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镜缚庄
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1 hp:// 基于分数维协整对股票每日最高最低价的预测研究许娟 ( 湖南大学金融与统计学院, 湖南省长沙市,416) 摘要 : 本文以我国 A 股市场沪深 3 指数上证指数和深证成指这三大指数每日最高价和最低价序列作为研究对象, 利用半参数 EW 估计方法实证发现两价格序列均为分整序列, 且二者的差额 ( 即价格极差 ) 序列存在长记忆性此时, 传统的整数维协整难以准确刻画序列间的长期均衡关系, 而用分数维协整来描述更为合理本文使用两种协整秩检验方法发现我国 A 股市场三大指数每日最高最低价均存在分数维协整关系同时, 分别使用基于分数维协整的 FCVAR 模型和基于整数维协整的 VECM 对两价格序列进行拟合, 进行价格预测, 并利用误差精度对结果进行评价, 结果表明基于分数维协整的 FCVAR 模型预测结果的相对误差更小, 准确度更高关键词 : 每日最高最低价, 长记忆性, 分数维协整,FCVAR 1 引言股票市场价格预测通常涉及开盘价收盘价最高价和最低价这四类不同的价格信息一直以来, 学者们普遍认为收盘价是一个交易日中最具观察意义的价位, 因此, 在进行股价 [1] 预测时往往关注的收盘价 Caporin 等研究表明, 包含了股票价格变化上下限的每日最高价和最低价反映了超额需求变化的信息, 可以作为止损指标, 也可以作为市场未来发展水平预测值的参考值, 其重要性不可忽视之后, 国外开始有大量学者对最高价和最低价本身的性质特征二者间的长期均衡关系及价格预测等进行研究, 但国内这方面的研究目前仍寥寥可数预测股票每日最高最低价的关键在于确定并检验两价格序列之间的长期均衡关系从国内外涉及两者间均衡关系的研究来看,Cheung [2] 以美国道琼斯工业指数纳斯达克指数以及 [3] 标普 5 指数为样本, 首次提出最高价与最低价之间存在整数维协整关系 Wan 等以英国金融时报 1 指数法兰克福指数东京日经 225 指数及香港恒生指数为研究对象也得出了类似结论他们在研究过程中均认为价格极差序列作为二者间协整关系的均衡误差项是平稳的, 为过程但 Yalama 和 Celik [4] 在研究股票价格波动的特征时, 使用 GP 估计方法对价格极差序列进行长记忆检验, 结果表明价格极差作为股票波动性的无偏估计并非平稳序列, 而 [1] 是存在显著的长记忆特征 Caporin 等在对道琼斯工业指数日最高最低价进行建模预测时, 发现价格极差序列存在长记忆性, 因此, 他们首次提出应将两价格间的协整关系推广至分数维, 而且, 他们的实证结果表明基于分数维协整的 FCVAR 模型比基于整数维协整的 VECM 对每日最高最低价的预测会更准确后续也有大量文献证明, 当系统间的均衡关系存在长记忆特征时, 在整数维协整的研究框架下进行分析会存在缺陷, 而将协整框架推广至分数维将为更合理从国内的研究来看, 曹广喜 [5] 石纪信 [6] 等大量研究均已表明我国股市波动也存在显著的长记忆特征但学者们 ( 如 : 吴斐等 [7] ) 在对我国股票日最高最低价进行预测时, 为了简化分析, 通常没有考虑到序列可能存在长记忆性, 普遍认为两价格序列间为传统的整数维协整, 并在此基础上运用 VECM 进行了预测这显然会降低预测结果的准确度鉴于此, 本文想选取我国 A 股市场三大指数的每日最高最低价作为研究对象, 实证检验 : 在对我国股票市场每日最高最低价进行建模估计与预测时, 将协整分析的框架推广至分数维是否同样比整数维更合理 - 1 -

2 hp:// 2 序列特征的初步分析 2.1 数据的选取与描述本文选取 25 年 1 月至 215 年 8 月 14 日我国 A 股市场最具代表性的三大指数, 即沪深 3 指数 ( 记为 S) 上证综指( 记为 SZZZ) 以及深证成指 ( 记为 SZCZ) 的每日最高价和最低价数据每一指数的两个时间序列分别有 2579 个交易日的数据, 共 5158 个数据, 三个指数共个数据在对时间序列进行拟合估计时, 每个指数的每个时间序列分别选用 2569 个数据进行模型拟合, 并各自预留 1 个交易日的数据对预测进行评价所有数据均来源于 Win 资讯金融终端本文将日最高价和日最低价分别定义为各自的对数价格, 即 p log( P ) 及 p log( P ), 且二者之间的差额 ( 即价格极差 ) 为 R p p 同时, 定义向量 ' X ( p, p ), 这也将应用于本文接下来的研究中图 1 至图 3 分别给出了 A 股三大指数每日最高最低价及价格极差序列的走势图从图中可以看出, 日最高价与日最低价序列的变化趋势均几乎保持一致三大指数日最高最低价从 25 年底开始大幅上升直至 27 年底随着金融危机的爆发开始下跌,29 年又开始上升, 从 21 年开始直至 214 年上半年, 经历了一个较平缓的阶段,214 年下半年开始又有上升趋势直至 215 年 6 月初, 随后又开始下降而金融危机前后和 215 年 6 月前后的价格极差的值也较大, 由于价格极差可作为波动性的有效估计, 这说明这两个时间段 A 股市场三大指数存在较大的波动图 1 沪深 3 指数每日最高最低价及价格极差序列走势图图 2 上证综指每日最高最低价及价格极差序列走势图图 3 深证成指每日最高最低价及价格极差序列走势图 - 2 -

3 hp:// 2.2 描述性统计分析所谓描述性统计分析, 即对一组数据的各种特征进行分析, 以便于描述测量样本的各种特征及其所代表的总体特征描述性统计分析的项目很多, 常用的如 : 平均数标准差中位数频数分布正态或偏态程度等等描述性统计分析是复杂统计分析的基础表 1 给出了 A 股三大指数每日最高价最低价和价格极差序列的描述性统计分析表 1 序列的描述性统计 Series Obs. Mean Me. Max. Min. S. Dev Skew. Kur. JB PV P P R S SZZZ SZCZ S SZZZ SZCZ S SZZZ SZCZ 从每日最高价和最低价序列的描述性统计结果来看, 三大指数均为尖峰厚尾 ( 峰度略大于 3) 且左偏 ( 偏度小于 ), 其中, 上证综指最接近正态分布, 而深证成指的尖峰厚尾特征最显著而价格极差序列的结果表明, 三大指数均为显著的尖峰厚尾 ( 峰度远大于 3) 且右偏 ( 偏度远大于 ) 而且, 从 J-B 正态检验的 JB 统计量和 P 值来看, 三大指数的日最高最低价和价格极差序列均拒绝了服从正态分布的原假设 3 序列的长记忆分析 3.1 平稳性检验对于一个时间序列的分析, 首先要判断是否是平稳时间序列, 即看它的均值和方差是否随时间的变化而变化, 且自相关函数是否与时间间隔有关而与所处的时刻无关通常, 大多数时间序列是非平稳的因此, 首先要检验平稳性, 然后再将非平稳时间序列转化成平稳时间序列在时间序列分析中, 为检验序列的平稳性, 经常要用到一阶差分, 二阶差分, 有时为选择一个合适的时间序列模型还要对时间序列数据进行对数转换或平方根转换等检验序列的平稳性, 国内以往的文献通常采用 ADF 检验方法结果见表 2 表 2 日最高最低价的 ADF 检验 ADF ADF ADF R level level firsifferences firsifferences level S SZZZ SZCZ 注 : 表格中的数据为 ADF 检验的 P 值结果表明, 三大指数每日最高价和最低价序列均为单位根过程, 即非平稳的而且, 由于价格极差序列可看作是两序列的一种线性组合, 价格极差序列的 ADF 检验结果是平稳的, 因此, 可认为日最高最低价序列为协整的这与以前国内研究的结论一致 - 3 -

hp://www.sinoss.ne 但是,ADF 检验是将序列含有单位根作为原假设, 而将序列平稳作为备择假设, 该检验对分数维过程的检验能力较弱虽然价格极差序列平稳, 但从序列的自相关函数图可以看出 ( 见图 4), 三大指数的价格极差序列在滞后 4 阶仍存在高度的自相关性可见, 正如 Caporin 等所言, 传统的协整分析并不能很好的解释日最高最低价之间的关系图 4.

4 hp:// 但是,ADF 检验是将序列含有单位根作为原假设, 而将序列平稳作为备择假设, 该检验对分数维过程的检验能力较弱虽然价格极差序列平稳, 但从序列的自相关函数图可以看出 ( 见图 4), 三大指数的价格极差序列在滞后 4 阶仍存在高度的自相关性可见, 正如 Caporin 等所言, 传统的协整分析并不能很好的解释日最高最低价之间的关系图 4.4 价格极差序列的自相关函数图由于 ADF 单位根检验对金融时间序列具有较低的检验势,Kwiakowski 等提出了以序列平稳为原假设的检验方法, 称为 KPSS 检验, 当序列接近单位根过程时 KPSS 检验具有较强的检验能力表 3 给出了 KPSS 检验的结果表 3 日最高最低价的 KPSS 检验 KPSS KPSS KPSS R S *** 1.77 ***.82 *** SZZZ.962 ***.989 *** 1.46 *** SZCZ *** ***.92 *** 注 :*** 和 ** 分别表示在 1% 和 5% 的显著性水平下在拒绝序列平稳的原假设 1% 5% 1% 的显著性水平下的临界值分别为.739,.463 和.347 从结果来看, 在 5% 的显著性水平下,KPSS 检验的结果与 ADF 检验的结果相同, 即都认为日最高最低价序列均为非平稳的但区别于 ADF 检验,KPSS 检验的结果表明价格极差序列也是非平稳的综合上述 ADF 和 KPSS 检验的结果, 我们可以初步判断价格极差序列可能存在长记忆性因此, 在考察日最高价与日最低价序列的关系时, 应将长记忆特征纳入建模的框架 3.2 长记忆性检验通过上述平稳性检验, 我们已经初步判断出序列可能存在长记忆性下面, 本文将通过估计长记忆参数来进一步检验序列的长记忆性, 并对其长记忆性特征进行简单说明估计长记忆参数的方法有很多, 在之前的理论部分已简单介绍过本文使用的是半参数方法中的一种, 即 Shimosu 和 Phillips 提出的单变量 EW 估计无论被检验序列是否存在协整关系,EW 估计方法均有效, 且同时适用于平稳和非平稳这两种情形 EW 估计是对 Robinson 和 Yajima 只适用于序列平稳情形的改进, 也是对 W 估计在 =3/4 和 1 时渐进理论不连续的改进表 4 给出了 EW 估计的结果表 4 EW 估计 S Banwihs EW EW m. m 6 R s.e R s.e

5 hp:// SZZZ SZCZ 注 :s.e. 为标准差虽然与其他半参数方法类似,EW 估计的结果依赖于窗宽参数, 但本文所选的两种窗宽.5 ( m, m ) 得出的结论基本一致, 即 : 三大指数日最高最低价序列的单整阶数均大于 1 且为分数维, 上证综指两价格序列的单整阶数略大于深证成指 ; 三大指数的价格极差序列均为非平稳序列, 存在长记忆特征 ( R. 5 ), 上证综指的长记忆特征比深证成指更显著 4 序列的分数维协整检验 4.1 单整阶数相等性的检验虽然 EW 方法可以估计出序列的单整阶数, 但要判断两序列是否存在分数维协整关系, 首先需要判断两序列的单整阶数是否相等 Nielsen 和 Shimosu 提出了单整阶数相等性的假设检验原假设为 :, 检验统计量 * ˆ 和 ˆ 为 : ˆ 1/ 2 m ( ˆ 1 ( (1 ˆ 2 G /( Gˆ 2 ˆ ) Gˆ ))) 1/ 2 h( n) ˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 2 m( Sˆ) ( S D ( G G) D S h( n) I p1( Sˆ) 4 当变量是协整的 ( 即协整秩 r 1), 则检验统计量 ˆ 趋于 ; 若为非协整 ( 即协整秩 r ), 则 ˆ 服从卡方分布.5 表 5 分别给出了窗宽 m 和 m 两种情形下的检验结果表 5 单整阶数相等性的检验 Banwihs. 5 ˆ. 5 ( m ) ˆ ˆ 6. ( m ) S SZZZ SZCZ 注 : 自由度为 1 的卡方分布 9% 置信度的临界值为 2.71,95% 置信度的临界值为 3.84 从结果来看, 由于最大的检验统计量 ˆ 为 , 小于自由度为 1 的卡方分布 ( 9% 置信度 ) 的临界值 ( 为 2.71) 因此, 三大指数均不能拒绝日最高价和日最低价序列单整阶数相等的原假设, 即确定了两时间序列单整阶数相等之后, 接下来本文将通过 N-S 协整秩检验和 J-N 协整秩检验这两种适用于分数维协整情形的检验方法来分析日最高价和日最低价序列之间的协整关系是否成立 4.2 N-S 协整秩检验根据 Nielsen 和 Shimosu 提出的 N-S 协整秩检验方法, 用 EW 方法估计出的分数阶差分参数来检验原点附近阶差分过程的谱密度矩阵的秩, 从而得到协整秩的一致估计结 - 5 -

6 hp:// 果见表 6 表 6 Eigenvalues N-S 协整秩检验 v() = m 1 Rank esimaes -.5 v() = m () (1) rˆ () (1) rˆ S SZZZ SZCZ 注 : 单整阶数为日最高最低价基于给定窗宽 m 1 的 EW 估计的单整阶数的简单平均从上述检验结果来看, () 和 (1) 分别表示关于协整秩为和 1 的损失函数的值, 协整秩 rˆ 取决于 arg min(u) 损失函数 (1) 均小于 (), 这意味着三大指数每日最高价和最低价之间存在显著的协整关系 4.3 J-N 协整秩检验根据 Nielsen 和 Morin 提出的 J-N 协整秩检验方法, 对协整秩 r=,1,2 分别估计了分整阶数 ˆ, 协整间隔 bˆ 及相应的似然比统计量 R, 并给出了 5 % 的显著性水平下的临界值 ( 见表 7) 表 7 J-N 协整秩检验 r= r=1 r=2 ˆ bˆ R CV5% ˆ bˆ R CV5% ˆ bˆ S SZZZ SZCZ 注 : 当 b. 5 时, 服从 2 ( q 2 ) 分布, 即当协整秩 r 时, 2 q, 2 (4) ; 当 r 1时, q 1,.95 2 (1) 3.84 当 b. 51时, 则使用 MacKinnon 和 Nielsen 所提供的 R 秩检验渐进临界值进行判断.95 结果显示 : 当 r 时, 似然比统计量 R 均显著大于其相应临界值, 意味着应拒绝不存在协整关系的原假设而当 r 1时, 似然比统计量 R 均显著小于其相应临界值, 因此, 不应拒绝存在协整关系的原假设即三大指数日最高价和日最低价之间存在显著的协整关系, 这与 N-S 协整秩检验的结果相同 5 基于分数维协整的股价估计与预测从上述两种协整秩检验的结果可以看出, 三大指数日最高最低价之间的确存在显著的分数维协整关系此时, 若继续使用基于传统整数协整的 VECM 对股票的每日最高最低价进行估计与预测可能会影响到预测结果的准确性因此, 本文接下来将引入适用于分数维协整的 FCVAR 模型, 利用 FCVAR 模型进行时间序列拟合估计, 同时, 也会使用基于传统整数维的 VECM 进行建模估计, 并比较两模型估计结果的区别最后, 分别使用 FCVAR 和 VECM 这两种模型基于 25 年 1 月到 215 年 7 月底的历史数据来对 215 年 8 月份 1 个交易日的日最高最低价进行预测, 并与真实值进行比较, 从而实证检验使用基于分数维协整的 FCVAR 模型的预测能力是否比基于整数维的 VECM 更好 5.1 基于 FCVAR 模型的估计结果及分析当滞后阶数阶数 k 1时,FCVAR 估值模型可变为 :

7 hp:// b ' b X b X, 1, X 将协整向量精确限定为 ( 1, 1), 此时可将协整关系解释为价格极差 R ( b) 即为价格极差的单整阶数此时,FCVAR 模型可简化为 : P P 其中, 1, 表 8 给出了模型估计的结果 b b b b R 表 8 ˆ bˆ ˆ R 11 P b 21 b P 12 P FCVAR 模型的估计结果 b 22 b P P P, S 1.97 (.24).517 (.44) (1,-1) (.91) (.176) (.75).244 (.76) (.116).435 (.122) SZZZ 1.89 (.24).521 (.44) (1,-1) (.93) 1.19 (.16) -.79 (.75).19 (.75) -.11 (.18).374 (.113) SZCZ 1.84 (.24).552 (.42) (1,-1) (.84) 1.71 (.145) -.94 (.68).218 (.7) -.71 (.98).356 (.12) 注 : 括号里的值为标准差,1% 的显著水平下结果均显著我们发现, 参数 ˆ 和 bˆ 显著不相等 ( 即 b ), 这说明三大指数日最高最低价的线性组合, 也即价格极差序列, 是非阶单整的三大指数的日最高最低价单整阶数 ˆ 均接近于 1, 且均为略大于 1 的分数上证综指的 ˆ 略大于深证成指调整系数和代表了 p 和 p 趋于均衡的速度, 二者均显著不为 : 均为负, 均为正, 且的绝对值比小得多, 这意味着价格极差的增加会由于日最高价的降低和日最低价的超调而在第二天减少在解释短期动态参数 ( 11,..., 22 ) 时, 滞后的日最低价系数均为负, 而滞后的日最高价系数均为正 Cheung 指出负系数意味着回归行为, 而正系数代表了溢出效应这表明较高的日最高价往往会降至一个较低的水平, 而较低的日最低价则趋于上升至一个较高的水平, 且较高的日最低价会导致较高的日最高价.5 而且, 表 9 总结了 EW 估计方法 ( m, m ) 和 FCVAR 模型对价格极差单整阶数的估计结果其中,EW 估计方法下, 价格极差的单整阶数即为 R ; 而使用 FCVAR 模型时, 价格极差即为长期均衡误差项, 其单整阶数为 ( b) 从结果来看, 三大指数价格极差序列的单整阶数均大于.5, 为非平稳序列, 存在长记忆性且上证综指的长记忆性要略强于深证成指表 9 价格极差序列单整阶数的估计 m.5 EW m FCVAR S SZZZ SZCZ 基于 VECM 的估计结果及分析在单位根和斜整检验基础上, 如果发现两个时间序列变量之间存在着协整关系, 那么根据斜整理论, 这两个变量之间就存在着一个长期均衡关系, 任何短期的定价偏差都将会受到长期均衡关系的修正因此, 可以利用线性向量误差修正模型 (VECM) 来表述它们之间的价格关系, 其具体的形式为 : - 7 -

8 hp:// k i1 k i1 11i 21i k i 12i i ( ECM ( 1)) i1 k i 22i i ( ECM ( 1)) i1 这里, 为常数项, 与分别表示最高价与最低价,k 为滞后阶数, 11i, 12i, 21i 和 22i 分别表示相应的短期调整系数,ECM(-1) 表示误差修正项,, 为随机项, 为误差修正系数, 将暂时的价格偏离状态拉回到均衡状态, 系数的正负与大小反应了调整的方向和调整的速度或者, 也可以在上述 FCVAR 模型的基础上再加上限制条件 b 1, 同样可以得到基于传统整数维协整的 VECM: X R X, , 此时, 价格极差序列 R 的单整阶数为, 即为平稳序列, 不存在长记忆性从表 1 给出的估计结果来看, 与 FCVAR 模型类似,VECM 中调整系数也均显著不为 : 均为负, 均为正, 且的绝对值比小这说明 VECM 中, 价格极差的增加也会由于日最高价的降低和日最低价的超调而在第二天减少但是, 与 FCVAR 模型不同, 在解释短期动态参数 ( 11,..., 22 ) 时, 最高价滞后项的变动对对最低价的影响则是正向的, 而最低价滞后项的变动将会对最低价产生负向的影响 ˆ ˆ S SZZZ SZCZ 1 (1,-1) 1 (1,-1) 1 (1,-1) 表 1 VECM 的估计结果 -.95 (.25) -.1 (.26) (.25) (.29).277 (.3).243 (.29) 注 : 括号里的值为标准差,1% 的显著水平下结果均显著 5.3 两种模型的预测与结果比较 -.41 (.29) -.34 (.29) -.4 (.29).239 (.26).242 (.27).229 (.26).31 (.34).297 (.34).296 (.33) -.16 (.3) -.3 (.31) -.18 (.31) 上文分别基于分数维和整数维协整得到了两种估计模型, 即 FCVAR 模型和 VECM 接下来, 本文将利用这两种模型对最高最低价进行预测, 并对预测结果进行评价本文选取的实际值 x 为三大股指 215 年 8 月份 1 个交易日的日最高最低价对数值, 并选用误差精度对两种模型的预测效果进行评价, 误差精度可以通过 1 xˆ x 来计算, 其 1 x 中, x ˆ x / x 为相对误差表 11 给出了两种模型下预测结果的误差精度表 11 误差精度 P FCVAR P P VECM P S SZZZ SZCZ

9 hp:// 从结果可以看出, 基于分数维协整的 FCVAR 模型比基于整数维协整的 VECM 对三大指数日最高最低价的预测精确度要高对于 FCVAR 模型而言, 上证综指的预测精确度要高于深证成指 ; 而对于 VECM 来说, 相反综合来看, 上述结果可以表明, 当序列存在长记忆特征时, 基于分数维协整建立模型能提高股票价格预测的准确度 6. 结论本文以我国 A 股市场沪深 3 指数上证指数和深证成指这三大指数的每日最高价和最低价序列作为研究对象, 首先, 利用 KPSS 检验半参数 EW 估计等多种方法对两价格时间序列及其价格极差序列的长记忆性进行了检验与参数估计然后, 使用 N-S 和 J-N 这两种适用于分数维协整情形的协整秩检验方法对序列是否存在分数维协整关系进行了实证检验最后, 分别使用基于分数维协整的 FCVAR 模型和基于整数维协整的 VECM 对两价格序列进行拟合估计, 做出相关预测, 并基于误差精度对两种模型的预测结果进行评价本文实证结果表明 : 我国 A 股市场沪深 3 指数上证指数和深证成指这三大指数的每日最高价和最低价序列及其价格极差序列均存在长记忆性, 并且上证综指的长记忆性比深证成指的长记忆性更显著 ; 三大指数每日最高最低价序列间均存在分数维协整关系 ; 股票每日最高最低价是可以被建模估计与预测的 ; 基于分数维协整的 FCVAR 模型的预测结果的相对误差比基于整数维协整的 VECM 更小, 准确度更高本文的研究有利于股票价格的预测在对每日最高最低价的平均动态建模时, 考虑价格极差的长记忆性, 能更好的依据历史数据预测未来的极端价格本文的研究表明我国股票每日最高最低价是可建模并可预测的, 这一结论可被进一步应用到增强交易策略, 改善风险管理以及衍生品定价 ( 如奇异期权和障碍期权的波动性 ) 等更广的领域参考文献 [1]Caporin M, Ranalo A, Sanucci e Magisris P. On he preicabiliy of sock prices:a case for high an low prices[j].j.bank.financ,213,37(12), [2]Cheung Y. An empirical moel of aily highs an lows[j].in.j.financ.econ, 27,12(1),1-2. [3]Wan,A..A, e,a.w.igh-ow Moel of Daily Sock Price Ranges[J].Journal of Forecasing,29, 28(1): [4]A Yalama,S Celik. Real or spurious long memory characerisics of volailiy: Empirical evience from an emerging marke[j].economic Moelling,213,3(1): [5] 曹广喜. 我国股市收益的双长记忆性检验基于 VaR 估计的 ARFIMA-YGARc-sk 模型 [J]. 数理统计与管理,29,1: [6] 石纪信. 基于长记忆性的中国股票市场波动行为分析 [D]. 中国科学技术大学,211. [7] 吴斐, 王艺馨, 周勇等. 基于指数每日最高最低值预测的一种新方法 [J]. 数理统计与管理,214,33(3): [8]Nielsen M,Morin.FCVAR moel.m:a MAAB sofware package for esimaion an esing in he fracionally coinegrae VAR moel[d].qed Working Paper 1273,

10 hp:// he preicion of he aily high an low prices base on fracional coinegraion XU JUAN (College of Finance an Saisics in unan Universiy, Changsha / unan, 416) Absrac:In his paper,we choose he aily high an low prices of ushen 3 inex Shanghai sock inex an Shenzhen sock inex in Chinese sock marke as he research objec, using semi-parameric EW esimaion meho o fin ha boh he wo price series an he price range series have long memory. A his ime, raiional ineger imension coinegraion will be ifficul o characerize he sequence beween he long-run equilibrium relaionship, acaemic amiral coinegraion analysis framework is exene o he fracal imension shoul be more reasonable. We use wo kins of coinegraion rank es meho an fin ha he aily high an low prices of he hree inex are kep in fracional coinegraion. A he same ime, we use FCVAR moel base on fracional coinegraion an VECM base on ineger imension were fie o esimae he wo price series. Base on he relaive error of preicion, resuls of FCVAR moel base on fracional coinegraion is smaller han VECM ineger imension coinegrae, he accuracy higher. Keywors: he aily high an low prices,long memory,fracional coinegraion,fcvar - 1 -

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多元回归 2 时间序列 3 考题分析 2 Professional Accouning Educaion Provided by Academy of Professional Accouning (APA) 期货从业知识讲解期货及衍生品分析与应用第三章金融统计与计量方法第八讲多元回归与时间序列讲师 :LpingLee ACCAspace 中国 ACCA 国际注册会计师教育平台 Copyrigh ACCAspace.com 多元回归