一、选择题下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

2015 年考研数学二预测卷及答案精讲一选择题下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 设 f(x) 是连续函数,F(x) 是 f(x) 的原函数, 则. A. 当 f(x) 是奇函数时,F(x) 必是偶函数 B. 当 f(x) 是偶函数时,F(x) 必是奇函数 C. 当 f(x) 是周期函数时,F(x) 必是周期函数 D. 当 f(x) 是单调增函数时,F(x) 必是单调增函数 2. 已知 =0, 其中 a,b 是常数, 则. A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 3. 当 x 0 时,x-sinx 是 x 2 的 {. A. 低阶无穷小 B. 高阶无穷小 C. 等价无穷小 D. 同阶但非等价的无穷小 4. 设 f(x)= 则在点 x=1 处函数 f(x). A. 不连续 B. 连续, 但不可导 C. 可导, 但导数不连续 D. 可导, 且导数连续 5. 设 f(x) 和 φ(x) 在 (-,+ ) 内有定义,f(x) 为连续函数, 且 f(x) 0,φ(x) 有间断点, 则. A.φ[f(x)] 必有间断点 B.[φ(x)] 2 必有间断点 C.f[φ(x)] 必有间断点 D. 必有间断点 6. 设函数 y=f(x) 具有二阶导数, 且 f'(x)>0,f"(x)>0, x 为自变量 x 在点 x 0 处的增量, y 与 dy 分别为 f(x) 在点 x 0 处对应的增量与微分, 若 x>0, 则. A.0<dy< y B.0< y<dy C. y<dy<0 D.dy< y<0 7. 设 A 是任 -n(n 3) 阶方阵,A * 是其伴随矩阵, 又 k 为常数, 且 k 0,±1, 则必有 (ka) * =. A.kA * B.k n-1 A * C.k n A * D.k -1 A * 8. 设 λ 1,λ 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为 α 1,α 2, 则 α 1,A(α

1+α 2 ) 线性无关的充分必要条件是. A.λ 1 0 B.λ 2 0 C.λ 1 =0 D.λ 2 =0 二填空题 9.. 10. 曲线在 t=2 处的切线方程为. 11.. 12. 设矩阵 A=,E 为二阶单位矩阵, 矩阵 B 满足 BA=B+2E, 则 B =. 13. 设 3 阶矩阵 A 的特征值 λ 是 2,3. 若行列式 2A =-48, 则 λ=. 14. 微分方程 yy'+y' 2 =0 满足初始条件 y x=0 =1,y' x=0 = 的特解是. 三解答题 15. 求 16. 计算 17. 设函数 f(x) 在 (-,+ ) 上有定义, 在区间 [0,2] 上,f(x)=x(x 2-4). 若对任意的 x 都满足 f(x)=kf(x+2), 其中 k 为常数. (1) 写出 f(x) 在 [-2,0] 上的表达式. (2) 问 k 为何值时,f(x) 在 x=0 处可导. 18. 设 ρ=ρ(x) 是抛物线 y= 上任一点 M(x,y)(x 1) 的曲率半径,S=S(x) 是该抛物线上介于点 A(1,1) 与 M 之间的弧长, 计算的值 ( 在直角坐标系下曲率公式为 k= 19. 计算

20. 已知函数 z=f(x,y) 的全微分 dz=2xdx-2ydy, 并且 f(1,1)=2. 求 f(x,y) 在椭圆域 D={(x, y) x 2 + 1} 上的最大值和最小值. 21. 设矩阵 A=, 矩阵 X 满足 A * X=A -1 +2X. 其中 A * 是 A 的伴随矩阵. 求矩阵 X. 22. 已知 α 1 =(1,4,0,2) T,α 2 =(2,7,1,3) T,α 3 =(0,1,-1,a) T,β=(3,10,b,4) T. 问 : (1) a,b 取何值时,β 不能由 α 1,α 2,α 3 线性表示? (2) a,b 取何值时,β 可由 α 1,α 2,α 3 线性表示? 并写出此表示式 23. 设,A=αβ T,B=β T α, 其中 β T 是 β 的转置. 求解方程 2B 2 A 2 x=a 4 x+b 4 x+γ. 24. 设矩阵 A= 的特征方程有一个二重根, 求 a 的值, 并讨论 A 是否可相似对角化.

一选择题参考答案与解析 1.[ 考点提示 ] 原函数. [ 解题分析 ] 由已知 f(x) 是连续函数, 则 (t)dt 是 f(x) 的一个原函数, 从而 f(x) 的任一原函数 F(x) 可表示为 (t)dt+c, 即 F(x)= (t)dt+c, 其中 C 为任意常数, 且有当 f(x) 是奇函数时, 即 F(x) 为偶函数,A 成立. 当 f(x) 是偶函数时, 所以 B 不成立. 关于选项 C,D 可举反例予以排除, 如令 f(x)=1+cosx, 则周期为 2π,F(x)=x+sinx+C 不是周期函数. 又令 f(x)=x, 为单调增函数, 但不是单调函数. 综上, 选 A. 2.[ 考点提示 ] 极限中常数的确定. [ 解题分析 ] 由

有 1-a=0,a+b=0, 得 a=1,b=-1. 故应选 C. 于是 3.[ 考点提示 ] 根据的值进行判断即可. [ 解题分析 ] 因为故应选 B. 4.[ 考点提示 ] 函数的连续性. [ 解题分析 ] 因为而可见 f(x) 在 x=1 处不连续, 应选 A. 5.[ 考点提示 ] 间断点的判定. [ 解题分析 ] 用反证法. 设无间断点, 即连续, 又已知 f(x) 连续, 于是 f(x= 一 φ(x) 连续. 这与题设矛盾, 故应选 D. [ 评注 ] 本题也可举反例用排除法判定 : 设 f(x)=1,φ(x)=, 则有 φ[f(x)]=1, [φ(x)] 2 =1,f[φ(x)]=1, 都处处连续, 可排除 A,B,C, 知应选 D. 6.[ 考点提示 ] 凹函数的性质. [ 解题分析 ] 由已知条件知, 曲线 y=f(x) 单调上升且是凹的, 根据凹函数的性质, 有 f(x 0 + x)>f(x 0 )+f'(x 0 ) x( x 0), 从而 f(x 0 + x)-f(x 0 )>f'(x 0 ) x>0( x>0),

所以 y>dy>0( x>0). 故选 A. 7.[ 考点提示 ] 伴随矩阵 A * 的定义. [ 解题分析 ] 题设未给出 A -1 存在的条件, 所以公式 A * = A A -1 不可直接应用. 但由题意知结论对 A 可逆应该也成立, 即假没 A 可逆, 则从而知只有 B 成立. 题设中 k 0,±1 的条件是为保证正确选项的唯一性. 严格的做法是由伴随矩阵的定义出发, 设 A=(a ij ),a ij 的代数余子式为 A ij, 则 A * =(A ij ) T. 令 ka=(ka ij ),ka ij 的代数余子式记为 B ij, 则 B ij =k n-1 A ij. 因此 (ka) * =(B ij ) T =(k n-1 A ij ) T =k n-1 (A ij ) T =k n-1 A *. 8.[ 考点提示 ] 特征值与特征向量. [ 解题分析 ] 根据特征值特征向量的定义, 有 A(α 1 +α 2 )=Aα 1 +Aα 2 =λ 1 α 1 +λ 2 α 2, α 1,A(α 1 +α 1 ) 线性无关 k 1 α 1 +k 2 A(α 1 +α 2 )=0. k 1,k 2 恒为 0 (k 1 +λ 1 k 2 )α 1 +λ 2 k 2 α 2 =0,k 1,k 2 恒为 0. 所以 k 1,k 2 恒为 0. 而齐次方程组只有零解所以选 B. 二填空题 9.[ 考点提示 ] 函数求极限. [ 解题分析 ]

[ 评注 ] 一般地, 若 a>0,b>0, 则 10.[ 考点提示 ] 曲线的切线方程. [ 解题分析 ] 按照参数方程求导得切线斜率, 代入点斜式即得切线方程. 当 t=2 时,x 0 =5,y 0 =8, 且可知过曲线上对应于 t=2 处的切线斜率为 3, 切点为点 (5,8). 因此切线方程为 y-8=3(x-5), 即 3x-y-7=0. 11.[ 考点提示 ] 不定积分. [ 解题分析 ] 被积函数为幂函数与指数函数的乘积, 因此采用分部积分法, 将幂函数看作 u. [ 评注 ] 此题为明了起见, 也可以先令 x 2 =t, 原式化为后, 再分部积分. 12.[ 考点提示 ] 行列式矩阵的计算. [ 解题分析 ] 由已知 BA=B+2E, 有 B(A-E)=2E, 两边取行列式, 得

B A-E =4. 因为 A-E = =2, 所以 B =2. 13.[ 考点提示 ] 矩阵的特征值及其与矩阵的行列式之间的关系. [ 解题分析 ] 因为矩阵的行列式等于它所有特征值的积, 且 2A =2 3 A =-48, 所以 2 3 A =2 3 λ 2 3=-48, 则 λ=-1. 14.[ 考点提示 ] 二阶微分方程. [ 解题分析 ] 由题设, 令 y'=u, 则 y"= 代入原方程, 得由初始条件知 u 0, 所以化为 +u=0. 分离变量得两边积分得 lnu=lnc-lny. 由已知 y=1 时,u=, 可解得 C= 于是 lnu=ln, 即 u=. 将 y'=u 代入上式, 有, 分离变量并积分得 y 2 =c+c 1. 由初始条件 x=0,y=1, 解得 C 1 =1, 所以 y 2 =x+1. 此即所求特解. 三解答题 15.[ 考点提示 ] 函数求极限. [ 解题分析 ]

[ 评注 ] 注意本题 x 为负, 因此分子分母同除以 x 时, 将 x 放入根式内应小心符号. 16.[ 考点提示 ] 三角函数求极限. [ 解题分析 ] 本题为 1 型未定式, 除可以利用第二类重要极限进行计算或化为指数函数计算外, 由于已知数列的表达式, 也可将 n 换为 x 转化为函数极限进行计算. 一般地. 若因为故原极限 =e 4. 17.[ 考点提示 ] 分段函数导数的定义. [ 解题分析 ] 由题设,f(x)=x(x 2-4),x [0,2]. 当 x [-2,0) 时,x+2 [0,2), 则由 f(x)=kf(x+2) 知 f(x)=kf(x+2)=k(x+2)[(x+2) 2-4] =k(x+2)(x 2 +4x)=kx(x+2)(x+4),x [-2,0). 由导数定义及 f(0)=0. 有令 f'(0 + )=f'(0 - ), 则 k=-. 所以当 k=- 时,f(x) 在 x=0 处可导. 18.[ 考点提示 ] 曲率弧长公式参数方程求导.

[ 解题分析 ] 由题设, 且抛物线在点 M(x,y) 处的曲率半径为抛物线上的弧长为因此得到 ρ(x) 与 S(x) 都是 x 的函数, 从而由知且因此 19.[ 考点提示 ] 本题主要考查三角函数有理式不定积分的计算技巧和方法, 由于三角函数的变形公式非常多, 相应地, 本题也有多种解法.

[ 解题分析 ] [ 详解 1] 分子分母同乘以某一三角函数. [ 详解 2] 用万能代换. 今 t=tan 则 sinx= cosx= x=2arctant,dx= 于是 [ 详解 3] 用半角公式. [ 详解 4] 用半角公式.

[ 评注 ] 不定积分的最后结果表达式, 采用不同的计算方法可能在形式上不完全一致, 这是正常的. 最后结果是否正确只需对其求导即可验证. 若求导后等于被积函数, 说明一定是正确的. 20.[ 考点提示 ] 多元函数的最值. [ 解题分析 ] (1) 求 f(x,y) 的表达式. 由已知有 dx=dx 2 -dy 2 =d(x 2 -y 2 ) z=x 2 -y 2 +C. 又因为 f(1.1)=2, 所以 C=2, 从而 z=f(x,y)=x 2 -y 2 +2. (2) 求 f(x,y) 在 D 内驻点及相应函数值. 解得 (x,y)=(0,0), 即 f(x,y) 在 D 内有唯一驻点 (0,0), 且 f(0,0)=2. (3) 求 f(x,y) 在 D 的边界 y 2 =4(1-x 2 ) 上的最大值和最小值. 将 y 2 =4(1-x 2 )( x 1) 代入 z=x 2 -y 2 +2, 得 z(x)=x 2-4(1-x 2 )+2=5x 2-2. 显然,z(x) 在 [-1,1] 上的最大值为 3, 最小值为 -2. 综上所述,z=f(x,y) 在 D 上的最大值是 max{2,3,-2}=3, 最小值是 min{2,3,-2}=-2.

21.[ 考点提示 ] 矩阵方程. [ 解题分析 ] 根据已知 A * X=A -1 +2X, 得 (A * -2E)X=A -1, 由 A 左乘该式, 并利用公式 A * = A A -1, 则得 ( A E-2A)X=E, 其中从而因此 22.[ 考点提示 ] 线性代数方程组解的性质. [ 解题分析 ] 向量 β 能否由 α 1,α 2,α 3 线性表示, 实质上等价于下述方程组有解或无解的问题 :Ax=β, 其中从而

相应的增广矩阵为利用初等行变换, 将 B 化为阶梯形如下 (1) 当 b 2 时,r(A)<r(B), 此时方程组 Ax=β 无解, 即 β 不能由 α 1,α 2,α 3 线性表示. (2) 当 b=2,a 1 时,r(A)=r(B) 且 r(a)=3, 此时方程组 Ax=β 有唯一解, 且相应的行简化阶梯形为因此该唯一解为 x= 因此 β 可由 α 1,α 2,α 3 唯一表示为 β=-α 1 +2α 2. 当 b=2,a=1 时,r(A)=r(B) 且 r(a)=2<3, 此时方程组 Ax=β 有无穷解, 相应的行简化阶梯

形为其导出组的基础解系为 (-3,3,1) T, 原方程组特解为 (-1,2,0) T, 则通解为 C(-3,3,1) T +(-1,2,0) T, 其中 C 为任意常数. 此时 β 可由 α 1,α 2,α 3 表示为 β=-(3c+1)α 1 +(3C+2)α 2 +cα 3. 23.[ 考点提示 ] 矩阵方程. [ 解题分析 ] 由题设, 不难求得而 A 2 =(αβ T )(αβ T )=α(β T α)β T =αβ T =2A, 则 A 4 =4A 2 =8A. 由此可将原矩阵方程化简为 16Ax=8Ax+16x+γ, 即 8(A-2E)x=γ, 其中 E 为三阶单位矩阵. 令 x=(x 1,x 2,x 3 ) T, 代入上式, 得此方程组的增方矩阵为

经由初等行变换化为行简化阶梯形为则导出组的基础解系为而原方程组有特解所以其中 C 为任意常数. 24.[ 考点提示 ] 矩阵对角化相似矩阵. [ 解题分析 ] 由题设,A=, 则 A-λE =0, 即其行列式

可得出 (λ-2)(λ 2-8λ+18+3a)=0. 若 λ=2 是特征方程的二重根, 则 2 2-8 2+18+3a=0, 解之得 a=-2, 此时 λ 1 =λ 2 =2,λ 3 =6, 且 A-2E=. 显然 r(a-2e)=1, 所以对应特征值 2 有两个线性无关的特征向量, 因此 A 可相似对角化. 若 λ=2 不是特征方程的二重根, 则 λ 2-8λ+18+3a=0 有二重根, 即 64-4(18+3a)=0, 解之得 a=-. 此时 λ 1 =2,λ 2 =λ 3 =4, 且显然 r(a-4e)=2, 所以对应于特征值 4 只有一个线性无关的特征向量, 所以 A 不可相似对角化.