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1 信号与系统 Sigal ad Sym 第六章信号与系统的复频域分析 Chapr 6 Th Complx Frqucy Domai Aalyi of Sigal ad Sym 控制系网络课程平台 :hp:// 浙江大学控制科学与工程学系 7/4/4

2 复习与概述 将输入信号表示成基本信号的线性组合 系统的输出 时域 : 频域 : x x d 时域 a 迭加原理频域 x LTIS 基本关系 特征函数 x X LTIS LTI 系统,h H 7/4/4 h y y x * h x h d y a H H H 特征值 Y=HX h 连续系统 Fourir 变换 : 考虑特征函数复指数信号 中令 =jω, = jω 形式的复指数信号表示方法 -- 第三章的内容 d 复频 Laplac 变换 : 考虑特征函数复指数信号 中令 =+jω 形式的 复指数信号表示 -- 广义 Fourir 变换, 求系统响应并进行 S 域的分析

3 主要内容 拉普拉斯变换 常用信号的拉普拉斯变换 阶跃 指数 冲激 正弦 双边拉普拉斯变换的性质 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯反变换 单边拉普拉斯变换 LTI 系统的复频域分析 7/4/4

4 双边拉普拉斯变换的性质 总结 a x LT a x a X a X ; ROC至少包含 R R 线性 时域平移性质 S 域平移性质 x LT X, ROC R L{ x } X ; ROC R a L{ x } X a; ROC R R{ a} 4 尺度变换特性 L{ x a} X ; ROC R Ra 5 时域微分 6 域微分 a 7/4/4 4 a dx L { } X ; ROC R包含 R d LT dx x ; ROC R d L { x x } X X ; ROC包含 R 7 时域卷积性质 LT 8 时域积分性质 x d X ; ROC 包含 R { R{} } R

5 双边拉普拉斯变换性质 9 9 初值和终值定理 即 x 当 时的值 x + - 即 x 当 从正值方向趋于 时的值, x 定理限制条件 :, x 不包含冲激或者高阶奇异函数 初值定理 : x lim X ; 注意条件, 要保证有确切的初值 终值定理 : x lim x lim X ; 条件是 lim x 存在 X 的极点均在 平面的左半平面 或原点处有 阶极点 7/4/4 5

6 双边拉普拉斯变换性质 9- 例 6-7 由 例 6- x u co u 验证初值与终 x 值定理 解 : 由例 6-: LT x X 5 ;R{ } 由初值定理与终值定理 x lim X lim 5 x lim x lim X lim 5 7/4/4 6

7 双边拉普拉斯变换性质 9- 验证终值定理例 6-8 X 解 : x = lim x = lim X = lim = X x u LT - L [ - ]= [ ] 发散, 终值定理不成立 双边 Laplac 变换的性质列表如 P4 所示 7/4/4 7

8 主要内容 拉普拉斯变换 常用信号的拉普拉斯变换 双边拉普拉斯变换的性质 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 周期信号的 Laplac 变换 抽样信号的 Laplac 变换 拉普拉斯反变换 单边拉普拉斯变换 LTI 系统的复频域分析 7/4/4 8

9 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 -- 周期信号的拉普拉斯变换 前提 : 仅考虑在 时存在的单边周期信号 x, 即当 < 时, x=, 这样的周期信号 :x=x-t, > 令第一个周期的函数为 x, 且求周期函数的 X X X X x X d T T T X x X T LT x X ; 有限信号 ROC : R d x 可以看成是 x 的移位加和,X=x + x -T+ x -T+, 可利用 L 变换的时移与线性性质, 直接由 X 得到 X, 或由定义求 x ;R{ } LT T x x T X ;R{ } T 7/4/4 9 T T T T X d T

10 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 -- 周期信号的拉普拉斯变换 例 6-9 Laplac 变换. 求如图示单边周期脉冲的 x 解 : X 可以看成是单个脉冲 T/ T T x u u T 以 T 为周期进行周期性延拓的结果 T X L[ u u ] LT T x x T X ;R{ } T X T T 7/4/4 T T T T ;R{ }

11 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 -- 抽样信号的拉普拉斯变换 前提 : 仅考虑在 时存在的单边抽样信号 x 当 < 时,x =, x p x * 载波器 x 脉冲调制器 x * T 4T x T x * * x p x LT?? 7/4/4

12 7/4/4 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 -- 抽样信号的拉普拉斯变换 考虑抽样信号 x 的 Laplac 变换 T T T x u x x 例 6- 求指数抽样序列的 Laplac 变换. u x T a 解 : } { z T z T x T x d T T x x L X T 令 = } { z x L X at T a T a T at Z 的幂级数形式

13 主要内容 拉普拉斯变换 常用信号的拉普拉斯变换 双边拉普拉斯变换的性质 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯反变换 单边拉普拉斯变换 LTI 系统的复频域分析 7/4/4

14 拉普拉斯反变换 : Xx 定义法 : x 拉普拉斯反变换 j L j { X } j j j X d j j X j d j j X j d, ROC 有复数积分, 求解复杂, 一般不采用 部分分式法 7/4/4 4

15 7/4/4 5 拉普拉斯反变换, m a a a b b b D N X m m 思路 : 许多信号 x 的 Laplac 变换式可表示成 的有理函数所以要熟练掌握基本性质以及基本信号的 L 变换 下面分几种情况讨论 j j i m i p z A D N X 常数 m a b A 因为 L 变换是线性变换, 可将 X 分解为低阶项 部分分式 的线性组合, 其每一低阶项的 Laplac 变换由 L 变换性质或直接查表求反变换后再迭加得到 x. 如以前提到的零极点形式即为一阶项的组合

16 7/4/4 6 拉普拉斯反变换 i i i m m p a a a b b b D N X 情况 X 的分母多项式 D 有 个互异实根, 即 p i i p i X 其中 : i i p 的收敛域应包括 X 的 ROC X 无零极点相消 且两种可能 :R{}>p i 右边信号 R{}<p i 左边信号 由 ROC 性质,X 的每一项 ROC 都应包括 X 的 ROC, 可以向左或向右或向两边延伸, 直到被一个极点界定或至无穷远

17 拉普拉斯反变换 6 X ;R{ } 例 6- 求的 Laplac 反变换. 解 : 由 X 的 ROC 知原信号为右边信号 X ;R{ } ROC 示意图 X X 的 ROC /+ 的 /+ 的 ROC ROC L ;R{ } x u 7/4/4 7

18 拉普拉斯反变换 7 X ;R{ } 例 6- 求的 Laplac 反变换. 解 : 由 X 的 ROC 知原信号为左边信号 ROC 示意图 X ;R{ } X X 的 ROC /+ 的 /+ 的 ROC ROC L T ;R{ } x u 7/4/4 8

19 7/4/4 9 拉普拉斯反变换 8 D B p p p p D p N D N X = 处有重根 ; 在情况 X 的分母多项式 D 包含有重根, 即与重根无关, 按前无重根方法分解如何求重根项的系数?... D B p p p p X p X K K K K 令 : 再对 X 求导 p d dx i d X d i d X d p i i i p,,,!,, p X p a a u L a } ;R{ }! {

20 7/4/4 拉普拉斯反变换 j j D N D b a N D N X 情况 X 的分母多项式 D 包含有共轭复根, 即与复根无关方法一 : 按部分分式的方法分解并求每项的系数, 但因有复数, 不甚方便方法二 : 将产生共轭复数的二次项配成相应的余弦或正弦的拉氏变换式, 再求反变换, 这种方法更为方便 a a a u L a } R{ ; } co { a a u L a } R{ ; } i { 4 a b a b a

21 拉普拉斯反变换 总结 : 由 XSx 用部分分式法将 XS 展开成低阶项 实根 重根 复根 的迭加 确定各低阶项变换式的收敛域 -- 由此可知时域信号的特性 确定各低阶项变换式的反变换 7/4/4

22 单边拉普拉斯变换 定义 性质

23 单边拉普拉斯变换 -- 定义 实际问题中常遇到的是因果信号 :< 时 : x=, 定义 : X ~ x d X x d 记 : ul ~ x X 考虑在原点有冲激函数及其各阶导数 双边 Laplac 变换与单边 Laplac 变换的异同 : 积分下限不同 ; 对于 < 不同而 相同的信号 x, 双边 L 变换不同, 单边相同 ; 对于 < 为 的信号, 双边和单边的 L 变换相同 ; 4 单边 L 变换的 ROC 一定在右半平面

24 由时移性质可得 : 单边变换 : 单边拉普拉斯变换 x -- 定义 u a 例 6- 求的双边与单边 Laplac 变换. 解 : 双边变换 : x L{ a LT a u ; R{ } a a LT! 不同! u ; R{ } a a ul{ a u } a u d a d a a d a ; a R{ } a 可见, 双边变换与单边变换不同 原因是当 < 时信号不为

25 单边拉普拉斯变换 -- 定义 解 : 由题知, 该信号在原点包含奇异函数 因为 < 时信号为, 故双边 Laplac 变换与单边 Laplac 变换是一样的 例 6-4 求的双边与单边 Laplac 变换. u x ; u d d x 记 : ;R ~ X x ul 例 6-5 求的 Laplac 反变换. ~ X 单边 L 变换的 ROC 为最右边极点的右侧 :R{}>- 解 : ~ C B A X

26 单边拉普拉斯变换 -- 性质 单边 Laplac 性质大部分与双边变换相同, 主要区别在时域微分与时域积分性质 -- 对分析非零初始条件的系统十分重要 时域微分 双边单边 dx L{ x } X L{ } X d ~ dx ~ ul{ x } X ul{ } X x d 证明 : 由定义求 L 变换, 用到分部积分法 推广到 阶导数推广 d x ul{ } d d x ul{ } d ~ X x x x 注意 : 不同点! X 在 的取值 dx dx ul{ } d x x d X x d d 类似地, 二阶微分 : ~ X x x 注 : 这里的 均指为 -

27 单边拉普拉斯变换 -- 性质 时域积分双边 L{ x } X ~ 单边 ul{ x } X 证明 : ul{ x d} ul{ x x d ul[ 注 :X 积分式在 = 的取值 L{ x d} X ul ~ { x d} X x d} ul{ x x d ] x d 常量 x d} 分部积分 ul{ x d} x ~ X 时域微分与时域积分引入了信号的起始值, 这给分析初始状态不为 的系统带来极大的方便 -- 单边 Laplac 变换的最大优点!

28 时域平移性质 双边 单边 证明 : L{ x } X ~ ul{ x } X 单边拉普拉斯变换 ul{ x } x d x d = + x d x d = x d+ X -- 性质 L x X ul x X x d 令 当 x 是因果信号且 > 时, 单边拉氏变换的时延特性与双边拉氏变换一致 8

29 单边拉普拉斯变换 -- 性质 4 4 时域卷积性质 - 分析 LTI 系统非常有用的性质 若信号 x 和 x 都是单边信号, 有当 < 时, x =x =, 则有 ul ul ~ x } X ~ x } X { { ul ~ ~ x x } X X { 注意前提条件, 若有一个不满足, 即上式不一定成立 单边 Laplac 变换的其他性质与双边变换相同, 不再一一列出

30 主要内容 拉普拉斯变换 常用信号的拉普拉斯变换 双边拉普拉斯变换的性质 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯反变换 单边拉普拉斯变换 LTI 系统的复频域分析 用 L 变换法对系统进行分析 系统函数 全响应的求解

31 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 定义 与 Fourir 变换相似,Laplac 变换也可以用于分析连续时间系统, 特别适合于分析非零起始的系统 单边 Laplac 变换可引入信号的初值, 获得系统的零状态 零输入和全响应 本节讨论 : 复频域 =+j 时域间的关系 第三章中已经定义 : 特征函数 指系统对该信号的输出响应仅是一个常数 可能是复数 乘以该信号 特征值 系统对特征函数 输入信号 的输出响应中的常数 幅度因子 称为系统的特征值 系统函数

32 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 定义 x LTI 系统,h y x 卷积定理 y * h h d LTI H h d H 特征函数 H h d 特征值 -- 系统函数 LT h H h d 因为 =+j, 对于稳定系统 : 当 = 时,H=Hj 频率响应

33 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 定义 另一种定义 : N 阶连续时间 LTI 系统可用起始状态为零的线性常系数微分方程表示 : M r r r r N d x d b d y d a 对微分方程进行双边 Laplac 变换 X b Y a M r r r N D N a b X Y H N M r r r z 由 Laplac 变换的卷积性质 H X Y 收敛域问题 由系统性质推出 H 其他名称 传递函数 网络函数 LTI 系统许多性质 因果性 稳定性 频响等 与 H 的零极点分布有关

34 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 H 可写成因子相乘的形式 : N j j M i i N M r r r p z H a b H 因果性 对于一个因果系统,< 时,h= h 是右边信号 H 的 ROC 应在最右边极点的右半平面 如果系统是反因果的 h 是左边信号 : > 时,h= H 的 ROC 应在最左边极点的左半平面 z i - 零点 p j - 极点 稳定性与因果性 N b M a H 注 : 相反结论不一定成立 ROC 在最右边极点的右边 -- 保证是右边信号, 但不能保证一定 < 时,h=

35 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 例 6-6 考虑一系统的系统函数为 H,R{ } 解 : 对于该系统, 其 ROC 是在最右边极点的右侧, 因此单位冲激响应必是右边信号 为确定它的单位冲激响应, 利用 考虑时移性质 L u,r{ } u 单位冲激响应 h u L,R{ } 因为 -<< 时不等于, 所以系统不是因果的 对一个有理系统函数的系统, 因果性等效于 ROC 在最右边极点的右半平面 该例说明 : 因果系统 ROC 在最右边极点的右边 ; 但相反结论不一定成立 等价性只针对有理系统函数

36 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 例 6-7 有一系统, 其单位冲激响应为 h u 解 : 因为 < 时,h=, 所以该系统是因果的 同时它的系统函数由例 6-5 可知为 H,R{ } 显然, 系统函数是有理的, 并且 ROC 是在最右边极点的右侧 这与有理 系统函数的因果性等效于 ROC 位于最右边极点的右侧的结论一致 例 6-8 有一系统, 其单位冲激响应为 解 : 因为 < 时,h, 所以该系统是非因果的 由例 6- 可知系统函 数为 H, - R{} h 系统函数是有理的,ROC 不在最右边极点的右侧, 所以该系统是非因果的

37 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 4 稳定性 与 H 的极点和 ROC 之间的关系 系统稳定的含义 : 在时域上, 系统稳定 单位冲激响应 h 绝对可积 h d h 的 Fourir 变换收敛 即 Hj 存在, 而一个信号的 fourir 变换就等于 Laplac 变换沿 j 轴 求值, 即 H j H j 所以, 当且仅当系统函数 H 的 ROC 包括 j 即 R{}= 时,LTI 系统是稳定的

38 由于没有给出 ROC,ROC 存在 种可能性 种不同的 h 例 6-9P 某一 LTI 系统, 其系统函数为 H 在最右边极点的右半平面, 如图 示 : 因果系统, 但不稳定 - ROC 示意图 u h 在最左边极点的左半平面, 如图 示 : 非因果系统, 也不稳定 - ROC 示意图 u h 在两个极点的中间部分, 如图 示 : 非因果系统, 稳定 - ROC 示意图 包含 j 轴 u u h 若已知系统因果性与稳定性, 就能确定 ROC 与单位冲激响应系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 5

39 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 6 因果稳定性 同时满足因果性与稳定性 一个具有有理函数 H 的因果系统是稳定的, 当且仅当系统函数 H 的全部极点分布在 的左半平面 有理函数 H 是因果的 系统稳定 ROC 在最右边极点的右边 ROC 包括 j 轴 系统函数 H 的最右边极点位于 j 轴的左边 例 6- 单位冲激响应为 h u H,R{ } 有理系统函数 H 的 ROC 位于最右边极点的右侧, 系统是因果的 又,H 的 ROC 包括 j 即 R{}=} 时, 系统是稳定的 =- 在 平 面的左半平面 所以, 该系统是因果稳定的 h u ; 因果稳定?

40 显然, 因果性 稳定性这些系统性质都能直接与系统函数及特性联系起来 例 6- 如一 LTIS 的输入 : Y H ; ROC? X x u 其输出为 y [ ] u 请由上述信息确定 H 与其他性质 解 : X,R{ } Y,R{ } 由卷积性质,Y 的 ROC 至少包含 X H 的 ROC 相交部分 检查 H 的 ROC 的 种可能情况 :- 左边 ;- 与 - 之间 ;- 的右边 只有 R{}>- 相符 描述系统的微分方程 : 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 7 d y d dy d y Y L{ x h } ROC包含 R dx d R 又因 H 的 个极点均在 平面的左半平面, 所以 H 是稳定的 x X H ; 因为该 ROC 在 H 最右边极点的右边, 且 H 是是有理的, 故 H 是因果的

41 例 6- 已知一个 LTI 系统的下列信息 : 系统是因果的 ;H 是有理的, 且仅有 个极点在 =- 和 =-4; 若 x=, 则 y=;4 单位冲激响应在 = + 时的值是 4 根据以上信息确定系统函数 解 : H 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 8 p p P 有一个根 = 由条件 : x y H H p p q 条件 4: 由初值定理 q h lim H lim 4 q 4 68 单位冲激响应的 Y=H 若 q 的阶次 >, 极限发散 综上所述 : 4 H, R{ } 4

42 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 9 例 6- 考虑一稳定而因果的系统, 假定单位冲激响应为 h, 系统函数 H 是有理的, 有一极点在 =-, 原点无零点 其余零极点均未知 对以下说 法的是非进行判断 F{h } 收敛 ; 果而稳定系统的单位冲激响应 ; 4 极点 ; 5 h 是有限持续期的 ; 6H=H-. 解 : F{ h } dh d h d ; h 是一个因 在它的 Laplac 变换中至少有一个 j j h d h d H j 相应于 h 的 L 变换在 =-+j 的值 若收敛 =- 在 ROC 中 但因果稳定系统的 ROC 在 H 所有极点右边, 而 - 在 - 的左边 错 利用特征值函数概念 : h d h d H H 相当于 H=, 而已知原点无零点 S h d 错

43 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 例 6- 考虑一稳定而因果的系统, 假定单位冲激响应为 h, 系统函数 H 是有理的, 有一极点在 =-, 原点无零点 其余零极点均未知 判断 : 续前 : h 是一个因果而稳定系统的单位冲激响应? 对 LT 由 域微分性质, L{ x } X ; ROC R dx x ; ROC d L{ h} 与 H 具有相同的 ROC 系统稳定已知 H 稳定,H 的 ROC 包括 j <, h= 因为 dh h 代表的是因果系统的单位冲激响应 4 在它的 Laplac 变换中至少有一个极点? d dx L{ x } X ; ROC R L { } X ; ROC R包含 R d H 没有消去 H 中原有的 =- 的极点 所以该说法 : 对 R

44 系统的复频域分析 -- 系统函数 H: 零极点与系统的稳定性和因果性 例 6- 考虑一稳定而因果的系统, 假定单位冲激响应为 h, 系统函数 H 是有理的, 有一极点在 =-, 原点无零点 其余零极点均未知 判断 : 续前 :5 h 是有限持续期的 因为若 h 是有限持续期的, 则 H 的收敛域是整个 平面, 对有理 L 变换来说,ROC 内不应包含任何极点 时域特性与 ROC 的关系, 但已知 H 在 =- 有一个极点 错 6 H=H- 因为若 H=H-, 则必须在 = 有一个极点, 但对于一个因果稳定 的系统, 所有极点都必须在 的左半平面, 这与已知条件矛盾 错

45 o j p i M i N i i i j z i 系统的复频域分析 -- 系统函数 H 与系统的频率响应 Hj 由 H 的零极点分布, 可在 域上进行 H 的几何求值 N i i M i i p z H H 由零点 z i 引向某点 的矢量由极点 p i 引向某点 的矢量 =j ] [ j j m N i i M i i Hjω M M M N N N H p j z j H j H m 频率响应 : 当 沿虚轴移动时, 各矢量模与幅角随之改变, 即可画出幅频特性与相频特性幅频特性相频特性参见教材 P5, 例 6-9

46 系统的复频域分析 -- 全响应的求解方法一 : 由微分方程起始状态求零输入响应 + = 全响应方法二 : 直接用单边 Laplac 变换法 可自动计入起始状态 一次性的计算全响应, 且可区分零状态 零输入响应 -- 注意收敛域问题 X H Y z x b x d d b x d d b x d d b y a y d d a y d d a y d d a m m m m m m,,, N y 常系数线性微分方程描述的因果系统???: 为什么双边 L 变换只能求解零状态相应?

47 系统的复频域分析 -- 全响应的求解, ; 5 y y u y d dy d y d 5 ] [ Y y Y y y Y 例 6-4P8 例 6- 设因果 LTI 系统的微分方程如下, 求 y, y z y zi. 解 : 取单边 Laplac 变换 ' 5 y y y Y 将起始条件代入得 : X 5 5 y y y Y Yz Yzi

48 ,R Y z,r Y zi Y Y Y zi z LT - y y y zi z u Y L y z z 4 5 u Y L y zi zi 系统的全响应 : u y y y zi z 6

49 系统的复频域分析 H X 极点分布与自由相应 强迫相应特征对应 Y H X y L Y [ ] H m j i z j p i X u v z p Y v Ki K p p i i y = i= K i p i + v = K p 自由响应 强迫响应

50 主要内容 拉普拉斯变换 : 与 FT 关系,ROC, 零极点表示,ROC 与时域 常用信号的拉普拉斯变换 : 阶跃 指数 冲激 正弦 双边拉普拉斯变换的性质 : 与 F 变换性质相同, 区别在 ROC 周期信号与抽样信号的拉普拉斯变换 : 变换式中出现 拉普拉斯反变换 : 分解成部分分式再进行反变换, 注意 ROC 问题 单边拉普拉斯变换 : 因果信号, 时域微分与积分性质 LTI 系统的复频域分析 : 系统函数,H 的零极点与稳定性 因果性的关系, 单边 LT 可求全响应 T