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梧董
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1 第 33 卷第 3 期噪声与振动控制 73 文章编号 : (2013) 代江波, 纪国宜 ( 南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室, 南京 ) 摘要 : 对 GARTEUR 飞机模型进行模拟环境激励下的模态实验, 同步采集多通道时域响应数据, 基于 MATLAB 软件平台, 采用小波变换的方法对响应数据进行处理和分析 ; 在密集模态分离和小波脊线提取方面, 提出了能量阈值法和局部能量极大值法相结合的新方法, 最终利用线性拟合及最小二乘法求解飞机模型的模态参数, 并与使用其他方法识别的模态参数结果进行比较, 验证其可行性. 关键词 : 振动与波 ; 模态参数识别 ; 小波变换 ; 密集模态 ; 能量阈值 ; 局部能量极大值中图分类号 :V ;O324 文献标识码 :A DOI 编码 : /j.issn Modl Prmeters Identifiction of GARTEUR Airplne Model DAI Jing-bo, JI Guo-yi ( Stte Key Lbortory of Mechnics nd Control of Mechnicl Structures, Nnjing University of Aeronutics nd Astronutics, Nnjing , Chin ) Abstrct : The modl experiment under the simultive mbient excittion for GARTEUR irplne model ws conducted. The multi-chnnel time-domin response dt ws collected synchronously. Bsed on the MATLAB softwre pltform, the modl prmeters identifiction ws relized by wvelet trnsform method. In the progress of the intensive modl seprtion nd the wvelet ridge extrction, new method combining the energy threshold-vlue method with the locl energy mximl-vlue method ws put forwrd. Finlly, the modl prmeters of the ircrft model were solved by using liner fitting nd lest squre method. Compring the modl prmeters with those from some other identifiction methods, the fesibility of this method ws verified. Key words : vibrtion nd wve ; modl prmeter identifiction ; wvelet trnsform ; intensive model ; energy threshold ; locl energy mximl vlue GARTEUR 飞机模型是一个典型的标准飞机模型是由具有 12 个成员的欧洲航空科技研究组织结构与材料工作组研制的该飞机具有真实飞机的高柔度, 模态频率低密集的特点, 旨在比较考核不同的模态测试设备和模态参数辨识方法本文采用小波变换的方法对其进行研究小波方法是时频法的一种时频法是近年来兴起的基于时频谱分析的模态参数识别方法它通过时频变换将信号的能量在时域和频域展开, 同时在时域和频域内观察信号随时间和频率变化的过程, 更容易得到信号的时频特征目前用于模态参数识别的时频分析方法主要有短时傅里叶变换 Gbor 变换 Cohen 类二次时频收稿日期 : ; 修改日期 : 作者简介 : 代江波 (1987- ), 男, 河南永城人, 硕士, 目前从事模态分析模型修正机械故障诊断研究 E-mil:dijingpo888@163.com 分布小波变换和 Hilbert-Hung 变换等时频分析方法直接用于时, 因存在密集模态, 导致模态参数识别不准确, 甚至无法识别的问题本文针对上述问题, 寻求一种先将密集模态分离, 再用时频分析进行模态参数识别的方法, 化多模态参数识别为单模态参数识别, 以提高模态参数识别精度 1 GARTEUR 飞机模型模态实验 [1] 模态分析实验测试系统主要包含三部分 : 激振部分数据采集部分分析计算部分为了获得满意的响应数据, 被测结构的支撑状态也很重要 1.1 支撑方式自由支撑, 采用弹性悬挂的方式模拟自由状态此时, 刚体模态所对应的固有频率不再是理想

2 年 6 月状态时的零了, 但应尽可能做到使刚体模态频率与结构最低弹性模态频率之比为 0.1~0.2 或更小, 并使悬挂点尽可能靠近所讨论模态节点附近 1.2 激振系统 [2] 采用作信号发生器, 功率放大器, 电动式激振器 1.3 数据采集系统 20 个加速度传感器和一个压电式力传感器由于要进行时频分析, 所以要求同时采集各通道的时域响应信号因此, 本次试验采用具有最佳数据带宽和延时特性的 NI PXI 平台, 基于 PXI 平台并结合数据采集与分析软件, 进行数据采集与分析 2 模态参数识别 2.1 信号的预处理本文应用随机激励进行模态试验, 所以采集的结构响应也是随机的, 其响应信号中包含有确定性信号及随机信号两部分本文利用自然激励 (Ne XT) 技术去除随机信号成分提取确定性信号, 即对一定的初始条件下的自由衰减振动信号自然激励法原理 [3] : Ne XT 的基本思想是环境激励下结构两测点之间响应的互相关函数和脉冲响应函数有相似的表达式, 求得两点之间响应的互相关函数后, 代替传统时域模态分析法中的自由振动或脉冲响应函数进行模态识别对提取的自由衰减信号进行带通滤波处理 : 数字滤波是通过数学运算从所采集的离散信号中选取人们所感兴趣的一部分信号的处理方法本文主要应用其达到分离频率分量的目的数字滤波的时域方法是对信号离散数据进行差分方程数学运算来达到滤波的目的经典数字滤波器实现方法主要有两种 : 一种是 IIR 数字滤波器, 称为无限长冲激响应滤波器 ; 另一种是 FIR 滤波器, 称为有限长冲激响应滤波器本文采用 IIR 切比雪夫 I 滤波器, 其指标是相对指标, 以分贝 (db) 值的形式提出要求, 分贝值的定义为 H(e j ω ) db = -20 lg (1) H(e j ω ) mx 在滤波器设计时, 还有一些重要的技术指标, 这些指标分别是通带截止频率阻带截止频率通带波动系数阻带波动系数, 以及滤波器的阶数 IIR 滤波器表达式 M y(n) = k x(n - k) - b k y(n - k) (2) k = 0 N k = 1 式中和 b 分别为输入和输出时域信号序列 ; 并且均为滤波系数它的系统传递函数可以用下式表示 H(z) = M k = 0 N 1 + k z -k k = 1 b k z -k (3) 式中 N 为 IIR 滤波器的阶数, 或称为滤波器系统传递函数的极点数 ;M 为滤波器系统传递函数的零点数 ; 和 b 不均为权函数系数通过调整滤波器指标值, 便可得到本文中用于分析的具有不同频域的信号 2.2 连续小波变换理论小波是一种持续时间很短的波, 它必须满足以 [4] 下容许条件 + ψ (ω) 2 C ψ = 0 dω < + (4) ω 满足上式的时间函数 ψ(t) 称为母小波或基本小波, 通常简称为小波任意能量有限信号 f (t) L 2 (R), 其连续小波变换定义为 Wf (,b) = f (t)ψ æè t - b ödt = ø f (t), ψ,b (t) (5) 其中为尺度参数 ;b 为平移因子 ; 表示对 ψ, b (t) 取共轭本文采用改进的 Morlet 小波作为连续小波变换的基函数, 其表达式为 ψ(t) = 1 (πf b ) e j2πfct e -t2 /f b (6) 其中 f b f c 分别为带宽参数和小波的中心频率, 其伸缩后频域形式为 Ψ(f ) = e -f b(2π) 2 (f - fc) 2 /4 (7) 从式 (7) 中可以得到, 当 f = f c 时, 其值为最大, 进而得出了小波伸缩参数与其中心频率之间的关系 2.3 密集模态分离和脊线提取 = f c f (8) 常用的密集模态分离技术有带通滤波法经验模式分解法即 EMD 法等但是仅采用其中一种方法进行密集模态分离效果不理想, 因此本文采用带通滤波和能量阈值相结合的新方法, 先进行带通滤波, 得到几层分离信号, 其中一层信号包含有密集模态成分, 然后对这层信号再进行小波变换, 对小波变换系数进行能量阈值处理, 结合局部能量极大值法,

3 第 33 卷第 3 期噪声与振动控制 75 提取出各阶模态的小波脊线, 同时也达到密集模态分离的目的能量阈值法和局部能量极大值法首先对信号的小波变换系数取其模值的平方, 然后求解整个能量矩阵的平均值 m, 令其乘以系数, 当能量矩阵中的元素满足大于或等于 m 和的乘积 b 时, 度量矩阵对应位置的元素赋值 1, 否则为 0 系数用以控制能量矩阵中元素的连通区域的个数 ; 所谓连通区域就是指一个能通过四连通域链接起来的区域, 也就是任取一个数值为 1 的点, 在其上下左右一定能找到一个 1 各连通区域彼此没有交集, 分别记为 1 2, 依次类推对每个连通区域提取脊线的方法就是局部能量极大值法首先提取每个连通区域中每个时间点上的能量极大值, 然后通过样条插值函数绘制小波脊线因为, 能量阈值能够控制连通区域的个数, 而每个连通区域对应 1 阶模态, 所以能量阈值法可以达到密集模态分离的效果 2.4 固有频率阻尼比识别原理对于单自由度系统, 其响应形式可以表示为 x(t) = Ae -ζω nt cos(ω d t) s(t) = x(t) + jx (t) = S(t)e jω dt 为其解析形式 : 式中 x (t) = 1 π + x(τ) dτ 对该解析信号进行连续小波变 - t - τ 换 Ws(,b) = 1 + jω - S(t)e d t 2 ψ æ è t - b ödt (9) ø 将表达式 S(t) 在 t = b 处做级数展开, 可得 : Ws(,b) = 1 + ( S(b) + 0(S(b)) ) e jω dt ψ æ - 2 è 阶小项 0 (S(b)), 则可以表示为 Ws(,b) 当 r = ω c 2 S(b)e jω db Wf (, b) t - b ödt, 忽略高 ø ψ ( ω d ) 写成频域形式 2 Ae-ζω nb f (ω - ω ) 2 e - b d c 4 e jω db (10) ω d 时, 小波系数在整个时间范围内达到极值, 在 ( r, b ) 处形成小波脊整条曲线就称为小波脊线, 这时令 λ 1 = ζω n,λ 2 = ω d, 则 λ 1 = - d db ln Wf ( r, b),λ 2 = d rg( Wf ( r, b) ), 则结构模 db 态频率和阻尼比为 f i = λ λ2 2 2π (11) ζ i = λ 1 2πf i (12) 根据小波变换的线性性质可知, 对于多自由度系统进行小波变换等效于分别对各阶模态自由度进行连续小波变换则 N Wf (, b) = i = 1 当 i = ω c 2 A ie -ζ iω nib e -(ω di - ω c ) 2 f c /4 e jω dib (13) ω i 时, 在相邻模态较为稀疏的情况下, 第 i 阶模态对小波系数的贡献最大, 其它模态影响较小, 在时频图上显示为高亮的区域, 则 Wf ( i,b) 2.5 振型识别原理 i 2 A ie -ζ iω nib e -(ω di - ω c ) 2 f c /4 e jω dib (14) 小波变换系数 W (, b ) 为复数, 既包含幅值信息又包含相位信息本文利用所有测点的小波变换系 [1] 数来识别结构的振型设系统的响应点为 j 点, 参考点为 r 点, 对应的第 k 阶小波变换系数分别为 W j ( k, b ) 和 W r ( ) k, b, 则两者的比值为 φ j k = W j ( k, b )/W r ( k, b ) (15) 反映了响应点 j 相对参考点 r 的振动信息实际计算中, 公式 (15) 在整个时间轴上的比值并非一个常数因此, 每个响应点相对于参考点的每阶振型归一化系数 φ j k 应该求出最佳常数解, 因此利用最小二乘法求其最佳解在式 (15) 中令 W j = W j ( k, b ), W r = W r ( k, b ) (16) 得 φ j k 的最佳二乘解为其中 H 代表求共轭转置 φ j k = W j W r H (W r W r H ) (17) 3 GARTEUR 飞机模态实验算例进行此实验的主要目的是验证本文所提供的小波方法的可行性 : 通过实验所采集的时域数据, 用小波方法识别模态频率阻尼比和模态振型, 并将其与仿真计算和模态分析软件识别所得的模态参数加以比较, 验证本文方法的正确性随机振动响应原始信号经 NeXT 法处理后如下图 1 所示对处理后信号进行带通滤波处理得到四层包含不同频率成分的时域信号如下图 2 所示分析图 3 频谱图可知 : 前三层信号含有单一频率成分, 在参数识别时, 因为不同的小波基函数对应的频率分辨率不同, 所以小波基的选取对识别结果有一定的影响此处, 经比较后, 采用 cmor 20-5 型复 morlet 小波作为母小波, 其中,20 是指小波函数带宽,5 是指小波函数中心频率, 单位 Hz, 增加带宽和 [6] 中心频率可以提高频率分辨率在小波变换的基础上, 利用能量阈值法和局部能量极大值法进行小波脊线提取, 能量阈值均取 4, 提取的脊线如下图 4:

4 年 6 月图 1 处理后信号及信号频谱图 Fig. 1 Signl fter processing nd spectrum digrm 图 3 前三层信号的频谱图 Fig. 3 Spectrum digrm of the form three lyers signl 图 2 滤波后所得四层信号 Fig. 2 The four lyers of the signl fter filter 图 5 第四层信号频谱图 Fig. 5 Spectrum digrm of the fourth lyers signl 每条脊线对应的尺度位置分别为 : 分析图 5 知第四层信号存在频率密集情况, 现在考虑包含密集模态的第四层信号的模态参数辨识, 首先进行小波变换, 先试选小波函数为 cmor 20-5, 为了分离密集模态, 我们采用能量阈值法, 初始阈值设为 3.6, 得到其脊线区域为一个连通区域 ; 然后利用局部能量极大值法进行脊线提取, 发图 4 前三层信号的小波脊线 Fig. 4 Wvelet ridge line of the first three lyers of signl 现只能提取出一条脊线, 无论怎样调节能量阈值, 均不能实现多脊提取这时就应该是频率分辨率不够造成的, 增加母小波带宽可以提高频率分辨率, 此时选取分辨率更高的 cmor100-5 小波函数, 取初始能量阈值为 2.5, 得到两个连通区域, 即脊线区域, 一种颜色代表一种连通区域, 只能提取两条脊线, 继续改变阈值, 取 2.8, 此时得到图 6 左图所示的脊线区域从图 6 可以看出已经得到三个脊线区域, 说明已经实现了密集模态的分离, 应用局部能量极大值法提取每个脊线区域对应的脊线, 结果如图 6 右图所示每条脊线对应的尺度位置分别为 : , 这样所有脊线已经提取出来, 然后应用幅值对数拟合曲线和相位拟合曲线并结合公式 (11) 和 (12), 便可求解出固有频率和阻尼比 ; 拟合时, 由于小波变换在进行模态参数识别时, 会出现边缘效应的影响, 会对进一步的识别带来影响, 一般的处理方法有信号延拓等, 此处采用数据信息量大, 可以采用变换后的边缘效应影响非常小的中间段数据进行进一步的处理, 去除了边缘效应的影响线性拟合如下图 7, 其中 : 实线代表真实值, 虚线代表拟合值

5 第 33 卷第 3 期噪声与振动控制 77 图 6 脊线区域和脊线 Fig. 6 Ridge line re nd ridge line 图 7 密集模态及第 6 阶模态幅值及相位拟合曲线 Fig. 7 The mplitude nd phse fitting curve of dense modl nd sixth mode 用上述方法识别的模态频率和阻尼比如下表 1 所示, 振型如图 8 所示, 并与模态分析软件识别结果进行对比最小二乘法识别的弯曲模态振型见图 8 4 仿真分析利用 Ptrn 有限元分析软件对飞机模型进行仿真分析 : 建模划分网格和模态分析分析结果如下前 6 阶固有频率 ( 单位 Hz): ; 对应于小波方法识别的弯曲模态振型如图 13 所示 : 仿真计算的结果与小波方法识别结果基本吻合, 模态振型匹配良好, 只是在第五阶模态出现一定的偏差, 原因可能是实验模型出现磨损实验环境或建模误差影响等. 5 结语通过比较可知, 小波方法模态参数识别结果有一定的准确性, 模态频率识别结果与软件识别结果基本吻合, 而且能够识别出密集模态, 阻尼识别结果

6 年 6 月 1 阶振型对称一弯 b 2 阶振型反对称二弯 c 3 阶振型反对称二弯图 8 弯曲振型图 Fig. 8 Bend modl shpe d 6 阶振型对称二弯模态表 1 GARTEUR 飞机模型前 6 阶模态参数 Tb. 1 First six modl prmeters of GARTEUR plne model 小波方法软件识别固有频率 /Hz 阻尼比 % 固有频率 /Hz 阻尼比 % 注对称一弯反对称二弯反对称二弯反对称一扭对称一扭对称二弯 1 阶振型对称一弯 b 2 阶振型反对称二弯提取这方面有很好的效果, 但是在阀值的选取和小波基函数的选取上需要花费一定的时间而且需要一些经验 ; 综合而言本文所提出的新的模态参数辨识方法具有一定的可行性参考文献 : c 3 阶振型反对称二弯 d 6 阶振型对称二弯图 9 弯曲振型图 Fig. 9 Bend modl shpe 有些偏差 ; 多模态参数识别转换为单模态参数识别时, 为尽量避免模态遗漏的出现, 滤波器的选取与参数设置很重要, 应尽量包含所有模态信息 ; 能量阈值法和局部能量极大值法在密集模态分离和小波脊线 [1] 傅志方. 振动模态分析与参数识别 [M]. 北京 : 机械工业出版社,1990, [2] 傅志方, 华宏星. 模态分析理论与应用 [M]. 上海 : 上海交通大学出版社, ; [3] 王济, 胡晓. MATLAB 在振动信号处理中的应用 [M]. 北京 : 中国水利水电出版社, [4] Ingrid Dubechies. Ten lectures on wvelets 小波十讲 [M]. 北京 : 国防工业出版社,2004, [5] 罗广坤, 张令弥. 基于 Morlet 小波变换的模态参数识别研究 [J]. 振动与冲击,2007,26 (27), [6] 唐向宏, 李继良. 时频分析与小波变换 [M]. 北京 : 科学出版社,2008,

数字信号处理第五章04 IIR数字滤波器-脉冲响应不变变换法.ppt [兼容模式]

数字信号处理第五章04 IIR数字滤波器-脉冲响应不变变换法.ppt [兼容模式] 数字信号处理周治国 2015.11 第五章数字滤波器 IIR 数字滤波器脉冲响应不变变换法 1 从模拟低通滤波器设计数字低通滤波器 (1) 脉冲 / 阶跃响应不变法 (2) 双线性变换法一从模拟滤波器设计数字滤波器 2 IIR 数字低通滤波器的频率变换 ( 高通带通带阻数字滤波器的设计 (1) 直接由模拟原型到各种类型数字滤波器的转换 (2) 从数字低通滤波器到各种类型数字滤波器的转换