一 选择题 ( 本题共 32 分, 每题 4 分 ) 下面各题均有四个选项, 其中只有一个是符合题意的 2014 年北京中考题数学题 1. 2 的相反数是 ( ). A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 2 2 2. 据报道, 某小区居民李先生改进用水设备, 在十年内帮助他居住小区的居民累计节水 300 000 吨, 将 300 000 用科学计数法表示应为 ( ). 6 5 6 4 A. 0.3 10 B. 3 10 C. 3 10 D. 30 10 3. 如图, 有 6 张扑克牌, 从中随机抽取 1 张, 点数为偶数的概率 ( ). A. 1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 4. 右图是某几何体的三视图, 该几何体是 ( ). A. 圆锥 B. 圆柱 C. 正三棱柱 D. 正三棱锥 5. 某篮球队 12 名队员的年龄如下表所示 : 年龄 ( 岁 ) 18 19 20 21 人数 5 4 1 2 则这 12 名队员年龄的众数和平均数分别是 ( ). 1 / 22
A.18,19 B.19,19 C.18,19.5 D.19,19.5 6. 园林队公园进行绿化, 中间休息了一段时间. 已知绿化面积 S ( 单位 : 平方米 ) 与工作时间 t ( 单位 : 小 时 ) 的函数关系的图像如图所示, 则休息后园林队每小时绿化面积为 ( ). A. 40 平方米 B. 50 平方米 C.80 平方米 D.100 平方米 2 / 22
7. 如图, O 的直径 AB 垂直于弦 CD, 垂足是 E, A 22.5, OC 4 的长为 ( ). A. 2 2 B. 4 C. 4 2 D. 8,CD 8. 已知点 A 为某封闭图形边界的一定点, 动点 P 从点 A 出发, 沿其边界顺时 针匀速运动一周, 设点 P 的时间为 x, 线段 AP 的长为 y, 表示 y 与 x 的函 数关系的图象大致如图所示, 则该封闭图形可能是 ( ). 二. 填空题 ( 本体共 16 分, 每题 4 分 ) 4 2 9. 分解因式 : a x 9ay =. 10. 在某一时刻, 测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为 3m, 同时测得一根旗杆的影长为 25 m, 那么这根旗杆的高度为 m. k 11. 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 正方形 OABC 的边长为 2. 写出一个函数 y ( k 0) x 3 / 22
使它的图象与正方形 OABC 有公共点, 这个函数的表达式为. 12. 在平面直角坐标系 xoy 中, 对于点 P( x, y ), 我们把点 P ( y 1, x 1) 叫做点 P 伴随点, 一直点 A 1 的伴 随点为 A 2, 点 A 2 的伴随点为 A 3, 点 A 3 的伴随点为 A 4, 这样依次得到点 A 1, A 2, A 3, A n, 若点 A1 的坐标为 (3,1), 则点 A 3 的坐标为, 点 A 2014 的坐标为 ; 若点 A 1 的坐标为 ( a, b ), 对于任意正整数 n, 点 A n 均在 x 轴上方, 则 a, b 应满足的条件为. 4 / 22
三. 解答题 ( 本题共 30 分, 每小题 5 分 ) 13. 如图, 点 B 在线段 AD 上, BC DE, AB ED, BC DB. 求证 : A E. -1 0 1. 5 14. 计算 : 6 - - -3tan30-3 15. 解不等式 1 2 1 x 1 x, 并把它的解集在数轴上表示出来.( 添加图 ) 2 3 2 16 已知 x-y=, 求代数式 (x+1 ) 2-2x + y(y-2x) 的值. 3 5 / 22
17 已知关于 x 的方程 mx 2 -(m+2)x+2=0(m 0). (1) 求证 : 方程总有两个实数根 ; (2) 若方程的两个实数根都是整数, 求正整数 m 的值. 6 / 22
18. 列方程或方程组解应用题小马自驾私家车从 A 地到 B 地, 驾驶原来的燃油汽车所需油费 108 元, 驾驶新购买的纯电动汽车所需电费 27. 已知每行驶 1 千米, 原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多 0.54 元, 求新购买的纯电动汽车每行驶 1 千米所需的电费. 19. 如图, 在 ABCD 中,AE 平分 BAD, 交 BC 于点 E,BF 平分 ABC, 交 AD 于点 F,AE 与 BF 交于点 P, 连接 EF.PD. (1) 求证 : 四边形 ABEF 是菱形 ; (2) 若 AB=4,AD=6, ABC=60, 求 tan ADP 的值. 20. 根据某研究院公布的 2009-2013 年我国成年国民阅读调查报告的部分数据, 绘制的统计图表如下 : 2013 年成年国民 2009~2013 年成年国民 倾向的阅读方式人数分布统计图 年人均阅读图书数量统计表 年份年人均阅读图书数量 ( 本 ) 7 / 22
2009 3.88 2010 4.12 2011 4.35 2012 4.56 2013 4.78 根据以上信息解答下列问题 : (1) 直接写出扇形统计图中 m 的值 ; (2) 从 2009 到 2013 年, 成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等, 估算 2014 年成年国民年人均阅读图书的数量约为 本 ; (3) 2013 年某小区倾向图书阅读的成年国民有 990 人, 若该小区 2014 年与 2013 年成年国民的人数基本持平, 估算 2014 年该小区成年国民阅读图书的总数量约为 本. 21. 如图,AB 是 O 的直径,C 是弧 AB 的中点, O 的切线 BD 交 AC 的延长线于点 D,E 是 OB 的中点,CE 的延长线交切线 DB 于点 F,AF 交 O 于点 H, 连结 BH. (1) 求证 :AC=CD; (2) 若 OB=2, 求 BH 的长. 8 / 22
22. 阅读下面材料 : 小腾遇到这样一个问题 : 如图 1, 在 ABC 中, 点 D 在线段 BC 上, BAD=75, CAD=30,AD=2, BD=2DC, 求 AC 的长. 图 1 图 2 E 小腾发现, 过点 C 作 CE AB, 交 AD 的延长线于点 E, 通过构造 ACE, 经过推理和计算能够使问题得到解决 ( 如图 2). 请回答 : ACE 的度数为,AC 的长为. 参考小腾思考问题的方法, 解决问题 : 如图 3, 在四边形 ABCD 中, BAC=90, CAD=30, ADC=75,AC 与 BD 交于点 E, AE=2,BE=2ED, 求 BC 的长. 9 / 22
五. 解答题 ( 本题共 22 分, 第 23 题 7 分, 第 24 题 7 分, 第 25 题 8 分 ) 23. 在平面直角坐标系 xoy 中, 抛物线 y=2x 2 +mx+n 经过点 A(0,-2), B(3,4). (1) 求抛物线的表达式及对称轴 ; (2) 设点 B 关于原点的对称点为 C, 点 D 是抛物线对称轴上一动点, 记抛物线在 A,B 之间的部分为图象 G( 包含 A,B 两点 ). 若直线 CD 与图象 G 有公共点, 结合函数图象, 求点 D 纵坐标 t 的取值范围. 10 / 22
24. 在正方形 ABCD 外侧作直线 AP, 点 B 关于直线 AP 的对称点为 E, 连接 BE,DE, 其中 DE 交直线 AP 于点 F. (1) 依题意补全图 1; (2) 若 PAB=20, 求 ADF 的度数 ; (3) 如图 2, 若 45 < PAB < 90, 用等式表示线段 AB,FE,FD 之间的数量关系, 并证明. 11 / 22
25. 对某一个函数给出如下定义 : 若存在实数 M>0, 对于任意的函数值 y, 都满足 -M y M, 则称这个函 数是有界函数. 在所有满足条件的 M 中, 其最小值称为这个函数的边界值. 例如, 下图中的函数是有界函 数, 其边界值是 1. (1) 分别判断函数 y= 1 (x > 0) 和 y= x + 1(-4 < x 2) 是不是有界函数? 若是有界函数, 求边界值 ; x (2) 若函数 y=-x+1(a x b,b > a) 的边界值是 2, 且这个函数的最大值也是 2, 求 b 的取值范围 ; (3) 将函数 y x 2 ( 1 x m, m 0) 的图象向下平移 m 个单位, 得到的函数的边界值是 t, 当 m 在什么 3 范围时, 满足 t 1? 4 12 / 22
2014 年北京高级中等学校招生考试 数学答案 一. 选择题 ( 本题共 32 分, 每小题 4 分 ): 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 B B D C A B C A 二. 填空题 ( 本题共 16 分, 每小题 4 分 ): 题号 9 10 11 12 答案 15 (-3,1); (0,4); -1<a<1 且 0<b<2 三. 解答题 ( 本题共 30 分, 每小题 5 分 ): 13.( 本小题满分 5 分 ) 证明 : BC DE ABC = EDB; 在 ABC 和 EDB 中 : AB = ED; ABC = EDB; BC = DB; ABC EDB; A = E 14.( 本小题满分 5 分 ) 解 : 原式 = = 13 / 22
= 15.( 本小题满分 5 分 ) 解 : 移项得 : ; 合并同类项得 : 系数化为 1: x 在数轴上表示出来 : 16.( 本小题满分 5 分 ) 解 : 化简代数可得 : 原式 = = = 原式 = = 4 17.( 本小题满分 5 分 ) (1) 证明 : 可知 = = = = = 0 方程总有两个实数根 (2) 解 : 由公式法解方程可得 : 14 / 22
x1 = x2 = 由题意 : 方程的两个实数根均为整数 x 2 必为整数 ; 又 m 为正整数 ; m = 1 或者 2 18.( 本小题满分 5 分 ) 解 :( 方法不唯一 ) 设 A B 两地距离为 x 千米 由题意可知 : 解得 : x = 150 纯电动汽车每行驶一千米所需电费为 : 四. 解答题 ( 本题共 20 分, 每小题满分 5 分 ): 19.( 本小题满分 5 分 ) (1) 证明 : 因为 ABCD 是平行四边形 AB CD;AD CB AE 平分 BAD;BF 平分 ABC; BAE = DAE; ABF = CBF; 可知 : DAE = BEA; EBF = AFB; ABF = AFB ; BAE = AEB AB = BE;AB = AF; AF BE 四边形 ABEF 为菱形 (2) 解 : 作 PH AD ABC = 60,AB = BE; H 15 / 22
ABE 为等边三角形 ; AE = AB = 4; DAE = 60 ; ABEF 为菱形 ; P 点为 AE 中点 ; AP = 2; 可知 :AH = 1;PH = ; AD = 6; DH = 5;PH = tan ADP = 20.( 本小题满分 5 分 ) (1)66; (2)5.01; (3)7575. 21.( 本小题满分 5 分 ) (1) 证明 : 连接 CO BD 为 O 的切线,AB 为直径 ; ABD = 90 ; C 点为弧 AB 中点 ; COA = 90 CO BD; 16 / 22
O 点为 AB 中点 ; 点 C 为 AD 中点 ; 即 :AC = CD (2) 解 : CO AB;E 为 OB 中点 ;OB =2; OE = 1 = BE; CO FD COE FBE BF = CO = 2; AB 为直径 ; AHB = 90 = ABF; BFH = AFB ABF BHF ; BH:FH:BF = 1:2: ; BF = 2; BH = = 22.( 本小题满分 5 分 ) (1) 75,3 (2) 解 : 过点 D 作 DF AC; BAC = 90 ; AB DF BE = 2ED; ; AE = 2; EF = 1; AF = 3; F 17 / 22
CAD = 30 ; AFD = 90 ; DF = ;AD = 2 ; CAD = 30, ADC = 75 ; ACD = 75 ; 即 AC = AD 可知 :AC = AD =2 DF = AB = 2 ABC 为等腰直角三角形 ; BC = AB = 2 五. 解答题 ( 本题共 22 分, 第 23 题 7 分, 第 24 题 7 分, 第 25 题 8 分 ): 23.( 本小题满分 7 分 ) 解 :(1) y=2x 2 + mx+ n 经过点 A(0,-2), B(3,4) 代入, 得 : n = -2 18+3m+n =4 m = -4;n = -2 抛物线的表达式为 :y = 对称轴为 :x = -1 (2) 由题意可知 :C(-3,-4) 二次函数 的最小值为 -4; 由图像可以看出 D 点坐标最小值即为 -4; 最大值即 BC 的解析式 : 18 / 22
当 x = 1 时,y = -4 t 24.( 本小题满分 7 分 ) 解 :(1) 补全图形如图所示 : 19 / 22
20 / 22
25.( 本小题满分 8 分 ) 21 / 22
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