z 3 + 4i z 5 θ 2i z 3 4i 圖 : 平面上取了複數 z 3 + 4i 且 2i; z 3 4i 為 z 的共軛 iz 4 3i z 3 + 4i iz w) z w iz w) + w z w 圖 2: z iz w) + w ) d c 證 條件等價與 b ir rg d c

Bshing Geometry with Comple Numbers Evn Chen 陳誼廷 5 月 2 日 24 年 We show how comple numbers cn be used to solve geometry problems 複數的平面 令 C 和 R 分別為複數和實數的所形成的集合 每一個複數 z 可寫成 z + bi r cos θ + i sin θ) re iθ 此處, b, r, θ R 而 θ < 2π 我們寫 z r 2 + b 2 且 rg z θ 更主要, 每個複數有一個複共軛 z bi 共軛滿足以下的方程 : w ± z w ± z w z w z w/z w/z z 2 z z 注意 z R 的充要條件為 z z, 且 z ir 的充要條件為 z + z 我們把平面上每一個點用一個複數表示 對每個點 Z 我們會用一個 z C 來代表 所以大寫的字代表點, 小寫的字代表複數 ) 複數的加減剛好跟向量一樣 乘法就比較有趣 對有任何 z, z 2 C, 我們有 z z 2 z z 2 和 rg z z 2 rg z + rg z 2 我們可從該乘法看出其幾何意義 舉個例, 對於任意點 Z 和 W, 我們可以對 W 把 Z 轉 9 : z iz w) + w 2 首先的命題 我們先談一些最主要的命題 d c 命題 令 A, B, C, D 為兩兩相異的點 則 AB CD 的充要條件為 b ir; ie d c b + ) d c b

z 3 + 4i z 5 θ 2i z 3 4i 圖 : 平面上取了複數 z 3 + 4i 且 2i; z 3 4i 為 z 的共軛 iz 4 3i z 3 + 4i iz w) z w iz w) + w z w 圖 2: z iz w) + w ) d c 證 條件等價與 b ir rg d c b ±9 AB CD 命題 2 令 A, B, C 為兩兩異的點 則 A, B, C 共線的充要條件為 c c b c c b ) c c b R; ie 證 跟以上的命題一樣 命題 3 令 A, B, C, D 為兩兩相異的點 則 A, B, C, D 共圓的充要條件為 ) 證 可得 rg c c b c c b : d d b R ACB, rg d d b 我們現在陳述一個比較常用的公式 ) ADB, ngles re directed) 2

b d c d c b 圖 3: AB CD d c b ir 引理 4 對稱點 ) 設 W 為 Z 對一個 AB 的對稱點 則 w b)z + b b b 當然這時候 Z 對 AB 的垂足為 2 w + z) z w b z b w z b w b 圖 4: Z 對 AB 的對稱點 證 根據 Figure 4 我們可得 從此可解 w b)z+b b b 我們再給兩條公式 w b ) z z b b 定理 5 面積 / 共線的方程 ) 令 A, B, C 位點 則 ABC 的面積為 ± i 4 b b c c 特別地,A, B, C 共線的充要條件為以上的行列式為零 3

證 用直角座標來證 定理 5 常常比命題 2 好用 其實我們也可以把任意兩條線交叉 命題 6 令 A, B, C, D 為點 則 AB 和 CD 的交叉點位 āb b)c d) b) cd c d) ā b)c d) b) c d) 可是除非 d 或, b, c, d 在單位圓上, 這方程不太好用 3 單位圓和三角形的心 在複平面上, 單位圓是很重要 根據以上, 對於每個 z 我們有 利用上述, 我們可得一下的引理 z z 引理 7 若 b 且 z C, 則 Z 對 AB 的對稱點為 + b bz, 而 Z 對 AB 的垂足為 z + + b bz) 2 引理 8 若 A, B, C, D 落在單位圓上, 則 AB 和 CD 的交叉點為 bc + d) cd + b) b cd 這幾方程比以上的漂亮多了 在單位圓上, 我們也可馬上得到一個三角形的心 : 定理 9 令 ABC 為三角形 假設 ABC 的外接圓為複平面的單位圓 則 ABC 的外心, 重心, 垂心分別為, 3 + b + c), + b + c 利用以上馬上可證 Euler 線的定理 證 外心和垂心的方程是明顯的 令 h + b + c 只需證明 AH BC, 等等 我們可設 z h b c b + c b c 則 因此 z ir, 得證 z 我們也其實可得到內心的方程 ) b + c b + c b c b c b + c b c c + b c b z 定理 令 I 和 Γ 分別為三角形 ABC 的內心和外接圓 令直線 AI, BI, CI 分別與 Γ 交叉在點 D, E, F 若 Γ 為複平面的單位圓, 則存在, y, z C 滿住 2, b y 2, c z 2 且 d yz, e z, f y 注意 y z 將內心 I 為 y + yz + z) 證 證明 I 為 DEF 的垂心 4

4 另外的公式 引理 令 A, B 落在單位圓上, 且取點 P 使得 P A, P B 是切線 則 p 2 + b 2b + b 證 設 M 為 AB 的中點, 且 o 可證 OM OP 且 P 在射線 OM 上 2b +b b 圖 5: 兩條切線交叉 p 2 +b 引理 2 對於任意, y, z, 三角形 XY Z 的外心為 y yȳ z z z y ȳ z z 如需利用這個方程, 可平移 z 到, 在算行列式, 最後在平移回來 這樣行列式就比較好算 5 例子 例子 3 MOP 26) 令 H 為三角形 ABC 的垂心 取 D, E, F 在 ABC 的外接圓上, 使得 AD BE CF 設 S, T, U 分別為 D, E, F 對 BC, CA, AB 的對稱點 試證 S, T, U, H 共圓 證 設 ABC) 為單位元, 則 h + b + c 可不方假設 AD, BE, CF 跟實軸垂直 要不然把 ABC 專一下 ) 則 d, 等等 因此 s b + c bcd b + c bc, 等等 從此可得 算出 s t s u b c 且 s t s u : h t b )c + bc) h u c )b + bc) b c 就得證 h t h u b + bc c + bc ) c + bc ) b + bc ) ) s t s u : h t h u R 例子 4 模擬競賽 24) 設 ABC 的內切圓圓心為 I, 且該內切圓分別與 CA, AB 邊切於點 E, F 令點 E, F 對 I 的對稱點分別為 G, H 設點 Q 為 GH 與 BC 的交點, 並設點 M 為 BC 的中點 試證 IQ 與 IM 垂直 5

A F I E Q B G D M H C 解 令 D 為 I 對 BC 的垂足, 且設 DEF ) 為單位圓 這讓我們可利用 3 的引理 ) 則 d e f, 且 g e, h f 設 d d, 類似定義 y, z 則 類似有 c 2 +y, 因此 b 2 d + f 2 + z m b + c) 2 + y + + z 2 + y + z + y) + z) 再來, 我們有 Q DD GH, 故 q ddg + h) ghd + d) d 2 gh ) 2 y z 2 yz 2 yz 2 + y + z 2 yz 因此 則 m/q + y m/q 2 yz ) + z ) 2 yz + y) + z) yz 2 + y) + z) m/q 故 m/q ir, 得證 例子 5 USA 22) 令 ABC 為三角形, 並設 P 為任意一點且設 γ 為一條通過 P 的線 定義 A 為直線 BC 與 P A 對 γ 的對稱線的交叉點 類似定義 B 和 C 試證 : A, B, C 三點共線 A P B A C 解 設 p 且設 γ 為實軸 則 A 是 bc 和 pā 的交叉點 從此, 利用命題 6 可得 ā bc b c) b c)ā b c) 6

注意 ā b c bc) b c) b c)ā 利用定理 5, 我們需證 ā bc b c) b c)ā b c) b c cā) c ā) b c )b cāb b) ā b) c b)c b c bc) b c) b c)ā bcā c) c )b c ā) b c b āb) b)c ā b) c 上述等價與 ā bc b c) bc b c) b c)ā b c) b c cā) b c cā) c ā) b c )b cāb b) cāb b) ā b) c b)c 把行列式算出來, 右邊這等於 b c)ā b c)) b c cyc b c c cā) āb b ) 或 b c + cā bā ) bc c b) c cā)āb b) cyc 例子 6 獨立研究 24) 令 I 與 O 分別為三角形 ABC 的內心與外心 設 l 為一條直線, 為 ABC 的內接圓相切並於 BC 平行 取 X, Y 在 l 上使得 I, O, X 共線且 XIY 9 試證 A, X, O, Y 共圓 A P Y X I O B X Y Q C 解 設 X 和 Y 分別為 X 和 Y 對 I 的對稱點 注意 X, Y 落在 BC 上 再來, 設 P, Q 為 IY 和 ABC 的外接圓的交叉點 令 ABC) 為複平面的單位元 設 j 為 I 的複數 所以不會跟 i 搞混 ) 則 ) ) bc bc j ) j j b c) b c)j ) b c)j ) 我們在求 y 考慮以下 z 的二次方程 : z j j + z j j j c b bc j c2 b 2 bc z 2 2jz + j/j 7 jb + c) b c)j j + bcj

以上的零點剛好為 p 和 q, 故 p + q 2j 而 pq j/j 因此個算 y pqb + c) bcp + q) pq bc jb + c) 2bcjj j bcj jb + c) 2bcjj j bcj 將可得 2j j2j b c + 2bcj) j + bcj 和 y 2j y j2j b c) j bcj 由此可得 X y A y y j 2j b c)j + bcj) 2j b c + 2bcj)j bcj) j bcj)j + bcj) 2bcj2j b c) 2bcjj bcj) j j bcj)j + bcj) j 2bcj j b c + bcj ) j bcj)j + bcj) 2bcj j b c + bcj ) j bcj)2j b c + 2bcj) j2j b c ) + bcj j bcj) 我們需證 X/A X/A 將設 2, b y 2, c z 2, j y + yz + z), j +y+z yz 跟以前的, y 無關 ) 根據上述改寫成 並 故 2 yz yz + y + z) X + y + z) + y2 + z 2 + y + yz + z) yz + y + z) + y + yz + z) y 2 + z 2 + 2y + yz + z) + 2 yz + y + z)) 2yz + y + z) 2yz + ) sym 2 y y + z) 2 yz) y + z)2 + y + z) + 2yz + y + z)) 2yz + y + z) + y) + z) 2 yz) 2 + yz)y + z) + y + yz + z) + y + z)) A y + yz + z) + y + z)2 yz + y + z) 2 y + yz + z) + yz + y + z)) X/A 得證 + y + z) + y)y + z)z + ) yz 2 )y + z) 2yz 2 + yz)y + z) + + y + z)y + yz + z) 2 yz 2 + yz ) y + z ) + + y + z ) y + yz + z ) X/A 8

6 練習題 令 ABCD 為圓內接的四邊形 令 H A, H B, H C, H D 分別為三角形 BCD, CDA, DAB, ABC 的垂心 試證 AH A, BH B, CH C, DH D 共點 2 Chin TST 2) 令 Γ 為三角形 ABC 的外接圓 假設 AA, BB, CC 為 Γ 的直徑 設 P 為 ABC 內的莫一點, 並設 D, E, F 分別為 P 對 BC, CA, AB 的垂足 令 X 為 A 對 D 的對稱點 ; 類似定義 Y 和 Z 試證 XY Z ABC 3 令 ABCD 為四邊形, 且 AB, BC, CD, DA 對莫個圓 ω 相切 試證 :AC 的中點,BD 的中點, 與 ω 的圓心共線 4 Simson 線 ) 令 ABC 為三角形並 P 為 ABC 的外接圓上的莫一點 ) 令 D, E, F 為 P 對 BC, CA, AB 的垂足 試證 D, E, F 共線 b) 令 H 為 ABC 的垂心 試證 EF 通過 P H 的中點 5 Princeton) 令 γ 和 I 分別為三角形 ABC 的內心和內接圓 設 D, E, F 分別為 γ 對 BC, CA, AB 的切點, 並設 D 為 D 對 I 的對稱點 假設直線 EF 分別為 γ 對 D 與 D 的切線交於點 P 與 Q 試證 DAD + P IQ 8 6 Schiffler 點 ) 令 I 為 ABC 的內心 試證 : AIB, BIC, CIA, ABC 的歐拉線 Euler line) 共點 7 USA TST 24) 令 ABCD 為內接圓的四邊形, 且設 E, F, G, H 分別為 AB, BC, CD, DA 的中點 設 W, X, Y, Z 分別為 AHE, BEF, CF G, DGH 的垂心 試證 : ABCD 和 W XY Z 的面積相等 8 令 O 為三角形 ABC 的外心 一條通過 O 的直線 l 分別於 AB 與 AC 交於點 X 與 Y 令 M 和 N 分別為 BY 和 CX 的中點 試證 MON BAC 9 APMO 2) 令 ABC 是銳角三角形, 滿足 AB > BC 且 AC > BC 分別記 O 與 H 為三角形 ABC 的外心與垂心 設三角形 AHC 的外接圓交直線 AB 於異於 A 的一點 M; 且三角形 AHB 的外接圓交直線 AC 於異於 A 的一點 N 證明三角形 MNH 的外接圓圓心在直線 OH 上 Irn 23) 令 ABC 是銳角三角形, 並設 M 為劣弧 BC 的中點 取 N 在 ABC 的外接圓上, 使得 AN BC, 在分別取 K, L 在邊 AB 和 AC 上使得 OK MB, OL MC, 此處 O 為 ABC 的外心 試證 NK NL MOP 26) 令 ABCD 為圓內接的四邊形, 並設 O 為 ABCD 的外心 設 P 為平面上的莫一點, 且設 O, O 2, O 3, O 4 分別為三角形 P AB, P BC, P CD, P DA 的外心 試證 :O O 3, O 2 O 4, OP 的中點共線 9