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Estimatio ad Cofidece Itervals Chapter 9 統計估計 (Statistical Estimatio) 統計估計是用樣本統計量推估母體參數的方法統計估計分為兩部分 : 點估計 (Poit Estimatio) ---- 利用樣本統計量直接推估母體參數稱之例如 : Sample Mea X Populatio Mea μ 區間估計 (Iterval Estimatio) ---- 利用樣本統計量估計出一個區間去估計母體參數, 此區間可靠度可知例如 : 馬英九支持率在 95% 的信賴水準下, 介於 [5%, 30%] McGraw-Hill/Irwi The McGraw-Hill Compaies, Ic. 008 Poit Estimate ( 點估計 ) 點估計 (Poit Estimatio) A poit estimate is the statistic, computed from sample iformatio, which is used to estimate the populatio parameter. Examples: Sample Mea X Populatio Mea μ Sample Stadard Error s Populatio Stadard Deviatio Sample proportio p Populatio proportio π McGraw-Hill/Irwi The McGraw-Hill Compaies, Ic. 008 4 1

Poit Estimate ( 點估計 ) 點估計的限制用來估計母體參數的統計量稱為估計式 (Estimator) 將樣本觀察值代入估計式中, 求得的數值稱為估計值 (Estimate) 點估計步驟 : 1. 抽取代表性樣本. 選擇一個較佳的樣本統計量當估計式 3. 計算估計式的估計值 4. 以該估計值推論母體參數並作決策點估計與母體參數的真值通常不同, 而使用點估計來推估母體參數的準確性亦無法得知也許剛好估中, 也許相差甚多因此, 點估計誤差大小的不確定性, 便是點估計的限制點估計準確與否, 與選擇的估計式是否具良好的特質有關例如 : 估計母體平均數, 可以選擇的估計式有 : 樣本平均數中位數眾數等, 準確與否端視母體特性 5 6 區間估計 (Iterval Estimatio) 區間估計 (Iterval Estimatio) 點估計無法提供任何有關估計母體參數的準確性的訊息為了解決此問題, 乃發展出區間估計區間估計 : ---- 對未知母體參數估計出一個區間, 並指出該區間包含母體參數的信賴程度信賴區間 (Cofidece Iterval): ---- 信賴區間是在一給定的信賴水準下, 由樣本統計量與抽樣誤差所構成的一個區間信賴水準 (Cofidece Level): ---- 信賴水準是指信賴區間包含母體參數的信賴度 McGraw-Hill/Irwi The McGraw-Hill Compaies, Ic. 008 8

區間估計 (Iterval Estimatio) Iterval Estimates - Iterpretatio 區間估計是先對未知的母體參數求點估計值, 然後在一信賴水準 (Cofidece Level) 下, 導出一個上下區間, 此區間稱為信賴區間 (Cofidece Iterval) 信賴水準是指該區間包含母體參數的可靠度 For a 95% cofidece iterval about 95% of the similarly costructed itervals will cotai the parameter beig estimated. Also 95% of the sample meas for a specified sample size will lie withi 1.96 stadard deviatios of the hypothesized populatio 95% 信賴區間表示, 做 100 次信賴區間, 區間約包含母體參數 95 次 9 10 Review of Normal Distributio X N Z N ~ ( μ, ) ad ~ (0,1) P(Z > a) = P(Z < -a) = 1 - P(Z < a) = 1- P(Z > - a) X μ a μ a μ PX ( > a) = P( > ) = PZ ( > ) Z is defied by P( Z > Z ) = α. Z α α = Z 1 α α 母體平均數的區間估計 11 McGraw-Hill/Irwi The McGraw-Hill Compaies, Ic. 008 3

母體平均數的區間估計母體平均數的區間估計 : 大樣本已知 13 探討母體平均數區間估計時, 分為下列情形 : 大樣本 ( 30) 母體已知母體未知小樣本 ( 30) 常態母體已知常態母體未知非常態母體已知非常態母體未知 14 在大樣本下, 由中央極限定理可知 : X~ N(μ, /) X μ 因此, P Zα / = 1 α, / X μ P Zα/ Zα/ = 1 α, / P X Zα / μ X + Zα / = 1 α, 1- α 信賴區間為 : X Zα/ μ X + Zα/ Level of Cofidece 影響信賴區間長度的因素 15 1-α is called the level of cofidece. Level of Cofidece: 1-α = 0.95 or 95% Z = 0.05 1.96 1-α = 0.90 or 90% Z 0.05 = 1.645 1-α = 0.99 or 99% Z 0.05 =.575 1 α Cofidece Iterval: X ± Z Z α/ Z α / α / X~ N ( μ, ) X 16 影響信賴區間長度的方法有二 : 信賴係數 1- α : ---- 信賴係數越大, 區間長度越長樣本數 ---- 樣本數越大, 區間長度越短區間長度越短, 精確度越高降低信賴係數雖可以使區間變短, 但可靠度降低, 不是好方法增加樣本數可以使區間變短, 增加精確度 X Z, X + Z α/ α/ 4

Example 1: 老人看電視的時間 (1) Example 1: 老人看電視的時間 () 根據行政院主計處調查, 台灣地區 15 歲以上的人口中, 以老年人 (65 歲以上 ) 看電視的時間最長現在新立傳播公司計畫推出老年人的電視節目, 因此想要了解老年人看電視的時間, 以決定電視節目的數量新立公司於是採隨機抽樣法抽取台北市 100 位老人調查看電視的時數, 結果得知, 每星期看電視的平均時間為 = 1. 小時假設根據過去數次調查的資料, 已知每星期看電視時間的標準差為 8 小時, 問 : 1. 老人每星期看電視的平均時間的點估計值為何?. 在 95% 信賴水準下, 最大估計誤差為何? 3. 在 95% 信賴水準下, 每星期看電視平均時間的信賴區間為何? 依題意, 信賴水準為 95%, X =1. 小時, =8 小時, =100 估計步驟如下 : 1. 選擇 X 做為 μ 的估計式. 在大樣本情況下, X 的抽樣分配為常態分配 N ~( μ, X ) 由常態分配可知 P( X μ 1.96 X ) = 0.95 意即在 95% 信賴水準下, 樣本平均數與母體平均數的估計誤差不會超過 1.96 X 因 8 = = = 0.8 X 100 因此可知在 X μ 1.96 0.8 = 1.568, 意即在 95% 信賴水準下, 最大估計誤差為 1.568 小時 17 18 Example 1: 老人看電視的時間 (3) Example 1: 老人看電視的時間 (4) 3. 在 1 α 信賴水準下, 母體平均數的信賴區間為 : 因 α = 0.05, α /= 0.05, 查表得 Zα / = Z0.05 = 1.96 將 = 0.8 Z α / = 1.96 及 X = 1. 代入上式可得即 X X ± Z α / X X ± Z α / X = 1. ± 1.96 0.8 = (1. 1.568) ~ (1. + 1.568) = 19.63 ~.768 19.63 μ.768 此即表示在 19.63~.768 小時的區間包含母體平均數 μ 的信賴區間水準為 95% 因此可推論 : 老年人每星期平均看電視的時間在 19.63~.768 小時之間, 而此一區間的可信度 ( 信賴水準 ) 為 95% 19 0 5

Example 1: 老人看電視的時間 (5) Example : 老人看電視的時間 (1) f (x) 承 Example 1 老人看電視的時間, 試問 : 1. 現若將信賴水準降為 90%, 信賴區間將為何? 較 95% 信賴區間時寬? 還是窄? 19.63 μ X = 1..768 x. 信賴水準是 95% 時, 若樣本數增加為 400 人, 信賴區間將為何? 較 100 人時為寬? 還是窄? ( 假設抽樣結果 =1. 小時 ) 1 Example : 老人看電視的時間 () Example : 老人看電視的時間 (3) 1. 由 Ex1 可知, X = 1. 小時, = 8 小時, = 0.8 X 小時, = 100 信賴區間降為 90% 時, α = 0.1 α / = 0.05 查表得 Zα / = Z0.05 = 1.645,90% 信賴區間為 : 或表為 X ± Z α / X = 1. ± 1.645 0.8 1. 1.645 0.8 μ 1. + 1.645 0.8 19.884 μ.516 因此知,90% 信賴水準時, 信賴區間為 19.884~.516 小時較 95% 信賴區間時為窄. 當樣本數增為 =400 時, 樣本標準差為因此信賴區間為 : 或表為 X ± Z α / X = 1. ± 1.96 0.4 1. 1.96 0.4 μ 1. + 1.96 0.4 0.416 μ 1.984 = 8 / 400 = 0.4 在信賴水準 95% 下, 比較可知, 若樣本數增加為 400 人, 信賴區間較 100 人時為窄此即表示, 當信賴水準固定時, 增加樣本數會使信賴區間長度降低, 估計的精確度提高這樣的結果說明為什麼統計學家認為樣本數越大越好的原因 X 3 4 6

母體平均數的區間估計 : 大樣本未知 Example 3 5 當未知時, 以樣本標準差 S 替代母體標準差 S = X ( X- i X) 母體平均數的 1- α 信賴區間為 : i=1-1 S X Z, X + Z α/ α/ S 6 某公司隨機抽 50 位員工觀察其年資 X, 得到數據 ΣX = 300 ΣX =500 試求公司員工的平均年資的 95% 信賴區間 ( X i X) Xi X S = = 50 1 50 1 500 50 6 = = 14. 86 49 S S 14.86 14.86 X - Zα/, X + Z α/ = 6-1.96, 6-1.96 50 50 母體平均數的區間估計 : 小樣本常態母體已知 Example 4: 女鞋價格估計 7 常態母體, 在小樣本情形下,: X~ N(μ, /) X μ 因此, P Zα / = 1 α, / X μ P Zα/ Zα/ = 1 α, / P X Zα/ μ X + Zα/ = 1 α, 1- α 信賴區間為 : X Zα/ μ X + Zα/ 8 根據市場調查得知,5 雙流行女鞋的平均價格 810 元, 標準差 696 元問今年添購一雙流行女鞋平均價格的 95% 的信賴區間為何?( 假設母體為常態分配且 =70 元 ) 已知女鞋價格成常態分配, 且已知變異數 = 70 小樣本 = 5, 樣本平均數 X =810, 則母體平均數 μ 的 95% 信賴區間為 : 70 X± Z0.05 = 810 ± 1.96 = 810 ± 8 5 即 58 μ 309 因此, 在 95% 的信賴水準下, 一雙流行女鞋的平均價格介於 58 元至 309 元之間 7

母體平均數的區間估計 : 小樣本常態母體未知 Characteristics of the t-distributio 常態母體, 在小樣本且母體標準差未知情形下, X-μ 以樣本標準差 S 替代母體標準差, 此時的 S/ 機率分配為自由度 (Degree of Freedom) -1 的 t 分配 X - μ ~ t 1, S S/ = i= 1 ( X ) i X 1 1. It is, like the z distributio, a cotiuous distributio.. It is, like the z distributio, bell-shaped ad symmetrical. 3. There is ot oe t distributio, but rather a family of t distributios. All t distributios have a mea of 0, but their stadard deviatios differ accordig to the sample size,. 4. The t distributio is more spread out ad flatter at the ceter tha the stadard ormal distributio As the sample size icreases, however, the t distributio approaches the stadard ormal distributio, 9 30 Comparig the z ad t Distributios whe is small t 值表 31 3 t 值會因不同的自由度而不同!! d.f. t 0.10 t 0.05 t 0.05 t 0.010 t 0.005 d.f. 1 3.078 6.314 1.706 31.81 63.657 1 1.886.90 4.303 6.965 10.95 3 1.638.353 3.18 4.541 5.841 3 4 1.533.13.776 3.747 4.604 4 5 1.473.015.571 3.365 4.03 5 6 1.440 1.943.447 3.143 3.707 6 7 1.314 1.703.05.473.771 7 8 1.313 1.701.048.467.763 8 9 1.311 1.699.045.46.756 9 1.8 1.645 1.960.36.575 8

t 值 Level of Cofidece P( t > t, α ) = α 且 t, α = t,1 α t 5,0.05 =.015 f (t ) 1-α is called the level of cofidece.. Level of Cofidece = 0.95 or 95% t 30,0.05 =.04 t,0.05 = 4.303 Level of Cofidece = 0.9 or 90% 33 t 15,0.05 = t 5,0.5 = v = α=0.05 0 4.303 t 34 t 30,0.05 = 1.697 1 α Cofidece Iterval: X ± t t 1, α / 1, α / 1, α / X S t 母體平均數的區間估計 : 小樣本常態母體未知 Ex. 5 (1) 35 X-μ 常態母體, 在小樣本且未知情形下,: ~ t-1 S/ X μ 因此, P t 1, α / = 1 α, S/ X μ P t 1, α / t 1, α / = 1 α, S/ S S P X t 1, α / μ X + t 1, α / = 1 α, S S 1- α 信賴區間為 : X t 1, α / μ X + t 1, α / 36 A tire maufacturer wishes to ivestigate the tread life of its tires. A sample of 10 tires drive 50,000 miles revealed a sample mea of 0.3 ich of tread remaiig with a stadard deviatio of 0.09 ich. Costruct a 95 percet cofidece iterval for the populatio mea. Give i the problem : = 10 x = 0.3 s = 0.09 Compute the C.I. usig the t - dist. (sice is ukow) s X ± tα /, 1 9

Ex. 5 () Ex. 5 (3) 37 38 Ex. 5 (4) Ex. 6 (1) The maager of the Ilet Square Mall, ear Ft. Myers, Florida, wats to estimate the mea amout spet per shoppig visit by customers. A sample of 0 customers reveals the followig amouts spet. 39 40 10

Ex. 6 () Example 7: 建設機械修護課程訓練 (1) 41 Computethe C.I. usig the t - dist.(sice is ukow) s X ± tα /, 1 s = X ± t.05/,0 1 9.01 = 49.35± t.05,19 0 9.01 = 49.35±.093 0 = 49.35± 4. The edpoitsof the cofideceitervalare$45.13ad $53.57 Coclude: It is reasoablethat thepopulatiomea could be $50. The valueof $60is ot i the cofideceiterval.hece, we cocludethat the populatiomea is ulikely to be $60. 4 經略公司為了提升維修人員的效率, 開設維修課程往年維修課程都是實地講解操作, 因此授課時數較長, 且受訓人員完成課程訓練的時間近似為常態分配現公司請人設計了一套電腦模擬的維修訓練計畫, 公司預期該計畫將縮短訓練時間並提升維修能力設公司隨機由維修人員中抽取 16 人來接受此一訓練課程 16 個員工完成訓練的天數不等, 其平均訓練天數為 46 天, 標準差為 5.7 天問利用電腦模擬的機器維修課程訓練計畫平均所需天數為何 ( 設信賴水準為 95%)? Example 7: 建設機械修護課程訓練 () Cofidece Iterval Estimates for the Mea 43 由題意知 = 16 為一小樣本, 母體為常態分配但母體平均數與標準差未知, 可求得母體平均數的信賴區間為 : S 5.7 X ± t 1, α / = 46 ± t16 1,0.05 = 46 ±.131 1.45 = 46 ± 3.3037 16 其中 t 15,0.05 =.131, 即 4.963 μ 49.037 故利用電腦模擬的機器維修課程訓練在 95% 信賴水準下, 平均所需天數的信賴區間為 4.96 天到 49.04 天 44 Use Z-distributio If the populatio stadard deviatio is kow or the sample is greater tha 30. Use t-distributio If the populatio stadard deviatio is ukow ad the sample is less tha 30. s X ± z X ± t s X ± z 11

Cofidece Itervals for Populatio Mea Factors Affectig Cofidece Iterval Estimates 45 is kow. 1 α Cofidece Iterval: X ± Z is ukow. 30 : Use Z distributio. 1 α Cofidece Iterval: X ± Z <30 : Use t Distributio. 1 α Cofidece Iterval: X± t α / α / 1, α / s s 46 The factors that determie the width of a cofidece iterval are: 1.The sample size,..the variability i the populatio, or s. 3.The desired level of cofidece, α. 母體比例的區間估計母體比例的區間估計 : 大樣本 ( π ad (1-π) >5 ) π (1 π ) 在大樣本的情形下, p 的抽樣分配為 :p ~ N π, p-π P Zα / = 1 α π(1 π) / 母體比例 π 的 1- α 信賴區間為 : p Z π(1 π) / π p+ Z π(1 π) / α/ α/ McGraw-Hill/Irwi The McGraw-Hill Compaies, Ic. 008 48 1

母體比例的區間估計 : 大樣本 ( π ad (1-π) >5 ) 母體比例的區間估計 : 大樣本 ( π ad (1-π) >5 ) 一般情形下, π 未知, 所以改以 p 代替因此, 母體比例 π 的 1- α 信賴區間為 : p Z p(1 p) / π p+ Z p(1 p)/ α/ α/ 由於 π 未知, 為了避免低估 π (1 π ) /, 有時會以 π =0. 5 代入, 因此, 母體比例 π 的 1- α 信賴區間為 : p Z 0.5 / π p+ Z 0.5 / α/ α/ 49 50 Ex 9: 004 年總統大選 - 陳水扁的支持率 (1) TVBS 在 004 年 3 月 8 日的民意調查結果為 : 連戰的支持率 40%, 陳水扁 36% 以電話後四碼隨機抽樣進行電話訪問, 共訪問 1,443 位台灣地區 0 歲以上公民在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差約為正負.6 個百分點該民調中陳水扁的支持率的信賴區間及抽樣誤差是如何計算的? Ex 9: 004 年總統大選 - 陳水扁的支持率 () p ˆ = 0.36 樣本數 = 1,443 為大樣本, 樣本比例, 可得 95% 的信賴區間為 : 1 1 (0.5)(0.5) pˆ ± Z0.05 = 0.36 ± (1.96) 1,443 = 0.36 ± 0.058 式中的 0.058 即為抽樣誤差因此可得陳水扁支持率的信賴區間為 : 0.334 p 0.3858 51 5 故可推論 : 在 95% 信賴水準下, 陳水扁所獲支持率 33.4%~38.58% 或支持陳水扁的比例為 36%, 在 95% 信賴水準下誤為 :.58.6% 13

Ex10. 孩子對父母的信賴程度 (1) 一項報告指出, 少年最信任的對象為父母者, 全國比例為 45.4%, 臺灣地區的比例為 44.90%, 而臺北市的比例只有 40.78% ( 臺北市抽選 359 位少年 ) 此一調查顯示: 都市化程度較高地區的少年信任父母比例低於都市化較低地區問臺北市的少年中, 以父母為最信任對象者所占比例的 95% 信賴區間為何? Ex10. 孩子對父母的信賴程度 () 已知樣本數 = 359 為大樣本, 樣本比例 p = 0.4078 以父母為最信任對象者所占比例的 95% 信賴區間為 pq ˆˆ (0.4078)(0.59) p± Z0.05 = 0.4078 ± (1.96) 359 = 0.4078 ± 0.0508 亦即臺北市的少年對父母的信任比例區間在 95% 信賴水準下為 : 0.3570 π 0.4586 53 54 Ex11. (1) Ex11. () The uio represetig the Bottle Blowers of America (BBA) is cosiderig a proposal to merge with the Teamsters Uio. Accordig to BBA uio bylaws, at least three-fourths of the uio membership must approve ay merger. A radom sample of,000 curret BBA members reveals 1,600 pla to vote for the merger proposal. What is the estimate of the populatio proportio? Develop a 95 percet cofidece iterval for the populatio proportio. Basig your decisio o this sample iformatio, ca you coclude that the ecessary proportio of BBA members favor the merger? Why? First, compute the sample p = x Compute the 95% C.I. C.I. = p ± z 1,600 = = 0.80 000 α /.80(1.80) = 0.80 ± 1.96 =.80 ±.018,000 = (0.78,0.818) Coclude : The merger proposal will likely because the iterval p(1 p) tha 75 percet of the uio proportio : pass estimate icludes values greater membership. 55 56 14

有限母體校正因子 Fiite-Populatio Correctio Factor Fiite-Populatio Correctio Factor For a fiite populatio, where the total umber of objects is N ad the size of the sample is, the followig adjustmet is made to the stadard errors of the sample meas ad the proportio: However, if /N <.05, the fiite-populatio correctio factor may be igored. Stadard Error of the Sample Mea StadardError of SampleProportio the McGraw-Hill/Irwi The McGraw-Hill Compaies, Ic. 008 58 = x N N 1 p = p(1 p) N N 1 Effects o FPC whe /N Chages Cofidece Iterval Formulas for Estimatig Meas ad Proportios with Fiite Populatio Correctio C.I. for the Mea (μ) C.I. for the Mea (μ) X ± z N N 1 X ± t s N N 1 C.I. for the Proportio (π) Observe that FPC approaches 1 whe /N becomes smaller p ± z p(1 p) N N 1 59 60 15

CI For Mea with FPC - Example CI For Mea with FPC - Example 61 There are 50 families i Scadia, Pesylvaia. A radom sample of 40 of these families revealed the mea aual church cotributio was $450 ad the stadard deviatio of this was $75. Develop a 90 percet cofidece iterval for the populatio mea. Iterpret the cofidece iterval. X ± t s N N 1 Give i Problem: N 50 40 s - $75 Sice /N = 40/50 = 0.16, the fiite populatio correctio factor must be used. The populatio stadard deviatio is ot kow therefore use the t- distributio (may use the z-dist sice >30) Use the formula below to compute the cofidece iterval: 6 s N X ± t N 1 $75 = $450± t.10,40 1 40 $75 = $450± 1.685 40 = $450± $19.98.8434 = $450± $18.35 = ($431.65,$468.35) 50 40 50 1 50 40 50 1 It is likely that the populatiomea is moretha $431.65but less tha $468.35. To put it aother way,could the populatiomea be$445?yes,but it is ot likely that it is$45becausethe value$445is withi the cofidece itervalad $45is ot withi the cofideceiterval. 樣本數的選擇樣本數的選擇在作統計估計時, 除了選擇一個較佳的估計方法外, 亦需考慮選取適當的樣本數樣本數多 : 估計誤差小 ; 成本高樣本數少 : 估計誤差大 ; 成本低選取樣本數的一般作法, 是先設定一個可容忍的估計誤差, 而在此誤差下選擇樣本數 McGraw-Hill/Irwi The McGraw-Hill Compaies, Ic. 008 64 16

樣本數的選擇 Ex. 1 65 已知 : 假設誤差不超過 E, 即 X-μ = Zα / E, 因此, 選取的樣本數須滿足下列條件 : Zα / E 未知 : Zα /S E 66 A studet i public admiistratio wats to determie the mea amout members of city coucils i large cities ear per moth as remueratio for beig a coucil member. The error i estimatig the mea is to be less tha $100 with a 95 percet level of cofidece. The studet foud a report by the Departmet of Labor that estimated the stadard deviatio to be $1,000. What is the required sample size? 1.96 $1,000 = Give i the problem: $100 E, the maximum allowable error, is $100 = (19.6) The value of z for a 95 percet level of cofidece is 1.96, = 384.16 The estimate of the stadard deviatio is $1,000. = 385 z s = E Ex. 13 Sample Size for Proportios 67 A cosumer group would like to estimate the mea mothly electricity charge for a sigle family house i July withi $5 usig a 99 percet level of cofidece. Based o similar studies the stadard deviatio is estimated to be $0.00. How large a sample is required? (.58)(0) = 5 = 107 68 p(1-p) The formula for determiig the sample size i the case of a proportio is: Z = p(1 p) E where : p is estimate from a pilot study or some source, otherwise, 0.50 is used z - the z - value for the desired cofidece level E - the maximum allowable error 17

Ex. 14 Ex. 15 The America Keel Club wated to estimate the proportio of childre that have a dog as a pet. If the club wated the estimate to be withi 3% of the populatio proportio, how may childre would they eed to cotact? Assume a 95% level of cofidece ad that the club estimated that 30% of the childre have a dog as a pet. A study eeds to estimate the proportio of cities that have private refuse collectors. The ivestigator wats the margi of error to be withi.10 of the populatio proportio, the desired level of cofidece is 90 percet, ad o estimate is available for the populatio proportio. What is the required sample size? 69 = 1.96 (.30)(.70).03 = 897 70 1.65 = (.5)(1.5).10 = 69 cities = 68.065 Ex.16. 應抽取多少維修人員參加受訓才行? (1) Ex.16. 應抽取多少維修人員參加受訓才行? () 在 Ex.5 中, 假設經略公司的洪經理對估計結果 4.96 ~ 49.04 天的精確度並不滿意她希望估計誤差有 95% 的機率會小於或等於天問如要達到這個目標至少應抽取多少個樣本才行? 估計誤差不超過天 : X μ = Zα / 因母體標準差未知, 但可得 S=5.7, 因此 : Zα /S (1.96) (5.7) = = 31.03 d 取整數得 : 3 71 7 由此知, 至少應抽取 3 個維修人員, 亦即如果洪經理想要在 95% 信賴水準下, 得到天的估計誤差時, 需增加 16 個維修人員的測試資料才行 18

Ex. 17. 鏡框瑕疵品比例的估計 (1) Ex. 17. 鏡框瑕疵品比例的估計 () 設茂得利公司新安裝一部製造鏡框的機器, 該公司要估計該機器生產的瑕疵品的比例老闆希望在 95% 的信賴水準下, 估計誤差不超過 0.03, 問最保守的估計應抽取多少樣本數才行? 抽樣誤差不超過 0.03: Zα / 0.5 Z0.05(0.5) (1.96) (0.5) = = = 1,067.1 d (0.03) 0.0009 取整數得 : 1, 068 由此知, 至少應抽取 1,068 個樣本 73 74 單尾區間估計單尾區間估計前述的信賴區間為求長度越小越佳, 因此採取雙尾的信賴區間, 由上下限共同構成在某些情況, 研究者只需要估計母體參數不要超過某個值 ( 或不要小於某個值 ), 因此只需估計單尾的信賴區間高露潔公司要調查市場對新產品的需求量, 公司只關心需求量至少有多少銀行貸款給客戶, 要調查客戶資產至多是多少 McGraw-Hill/Irwi The McGraw-Hill Compaies, Ic. 008 76 19

單尾區間估計 : 母體平均數 Ex. 19 買不買新機器呢? (1) 母體平均數 1-α 最高限制的信賴區間 X μ P Zα = 1 α μ X + Z / α 母體平均數 1-α 最低限制的信賴區間 X μ P Zα = 1 α X Zα μ / 為了降低成本正新公司正在計劃購買一套自動化設備若這套設備的每單位產品成本的節省不低於 0,000 元, 則公司將購買該設備 ; 反之, 則不買設備製造商同意試用一星期, 試用期間該設備生產了 36 件產品, 平均省下 1,000 元, 標準差為 1,050 元現問正新公司是決策為何? 買或不買? 77 78 Ex. 19 買不買新機器呢? () Ex. 0 旅行社旅遊成本的估計 (1) 依題意可估計節省成本的最低限值得信賴區間, 因未知, 以 S = 1,050 元估計, 得最低限值信賴區間為 : S 1, 050 μ X Zα = 1, 000 1.645 = 0, 71 36 因此, 95% 最低值的信賴區間為 $ (0,71 ~ ) 元, 因此正新公司可下決策 : 因為單位成本節省大於 0,000 元, 所以可購買該自動化設備最近這幾年, 中國大陸成為台灣人觀光的熱門地區雖然旅行團很多, 但是競爭也非常激烈旅行社為了招攬生意, 也都盡量將費用減至最低, 不過也有一個底限, 低於這個底限就要虧本在考慮收費底限時, 旅行社則是以每人的最高支出計算正和旅行社根據過去 900 個旅客的資料, 上海 4 天旅遊的每人平均成本 ( 團費 ) 為 15,000 元, 標準差為 6,000 元現黃經理欲估計平均成本 95% 最高限值的信賴區間, 以做為新年度收費的參考試問平均成本 95% 最高限值的信賴區間為何? 79 80 0

Ex. 0 旅行社旅遊成本的估計 () 因未知, 以 S = 6,000 來估計, 得最高限值信賴區間為 : S 6,000 μ X Zα = 15, 000 + 1.645 = 15, 39 900 因此, 95% 最高限值的信賴區間為 (0~15,39) 元, 因此正和旅行社的黃經理可說 : 上海旅遊每人成本不超過 15,39 元至於要向顧客收多少費用必須看公司想要的利潤以及旅遊業競爭的情況而定 Ex. 1 牙膏需求量的估計 (1) 高露潔公司推出新口味牙膏, 並進行市場調查顧客對新口味牙膏的接受率, 於是隨機抽取 360 顧客, 並派員到 360 顧客家中訪問是否喜好新口味, 結果發現有 0.7 的顧客喜歡該口味該公司的業務經理劉先生欲估計接受率 99% 最低限值的信賴區間, 以做為保守估計新口味牙膏的需求量試求接受率 99% 最低限值的信賴區間 81 8 Ex. 1 牙膏需求量的估計 () Exercises 根據中央極限定理已知樣本接受率 ˆp 為一常態分配, 其標準差為 : pq ˆˆ 0.7 0.3 pˆ = = = 0.04 360 於是可得 99% 最低限值的信賴區間為 : 3,5,7,9,11,13,15,17,19,1,3,5,7,31,33,39, 43,45,49,51,55,57, p pˆ Z α p ˆ = 0.7.33 0.04 = 0.7 0.056 = 0.644 因此, 可知高露潔牙膏新口味的接受率 99% 的最低限值的信賴區間為 (0.644~1) 83 84 1