基础练习 (50 题 ) 1 把 60 分解质因数是? 60=2 x 2 x 3 x 5 2 三个连续自然数的积是 60, 求这三个数 60=3 x 4 x 5 3 12 和 18 的公约数有多少个? 公约数有 1 2 3 6 共 4 个 4 求 3 1997 的末位数字. 3 1 的末尾数字是 3 3 2 的末尾数字是 9 3 3 的末尾数字是 7 3 4 的末尾数字是 1 3 5 的末尾数字是 3 3 6 的末尾数字是 9 所以每 4 次一循环 1997 4=499 1 3 1997 末尾数字为 3 5 有一个数, 除以 3 的余数是 2, 除以 4 的余数是 1, 则这个数除以 12 的余数是多少? 设这个数为 x, 则 x+2 是 3 的倍数,x+1 是 4 的倍数数. 3 的倍数 :x+2,x+5,x+8 4 的倍数 :x+1,x+5,x+9 可以看出,x+5 既是 3 的倍数也是 4 的倍数, 所以 x+5 是 12 的倍数
因为要加上 1 个 5 才能被 12 整除, 所以 x 的余数为 5 6 288 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数, 则 a 的最小值是? 288=2 x 144 因为 144 是一个完全平方数 (12 的平方 ) 所以只要将 2 凑成完全平方数 2 x 2=4 即可所以 a 的最小值是 2 7 求 2461 135 6047 9 的余数 2461 9=273 4 135 9=15 6047 9=671 8 余数的可乘 可加性 :4 x 0 x 8=0 所以余数为 0 8 一个两位数, 其十位与个位上的数字交换以后, 所得的两位数比原来小 27, 则满足条件的两位数共有多少个? 设 : 原两位数的十位数为 x, 个位数为 y. 则原两位数值为 (10x+y), 交换后两位数的个位数为 x, 十位数为 y, 数值为 (10y+x),x y 为小于 10 的正整数因为交换后的两位数比原来小 27 所以 (10x+y)-(10y+x)=27 10x+y-10y-x=27 9x-9y=27 x-y=3 则 x-3=y,y+3=x 因为 x.y 为小于 10 的正整数所以 x=9,8,7,6,5,4;y=6,5,4,3,2,1
所以 10x+y=96,85,74,63,52,41 共有 6 个 ( 注意,y 不为零, 因为交换前后都是两位数 ) 9 小红在跳绳比赛中, 前 3 次每次平均跳 96 下, 第四次跳了 104 下, 她平均每次跳多少下? 平均每次跳 :(3 x 96+104) 4=98 10 在已考的 4 次考试中, 张明的平均成绩为 90 分 ( 每次考试的满分是 100 分 ), 为了使 平均成绩尽快不低于 95 分, 他至少还要连考 次满分 考虑已失分情况, 要使平均成绩达到 95 分以上, 也就是每次平均失分不多于 5 分, (100-90) 4 5 =40 5, =8( 次 ) 8-4=4( 次 ), 即再考 4 次满分平均分可不低于 95 分 ( 正好是 95 分 ) 11 在 20 以内的质数中, 加上 2 以后结果还是质数的, 一共有 ( 4 ) 个 3 5 11 17 12 一个数既是 12 的约数, 有是 12 的倍数, 这个数是 12 13 下面四个数都是五位数, 期中 F=0,M 是一位自然数 那么一定能被 3 和 5 整除的数是 ( D ) A MMMFM B MFMFM C MFFMF D MFMMF 14 将 1 化为小数, 小数点后第 100 个数字是 8 7 1 7=0.142857142857 6 位一循环 100 6=16 4 所以小数点后第 100 个数字是 8
15 把 33,51,65,77,85,91 六个数分为两组, 每组三个数, 使两组数的积相等, 则这两组数之差为 33=3 x 11 51=3 x 17 65=5 x 13 77=7 x 11 85=5 x 17 91=7 x 13 要使积相等, 则两组数的公因数一样,33 和 77 不能一组,51 和 85 不能一组,65 和 91 不能一组, 等等, 总之有相等因数的不能一组, 33 x 91 x 85=51 x 65 x 77 33+91+85=209 51+65+77=193 209-193=16 16 一个数被 5 除余 3, 被 7 除余 5, 被 9 除余 7, 这个数最小是 这个数加上 2 之后恰可以被 5,7,9 整除这样的数最小是 5x7x9=315 所以原来的数最小是 313 17 有 5 个数的平均数是 20, 如果其中的一个数改成 4, 这时候 5 个数的平均数是 18, 改动的数原来是 原来 5 个数的和, 为 :20 5=100 改后 5 个数的和, 为 :18 5=90 第一个数改成 4 以后, 比原来小了 :100-90=10 这个数原来是 :4+10=14
18 某一年二月份是一个星期日, 有三批学生看望老师, 这三批学生的人数不等, 且没有单独一人看望老师的这三批学生的人数的积恰好等于这一天的日期数, 那么二月一日是星期 因为没有单独一人看望老师的所以三批人数分别是 :2 3 4, 因为 2 3 4=24, 所以这一天是 2 月 24 日又因为 2 月 24 日是星期天, 可推知 2 月 3 日是星期天, 进一步推知二月 1 日是星期五. 19 密封的瓶中, 如果放进一个细菌,60 秒后充满了细菌, 已知每个细菌每秒分裂成 2 个, 两秒钟分裂成 4 个, 如果开始放 8 个细菌 要使瓶子中充满细菌最少需要秒 放进 8 个细菌, 相当于 1 个细菌经过了 3 秒达到的数量, 所以要使瓶中充满细菌最少需要 :60-3=57( 秒 ) 20 一个三位数, 各位数字分别为 A B C, 它们互不相等, 且都不为 0 用 A B C 排得六个不同的三位数, 若这六个三位数之和是 2442, 则这六个三位数中最大的是 六个数分别为 ABC ACB BCA BAC CAB CBA 所以相加后为 200(A+B+C)+20(A+B+C)+2(A+B+C)=2442 (A+B+C)=11 所以最大数只能是 8 其次为 2 1( 若为 9, 则另外两个为 1 1, 不可取 ) 所以最大数为 821 21 甲数是 36, 甲 乙两数最大公约数是 4, 最小公倍数是 288, 那么乙数是 因为 36=2 2 3 3 288=2 2 2 2 2 3 3 乙数必须是 4 的倍数, 且不能有约数 3, 否则和甲数就有约数 12, 则不满足题意了. 乙数又要是 288 的约数, 刚刚强调乙数其不能有约数 3, 故乙数必须是这种形式乙数 =2 2? 只能是 2 或者 1, 而又要使得 288 是其最小公倍数, 则只能有 2 2 2 2 2 满足题意
所以乙数是 32 22 女生人数是男生人数的一半, 男生平均体重是 35 千克, 女生平均体重是 32 千克, 该班全体同学的平均体重是 千克 设女生人数为 x 人, 那么男生人数就为 2x 人. 那么全班总人数为 3x. 全班体重总和为 :35 2x+32x=102x 所以全班同学的平均体重为 :102x/3x=34 千克. 23 在前 100 个自然数之中, 将不能被 3 和 4 除尽的数相加, 所得到的和是 100 个数的和是 :( 1+100)x 100 2=5050 被 3 整除的数之和 :(3+99)x 33 2=1683 被 4 整除的数之和 :( 4+100)x 25 2=1300 既能被 3 整除又能被 4 整除的数之和 :(12+96)x 8 2=432 所以得道德和是 :5050-1683-1300+432=2499 24 有一串数 1,5,12,34,92,252,688, 其中第一个数是 1, 第二个数是 5, 从第三个数起, 每个数恰好是前两个数之和的 2 倍 那么在这串数中, 第 4000 个数除以 9 的余数是 第 1 个数是 :1 除以 9 余数 :1 第 2 个数是 :5 除以 9 余数 :5 第 3 个数是 :12 除以 9 余数 :3 第 4 个数是 :34 除以 9 余数 :7 第 5 个数是 :92 除以 9 余数 :2 第 6 个数是 :252 除以 9 余数 :0 第 7 个数是 :688 除以 9 余数 :4 第 8 个数是 :1880 除以 9 余数 :8
第 9 个数是 :5136 除以 9 余数 :6 第 10 个数是 :14032 除以 9 余数 :1 第 11 个数是 :38336 除以 9 余数 :5 到此出现循环,9 个一循环 4000 9=444 4 所以第 4000 个数除以 9 余 7 25 老师在黑板上写了从 11 开始的若干个连续自然数, 后来擦掉了其中一个数, 剩下的 数的平均数是 309, 那么擦掉的那个自然数是 13 由剩下数的平均数可以知道, 剩下的数的个数是 13 的倍数, 因为 26 接近平均数 所以, 剩下的数的个数是 26, 那么原来就有 27 个数. 这 26 个数的和是 : 26 309 13 = 618 前 27 个数的和是 :(11+37) 27 2=648 所以擦掉的数是 :648-618=30 26 有两个自然数相除, 商是 17, 余数是 13, 已知被除数 除数 商与余数之和为 2113, 则被除数是多少? 商是 17, 余数是 13, 被除数 除数 商与余数之和为 2113, 那么被除数和除数的和为 2113-13- 17 =2083 余数是 13, 那么被除数减去 13 后等于除数的 17 倍 可得除数是 (2083-13) (17+1) = 115 被除数为 115 x 17+13 = 1968 27 有一个整数, 除 39,51,147 所得的余数都是 3, 求这个数. 设这个数是 a, 那么 39 a 3 51 a 3 147 a 3 于是 (39-3) a 0 (51-3) a 0 (147-3) a 0
也就是说, a 是 36 48 144 的公因数. 而 36 48 144 的最大公因数是 12, 因而 a 是 12 的因数再有, 除数要比余数大, 因而 a>3 因而,a=4 6 12 均可. 28 一个数减去 100 是一个平方数, 减去 63 也是一个平方数, 问这个数是多少? 第一个平方数为 b², 第二个平方数为 a² ( a,b 是正整数) b²+100=a²+63 a²-b²=100-63=37 ( a+b )( a-b ) =1 37 a+b=37,a-b=1 解得 a=19,b=18 a²+63=424 这个数是 424 29 把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换, 得到一个新的两位数. 如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是 45, 试求这样的两位数中最大的是多少? 设 : 原两位数的十位数为 x, 个位数为 y. 则原两位数值为 (10x+y), 交换后两位数的个位数为 x, 十位数为 y, 数值为 (10y+x),x y 为小于 10 的正整数因为原来的两位数和现在的两位数相差 45 所以 (10x+y)-(10y+x)=45 10x+y-10y-x=45 9x-9y=45 x-y=5 则 x-5=y,y+5=x 因为 x.y 为小于 10 的正整数所以 x=9,8,7,6;y=4,3,2,1 所以这样的两位数中最大的是 94
30 已知两个自然数的差为 4, 它们的最小公倍数与最大公约数的积为 252, 求这两个自然数. 它们的最大公约数与最小公倍数的积为 252 则这两个数的积为 252 因为 252=2 x 2 x 3 x 3 x 7, 且这两个自然数的差为 4 经计算得这两个自然数为 14 和 18 31 两个自然数的差是 5, 它们的最小公倍数与最大公约数的差是 203, 则这两个数的和是多少? 设一个数是 x, 另一个数为 x+5, 那么有两种情况 : 1 两数有公约数 5; 2 两数互质; 如果两数有公约数 5, 显然其最小公倍数也是 5 的倍数, 最小公倍数与最大公约数之差一定是 5 的倍数, 显然 203 不是 5 的倍数, 所以第一种情况不符合, 那么两数互质 ; 互质的两个数最大公约数是 1, 所以这两个数的最小公倍数是 203+1=204 又因为这两个数互质, 所以两数的最小公倍数就是它们的积, 所以这两数相乘为 204, 将 204 分解质因数得 : 204=2 x 2 x 3 x 17 所以这两个数分别为 12 和 17 32 100 多名小朋友站成一列. 从第一人开始依次按 1,2,3,,11 的顺序循环报数, 最后一名同学报的数是 9; 如果按 1,2,3,,13 的顺序循环报数, 那么最后一名同学报的数是 11. 请问 : 一共有多少名小朋友? 这句话的意思就是除以 11 的余数是 9 除以 13 的余数是 11 所以这个数加上 2 以后就是 11 和 13 的倍数. 所以 11 x 13=143 所以一共有 143-2=141 个小朋友.
33 一个两位数除 310, 余数是 37, 求这样的两位数 这里的被除数是 310, 除数是一个两位数, 余数是 37, 从被除数 310 中减去 37 得 273, 应当正好被这个两位数的除数整除, 再将 273 分解质因数 :273=3 7 13, 可得有两位数因数的分解如下 :273=3 91=7 39=21 13, 因此, 要求的两位数是 91 或 39 或 21 或 13., 满足要求的数应该是大于 37, 所以这两位数是 91 或 39 34 三个自然数的积为 84, 其中两个数的和正好等于第三个数, 求出这三个数 84=2 2 3 7=3 4 7, 因为 3+4=7, 所以这三个数分别是 3 4 7. 35 请将 2 5 14 24 27 55 56 99 这 8 个数分成两组, 使得这两组数的乘积相等 首先 5 和 55 分在不同的两组, 那么根据因数 11 可知 5 和 99 一组 ; 再根据因数 3 可知 :99 和 24 在一组,27 在另一组 ; 再根据因数 2 可知 :24 和 56 在不同组,56 和 2 一组,56 有因数 7, 所以 14 就和 24 一组 ; 那么和 5 一组的数就有 99,24,14; 另一组就是 55,27,56,2. 所以 5 14 24 99=2 27 55 56. 5 14 24 99 一组,2 27 55 56 一组. 36 甲数和乙数的最大公约数是 6, 最小公倍数是 90 如果甲数是 18, 那么乙数是多少? 90 18=5 5 6=30 37 一个数和 16 的最大公约数是 8, 最小公倍数是 80 这个数是多少? 80 16=5 5 8=40
38 两个自然数不成倍数关系, 它们的最大公约数是 18, 最小公倍数是 216 这两个数分别是多少? 18=2 3 3 216=2 2 2 3 3 3, 因为两个自然数不成倍数关系一个数是 :2 3 3 3=54 另一个数是 :2 3 3 2 2=72 39 两个数的最大公约数是 6, 最小公倍数是 420, 如果这两个数相差 18, 那么较小的数是多少? 因为它们的最小公倍数是 420, 最大公因数为 6, 即 420 6=70 将 70 进行分解,70=2 x 5 x 7 2 x 5 x 6=60,7 x 6=42,60-42=18, 故较小数是 42 40 求 478 296 351 11 的余数 478 11=43 5 296 11=26 10 351 11=31 10 5 x 10 x 10=500 500 11=45 5 所以 478 296 351 11 的余数为 5 41 四年级一班有 6 名女学生, 她们的平均身高是 140 厘米 如果她们当中有 1 人离开, 剩下 5 人的平均身高就变成 135 厘米 请问 : 离开的那个女生身高是多少厘米? 140 6-135 5 =840-675 =165( 厘米 )
42 在 568 后面补上三个数字, 组成一个六位数, 使它分别被 3,4,5 整除, 则满足条件最小的六位数是? 能被 4 5 整除, 这个数的个位上一定是 0 能被 4 整除的数, 末尾两位能被 4 整除, 因此十位上一定是偶数能被 3 整除的数, 各位上数字的和能被 3 整除,5+6+8=19, 最少差 2 就能被 3 整除所以这个数最小是 568020 43 a=2 3 m,b=3 5 m(m 是自然数且 m=0), 如果 a 和 b 的最大公约数是 21, 则 m 是?a 和 b 的最小公倍数是? m=7 最小公倍数 :2 x 3 x 5 x 7=210 44 在 947 后面添上三个不同的数字, 组成一个被 2 3 5 同时整除的最小的六位数, 这个数是? 能被 2 5 整除, 这个数的个位上一定是 0 能被 3 整除的数, 各位上数字的和能被 3 整除,9+4+7=20, 最少差 1 就能被 3 整除所以这个数最小是 947010 45 一个两位数加上它的各位数之和的 3 倍为 86, 这个两位数除以它的各位数字之和, 商是 7, 余数是 6, 求这个两位数 设十位数 x, 个位数 y. 这个数就是 10x+y (10x+y)+3(x + y)=86 ( 10x+y)-6 (x + y)=7 x=6 y=2 这个两位数是 62
46 将一个四位数的数字顺序颠倒过来, 得到一个新的四位数 ( 这个数也叫原数的反序数 ), 新数比原数大 8802. 求原来的四位数. 设原四位数为 a,b,c,d. 则 : 1000d+100c+10b+a-(1000a+100b+10c+d)=8802, 1000(d-a)+100(c-b)+10(b-c)+(a-d)=8802, 新数比原数大, 则 d>a, 所以 d-a=8, a 是千位数最小是 1,d 是个位数, 最大是 9, 所以 :d=9,a=1, 个位要借位,c-b=9, 所以 c=9,b=0, 故原数为 1099. 47 有一个大于 1 的整数, 除 45,59,101 所得的余数相同, 求这个数. 设这个数 =x, 相同的余数 =r, 则由题意得 : 1ax+r=45 2bx+r=59 3cx+r=101 分别相减得 : ( b-a ) x=2 7 ( c-b ) x=2 7 3 ( c-a ) x=2 7 4 a b c x 都是正整数, x 只能 =2 7 14 这个数是 2 或 7 或 14. 48 1016 与正整数 a 的乘积是一个完全平方数, 则 a 的最小值是? 1016=2 x 2 x 2 x 127 由于 2 和 127 都是质数所以 a 的最小值为 2 127=254
49 甲 乙 丙三人打靶, 每人打三枪. 三人各自中靶的环数之积都是 60, 且环数是不超过 10 的自然数. 把三个人按个人总环数由高到低排列, 依次是甲 乙 丙. 请问 : 靶子上 4 环的那一枪是谁打的? 因为 60=2 5 6=4 3 5=2 3 10=1 6 10, 共 4 种情况在这 4 种情况中, 总环数分别为 13,12,15,17, 又因为三个人按个人总环数由高到低排列, 依次是甲 乙 丙, 所以 12 环一定是丙打的. 50 有 5000 多根牙签, 按以下 6 种规格分成小包 : 如果 10 根一包, 最后还剩 9 根 ; 如果 9 根一包, 最后还剩 8 根 ; 如果依次以 8,7,6,5 根为一包, 最后分别剩 7,6,5, 4 根. 原来一共有牙签多少根? 这个数 +1=10 9 8 7 6 5 的公倍数, 10,9 8 7 6 5 的最小公倍数为 :5 2 3 3 4 7=2520, 满足 5000 多这个条件的公倍数是 2520 2=5040, 牙签的数量就是 5040-1=5039( 根 ). 答 : 原来一共有牙签 5039 根