04 高中數理學科比賽 數學 日期 : 04 年 5 月 7 日總頁數 : 時間 : 上午 9 時 30 分至 0 時 45 分 ( 小時 5 分鐘 ) 總分 : 76 ( 多項選擇題每題 分 ). 在多項選擇題答題紙和乙部答題紙的適當位置分別填寫考生編號 考場編號 考生姓名 ( 英文和中文 ) 學校名稱 年級 日期 性別 卷別語言和科目. 當宣布開卷後, 考生須檢查試題是否缺漏, 最後一題之後應有 試卷完 字樣 3. 甲部所有題答均須作答 為便於修正答案, 考生宜用 H 鉛筆把甲部答案填畫在多項選擇題答題紙上 4. 甲部每題只可填畫一個答案 ; 若填畫兩個或多個答案, 則該題不給分 5. 乙部包含 部 部及 3 部 考生只需選答其中一部, 並在該部中選 答四題 6. 乙部題目的答案均須以真確值或數學數式表示 7. 本卷答案錯誤, 不另扣分 8. 本試卷的附圖不一定依比例繪成 04 香港理工大學保留版權
參考公式 ) ( ) ( sin sin ) ( ) ( ) sin( ) sin( sin sin sin sin sin sin sin sin sin tan tan tan tan ) tan( sin sin ) ( sin sin ) sin( = = = = = = = ± = ± = ± ± = ± 第 頁
甲部 本部各題均須作答 選出每題最佳的答案. 若 a = 3, 則 a 3 3 a a =.. 8 C. 7 D. 36. 設 k 為一實常數 方程 x k( x) = 0 有多少個相異實根?.. C. 0 D. 由於不知道 k 的值, 所以未能判斷 3. 設 a b 及 c 為實數, 且 abc > 0 f ( x) = ax bx c 的圖像? 下列哪一個可能是函數.. C. D. 第 頁
4. 圖中顯示 y = ax bx c 的圖像, 其中 a b c 是實數 圖像的頂點坐標為 (3, ) c 的值是 y y = ax bx c O (3, ) 4 x.. 7 C. D. 6 5. 已知 f (x ) = x x 3 求 f ().. 3 C. 7 D. 6. 已知 = h k p = 5 00, 其中 h k 及 p 為非零實數 求 p p 的值 h k.. C. log 7 D. log 7 第 3 頁
7. 圖中顯示 a y = 4x 的圖像, 其中 a 為常數 y y = 4x a O x 下列哪圖代表 log x 及 log y 的關係? 4 4. log 4 y O log 4 x. log 4 y O log 4 x C. log 4 y O log 4 x D. log 4 y O log 4 x 第 4 頁
x 8. 設方程 log 7 x = 0 及 log x 0 7 7 = 的根分別為 α 及 β 下列哪項正確?. 0 < αβ <. αβ = C. < αβ < 3 D. αβ 3 3 9. 設 f ( x) = x ax bx c, 其中 a b 及 c 為實數 若 f ( ) = f () = f (3) = 0, 求 c 的值. 6. C. D. 6 7 x 0. 設 p q 及 r 為實數 若 x 4x 6 px 4qx r 4 3 3 3 能被 x x 9x 3 整除, 則 ( p q) r =. 7. 8 C. 5 D. 45. 當多項式 f (x) 除以 ( x ) 時, 餘數是 3 當 f (x) 除以 ( x 3) 時, 餘數是 5 求 (x). x. x C. x D. x f 除以 ( )( x 3) x 的餘數 第 5 頁
. 解方程 5 = 5 x x.. C. D. 5 5 或 5 5 或 3. 若 0 x < 360, 方程 x x = 的根的數目是. 3. 4 C. 5 D. 6 4. 設 x 及 y 為兩個變量 下表顯示一些 x 及 y 的對應值 : x 4 8 y 若 x = 56, 求 y 的正數值.. 8 4 C. 4 D. 8 5. 已知 z 部分與 x 正變, 及部分與 y 正變 當 x = y =, z = 當 x = y =, z = 9 求當 x = y = 4 時 z 的值. 6. 38 C. 76 D. 8 第 6 頁
6. 在圖中, C 是圓的直徑, 直線 Q 垂直於 C,C 與圓交於 P, 而 PQ 是圓的切線 下列哪些項正確? P Q C I. PQ 平分 II. PQ 是等腰三角形 III. C = CP. I 與 II. I 與 III C. II 與 III D. I II 與 III 7. 圖中, CDE 為一圓形 C = 00 ED = 0, 及 DC = a 求 a 的值 a 00 0 C E D. 40. 50 C. 60 D. 70 第 7 頁
8. 圖中, 一半圓內接於 C O 是半圓的圓心, = C = 8 及 C = 5 O C 共線 及 C 與半圓相切 求 O 的長度. 0. C. D. 3 9. 設 m c 為實數, 其中 m 0 線 L: y = mx c 沿它的 x 軸截距逆時針旋 轉 90 至線 L L 的方程是 c. y = x m m c. y = x m m c C. y = x m m c D. y = x m m 0. 直線 L 通過 (6, 0) 並與 x 軸相交於 另一直線 L : x y 0 = 0 與 x 軸相交於 L 與 L 相交於 C 若 C = C, 求 C 的坐標 (6, 0) x C L L. (3., 8.4). (0, 5) C. (7,.5) D. (8, ) 第 8 頁
. 設 m n 為實數 ( a, b) 及 C ( c, d) 是直線 y = mx n 上相異的兩點 若 a > c, 則 C =. ( a c) m. a c m C. ( a c)( m ) a c D. m. x 4 x x x 及 x 4 的方差是. 0. C. D. 8 3. 考慮實數 3 4 8 a b 已知這六個數的平均值為 6 若使這六個 數的標準差達至其最小可能值, 那麼 a 和 b 的積是多少?. 6. C. 4 D. 5 第 9 頁
4. 圖 顯示一個內半徑 5 cm 的半圓球容器, 它裝滿了水 一個底半徑 4 cm 及斜高 0 cm 的實心圓錐被直立地放入該容器內, 如圖 所顯示, 使一 些水溢出 求容器內所餘水的體積, 答案須準確至 3 位有效數字. 5 cm 3. 53 cm 3 C. 54 cm 3 D. 55 cm 3 圖 圖 5. 在圖中, C 與 CDE 是等邊三角形 DE 與 C 及 分別交於 P 及 Q, 而 EC 與 交於 R DC C, 而 C = 求四邊形 PQRC 的面積 D Q P E R C. 3 sin5. 3 tan5 C. D. 3 sin 30 3 tan 30 第 0 頁
6. 若 為一正整數使... 3 3 5 ( )( 3) =, 求 的值 5. 9. 0 C. D. 7. 若 p q 是質數且 p 5 q = 97, 求 q p 的值. 07. 39 C. 37 D. 359 8. 在圖中,CD 是一長方形, = 0, C = 6 E 和 F 分別是 及 D 的中點 G 是 EF 上的點, 且 FG = 3GE 求 CEG 的面積 D C F G E.. C. D. 45 8 49 8 55 8 57 8 第 頁
9. 一份測驗卷有 5 題 若答案正確每題得 5 分, 不正確每題扣 分, 沒 有答題則不扣分 若有 m 個可能的總分, 求 m. 70. 79 C. 8 D. 99 30. 在 6 進制中, 設字母 至 Z 分別代表數碼 0 至 5 設 4 α = HPPY 6 SD 6, 其中 HPPY 6 = 7 6 5 6 5 6 4 及 SD = 8 6 3 若以 進數表示 α, 它有多少個位? 6. 34. 35 C. 36 D. 37 甲部完 第 頁
乙部只需選 部 部或 3 部其中一部作答 部選答四題 3. 等差與等比數列 設 a 為某等差數列的第 n 項 已知 a = 及 a a = n 3 6 9 (a) 以 n 表 a n a a3 a (b) 求 a n, 答案以 n 表示 n 4 3. 等差與等比數列 在圖 - 中, 一物件以螺旋方式移動 每次它分別水平移動及鉛垂移動, 此被視為一關 起初每次水平移動及鉛垂移動的距離都是 下一關每次移動的距離是上一關的兩倍 圖 - (a) (b) (c) 求第 5 關時水平移動的距離 求第 6 關時鉛垂移動的距離 求完成第 8 關時該物件所移動的總距離 第 3 頁
33. 圓方程 y C x L 圖 - 在圖 - 中, 直線 L: 3 x 3y 3 = 0與 x 軸及 y 軸分別相交於 和 一圓形通過 及 C, 且 C 是等邊三角形 (a) (i) 求 C 的坐標 (ii) 求該圓形的半徑及圓心的坐標 (b) 求該圓形的方程, 答案以標準式表示 第 4 頁
34. 軌跡 在圖 -3 中, 圓形 C 的圓心是 (8, 4) 而半徑是, 圓形 C 的圓心是 (4, 6) 而半徑是. PQ 是 C 及 C 的共切線, 而 與 PQ 的延線相交於 C 假設 P 的 x 坐標大於 8 圖 -3 (a) (b) 求 C 的坐標 求 PQ 的斜率 答案需準確至 3 位小數 (c) 使用 (b) 的結果, 求 PC 答案需準確至 位小數 35. 概率 排列與組合 9 個座位被排成一行供來自 3 個不同班別的 8 個學生就坐 有 個學生來自 5,3 個來自 5,3 個來自 5C (a) (i) 求該 8 個學生就座的方法的數目 (ii) 5 的 個學生必須相鄰地就座, 求所有人就座的方法的數目 ( 兩個學生相鄰地就座即他們之間沒有其他人或空座 ) (b) 這 9 個座位現在被排列成 3 個分開的行, 每行有 3 個座位 5 的 個學生必須相鄰地就座, 求所有人就座的方法的數目 第 5 頁
36. 概率 排列與組合 7 男 5 女隨機地分成 4 組, 且每組人數相等 求 (a) 其中一組全是女生的概率 ; (b) 各組中至少有一名女生的概率 部完 第 6 頁
部 選答四題 37. 二項展式 指數函數及對數函數 已知 x x = a bx cx, 其中 a b 及 c 為實數而 n 為正整 4 n (4 3 ) ( )... 數 (a) 求 a 的值 (b) 若 x 的係數為 46, 求 n 的值 38. 二項展式 指數函數及對數函數 (a) 設 n 為正整數 在 求 n 的值 ( x x n n ) ( ) 的展式中, x 的係數為 3, (b) 計算 0 0 0 C4 C0 C 的值 39. 微分法 圖 - 為函數 y = f (x) 的一階導數的圖像 圖 - (a) 若 x = x0 是 y = f (x) 的局部極大值, 求 x 0 的值 (b) 求 x 值的範圍使 y = f (x) 的圖像是凹向上 (c) 設直線 L 為曲線 y = f (x) 於 x = 的切線 若 f ( ) =, 求 L 的 方程 第 7 頁
40. 微分法 在圖 - 中有一個半徑為 cm 及圓心為 O 的圓形 P 和 Q 是圓上的 點 以 PQ 為底, 設 OPQ 的高為 h cm O h cm P Q 圖 - (a) (i) 若 OPQ 的面積是 cm, 以 h 表 (ii) 求 POQ 使 OPQ 達至最大面積 (b) 頂點 P 和 Q 現在圓上滑行, 使 OPQ 的高 ( 以 PQ 為底 ) 以每 秒 3 cm 的率增加 (i) (ii) 求當 h = 0.8 時,PQ 的長度相對於時間的變率 求當 h = 0.8 時, 相對於時間的變率 第 8 頁
4. 積分法 圖 -3 3 圖 -3 所示為曲線 y = x x c 的圖像 直線 y = x 6 與曲線相切於, 並與曲線相交於 求 (a) c 的值 ; 3 (b) 曲線 y = x x c 與直線 y = x 6 所圍成的閉區域的面積 4. 積分法 在圖 -4 中,P(a, b) 為曲線 C : y = 8x 3 上的一點 由 P 點畫兩直線分別垂直於兩軸並與兩軸相交 y y = b P 0 I II x = a x 圖 -4 區域 I 由 y = b y = 8x 3 及 y 軸所圍成, 而區域 II 由 x 軸 y = 8x 3 y 軸及直線 x = a 所圍成 (a) (b) 求區域 I 的面積並以 a 表示 由此, 若區域 I 及區域 II 的面積相等, 求 a 的值 部完 第 9 頁
3 部 選答 4 題 43. 二項展式 指數函數及對數函數 (a) 設 n 為正整數 在 求 n 的值 ( x x n n ) ( ) 的展式中, x 的係數為 3, (b) 計算 C 的值 0 0 0 C4 C0 44. 矩陣 (a) 在所有元素為 0 或 的 矩陣當中, 共有多少個矩陣為可逆 ( 非 奇異 ) 的? a b c (b) 已知 det = d e f = α 求 g h i det = a d d g g a b e e h h b c f f i i c, 答案 以 α 表示 45. 微分法 圖 3- 圖 3- 為 y = f (x) 的一階導數的圖像 (a) 若 x = x0 是 y = f (x) 的局部極大值, 求 x 0 的值 (b) 求 x 值的範圍使 y = f (x) 的圖像是凹向上 (c) 設直線 L 為曲線 y = f (x) 於 x = 的切線 若 f ( ) =, 求 L 的方程 第 0 頁
46. 微分法 在圖 3- 中有一個半徑為 cm 及圓心為 O 的圓形 P 和 Q 是圓上的 點 以 PQ 為底, 設 OPQ 的高為 h cm O h cm P Q 圖 3- (a) (i) 若 OPQ 的面積是 cm, 以 h 表 (ii) 求 POQ 使 OPQ 達至最大面積 (b) 頂點 P 和 Q 現在圓上滑行, 使 OPQ 的高 ( 以 PQ 為底 ) 以每 秒 3 cm 的率增加 (i) (ii) 求當 h = 0.8 時,PQ 的長度相對於時間的變率 求當 h = 0.8 時, 相對於時間的變率 第 頁
47. 積分法 一半徑為 的實心球體被鑽出一個半徑為 的洞, 且該洞均勻地通過球的 中心, 如圖 3-3 所示 求被鑽去的物質的體積 答案以 π 表示 圖 3-3 48. 積分法 (a) 已知 dx = π 若 0 x 4 數, 求 a 的值, 以分數表示答案 0 4 4 x ( x) d x π = a, 其中 a 為有理 x (b) 利用不等式 x ( x) x ( x) x ( x) < < 4 4 4 4 4 4 x, 其中 0< x <, 及 (a) 部的結果, 求 π 的下限及上限, 答案以四位小數表示 3 部完全卷完 第 頁