 1: 第一次选择 H, 如果第一次结果为 (H, H), 则第二次选择 M, 如果第一次结果为其它, 则第二次选择 L 厂商 2: 同厂商 1 两次重复博弈的均衡路径为 : 第一次 (H ; H); 第二次 (M ; M) 这是一个子博弈完美纳什均衡 这种战略被称为存在 报复机制 的触发战略, 即双方首先试探合作, 如果对方采取不合作的机会主义策略, 则下一轮采取 报复 策略

211 有限次重复博弈的民间定理 先看一个两厂商市场选择策略博弈 在这个博弈中, 双方只要采取策略 A, 则最差均衡得益都是 1, 这种最底限度保证得益称为 个体理性得益, 由双方的 个体理性得益 构成得益数组 W, 在此, 均衡得益数组 W=(1;1) 则有以下民间定理成立 : 设元博弈有多个纯战略纳什均衡, 并且有均衡得益数组 W, 那么, 在该博弈的多次重复中, 所有不小于个体理性得益的可实现得益, 都至少有一个子博弈精炼纳什均衡的极限的平均得益来实现它们 就是说, 在左图中由 (1;1) (1;4) (3;3) (4;1) 四点连成边界线所围阴影部分中间没一点所对应的双方得益, 都有子博弈精炼纳什均衡或者这种均衡的极限来实现它 厂商 1 厂商二 A B A 3 ; 3 4 ; 1 (1;4) W=(1;1) 厂商 2 B 1 ; 4 0 ; 0 (3;3) (4;1) 厂商一

212 无限次重复博弈的纳什均衡 (1) 循环相克博弈无限次重复的纳什均衡 例如 : 无限次重复进行剪刀 石头 布的博弈游戏, 其纳什均衡与有限次重复博弈和元博弈相同, 都是每次采用各子策略三分之一的混合战略 (2) 具有唯一纯战略纳什均衡博弈无限次重复的纳什均衡 类型一 : 元博弈纳什均衡是帕累托意义上的最优战略组合, 则其元博弈无限次重复的纳什均衡与有限次重复相同 类型二 : 元博弈纳什均衡不是帕累托意义上的最优战略组合, 博弈双方存在通过合作使自身利益获得帕累托改进的可能, 则存在触发战略纳什均

213 例如 ; 无限次寡头企业市场价格竞争博弈 在这个博弈的无限次重复中, 如果双方采取如下触发战略 : 第一阶段选择 H, 在第 t 阶段, 如果前 t-1 阶段的结果都是 (H ; H), 则继续采用 H, 否则采用 L 就是说, 双方首先都试图合作, 选择 H, 如果对方合作则一直选择 H, 如 企业二 H L H 企业一 L 4 ; 4 0 ; 5 5 ; 0 1 ; 1 1 ; ; ; ; 可以证明, 如果贴现因子 δ 足够大, 上述触发战略构成无限次重复博弈的一个子博弈精炼纳什均衡

214 证明如下 : 设企业一已经采用上面触发策略, 只要证 明 δ 足够大时, 触发策略同样是企业二的最佳策略, 由于两企业是对称的, 所以也就证明了上面策略是双方的纳什均衡策略 当企业一采用策略 H 时, 如果企业二采用非合作的机会主义策略 L, 那么, 虽然第一阶段能得到 5, 但是, 由于从此企业一会采用报复策略 L, 因此, 以后每一轮博弈的最好得益是 1, 全部博弈的现值为 : π=5+1δ+2δ 2 + =5+ δ/(1-δ)

215 如果企业二采用合作策略 H, 则第一阶段得 益为 4, 并且以后每阶段的得益都是 4, 设总 得益为 V, 由于是无限次重复博弈, 可以把 第一阶段以后的得益也看成 V, 则有 : V=4+δ V V=4/(1-δ) 如果 ;4/(1-δ)> 5+δ/(1-δ), 即 δ>1/4 时, 企业二就会采用策略 H, 否则采用策略 L 依此可推出以后每一轮博弈的均衡策略都是 H 这样, 我们就证明了, 只要博弈人足够重视远期收益, 触发策略就是无限重复博弈的纳什均衡

216 无限次重复博弈民间定理 设 G 是一个完全信息静态博弈, 用 (e 1 e n ) 记 G 的纳什均衡得益, 用 (x 1 x n ) 表示 G 的任意可实现得益, 如果 x i >e i 对任意博弈方都成立, 而 δ 足够大, 那么无限次重复博弈 G(, δ) 中一定存在一个子博弈完美纳什均衡, 使得各博弈方的平均得益就是 (x 1 x n ) 企业二得益 (0 企,5) 业 (1,1) (4,4) 企业一得益 (5,0) 无限次重复博弈民间定理意味着, 上面图形中阴影部分所对应的数组, 在该博弈的无限次重复中, 都有一个子博弈完美纳什均衡的平均得益来实现它

217 基于有限理性的演化博弈 什么是演化博弈? (1) 物种竞争与生物演化 ; (2) 制度演化博弈 ; (3) 产业演化博弈 ; (4) 技术演化博弈 ; (5) 文化时尚演化博弈 ;

218 制度演化博弈 (1) 个体私营经济与国营集体经济的演化博弈 ; (2) 自由市场经济体制与计划经济体制的演化 博弈 ;

219 产业演化博弈 (1) 义乌小商品产业与非小商品产业之间的演化博弈 ; (2) 浙江产业转型升级 现代新兴产业与传统产业的演化博弈 ; (3) 电子商务产业与传统商业产业的搏弈 ;

220 技术演化博弈 (1) 现代信息技术与传统信息传递存储处理技 术的演化博弈 ; (2) 新能源技术 [ 核能太阳能风能 ] 与传统能源 技术 [ 化石能源 ] 的演化博弈 ;

221 文化时尚演化博弈 (1) 西装与中山装的演化博弈 ; (2) 民国时期短发与长辫的演化博弈 ; (3) 流行歌曲对民歌的演化博弈 ; (4) 肯德基与中式快餐的演化博弈 ;

222 演化博弈的基本特点 (1) 博弈主体 大样本行为群体 而不是小样本的具体的行为个体 ; (2) 博弈过程 在比较长的历史与时间内延续. (3) 行为策略选择机理 有限理性的学习 比较 模仿, 而不是完全理性的精确算计 ; (4) 演化博弈均衡 群体演化的均衡稳定状态, 而不是个体博弈的战略纳什均衡 ;

223 理性选择与演化变迁 问题 : (1) 中国改革开放的今天是总设计师邓小平同志理性选择设计的结果么? 或者说是中国经济学家精心研究设计选择的结果么? (2) 义乌小商品产业发展到今天是义乌领导人或者企业家 \ 学者理性选择设计的吗? 答案 :(1) 中国改革开放是 30 年中间不同制度观念文化博弈演化的结果 ;(2) 义乌小商品产业是在与其它产业的竞争博弈中间发展起来的 (3) 成千上万行为主体逐渐探索适应学习模仿的结果.

224 问题与案例 (1) 义乌小商品产业是如何发展起来的? 是义乌政府决策者 商人 企业家 或者专家学者刻意精心算计的结果么? 二十年前, 有任何人预料到义乌的今天么? (2) 个体之间的行为战略博弈与经济社会演化变革之间的区别是什么? (3) 生物进化机理与经济社会演化变革动植物不会算计, 但是自然界进化的如此精巧而完美, 为什么? 适者生存 义乌人不是神仙, 但是在长期的经济发展的实践中, 他们不断创新 学习 适应 模仿, 走出了一条以小商品

225 什么是有限理性?( 西蒙 ) (1) 西蒙认为 : 第一 对选择的结果无法完全知道 ; 第二 即使知道结果也无法准确赋值 ; 第三 无法给出全部可能的计划与方案 人们只能获得 满意解 (2) 基于客观对象复杂性的有限理性 相对于非常复杂的客观对象和问题而言, 人们理性能力不足导致的有限理性 偶然性与关联因素多样性 (3) 基于行为主体禀赋的有限理性 第一 信息缺失导致的有限理性 ; 信息私密性 ( 哈耶克 ), 信息收集成本高昂 ;

226 有限理性条件下的行为策略选择机制 (1) 姜是老的辣 遵循习惯与经验 ; 守成式选择 (2) 它山之石, 可以攻玉 学习 比较 模仿 跟风 ; 模仿式选择 (3) 摸石头过河 试错性创新法 ; 创新式选择

227 基于学习 模仿的适应性反应动态 博弈模型 假设 : 有一个多人群体协调博弈, 每个博弈方都与相邻的两方进行博弈, 各博弈方有 A B 两种策略 博弈的结果如右图所示 这个博弈有两个纳什均衡 :{A ;A};{B;B} 虽然 {B;B} 帕累托优于 {A ;A}, 但是 {A ;A} 是一个更加稳定的风险占优均衡 问题 : 在这个群体互动协调博弈过程中, 人们最终会选择什么策略呢? 这个互动博弈人群会趋向一个策略稳定状态吗? 1 博弈方 A B A 50, 50 0, 49 博弈方 2 B 49, , 60 问 : 互动博弈人群会趋向一个策略稳定状态吗?

228 群体互动博弈中的个体行为反应动态模型 如下图 : 有五个博弈方, 每方可以采用的 1 策略有 A B 两种, 则初次博弈的策 5 2 略分布有 2 5 =32 种可能 每个博方都根据上次博弈的结果 3 4, 调整这次博弈的策略 问 ; 从任何一个博弈策略初始状态出发, 最终是否能达到一个策略均衡稳定状态? 这个策略均衡稳定状态是什么? 假设 : x i (t) 为在 t 时期博弈方的邻居

229 个体行为策略动态反应调整机理 则采用 B 策略邻居的数量相应为 2- x i (t), 也 有 三个可能值 在此环境下, 博弈方 i 采 取 A 的得益为 : x i (t) 50+[2-x i (t)] 49 采取 B 的得益为 : x i (t) 0+[2-x i (t)] 60 根据适应反映动态机制, 如果采取 A 的得益大于采取 B 的得益, 即, 如果 : x i (t) 50+[2-x i (t)] 49> x i (t) 0+[2-x i (t)] 60 也即 : x i (t) >22/61; 则在 T+1 轮时,i 会采取 A; 而如果 ; x i (t) 50+[2-x i (t)] 49< x i (t) 0+[2-x i (t)] 60 也即 ; x i (t) <22/61; 则在 T+1 轮时,i 会采取 B;

230 上述推理意味什么呢? 由于 x i (t) 只有 三个可能的值, 这 就意味着, 只要 i 的邻居有一个采取 A, 则在 下一轮,i 就会采取策略 A 除非 i 的邻居没有 一个采取 A,i 才会在下一轮, 采取策略 B 依 此推理, 除非初始状态没有一个博弈人采 取 A, 否则, 从所有其余初始状态出发, 随着适应性反应的博弈选择进程, 最终都会收敛到所有博弈方都采取 A 的稳定状态

231 问题一 : 个体私人经济是如何从集体 合作经济中演化发展出来的? 在一个合作集体经济组织中, 如果出现了个体私人经济行为 ( 自留地 自养畜禽 小商贩等 ), 跟风学样者会迅速增加, 就很快会导致集体合作经济机制瓦解 博弈方 A 个体 B 合作 博弈方 2 A 个体 B 合作 50, 50 49, 0 4 0, , 60

232 问题二 : 新的时尚与风尚是如何逐渐 流行的? 流行音乐 电脑网络 手机 网络构物 品牌联锁商业 ( 肯德鸡 ) 牛仔裤 时装是如何流行普及起来的? 基于学习 模仿 适应的动态反应机制 留辫子 长袍马褂 啦叭裤 红茶菌等等曾经流行的东西为什么自生自灭了? 还有许多新的创意 设想 尝试又为什么不能流行传播开来?

233 群体行为复制动态与演化稳定战略 (ESS) 一 生物演化机理与复制动态方程 大千世界, 物种形成复杂多样的演化变迁之流 生物究竟是如何演化的? 达尔文发现了物种竞争演化的规律 : 优胜劣汰, 适者生存 适应环境者具有更高繁衍后代的几率, 不适应环境者将增加被淘汰 生物演化方程 : 设 x 是某生命物种在整个生物世界 的占有比例,u 是该物种在生存环境中的适应 性,u 是所有生物物种的平均适应性 则有 :dx/dt=x(u- u ) 复制动态方程

234 考虑一个仅有两个物种的生物世界, 在这里, 物种是如何演化的呢? 假设 : 物种一的比例为 x, 物种二的比例为 1-x 物种一的环境适应性为 u 1, 物种二的环境适应性为 u 2 物种平均适应性为 u u 1 =x a+(1-x) b u 2 =x c+(1-x) d 物种生存环境与相互适应性 物种一 物种二 物种一 a, a b, c 4 物种二 c, b 9 d, d

235 生物演化的微分方程 在这个生物世界里, 物种演化动态与它在环境中的适应性之间的关系, 可用下面方程描述 : dx/dt=x( u 1 - u) =x(1-x)[x(a-c)+(1-x)(bd)] 可以简单记为 : dx/dt=f(x) 物种演化的方向 : 如果物种 1 对环境的适应性超过平均适应性 ( 即 u 1 - u >0), 则有 dx/dt>0, 物种 1 因环境适应性强实现簇群扩张 ; 如果物种 1 对环境的适应性低于平均适应性 ( 即 u 1 - u <0), 则有 dx/dt<0, 物

236 生物演化均衡与均衡稳定性 演化均衡态 : 如果在点 x=x*, 有 dx/dt=0, 意味着 x 在 x* 点处于演化均衡状态 演化均衡的稳定性 : 如果对均衡状态给出一个微量扰动, 演化有自动回归均衡的能力与属性, 则均衡是稳定的, 如果一个微量扰动使演化远离均衡, 导致均衡坍塌, 则均衡是不稳定的 均衡稳定性条件 : 设 x* 是均衡点, 如果当 x<x* 时, dx/dt>0; 当 x>x* 时, dx/dt<0; 则 x* 是 x 的稳定均衡点 ( 根据微分方程稳定性理论 ) 等价于 x 对 t 的 2 阶导数小于 0

237 一个生物演化案例 : 蛙鸣进化博弈 雄蛙为什么叫? 为了吸引雌蛙, 但是, 也要付出成本, 并且会招引天敌 所以, 自然界雄蛙的鸣叫始终维持在即如歌唱般优美, 又不影响自身生存的水平 设 : 鸣叫成本为 z, 两只同时鸣叫吸引来雌蛙的概率为 P,(m<P<1), 单只鸣叫吸引来雌蛙的概率为 m, (0 5<m<1) 雄蛙一 鸣叫 不鸣 鸣叫 P-z, P-z 1-m,m-z 雄蛙二 不鸣 m-z,1-m 0,0 夏秋旷野中, 青蛙为什么唱歌?

238 { 蛙一 : 不叫 ; 蛙二 : 叫 } 如果青蛙会计算 如果 m-z<0, 则 P-z<1-m, 两蛙都不叫是唯一纳什均衡 1 鸣叫 M=1-P+z 如果 m-z>0, 并且 P-z>1-m 混合战略 M=z 两蛙都叫是唯一纳什均衡 不鸣叫 如果 m-z>0, 但是 P-z<1-m 则有三个纳什均衡 : 0 { 蛙一 :δ 概率叫 ; 蛙二 :η 概率叫 } 1 { 蛙一 : 叫 ; 蛙二 : 不叫 }

239 不会计算的青蛙如何进化? 设 x 是会鸣叫蛙的比例, 根据生物演化方程 : dx xxxpzmxmz (1)[(1)(1)()] dt X 有 x=0;1;(m-z)/(1-p) 三个不动点, 但只有最后一个是稳定不动点 dx/dt 0 当 0<(m-z)/(1-P)<1 (m-z)/(1-p) 1 x

240 什么时候蛙不叫? 如果 (m-z)/(1-p)<0, 即 m<z, 则 x 只有 0 和 1 两个不动点, 检验可知,x=0 是唯一稳定不动点 (ESS) 这意味着所有青蛙将不再鸣 dx/dt 叫 夏天的田野将一片死寂 当 (m-z)/(1-p)<0 0 1 x

241 有一天, 所有的雄蛙会彻夜高歌吗 如果 (m-z)/(1-p)>1, 即 m-z>1-p, 则 x 也有 0 和 1 两个不动点 检验可知, 只有 1 是 x 的唯一的稳定不动点 (ESS) 这意味着, 所有 dx/dt 雄蛙将会彻夜叫个不停 当 (m-z)/(1-p)>1 0 1 x

242 社会演化博弈与演化稳定战略 在人类群体行为策略的演化博弈进程中, 群体行为的选择与变迁又是如何决定的呢? 假设 : 在群体中选择策略 1 的比例是 x, 选择策略 2 的比例是 1-x 策略 1 与策略 2 自身和相互之间互动的结果如右边矩阵所示, 那么人群中的 x 会如何演化呢?X 会趋于一个稳定均衡状态吗? 这个均衡状态是什么? 如何能够 博弈方 1 策略 1 策略 2 博弈方 2 策略 1 策略 2 50, 50 0, 49 49, , 60 演化稳定战略 (ESS=Evolutional Stable Stratege)

243 基于生物演化复制方程的策略 演进动态方程 由于, 人群 策略博弈演进动态, 与生物 物种竞争演化动态具有完全相似的机理 因此, 可以运用生物演化复制微分方程, 推论人群的策略演化博弈 将上面博弈矩阵的值, 代入生物演化方程, 可以得到人群策略博弈演化动态方程 : dx/dt= F(x) =x(1-x)[x(a-c)+(1-x)(b-d)] =x(1-x)(61x-11)

244 演化稳定战略 令 F(x)=0,=> x=0,1,11/61; 根据稳定点定理, 由于在 x=0 的左邻域,F (x)>0, 在 x=0 的右邻域,F(x)<0, 因此, x=0 是 F(x) 的稳定点 同理, 可以证明 x=1 点同样是 F(x) 的稳定点 但是 x= 11/61 点不是 F(x) 的稳定点 就是说,x=0 与 x=1 是该演化博弈的演化稳定战略 (ESS)

245 扰动与演化稳定战略 B 同意 不同意 A A 同意 不同意 1,1 0, 0 0, 0 0, 0 签协议博弈 设在人群中采取同意策略的比例为 x, 采取不同意策略的比例为 1-x 在此人群环境中间, 任何个体行为人选择 同意 策略的效用为 U y 选择 不同意 策略的效用为 U n 显然有: U y =x 1+(1-x) 0=x U n =x 0+(1-x) 0=0 平均得益 : U p =x U y +(1-x) U n

246 扰动与演化稳定战略 演化方程 F(x)=dx/dt =x( U y - U p )=x 2 (1-x)= x 2 x 3 令 F(x) =0, 有 :x=0,1; 由于, 在 x=0 的左邻域, F(x) >0, 在 x=0 的右邻域, F(x) >0,, 因此, x=0 不是 F(x) 的稳定点, 既不是演化稳定战略 只要出现一个微小的扰动, 就会导致均衡坍塌 设在 x=0 点 ( 同意比例为 0), 出现了一个比例为 ε 的微小扰动, 此时, 采取 同意 不同意 策略的得益和平均得益为 : U y =ε 1+(1-ε) 0=ε U n =ε 0+(1-ε) 0=0 U p =ε U y +(1-ε) U n =ε 2 由于采取 同意 策略的得益大于 不同意 策略得益和平均得益, 所以, 在策略博弈复制动态过程中, 采取 同意 策

247 扰动与演化稳定战略 但是, 在 x=1 的左邻域, F(x) >0, 在 x=1 的右邻域, F (x) <0,, 因此, x=1 是 F(x) 的稳定点, 既是该博弈 的演化稳定战略 (ESS) 出现一个微小的扰动, 会自动回归均衡点, 不会导致导致均衡坍塌 假设在 x=1 点出现了一个微小扰动, 出现了 ε 比例的 不同意 个体, 在此环境下, 采取 同意 不同意 策略的得益和平均得益分别为 : U y =(1-ε) 1+ε 0=1-ε U n =(1-ε) 0+ ε 0 =0 U p =(1-ε) U y +ε U n =(1-ε) 2 由于采取 不同意 策略的收益低于 同意 策略的收益和平均收益, 所以, 最终, 策略博弈复制动态会自动回复到 x=1 的均衡态

248 鹰鸽博弈与演化稳定战略 博弈方 1 鹰 和 鸽 分别代表 攻击型 与 和平型 两种策略 生物世界与人类社会都有喜好 攻击 和喜好 和平 两种不同行为偏好 鹰 和 鸽 两 博一博弈方 2 鹰 鸽 vcvc 22 鹰, 0,v 鸽 v,0 vv, 22

249 鹰鸽博弈演化动态 设 :x 为采取 鹰派 策略的比例,v=2,c=12 则有 : dxxvcxv ()(1) Fxxx ()(1)[] dt 22 代入 v c 的值, 有 : Fxxxx ()(1)(16) 根据此演化动态方程, 有 x=0;1;1/6 三个演化均 衡点 经稳定性条件检验, 只有 x=1/6 是稳定均衡 点, 即是鹰鸽博弈的演化稳定战略 这表明, 无 论生物世界还是人类社会, 作为长期演化的均衡 结果, 采取 鹰 派战略的始终是少数 (1/6), 而采取鸽派战略的始终是多数 (5/6)

250 非对称鹰鸽博弈与演化稳定战略 前面的鹰鸽博弈是对称的, 任何博弈方都无差异 当博弈方一与博弈方二存在差异, 演化博弈的结果又会怎么样呢? 设 v 1 =10,v 2 =2,c=12 又设, 博弈方 1 人群中采取鹰策略的比例为 x, 博弈方 2 人群采 鹰鹰博弈方一 鹰 鸽 博弈方一 鸽 vcvc 12, 22 鹰 0,2v 鹰 -1,-5 0,2 博弈方二 博弈方二 鸽 v1,0 vv12, 22 设 :v1=10,v2=2,c=12 鸽 10,0 5,1

251 非对称鹰鸽博弈的演化均衡 又设 : 在博弈方 1 人群中采取鹰派策略 鸽派策略的收益为 U1 y U1 g, 平均得益为 U1 则 :U1 y =y (-1)+(1-y) 10=10-11y U1 g =y 0+(1-y) 5=5-5y U1 =x U1 y +(1-x) U1 g =5+5x-5y-6xy 再设 : 在博弈方 2 人群中采取鹰派策略 鸽派策略的收益为 U2 y U2 g, 平均得益为 U2

252 非对称鹰鸽博弈的演化均衡 则有 : U2 y =x (-5)+(1-x) 2=2-7x U2 g =x 0+(1-x) 1=1-x U2 =y U2 y +(1-y) U2 g =1-x+y-6xy 博弈方 1 的鹰派演化动态为 : dx/dt=x[u1 y - U1 ]=x(1-x)(5-6y) 博弈方 2 的鹰派演化动态为 :

253 博弈方 1 的鹰派演化复制动态 Y 值不同,x 的 ESS 战略也不同 dx/dt 0 1 x Y=5/6 ESS=[0,1] 1 dx/dt ESS=0 dx/dt ESS=1 x 0 0 x 1 1 y>5/6 y<5/6

254 非对称鹰鸽博弈群体演化复制动态 y 演化稳定性图解 1 5/6 A B 当 y=5/6,x 的 ESS=[0,1] 当 y>5/6, x 的 ESS=0 C D 当 y<5/6,x 的 ESS=1 当 x=1/6,y 的 ESS=[0,1] 0 1/6 1 当 x>1/6,y 的 ESS=0 当 x<1/6,y 的 ESS=1 x

255 博弈方 2 的鹰派演化复制动态 X 值不同,y 的 ESS 战略也不同 dy/dt 0 1 x-=1/6 ESS=[0,1] y dy/dt ESS=0 dy/dt ESS=1 y 0 0 y 1 1 x>1/6 x<1/6