2013 年 4 月 第 29 卷 第 2 期 纯 粹 数 学 与 应 用 数 学 Pure and Applied Mathematics Apr. 2013 Vol. 29 No. 2 关 于 环 上 长 方 矩 阵 的 加 权 群 可 逆 性 章 劲 鸥 ( 宁 波 大 学 数 学 系, 浙 江 宁 波 315211) 摘 要 : 研 究 任 意 环 上 长 方 矩 阵 的 加 权 群 逆 和 加 权 {1, 5}- 逆 利 用 矩 阵 分 解, 得 到 了 长 方 矩 阵 积 的 加 权 群 逆 存 在 的 一 些 等 价 条 件 和 计 算 方 法 及 任 意 环 上 长 方 矩 阵 的 加 权 {1, 5}- 逆 的 刻 画 表 达 式 得 到 的 定 理 推 广 了 有 关 方 阵 群 逆 和 {1, 5}- 逆 的 相 关 结 果 结 果 还 可 适 合 应 用 于 加 法 范 畴 中 的 态 射 关 键 词 : 环 ; 长 方 矩 阵 ; von Neumann 正 则 ; 加 权 群 逆 中 图 分 类 号 :O153.3,O151.21 文 献 标 识 码 :A 文 章 编 号 :1008-5513(2013)02-0146-09 DOI:10.3969/j.issn.1008-5513.2013.02.006 1 预 备 知 识 和 引 理 设 R 是 具 有 单 位 元 1 的 环, M m,n (R) 为 R 上 的 n 阶 矩 阵 环. M n (R) 表 示 环 R 上 的 所 有 m n 矩 阵 组 成 的 集 合. 给 定 环 R 上 的 m n 矩 阵 A, 如 果 存 在 一 个 n m 矩 阵 A, 使 得 AA A = A, 那 么 称 矩 阵 A 是 von Neumann 正 则 的, 且 矩 阵 A 称 为 A 的 von Neumann 逆. 给 定 M n,m (R). 对 于 环 R 上 一 个 m n 矩 阵 T, 如 果 存 在 矩 阵 G M n,m (R) 满 足 (1) T G T = T ; (2) G T G = G; (5) T G = G T, 那 么 称 T 为 加 权 群 可 逆 的, 那 么 G 称 为 T 的 一 个 加 权 群 逆. 如 果 T 的 加 权 群 逆 存 在, 那 么 它 一 定 是 唯 一 的 [1], 记 为 T. 对 于 X M n,m (R), 如 果 X 满 足 上 述 条 件 (1) 和 (5), 那 么 X 称 为 T 的 加 权 {1, 5}- 逆, 记 为 T. 用 T {1, 5} 表 示 T 的 所 有 加 - 权 {1, 5}- 逆 组 成 的 集 合. 如 果 m = n 且 = I n ( 单 位 矩 阵 ), 那 么 T 的 加 - 权 群 逆 就 是 T 的 群 逆 [2-6], 且 T 的 加 权 {1, 5}- 逆 就 是 T 的 {1, 5}- 逆 [4]. 收 稿 日 期 :2012-12-27. 基 金 项 目 : 宁 波 市 自 然 科 学 基 金 (2012A610034). 作 者 简 介 : 章 劲 鸥 (1974-), 硕 士, 讲 师, 研 究 方 向 : 矩 阵 论.
第 2 期 章 劲 鸥 : 关 于 环 上 长 方 矩 阵 的 加 权 群 可 逆 性 147 在 文 献 [3] 中, 讨 论 了 任 意 带 有 单 位 元 环 上 的 正 则 方 阵 矩 阵 T 的 群 逆 T 的 性 质. 对 于 T = P AQ, 如 果 A 是 正 则 的, P A 与 A 生 成 相 同 的 左 理 想, 且 AQ 与 A 生 成 相 同 的 右 理 想, 则 T 存 在, 当 且 仅 当 U = AQP AA + I n AA 是 可 逆 的. 或 者 当 且 仅 当 V = A AQP A + I n A A 是 可 逆 的. 于 是 有 T = P U 1 AV 1 Q = P U 2 AQ = P AV 2 Q. 在 本 文 中, 想 把 这 些 结 果 从 方 阵 推 广 到 m n 矩 阵, 将 给 出 长 方 矩 阵 积 P AQ 的 加 权 群 可 逆 的 一 些 等 价 条 件, 这 里 A M k,l (R) 是 正 则 的, 且 P M m,k (R), Q M l,n (R), 且 存 在 P M k,m (R) 和 Q M n,l (R) 满 足 P P A = A = AQQ. 而 且, 还 给 出 了 任 意 环 上 长 方 矩 阵 的 加 权 群 逆 和 加 权 {1, 5}- 逆 的 刻 画 表 达 式. 得 到 的 结 果 推 广 了 有 关 方 阵 群 逆 的 结 果. 结 果 还 可 适 用 于 加 法 范 畴 中 的 态 射. 2 加 权 群 逆 设 A M k,l (R) 是 正 则 的. 给 出 矩 阵 T = P AQ 有 加 - 权 群 逆 的 充 要 条 件. 下 面 给 出 两 个 矩 阵 : U = AQ P AA + I k AA, (1) V = A AQ P A + I l A A. (2) 现 在 可 以 得 到 : 引 理 2.1 设 A M k,l (R) 是 正 则 的, 且 T = P AQ, P M m,k (R) 且 Q M l,n (R). 那 么 下 列 条 件 是 等 价 的 : (i) UM k (R) = M k (R); (ii) AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R); (iii) V M l (R) = M l (R). 如 果 另 加 M k (R)A = M k,m (R)P A, 那 么 上 面 各 条 件 等 价 于 (iv) T T M n,l (R) = T M n,l (R), AM l (R) = AQM n,l (R). 证 明 (i)= (ii): 因 为 UM k (R) = M k (R), 所 以 AQ P AM l,k (R) = AA AQ P AA M k (R) = AA (AQ P AA + I k AA )M k (R) = AA UM k (R) = AA M k (R) = AM l,k (R).
148 纯 粹 数 学 与 应 用 数 学 第 29 卷 因 此, (ii) 得 证. (ii)= (i): 因 为 AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R) 及 A M l,k (R), 所 以 存 在 X M l,k (R) 使 得 AQ P AX = AA. (3) 记 U = AX + I k AA. 则, UU = (AQ P AA + I k AA )(AX + I k AA ) = AQ P AA AX + I k AA = AQ P AX + I k AA = I k. 因 此, (i) 得 证. (ii)= (iii): 记 V = A AXA + I l A A, 其 中 X 是 (ii)= (i) 的 证 明 过 程 中. 则 V V = (A AQ P A + I l A A)(A AXA + I l A A) = A AQ P AA AXA + I l A A = A AQ P AXA + I l A A = I l. 因 此, (iii) 得 证. (iii)= (ii): 因 为 V M l (R) = M l (R), 所 以 V M l,k (R) = M l,k (R). 则 AQ P AM l,k (R) = AA AQ P AM l,k (R) = A(A AQ P A + I l A A)M l,k (R) = AV M l,k (R) = AM l,k (R). 因 此, (ii) 得 证. (ii)= (iv): 因 为 AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R), 所 以 AM l (R) = AA AM l (R) AQ P AM l,k (R)AM l (R) AQM n,l (R). 显 然, AM l (R) AQM n,l (R). 因 此, AM l (R) = AQM n,l (R). 又 T M n,l (R) = P AA AQM n,l (R) P AM l,k (R)AQM n,l (R) = P AQ P AM l,k (R)AQM n,l (R) P AQ P AM l (R) = P AQ P AQM n,l (R) = T T M n,l (R). 显 然, T T M n,l (R) T M n,l (R). 得 到 结 论, T T M n,l (R) = T M n,l (R).
第 2 期 章 劲 鸥 : 关 于 环 上 长 方 矩 阵 的 加 权 群 可 逆 性 149 (iv)= (ii): 因 为 AM l (R) = AQM n,l (R) 及 P AQ P AQM n,l (R) = P AQM n,l (R), P AM l,k (R) = P AA AM l,k (R) P AM l (R)M l,k (R) = P AQM n,l (R)M l,k (R) = P AQ P AQM n,l (R)M l,k (R) P AQ P AM l,k (R). 显 然, P AQ P AM l,k (R) P AM l,k (R). 因 此, P AQ P AM l,k (R) = P AM l,k (R). 由 M k (R)A = M k,m (R)P A 知, 存 在 P M k,m (R) 使 得 A = P P A. 于 是 AQ P AM l,k (R) = P P AQ P AM l,k (R) = P P AM l,k (R) = AM l,k (R). 同 样 地, 可 以 得 到 下 列 结 果. 引 理 2.2 设 A M k,l (R) 是 正 则 的, T = P AQ, 且 有 P M m,k (R), Q M l,n (R). 则 下 列 条 件 是 等 价 的 : (i ) M k (R)U = M k (R); (ii ) M l,k (R)AQ P A = M l,k (R)A; (iii ) M l (R)V = M l (R). 如 果 AM l (R) = AQM n,l (R) 成 立, 它 们 都 是 等 价 的. (iv ) M k,m (R)T T = M k,m (R)T 且 M k (R)A = M k,m (R)P A. 注 1 对 于 T = P AQ, 其 中 A M k,l (R) 是 正 则 的, P M m,k (R),Q M l,n (R), 可 以 得 到 下 列 结 论. 1. 如 果 存 在 P M k,m (R) 且 Q M n,l (R) 满 足 P P A = A = AQQ ( 即 M k (R)A = M k,m (R)P A 且 AM l (R) = AQM n,l (R)), 那 么 下 列 两 组 条 件 分 别 等 价 的 : (i) UM k (R) = M k (R), (ii) AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R), (iii) V M l (R) = M l (R),
150 纯 粹 数 学 与 应 用 数 学 第 29 卷 (iv) T T M n,l (R) = T M n,l (R); (i ) M k (R)U = M k (R), (ii ) M l,k (R)AQ P A = M l,k (R)A, (iii ) M l (R)V = M l (R), (iv ) M k,m (R)T T = M k,m (R)T. 因 此, (i) 和 (i ) 等 价 当 且 仅 当 U 是 可 逆 的, (iii) 和 (iii ) 等 价 当 且 仅 当 V 是 可 逆 的, 且 有 U 1 = AX + I k AA = AY AA + I k AA, (4) V 1 = A AXA + I l A A = Y A + I l A A, (5) 这 里 X 和 Y 分 别 是 AQ P AX = AA 和 A A = Y AQ P A 方 程 的 解. 2. 记 Ū = AQ T P AA + I k AA, (6) V = A AQ T P A + I l A A. (7) 则 下 列 两 组 条 件 是 分 别 等 价 的 : (i) ŪM k(r) = M k (R), (ii) AQ T P AM l,k (R) = AM l,k (R), (iii) V M l (R) = M l (R); (i ) M k (R)Ū = M k(r), (ii ) M l,k (R)AQ T P A = M l,k (R)A, (iii ) M l (R) V = M l (R), 即 Ū = U 2, V = V 2. (8) 3. 下 列 条 件 也 是 等 价 的 : (1) AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R) 且 M l,k (R)AQ P A = M l,k (R)A; (2) 矩 阵 方 程 AQ P AX = AA 和 Y AQ P A = A A 有 解 ; (3) AQ T P AM l,k (R) = AM l,k (R) 且 M l,k (R)AQ T P A = M l,k (R)A; (4) 矩 阵 方 程 AQ T P AX = AA 和 Y AQ T P A = A A 有 解. 下 面, 给 出 任 意 环 上 长 方 矩 阵 的 加 权 群 逆 存 在 的 一 些 等 价 条 件. 定 理 2.1 给 定 T = P AQ, 且 A M k,l (R) 是 正 则 的, P M m,k (R), Q M l,n (R), 则 下 列 条 件 是 等 价 的 : (i) U 是 可 逆 的 ; (ii) AQ P AM l,k (R) = AM l,k (R), M l,k (R)AQ P A = M l,k (R)A; (iii) V 是 可 逆 的 ; (iv) T 存 在 且 有 AM l (R) = AQM n,l (R), M k (R)A = M k,m (R)P A.
第 2 期 章 劲 鸥 : 关 于 环 上 长 方 矩 阵 的 加 权 群 可 逆 性 151 此 外, 有 T = P U 1 AV 1 Q = P U 2 AQ = P AV 2 Q, (9) 其 中 U 1 = AX + I k AA = AY AA + I k AA, V 1 = A AXA + I l A A = Y A + I l A A, AQ P AX = AA, A A = Y AQ P A. 证 明 由 引 理 2.1 和 引 理 2.2 知, (i), (ii) 和 (iii) 是 等 价 的. (i)= (iv): 为 了 计 算 T, 注 意 到 : UA = AQ P A = AV. 因 此 U 1 A = AV 1, (10) U 1 AQ P A = A = AQ P AV 1. 记 G = P U 1 AV 1 Q. 则 有 T G T = P AQ P U 1 AV 1 Q P AQ = P AQ P U 1 U 1 AQ P AQ = P AQ P U 1 AQ = P AQ P AV 1 Q = P AQ = T. G T G = P U 1 AV 1 Q P AQ P U 1 AV 1 Q = P U 1 AV 1 Q P AQ P AV 1 V 1 Q = P U 1 AV 1 Q P AV 1 Q = P U 1 U 1 AQ P AV 1 Q = P U 1 AV 1 Q = G. T G = P AQ P U 1 AV 1 Q = P AQ P AV 1 V 1 Q = P AV 1 Q = P U 1 AQ = P U 2 AQ P AQ = P U 1 AV 1 Q P AQ = G T. 因 此, T = G = P U 1 AV 1 Q. 根 据 (10) 式, 也 有 非 对 称 形 式 : T = P U 2 AQ = P AV 2 Q. 则 根 据 (4) 和 (5) 式 可 以 得 到 U 1 和 V 1 的 表 达 式. (iv)= (ii): 因 为 T 存 在, T T T = T 且 有 T T M n,l (R) = T M n,l (R). 又 因 为 M k (R)A = M k,m (R)P A 和 AM l (R) = AQM n,l (R), 根 据 引 理 2.1, (ii) 得 证. 推 论 2.1 给 定 T = P AQ, 且 A M k,l (R) 是 正 则 的, P M m,k (R) 且 Q M l,n (R), 则 下 列 条 件 是 等 价 的 :
152 纯 粹 数 学 与 应 用 数 学 第 29 卷 (i) Ū 是 可 逆 的 ; (ii) AQ T P AM l,k (R) = AM l,k (R), M l,k (R)AQ T P A = M l,k (R)A; (iii) V 是 可 逆 的 ; (iv) T 存 在 且 AM l (R) = AQM n,l (R), M k (R)A = M k,m (R)P A. 而 且 T = P Ū 1 AQ = P A V 1 Q, (11) 其 中 Ū 1 = AX + I k AA = AY AA + I k AA, (12) V 1 = A AXA + I l A A = Y A + I l A A, (13) AQ T P AX = AA, A A = Y AQ T P A. 推 论 2.2 对 于 T = P AQ, 其 中 A M k,l (R) 是 正 则 的, P M m,k (R) 且 Q M l,n (R), 如 果 存 在 P M k,m (R) 和 Q M n,l (R) 满 足 P P A = A = AQQ, 那 么 下 列 条 件 是 等 价 的 : (i) T 存 在 ; (ii) U 是 可 逆 的 ; (iii) Ū 是 可 逆 的 ; (iv) V 是 可 逆 的 ; (v) V 是 可 逆 的 ; (vi) 矩 阵 方 程 AQ P AX = AA 和 Y AQ P A = A A 有 解 ; (vii) 矩 阵 方 程 AQ T P AX = AA 和 Y AQ T P A = A A 有 解. 也 可 以 设 定 AQ = ˆQ, P A = ˆP 和 T = ˆP A ˆQ. 可 以 得 到 : 定 理 2.2 假 定 A 是 正 则 的, 且 有 AA A = A, AM l (R) = ˆQM n,l (R), M k (R)A = M k,m (R) ˆP 和 U = ˆQ ˆP A + I k AA, V = A ˆQ ˆP + Il A A. 则, 下 列 两 组 条 件 分 别 是 等 价 的 : (i) UM k (R) = M k (R), (ii) ˆQ ˆP M l,k (R) = AM l,k (R), (iii) V M l (R) = M l (R), (iv) T T M n,l (R) = T M n,l (R); (i ) M k (R)U = M k (R), (ii ) M l,k (R) ˆQ ˆP = M l,k (R)A, (iii ) M l (R)V = M l (R), (iv ) M k,m (R)T T = M k,m (R)T. 在 这 种 情 况 下, 如 果 T 存 在, 则 有 T = ˆP A U 1 AV 1 A ˆQ = ˆP V 2 A ˆQ = ˆP A U 2 ˆQ.
第 2 期 章 劲 鸥 : 关 于 环 上 长 方 矩 阵 的 加 权 群 可 逆 性 153 若 m = n = l = k 且 = I n, 则 定 理 2.2 的 结 果 就 变 成 了 文 献 [3] 定 理 2 的 结 果. 注 2 请 注 意 由 于 在 定 理 2.1 中 的 第 二 个 条 件, 不 涉 及 A, 结 果 与 A 的 选 择 无 关. 换 句 话 说, 如 果 U 对 于 特 殊 A 是 可 逆 的, 那 么 对 于 任 何 A 都 是 可 逆 的. 3 加 权 {1,5}- 群 逆 这 一 节 中, 讨 论 在 任 意 环 上 的 长 方 矩 阵 的 加 - 权 {1, 5}- 逆. 对 于 T M n,m (R), 如 果 T 存 在, 则 T {1, 5} =. 反 之, 如 果 T {1, 5} =, 那 么 T T T 是 T 的 加 - 权 群 逆. 因 此, 可 以 得 到 以 下 结 论. 定 理 3.1 设 T M m,n (R). 则 下 面 条 件 是 等 价 的 : (i) T 存 在 ; (ii) T {1, 5} =. 在 这 种 情 况 下, 有 T = T T T. (14) 定 理 3.2 设 T M m,n (R). 如 果 T {1, 5} =, 那 么 T {1, 5} = { T + (I m T T )X(I n T T ) X M m,n(r) }. (15) 证 明 记 G = T + (I m T T )X(I n T T ). 则 因 此, G T {1, 5}. T G T = T, T G = T T = T T = G T. 反 之, 如 果 G T {1, 5}, 给 定 T 因 为 T G = G T, T T T {1, 5}, 那 么 G = T + G T T G T T. + T G T G T T = T 设 定 X = G. 从 T T = T T, 可 以 得 到 因 此 T + G T T T G T. T X(I n T T ) = (I m T T )X T = 0. G = G (I m T T )X T T T T X(I n T T ) = G + 2T T X T T X T T T T X = T + X X T T T T X + T = T + (I m T T )X(I n T T ). T X T T
154 纯 粹 数 学 与 应 用 数 学 第 29 卷 对 于 T = P AQ, 其 中 A M k,l (R) 是 正 则 的, P M m,k (R) 和 Q M l,n (R), 可 以 得 到 下 面 结 论. 推 论 3.1 设 T = P AQ M m,n (R). 如 果 T {1, 5} =, A M k,l (R) 是 正 则 的 且 存 在 P M k,m (R) 和 Q M n,l (R) 满 足 P P A = A = AQQ, 那 么 T {1, 5} = { P U 2 AQ + (I m P U 2 AQ T )X (I n T P U 2 AQ) X M m,n (R) }. (16) 值 得 注 意 的 是, 上 述 结 果 同 样 适 用 于 加 法 范 畴 中 的 态 射. 如 果 m = n 且 = I n, 则 定 理 3.1 和 定 理 3.2 的 结 果 恰 好 是 文 献 [4] 中 的 定 理 1 和 定 理 6 的 结 果. 参 考 文 献 [1] Cline R E, Greville T N E. A Drazin inverse for rectangular matrices[j]. Linear Algebra Appl, 1980,29:53-62. [2] Gouveia M C, Puystjens R. About the group inverse and Moore-Penrose inverse of a product[j]. Linear Algebra Appl, 1991,150:361-369. [3] Hartwig R E, Puystjens R. The group inverse of a companion matrix[j]. Linear and Multilinear Algebra, 1997,43:137-150. [4] Cao Yongzhi, Zhu Ping. On Generalized Inverses of Morphisms with Universal Factorization[J]. Acta Mathematica Sinica, 2001,44(3):559-566. [5] 尹 幼 奇, 岑 建 苗. 环 上 矩 阵 的 加 权 Moore-Penrose 逆 [J]. 绍 兴 文 理 学 院 学 报 : 自 然 科 学 版, 2005,25(7):37-41. [6] 张 仕 光, 刘 晓 冀. 环 上 矩 阵 的 加 权 Moore-Penrose 逆 [J]. 广 西 民 族 学 院 学 报 : 自 然 科 学 版, 2006,12(1):90-92. On weighted group invertibility for rectangular matrices over an arbitrary ring Zhang Jinou (Department of Mathematics, Ningbo University, Ningbo 315211, China) Abstract: The weighted group inverses of rectangular matrices and the weighted {1, 5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring are studied. Using Matrix decomposition method,first, the weighted group inverse of a rectangular matrix product P AQ for which there exist P and Q such that P P A = A = AQQ can be characterized and computed. Moreover, the expressions are given for the weighted {1, 5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring. This generalizes recent results obtained for the group inverse of square matricesand the weighted {1, 5}-inverse of a rectangular matrix over an arbitrary ring. The results also apply to morphisms in (additive) categories. Key words: ring, rectangular matrix, von Neumann regular, weighted group inverse 2010 MSC: 15A09