2005/2006學年 澳大數B試題

升高三暑期作業 ( 理組數學 ) 註 : () 升高三或留高二的學生均要完成以下三科的作業 ; () 9 月 日早讀堂交暑期作業 遞交時間 : 009 年 9 月 日早讀堂 要求 : 選擇題寫簡單過程, 解答題需要詳細解答過程, 把全部題目做在 A 紙上 下列題目可不做, 有興趣的同學可以自己搜查資料完成 0-05 澳大數 B 第二部份題, 05-06 澳大數 B 第二部份題 0-05 澳大數 A 第二部份題 0,, 05-06 澳大數 A 第一部份題,, 第二部份題 0 00/005 學年澳大數 B 試題 第一部份. 解方程 + 7 = +. 若直線 L : + y 5 0 垂直於直線 L : p 8y + 7 0, 求 p 值 = =. 若 ( + )( + p) + q, 求 p 和 q 的值. 在 -y 平面上繪畫出同時滿足 y 及 y 6 的區域 5. 某人以年利率 r % 借款 $8000, 單利息計算, 兩年後需還款 $90 ) 求 r 的值 ) 若年利率維持在 r % 不變, 但利息以複利每年計算, 問該人兩年後需還款多少? ( 答案須準確至 位小數 ) 6. 三名學生 A B 和 C 同時申請入讀某大學他 / 她們能成功被大學取錄的概率分別是 0. 0. 和 0. 求以下事件的概率 ) 三名學生全部被拒絕取錄 ) 只有其中一名學生被取錄第二部份. 若 90 < θ < 80, 以下何者必為正確? A. sin θ cosθ > 0 B. sin θ cosθ < 0 C. sin θ + cosθ > 0 D. sin θ + cosθ > 0 E. sin θ cosθ > 0. 以 M 表示男學生的人數及以 P 表示教師的人數某中學女生數目為男生的兩倍, 而學生的人數為教師的 0 倍以下那一項正確? A. M = 0P

B. M = 0P C. P = 0M D. P = 0M E. M = 0P. 圖中有兩個 8 公分 8 公分的正方形疊在一起, 其中一個正方形的一個頂點位於另外的正方形的中心點陰影部份的面積是多少? A. 8 cm B. cm C. 6 cm D. cm E. cm. 水管 A 可在 小時內把一個游泳池注滿, 水管 B 則要用 9 小時若同時使用兩條水管, 需要多久才能注滿該游泳池? A. 小時 B. 小時 C. / 小時 D. 6/7 小時 E. /5 小時 5. 在韋恩圖中, 陰影部份表示 A. A ( B D) B. A C ( B D) C C. A ( B D) D. ( A B) C D E. A C B D 6. 對於所有實數值 而言, 以下哪個等式成立? I. ( ) = ( ) II. ( ) = ( ) III. ( + )( ) = ( )( + ) A. 只有 I B. 只有 II C. 只有 III D. 只有 I 及 III E. I II 和 III 7. 對圖中所示之曲線, 以下哪一個命題正確? I. > 0 II. < 0 III. c > 0-5 5 - -

A. 只有 I B. 只有 II C. 只有 III D. 只有 II 及 III E. I II 和 III 8. 等差數列 8 的首 n 項之和為 6, 求 n 值 A. B. 6 C. 8 D. or 6 E. or 8 9. 投擲一均稱的骰子兩次, 求最少擲得一次 6 的概率 A. B. 6 C. 8 5 D. 6 5 E. 6 0. 設 < 0及 > 0, 下列何者必為正確? I. II. < < III. < 0 A. 只有 III B. 只有 I 及 II C. 只有 I 及 III D. 只有 II 及 III E. I II 和 III. 若 0 5 的平均值為, 求以上 6 個數字的中位數 A. B. C. D.

E. 5. 設 和 為常數, 若 + + + 可被 + 整除, 求 8 + A. B. C. 6 D. -8 E. -. 某中國茶葉由三種茶葉按重量比率 :5: 混合而成, 而三種茶葉的成本價則分別為每公斤 $7 $9 及 $5 求該中國茶葉每公斤的成本價 A. $6 B. $7 C. $8 D. $9 E. $0. 若 y, 下列何者為正確? I. y II. y III. ( y + ) A. 只有 II B. 只有 III C. 只有 I 及 II D. 只有 I 及 III E. I II 和 III 5. 若 可被 整除及 可被 5 整除, 下列何者必為正確? I. 和 為奇數 II. + 可被 8 整除 III. 可被 5 整除 A. 只有 I B. 只有 II C. 只有 III D. 只有 I 及 III E. 只有 II 和 III 6. 某手表的標價比成本高中 0% 若該手表以七折出售, 求盈利或虧蝕百分率 A. 賺 8% B. 賺 % C. 賺 0% D. 蝕 % E. 蝕 0% 7. 一個底部半徑為 公分的圓柱形封閉鐵罐容量為 00 立方公分鐵罐的表面積 ( 以平方公分表示 ) 為 A. 0 π + 00

B. π + 50 C. π +00 D. 6 π + 00 E. π + 00 8. 一間工廠上年的總產值比它的總成本多 6 百萬元今年的總產值比上年多 0%, 而總成本 比上年減少 0% 若今年的總產值比總成本多一千萬元, 上年的總產值是多少? A. 5.6 百萬元 B. 8. 百萬元 C. 9.6 百萬元 D. 0. 百萬元 E.. 百萬元 9. 在平行四邊形 ABC D 內, AB = 8 公分, BC = 6 公分, 而 ABC = 0 BAC 為 A. 5 ' B. C. 5 7' D. ' E. ' 0 5' 0 0. 在 + 的展開式中, 的係數為 0 A. B. 660 6 C. 0 8 D. 8 0 E. 6 8 005/006 學年澳大數 B 試題第一部份. 下列為 名學生在某次數學測驗中所取得的分數 : 78 6 65 8 57 57 68 7 90 6 求以上分數的平均值, 中位數及標準差. 解不等式 ( ) < ( + 5)

. 解下列方程式 : sin θ =, 0 θ π. 若 + + + 可被 整除, 而被 + 除的餘數為, 求 和, 5. 並求方程式 + + + 的根 + y = 89 求 和 y ; y + y = 6 6. 在圖 中, 直線 k + y = 0 與 軸相交於點 A 並與 y 軸相交於點 B, ΔOAB 的面積為 6 平方單位, 求 k 的值 7. 梁小姐把一筆款項存入 A 銀行, 年利率為 5%, 複利計算, 每年結算一次. 若兩年後她共收回本利和 $6,05, 她原來的存款是多少?. B 銀行的年利率為 5%, 複利計算, 每半年結算一次若梁小姐把 $6,05 存於 B 銀行, 問兩年後她可收回的本利和是多少? 第二部份. 若 tn θ =, 其中 0 < θ < 90 且, 為正數, 求 cosθ A. B. C. + D. + +. P P, Q, A, B和 C的 H. C. F是 和 Q的 H. C. F為 6 c A, B和 C的 H. C. F為 (, 和 c為整數 ) A. c B. c C. c D. c E.. 等比數列 6,,,, L的第 n項為 A. B. C. D. E. n n n n n. 5. 6. ( ) ( + )( + ) =, 則 = 若 ( ) A. B. - C. - 或 -5 D. - 或 - E. - 或 -7 ( + ) ( c d ) 若 : c = : 5, c : = :及 : d = : 5, 求 : + A. : B. : C. :5 D. :9 E. : 0 若,, c為某等差數列的 個連續項, 下列何者必為正確? () +, +, c + 為一等差數列的連續項 + E. + ( ),, c為一等差數列的連續項 () log,log, log c為一等比數列的連續項 7. A. 只有 () B. 只有 () 和 ( ) C. 只有 () 和 ( ) D. 只有 () 和 ( ) E. () ( ) 和 ( ) 若 > 及 c < 0, 下列何者為正確?

() + c > + c ( ) c < c 8. < c c () A. 只有 () B. 只有 () 和 ( ) C. 只有 () 和 ( ) D. 只有 () 和 ( ) E. () ( ) 和 ( ) 在圖 中, (, y) 為包括邊界的陰影部份內的任何一點下列何者為正確? () y 0 ( ) y 0 () 0 A. 只有 () B. 只有 () 和 ( ) C. 只有 () 和 ( ) D. 只有 () 和 ( ) E. () ( ) 和 ( ) 9. 給定兩圓形 + y 5 = 0 和 + y y 5 = 0 下列何者為正確? () 兩圓形具有相同的圓心 ( ) 兩圓形的半徑相等 ( ) 兩圓形均通過點 (, 0) A. 只有 () B. 只有 ( ) C. 只有 ( ) D. 只有 () 和 ( ) E. 只有 () 和 ( ) 0. 若 f ( ) = ( ), 則 f ( + ) f ( ) = A. B. C. D.. 圖 為 y = f ( ) 的圖像下面那一個為 y = f ( + ) 的圖像? ( ) ( ) E. ( ). 隨 y正變而隨 z 反變 已知當 y = 及 z = 時 = 5 求當 y = 及 z = 9 時 的值. A. B. C. D. E. 5

( ). 方程式 + 5 = 有 A. 一個實根 B. 兩個實根 C. 三個實根 D. 四個實根 E. 無限個實根 5. 約翰今天早上從住所往學校的平均速度為每小時 60 公里, 而他回程時取相同路線, 平均 速度為每小時 0 公里他兩段行程的平均速度為 A. 每小時 50 公里 B. 每小時 8 公里 C. 每小時 5 公里 D. 每小時 公里 E. 每小時 6 公里 6. 若直線 y = 5 + k 與拋物線 y = + + 相切, 求 k 的值 A. + 7 B. 7 C. D. E. 6 0 7. 在 ( + ) 的展開式中, 的系數是 A. -890 B. -0 C. 080 D. 860 E. 970 8. 設 和 為正常數, 且 >, 的最大值為 + + A. B. C. D. 0. 在圖 中, AEFD 為正方形 若長方形 ABCD 和 BCFE相似, 那麼 E. + 9. 某正圓柱體的底半徑增加 0%, 而其高度減少 0% 求其體積改變的百分率 A. 增加 6% B. 減少 6% C. 增加 8.% D. 減少 8.% E. 沒有改變 AB AE 等於 A..5 B.. C.. D..6 E..8. 投擲一匀稱的骰子兩次, 求第一次擲得的點數小於第二次擲得 E. 7 的點數的概率 A. B. C. 6 D. 5 00/005 澳大數 A 第一部分

. () 設 = log 0 及 = log 0, 以, 表示 log 0 5 6 () 解方程 log 5 ( 5 ) = +. 設 為正數及 e f ( ) = + e 為偶函數. ( 即 f ( ) = f ( ) ) () 求數 () 證明 f () 在 { : > 0} 上是增函數.. 設 0 <θ < π 及 () 證明 () 求 sin θ + cosθ = sin θ cosθ = tn θ 7 5 5. 有等差數列,,... 其公差非零且首項. 若, 為一等比數列中的連續三項. 求, 此等比數列的公比. 5. () 證明對任意正數 及 y, 有 + y y = () 若正數 及 y 滿足 y = + y +. 證明 y 9, 6. 如圖,E-ABCD 是一四棱錐, 其底 ABCD 是一正方形, AB =,EC 垂直於底面 ABCD, EC =. 設 F 是 AE 上一點, 且 BF AE (i) 求 Δ ABE 的面積 (ii) 求 BF (iii) 求二面角 D-AE-B D F' F E C A B 7. 一公司有職員六人, 每天反叺需要使用電腦率為 0.5, 假設各人對電腦的需要是獨立的, 且在任何兩天的需要也是獨立的. () 求在同一天內以下事件的概率 (i) 剛好有三人需要使用電腦 (ii) 最少有三人需要使用電腦 () 若公司祇有五台電腦, 求最大的 n 使公司在連續 n 天內都有足夠的電腦以供使用的概率大於 0.9 第二部分 F 8. 如圖 AC 是一直線, 直線 DE 分別與半圓 ADB 及 BEC 相切於點 D 及 E. 直線 AD 及交於 F, 設 DAB =, ECB = y. D E CE y A B C

() (i) 證明 DBE = π y (ii) 證明 BDFE 是一長方形 (iii) 證明 FB AC () 設 AB =, BC = (i) 證明 (ii) 求 CE Δ CEB, ΔCFA 及 ΔBEF 是相似三角形 9. 直線 L 過點 P(,0) 且有斜率 m(m>0). 假設直線 L 與拋物線 y = 8 交於兩不同的點 A, y ) 和 B, y ) ( () 證明及 是方程 m + ( m ) + m = 0 的根 ( 6( m () 證明 ( ) = m ) 6( m ) (c) 證明 AB = m (d) 設 m =, 若點 Q( h, k) 為一動點使得 Δ ABQ 的面積是 9. 求點 Q( h, k) 的坐標所滿足 的方程. 0. () 已知函數 f ( ) = 9 + (i) 求 f '( ) 及 f "( ) (ii) 求 f () 的局部極大點, 局部極小點及拐點 (iii) 繪出 f () 的圖像 (iv) 從 f () 的圖像, 求實數 的范圍使得方程 9 + = 0 只有一個實數根 () 求由直線 y = 及曲線 y =. 設 i = 及 α = cos π + i sin π 5 5 () 證明多項式 z 5 j 的所有複數根是 α, j = 0,,,, 和 y = 於第一象限內所包圍的區域之面積. () (i) 證明 : α = α 及 α = α (ii) 利用 () 及 () (i) 證明等式 z + z + z + z + = ( z z cos π )( z z cos π + ) 5 5 (c) 利用 () (ii) 中的恆等式, 求 cos π cos π 的值. 5 5 c. () 因式分解行列式 c c c

+ y + z = 0 () 求以下方程組的通解 + y z = 0 + y + z = 0 (c) 利用 () 的通解, 解 + y z = 0 + y + z = 8 005/006 學年澳大數 A 試題 第一部分. 若 f ( ) = + + + 被 + 除時, 其餘式為 7, 求 和 的值. +. 已知函數 f ( ) = log, 其中 >. (i) 求 f () 的定義域, 並判別 f () 的奇偶性. (ii) 解不等式 f ( ) log. (i) 用數學歸納法, 證明對於 n =,,,..., 以下等式成立 : + +... + n = n( n + )(n + ) 6 (ii) 用 (i) 的結果, 求 + +... + n ( n + ). + i. (i) 以極式 r (cosθ + i sinθ ) 表 i + i (ii) 若 i 006, 其中 i =. = + i, 其中 和 為實數, 求 和 的值. 5. 甲和乙兩人進行乒乓球單打比賽, 每賽一局, 甲勝出的概率為 0.6, 而乙勝出的概率為 0., 若比賽可採用三局兩勝制或五局三勝制, 問哪種賽制對甲更有利? 試解釋你的選擇. 6. 設數列 } 的前 n 項和為 S. (i) 若 { k { k n } 為等差數列, 其公差 d = 且 S 50, 求前 00 項中, 所有奇數項之和 : S odd = + + + 5 +... 99 (ii) 已知對所有正整數 n, S n 00 = n( + n ) =. 證明數列 { k } 是等差數列. 0 k 7. 已知在 ( + 0 )( + ) 的展開式中, 的係數為 0. 求 k 的值. 第二部分 π 8. () 已知 0 < α <, 且 sin α + sin α cosα = cos α. 求 sin α 及 tn α 的值. π () 已知 0 < β < < γ < π. (i) 試比較 sin γ 與 sin( β + γ ) 的大小.

(ii) 設 β tn = ( 提示 : cosγ = cos[( β + γ ) β ]. ) 5 及 sin( β + γ ) =. 求 cos γ 的值. ( 求解過程中不得使用計算機 ). 9. ABCD EFGH 為一正立方體, 其邊長為. 設點 M 在 BH 上, 且 GM BH, 點 N 在 CH 上, 且 NM BH. (i) 考慮 ΔBGH 的面積, 求 MG. (ii) 求 MH. (iii) 證明 ΔBCH 與 ΔNMH 相似, 並求 MN 及 NH. (iv) 求 NG. (v) 求二面角 C BH G. 0. () 設 y =. + dy (i) 證明 = d ( + ) (ii) 繪出曲線 d y d 6 =. ( + ) 及 y =, 圖中給出局部極大值, 局部極小值和拐點. + () 設 0. 問當 為何值時 d 的值為最小? 0. 已知雙曲線 y = 與直線 y = m( ) 交於兩點 P(, y ) 及 Q(, y ), 且 P 及 Q 分別在 雙曲線的左 右分支上. (i) 證明 及 滿足方程 ( m ) m + (m + ) = 0. (ii) 以 m 表 + 及. (iii) 求 m 的取值範圍. (iv) 設 O 為原點, 若 POQ 為直角, 證明 8 9( + ) + 9 0, 並由此的結果代入 =. () 因式分解行列式 p q r. p q r () 已知以, y, z 為未知量的方程組 : (E) + y + z = p + qy + rz = s p + q y + r z = s (i) 證明方程組 (E) 有唯一解當且僅當 p, q, r 的值互不相同. (ii) 設 p = q r. 求 s 的值使得方程組 (E) 有解, 並對每一求得的 s 值解方程組 (E). ( 提示 : 設 w = + y )

九十五 (006) 年度台灣各大學校院澳門地區招生入學甄試 數學科試題 ( 組 文組 ) 一 填空題 ( 每題 7 分,共 70 分 ) 006 () 將 57 乘開後的最後兩位 ( 即十位數和個位數 ) 是 () 將 ( y ) ( y y ) m n 化簡成 y 的形式,則 m n= () f ( ) 是一個實係數的三次多項式,且 f() i = 0, f ( + i) = 5,則 f ( ) = () 方程式 ( ) + y 0 + + y+ 5 =0 之實數解為 (, y ) = + = [ 0, π ] (5) 解方程式若 tn sec 0,則 = (6) 一個無限多項等比級數為 ( + ) ( ) + ( 9 5 )..., 則其和等於.( 將其 答案儘可能化簡 ) (7) 在一次數學考試中,全體同學的平均成績是 μ = 55,標準差是 σ = 5, 四分位數間距是 q = 5. 現老師調整全班分數,將原始分數乘以 0.8,再加上 6 得到新的分數,則新的 (,,q μσ ) = ) + = ( 5,) (8) 令 P (, 為直線 L: y 8 0上一點, Q 投影長為 為平面上另一點,則線段 PQ 在 L 上的 (9) 如圖在三角形 ABC 上, AD : DB = :, BE : EC = :, CF : FA = :,則三角形 ABC 之面積與三角形 DEF 之面樍之比為 (0) 圓 + y 6y 5 = 0 與 軸交於 P Q 兩點,令 LL 分別為些圓上過 P Q 之切線 若 LL 之交角為 θ,則 sinθ = 二 計算題 ( 每題 0 分,共 0 分 ) () 求 sin cos+ cos+ sin >, 0 π 滿足不等式,之所有 值 () 如圖小圓之圓心為 A,半徑為 ; 大圓之圓心為 B,半徑為,且通過 A E 為兩圓之交

點, F 為 AB 與小圓之交點求 sin AEF 之值 () 令 A (, ) (, ) B, Σ 為所有至 A 的距離與至 B 距離之差為 的點 P 所成軌跡已知 Σ 一個雙曲線,求此雙曲線的方程式及其頂點座標