- A 基本能力題. 設 x>0,y>0,x+2y=, 求 xy 的最大值, 又此時 x,y 之值是多少? 解 : 由算幾不等式知 x+2y 2 x.2y, 即 2 2xy, 故 xy < 9 8 xy 的最大值是 9 8 此時,x=2y= 2, 得 x= 2,y= 4 2. 一條繩子長 60 公尺, 沿筆直的河邊圍成一個長方形, 河邊不必使用繩 子, 問這條繩子圍成的長方形最大面積是多少? 解 : 設長方形平行河岸的一邊長 x 公尺, 垂直河岸的一邊長 y 公尺, 則 x+2y=60, 由算幾不等式, x+2y 2 x.2y, 即 0 2xy, 故 xy < 450 xy 的最大值是 450 即圍成的長方形最大面積是 450 平方公尺. 已知 a,b,c 均為正實數, 且 a+b+c=, 試求 : () a 2 +b 2 +c 2 的最小值 (2) a + b + c 的最小值 解 :() 柯西不等式 (a 2 +b 2 +c 2 )( 2 + 2 + 2 ) (a.+b.+c.) 2, 即 (a 2 +b 2 +c 2 ). (a+b+c) 2 =, 故 a 2 +b 2 +c 2 所以 a 2 +b 2 +c 2 的最小值是 第三章不等式 8
(2) 柯西不等式 ( a )2 +( b )2 +( c )2 ( a ) 2 +( b ) 2 +( c ) 2 ( a. a + b. b + c. c )2, 即 ( a + b + c )(a+b+c) 2, a + b + c 9, 得 a + b + c 的最小值是 9 4. 設 x,y,z 為實數, 且 x+2y+z=6, 求 x 2 +y 2 +z 2 的最小值, 又此時 x,y,z 之值各是多少? 解 : 柯西不等式 (x 2 +y 2 +z 2 )( 2 +2 2 + 2 ) (x+2y+z) 2, 即 (x 2 +y 2 +z 2 ).6 6, 故 x 2 +y 2 +z 2 6 此時, x = y 2 = z =k, 即 x=k,y=2k,z=k 代入 x+2y+z=6, 得 6k=6, 故 k= x=,y=2,z= x 2 +y 2 +z 2 的最小值是 6 5. 設 a,b,c 為實數, 且 a+b+c=0, 試證 :2 a +2 b +2 c 證明 : 算幾不等式 2 a +2 b +2 c 2 a.2 b.2 c, 即 2 a +2 b +2 c 2 a + b + c =.= 高中選修數學 (I) 84
B 挑戰題. 設 x,y 均為正數, 且 xy =6, 求 x+y 的最小值, 又此時 x,y 之值各 是多少? 解 : 算幾不等式 x+y+y+y 4 4 x.y, 即 x+y 4 4 6 =8,x+y 的最小值是 8 此時 x=y=2 2. 關於下面的題目 : 設 a,b 為正數, 求 ( a+ a ) ( 9 a +b ) 的最小值 阿榮的解法是 : 由算幾不等式知 a+ b 2 a. b =2 a b ; 9 a +b 2 9 a.b=2 9b a, 所以 ( a+ b ) ( 9 a +b ) ( 2 a b ) ( 2 9b a )=4.=2 於是阿榮回答 :( a+ b ) ( 9 a +b ) 的最小值是 2 阿財的解法是 : 由柯西不等式知 ( a+ b ) ( 9 a +b )= ( a )2 +( b ) 2 ( a ) 2 +( b ) 2 ( + ) 2 =6 第三章不等式 85
於是阿財回答 :( a+ b ) ( 9 a +b ) 的最小值是 6 你認為誰的答案是正確的, 為什麼? 解 : 阿財的答案是正確的 就阿榮的解法而言, 當 (a+ b )( 9 a +b)=2 時, 則 a= b 且 就阿財的解法而言, 9 a =b, 得 ab= 且 ab=9, 矛盾 當 (a+ b )( 9 a +b)=6 時, 則 a a = b b, 即 a = b, 得 ab= 即若 ab=, 則 (a+ b )( 9 a +b) 有最小值 6. 某奶粉工廠欲訂購一批體積固定的圓柱體鐵罐, 問應如何設計才最節省 材料? 解 : 設圓柱體鐵罐的底面半徑是 r, 高是 h, 則體積 V=πr 2 h, 表面積 S=2πr 2 +2πrh=2πr 2 +πrh+πrh 由算幾不等式知 2πr 2 +πrh+πrh 2πr 2 +πrh+πrh = 2π r 4 h 2 = 2π(πr 2 h) 2 = 2πV 2, 當 2πr 2 =πrh 時, 表面積 S 最小值為 2πV 2, 高中選修數學 (I) 86
即當 r= h 2 ( 半徑為高的一半 ), 最節省材料 4. 試證 : 周長為定值的三角形中, 以正三角形的面積最大 提示 : 設三角形三邊長為 a,b,c, 且 s= 2 ( a+b+c ), 則其面積為 s ( s-a ) ( s-b ) ( s-c ), 考慮 s-a,s-b,s-c 三數的算幾不等式 證明 : 設三角形三邊長分別為 a,b,c, 且 s= 2 ( a+b+c ), 由海龍公式知, 此三角形的面積為 s ( s-a ) ( s-b ) ( s-c ) ( sa) ( sb) ( sc) 由算幾不等式知 (s-a)(s-b)(s-c), ( sabc [ abc] abc [ abc]) 2 2 即 s (s-a)(s-b)(s-c), s 27 (s-a)(s-b)(s-c), 故 s ( s-a ) ( s-b ) ( s-c ) < s 2, 當此三角形面積最大時,s-a=s-b=s-c, 即 a=b=c, 即正三角形 第三章不等式 87
-2 A 基本能力題. 試解下列各多項式不等式 : () x 2 -x-0 0 (2) ( x- ) ( 2x+ ) ( x-2 )>0 () ( x- ) ( 2x 2 -x+ ) ( 2x 2 -x- ) 0 (4) x -6x 2 +x-6>0 解 :() x 2 -x-0 0, (x+2)(x-5) 0,-2 x 5 (2)(x-)(2x+)(x-2)>0-2 <x< 或 x>2 () 由於 2x 2 -x+=2(x 2-2 x+ 6 )+ 7 8 =2(x- 4 )2 + 7 8 >0 恆成立, (x-)(2x 2 -x+)(2x 2 -x-) 0, (x-)(2x 2 -x-) 0, (x-)(2x+)(x-) 0, x - 2 或 x 高中選修數學 (I) 88
(4) x -6x 2 +x-6>0, (x-)(x-2)(x-)>0, <x<2 或 x> 66 56 56 0 26 2 0 2. 試解下列各分式不等式 : () 4x+ x-2 (2) x <x 解 :() 4x+ x-2, 4x+ x-2-0, x+ x-2 0 (x+)(x-2) 0, 但 x-2 0, 故 - x< 2 (2) x <x, x -x<0, x2 - x >0 即 x(x 2 -)>0,x(x+)(x-)>0, 故得 -<x<0 或 x>. 試解下列各根式不等式 : () x+ < -2x (2) x 2 +x-4 >x+ 解 : () x+ < -2x, x+ 0, -2x>0, -2x>x+ x -, x< 2, x< 2 5 取共同部分得其解為 - x< 2 5 第三章不等式 89
(2) x 2 +x-4 >x+, ( i ) x2 +x-4 0, 即 x+<0 (ii) 取共同部分得 x -4 ( x+4 ) ( x- ) 7, x+<0 x2 +x-4>0, x+ 0, 即 x 2 +x-4 >x+ 取共同部分得 x>5, 解得 x -4 或 x, x<- ( x+4 ) ( x- )>0, x<-4 或 x>, x -, x>5 故 x -, x>5 由 ( i )(ii) 知原不等式的解為 x -4 或 x>5 4. 設 f (x)=-2x 2 +4x-, () 若 x 為任意實數, 求 f (x) 的極值 (2) 若 2 x 4, 求 f (x) 的極值 解 : f (x)=-2x 2 +4x-=-2(x 2-2x+)+=-2(x-) 2 +, () 若 x 為任意實數, 則當 x= 時,f (x) 有最大值 ; 而 f (x) 沒有最小值 (2) 若 2 x 4, 當 x=2 時,f (x) 有最大值 -, 當 x=4 時,f (x) 有最小值 -7 5. 設某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f (t)=-t 2 +0t+, 其中 t 0, 則這段時間內該地區最大溫差是多少 高中選修數學 (I) 90
解 : f (t)=-t 2 +0t+=-(t-5) 2 +6, 因 t 0, 當 t=5 時,f (t) 有最大值 6, 當 t=0 時,f (t) 有最小值 故最大溫差是 6-=25 6. 求函數 f (x)= x+ + 2x- + x-2 的極值 解 :f (x)= x+ + 2x- + x-2, 列出 - 2,-, 2,2, 5 2 的函數值如下 : x - 5 2-2 2 2 f (x) 0 8 4 6 將 (- 2, 0),(-, 8),( 2, ),(2, 4),( 5 2, 6) 各點, 每相鄰兩點用線段連接, 即得 f (x)= x+ + 2x- + x-2 的折線圖形 ( 如右圖 ) 由圖形知 f (x) 的最小值是, 但沒有最大值 7. 若坐標平面上兩點 A ( 2,- ) 與 B (, 4 ) 在直線 kx+y-5=0 的反側, 求 k 的範圍 解 : 因 A(2,-) 與 B(, 4) 兩點在直線 kx+y-5=0 的反側, 故 (2k--5)(k+4-5)<0, 即 (2k-6)(k-)<0, 得 <k< 第三章不等式 9
8. 試圖解二元一次聯立不等式 解 : x+2y 8, 5x+4y 20, x 0, y 0 x+2y 8, 5x+4y 20,, 並求此區域的面積 x 0, y 0 圖解如右四邊形區域 ( 含邊界 ): 此四邊形區域的面積為 2 0 0 4 4 0 4 0 0 0 4 絕對值 = 28 9. 如右圖, 設 A (, 2 ),B (,-2 ),C ( -, 0 ), 試以二元一次聯立不等式表示 ABC 的內部區域 ( 含邊界 ) 解 : 直線 AB 的方程式為 y-2=-2(x-),2x+y-4=0, 直線 BC 的方程式為 y-0=- (x+),x+y+=0, 直線 CA 的方程式為 y-0= 2 (x+),x-2y+=0, 由圖形知 ABC 內部區域 ( 含邊界 ) 為 高中選修數學 (I) 92 2x+y-4 0, x+y+ 0, x-2y+ 0
B 挑戰題. 設 α,β 是實係數二次方程式 x 2 -( k+2 ) x+( k 2 -k+2 )=0 的兩個實根, 求 :() k 值的範圍 (2)α 2 +β 2 的最大值與最小值 解 :() ( k+2 ) 2-4 ( k 2 -k+2 ) 0, k 2-8k+4 0,( k-2 ) ( k-2 ) 0, 2 k 2 (2) 根與係數 α+β=k+2,αβ=k 2 -k+2, 故 α 2 +β 2 =(α+β) 2-2αβ=( k+2 ) 2-2 ( k 2 -k+2 ) =-k 2 +6k=-(k 2-6k+9)+9 =-(k-) 2 +9 當 k=2 時,α 2 +β 2 最大值是 8 當 k= 2 時,α 2 +β 2 最小值是 2 9 2. 求函數 f (x)=2 ( 4 x +4 -x )-5 ( 2 x +2 -x ) 的最小值 解 : 設 2 x +2 -x =t, 2 x 2 x x x 2 2, 則 t 2 2 x 2 x 2x x 2 2 且 4 (2 ) 2 (2 ) t 故 f (x)=2(4 x +4 -x )-5(2 x +2 -x ) =2 (2 x +2 -x ) 2-2 -5(2 x +2 -x ) =2t 2-5t-4=2(t- 5 4 )2-57 8 當 t=2( 即 x=0) 時,f (x) 有最小值 -6 第三章不等式 9
. 設 x,y 為實數, 且滿足 x 2 +4y 2 =4, 試求 2x 2 +5y 2 +6y+ 的極值 解 : 由 x 2 +4y 2 =4 得 x 2 =4-4y 2, 故 2x 2 +5y 2 +6y+=2(4-4y 2 )+5y 2 +6y+=-y 2 +6y+9 =-(y 2-2y+)+2=-(y-) 2 +2 由 x 2 +4y 2 2 =40 y,- y 故當 y= 時,2x 2 +5y 2 +6y+ 的最大值是 2 當 y=- 時,2x 2 +5y 2 +6y+ 的最小值是 0 4. 設 x-,x,x+ 構成一鈍角三角形的三邊長, 求 x 的範圍 x->0, 解 :( i ) 三角形三邊長為正數, 故 x>0, 即 x> x+>0 ( ii ) 三角形任兩邊長之和必大於第三邊長, 故 x-+x>x+, 即 x>2 (iii) 此三角形為鈍角三角形, 故 (x+) 2 >x 2 +(x-) 2, 即 x 2-4x<0,x(x-4)<0 得 0<x<4 取 ( i ) ( ii ) (iii) 共同部分得 2<x<4 高中選修數學 (I) 94
- A 基本能力題 x 2, y 4,. 試在條件的限制下, 求 x+y 的最大值與最小值 x-y 2, 解 : 畫出 x+2y 8 x 2, y 4, 的可行解區域如右 : x-y 2, x+2y 8 比較可行解區域頂點的目標函數值 : (x, y) (2, ) (4, 2) (6, 4) (2, 4) x+y 5 6 0 6 故 x+y 的最大值是 0, 最小值是 5 2. 試在條件 2 x+y 7, 的限制下, 求 2x+5y+ 的最大值與最小值 -4 x-2y 6 2 x+y 7, 解 : 畫出 的可行解區域如右 : -4 x-2y 6 比較可行解區域頂點的目標函數值 : (x, y) (0, 2) (2, 0) (4, ) (2, 5) 2x+5y+ 5 24 0 故 2x+5y+ 的最大值是 0, 最小值是 5 第三章不等式 95
. 有位農夫計畫種植小麥和玉米兩種農作物, 他想要獲得最大的收益, 依 照過去的經驗 : 每公畝的小麥可以獲得 5000 元的收益, 每公畝的玉米可 以獲得 4500 元的收益, 但每公畝的小麥需要 2 小時的農耕, 每公畝的 玉米需要 0 小時的農耕, 而這位農夫現在有 80 公畝的土地和 900 小時 的工作時間, 由於土壤的特性和輪耕的制度, 他決定今年至少要種 24 公 畝的小麥 請問此農夫應該種多少公畝的小麥和多少公畝的玉米, 才能 獲得最多的收益? 又收益最多為多少? 解 : 設種 x 公畝的小麥,y 公畝的玉米, 總收益為 P=5000x+4500y( 元 ) 依題意列出聯立不等式為 x 24, y 0, 其可行解區域如右 : x+y 80, 2x+0y 900 比較可行解區域頂點的目標函數值 : (x, y) (24, 56) (24, 0) (75, 0) (50, 0) P=5000x+4500y 72000 20000 75000 85000 所以 x=50,y=0 時,P 有最大值 85000, 即此農夫應該種 50 公畝的小麥,0 公畝的玉米, 才能獲得最多的收益 ; 又收益最多為 85000 元 高中選修數學 (I) 96
4. 夏日育樂公司能製造木製搖搖椅和野餐桌, 每張搖搖椅需要 公尺的木 頭和 4 小時的工時 ; 野餐桌需要 5 公尺的木頭和 小時的工時 現在公 司擁有 05 公尺的木頭和每星期 96 小時的工時, 而每張搖搖椅可獲利潤 700 元, 每張野餐桌可獲利潤 600 元 ; 由於競爭激烈, 每星期至少要生 產 0 張搖搖椅,8 張野餐桌 請問 : 每星期要製造多少張搖搖椅和多少 張野餐桌, 才能獲得最多的利潤? 又最多利潤是多少? 解 : 設製造 x 張搖搖椅,y 張野餐桌, 總利潤為 P=700x+600y 元 依題意聯立不等式為 x 0, y 8, 其可行解區域如右 : x+5y 05, 4x+y 96 依題意知 x,y 必須為整數, 可行解區域 頂點皆為格子點, 比較各頂點的目標函數值 : (x, y) (0, 8) (8, 8) (5, 2) (0, 5) P=700x+600y 800 7400 7700 6000 x=5,y=2 時,P 有最大值 7700 即每星期製造 5 張搖搖椅,2 張野餐桌, 利潤最多 ; 最多 7700 元 第三章不等式 97
5. 超強電子公司在甲地和乙地生產電腦螢幕, 在甲地製造的每台可獲利 2000 元, 運費需要 50 元 ; 在乙地製造的每台可獲利 800 元, 運費需要 60 元, 甲地每星期至多生產 0 台, 乙地每星期至多生產 40 台 現在公 司接獲訂單, 每星期至少需要運送 50 台螢幕, 若在運費不得超過 600 元的條件下, 甲 乙兩地各需運送多少台, 公司獲利最多? 又最多獲利 是多少? 解 : 設從甲地運送 x 台, 從乙地運送 y 台, 獲利 P=2000x+800y 元 依題意聯立不等式為 0 x 0, 0 y 40, 其可行解區域如右 : x+y 50, 50x+60y 600 依題意知 x,y 必須為整數, 可行解區域 頂點皆為格子點, 比較各頂點的目標函數值 : (x, y) (0, 40) (0, 20) (0, 5) (24, 40) P=2000x+800y 92000 96000 2000 20000 x=0,y=5 時,P 有最大值 2000 即從甲地運送 0 台, 從乙地運送 5 台, 公司獲利最多 ; 最多 2000 元 高中選修數學 (I) 98
6. 大盛紙業有限公司有兩家工廠, 第一廠生產 A4 紙張 40 噸, 第二廠生產 A4 紙張 50 噸 今該公司自甲 乙兩家經銷商接獲訂單, 甲經銷商申購 A4 紙張 0 噸, 乙經銷商申購 A4 紙張 40 噸 如果自第一 二廠運送 A4 紙張至甲 乙兩家經銷商每噸的運費如下表所示 : 甲經銷商 乙經銷商 第一廠 0 元 4 元 第二廠 2 元 5 元 請你 ( 妳 ) 幫該公司找出最佳方法 ( 運費最低 ), 以分配兩廠將 A4 紙 張運至甲 乙兩經銷商 解 : 設第一廠運送 x 噸到甲經銷商, 運送 y 噸到乙經銷商, 則第二廠運送 (0-x) 噸到甲經銷商, 運送 (40-y) 噸到乙經銷商, 運費 P=0x+4y+2(0-x)+5(40-y) =-2x-y+960, 依題意列出聯立不等式為 0 x 0, 0 y 40, 即 x+y 40, ( 0-x )+( 40-y ) 50 其可行解區域如右 : 比較可行解頂點的目標函數值 : 0 x 0, 0 y 40, x+y 40, x+y 20 (x, y) (20, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 40) (0, 20) P=-2x-y+960 920 900 890 920 940 第三章不等式 99
x=0,y=0 時,P 有最小值 890, 即第一廠運送 0 噸到甲經銷商, 運送 0 噸到乙經銷商 ; 第二廠運送 0 噸到乙經銷商, 所需運費最低 B 挑戰題. 已知聯立不等式 0 x 7, 0 y 4, x+y 9, 4x+5y 0 若 x,y 均為整數, 求 () 滿足此聯立不等式的 ( x, y ) 共有多少組解? (2) P=5x+8y 的最小值 0 x 7, 0 y 4, 解 :() x+y 9, 的圖解為右圖區域的格子點 : 4x+5y 0, x,y Z 由 0 x+y 9 與 4x+5y 0, 得 6-4 5 x y 9-x, 又 0 x 7,0 y 4 故 x,y 之整數解列表如下 : x 4 5 6 7 y 4,4 2,,4 2,,2 所以滿足此聯立不等式的 (x, y) 共有 0 組 (2) 比較右列各組 (x, y) 的函數值 (x, y) (4, ) (5, 2) (7, ) 即可知 P=5x+8y 的最小值是 4 P=5x+8y 44 4 4 高中選修數學 (I) 00
2. 設一線性規畫的可行解區域如右圖所示之 正六邊形內部 ( 含邊界 ), 而目標函數為 y-ax; 若已知 A 點為此目標函數取得最大 值之唯一的點, 則 a 值的範圍要有限制, 若以不等式表示, 求 a 之範圍 解 :AB 的斜率為 0,AC 的斜率為 tan20 =-, 所以目標函數 P=y-ax 的斜率 a 必須滿足 - <a<0, 才能使得 A 點為此目標函數取得最大值的唯一點. 為預防禽流感, 營養師吩咐雞場主人每天必須從飼料中提供至少 84 單位 的營養素 A, 至少 72 單位的營養素 B, 至少 60 單位的營養素 C 給他的雞 群 這三種營養素可由兩種飼料中獲得, 且知第一種飼料每公斤售價 5 元 並含有 7 單位的營養素 A, 單位的營養素 B 與 單位的營養素 C; 第二 種飼料每公斤售價 4 元並含有 2 單位的營養素 A,6 單位的營養素 B 與 2 單位的營養素 C () 若雞場主人每天使用 x 公斤的第一種飼料與 y 公斤的第二種飼料, 第三章不等式 0
就能符合營養師吩咐, 則除了 x 0,y 0 兩個條件外, 寫下 x,y 必 須滿足的不等式組 (2) 若雞場主人想以最少的飼料成本來達到雞群的營養需求, 則 x,y 的 值為何? 最少的飼料成本又是多少? 解 : 依題意列出下表 : 營養素售價 A B C 飼料 ( 元 / 公斤 ) 第一種 (x 公斤 ) 7 5 第二種 (y 公斤 ) 2 6 2 4 () (2) 7x+2y 84, x+2y 24, x+2y 60 7x+2y 84, x+2y 24, x+2y 60, x 0,y 0 作圖如右, 並解得各交點坐標 目標函數 :f(x, y)=5x+4y (x, y) (0, 42) (6, 2) (8, ) (24, 0) 5x+4y 68 4 02 20 當 x=8,y=, 最少成本為 02 元 高中選修數學 (I) 02
CHAP A 基本能力題. 設 x,y,z 均為正數, 且 x+2y+z=6, 求 xyz 的最大值, 又此時 x, y,z 之值各為何? 解 : 算幾不等式 x+2y+z (x)(2y)z, 故 6 6xyz,6xyz < 8, 即 xyz < 4, 4 所以 xyz 的最大值是 此時 x=2y=z=2, 即 x= 2,y=,z=2 2. 設 x,y,z 均為實數, 且 2x+2y+z=6, 求 x 2 +y 2 +z 2 的最小值, 又此時 x,y,z 之值各為何? 解 : 柯西不等式 (x 2 +y 2 +z 2 )(2 2 +2 2 + 2 ) (2x+2y+z) 2, 故 9(x 2 +y 2 +z 2 ) 6, 即 x 2 +y 2 +z 2 4, x 2 +y 2 +z 2 的最小值是 4 此時 x 2 = y 2 = z, 令其比值為 k, 則 x=2k,y=2k,z=k, 代入 2x+2y+z=6, 得 9k=6, 即 k= 2, 於是 x= 4,y= 4,z= 2 第三章不等式 0
. 證明下列各式 : () log 7+log 7 >2 (2) 若 a,b,c 為正數, 則 ( a+b+c ) ( a + b + c ) 9 證明 :() 算幾不等式 log 7+log 7 2 > (log 7)(log 7 )=(log 7 log 7 ), 故 log 7+log 7 >2 (2) 柯西不等式 (a+b+c)( a + b + c ) = ( a ) 2 +( b ) 2 +( c ) 2 ( a )2 +( b )2 +( c )2 ( a. a + b. b + c. c )2 =(++) 2 =9 4. 解下列各不等式 : () x +26x ( x 2 +8 ) (2) x+5 x 2 +x+ 解 :() x +26x (x 2 +8), x -9x 2 +26x-24 0, (x-2)(x-)(x-4) 0, 2 x 或 x 4-9 +26-24 2 2-4 +24-7 +2 0-2 -4 0 高中選修數學 (I) 04
(2) x+5 x 2 +x+ 移項通分 (x 2 +x+)-(x+5) (x+5)(x 2 +x+) 0, x 2-4 (x+5)(x 2 +x+) 0, ( x+2 ) ( x-2 ) (x+5) 0 ( 因 x 2 +x+>0 恆成立?), (x+2)(x-2)(x+5) 0,x -5, 得 -5<x -2 或 x 2 5. 設 f (x)=2x 2 -x+ () 若 x 為任意實數, 求 f (x) 的最小值 (2) 若 x, 求 f (x) 的最大值與最小值 解 :f (x)=2x 2 -x+=2(x- 4 )2-8, () 若 x 為任意實數, 當 x= 4 (2) 當 x, 即 - x, 當 x=- 時,f (x) 有最大值 6 當 x= 4 時,f (x) 有最小值 - 8 時,f (x) 有最小值 - 8 第三章不等式 05
6. 已知 A ( 2, ),B ( 2, 6 ),C ( 5, ),D ( 5, 0 ) 為坐標平面上的四點 () 試以二元一次聯立不等式表示四邊形 ABCD 的區域 ( 含邊界 ) (2) 試求四邊形 ABCD 面積 () 若 P ( x, y ) 為四邊形 ABCD 區域的任一點, 求 2x+y+ 的最大值 與最小值 解 :() 直線 AB 的方程式為 x=2; 直線 BC 的方程式為 y-6=-(x-2), 即 x+y-8=0; 直線 CD 的方程式為 x=5; 直線 DA 的方程式為 y=- (x-5), 即 x+y-5=0 由右圖知, 四邊形 ABCD 的區域 ( 含邊界 ) 聯立不等式 : x 2, x+y 8, x 5, x+y 5 (2) 四邊形 ABCD 的面積為 2 2 5 5 2 2 絕對值 =2 0 6 () (x, y) (2, ) (2, 6) (5, ) (5, 0) 2x+y+ 8 6 故 2x+y+ 的最大值是 6, 最小值是 8 高中選修數學 (I) 06
7. 設 A ( 4, 4 ),B ( 2, ) 為 xy 平面上兩點, 而直線 y=ax+b 與線段 AB 相交 作一圖, 以 a 為橫坐標,b 為縱坐標, 將數對 ( a, b ) 的範圍表示 出來 解 : 因直線 y=ax+b 與 AB 相交, 故 (4a-4+b)(2a-+b) 0, 4a+b-4 0, 4a+b-4 0, 得 或 2a+b- 0 2a+b- 0 而滿足上式之點 (a, b) 所成的圖形如右區域 B 挑戰題. 設 p + q = 2, 其中 p,q 為正數, 試求 log p+log q 的最大值, 又 此時 p,q 之值為何? 解 : 將 p + q = 2 p + p + p + q = 2, 算幾不等式 p + p + p + q 4 4 p. p. p. q, 故 2 4 4 4 p q, 得 4 4 p q, 所以 p q ( )8, 取 log log p q log ( )8, log p+log q 8, 故 log p+log q 的最大值是 8 此時 p = q =, 即 p=q= 9 第三章不等式 07
2. 設 R 表示聯立不等式 為區域 R 中的任一點, 求 : x+2y-9 0, 5x+2y-29 0 x-2y+5 0, 所圍成的圖形區域, 且 P ( x, y ) () 2x-y 的極值 (2) y + x+ 的極值 () x 2 +y 2 的極值 解 : x+2y-9 0, x-2y+5 0, 的圖解如右圖 : 5x+2y-29 0 () (x, y) (, 4) (5, 2) (, 7) 2x-y -0 4-5 故 2x-y 的最大值是 4, 最小值是 -5 (2) y+ 表示 P(x, y) 與 Q(-,-) x+ 連成的直線的斜率, 故當 (x, y)=(, 4) 時, y+ x+ 當 (x, y)=(5, 2) 時, y+ x+ 的最大值是 的最小值是 5 2 ; 2 () x 2 +y 2 表示 P(x, y) 與原點距離的平方 故當 (x, y)=(, 7) 時,x 2 +y 2 的最大值是 58; 而 x 2 +y 2 的最小值是原點到直線 x+2y-9=0 的距離的平方, (0+0-9) 2 即 = 8 2 +2 2 5 高中選修數學 (I) 08
. 在條件 2x+y -9, x-y 6, 的限制下, 已知 x=-,y= 是使目標函數 x+2y, x-y -6 kx-y+ 取得最小值的最佳解, 求 k 的範圍 解 : 聯立不等式 2x+y -9, x-y 6, 之圖解區域如右 : x+2y, x-y -6 其頂點為 (-5, ),(-, ), ( 2 5,- 5 ),(-,-) (x, y) (-5, ) (-, ), ( 2 5 kx-y+ -5k+2 -k 因 x=-,y= 時,kx-y+ 有最小值,- 5 ) (-,-) 2k+8 5 -k+6 故 -k -5k+2, -k -k+6, -k 2k+8 5 即 k, k - 2 得 - 2 k 4. 某歌唱訓練班根據以往的經驗得知 : 每花 0 萬元在報章雜誌上替歌手打 廣告可以提升歌手的形象指數 5 點, 知名度指數 0 點 ; 反之, 若是在電 台上, 同樣花 0 萬元替歌手打廣告, 則可提升歌手的形象指數 6 點, 知 第三章不等式 09
名度指數 4 點 根據市場調查發現成為名歌星的形象指數至少 60 點, 知名度指數亦至少 60 點, 而且綜合指數 ( 形象指數與知名度指數的和 ) 至少 60 點 試問 : 歌唱訓練班要讓一位歌手 ( 假設形象指數與知名度 指數皆為 0 ) 成為名歌星至少應該花多少廣告費? 這些廣告費報章雜誌 與電台應各分配多少, 效果最好 解 : 設廣告費中報章雜誌分配 0x 萬元, 電台分配 0y 萬元, 則 即 5x+6y 60, 0x+4y 60, 5x+0y 60, x,y 0 5x+6y 60, 5x+2y 80, x+2y 72, x,y 0 其圖解區域如右 : 求目標函數 P=x+y 的最小值 (x, y) (0, 40) (4, 0) (4, 5) (2, 0) P=x+y 40 4 29 2 當 x=4,y=5,p 有最小值 29, 即報章雜誌分配 40 萬元, 電台分配 50 萬元, 花費最少, 最少是 290 萬元 高中選修數學 (I) 0
5. 某公司所生產的產品, 存放在甲 乙兩 倉庫分別有 50 單位 40 單位, 現在市 市場 A 市場 B 倉庫甲 500 元 450 元 倉庫乙 400 元 00 元 場 A 市場 B 分別的需求量是 20 單位 0 單位, 下表是各倉庫運輸到各市場的每單位運輸成本 : 在滿足 A,B 市場的需求下, 最節省的運輸成本是多少? 解 : 設自甲倉庫運送 x 單位到市場 A, 運送 y 單位到市場 B; 則自乙倉庫運送 (20-x) 單位到市場 A, 運送 (0-y) 單位到市場 B 依題意得下列聯立不等式 : 則 0 x 20, 0 y 0, 即 x+y 50, ( 20-x )+( 0-y ) 40 其可行解區域如右 : 而運輸成本為 0 x 20, 0 y 0, x+y 50, x+y 0 P=500x+400(20-x)+450y+00(0-y) =00x+50y+7000( 元 ), 比較可行解區域頂點的目標函數值 : (x, y) (0, 0) (20, 0) (20, 0) (0, 0) (0, 0) P=00x+50y+7000 8000 9000 2500 2500 8500 故 P 的最小值是 8000, 即最節省的運輸成本是 8000 元 第三章不等式