- 樣本空間與事件 - 機率的性質 第三章機率與統計 第三章機率與統計 機率 : 機率 = 機率的性質 : P(A) + P(A ) = 事件的元素個數樣本空間的元素個數 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) [P(A B) + P(A C) + P(B C)] + P(A B C) 範例 甲 乙二人玩剪刀 石頭 布的猜拳遊戲, 試求 : 其樣本空間 U 及 n(u) 不分勝負的事件 解 : 令 (a, b) 表 a 是甲出的拳,b 是乙出的拳, 則 U = {( 剪刀, 剪刀 ), ( 剪刀, 石頭 ), ( 剪刀, 布 ), ( 石頭, 剪刀 ), ( 石頭, 石頭 ), ( 石頭, 布 ), ( 布, 剪刀 ), ( 布, 石頭 ), ( 布, 布 )}, n(u) = 9 不分勝負的事件為 {( 剪刀, 剪刀 ), ( 石頭, 石頭 ), ( 布, 布 )} 範例 甲 乙兩人各擲一均勻骰子, 約定如下 : 乙得 6 點時乙就贏 ; 兩人同點時 ( 非 6 點 ), 甲贏 ; 其餘情形, 則以點數多者為贏 則甲贏的機率為 87 自 解 : 令樣本空間 U = {(a, b) a 是甲擲出的點數,b 是乙擲出的點數 }, 則 n(u) = 6 6 = 6, 其中, 甲贏的情形有 : (6, ), (6, ), (6, ), (6, ), (6, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),
高中數學 ( 四 ) 講義 0 共有 + + + + + = 0 種 甲贏的機率為 = 6 9
範例 第三章機率與統計 一副撲克牌 張, 拿走 J, Q, K 花色大牌 張, 剩下 0 張 ( 點到 0 點 ) 四種 花樣各 0 張, 設機會均等, 今從 0 張中任取 張, 求下列機率 : 同點數兩張, 另外同點數 張, 其機率為 0 C 張點數和為 8 的機率為 0 C 解 : 從 0 張中取出 張的方法共有 C 0 C 種, 而從 0 張中取出兩張同點數的方法 有 0 種, 再取出另外 張同點數的方法有 9, 由乘法原理得共有 C 0 C 9 = 60 種, 故所求的機率為 張點數和為 8 的有下列情形 : 60 C 0 C C (,,,, ) 有 C = 種 ;(,,,, ) 有 C C = 6 種 ; 9 (,,,, ) 有 CC = 種 ; 共有 + 6 + = 9 種, 故所求的機率為 0 C 範例 將 個數字,,,, 全取排成一列作成一個五位數, 則此五位數能被 整除的機率是 能被 整除的機率是 能被 整除的機率是 能被 整除的機率是 大於 000 的機率是 解 : 能被 整除 個位數字是偶數, 故能被 整除的有! 個,! 所以 = 為所求! 能被 整除 數字和是 的倍數, 因 + + + + = 是 的倍數, 故所求之機率為! =! 能被 整除的有 :,,,,! 故共有! 個, 所以 = 為所求!
6 高中數學 ( 四 ) 講義 能被 整除的有 : :! 個, 所以! = 為所求! 大於 000 的有 : :! = 個, :! = 6 個, + 6 故所求之機率為 =!
第三章機率與統計 7 範例 有 個指定席及知道自己位置番號的 個人, 今這 個人任意地坐此 個指定席, 則 : 個人都坐在自己的位置的機率為 個人中恰有 人坐在自己位置的機率為 個人中恰有 人坐在自己位置的機率為 個人中恰有 人坐在自己位置的機率為 個人都不坐在自己位置的機率為 解 : 個人分別坐在 個坐位的方法有!, 個人分別坐在自己位置有 種方法, 故所求的機率為 =! 0 個人中恰有 人坐在自己位置的方法有 C 種, 故所求的機率為 個人中恰有 人坐在自己位置的方法有 C C C C (!! +! 0!) = 0 種, 故所求機率為 個人中恰有 人坐在自己位置的方法有 C C (!! +!! + 0!) = 種, 故所求機率為! C = 8 C 個人都不坐在自己位置的方法有 C C!! +!! +! C 0! = 種, 故所求機率為 C C =! 0 C C =! 0 =! 6 範例 6 設 A, B 為二事件, 且 P(A) = 0.,P(B) = 0.8,P(A B) = 0., 試求 P(A B) P(A B ) p( A B ) 解 : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0. + 0.8 0. = 0.9 P(A B ) = P(A) P(A B) = 0. 0. = 0.
8 高中數學 ( 四 ) 講義 p( A B ) = P( A B ) = P(A B) = 0.9 = 0.
範例 7 第三章機率與統計 9 設 A, B 為互斥事件, 且知 P(A) = 0.,P(B) = 0., 則 P( A B) + P( A B) =? A, B 為互斥事件,P( A B) = 0.,P( A B ) = 0., 則 P(A) =? P(B) =? 解 : 因 A, B 是互斥事件, 所以 P(A B) = 0 P( A B) = P( A B) = P(A B) =, P( A B) = P( A B) = P(A B) = P(A) P(B) + P(A B) = 0. 0. + 0 = 0., 故 P( A B) + P( A B) =. 因 A, B 是互斥事件, 所以 A B = φ, 所以 P( A B) = P(B), 故 P(B) = 0., P( A B) = P( A B) = P(A B) = P(A) P(B) + P(A B) = P(A) 0. + 0 = 0.7 P(A), 故 P(A) = 0.7 0. = 0. 範例 8 某一工廠生產燈泡, 個裝成一盒 工廠品質檢驗的方法是從每盒中任取 個來 檢查, 如有兩個或兩個以上的燈泡是壞的, 則整盒淘汰 若某一盒有 個壞燈泡, 9 70 則這一盒會被淘汰的機率是 (A) (B) (C) (D) (E) 99 8 社 解 : 這一盒不被淘汰 取出 個都是好燈泡取出的是 好 壞的燈泡, 7 因此不被淘汰的燈泡有 C + C C = 0 種, 0 9 故這一盒會被淘汰的機率為 = = C 7
0 高中數學 ( 四 ) 講義 範例 9 擲一均勻骰子三次, 設三次中至少出現一次 6 點的事件為 A, 三次中至少出現一次 點的事件為 B, 則 A, B 至少有一事件發生的機率為 解 :n(a) = n(b) = 6 = 9,! A B 中 (, 6, ) 有! = 個,(,, 6), (6, 6, ) 有 = 6 個,! 所以 n(a B) = + 6 = 0 故所求機率為 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 9 9 0 9 + = 6 6 6 7 範例 0 擲一骰子, 若點數出現的機率與點數成比例, 求出現的點數是偶數的機率 解 : 因點數出現的機率與點數成比例, 故假設出現 點的機率為 p, 則出現 點 點 點 點 6 點的機率依次為 p, p, p, p, 6p, 但 p + p + p + p + p + 6p =, 所以 p =, 而出現偶數,, 6 的事件為互斥事件, 6 故出現偶數的機率為 + + = 7
精選類題 第三章機率與統計 投擲一顆均勻的六面骰子 ( 即,,,,, 6 點出現的機會相等 ) 五次, 則恰出現一次 點, 二次偶數點的機率為 8 夜社 答 : 6 提示 :(, 偶, 偶, 奇, 奇 ) 有!!! = 所求 : 6 設 P 表示丟 個公正硬幣時, 恰好出現 個正面的機率,P 表示擲 個均勻骰子, 恰好出現 個偶數點的機率,P 表示丟 個公正硬幣時, 恰好出現 個正面的機 率 試問下列選項何者為真? (A) P = P = P (B) P = P > P (C) P = P < P (D) P = P > P (E) P > P > P 89 推甄 答 :(B)!!! 提示 :P = =, P = =, P = = 6 6 8 同時擲三粒骰子, 點數和為 的機率為 答 : 08 7 一次擲兩個公正骰子, 則出現最大點數為 之機率為 答 : 6 同時擲出三粒均勻骰子一次, 設 A 表出現點數和為 點的事件,B 表至少有一粒 點之事件,C 表恰有一粒為 點之事件, 則 : P(A) =? P(B) =? P(C) =? 答 : 擲三個公正的骰子一次, 試求 : 6 三個點數均相異的機率三個點數的積是 的倍數的機率 三個點數成等差的機率 答 : 9 從一副 張的撲克牌中抽出兩張, 已知每張被抽出之機會均等, 求兩張字碼不同的機率? 求兩張字碼不同但花色相同的機率? 答 : 從一副撲克牌 張中任取 張, 恰成富而毫斯 (Full house)( 即同點數的二張, 另外同點數的三張 ) 之機率為 恰成兩對 (Two pairs, 如 AAK) 之機率為 答 : 6 6 9 6 9 6 6 7 7 7 6 7 98 6
高中數學 ( 四 ) 講義 提示 : C ) ( C C ) C ( C C C ) ( C C ) C ( C 袋中有七個相同的球, 分別標示 號 號 7 號 若自袋中隨機取出四個 球 ( 取出後不再放回 ), 則取出之球上的標號和為奇數的機率為 6 86 社 答 : 某班有 0 位同學, 其中男生有 0 位, 女生 0 位 某次導師要抽 位同學留下打 掃環境, 依性別按人數比例作分層抽樣, 則班上的男同學張志明被抽中的機率是 89 社 答 : 0 提示 : 因為男生 : 女生 = :, 故抽出的 位同學是 個男生, 個女生, 而張志明被抽中 9 的情形共有 C C 0 種, 故所求之機率為 C C 9 0 C 9 8 = = 0 0 0 9 8 C 一盒中有 0 個球, 球上印有號碼 到 0; 今由盒中取 球, 則 球之號碼中第二大數目是 7 的機率為 8 社 答 : C C 提示 : C 0 6 已知編號,,, 0 的十盞路燈中, 有三盞是故障的, 則編號 與編號 都是故障的機率為 8 社 答 : C 提示 : C 0 8 從記有 至 9 之號碼之 9 張卡片當中任意取出 張, 試求 : 二個數目差為偶數的機率為 二個數目之積為偶數的機率為 答 : 自,,,,, 8, 9 等 9 個數中, 任意取相異三點, 則 此三數的和為 的倍數的機率為 此三數能構成 等差數列 的機率為 此三數能構成 等比數列 的機率為 答 : 09 六封寫好的信, 任意放入六個寫好收信人及地址的信封內, 且一封信僅放入一信封內, 則恰有二封信放對信封之機率為 答 : 6 7 9 0 8 0 969
第三章機率與統計 四對夫婦共舞, 以抽籤方式決定舞伴, 結果每一夫皆不以其妻為舞伴的機率為 答 : 8 甲 乙 丙 丁 戊 己等六人交換禮物, 每人各提供一件禮物集中放在一起, 然後再抽籤決定每人應得的禮物 若每人提供之禮物均不相同, 求恰有一人抽到 自己提供之禮物的機率 答 : 0 A, B, C, D, E, F 六人的名片各一張混在一起, 再隨意發給此 6 人, 每人一張, 則 : 恰有 人得到自己名片之機率為 每人皆不得到自己名片之機率為 答 : 設事件 A 發生的機率為 發生的機率, 則 p 值的範圍為何? (A) p (B) < p (C) < p < 6 6 6, 事件 B 發生的機率為 若以 p 表事件 A 或事件 B (D) p 6 提示 :p = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 6 P(A B), (E) p > 6 87 推甄 答 :(D) 且 0 P(A B) ( 因 P(A B) P(A) 且 P(A B) P(B)) p 6 設 A, B 為二事件, 且 P(A B) =,P(A ) =,P(A B) =, 則 : P(B) = P(A B) = 答 : 提示 : P(B) = P(A B) + P(A B) P(A) = P(A B) = P(A) P(A B) = = 設 A, B 為互斥事件, 若 P(A) = 0.,P(B) = 0., 則 P( A ) =,P(A B ) = 答 :0.8;0. 投擲一骰子, 若點數出現的機率和該點數成正比, 又設 A = {x x 是偶數 }, B = {x x 是質數,C = {x x 是奇數 }, 則 : P(A B) = 出現是偶數或質數之機率為 答 : 提示 : P(A) = 6 + + =, P(B) = 7 0 + + =, 0
高中數學 ( 四 ) 講義 所以 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 7 0 0 + = 一袋中, 有紅球 個, 白球 個, 青球 個 今從袋中任意取出 球, 則 取出之 個球中, 至少有 個是青球的機率是 取出之 個球是同色球的機率是 答 : 設 A, B 為二事件, 若 P(A B) = 0.8,P(A B) = 0.,P(A B ) = 0., 試求 P(A) 與 P(B) 答 :0.6;0. 投擲一骰子, 假設點數出現的機率與該點數成比例 若 P(n) 表示出現 n 點的機率, A 表出現奇數點的事件,B 表出現質數點的事件, 則 P() = P(A B) = P(A B) = 答 : 7 擲一均勻骰子三次, 設三次中至少出現一次 點的事件為 A, 三次中至少出現一次 點的事件為 B, 試求 : P(A B) = P(A B) = 答 : 丟一粒均勻骰子 次, 設出現之點數依次為 x, y, z, 求滿足 x + y + z 6 的機率 求滿足 (x y)(y z) = 0 的機率 求滿足 x y z 的機率 答 : 袋中有三個白球 ( 編號 ~), 五個紅球 ( 編號 ~), 六個黑球 ( 編號 ~6), 今由 袋中取出兩球, 若機會均等, 求下列各情形的機率 : 同色 同號 不同色不同號 答 : 6 6 9 6 9 7 7 7 7
- 期望值 第三章機率與統計 如果做一實驗有 k 種可能結果, 各種結果的報酬分別為 m, m,, m k, 而得到這些報酬的機率分別為 P, P,, P k ( 其中 P + P + + P k = ), 則此實驗的期望值為 m = m P + m P + + m k P k 範例 擲一均勻硬幣三次, 若每出現一個正面得 元, 一個反面賠 元, 則所得總額之期望值為 元 8 推甄 解 : 擲硬幣 次 : 出現情形 正 正 反 正 反 反 得款 元 8元 元 6元 機率 8 8 8 8 其期望值為 + 8 + + ( 6) =. ( 元 ) 8 8 8 8 範例 袋子裡有 個球, 個球上標 元, 個球上標 元 從袋中任取 個球, 即可 得到兩個球所標錢數的總和, 則此玩法所得錢數的期望值是 元 88 推甄 得款 元 6元 解 : 因 C C 機率 C C 故其期望值為 + 6 = ( 元 )
6 高中數學 ( 四 ) 講義 範例 某市為了籌措經費而發行彩券 該市決定每張彩券的售價為 0 元 ; 且每發行一百萬張彩券, 即附有臺百萬元獎 張, 拾萬元獎 9 張, 臺萬元獎 90 張, 壹仟元獎 900 張 假設某次彩券共發行參百萬張 試問當你購買一張彩券時, 你預期會損失 元 88 社 得款解 : 機率 6 0 元 0 6 0 元 9 0 6 0 元 90 0 6 0 元 900 0 購買一張彩券的期望值為 6 9 90 900 0 + 0 + 0 + 0 =.7 ( 元 ) 6 6 6 6 0 0 0 0 因為一張彩券的售價為 0 元, 故會損失 0.7 = 6. ( 元 ) 6 範例 設一袋中裝有 個 號球, 個 號球,,n 個 n 號球,, 個 號球, n 現自袋中任取一球, 設每一個球被取到的機會都相等, 而取得 n 號球可得 (00 n) 元 則取到 9 號球的機率為, 而任取一球的期望值為 元 80 社 解 : 袋中共有 + + + + + = ( 6) = 個球, 今從袋中取出一球, 因 9 號球有 9 個, 故取到 9 號球的機率為 任取一球的期望值為 99 + 98 + 97 + + 7 9 = (00 k ) k = {00 k k } k = k= k= = 6 6 {00 } = 8 ( 元 ) 6
第三章機率與統計 7 範例 根據統計, 台灣地區的青年從 8 歲活到 9 歲的機率為 0.996, 今一位 8 歲的青年向某保險公司投保為期一年的壽險, 保險額為 萬元, 保險費是 00 元, 求保險公司獲利的期望值 解 : 若此人活到 9 歲, 則保險公司賺了 00 元, 其機率為 0.996; 若死了, 則保險公司要虧 9900 元, 其機率為 0.00; 故公司獲利的期望值為 00 0.996 9900 0.00 = 60 ( 元 ) 範例 6 數人賭博, 其中一人做莊, 不作莊的先交給莊家 元, 得到擲 個公正銅板 次的權利, 規定 : 擲得正面時, 莊家賠 元 ; 擲得反面時, 莊家不賠 不作莊的人的期望值是, 故此種玩法 ( 填公平 不公平 ) 若要玩法公平, 當得反面時, 莊家應賠 元 解 : E = + 0 =. < 故不公平 設得反面時, 賠 x 元, 則 + x =, 所以 x =, 即得反面時, 莊家應賠 元
8 高中數學 ( 四 ) 講義 精選類題 同時擲 粒均勻的骰子, 試求其點數和的期望值 答 :7 袋中有 7 個球, 其中 個是紅球 今自袋中任取 球, 則取得 紅球個數 的期 望值為 答 : 7 C C CC CC 提示 : + + 7 7 7 C C C 將 到 的各數字分別記在 張卡片上, 在 A, B 兩箱各放入一組 張卡片, 試求 從 A, B 箱各取一張卡片時, 二數和的期望值 答 :6 提示 : + + + + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 6 擲 個硬幣, 出現 正面可得 元, 正面可得 8 元, 一正面可得 元, 為了公 平起見, 出現三反面時應賠多少元? 答 :8 元 一次投擲三個均勻銅板, 若出現三個正面, 可得 8 元, 二個正面, 可得 元, 一 正面可得 元, 為使此遊戲公平, 當不出現正面, 應付 元 答 :0 假設一個高二學生再活一年的機率為 0.9999 某高二學生一學年繳平安保險費 60 元, 若在此學年內不幸意外死亡, 由保險公司付給家長 0 萬元, 則此保險公司的 期望利潤為 元 答 :0 依照已往經驗, 在台灣的 歲年青人, 活到 6 歲的機率為 0.99, 若某一保險公 司出售一年 0000 元的壽險給 歲年青人, 只需繳保險費 0 元, 試求該公司可 獲得期望利潤若干? 答 : 70 元 袋中有 號籤 支, 號籤 支, 號籤 支,,n 號籤 n 支, 今任抽一支, 若 n + 抽得 r 號籤可得 r 元, 問由袋中任抽一支之期望值為多少元? 答 : 元 n( n +) 提示 : 袋中共有 + + + + n = 支籤, 故其期望值為 + + + n n( n + ) n( n + ) n = = n( n + ) n + ( 元 ) 袋中有 n 號球 個,(n ) 號球 個,(n ) 號球 個,, 號球 (n ) 個, 號 球 n 個, 在機會均等的情況下由袋中任取一球, 若取得 k 號球可得 k 元, 求其期 n + 望值 答 : 元
第三章機率與統計 9 n k + n + 提示 : Σk =... = + + +... + n 設袋中有 號球 70 個, 號球 69 個,,70 號球 個 今自袋中任取一球, 若取得 r 號球, 可得 (7 r) 元, 則得錢之期望值為 元 答 :7
0 高中數學 ( 四 ) 講義 - 統計資料的來源 抽樣調查 : 如何選取一種好的取樣方法是統計上很重要的工作, 常用的抽樣方法有 簡單隨機抽樣法 系統抽樣法 部落抽樣法 分層抽樣法等等 範例 試解釋下列名詞 : 母體 ( 母群體 ) 樣本抽樣 解 : 母體 : 研究的所有對象所成的集合稱為母體 樣本 : 從母體中抽出的部分分子所成的集合, 就是樣本 抽樣 : 從母體中抽出部分分子做調查, 這種方式就稱為抽樣 範例 簡單隨機抽樣與模擬隨機試驗 某班 0 位同學依照座號列出身高如下 : 單位 : 公分 隨機號碼表 0 60 69 6 8 7 68 8 6 9 0 0 6 78 89 77 60 70 0 60 7 6 78 7 8 8 9 6 0 7 60 880 078 7 89 887 77 9 7 70 6 6 6 7 8 8 9 60 0 0 6 7 76 867 8 6 7 60 6 6 7 70 8 9 9 0 6 90 7 76 06 6 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 6 0 68 09 677 960 669 利用隨機號碼表的第 9,0 兩行, 由第一列開始找出五位同學的身高, 並求其平均值為 08 707 769 88 60 0708 0 979 80 88 9 7 解 : 自第 9,0 行選出的二位數為 7, 0, 7, (7), (7), (9), (7),, 我們選出之五位同學, 其座號及身高如下表 : 7 7 7 7 + 7+ + 7 + 其平均值為 = ( 公分 )
第三章機率與統計 範例 系統抽樣 某班有 7 位學生, 將每一位學生編一號碼, 由 至 7 止, 要抽測五位同學, 按系統抽樣法, 可以利用隨機號碼表將多出的 位捨去 ; 也可以由 至 7 隨機抽出一個號碼, 若為, 則被抽中的五位學生號碼是 解 :7 = + k = 將 至 7 號排成一環形如右圖, 從 號起, 每隔 位選一個號碼, 即, 6, 0,, 為所求 範例 分層抽樣 某年級數學科成績統計如右 : 如右表分三層, 用分層隨機抽樣得到十個成績為, 7, 8, 76, 6, 7, 70, 8, 8, 9, 則該年級平均成績為 成績 人數 80 以上 0 60~79 00 0 解 : 成績 人數 抽樣成績 抽樣成績平均值 第一層 80 以上 0 = N 8, 8, 9 86 = y 第二層 60~79 00 = N 76, 6, 7, 70 70 = y 第三層 60 以下 0 = N, 7, 8 = y N = N + N + N = 0 + 00 + 0 = 00 8 + 8 + 9 76 + 6 + 7 + 70 + 7 + 8 y = = 86, y = = 70, y = =, 該年級平均成績為 N y + N y + N y 0 86 + 00 70 + 0 y = = = 69.7 N 00
高中數學 ( 四 ) 講義 範例 部落抽樣 本班 0 位學生數學成績如下 : 號碼 6 7 8 9 0 數學成績 0 60 60 80 0 0 60 70 70 0 90 80 70 號碼 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 依號碼 ~0,~0,~0 分成三組, 以 ~0 的平均成績代表本班的數學成績, 其平均分數為, 又此法為 抽樣 解 : [00 + 0 + 0 + 0 + 0 + 80 + 90 + 90 + 80 + 60] = 6 ( 分 ) 0 部落抽樣 範例 6 右圖為二年甲班學生體重的相對累積次數分配折線圖, 已知各組中人數最少的一組有 人, 求 : 人數最多的一組有多少人? 體重在 0 公斤以上 ( 包含 0 公斤 ) 者占全班人數的百分之多少? 解 : 人數最多的一組是 ~60, 其相對次數為 9% 6% = 0%, 而人數最少的一組是 60~6, 其相對次數為 00% 9% = %, 0% 又人數最少的一組是 人, 故人數最多的一組是 人 = 人 % 體重在 0 公斤以上的人數占全班的百分比為 00% % = %
精選類題 第三章機率與統計 抽樣調查常用的方法有四 :(A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層隨機抽樣 (D) 部落抽樣, 下列各問題, 分別使用那一種抽樣較適合? 家長會提供 0 分獎品給本校 00 位師生 建國新村一萬戶自來瓦斯用戶, 基於經濟原則, 欲調查每月瓦斯平均用量 高速公路巡邏警員想估計駕駛員不帶駕照比率 調查某連鎖商店每月的平均銷售貨量 某眷區的住戶分布在社區內三條巷道的兩邊, 想要了解社區全部住戶七 八月分的平均水費 一個水果商想估計某大果園內的橘子個數 今已知果園分成 00 區, 每區內橘子數的棵數大致相同, 且在同區內每一棵樹長的橘子之個數大略相等, 但各區間則相差很大 答 : (A) (D) (B) (C) (D) (C) 我們知道抽樣調查的常用方法有 (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層隨機抽樣 (D) 部落抽樣等四種 抽查燈泡的耐用時間 抽查市民的所得情形 基於經濟原則, 調查小學生患寄生蟲的狀況 調查工廠某生產線的品質管制是否良好 某公寓住宅社區的住戶分住於三棟公寓, 想要瞭解社區內全部住戶四月份的平均電費 答 : (A) (C) (A) (B) (D) 以下抽樣方法何者較為適當? (A) 簡單隨機抽樣用於大量的樣本 (B) 系統抽樣用於週期性母群體 (C) 分層抽樣用於層內個體間的性質差異愈大愈好 (D) 部落抽樣用於和部落間差異愈小愈好 答 :(D)
高中數學 ( 四 ) 講義下圖所示為某公司應徵人員身高的相對累積次數分配折線圖, 若初選的條件為身高 6 公分 ~80 公分, 則初選合格的百分比為 % 承, 設應徵人員有 0 人, 問身高在 70 公分以上而不滿 7 公分的人數共有 人 承, 哪一組的人數最多? 答 : 70 0 6~70 圖圖上圖為某班全體學生體重的相對次數分配折線圖, 則體重不滿 0 公斤者所占之百分比為 % 答 :6
- 分析一維數據 第三章機率與統計 算術平均數 ( X ): 設 n 個數值分為 x, x,, x n, 則其算術平均數為 x = ( x + x + + x n ) n 中位數 (M e ): n 個數值 x, x,, x n, 按其大小順序排列為 x () x () x () x (n) 若 n = k +, 即 n 為奇數, 則第 k + 個數值為中位數, 因此 M e = x (k + ) = x n+ ( ) 若 n = k, 即 n 為偶數, 則中間兩數 x (k) 與 x (k + ) 均位置居中, 因此一般以此兩數值的算術平均數為中位數, 即 M e = (x(k) + x (k + ) ) 幾何平均數 (G.M.): 一組正數資料 x, x,, x n 的幾何平均數 ( 簡寫成 G.M.) 是定義為 G.M. = n x x x n 眾數 (M o ): 一組資料中出現次數最多的數, 稱為眾數 例如 :,,, 7, 9, 9, 9, 0, 0 的眾數是 9,,,,,,, 7, 7, 7 的眾數是 和 7,, 8,,, 7, 則沒有眾數 全距 (R): 全距 R = ( 數值資料中之最大數 ) ( 數值資料中之最小數 ) 四分位距 (IQR.): 將 n 個數值資料由小而大依序排列, 先求中位數 M e, 再依此求第 四分位數 Q, 第 個分位數 Q, 則四分位距 IQR.. = (Q Q ) 變異數 ( S ) 與標準差 (S): 變異數 :( 又稱樣本變異數 )
6 高中數學 ( 四 ) 講義 設有一組抽樣資料 x, x,, x n, 則其變異數 ( 或稱樣本變異數 ) 簡寫成 S, 定義為 S = n ( xi x) i= n 標準差 :( 又稱樣本標準差 ) 標準差 ( 或稱樣本標準差 ) 簡寫成 S, 定義成 S = 由未分組資料求標準差 : n ( x i= i x) n 設 n 個抽樣資料為 x, x, x,, x n, 設 x 表 x, x,, x n 之算術平均數 S n = ( x i x) n i= n n n = ( xi xxi + x ) = [ ( xi ) x( xi ) + nx ] n i= n i= i= n n = [ ( xi ) nx + nx ] = [ ( xi ) nx ] n i n i = n 由 知 S = ( x i x) n i= 母體變異數 ( σ ) 與母體標準差 (σ ): 離差 : = n = [ ( xi ) nx n i= ] 設有一組資料 x, x,, x n 平均數為 x, 則當第 i 筆資料 x 的離差定義為 x i x 平均絕對離差 : 一組資料 x,, x n 的平均絕對離差 (MAD) 是資料 (x i ) 與平均數 ( x ) 差距絕對值 n xi x 的平均, 即 MAD = i= n 母體變異數 : 設一母體有 N 個資料 x, x,, x n, 則此組資料的母體變異數 ( 寫成 σ ) ( xi μ) x i 是所有資料的平方離差之平均, 即 σ = = i, 其中 μ = N N 體平均數 母體標準差 : N n i = 為母 設一母體有 N 個資料 x, x,, x n, 則此組資料的母體標準差 ( 寫成 σ)
( xi μ) i= 是母體變異數 σ 的開方, 即 σ = N N 第三章機率與統計 7 線性關係 : 四分位距 (IQR.): 一群資料 x 的 n 個數值 x, x,, x n 的四分位距 (IQR.). = α, 則資料 Y 的 n 個數值 ax + b, ax + b,, ax n + b 的四分位距 (IQR.). = a α 標準差 (S): 設 X 表示一群數值資料,S X 表 X 的標準差,bX + a 表示 X 數值的 b 倍另加 a 的一群資料, 則恆有下列關係 : 若 S X = 0, 則 X 中的各數必全部相等 S (X + a) = S X, 其意義是將一群資料平移後, 其標準差不變 S (bx) = b S X, 其意義是將一群資料增加或減為原來的 b 倍後, 其標準差為原標準差之 b 倍 S (bx + a) = b S X, 其意義是將一群資料增加或減為原來的 b 倍後, 再平移, 其標準差為原標準差之 b 倍 範例 9 位選手參加某次高爾夫球比賽成績 ( 桿數 ) 如下 : 桿數 6 66 67 68 69 70 7 7 7 7 7 人數 8 6 6 8 試求平均成績 中位數 眾數 全距 標準差 解 : x = (6 + 66 + 67 + 68 8 + 69 6 + 70 + 7 6 + 7 8 9 n = + 7 + 7 + 7 ) = 70 9 n = 7, + = 8, 又 + + + 8 + 6 =, 第 7, 8 位的桿數為 70, 70 M e = (70 + 70) = 70 M o = 70
8 高中數學 ( 四 ) 講義 R = 7 6 = 0 f ( x x) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 8 + ( ) 6 i= i 標準差 S = i f i= + 0 + 6 + 8 + + + = 8 i ( x i 9 x) = 8 9.7
第三章機率與統計 9 範例 某次競試 00 人參加, 考試結果其成績如下 : 成績 0 ~ 0 0 ~ 0 0 ~ 0 0 ~ 60 60 ~ 70 人數 6 0 6 0 70 ~ 80 80 ~ 90 求下列各值 : 平均數為 中位數為 標準差 ( 以四捨五入, 取至小數點後 第一位 ) 若以下累積次數分配曲線圖上有一點 (60, a), 求 a = 解 : 組別 組中點 x i 次數 f i 以下累積 A = 6 次數 C i x i A d A h i = xi fidi f i d i 0~0 0 8 0~0 6 9 0 8 0~0 0 9 0 0 0 0~60 6 0 6 6 60~70 0 6 0 0 0 0 70~80 7 86 0 總計 7 X = A + h n k f i d i i= M e n 60 0 = 0 = 70 60 6 k S = h fidi n i= ( n ) n S = 0 = 99 0 = 6 + ( 7) = 6.7 = 6. 00 k M e = 6 ( f d ) i= ( 7) = 0 99 00 79 =.. 99 由上表得 a = i i 00 89 99 00 範例 有 n 個數值 x, x, x,, x n 的算術平均數為 0, 中位數為, 眾數為, 全距
0 高中數學 ( 四 ) 講義 為 0, 四分位距為 6, 標準差為, 求 x +, x +,, x n + 的 : 算術平均數 中位數 眾數 全距 四分位距 標準差 解 : 令 y i = x i +, Y = x + = 0 + = 8 M e ( x + ) = M e (x) + = + = + = M o ( x + ) = M o (x) + = + = 6 + = R ( x + ) = R(x) = 0 = 0 Q.D. ( x + ) = Q.D.(x) = 6 = 8 S ( x + ) = S(x) = = 9 精選類題 有一組資料的次數分配表如下, 則 : 資料值 6 7 8 9 0 次數 6 算術平均數為 標準差為 四分位距為 答 : 7. 高三某班的第二次段考國文成績次數分配表如下, 試求下列各值 : 分數 0 ~ 0 0 ~ 60 60 ~ 70 70 ~ 80 80 ~ 90 90 ~ 00 人數 7 6 6 算術平均數 x = 標準差 S = 答 : 76.. 測量一物件的長度 9 次, 得其長 ( 公尺 ) 為.,.6,.,.,.,.8,.6,.7,., 將上面的數據每一個都乘以 00, 再減去 0 得一組新數據為, 6,,,, 8, 6, 7,, 問下列選項何者為真? (A) 新數據的算術平均數為 (B) 新數據的標準差為 (C) 原數據的算術平均數為. (D) 原數據的標準差為 0. (E) 原數據的中位數為. 88 甄試 答 :(A)(C)(E) 有兩變量 X:x, x,, x n,y:y, y,, y n, 已知 Y = X + 7, 則
第三章機率與統計 (A) 算術平均數 X = 時,Y = (B) 標準差 S X = 時,S Y = 9 (C) X 之中位數為 時,Y 之中位數為 (D) X 之全距為 時,Y 之全距為 7 (E) X 之四分位距為 0 時,Y 的四分位距為 0 (F) X 之眾數為 6 時,Y 的眾數為 7 答 :(A)(C)(E)(F) 測量一物件的長度 9 次, 得其長 ( 公尺 ) 且 9 次母體的資料為.,.,.8,.,.,.6,.,.7,.6, 將上面的數據每一個都乘以 00, 並減去 0 得一組新數據, 則 : (A) 新數據算術平均數為 (B) 原數據的 x =. (C) 新數據 S Y = (D) 原數據 S X = 0.0 (E) 原數據的中位數為.6 答 :(A)(C)(D) 有 0 人在某次考試平均分數為 67, 標準差為, 若 0 個人中的 8 個人得分是 6, 6, 6, 6, 67, 68, 7, 7, 另二人得分是 a, b, 若 a < b, 則序組 (a, b) = 設有,,,,, 6, 8, 0 等 8 個數值, 則其 : 四分位距標準差 ( 答案以根號表之 ) 答 : 答 :(66, 7) 87 6 某班數學老師算出學生學期成績後, 鑑於學生平時都很用功, 決定每人各加 分 ( 加分後沒人超出滿分 ), 則加分前與加分後, 學生成績統計數值絕對不會改變的 有 (A) 算術平均數 (B) 中位數 (C) 標準差 (D) 變異係數 (E) 全距 88 自 答 :(C)(D) 已知兩種變量 X 與 Y 的關係式為 Y = X + 0, 又變量 X 的算術平均數為 6, 標準差 為., 試求變量 Y 的算術平均數 Y 標準差 S Y 答 : 7.6 林君欲計算一組已知為 0 個數值資料的算術平均數 x 及標準差 S, 因一時大意, 將其中一數 60 多算一次, 當時未察覺, 仍視為 0 個數值計算之, 得 x = 6, S =, 事後發覺錯誤必須更正, 但原始資料已經廢棄, 試推算其正確結果應為 8 x =,S = ( 用根號表之 ) 答 :60; 9 0 x i i= 提示 :x + x + + x 0 + 60 = 0 6 = 800, ( x + x +... + x0 + 60 ) (0 6) = 9 0 x i = 8 0 0( x x) 設變量 x 的算術平均數為 x, 標準差為 S; 令 y = + 0, 試求變量 y 的算術平 S i=
高中數學 ( 四 ) 講義 均數 y 與標準差 S y 答 : y = 0 ; S y = 0
-6 信賴區間與信心水準的解讀 第三章機率與統計 常態分布 常態分布曲線都是有單一高峰 左右對稱, 樣子如鐘型的平滑曲線, 因此又叫 做鐘型曲線 常態分布的平均數 中位數與眾數全相等 68-9-99.7 規則 : 在任何常態分布曲線當中, 大約有 68% 的數值落在距平均數 個標準差範圍 內 有 9% 的數值落在距平均數 個標準差範圍內 大約有 99.7% 的數值落在 距平均數 個標準差範圍內 信賴區間與信心水準 信賴區間為估計值 ± 誤差界限, 也就是區間 9% 的信心水準 : [ 估計值 - 誤差界限, 估計值 + 誤差界限 ] 設某項調查中, 母體真正的比例為 p,9% 信心水準的意義是 : 如果我們抽樣多 次, 每次都得到一個信賴區間, 那麼這麼多個區間中, 約有 9% 的區間會涵蓋 真正的 p 值 9% 信賴區間 : 在一個大母體中, 其成員擁有某項特質的比例為 p 若從母體中每次隨機抽取 n 個樣本 (n 必須夠大 ), 令 ˆp 代表樣本中擁有此項特質的比例, 則區間 pˆ( -pˆ) pˆ( -pˆ) pˆ-, pˆ+ n n 稱做 p 的一個 9% 的信賴區間, 或 在 9% 的信心水準下的信賴區間
高中數學 ( 四 ) 講義 精選類題 某國中對全校 000 名國一新生做智力 ( IQ) 測驗,測驗結果 IQ 分數呈現常態分布,其平均數 μ =,標準差 σ =. IQ 分數不到 00 分的約有幾人? IQ 分數超過 而不到 的約有幾人? 甲班 0 名學生中沒有人的分數超過,但乙班卻有,你覺得這樣的分班公平 嗎? 答 : 60, 7, 不公平 ( 建議送分 ) 人類從受孕到分娩的懷孕期長短不一,大致呈現平均數 66 天,標準差 6 天的常 態分布. 約有多少比例的人會在 66 天以內分娩? 根據常態分布規則,求中間 9% 的人其懷孕天數範圍. 答 : 6%, [, 98] 已知某地區 0000 位國小一年級學生的身高中位數為 6 公分, 身高 0 公分 以上的有 0 位, 而且身高是常態分配, 請問 : 此地區一年級學生身高標準差是 多少 答 :8cm 某銀行於農曆春節發行即時樂彩券,並宣稱中獎率為 6%( 發行 00 萬張,計有 6 萬個獎項 ).若想推論這個數據是否屬實,在 9% 的信心水準及抽樣誤差正負 個百分點的條件下,應隨機採樣多少張樣本? 答 :76 張 為了驗證一枚古硬幣是否為勻稱的硬幣,某人做了多次的投擲試驗,並發表推論 如下 : 我們有 9% 的信心認為此硬幣出現正面的機率是 6% 到 % 之間.試求此實 驗中,共投擲了幾次硬幣? 其中出現幾次正面? 利用隨機號碼表,模擬丟一個勻稱硬幣 次, 算出樣本中出現正面的比例. 求出 9% 的信賴區間,並檢查是否包含母體比例 0.? 答 :600 次 ;0 次
答 : 6% 信賴區間 [ 0.68, 0.] 包含 0.6 答 : 是 第三章機率與統計
6 高中數學 ( 四 ) 講義 由生產線隨機抽樣 00 個產品, 得樣本不良率為 8%, 試求 : 不良品 p 的 68% 信賴區間答 :[ 0.6, 0.8] 不良品 p 的 9% 信賴區間答 :[ 0., 0.08] 不良品 p 的 99.7% 信賴區間答 :[ 0.88, 0.] 某次選舉有甲 乙兩位候選人, 民意調查有效樣本數 n = 00, 其中支持甲有 6 人, 支持乙有 6 人, 求 : 9% 信賴區間 支持甲比率 p 的 9% 信賴區間 () 支持乙比率 p 的 答 : [0.6, 0.6], [ 0., 0.76] 若抽樣樣本數 n = 00 時, 母體比率 p 的 9% 信賴區間之最大誤差 e = 0.0, 假設 抽樣樣本數 n = 00 時, 樣本比率不變, 則 p 的 9% 信賴區間之最大誤差 e 是多少 若比率 p 的 9% 信賴區間為 [ 0.,0.6], 求 p 的 99.7% 信賴區間 答 :0.0 答 :[ 0.6, 0.6]
第三章機率與統計 7 作業欄