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1 信号与系统 Sigls d Sstes 第七章 Z 变换 Chpter 7 Z Trsfortio 控制系网络课程平台 : 浙江大学控制科学与工程学系

2 主要内容双边变换变换的收敛域变换的性质常用信号的变换对反变换单边变换及其性质 LTI 系统的域分析

3 单边变换及其性质 -- 定义实际问题中常遇到的是因果序列 :< 时 : =, 定义 : 记 : uz } { u Z 或求和在进行, 不考虑 < 时的值单边 Z 变换的收敛域总是位于某一个圆的外部例 7-8 P 求的单边 Z 变换 u 解 : ; u 注意到 : 实际上在 =- 处是有值并非等于的但如定义, 单边 Z 变换的求和在进行, 不考虑 < 时的值

4 解 :Z 变换式有个极点在单位圆上, 收敛域 >, 对应的序列为因果序列采用部分分式求反变换以得单边反变换例 7-9 P 求单边 Z 变换对应的因果序列单边变换及其性质 -- 定义 ; 5 5 ; 5 5, 5 5 u u 注 : 若用长除法, 则单边 Z 变换的幂级数展开式中不能包括的正幂次项有理分式排序时以的降次幂排列例 P5 ;

5 5 单边变换及其性质 -- 性质单边 Z 变换的大部分性质与双边 Z 变换相同, 但也有明显的不同 -- 如时移性质, 初值定理和终值定理对分析非零初始条件的系统十分重要. 位时移性质 uz 设双边序列单边 Z 变换 } { } { u Z uz 序列左移后的单边 Z 变换超前定理 - 前差分 ZT R R, 比较双边 : 序列的初值 } { s s s s dt t d ul } { } { uz 序列右移后的单边 Z 变换滞后定理 - 后差分序列的初值若是因果序列, 结果更简单, 初值均为零与双边 Z 变换的移位性质相同

6 单边变换及其性质 -- 性质 } 5 5 { u 解 : 利用单边 Z 变换对差分方程求变换 } { } { uz uz } { / 例 7- P75 已知一阶差分方程, 输入为 : = u, -=, 求系统响应 / 零状态部分零输入部分其中

7 单边变换及其性质 -- 性质. 初值定理对于因果序列, 即 =, 当 < 时, 若则有 uz ; ROC R li li 比较 Lplce 变换的初值与终值定理证明 : li t, t 定理限制条件 : t, t 不包含冲激或者高阶奇异函数初值定理 : li s s; 注意条件, 要保证有确切的初值 s 终值定理 : li t t li s s; 条件是 li s t t 存在 s 的极点均在 s平面的左半平面 7

8 单边变换及其性质 -- 性质. 终值定理对于因果序列, 且的极点位于单位圆 = 以内单位圆上最多在 = 处可有一阶极点, 则有 li li 证明 : 因为因果序列的 Z 变换与单边 Z 变换相同, 利用 Z 变换的线性与因果序列的单边 Z 变换超前定理 uz{ } 即 uz{ } 对两边取极限 li li { } { 终值定理只有当时收敛稳定才能应用 8

9 主要内容双边变换变换的收敛域变换的性质常用信号的变换对见 P59, 表 7- 反变换单边变换及其性质 LTI 系统的域分析系统函数与系统性质线性常系数差分方程的域分析系统函数的方框图表示 9

10 LTI 系统的域分析 -- 系统函数与系统性质 : H 定义与离散 Fourier 变换相似,Z 变换也可以用于分析离散时间系统, 且特别适合于分析非零起始的系统单边 Z 变换可引入序列的初值, 获得系统的零状态零输入和全响应第三章中已经定义 : 特征函数指系统对该信号的输出响应仅是一个常数可能是复数乘以该信号特征值系统对特征函数输入信号的输出响应中的常数幅度因子称为系统的特征值系统函数 H

11 LTI 系统的域分析 -- 系统函数与系统性质 : H 定义由第四章可知特征函数 LTI 系统,h LTI H h H H 特征值 * h h h H 对 LTI 系统定义 h H Z 若单位圆在 H 的 ROC 中, 将 H 在单位圆上求值 =e j, H 即为频响离散时间 LTI 系统的性质完全可由 H 来反映与 h He j 一样

12 另一种定义 : N 阶离散时间 LTI 系统可用起始状态为零的线性常系数差分方程表示 : M r r N b 对差分方程进行双边 Z 变换 b M r r r N D N b H N M r r r s 由 Z 变换的卷积性质 H 收敛域问题由系统性质推出 H 其他名称传输函数网络函数 LTI 系统许多性质因果性稳定性频响等与 H 的零极点分布有关 LTI 系统的域分析 -- 系统函数与系统性质 : H 定义

13 因果性 LTI 系统的域分析 -- 系统函数与系统性质一个离散 LTI 系统因果性的充要条件是 h=, 当 < 因果系统单位脉冲响应 h 的 Z 变换 H h 对于一个因果系统,< 时,h= h 是一个右边序列 H 的 ROC 应在某个圆外部右边序列对应的变换的 ROC 在某个圆外部, 但不一定包含例 h=d+, H= 一个离散 LTIS 是因果的, 当且仅当它的系统函数 H 的 ROC 是某个圆的外部, 且包含 = 对于有理系统函数, 必须满足 H 的分子阶数小于等于分母阶数

14 LTI 系统的域分析 -- 系统函数与系统性质例 7-P8 考察一系统的因果性解 : 因为 ROC: >, 是某个圆 = 的外部, 为右边序列 ; H ; 因为 H 的分子阶次 > 分母阶次包含的正幂次项,ROC 不包含 =; 所以, 该系统不是因果系统

15 LTI 系统的域分析 -- 系统函数与系统性质稳定性与 H 的极点和 ROC 之间的关系系统稳定的含义 : 在时域上, 系统稳定单位冲激响应 h 绝对可和 h h 的 Fourier 变换收敛即 He j 存在, 而一个信号的 fourier 变换就等于 Z 变换沿单位圆 = 求值, 即 H e j H 所以, 当且仅当系统函数 H 的 ROC 包括单位圆即 Re{s}=}, = 时,LTI 系统是稳定的 e j 5

16 LTI 系统的域分析 -- 系统函数与系统性质因果稳定性同时满足因果性与稳定性一个具有有理函数 H 的因果系统是稳定的, 当且仅当系统函数 H 的全部极点分布在单位圆的内部, 且分子阶数小于等于分母的阶数有理函数 H 是因果的系统稳定 ROC 在某个圆的外部 ROC 包括单位圆系统函数 H 的全部极点均位于单位圆内, 且分子阶数小于等于分母的阶数显然, 因果性稳定性这些系统性质都能直接与系统函数及特性联系起来

17 LTI 系统的域分析 -- 系统函数与系统性质 5 例 7-P9 考察一系统 H 的因果性与稳定性当 ROC:</,h 是左边序列, 非因果系统, 不稳定 ; / << /, h 是双边序列, 非因果系统, 不稳定 ; > /, h 是因果的, 且个极点在单位圆内, 故稳定 7

18 8 由例子可得运用 Z 变换求系统函数的步骤 : 对差分方程两边求 Z 变换, 并利用线性与时移性质合并整理 Z 变换式, 得到 H. LTI 系统的域分析 -- 线性常系数差分方程的域分析. 由已知差分方程求系统函数 N M b H M N b M N b P7 给出了二阶后向差分方程和二阶前向差分方程的例子特别注意 : 一个满足线性常系数差分方程的系统, 其系统函数总是有理的如果在式中不发生零极点相消, 则系统函数 H 与它对应的差分方程一一对应 H

19 LTI 系统的域分析 -- 线性常系数差分方程的域分析. 线性常系数差分方程的 Z 域求解思路 : 基于单边 Z 变换位移性质, 将差分方程转换为代数方程, 再反变换步骤 : 对已知的差分方程两边求单边 Z 变换 -- 注意 : 时移性质 ; 与求 H 区别合并整理 Z 变换式, 得到的表达式若为因果序列, 则零输入项 + 零状态项 H i 与起始条件有关与激励有关 s H M N b 代入起始条件与, 求出求的反 Z 变换, 得零输入响应 + 零状态 i s 9

20 LTI 系统的域分析 -- 线性常系数差分方程的域分析, 例 7-7P85 已知因果系统,,, u 求解 : 对差分方程两边求单边 Z 变换合并整理得到 i s 求的反 Z 变换, 得将化为部分分式, 进行反变换即可得, 参见 P7 例 7- Z i s 代入, 求出

21 LTI 系统的域分析 -- 线性常系数差分方程的域分析解 : 由第一条信息 : 例 7-9 假设关于一个 LTI 系统给出下列信息 : 式中为实数系统输入是, 输出是若试确定 H 及 ; 推出系统的因果性差分方程和稳定性 u u 7 :, 那么输出 ;, 5 则系统函数的代数表示式 : 5 H

22 LTI 系统的域分析 -- 线性常系数差分方程的域分析 5 解 : 由第二条信息 LTI 系统,h 7 由特征函数的性质, 对的响应必须等于 - 乘以 H 在 =- 的值例 7-9 假设关于一个 LTI 系统给出下列信息 : 式中为实数系统输入是, 输出是若试确定 H 及 ; 推出系统的因果性差分方程和稳定性 u u 7 :, 那么输出 H 5 H

23 LTI 系统的域分析 -- 线性常系数差分方程的域分析 5 H ;, 例 7-9 假设关于一个 LTI 系统给出下列信息 : 式中为实数系统输入是, 输出是若试确定 H 及 ; 推出系统的因果性差分方程和稳定性 u u 7 :, 那么输出的 ROC 至少包括和 H 的 ROC 的相交部分 H 有三种可能的 ROC: </, /<</, >/ 只有 >/ 才能与与的 ROC 相符 H 的 ROC 包括单位圆, 故系统稳定分子阶次没有超过分母的阶次, 所以系统是因果的 5

24 LTI 系统的域分析 -- 线性常系数差分方程的域分析 7 例 7- 已知一单位脉冲响应为 h, 有理系统函数为 H 的稳定而因果的系统, 假定已经知道 H 有一极点在 =.5, 并在单位圆的某个地方有一个零点, 其余极点和零点的真正数量和位置均未知对以下说法作出判断, 能否肯定地说对错或条件不充分难以置评 F{ h } j 某一个有 H e ; h 为有限长 ; h 是实序列 ; 5g={h*h} 是一个因果稳定系统的单位脉冲响应解 : 令 =re jω F{ h } re j F{ r { r } { r re 收敛 ; 对相应于 h 的 Z 变换在 r= 的值因此它收敛就等于点 = 在 ROC 内因为系统稳定和因果,H 的全部极点都必须位于单位圆内, 因此,ROC 就应该包括所有位于单位圆外的点, 当然包括 = e j } } e j j 对

25 例 7- 已知一单位脉冲响应为 h, 有理系统函数为 H 的稳定而因果的系统, 假定已经知道 H 有一极点在 =.5, 并在单位圆的某个地方有一个零点, 其余极点和零点的真正数量和位置均未知对以下说法作出判断, 能否肯定地说对错或条件 j 不充分难以置评 F{ h } 收敛 ; 对某一个有 H e ; h 为有限长 ; h 是实序列 ;5g={h*h} 是一个因果稳定系统的单位脉冲响应解 : 对 LTI 系统的域分析 -- 线性常系数差分方程的域分析 8 因为有个零点在单位圆上即 r= 对因为有限长序列的 ROC 包括整个 Z 平面, 可能除去 = 和 / 或 =, 而这与在 =.5 处有个极点矛盾错若 h 是实序列, 则要求 H=H*, 这意味着若在一个非实数的地方 = 有一个极点或零点, 必定在 =* 还有一个极点或零点已知信息太少, 不足以证实该说法是否正确 5

26 LTI 系统的域分析 -- 线性常系数差分方程的域分析 9 例 7- 已知一单位脉冲响应为 h, 有理系统函数为 H 的稳定而因果的系统, 假定已经知道 H 有一极点在 =.5, 并在单位圆的某个地方有一个零点, 其余极点和零点的真正数量和位置均未知对以下说法作出判断, 能否肯定地说对错或条件 j 不充分难以置评 F{ h } 收敛 ; 对某一个有 H e ; h 为有限长 ; h 是实序列 ;5g={h*h} 是一个因果稳定系统的单位脉冲响应解 :5 因为系统是因果的,<, h=, h*h=; 也就是说, 以 h*h 作为单位脉冲响应的系统是因果的, 同一结论对 g={h*h } 也是对的 ; b 由卷积性质, 对应于单位脉冲响应为 h*h 的系统函数为 H ; 再由微分性质, 对应于 g 的系统函数就是 G d d H d H d H 因为 H 的全部极点在单位圆内, 故 G 也必须如此, 因此,g 就是一个因果而稳定系统的单位脉冲响应可见,G 的极点与 H 的极点相同, 可能例外是原点对

27 第七章主要内容双边变换 : 定义, 与 FT 关系, 常用序列的 Z 变换变换的收敛域 : 变换的性质 : 与 F 变换性质基本相同, 区别在 ROC 常用信号的变换对反变换 : 幂级数展开法部分分式法单边变换及其性质 : 位时移性质终值定理初值定理 LTI 系统的域分析 : 系统函数与系统性质线性常系数差分方程的域分析 7

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PowerPoint 演示文稿信号与系统 Sigal ad Sym 第六章信号与系统的复频域分析 Chapr 6 Th Complx Frqucy Domai Aalyi of Sigal ad Sym 控制系网络课程平台 :hp://www.c.zju.du.c/cla/igal_ym/ 浙江大学控制科学与工程学系 7/4/4 复习与概述将输入信号表示成基本信号的线性组合系统的输出时域 : 频域 : x x d 时域 a