不 定 积 分 显 然 微 分 ( 或 导 数 ) 逆 运 算 的 问 题 就 是 : 找 一 个 还 函 数 y = F (), F( ) f ( ) F( ) 的 导 数 已 知 函 数 一 不 定 积 分 的 概 念 不 定 积 分 的 定 义 : 函 数 f () 的 原 函 数 全 体 称 为 f () 的 不 定 积 分 记 作 f ( ) d F( ) C 积 分 常 数
F() 求 导 f () 积 分 微 分 运 算 与 不 定 积 分 的 运 算 是 互 逆 的. 不 定 积 分 法 ( 积 分 法 ): 求 f () 的 不 定 积 分, 只 需 求 一 个 原 函 数 F (), 然 后 加 任 意 常 数 C 即 可 这 种 求 已 知 函 数 的 原 函 数 全 体 的 方 法, 称 为 不 定 积 分 法
3 4 5 5 C d 5 5 4 rcn C d rcn 4 d 例 求 解 : d 例 求 解 :
例 3 设 曲 线 通 过 点 (, ), 曲 线 上 任 一 点 处 的 切 线 斜 率 等 于 这 点 横 坐 标 的 三 倍, 求 此 曲 线 方 程 解 : 设 曲 线 方 程 为 y = f (), dy 3 即 f () 是 3 的 一 个 原 函 数 d 3 3 又 3d C f ( ) C (, y) (, ) C 5 3 所 求 曲 线 方 程 为 y 5 4
不 定 积 分 的 几 何 意 义 : 一 族 积 分 曲 线 y = F () + C y y F( ) C 0 5
3 基 本 积 分 公 式 : 由 基 本 求 导 公 式 及 不 定 积 分 的 定 义 直 接 推 出 基 本 积 分 表 () () d d C ln C ( ) ( 3) d C ( 0, ) ln 特 别 地 e d e C 6
7 C d sin cos (5) C d n sec (6) C d co csc (7) C d cos sin (4) C d sec n sec (8) C d csc co csc (9) C d rcsin (0) C d rcn ) ( C ch shd () C sh chd (3)
4 不 定 积 分 的 性 质 : ) f ( ) d f ( ) d [ f ( ) d] f ( ) d f ( ) d f ( ) C df ( ) f ( ) C ) 设 函 数 f 和 g 的 原 函 数 都 存 在, 是 两 个 常 数, 则 [ f ( ) g( )] d f ( ) d g( ) d 证 : 设 f ( ) d F( ) C g ( ) d G( ) C F f, G g. ( F G) f g [ f ( ) g( )] d F( ) G( ) C f ( ) d g( ) d 8
例 4 计 算 4 例 5 计 算 ( )( ) d d 例 6 计 算 sin cos d 例 7 计 算 e d 9
说 明 : 以 上 几 例 被 积 函 数 都 需 要 进 行 适 当 的 变 形, 才 能 使 用 基 本 积 分 表 思 考 题 符 号 函 数, 0 f ( ) sgn 0, 0, 0 在 (, ) 内 是 否 存 在 原 函 数? 为 什 么? 0
二 换 元 积 分 法 问 题 cos d sin C 解 决 方 法 利 用 复 合 函 数, 设 置 中 间 变 量 过 程 令 cos d d cos d d sin C sin C
在 一 般 情 况 下 : 设 F( u) f ( u) f ( u) du F( u) C 如 果 可 微 df[ ( )] F[ ( )] d[ ( )] u ( ) f [ ( )] ( ) d F[ ( )] C [ f ( u) du] u ( ) 由 此 得 到 第 一 类 换 元 法 的 定 理 f [ ( )] ( ) d
定 理 设 f ( u) du F( u) C, 是 可 微 函 数 则 f [ ( )] ( ) d f [ ( )] d[ ( )] F[( )] C 为 第 一 类 换 元 公 式 ( 凑 微 分 法 ). 实 质 g( ) d凑 成 某 一 已 知 函 数 的 微 分 形 式 f [ ( )] ( ) d or f [ ( )] d( ( )) 以 便 用 基 本 积 分 公 式 求 得 积 分 3
例 8 计 算 (3 ) 8 d 例 9 计 算 4 d 例 0 计 算 3 e d 例 计 算 d 4
5 d d ) ( C ln C d ln 同 理 : 可 作 为 一 般 的 常 用 积 分 公 式 可 作 为 一 般 的 常 用 积 分 公 式
例 计 算 ( ln ) d 例 3 计 算 d 解 : d d d rcn C 可 作 为 一 般 的 常 用 积 分 公 式 6
例 4 计 算 85 d 例 5 计 算 e d 解 : e d () e e d e () e e d 7
例 6 计 算 解 : 原 式 d 3 ( ) d 注 意 : 一 般 地, 形 如 B A d p q 不 定 积 分 的 方 法 例 7 计 算 d 3 8
例 8 计 算 d 解 : 原 式 d d rcsin C 例 9 计 算 3 rcn 例 0 计 算 d ( ) 可 作 为 一 般 的 常 用 积 分 公 式 d 9
注 意 : 利 用 第 一 类 换 元 法 ( 凑 微 分 ) 求 不 定 积 分 是 常 用 的 方 法, 但 需 要 一 定 的 技 巧, 如 : 同 加 减 一 项 ; 同 乘 除 一 个 非 零 代 数 式 ; 拆 项 等 且 需 要 选 择 适 当 的 变 量 代 换, 这 就 要 多 练 习, 熟 能 生 巧 0
三 第 二 类 换 元 法 问 题 d? 解 决 方 法 变 量 代 换 方 法 过 程 令 u u d udu d u udu 再 应 用 凑 微 分 及 积 分 公 式 即 可 求 出
定 理 设 函 数 g 连 续, 具 有 连 续 导 数, 存 在 且 可 导, 而 且 则 g[ ( u)] ( u) du G( u) C g ( ) d G[ ( )] C 证 明 : g[ ( u)] ( u) du G( u) C G( u) g[ ( u)] ( u) 对 u d d G[ ( )] G ( u) du d d du g [( u)] du d g[ ( u)] g() ( ) g [ ( u)] ( u) 即 证 du d
实 质 一 开 始 便 对 g( ) d 作 变 量 代 换, 使 其 简 化 由 此 得 到, 第 二 类 换 元 积 分 法 公 式 : (u) 变 量 代 换 g ( ) d g [ ( u)] ( u) du 用 积 分 公 式 G( u) C u ( ) G[ ( )] C 变 量 代 回 3
例 计 算 解 : 令 6 3 ( ) d 注 意 : 当 被 积 函 数 含 有 两 个 或 两 个 以 上 的 k l n,, 时, 可 设 (n 为 最 小 公 倍 数 ). 例 计 算 4 d 解 : 当 分 母 变 量 的 幂 较 高 时, 可 设 倒 代 换, 4
例 3 计 算 e d 换 元 法 解 决 被 积 函 数 中 含 有 三 角 函 数 的 或 在 计 算 中 需 三 角 代 换 的 例 子 例 4 计 算 sin cos 3 d 5
m n 说 明 : 当 被 积 函 数 含 有 sin cos 时, ) 当 m n 中 至 少 有 一 个 为 奇 数 时, sin m cos n d sin sin cos m k m ( sin d ) 关 于 sin 的 多 项 式 ) 当 m n 都 是 偶 数 时, 可 降 低 次 数, k d(sin ) )) 均 是 使 被 积 函 数 与 积 分 变 量 成 为 同 名 函 数 的 方 法 6
例 5 计 算 n d sin 例 6 计 算 解 : 原 式 n d sin cos d lncos d(cos ) cos C 可 作 为 常 用 积 分 公 式 同 理 co d lnsin C 可 作 为 常 用 积 分 公 式 7
例 7 计 算 sec d cos d(sin ) 解 :) 原 式 d cos sin sin ln C sin sec (sec n ) ) 原 式 d sec n d(sec n ) sec n lnsec n C 可 作 为 常 用 积 分 公 式 同 理 csc d lncsc co C 8
说 明 : 以 下 几 例 均 使 用 三 角 代 换 消 去 根 式 当 被 积 函 数 中 含 有 ( 一 般 规 律 如 下 ) ) 令 sin, ) 令 n, 3) 令 sec,,, cos 3 (0, ) (, ), n sec 9
例 8 计 算 解 : 令 n 原 式 sec d d sec ( 0) sec d d secd ln sec n C ln C ln C 可 作 为 常 用 积 分 公 式 30
例 9 计 算 令 解 : 原 式 d sec n d n sec n d ln sec n C ln sec d ( 0) secd C ln C 可 作 为 常 用 积 分 公 式 3
例 30 计 算 9 65 d 例 3 计 算 解 : 原 式 () sin dcosd d ( 0) 4 说 明 : 积 分 中 为 了 去 掉 根 式 不 一 定 都 采 用 三 角 代 换, 需 根 据 被 积 函 数 的 情 况 来 定 4 d () 3 d 3
4 d (3) d d p 思 考 题 ( ln ) (ln ) d 计 算 33
四 分 部 积 分 法 问 题 解 决 思 路 则 即 e d? 利 用 函 数 乘 积 的 求 导 法 则 设 u () 和 v () 都 是 连 续 的 导 函 数, uvd uv vu udv uv 证 : uv uv uv uv uv uv 意 义 vd uv vu vdu d u d 即 证 为 分 部 积 分 公 式 34
步 骤 f ( ) d 化 为 udv ) 将 积 分 ) 利 用 分 部 积 分 公 式 求 udv 例 3 计 算 e d 说 明 : 分 部 积 分 法 的 关 键 在 于 能 否 正 确 地 选 择 u 与 dv. 例 33 计 算 ln d 35
例 34 计 算 e sin d 例 35 计 算 rcsin d e 例 36 计 算 ( ) d 36
说 明 : 选 择 u 与 v 的 一 般 规 律 如 下 : sin d, ) n e d, n n cos d 等 形 式 一 般 设 u n ) ln d, n rcsin d, 而 3) e sin d, dv n d 两 者 都 可 选 作 u. n, 而 dv e d sin d cos d. 一 般 设. e cos d n rcn u ln rcsin rcn 等 d 等 37
例 37 计 算 e sin d 例 38 已 知 f () 的 一 个 原 函 数 为 e, 求 f ( ) d. 例 39 计 算 f ( ) d 例 40 计 算 d 38
五 有 理 函 数 的 积 分 P( ) 定 义 : 凡 形 如 (P () Q () 为 二 个 多 项 式 ) Q ( ) 的 函 数 称 为 有 理 函 数 说 明 : 有 理 函 数 的 原 函 数 是 由 有 理 函 数 对 数 函 数 和 正 切 函 数 组 成 的 初 等 函 数 设 P () 为 m 次 多 项 式, 记 为 P ( ) m, 设 Q () 为 n 次 多 项 式, 记 为 Q ( ) n, P( ) 即 为 Q ( ) P Q m n ( ) ( ) 39
假 定 分 子 与 分 母 没 有 公 因 式, )m < n, 此 有 理 函 数 为 真 分 式, ) m n, 此 有 理 函 数 为 假 分 式 任 何 一 个 假 分 式 都 可 化 成 一 个 多 项 式 和 一 个 真 分 式 之 和 因 此, 有 理 函 数 不 定 积 分 的 关 键 是 真 分 式 分 式 之 的 积 分 下 面 讨 论 真 分 式 的 不 定 积 分 : 40
P( ) 假 设 为 真 分 式, 分 解 为 : Q ( ) ) 若 Q () 有 一 个 k 重 实 根, 则 可 分 解 为 : A A A k ( ) k ( ) A, A,, A k为 待 定 系 数 ; ) 若 Q () 有 一 对 k 重 共 轭 复 根,. 即 Q () 必 有 因 子 ( p q) k 其 中 p 4q0, 则 分 解 为 B C B C Bk Ck p q ( p q) ( p q) 其 中 Bi Ci ( i,,, k) 为 待 定 系 数, B C 当 k = 时, 分 解 为 p q k 4
例 4 计 算 ( ) ( ) d 例 4 计 算 4 6 d 说 明. 部 分 分 式 方 法 虽 然 普 遍 适 用 于 有 理 函 数 的 积 分, 但 计 算 量 大, 应 灵 活 运 用 ;. 有 理 函 数 化 为 部 分 分 式 后, 只 出 现 下 列 三 类 情 况 : A ) 多 项 式 b) k ( ) k B C c) k ( p q) k 4
讨 论 积 分 令 则 p ( p q) k q B C p 记 p q d ( p p p q 4 p q 4 B C B C d k ( p q) B d k ( ) b ( k ) 4q d B 0) b b C Bp 凑 微 分 求 得 以 下 讨 论 43
44 ) 当 k = 时, 由 基 本 积 分 公 式 可 解 ; ) 当 k > 时, k k d I ) ( d k ) ( d k ) ( d k ) ( I k ( ) ( ) k k I d k k I ) ( ) ( ) ( k k d k ) )( ( k k ) ( 3 k I k k I k 即 得 到 计 算 I k 的 递 推 公 式, 由 I 求 得 I I k.
六 某 些 无 理 函 数 的 积 分 讨 论 类 型 R(, n c b e ), R(, n b c), 解 决 方 法 变 量 代 换 去 掉 根 号 例 43 计 算 4 3 ( ) d 例 44 计 算 d 8 45
七 三 角 函 数 有 理 式 的 积 分 三 角 有 理 式 的 定 义 : 由 三 角 函 数 和 常 数 经 过 有 限 次 四 则 运 算 构 成 的 函 数 记 为 R(sin, cos ) 一 般 采 用 万 能 置 换 化 为 有 理 函 数 的 积 分 万 能 置 换 公 式 令 n sin rcn cos R (sin, cos ) d d R, d d 46
例 45 计 算 sin sin cos d 说 明 从 上 例 可 知, 万 能 代 换 虽 万 能, 但 计 算 复 杂 故 三 角 有 理 式 的 计 算 中 先 考 虑 其 它 方 法 例 46 计 算 cos d (, ) sin 例 47 计 算 cos sin d sin cos 47
说 明 ) 不 定 积 分 的 一 些 基 本 方 法 和 技 巧, 要 熟 能 生 巧, 它 是 积 分 学 的 重 要 基 础 ) 初 等 函 数 的 集 合 对 求 导 运 算 是 封 闭 的, 即 即 求 导 后 仍 为 初 等 函 数 ; 但 不 定 积 分 的 运 算 不 封 闭, 即 许 多 初 等 函 数 的 原 函 数 并 非 初 等 函 数 sin 例 如 : 等 ln 48
综 合 练 习 : 0 设 f ( ) 0, 求 计 算 d 44 f ( ) d. ln 3 计 算 3 ( ) d 49
4 计 算 d 5 计 算 sin bcos d c sin d cos sin 6 设 是 f () 的 一 个 原 函 数, 求 f ( ) d. 50