复习 数字滤波器从功能上可分为低通 高通 带通 带阻
理想滤波器的频率响应
数字滤波器的系统函数与冲激响应 3
IIR 滤波器 ( ) 4
第 8 章 IIR 数字滤波器设计 5
8. -z 变换设计 从 S 平面映射到 Z 平面三种常用的方法 : 冲激响应不变法: 从时域的角度出发进行映射 ; 双线性不变法: 从频域角度出发进行映射 ; 3 匹配 z 变换法 : 频域直接映射 6
4
( 注意 : 非递归形式 ) 8
设模拟滤波器的传递函数 H () 是 的有理函数 9
设模拟滤波器 H () 只有单阶极点, 且分母多项式的阶次高于 分子多项式的阶次, 将 H () 用部分分式表示 : 将 H () 进行拉氏反变换得到 h (t): 0
对 h (t) 进行等间隔 T 采样, 得到 : h( n) h( t) h( nt) A e t nt k k N nt pk N t h t A e u t pk ( ) ( ) k k 对上式进行 Z 变换, 得到数字滤波器的系统函数 H(z): H() z N k 因此, 平面与 z 平面存在对应关系 : pk e A k T z pk T e z pk a n u az z变换 ( n) H () N A k k pk
冲激响应不变法 H () N k A k pk 拉氏反变换 h() t N k A e k t pk? 等间隔 T 采样 Hz () N k A e k T z pk z 变换 h( n) N k A e k nt pk
由第 章采样信号的频谱表达式 (.80), 得到 : 上式表明将模拟信号 h(t) 的拉氏变换在 平面上沿虚轴按照周期 Ω =π/t 延拓后, 再按照的映射关系, 映射到 z 平面上, 就得到 H(z) 下面进一步分析这种映射关系 ( 讨论 ) H ( z ) H T ( j m ) ze T m T z e T 47
因此得到 : T r e T z=e T, 平面与 z 平面之间的映射关系 48
8. 986 冲激响应不变法 : 平面与 z 平面的关系 T e z pk pk 平面上 的极点 z z( ) e pk e T pk z re j j T pk z 平面上的极点数字角频率模拟角频率 只反映 平面的极点与 z 平面的极点有对应关系, 零点之间无对应 re j e T e jt 5
由采样定理知, 只有当模拟滤波器的频率响应是限带的, 且频带小于采样频率一半, 才不会发生混迭现象 H ( z ) H T ( j m ) ze T m T 数字滤波器与模拟滤波器频率响应之间的关系 : 数字滤波器与模拟滤波器频率响应之间由一个频率轴的线性比例因子联系起来 ω <π 6
任何一个实际模拟滤波器的频率响应都不会是严格限带的, 造成 的后续项之间的 串扰 7
讨论例 8. 由图可看出, 由于 H(jΩ) 不严格限带, 所以 H(e jω ) 产生了频谱混叠失真 模拟滤波器的频率响应 H(jΩ) 以及数字滤波器的频率响应 H(e jω ) 分别为 : ja H( j) aj a b j He ( ) at ( e co bt ) e j at jbt j at jbt j ( e e e )( e e e ) 8
H () ht () ( ) H () N Ak k pk hn H() z N t h t Ak e u t pk ( ) ( ) k N k pk ( ) ( ) ( ) k nt h n h nt A e u n n pk H ( z) h( n) z A e z n n0 k N k e A k T pk z N k nt n 9
4 冲激响应不变法特点 : 极点数相同 ; 模拟频率 Ω 和数字频率 ω 之间呈线性关系 ω=ωt; 数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应, 时域逼近良好 ; 如果模拟滤波器的频率响应不是严格限带, 该方法得到数字滤波器在频域出现混叠现象 ; 不宜用于设计高通和带阻数字滤波器 ( 高频部分会发生混叠 ), 一般仅适合低通和带通数字滤波器的设计 53
8.. 双线性变换法. 基本思想从频域响应出发, 直接使数字滤波器的频域响 j 应 H( e ), 逼近模拟滤波器的频域响应 H( j), 进而求出 H(z)
考虑模拟滤波器的传输函数 H () 展开部分分式
只需要研究一项 : 对应的一阶微分方程为 y( t) y( t) Ax( t) p 令 y( n) y( n ) y' t T y( n) y( n ) x( n) x( n ) y( t) ; x( t) 3
[ ( ) ( )] p A y n y n [ y ( n ) y ( n )] [ x ( n ) x ( n )] T 得到一阶差分方程 : 对上式两边进行 Z 变换, 得到 : Y() z H() z X() z T A z z p 比较 得到了 - z 之间的变换关系 : T z z 3
另一方面, 当变换关系采用下式时 将有关系式 双线性变换的基本关系 上面两个式子是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系, 这种变换称为双线性变换 4
双线性变换的映射关系应满足两个基本条件 ()S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上 ; () 位于 S 左半平面的极点应映射到 Z 平面的 单位圆内 5
986 双线性变换符合前面提出的映射变换应满足的两点要求 j T j e e T j j tan 即 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆 z z T T T z 逼近的情况 () 首先, 把 z=e jω 代入上式, 可得进一步展开上式, 得到 6
986 () 将 =σ+jω 代入变换式, j T j T z 因此 T T z T T z 7 得
z T T 由此看出, 当 σ<0 时, z <; 当 σ>0 时, z > 也就是说, S 平面的左半平面映射到 Z 平面的单位圆内,S 平面的右半平面映射到 Z 平面的单位圆外,S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上 因此, 稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的 9
3 双线性变换的优缺点 非线性 0 0 模拟滤波器与数字滤波器的响应与对应的频率关系上发生了畸变, 也造成了相位的非线性变化, 这是双线性变换法的主要缺点 8
3
可以用频率的预畸变来补偿 3
频率预畸变方法 确定模拟低通滤波器各边界频率点之前, 按下式进行频率预畸 变, 然后通过双线性变换正好映射到所需要的频率位置上 将预畸变后的频率代入模拟滤波 器 H(), 最后求得数字滤波器的系统 函数 33
例 设计一个一阶数字低通滤波器,3 db 截止频率为 ω c 线性变换应用于模拟巴特沃思滤波器 H () ( / ) c =0.5π, 将双 解 : 数字低通滤波器的截止频率为 ω c =0.5π, 相应的巴特沃思模拟滤波器的 3 db 截止频率是 Ω c, 就有 c T c tan 模拟滤波器的系统函数为 H () T 0.5 tan 0.88 T ( / ) ( T / 0.88) c
将双线性变换应用于模拟滤波器, 有 H( z) H( ) z T z z 0.90 0.459 z ( / 0.88)[( z ) / ( z )]
8. 常用模拟低通滤波器特性 模拟滤波器研究较早, 理论已经十分成熟, 且有若干典型的模拟滤波器供我们选择, 如巴特沃斯 (Butterworth) 滤波器 切比雪夫 (Chebyhev) 滤波器 椭圆 (Ellipe) 滤波器等, 这些滤波器都有严格的设计公式 现成的曲线和图表供设计人员使用, 利用这些现有技术来解决数字滤波器的设计问题 ; 采用这种方法时, 先要设计一个合适的模拟滤波器, 然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器 ; 这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器, 例如低通 高通 带通 带阻等
一 模拟滤波器设计思路与步骤 由幅度平方函数来确定系统函数 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数 H (jω) 来表示, 即 * H( j) H( j) H ( j) 由于滤波器冲激响应 h (t) 是实函数, 因而 H (jω) 满足 所以 H * ( j) H( j) H ( j) H( j) H( j) H( ) H( ) j 式中,H () 是模拟滤波器的系统函数, 它是 的有理函数 ; H (jω) 是滤波器的频率响应特性 ; H (jω) 是滤波器的幅度特性
由 H ( j) 确定 H ( ) 的方法 a 由幅度平方函数得象限对称的 平面函数 H ( ) H ( ) 将因式分解, 得到各零极点 a a a H ( ) a j Ha ( ) 对比和, 确定增益常数 由零极点及增益常数, 得 H ( ) a 38
例 : 已知幅度平方函数 : 6(5 ) H ( j), 求系统函数 H ( ) a (49 )(36 ) 解 : H ( ) H ( ) H ( j) a a a 6(5 ) (49 )(36 ) 极点 : 7, 6 零点 : j5( 二阶 ) H ( 的极点 : a ) 7, 6 零点 : j5 K 设增益常数为 K ( 5) 0 0 Ha () ( 7)( 6) 由 H ( ) H ( j), 得 K 4 a 0 a 0 0 4( 5) 4 00 H () a ( 7)( 6) 3 4 a 39
Butterworth 低通逼近 幅度平方函数 : H ( j) a c N N 为滤波器的阶数 为通带截止频率 c 当 a c H ( j ) / 时 Ha ( j0) 0lg 3dB H ( j ) a c 称 为 Butterworth 低通滤波器的 3 分贝带宽 c 40
) 幅度函数特点 : ( ) a( ) A H j c N 0 Ha ( j) ( ) / c a 3 H j db 3dB 不变性 c 通带内有最大平坦的幅度特性, 单调减小 c 过渡带及阻带内快速单调减小当 ( t 阻带截止频率 ) 时, 衰减 为阻带最小衰减 4
) 幅度平方特性的极点分布 : H ( j) H ( ) H ( ) a / j a a N j c Butterworth 滤波器是一个全极点滤波器, 其极点 : k N c c k j N ( ) j e k,,...,n 4
极点在 平面呈象限对称, 分布在 Buttterworth 圆上, 共 N 点 极点间的角度间隔为 / N rad 极点不落在虚轴上 N 为奇数, 实轴上有极点,N 为偶数, 实轴上无极点 43
986 3) 滤波器的系统函数 : H a () N k k j N N c ( ) e k,,..., N k c c cr rad / k 为归一化系统的系统函数 H ( ) 去归一化, 得 H a ( ) H an ( ) cr c an cr H an c 44
4) 滤波器的设计步骤 : 确定技术指标 : 根据技术指标求出滤波器阶数 N: 由 0lg Ha( j p) 得 : 同理 : 令 p N p 0 c N 0 c p p 0. 0. 0. 0 k p 0. 0 H ( j ) a p N N 则 : N p c p 0. 0 0. 0 lg kp lg 45 p
求出归一化系统函数 : 其中极点 : k j N H an () e k,,..., N k 或者由 N, 直接查表得 H ( ) an N k ( ) k 去归一化 或 H a () H an c 其中技术指标 c 给出或由下式求出 : c c p 0. N 0 0. N 0 阻带指标有富裕 通带指标有富裕 46
例 : 设计 Butterworth 数字低通滤波器, 要求在频率低于 rad 的通带内幅度特性下降小于 db 在频率到之间的阻带内, 衰减大于 5dB 分别用冲激响应不变法和双线性变换法 0. 0.3 用冲激响应不变法设计 ) 由数字滤波器的技术指标 : p 0. rad 0.3 rad db 5dB ) 得模拟滤波器的技术指标 : 选 T = p p / T 0. rad / / T 0.3 rad / db 5dB 47
3) 设计 Butterworth 模拟低通滤波器 a) 确定参数 p / p.5 k p 0. 0 0. 0 0.09 N lg k / lg 5.884 取 N 6 p p 0. N c p 0 0.703 rad / 用通带技术指标, 使阻带特性较好, 改善混迭失真 48
Han 986 b) 求出极点 ( 左半平面 ) H () H a c) 构造系统函数 或者 b ) 由 N = 6, 直接查表得 k c k j N e k H a (),,...,6 6 6 k c ( ) () 3.8637 7.464 9.46 7.464 3.8637 c ) 去归一化 an 3 4 5 6 0.09.76 3.69 3.79.85 0. 0.09 6 5 4 3 c k 49
H ( ) a 4) 将展成部分分式形式 : H a () N k Ak 变换成 Butterworth 数字滤波器 : k H( z) N k TA k T k e z 0.87 0.4466z.48.454z 0.97z 0.6949z.069z 0.3699z.8558 0.6304z 0.997z 0.570z 50
5
986 用双线性变换法设计 ) 由数字滤波器的技术指标 : p 0. rad 0.3 rad db 5dB ) 考虑预畸变, 得模拟滤波器的技术指标 : 选 T p p tg 0.65 rad / T tg.09 rad / T db 5dB 5
986 3) 设计 Butterworth 模拟低通滤波器 a) 确定参数 p / p.568 k p 0. 0 0. 0 0.09 N lg k / lg 5.306 取 N 6 p p 0. N c 0 0.766 rad / 用阻带技术指标, 使通带特性较好, 因无混迭问题 53
b) 求出极点 ( 左半平面 ) k c k j N e k,,...,6 c) 构造系统函数 H a () 6 k 6 c ( ) k 54
或者 b ) 由 N = 6, 直接查表得 Han () 3.8637 7.464 9.46 7.464 3.8637 3 4 5 6 c ) 去归一化 H a () H an c 0.04 0.396 0.587.083 0.587.480 0.587 55
H ( ) a 4) 将变换成 Butterworth 数字滤波器 : H ( z) H ( ) a z T z (.68z 0.705 z ) (.00z 0.358 z ) ( 0.9044z 0.55 z ) 56
3 Chebyhev 低通逼近 57
幅度平方函数 : H a ( j) CN ( ) c 0, 表示通带波纹大小, 越大, 波纹越大 c : 截止频率, 不一定为 3dB 带宽 N: 滤波器的阶数 CN ( x) :N 阶 Chebyhev 多项式 58
C N ( x) co( N co x) x ch Nch x ( ) x 等波纹幅度特性单调增加 59
) 幅度函数特点 : H a ( j) CN c 0 N 为奇数 Ha ( j0) N 为偶数 H ( j0) / ( ) / c Ha j a 通带内 : 在 和间等波纹起伏 c / c 通带外 : 迅速单调下降趋向 0 60
)Chebyhev 滤波器的三个参量 : c : 通带截止频率, 给定 : 表征通带内波纹大小 H a max 0lg 0lg H a 0. 0 ( j) ( j) min 由通带衰减决定 N: 滤波器阶数, 等于通带内最大最小值的总数 N ch 0 0. ch c 为阻带截止频率 阻带衰减越大所需阶数越高 6
986 3) 幅度平方特性的极点分布 : H ( j) H ( ) H ( ) a / j a a CN j c j k,,..., N k k k ( ) ( ) k k ca cb 6
a N b a k c in ( ) N k b k c co ( ) N k N N N j k,,..., N k k k 63
4) 滤波器的系统函数 : H a () N k K ( ) k N c K N 其中 : ain (k ) j bco (k ) k c N c N k,,..., N 64
986 5) 滤波器的设计步骤 : 确定技术指标 : p 归一化 : p p p p 根据技术指标求出滤波器阶数 N 及 : N ch ( k ) ch 其中 : k 0. 0 0 0. 0. 0 65
求出归一化系统函数 : 其中极点由下式求出 : H an () H a () H an p N N ( k ) k N N a N b 或者由 N 和, 直接查表得 H ( ) 去归一化 an N k ain (k ) jbco (k ) N N k,,..., N 66
986 例 : 用双线性变换法设计 Chebyhev 数字低通滤波器, 要求在频率低于 0. rad 的通带内幅度特性下降小于 db 在频率到之间的阻带内, 衰减大于 5dB 0.3 ) 由数字滤波器的技术指标 : 选 T p 0. rad 0.3 rad db 5dB ) 考虑预畸变, 得模拟滤波器的技术指标 : p p tg 0.65 rad / T tg.09 rad / T db 5dB 67
986 3) 设计 Chebyhev 模拟低通滤波器 a) 确定参数 c p 0.65 rad / 0. 0 0.5088 N 0 0. 3.04 取 N 4 ch ch c 68
986 b) 求左半平面极点 4.70 N N a 0.3646 N N b.0644 ain (k ) j bco (k ) k c N c N 0.0907 j0.6390 k, 4 0.89 j0.647 k,3 69
c) 构造系统函数 H a () 4 c 3 4 k ( ) k 0.0438 ( 0.4378 0.80)( 0.84 0.466) 70
或者 : b ) 由 N=4, H an () db 直接查表得 0.756 0.756 0.746.4539 0.958 3 4 c ) 去归一化 H a () H an c 0.0438 ( 04378 0.80)( 0.84 0.466) 7
H ( ) a 4) 将变换成 Chebyhev 数字滤波器 : H ( z) H ( ) a z T z 0.00836 ( z ) 4 (.4996z 0.848 z ) (.5548z 0.6493 z ) 7
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小结 : 利用模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器的步骤 确定数字滤波器的技术指标 : 通带截止频率 阻带截止频率 通带衰减 p 阻带衰减 将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标 冲激响应不变法 通带截止频率 p p / T 阻带截止频率 / T 双线性变换法 通带截止频率 c tg( / ) 阻带截止频率 c tg( / ) p p 不变 74