() 求 其 能 级 和 本 征 函 数 ; V, α < ϕ < () 加 ˆ H ' = V ( ϕ ) = V, < ϕ < α 微 扰,, 其 他 求 对 最 低 的 两 能 级 的 一 级 微 扰 修 正 注 : 在 坐 标 系 中 = ( r ) + + r r r r ϕ, < x <

中 国 科 学 院 研 究 生 院 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 第 一 题 : 选 择 和 简 答 ( 5' 8 = 4' ) 试 题 名 称 : 量 子 力 学. 氢 原 子 的 基 态 电 离 能 是 3.6ev, 问 处 于 第 一 激 发 态 的 氢 原 子 电 离 能 是 ( 3.4ev) 34. 普 朗 克 常 数 h 等 于 ( 6.66 J s ) 3. 已 知 ˆ A Bˆ 均 是 厄 密 算 符, 问 下 面 哪 个 ˆF 是 厄 密 算 符 ( ˆ i F ( ˆ BAˆ ˆ ABˆ ) = ) 4. 对 于 中 心 势 场, 下 列 正 确 的 是 ( R ( r) r dr = ) 5. 经 典 力 学 中 有 L = r p = p r, 那 么 在 量 子 力 学 中 是 否 也 有 L = r p = p r 成 立, 并 说 明 理 由. 6. 写 出 在 ( ˆ s, ˆ s ) 的 共 同 的 本 征 态 中, 写 出 s, s 的 矩 阵 表 示, 并 说 明 是 否 可 以 找 到 这 样 一 个 表 象, 使 得 sx, sy, s 在 该 表 象 中 的 矩 阵 表 示 均 为 实 矩 阵, 并 说 明 理 由. 7. 写 出 氢 原 子 一 维 简 谐 振 子 一 维 无 限 深 势 阱 的 能 级, 并 用 示 意 图 表 示. 8. 两 个 非 全 同 粒 子 处 于 态 ψ ( x, x), 求 出 一 个 粒 子 处 于 p ', p " 之 间, 另 一 个 粒 子 处 于 x ', x " 之 间 的 几 率. 二 (3') 在 三 维 体 系 中 粒 子 的 径 向 动 量 算 符 ˆ r ˆ ˆ r pr = p + p, 则 : r r () ˆr p 是 否 为 厄 密 算 符, 为 什 么? () 写 出 在 球 坐 标 系 中 ˆr p 的 表 示 ; (3) 求 [ ˆ ] r, p =? r 三 (3') 质 量 为 的 m 粒 子 在 半 径 为 R 的 圆 周 上 作 自 由 运 动 : x y - - putiasog3@63.

() 求 其 能 级 和 本 征 函 数 ; V, α < ϕ < () 加 ˆ H ' = V ( ϕ ) = V, < ϕ < α 微 扰,, 其 他 求 对 最 低 的 两 能 级 的 一 级 微 扰 修 正 注 : 在 坐 标 系 中 = ( r ) + + r r r r ϕ, < x < a 四 (3') 粒 子 在 一 维 势 场 V ( x) = 中 运 动, t = 时 刻 处 于 基 态, 此, a < x, x < 时 加 入 一 高 为 δ V, 宽 为 b( b a) 中 心 在 微 扰 后 体 系 处 于 前 三 个 激 发 态 的 概 率 a 的 方 势 垒 型 微 扰 求 t > 时 刻 撤 去 五 (') 在 ( ˆ L, ˆ L ) 共 同 本 征 态 Y 中, L x 的 可 能 值 及 相 应 的 概 率 中 国 科 学 院 研 究 生 院 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 (8 8) 一 () 设 ˆ A Bˆ 与 泡 利 算 符 对 易, 证 明 : ( σˆ ˆ A)( σˆ Bˆ ) = ˆ A Bˆ + iσˆ ( ˆ A Bˆ ) () 试 将 ( ) I σ iσ ˆ + ˆ + ˆ 表 示 成 ˆ I σˆ σˆ σˆ 的 线 性 叠 加, Î 为 单 位 算 符 x y x y θ θ 二 设 一 维 线 性 谐 振 子 的 初 态 为 ψ ( x,) = cos ϕ ( x) + si ϕ ( x), 即 基 态 与 第 一 激 发 态 的 叠 加, 其 中 θ 为 实 数 : () 求 t 时 刻 的 波 函 数 ψ ( x, t) ; () 求 t 时 刻 粒 子 处 于 基 态 及 第 一 激 发 态 的 概 率 ; (3) 求 t 时 刻 粒 子 的 势 能 算 符 Vˆ = mω ˆ x 的 平 均 值 ; (4) 求 演 化 成 ψ ( x, t) 所 需 要 的 最 短 时 间 t mi 三 设 基 态 氢 原 子 处 于 弱 电 场 中, 微 扰 哈 密 顿 量 是 : - - putiasog3@63.

, t ; ˆ ' H = t T λe, t >. 其 中 λ T 为 常 数 () 求 很 长 时 间 后 t T 电 子 跃 迁 到 激 发 态 的 概 率, 已 知 基 态 中 a 为 玻 尔 半 径, 基 态 和 激 发 态 波 函 数 为 : ψ r a r = R r Y, = e ; a ( ) ( ) ( θ ϕ ) 3 4π ψ θ ϕ 3 θ ( a) r a ( r ) = R ( r) Y (, ) = cos e. 3 4π 3a () 基 态 电 子 跃 迁 到 下 列 哪 个 激 发 态 的 概 率 等 于 零? 简 述 理 由 (a) ψ (b) ψ (c) ψ (d) ψ 四 两 种 质 量 为 m 的 粒 子 处 于 一 个 边 长 为 a > b > c的 不 可 穿 透 的 长 盒 子 中, 求 下 列 条 件 下 该 体 系 能 量 最 低 态 的 波 函 数 ( 只 写 出 空 间 部 分 ) 及 对 应 能 量 () 非 全 同 粒 子 ; () 零 自 旋 全 同 粒 子 ; (3) 自 旋 为 的 全 同 粒 子 五 粒 子 在 一 维 无 限 深 势 阱 中 运 动, 该 体 系 受 到 H ˆ ' = λδ ( x a) 的 微 扰 作 用 : () 利 用 微 扰 理 论, 求 第 能 级 精 确 至 二 级 的 近 似 表 达 式 ; () 指 出 所 得 结 果 的 适 用 条 件 中 国 科 学 院 研 究 生 院 9 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 一 已 知 在 的 ( ˆ L ˆ L ) 表 象 中, 试 题 名 称 : 量 子 力 学 (8 8) () 求 L ˆx 的 本 征 值 和 相 应 的 本 征 函 数 ; ˆ ħ = 求 : L x r - 3 - putiasog3@63.

() 求 L ˆy 的 矩 阵 表 示 二 已 知 一 粒 子 处 在 一 维 谐 振 子 势 场 中 运 动, 势 能 为 V ( x) = kx ( k > ), 求 : () 粒 子 的 基 态 本 征 函 数 ψ ( x) ; () 若 势 场 突 然 变 为 V ( x) = kx, 则 粒 子 仍 处 于 基 态 的 概 率 µω i 4 ( 提 示 : 用 湮 灭 算 符 ˆ a = x + ˆ p, =.44, =.89 ) ħ µω 三 若 已 知 ˆ a, ˆ ˆ, ˆ, ˆ, ˆ i a j = ai a j = ai a j = δij, 其 中 i, j =, = + = i = 求 : 设 ˆ J ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) ˆ ( ˆ ˆ ˆ ˆ x a a a a, J y a a a a, J a a aa ) () ˆ J, ˆ J, ˆ J 的 关 系 式 ; x y ˆ ˆ ˆ ˆ () J = J x + J y + J, 试 用 ˆ a ˆ a ˆ a ˆ a 表 示 四 已 知 中 微 子 的 两 种 本 征 态 为 v 和 v 4 mi c, 能 量 本 征 值 为 E = pc + ( 其 中 pc i =, ), 电 子 中 微 子 的 本 征 态 ve = cosθ v + siθ v 为, µ 子 中 微 子 的 本 征 态 为 vµ siθ v cosθ v = +, 其 中 θ 是 混 合 角 某 体 系 中 在 t = 时, 电 子 中 微 子 处 于 态 v e, 求 : () t 时 刻 中 微 子 所 处 的 状 态 ; () t 时 刻 电 子 中 微 子 处 于 基 态 的 概 率 五 设 在 氘 核 中, 质 子 和 中 子 的 作 用 表 示 成 V ( r) Ve a a =, 试 用 ψ = e ( λ 为 变 数 ) 为 试 探 波 函 数, 用 变 分 法 求 : () 基 态 能 量 的 近 似 值 ; () 若 V = 3.7Mev, a =.6 fm, 试 确 定 λ 的 值 中 国 科 学 院 研 究 生 院 8 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 A 卷 r λr - 4 - putiasog3@63.

一 写 出 氢 原 子 的 束 缚 态 能 级, 所 有 的 量 子 数 以 及 取 值 范 围, 求 出 其 简 并 度, < ϕ < ϕ 二 一 个 粒 子 质 量 为 µ, 在 一 势 能 环 中 运 动, 势 能 为 V =, 求 粒, other 子 运 动 的 本 征 值 和 本 征 函 数 λ 三 在 Hˆ = λ 3 λ 确 到 二 级 近 似 ), 并 与 精 确 求 解 相 比 较 四 两 个 自 旋 为 ħ 于 单 态 和 三 态 的 概 率 中 的 粒 子 的 本 征 值, 设 λ, 利 用 微 扰 求 其 本 征 值 ( 精 iωt cosθe 的 粒 子, 两 个 粒 子 分 别 为 X =, X iωt =, 求 系 统 处 siθe ' 五 处 在 一 维 谐 振 子 势 基 态 的 粒 子 受 到 H ˆ = λxδ ( t ) 微 扰 的 作 用, 求 跃 迁 到 其 它 各 激 发 态 的 总 概 率 和 仍 处 在 基 态 的 概 率 ( 已 知 ˆ ˆ + xh ˆ = H + H + ) α 中 国 科 学 院 研 究 生 院 7 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 A 卷 一 在 一 维 无 限 深 方 势 阱 ( < x < a) 中 运 动 的 粒 子 受 到 微 扰 ˆ ' H ( x) a a, < x <, < x < a 3 3 = 作 用 试 求 基 态 能 量 的 一 级 修 正 a a V, < x < 3 3 二 粒 子 在 势 场 V ( x ) 中 运 动 并 处 于 束 缚 定 态 ψ ( x ) 中, 试 证 明 粒 子 所 受 势 场 作 用 力 平 均 值 为 零 三 (a) 考 虑 自 旋 为 的 系 统, 试 在 ( ˆ S, ˆ S ) 表 象 中 求 算 符 Asˆ + Bsˆ 的 本 征 值 及 归 一 化 的 本 征 态 其 中 ˆ s, ˆ s 是 角 动 量 算 符, 而 A, B 为 实 常 数 y y - 5 - putiasog3@63.

ħ (b) 假 定 此 系 统 处 于 以 上 算 符 的 一 个 本 征 态 上, 求 测 量 ˆy s 得 到 结 果 为 的 概 率 四 两 个 无 相 互 作 用 的 粒 子 处 于 置 于 一 维 无 限 深 方 势 阱 ( < x < a) 中, 对 于 以 下 两 种 情 况 写 出 两 个 粒 子 体 系 可 具 有 的 两 个 最 低 总 能 量, 相 应 的 简 并 度 以 及 上 述 能 级 对 应 的 所 有 二 粒 子 波 函 数 : (a) 两 个 自 旋 为 的 可 区 分 粒 子 ; (b) 两 个 自 旋 为 的 全 同 粒 子 五 一 个 质 量 m 为 的 粒 子 被 限 制 在 r = a 和 r = b 的 两 个 不 可 穿 透 的 同 心 球 面 之 间 运 动, 不 存 在 其 他 势, 求 粒 子 的 基 态 能 量 和 归 一 化 波 函 数 中 国 科 学 院 研 究 生 院 7 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 B 卷 V, x > ( V > ) 一 考 虑 一 维 阶 梯 势 V ( x) =, x < 设 粒 子 从 右 边 向 左 边 入 射, 试 求 反 射 系 数 和 入 射 系 数 二 电 子 处 于 沿 + 方 向 大 小 为 B 的 均 匀 磁 场 中 设 t = 时 刻 电 子 自 旋 沿 + y 方 向 () 试 求 t = 时 电 子 自 旋 波 函 数 ; () 试 分 别 求 出 t > 时 电 子 自 旋 沿 + x, + y, + 方 向 的 概 率 V δ ( x), x < a 三 粒 子 在 V ( x) = 势 场 中 运 动 ( V ), x > > 试 求 系 统 能 级 或 能 级 方 a 程 ˆ 四 设 系 统 哈 密 顿 算 符 为 ˆ p H = + V ( r ), 粒 子 处 于 归 一 化 的 束 缚 定 态 ψ 中, m - 6 - putiasog3@63.

试 证 明 位 力 定 理 : ˆ p = r V ( r ) ψ ψ ψ ψ m 五 一 维 谐 振 子 系 统 哈 密 顿 量 为 ˆ ˆ p 4 H = + mω x, 设 受 到 微 扰 Hˆ ' = λ ˆ px 的 作 m 用, 试 求 对 第 个 谐 振 子 能 级 的 一 级 微 扰 修 正 ħ ( 已 知 矩 阵 元 ' ˆ x = ( + δ', + + δ ', )) mω 中 国 科 学 院 研 究 生 院 6 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 甲 )A 卷 一 两 个 线 性 算 符 Â 和 ˆB 满 足 下 列 关 系 : ˆ A =, ˆ AA ˆ + ˆ A ˆ A =, ˆB = ˆ A ˆ A () 求 证 : B ˆ = Bˆ ; () 求 在 ˆB 表 象 中 Â 和 ˆB 的 表 达 式 二 粒 子 在 势 场 V ( x) = A x ( < x < +, A > ) 中 运 动, 试 用 不 确 定 关 系 估 算 基 态 能 量 三 设 体 系 的 哈 密 顿 量 Ĥ 依 赖 于 某 一 参 量 λ, 又 设 体 系 处 于 某 束 缚 定 态, 其 能 量 和 本 征 函 数 分 别 记 为 E 和 ψ ( r ) : E ˆ * H () 证 明 费 曼 - 海 尔 曼 定 理 : = ψ ( r ) ψ ( r ) dr λ ; λ () 利 用 费 曼 - 海 尔 曼 定 理, 求 氢 原 子 各 束 缚 态 的 平 均 动 能 ( 提 示 : 氢 原 子 能 级 公 式 为 E 4 µ e = ħ ), < x < a, < y < a 四 粒 子 在 二 维 无 限 深 方 势 阱 中 运 动, V = 加 上 微 扰, other H ˆ ' = λxy 后, 求 基 态 和 第 一 激 发 态 能 级 的 一 级 微 扰 修 正 - 7 - putiasog3@63.

五 设 粒 子 所 处 的 外 场 均 匀 但 与 时 间 有 关, 即 V = V ( t), 与 坐 标 r 无 关 试 将 体 系 的 含 时 薛 定 谔 方 程 分 离 变 量, 求 方 程 解 ψ ( r, t) V ( t) = V cos( ωt), 以 一 维 情 况 为 例 说 明 V ( t ) 的 影 响 是 什 么 中 国 科 学 院 研 究 生 院 的 一 般 形 式, 并 取 6 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 甲 )B 卷 一 已 知 谐 振 子 处 于 第 个 定 态 中, 试 导 出 算 符 ˆ x, ˆ p, ˆ x, ˆ p 的 平 均 值 及 不 确 定 度 x, p, 并 求 出 x p 的 值 二 设 U ˆ 为 幺 正 算 符, 若 存 在 两 个 厄 密 算 符 Â 和 ˆB 使 Uˆ = ˆ A + ibˆ, 试 证 : () ˆ A + B ˆ =, 且 ˆ A, ˆ B = ; ˆ () 进 一 步 再 证 明 U ˆ 可 表 示 成 ˆ ih U = e, Ĥ 为 厄 密 算 符 三 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 被 限 制 在 x a 的 一 维 无 限 深 势 阱 中, 初 始 时 刻 8 π x π x 其 归 一 化 波 函 数 为 ψ ( x,) = ( + cos )si, 求 : 5a a a () t > 时 粒 子 的 状 态 波 函 数 ; () 在 t = 与 t > 时 在 势 阱 的 左 半 部 发 现 粒 子 的 概 率 是 多 少 四 粒 子 在 一 维 无 限 深 方 势 阱 中 运 动, 受 到 微 扰 ˆ V H ' = ( a x a ) 的 作 用, 求 a 第 个 能 级 的 一 级 近 似, 并 分 析 所 得 结 果 的 适 用 条 件 五 一 个 质 量 m 为 的 粒 子 被 限 制 在 r = a 和 r = b 的 两 个 不 可 穿 透 的 同 心 球 面 之 间 运 动, 不 存 在 其 他 势, 求 粒 子 的 基 态 能 量 和 归 一 化 波 函 数 中 国 科 学 院 研 究 生 院 6 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 乙 )A 卷 - 8 - putiasog3@63.

V >, x a 一 粒 子 以 能 量 E 入 射 一 维 方 势 垒 V ( x) = 设 能 量 E > V, 求, < x, x > a 透 射 系 数 T, x a 二 自 旋 为 的 粒 子 置 于 势 场 V ( x ) 中, V ( x) = 设 粒 子 所 处 状 态, x <, x > a 5 ( x, s ) ( x) ( x) 8 i 9 i, 其 中 ϕ ( x ) 为 系 统 空 间 部 分 的 第 个 能 量 为 ψ = ϕ3 + ϕ5 本 征 函 数 ( 已 归 一 化 ) 求 能 量 的 可 测 值 及 相 应 的 取 值 概 率 三 用 不 确 定 度 关 系 估 算 一 维 谐 振 子 的 基 态 能 量 () 四 各 向 同 性 的 三 维 谐 振 子 哈 密 顿 算 符 为 ˆ ħ H = + mω r, 加 上 微 扰 m ˆ ( ) λ ( ) H = xy + y + x 后, 求 第 一 激 发 态 的 一 级 能 量 修 正 五 自 旋 为, 磁 矩 为 µ, 电 荷 为 零 的 粒 子 置 于 磁 场 中 t = 时 磁 场 为 B = (,, B ), 粒 子 处 于 σ ˆ 的 本 征 值 为 的 本 征 态 磁 场 B = ( B,,) 设 在 t > 时, 再 加 上 弱, 求 t > 时 的 波 函 数 以 及 测 到 自 旋 反 转 的 概 率 中 国 科 学 院 研 究 生 院 6 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 统 一 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 乙 )B V >, x a 一 粒 子 以 能 量 E 入 射 一 维 方 势 垒 V ( x) = 设 能 量 E < V, 求, < x, x > a 透 射 系 数 T a a 二 粒 子 在 一 维 对 称 无 限 深 方 势 阱 ( x ) 中 运 动 设 t = 时 粒 子 所 处 状 态 为 ψ ( x, t = ) = ( ϕ ( x) + ϕ ( x) ), 其 中 ϕ ( x ) 为 系 统 第 个 能 量 本 征 态 求 t > 时 的 以 下 量 : - 9 - putiasog3@63.

() 概 率 密 度 ψ ( x, t) ; () 能 量 的 可 能 取 值 及 相 应 的 概 率 R( r) Y ( θ, φ) 三 设 氢 原 子 所 处 状 态 为 ψ ( r, θ, φ, s ) =, 3 R( r) Y ( θ, φ) () 求 轨 道 角 动 量 分 量 L ˆ 和 自 旋 角 动 量 分 量 s 的 平 均 值 ; ˆ e ˆ e ˆ () 求 总 磁 矩 M = L S 的 分 量 的 平 均 值 µ µ 四 对 于 一 维 谐 振 子 的 基 态, 求 坐 标 和 动 量 的 不 确 定 度 的 乘 积 x p 五 两 个 自 旋 为 非 全 同 粒 子, 自 旋 间 相 互 作 用 为 ˆ ˆ Ĥ = JS S, 其 中 ˆ S 和 ˆ S 分 别 为 粒 子 和 粒 子 的 自 旋 算 符 设 t = 时 粒 子 的 自 旋 沿 轴 正 方 向, 粒 子 自 旋 沿 轴 负 方 向 求 t > 时, 测 到 粒 子 的 自 旋 仍 处 于 轴 负 向 的 概 率 5 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 V 一 8 个 电 子 经 伏 电 势 差 加 速 后 从 x = 处 射 向 势 阶 ( ), x < V x = 其, x > 中 V = 75eV 试 问 在 x = 处 能 观 察 到 多 少 个 电 子?, x < 如 果 势 阶 翻 转 一 下, 即 电 子 射 向 势 阶 V ( x) = 则 结 果 如 何? V, x > 二 质 量 为 m 电 荷 为 q 的 粒 子 在 三 维 各 向 同 性 谐 振 子 势 V ( r ) = mω r 中 运 动, 同 时 受 到 一 个 沿 x 方 向 的 均 匀 常 电 场 E = Ei 作 用 求 粒 子 的 能 量 本 征 值 和 第 一 激 发 态 的 简 并 度 此 时 轨 道 角 动 量 是 否 守 恒? 如 回 答 是, 则 请 写 出 此 守 恒 力 学 量 的 表 达 式 - - putiasog3@63.

, x <, x > a 三 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 下 面 的 无 限 深 方 势 阱 中 运 动 V ( x) =,, < x < a π x 3 π x 开 始 时 ( t = ), 系 统 处 于 状 态 ψ ( x) = Asi cos, 其 中 A 为 常 数 请 求 出 t 时 a a 刻 系 统 : (a) 处 于 基 态 的 几 率 ; (b) 能 量 平 均 值 ; (c) 动 量 平 均 值 ; (d) 动 量 均 方 差 根 ( 不 确 定 度 ) 四 两 个 具 有 相 同 质 量 m 和 频 率 ω 的 谐 振 子, 哈 密 顿 量 为 Hˆ = ( p + p ) + mω (( x a) + ( x + a) ) ( ± a 为 两 个 谐 振 子 的 平 衡 位 置 ), 受 m 到 微 扰 作 用 H ˆ = λmω ( x + x ), λ 试 求 该 体 系 的 能 级 a 五 已 知 氢 原 子 基 态 波 函 数 为 ψ = e, 试 对 坐 标 x 及 动 量 p x, 3 ( π a ) 求 x = x x p = p p 由 此 验 证 不 确 定 关 系, x x x 六 考 虑 自 旋 ŝ 与 角 动 量 ˆL 的 耦 合, 体 系 的 哈 密 顿 量 为 H ˆ ħ ( ) ˆ ˆ V = + r + λ µ L S, λ 是 耦 合 常 数, 试 证 该 体 系 的 总 角 动 量 ˆ J = ˆ L + ˆ S 守 恒 ( 公 式 提 示 : 在 球 坐 标 系 内 = r r r ( r ) ˆ L r, f ( r) = f ( r), t t e dt! ħ r r = ) 4 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学, x > a 一 粒 子 在 一 维 无 限 深 方 势 阱 V ( x ) 中 运 动 V ( x) =, 处 于 状 态, x < a ψ = ϕ + ϕ + ϕ 这 里 ϕ, =,,3 是 系 统 归 一 化 的 能 量 本 征 态 请 问 : 3 4 () 粒 子 具 有 基 态 能 量 E 几 率 ; () 粒 子 的 平 均 能 量 ( 用 基 态 能 量 E 的 倍 数 表 示 ); r - - putiasog3@63.

(3) 态 ϕ 4 中 的 节 点 数 ( 在 节 点 处 找 到 粒 子 的 几 率 密 度 为 零 ); (4) 态 ϕ 3 的 宇 称 ˆ 二 考 虑 一 维 体 系 ˆ p H = + V ( x), V ( x) = V x λ, V >, λ =, 4,6 设 Ĥ 的 本 征 µ 波 函 数 为 ψ : () 证 明 动 量 在 态 ψ 中 的 平 均 值 为 零 ; () 求 在 态 ψ 中 的 动 能 平 均 值 和 势 能 平 均 值 之 间 的 关 系 三 设 归 一 化 的 状 态 波 函 数 ψ 满 足 薛 定 谔 方 程 iħ ψ = Hˆ ψ t, 定 义 密 度 算 符 ( 矩 阵 ) 为 ρ = ψ ψ () 证 明 : 任 意 力 学 量 ˆF 在 态 ψ 中 的 平 均 值 可 表 示 为 tr( ρ F) ; () 求 出 ρ 的 本 征 值 (3) 导 出 ρ 随 时 间 演 化 的 方 程 四 质 量 为 µ 的 粒 子 在 三 维 各 向 同 性 谐 振 子 势 V ( r) = kr = k( x + y + ) 中 运 动, 求 : () 第 二 激 发 态 的 能 量 ; () 第 一 激 发 态 的 简 并 度 ; (3) 在 基 态 中 的 不 确 定 量 为 r p, 这 里 r 是 位 置 矢 量 的 均 方 差 根 p 则 是 三 维 动 量 的 均 方 差 根, 定 义 类 似 五 两 个 自 旋 都 是 的 粒 子 和 组 成 的 系 统, 处 于 由 波 函 数 ψ = a + b 描 写 的 状 态, 其 中 表 示 自 旋 朝 下 ( 沿 方 向 ), 表 示 自 旋 朝 上, 当 数 a 与 b 都 不 为 时, 此 态 不 能 表 示 成 两 个 单 个 粒 子 状 态 的 直 接 乘 积 形 式 时 称 为 纠 缠 态 试 求 在 上 面 的 纠 缠 态 中 : () 两 个 粒 子 的 自 旋 互 相 平 行 的 几 率 ; - - putiasog3@63.

() 两 个 粒 子 的 自 旋 互 相 反 平 行 的 几 率 ; (3) 此 系 统 处 于 总 自 旋 为 的 几 率 ; (4) 测 量 得 到 粒 子 自 旋 朝 上 的 几 率 多 大? 发 现 粒 子 自 旋 朝 上 时, 粒 子 处 于 什 么 状 态? ˆ 六 考 虑 到 自 旋 轨 道 耦 合 的 氢 原 子, 其 哈 密 顿 量 为 H ˆ ħ ˆ = + ( ) ( ) V r + ξ µ r L S, ˆ () 证 明 轨 道 角 动 量 ˆ L 和 自 旋 ˆ ˆ ˆ S 不 是 此 系 统 的 守 恒 量, 而 总 角 动 量 J = L + S 是 守 恒 量 ; ˆ ˆ () 若 自 旋 - 轨 道 相 互 作 用 ξ ( r) L S 可 当 做 微 扰, 计 算 此 系 统 基 态 能 量 的 一 级 修 正 ( ˆ ħ () H = + V ( r) 的 本 征 能 量 为 E, 本 征 函 数 : ψ lms = Rl ( r) Ylm ( θ, ϕ) χs, χ s 为 µ 自 旋 波 函 数 ) 3 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 一 () 如 果 厄 密 算 符 Â 对 任 何 矢 量 u, 有 u ˆ A u, 则 称 Â 为 正 定 算 符, 求 证 : 算 符 Â = a a 是 厄 密 正 定 算 符 () 如 果 Â 是 任 一 线 性 算 符, 求 证 ˆ A ˆ A 是 正 定 的 厄 密 算 符, 它 的 迹 等 于 Â 在 任 意 表 象 中 的 矩 阵 元 的 模 平 方 之 和 试 推 导, 当 且 仅 当 ˆ A = 时, Tr( ˆ A ˆ A ) = 才 成 立 ˆ ˆ ˆ (3) 求 证 : 如 果 ˆ A, ˆ B, ˆ A = ˆ A, ˆ B, ˆ B A ˆ B ˆ A+ ˆ B =, 则 e e e e A+ B = (4) 求 证 : 任 一 可 观 测 量 的 平 均 值 对 时 间 的 导 数 由 下 式 给 出 : - 3 - putiasog3@63.

d ˆ A ˆ ˆ, ˆ A iħ = A H + i dt ħ t 二 把 传 导 电 子 限 制 在 金 属 内 部 的 是 金 属 内 势 的 一 种 平 均 势, 对 于 下 列 一 维 模 型 ( 如 图 ): V, x < V ( x) = 试 就 () E >,() V < E < 两 种, x > 情 况 计 算 接 近 金 属 表 面 的 传 导 电 子 的 反 射 和 透 射 几 率 三 对 于 一 维 谐 振 子, 求 消 灭 算 符 â 的 本 征 态, 将 其 表 示 成 各 能 量 本 征 态 的 线 性 叠 加 四 给 定 (, ) θ ϕ 方 向 单 位 矢 量 = (,, ) = ( siθ cos ϕ,siθ si ϕ, cosθ ) x y 的 本 征 值 和 本 征 函 数 ( 取 σ 表 象 ), 求 σˆ = σ 五 有 一 个 定 域 电 子 ( 不 计 及 其 轨 道 运 动 ) 受 到 均 匀 磁 场 作 用, 磁 场 B 指 向 正 x 方 向, 磁 作 用 势 为 : ˆ eb e B H = ˆ sx = ħ µ c µ c σ 设 t = 时 电 子 的 自 旋 向 上, 即 s x = ħ, 求 t > 时 S 的 平 均 值 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) 一 对 于 氢 原 子 结 构, 采 用 电 子 绕 核 做 圆 周 运 动 的 半 经 典 模 型 : () 从 德 布 罗 意 ( 驻 ) 波 的 观 点 导 出 玻 尔 关 于 定 态 轨 道 的 量 子 化 条 件 ; () 从 牛 顿 定 律 和 () 的 量 子 化 条 件 导 出 氢 原 子 量 子 化 轨 道 半 径 和 能 量, x < 二 一 个 质 量 µ 为 的 粒 子, 处 于 势 阱 V ( x) =, x a中, t = 时, 其 归 一, x > a π x π x 化 波 函 数 为 ψ ( x, t = ) = ( 4cos )si, 求 : 5a a a x - 4 - putiasog3@63.

() 在 后 来 某 一 时 刻 t = t时 的 波 函 数 ; () 在 t = 和 t = t时 体 系 的 平 均 能 量 三 设 ˆF 为 厄 密 算 符, 证 明 在 能 量 表 象 中 下 式 成 立 : ( E ) ˆ, ˆ, ˆ Ek Fk = k F H F k 四 钠 原 子 ( 原 子 序 数 为 ) 处 于 沿 方 向 的 强 磁 场 B 中 : () 计 入 自 旋 ( 但 不 计 入 自 旋 - 轨 道 耦 合 ) 写 出 其 价 电 子 的 哈 密 顿 量 ( 只 计 入 B 的 一 次 项 ), 并 写 出 相 应 定 态 能 量 和 波 函 数 的 通 式 ( 主 要 标 志 出 对 量 子 数 和 空 间 坐 标 的 依 赖 性 ) () 说 明 此 情 形 下 钠 原 子 发 射 光 谱 中 的 黄 线 的 ( 正 常 ) 塞 曼 分 裂 现 象 五 设 质 量 为 m, 电 荷 为 q 的 粒 子 被 束 缚 在 谐 振 子 势 V ( x) = kx 内, 现 沿 x 方 向 加 上 一 个 恒 定 的 常 数 电 场 E 试 计 算 其 基 态 和 第 一 激 发 态 的 能 级 移 动, 准 确 到 E 级 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ) 一 一 个 质 量 为 µ 的 粒 子 在 下 面 的 势 阱 中 作 束 缚 态 运 动 : V ( x) = Aδ ( x), 其 中 A < 为 常 数, 求 值 a, 使 粒 子 处 于 a < x < a 范 围 内 的 几 率 为 5% 二 纠 缠 态 可 在 量 子 通 讯 中 有 重 大 应 用, 两 个 量 子 体 系 的 复 合 系 统 的 纠 缠 态 是 指 不 能 用 子 系 统 的 态 的 直 积 表 示 的 态 例 如, 两 个 自 旋 为 的 粒 子 的 各 自 本 征 态 为 m, a, 其 中 m =, 为 磁 量 子 数, a =, 标 记 不 同 的 粒 子, 则 复 合 系 统 的 非 耦 合 基 如 m,,, ( m, =, ), 就 是 些 纠 缠 态 ; 而 一 个 耦 合 基 如 = (,,,, ) 就 是 个 纠 缠 态, 试 作 出 此 复 合 体 系 一 套 互 相 - 5 - putiasog3@63.

正 交 归 一 的 纠 缠 态 ( 它 们 也 可 作 为 此 复 合 系 统 的 完 备 基 ) 三 设 算 符 Ĥ 具 有 连 续 本 征 值 ω, 其 本 征 函 数 u( x, ω ) 构 成 正 交 完 备 系 求 方 ( Hˆ ) V ( x) = F ( x) 的 解, 其 中 F( x ) 为 已 知 函 数, ω * 为 某 个 特 定 的 本 征 值 * 程 ω 四 一 个 质 量 为 µ 的 粒 子 作 一 维 无 限 运 动, 当 其 哈 密 顿 算 符 为 ˆ p H = + V ( x) 时, µ * ˆ 能 级 为 E 如 果 哈 密 顿 算 符 变 为 ˆ ˆ p * H = H + λ, 求 此 时 的 能 级 E µ 五 设 力 学 量 ˆF 和 角 动 量 ˆ Ji ( i =,,3) 对 易, 即 ˆF 为 标 量 算 符 试 证 在 ( ˆ J, ˆ J ) 的 共 同 本 征 态 中 ˆF 的 平 均 值 和 量 子 数 m 无 关 六 一 个 两 能 级 系 统, 哈 密 顿 量 为 Ĥ, 能 级 大 小 间 隔 为 A, 现 在 此 系 统 受 到 一 个 微 扰 H ˆ ' 在 Ĥ 表 象 中, H ˆ ' 的 表 示 为 H ˆ ' = λ( σ + σ ), 其 中 σ, σ 是 泡 利 矩 阵, λ 为 实 数 请 算 出 系 统 受 微 扰 后 的 能 级 间 隔 ( 精 确 到 二 级 微 扰 修 正 ) 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ), x <, x > a 一 设 质 量 为 m 的 粒 子 在 一 维 无 限 深 势 阱 V ( x) = 中 运 动, 适 用, < x < a 德 布 罗 意 的 驻 波 条 件, 求 粒 子 能 量 的 可 能 取 值 ˆ 二 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 束 沿 正 x 方 向 以 能 量 E 向 x = 处 的 势 垒, x V ( x) = 3 运 动 试 用 量 子 力 学 观 点 回 答 : 在 x = 处 被 反 射 的 反 射 系 数 E, x > 4 是 R 多 少? 三 () 在 坐 标 表 象 中 写 出 一 维 量 子 体 系 的 坐 标 算 符 ˆq 和 动 量 算 符 ˆp, 并 导 出 其 间 的 对 易 关 系 ; - 6 - putiasog3@63.

() 在 动 量 表 象 中 做 () 所 要 求 做 的 问 题 四 一 个 微 观 粒 子 在 球 对 称 的 中 心 势 场 V ( r ) 中 运 动, 且 处 于 一 个 能 量 和 轨 道 角 动 量 的 共 同 本 征 态 () 在 球 坐 标 系 中 写 出 能 量 本 征 函 数 的 基 本 形 式, 写 出 势 能 V ( r) 在 此 态 中 的 平 均 值 V 的 表 达 式, 并 最 后 表 示 成 径 向 积 分 的 形 式 ; () 设 V ( r) 为 dv ( r ) r 的 单 调 上 升 函 数 ( 即 对 任 意 r, > ), 试 证 明 : 对 任 意 给 dr r 定 的 r, 均 有 V ( r) V R( r) r dr <, 其 中 R( r ) 为 的 径 向 波 函 数 五 设 一 个 质 量 为 m 的 微 观 粒 子 的 哈 密 顿 量 不 显 含 时 间, 试 证 明 : 在 能 量 表 象 中 有 ( E Em) xm = m ħ 其 中 E 为 能 量, x 为 坐 标 六 设 一 个 微 观 体 系 的 哈 密 顿 H ˆ = H ˆ ˆ + H ', 其 中 H ˆ ' 为 微 扰, 在 由 一 组 正 交 归 c 一 函 数 作 为 基 的 表 象 中 : Hˆ ˆ = 3, H ' = c 其 中 c 为 常 数 c () 求 Ĥ 的 精 确 本 征 值 ; () 求 Ĥ 的 准 确 到 微 扰 的 二 级 修 正 的 本 征 值 ; (3) 比 较 () 和 () 的 结 果, 指 出 其 间 的 关 系 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ), x <, x > a 一 一 个 质 量 为 µ 的 粒 子 在 势 阱 V ( x) = 中 运 动, 其 中 A > Aδ ( x a), < x < a 为 常 数, 求 系 统 第 三 激 发 态 的 能 量 本 征 值, x <, x > a 二 粒 子 被 一 维 势 垒 V ( x) = 散 射, 当 粒 子 能 量 E = V 时, 有 一 半 V, < x < a - 7 - putiasog3@63.

粒 子 被 反 射 回 去, 求 粒 子 的 质 量 所 满 足 的 方 程 三 在 粒 子 表 象 中, 谐 振 子 的 基 态 满 足 性 质 : ˆ a =, 其 中 â 为 吸 收 算 符, ˆ p ˆ a = µω ( x + i ) ħ µω, 试 用 此 性 质 求 出 基 态 在 动 量 表 象 中 的 波 函 数 表 示 式 p 四 基 态 ψ 是 角 动 量 ˆL 和 L ˆ 的 本 征 态 : ˆ L ψ = l( l + ) ħ ψ, ˆ L ψ = mħ ψ, 在 此 态 下 计 算 平 均 值 L ˆx 和 L ˆx 五 一 电 子 在 势 阱 V ( x) = kx 中 作 一 维 运 动, 同 时 受 到 沿 x 方 向 一 均 匀 电 场 的 微 扰 作 用, 电 场 强 度 为 E, 确 定 该 系 统 由 于 电 场 存 在 所 引 起 的 能 级 移 动 六 考 虑 一 个 二 维 谐 振 子, Hˆ = ( ˆ p ˆ x + py ) + ( x + y ), 已 知 其 最 低 三 个 能 量 本 ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) 征 态 为 ψ = e, ψ = xe, ψ = ye 设 有 一 微 扰 π π π V ( x) = εxy( x + y ),( ε ), 试 对 上 述 态 计 算 由 V 引 起 的 一 级 微 扰 修 正 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) 一 在 电 子 的 双 逢 干 涉 理 想 实 验 中, 什 么 结 果 完 全 不 能 用 粒 子 性 而 必 须 用 波 动 性 来 解 释? 为 什 么? 二 一 个 质 量 为 µ 的 粒 子, 在 下 述 一 维 无 穷 深 势 阱 中 运 动 设 t =, < x < a V ( x) =,, x <, x > a 8 π x π x 时 其 归 一 化 波 函 数 为 ψ ( x,) = ( + cos )si, 求 : 5a a a () t = 时 测 得 其 能 量 所 得 的 几 率 性 的 结 果 ; () t > 时 的 含 时 波 函 数 及 t 时 测 得 其 能 量 的 结 果 三 设 一 维 运 动 粒 子 的 坐 标 和 动 量 分 别 为 q 和 ˆp, c 为 常 数, 求 : - 8 - putiasog3@63.

icq () 力 学 量 算 符 ˆp 和 e 的 对 易 关 系 ; () 若 p 是 算 符 ˆp 的 本 征 值, 试 证 明 p + ħ c也 是 ˆp 本 征 值 四 对 于 单 个 电 子 的 运 动 : () 证 明 : 轨 道 角 动 量 算 符 ˆ L 和 动 量 平 方 算 符 ˆp 对 易 ; () 论 答 : 运 动 对 于 球 对 称 场 V ( r ) 中 束 缚 定 态 的 力 学 量 完 全 集 应 该 是 什 么 ( 不 计 自 旋 )? e r (3) 设 V ( r) =, 用 测 不 准 关 系 估 算 其 基 态 能 量 五 设 硼 原 子 ( 原 子 序 数 为 5) 受 到 H ˆ ' = f ( r) xy 的 微 扰 作 用, 在 简 并 微 扰 一 级 近 似 下 : () 论 答 : 其 价 电 子 p 能 级 分 裂 为 几 个 能 级? () 若 已 知 其 中 一 个 能 级 移 动 值 为 A >, 则 其 余 诸 能 级 移 动 值 各 为 多 少? (3) 求 出 各 分 裂 能 级 对 应 的 波 函 数 ( 用 原 来 的 诸 p 波 函 数 表 示 ) im ( 提 示 : 球 谐 函 数 Y ( θ, ϕ ) 对 ϕ 的 依 赖 体 现 在 它 所 含 的 因 子 e ϕ 上 ) lm 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ) 一 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 被 限 制 在 一 维 区 域 x a 运 动, t = 时 的 波 函 数 为 π x π x ψ ( x, t = ) = A( + cos )si, 其 中 A 为 常 数 a a () 后 来 某 一 时 刻 t 的 波 函 数 为 什 么? () 体 系 在 t = 和 t = t 时 的 平 均 能 量 是 多 少? a (3) 在 t 时 位 于 势 阱 右 半 部 ( 即 x a ) 发 现 粒 子 的 几 率 是 多 少? 二 氢 原 子 的 基 态 能 量 为 E e =, 其 中 a = ħ 为 玻 尔 半 径, m 为 折 合 质 量 a me - 9 - putiasog3@63.

() 写 出 电 子 偶 素 ( 氢 原 子 中 质 子 由 正 电 子 代 替 ) 的 基 态 能 量 和 玻 尔 半 径 ; () 由 于 电 子 有 自 旋, 电 子 偶 素 的 基 态 简 并 度 是 多 少? 写 出 具 有 确 定 总 自 旋 值 的 可 能 波 函 数 及 相 应 的 本 征 态 ; (3) 电 子 偶 素 的 基 态 会 发 生 衰 变, 湮 灭 为 光 子, 这 个 过 程 中 释 放 的 能 量 和 角 动 量 是 多 少? 试 证 明 终 态 至 少 有 两 个 光 子 三 设 粒 子 处 于 Y ( θ, ϕ ) 状 态, 计 算 角 动 量 的 x 分 量 和 y 分 量 的 平 均 平 方 差 L, L x y lm 四 记 σ, σ, σ 3 为 泡 利 矩 阵, 定 义 σ = σ ± ± iσ () 计 算 [ σ, σ ],[ σ, σ ],[ σ, σ ],( σ ),( σ ) + 3 + 3 + ; () 证 明 (ξ 为 常 数 ) 3 3 e ξσ e ξσ ± σ = σ e ξ ; ± ± (3) 化 简 下 面 二 式 : e ξσ 3 σ e ξσ 3, e ξσ 3 σ e ξσ 3 五 设 Ĥ 为 一 量 子 体 系 的 能 量 算 符, 其 本 征 态 为,,, 若 体 系 受 到 微 扰 作 用, 微 扰 算 符 为 Hˆ ' = iλ ˆ A, Hˆ ( λ 为 实 数 ), Â 为 某 一 厄 密 算 符, B ˆ, C ˆ 为 另 外 的 厄 密 算 符, 且 Cˆ = i ˆ A, Bˆ 如 在 微 扰 作 用 前 的 基 态 中, ˆ A, B ˆ, C ˆ 的 平 均 值 为 已 知 的 A, B, C 试 对 微 扰 后 的 基 态 ( 非 简 并 ) 计 算 厄 密 算 符 ˆB 的 平 均 值 B, 精 确 到 量 级 λ 六 以 a 和 a 表 示 费 米 子 体 系 的 某 个 单 粒 子 态 的 产 生 算 符 和 湮 灭 算 符, 满 足 基 本 关 系 式 { },,( ), a a = aa + a a = a = a = 以 N = a a 表 示 该 单 粒 子 态 上 的 粒 子 数 算 符, 求 N 的 本 征 值, 并 计 算 两 个 对 易 式 N, a,[ N, a] 论 型 ) 第 四 题 ) ( 同 995 年 ( 理 999 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) - - putiasog3@63.

, x < a 一 质 量 为 m 的 粒 子 在 一 维 势 阱 中 运 动 V ( x) =,, x > a () 求 粒 子 的 能 级 E 和 归 一 化 的 波 函 数 ψ ( x ) ; () 求 出 粒 子 在 态 ψ ( x ) 上 的 位 置 平 均 值 x ; C( a x ), x < a (3) 设 粒 子 所 处 的 态 由 波 函 数 ψ ( x) = 描 述, 其 中 C 为 常 数, x > a (a) 求 在 态 ψ ( x) 中 粒 子 取 能 量 为 E 几 率 分 布 ; (b) 求 在 态 ψ ( x) 中 粒 子 能 量 的 平 均 值 二 轨 道 角 动 量 算 符 ˆ L = ypˆ pˆ, ˆ L = pˆ xpˆ, ˆ L = xpˆ ypˆ, x y y x y () 求 出 ˆ L, ˆ L, ˆ L 与 x, y, 的 对 易 关 系 ; x y () 求 出 ˆ L, ˆ L, ˆ L 与 ˆ p, ˆ p, ˆ p 的 对 易 关 系 ; x y x y (3) 证 明 : ˆ L,, ˆ, ˆ ˆ ˆ i x y Li px py p + + = + + =,( i = x, y, ) () 三 设 在 Ĥ 表 象 中, 哈 密 顿 算 符 的 矩 阵 表 示 为 ˆ E c H = * (), c 为 常 数 c E () 用 微 扰 论 求 能 量 至 二 级 修 正 ; () 严 格 求 解, 与 微 扰 论 计 算 值 比 较 四 σ = ( σ, σ, σ ) 为 三 个 泡 利 矩 阵, = (,, ) = ( si θ,,cosθ ) 为 方 向 单 位 矢 量 x y x y () 在 σ 表 象 中, 求 σ 的 本 征 值 和 本 征 态 ; () 给 出 在 σ = 的 自 旋 本 征 态 中 σ 的 可 能 值 及 相 应 的 几 率 五 设 一 维 谐 振 子 在 t = 时 处 于 基 态, 此 时 加 入 一 个 与 时 间 有 关 的 微 扰 Hˆ ' τ = f e x, 其 中 f, τ 为 正 常 数 应 用 一 级 微 扰 论 计 算 当 t 时, 该 谐 振 子 t 处 于 激 发 态 的 几 率 ( 有 用 的 公 式 : 坐 标 算 符 在 谐 振 子 能 量 本 征 态 ψ ( x) 间 的 ħ 矩 阵 元 xm = ( + δ m, + + δ m, )) µω - - putiasog3@63.

999 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ) 一 设 x 和 ˆp 分 别 为 位 置 和 动 量 算 符, 满 足 关 系 [ x, ˆ p] () iapˆ iap e xe ˆ =? iapx () ˆ iapx e x, e ˆ =? ˆ 二 设 有 哈 密 顿 量 ˆ p H = + mx + mħ x, 求 : m () Ĥ 的 能 谱 ; () Ĥ 的 基 态 和 第 一 激 发 态 的 归 一 化 波 函 数 ; = iħ 求 : (3) 估 计 基 态 处 于 区 间, ħ 几 率 m, x < a V, x > a 三 质 量 为 m 的 粒 子 在 一 维 势 场 V ( x) = ( V > ) 中 运 动 : () 求 V 时 粒 子 的 能 谱 和 归 一 化 波 函 数 ; () 求 存 在 且 仅 存 在 三 个 束 缚 态 的 条 件 (998 年 ( 理 论 型 ) 第 一 题 ) 四 自 旋 为 ħ 的 带 电 粒 子 ( 电 荷 为 q, 质 量 为 m ) 受 到 均 匀 磁 场 B = Be 的 作 用 ( e 为 方 向 的 单 位 矢 量 ), 其 哈 密 顿 量 为 ˆ eb H = ħ ω + ˆ s mc ( ˆ s 为 自 旋 算 符 的 分 量 ), 如 果 t = 时 粒 子 的 自 旋 指 向 正 x 轴 方 向, 求 t 时 刻 粒 子 自 旋 的 平 均 值 (998 年 ( 理 论 型 ) 第 二 题 ) 五 一 维 谐 振 子 系 统 的 能 量 本 征 态 是 =,,, 满 足 Hˆ = ( + ) ħω, m = δ m, 设 有 一 扰 动 W ˆ, 满 足 ˆ λ, + m = m W =, 系 统 的 哈 密 顿 量 为, 其 他 情 形 Hˆ = Hˆ + Wˆ, 如 果 t = 时 系 统 处 于 基 态, 求 t 时 刻 系 统 处 于 各 个 态 上 的 几 率 - - putiasog3@63.

998 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) 一 设 一 维 谐 振 子 能 量 本 征 值 为 E, 相 应 的 本 征 函 数 为 ψ ( x ) : () 由 厄 密 多 项 式 H ( x ) 的 递 推 关 系 : H + ( x) xh ( x) + H ( x) = ; H ' ( x) = H ( x) 导 出 xψ ( x) 及 ψ ' ( x ) 满 足 的 递 推 关 系 ; () 求 ψ ( x ) 上 坐 标 及 动 量 算 符 的 平 均 值 x, p ; (3) 求 证 简 谐 振 子 的 零 点 能 E = ħ ω 是 测 不 准 关 系 x p ħ 的 直 接 结 果, 4 其 中 x = ( x x), p = ( p p) (4) 求 ψ ( x ) 态 上 动 能 算 符 和 势 能 的 平 均 值 T, V, 它 们 之 间 的 关 系 是 什 么? α x α µω ( 可 用 的 公 式 : ψ ( x) = Ne H ( α x), N =, α = π! ħ ) 二 已 知 角 动 量 算 符 的 三 个 分 量 ˆj, ˆj, ˆj 满 足 的 对 易 关 系 式 是 : 定 义 算 符 ˆj = ˆj + ˆj + ˆj, ˆj = ˆj ± ij ˆ x y ˆj, ˆj i ˆj, ˆj, ˆj i ˆj, ˆj, ˆj i ˆ = ħ = ħ = ħj x y y x x y x y ± x y () 求 对 易 关 系 : ˆj, ˆj, ˆj, ˆ, ˆ, ˆ j j j ± ± + ; () 若 ĵ 和 ˆ j 的 共 同 本 征 函 数 为 ψ 也 是 ĵ 和 的 ˆ j 共 同 本 征 函 数, 并 求 出 相 应 的 本 征 值 三 把 一 个 自 旋 为 jm ħ 的 粒 子 置 于 磁 场 B, 其 中 j 和 m 为 相 应 的 量 子 数 求 证 : ˆj ± ψ jm 中, 若 已 知 B = B (siθ ex + cos θe), 其 中 e, e 为 x, 方 向 的 单 位 矢 量, B, θ 均 为 常 数, 体 系 的 哈 密 顿 量 为 ˆ Ĥ = M B, x 其 中 ˆ M ˆ 为 自 旋 磁 矩 ˆ M = µ S, µ 为 玻 尔 磁 子, 试 求 Ĥ 的 本 征 值 和 本 征 矢 B B, x > 3a, a < x < 3a 四 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 一 维 势 V ( x) = 中 运 动, 将 V 部 分 视 V, x < a 3a < x < a - 3 - putiasog3@63.

为 在 6a 长 的 平 坦 势 ( 即 : V =, x < 3 a; V, x > 3a ) 上 的 微 扰, 用 一 级 微 扰 方 法 求 基 态 能 量 998 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ), x > a 一 质 量 为 m 的 粒 子 在 一 维 势 场 V ( x) = ( V > ) 中 运 动 : V, x < a () 求 基 态 能 量 E 满 足 的 方 程 ; () 求 存 在 且 仅 存 在 一 个 束 缚 态 的 条 件 (999 年 ( 理 论 型 ) 第 三 题 ) 二 自 旋 为 ħ 的 带 电 粒 子 ( 电 荷 为 q, 质 量 为 m ) 受 到 均 匀 磁 场 B = Be 的 作 用 ( e y 为 y 方 向 的 单 位 矢 量 ), 其 哈 密 顿 量 为 ˆ eb H = ħ ω + ˆy s mc ( ˆy s 为 自 旋 算 符 的 y 分 量 ), 如 果 t = 时 粒 子 的 自 旋 指 向 正 x 轴 方 向, 求 粒 子 自 旋 平 均 值 随 时 间 的 演 化 (999 年 ( 理 论 型 ) 第 四 题 ), x > 3a, a < x < 3a 三 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 一 维 势 场 : V ( x) = 中 运 动 V, x < a 3a < x < a () V = 时, 求 粒 子 的 能 谱 ; () V 时, 用 一 级 微 扰 法 求 基 态 能 量 四 设 有 算 符 a i 和 a i 满 足 如 下 对 易 关 系 ( a i 是 a i 的 厄 密 共 轭, i, j =, ): a a a a = δ, a a a a =, a a a a = i j j i ij i j j i i j j i 试 求 哈 密 顿 量 ( ω > ω > ) H ˆ = ħω ( a a + a a ) + iħ ω ( a a a a ) 的 能 谱 ( 提 示 : 仅 利 用 a 和 a, a 和 a 之 间 的 线 性 变 换, 可 将 Ĥ 化 为 两 个 不 耦 合 的 谐 振 子 的 哈 密 顿 量 之 和 ) 五 将 上 题 哈 密 顿 量 Ĥ 中 与 有 ω 关 的 部 分 当 作 微 扰, 请 用 定 态 微 扰 论 求 出 第 y - 4 - putiasog3@63.

一 激 发 态 的 修 正 ( 第 一 激 发 态 是 二 度 简 并 的 ) 997 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 一 ) 一 在 杨 氏 双 窄 缝 试 验 中, 假 设 光 源 S 发 射 一 个 个 光 子, 且 每 次 只 有 一 个 光 子 通 过 此 双 缝, 在 双 缝 后 的 观 察 屏 上 安 置 许 多 单 光 子 的 探 测 器, 问 : () 每 次 实 验 的 结 果 如 何? () 非 常 多 次 的 实 验 结 果 如 何? (3) 若 采 用 某 种 方 法 确 定 光 子 经 过 某 个 缝, 实 验 结 果 又 如 何? (4) 单 个 光 子 能 否 产 生 干 涉? 二 设 k 为 厄 密 算 符 ˆF 的 本 征 态 : () 证 明 ˆF 表 象 的 完 备 性 关 系 式 k k = ; () 写 出 任 意 算 符 ˆL 在 ˆF 表 象 的 本 征 方 程 ; (3) 写 出 动 量 表 象 的 完 备 性 关 系 式 ( 注 : 假 设 ˆF 具 有 分 离 谱 ) k 三 质 量 为 m 的 粒 子 在 均 匀 力 场 f ( x) = F ( F > ) 中 运 动, 运 动 范 围 限 制 在 x, 试 给 出 动 量 表 象 中 定 态 薛 定 谔 方 程 α r 4π i i + α r 四 粒 子 处 于 态 : ψ = Cre ( Y + Y + Y ) = C( x + y + ) e 式 中 3 α >,C 为 归 一 化 常 数, 求 : () L 的 取 值 ; (3) L = ħ 的 几 率 ; () L 的 平 均 值 ; (4) L x 的 可 能 取 值 及 相 应 的 几 率 ˆ 五 一 维 谐 振 子 的 哈 密 顿 量 ˆ p H = + mω x, 基 态 波 函 数 ψ = m α x e α, π - 5 - putiasog3@63.

α = mω 设 振 子 处 于 基 态 ħ () 求 x 和 p ; () 写 出 本 征 能 量 E, 并 说 明 它 反 映 微 观 粒 子 什 么 特 性 (3) 一 维 谐 振 子 的 维 里 定 理 是 T = V, 试 利 用 这 个 定 理 证 明 : x p = ħ, 其 中 x = x x, p = p p (99 年 ( 实 验 型 ) 第 二 题 ) 六 在 t = 时, 氢 原 子 的 波 函 数 ψ ( r,) = (ψ + ψ + ψ + 3 ψ ) 式 中 波 函 数 的 下 标 分 别 为 量 子 数, l, m 的 值, 忽 略 自 旋 和 辐 射 跃 迁 () 该 体 系 的 能 量 期 待 值 是 多 少? () 在 t 时 刻 体 系 处 l =, m = 在 的 态 的 几 率 是 多 少? (99 年 ( 实 验 型 ) 第 五 题 ) 997 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 二 ) 一 设 算 符 K = LM, LM ML =, 又 设 ϕ 为 K 的 本 征 矢, 相 应 的 本 征 值 为 λ, 求 证 u = Lϕ 和 v = Mϕ 也 是 K 的 本 征 态, 并 求 出 相 应 的 本 征 值 二 质 量 为 m 的 粒 子 在 一 维 无 限 深 方 势 阱 中 运 动, 势 阱 可 表 示 为 :, < x < a V ( x) =, x <, x > a () 求 解 能 量 本 征 值 和 归 一 化 的 本 征 函 数 ψ ( x ) ; () 求 已 知 t = 时, 该 粒 子 的 态 为 ψ ( x,) = ( ψ ( x) + ψ ( x)), 求 t 时 刻 该 粒 子 的 波 函 数 ; (3) 求 t 时 刻 该 粒 子 的 哈 密 顿 算 符 和 坐 标 算 符 的 平 均 值 H 和 x - 6 - putiasog3@63.

三 一 维 谐 振 子 其 能 量 算 符 为 : ˆ ħ d H = + mω x 设 粒 子 受 到 微 扰 m dx ˆ λ H ' m x = ω 的 作 用, 其 中 λ : () 试 求 该 粒 子 各 能 级 的 一 级 和 二 级 微 扰 修 正 ; ħ ( 提 示 : 坐 标 x 的 矩 阵 元 x = ( + δ, δ, ) m mω m + + m ) () 把 上 述 结 果 与 精 确 求 解 H ˆ = H ˆ ˆ + H ' 得 到 的 本 征 值 相 比 较 (996 年 ( 实 验 型 ) 第 六 题 ) 四 初 始 时 刻 t = 时, 一 维 量 子 体 系 处 于 Ĥ ( 不 显 含 t ) 的 某 一 本 征 态 ψ k 上 : () 求 该 体 系 在 某 一 微 弱 的 外 界 作 用 H ˆ '( x, t ) 的 影 响 下, 由 ψ k 跃 迁 到 另 一 本 征 态 ψ l ( l k) 的 跃 迁 几 率 Plk ( t ) 的 普 遍 的 一 级 近 似 表 达 式 ; t () 若 ψ k 为 该 系 统 的 基 态 ψ, 而 Hˆ '( x, t ) = F ( x ) e τ, 求 在 t τ 时 体 系 处 于 某 一 激 发 态 ψ 的 几 率 P ( ) t ( 利 用 上 体 结 果 ) (997 年 ( 理 论 型 ) 第 五 题 ) 五 给 定 ( θ, ϕ ) 方 向 单 位 矢 量 = ( x, y, ) = (siθ cos ϕ,siθ si ϕ,cos θ ) 在 σ 表 象 中 求 σ = σ 的 本 征 值 和 归 一 化 的 本 征 态 矢 σ = ( σ x, σ y, σ ) 矩 阵 997 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ) 是 3 个 的 泡 利 一 质 量 为 m 的 粒 子 在 一 圆 周 上 ( 周 长 为 L ) 运 动, 如 果 还 存 在 δ 函 数 势 L V ( x) = aδ ( x ), a, 请 求 出 系 统 的 所 有 能 级 和 相 应 的 归 一 化 本 征 函 数 二 自 旋 为 的 带 电 粒 子 ( 电 荷 为 q, 质 量 为 m ) 受 到 均 匀 磁 场 B = Be 的 作 用 ( y e 为 y 方 向 的 单 位 矢 量 ), 其 哈 密 顿 量 为 ˆ qb H = ˆ S y ( S ˆy 为 自 旋 算 符 y 的 分 mc 量 ) 如 果 t = 时 粒 子 的 自 旋 指 向 正 x 轴 方 向, 求 粒 子 自 旋 平 均 值 随 时 间 的 演 y - 7 - putiasog3@63.

化 三 设 有 算 符 b i 和 b i 满 足 如 下 对 易 关 系 : b b + b b = δ, b b + b b =, b b + b b =,( i, j =, ) i j j i ij i j j i i j j i 试 求 :() 哈 密 顿 量 H = ħω b b + ħ ω b b,( ω > ω > ) 的 能 谱 和 相 应 的 本 征 态 ; () 在 Ĥ 的 本 征 态 表 象 中 算 符 Q = bb 和 W = b b 的 矩 阵 表 达 式 四 谐 振 子 的 哈 密 顿 量 是 ˆ ˆ p H = + mω x, 设 有 微 扰 ˆ λ ' H = m ω x ( 为 正 整 m 数, λ 为 正 数, 且 λ ) () 请 求 出 基 态 能 量 的 一 级 和 二 级 微 扰 修 正 ; () 如 果 =, 请 将 得 到 的 结 果 与 严 格 的 结 果 比 较 五 初 始 时 刻 t = 时, 一 维 量 子 体 系 处 于 Ĥ ( 不 显 含 t ) 的 某 一 本 征 态 ψ k 上 : () 求 该 体 系 在 某 一 微 弱 的 外 界 作 用 H ˆ '( x, t ) 的 影 响 下, 由 ψ k 跃 迁 到 另 一 本 征 态 ψ l ( l k) 的 跃 迁 几 率 Plk ( t ) 的 普 遍 的 一 级 近 似 表 达 式 ; t () 若 ψ k 为 该 系 统 的 基 态 ψ, 而 Hˆ '( x, t ) = F ( x ) e τ, 求 在 t τ 时 体 系 处 于 某 一 激 发 态 ψ 的 几 率 P ( ) t ( 利 用 上 体 结 果 ) (997 年 ( 实 验 型 二 ) 第 四 题 ) 996 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) 一 试 设 计 一 个 实 验 来 证 实 单 个 电 子 作 为 整 体 是 不 可 分 割 的 3 A mv 二 在 p 表 象 中, 归 一 化 波 函 数 为 ψ ( p) =, A ( ) ( k), k p k = ħ + ħ π = ħ, 试 计 算 x, p, 验 证 测 不 准 关 系 三 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 场 V ( x ) 中 作 一 维 运 动, 试 建 立 动 量 表 象 能 量 的 本 征 方 程 - 8 - putiasog3@63.

四 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 被 限 制 在 半 径 为 r = a 和 r = b 的 两 个 不 可 穿 透 的 同 心 球 面 之 间 运 动, 不 存 在 其 他 势, 求 粒 子 的 基 态 能 量 和 归 一 化 波 函 数 五 在 一 个 定 域 电 子 ( 不 计 及 轨 道 运 动 ) 受 到 均 匀 磁 场 作 用, 磁 场 B 指 向 正 x 方 向, 磁 场 作 用 势 为 ˆ eb ˆ ebħ H = Sx = µ c µ c σ S = ħ, 求 t > 时 S 的 平 均 值 x 设 t = 时, 电 子 的 自 旋 向 上, 即 六 一 维 谐 振 子, 其 能 量 算 符 ˆ ħ d H = + mω x 设 此 谐 振 子 受 到 微 扰 m dx ˆ λ H ' m x = ω 的 作 用 ( λ ) 解 比 较 (997 年 ( 实 验 型 二 ) 第 三 题 ), 试 求 各 能 级 的 微 扰 修 正 ( 三 级 近 似 ), 并 和 精 确 996 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ) ˆ 一 粒 子 作 一 维 运 动, ˆ p H = + V ( x), 定 态 波 函 数 为 ϕ µ, 即 Hˆ ϕ = E ϕ () 证 明 : ϕ ˆ p ϕ' = a' ϕ x ϕ', 并 求 系 数 a ' ; () 由 此 推 导 求 和 公 式 : ħ ( E E ) x p µ ˆ m ϕ ϕm = ϕ ϕ ; (3) 证 明 : ( E Em) ϕ x ϕm = µ ħ 二 一 个 质 量 为 µ 的 非 相 对 论 粒 子 在 位 势 V ( x) = αδ ( x)( α > ) 之 下 作 一 维 束 缚 运 动, 试 求 坐 标 a >, 使 得 粒 子 在 区 域 x > a 的 几 率 为 三 在 均 匀 磁 场 内 有 一 个 电 子 ( 不 考 虑 轨 道 运 动 ) 磁 场 B 指 向 正 x 方 向, 磁 作 用 势 为 ˆ eb ˆ ebħ H = S =, µ c µ c σ σ x x x 是 泡 利 矩 阵 设 t = 时, 电 子 的 自 旋 向 上, 即 S = ħ, 求 t > 时 S 的 平 均 值 - 9 - putiasog3@63.

四 有 一 个 两 能 级 体 系, 哈 密 顿 量 为 H ˆ = H ˆ ˆ + H ', 在 Ĥ 表 象, Ĥ 和 H ˆ ' 表 示 为 ˆ E ˆ H =, H ' b E =, H ˆ ' 为 微 扰, E E, b表 示 微 扰 强 度 试 求 Ĥ 的 本 征 值 和 本 征 态 五 一 个 量 子 体 系 处 于 角 动 量 平 方 L 与 角 动 量 在 轴 方 向 投 影 L 共 同 本 征 态, 总 角 动 量 的 平 方 平 均 值 为 ħ 已 知 测 量 角 动 量 在 y 轴 方 向 投 影 得 值 L y 为 的 几 率 是, 求 测 量 L y 得 值 为 ħ 的 几 率 六 两 个 质 量 都 是 µ 的 一 维 耦 合 谐 振 子 系 统 的 哈 密 顿 算 符 为 H ˆ ( ) = ( ˆ ˆ ) ( ) ( ) p + p + µω x a + x + a + λ µ x x λ, a 为 参 数, λ >, < x, x <, 试 求 系 统 的 能 量 本 征 值 995 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) 一 () 简 要 说 明 量 子 力 学 的 态 叠 加 原 理 与 经 典 波 动 力 学 的 叠 加 原 理 有 何 根 本 的 区 别 () 试 证 明 : 在 任 何 状 态 下, 厄 密 算 符 的 平 均 值 都 是 实 数 (3) 下 列 对 称 性 分 别 导 致 什 么 物 理 量 守 恒 : 空 间 反 射 不 变 性, 空 间 平 移 不 变 性, 空 间 转 动 不 变 性, 时 间 平 移 不 变 性 二 粒 子 在 一 维 势 场 V ( x ) 中 运 动, 试 证 明 : 属 于 不 同 能 级 的 束 缚 态 波 函 数 相 互 正 交 三 质 量 为 m, 速 度 为 v, 能 量 为 E = mv 的 粒 子 沿 x 轴 方 向 运 动, 其 位 置 测 x 量 得 误 差 为 x, 设 t =, 试 由 不 确 定 关 系 x p ħ, 导 出 能 量 和 时 间 的 不 v 确 定 关 系 : E t ħ - 3 - putiasog3@63.

ˆ 四 一 维 谐 振 子 的 哈 密 顿 算 符 为 ˆ p H = + mω x 引 入 无 量 纲 算 符 : m mω ˆ ˆ Q = x, P = ˆ p, a = ( Q + ip), a = ( Q ipˆ ) ħ mωħ () 计 算 Q, Pˆ, a, a, a, a a, a, a a ; () 将 Ĥ 用 a, a 表 示 ; 设 是 Ĥ 的 本 征 值 为 E 的 本 征 态, 求 出 全 部 能 级 E ; (3) 证 明 : a a =, a =, a = + + ; (4) 在 能 量 表 象 中, 计 算 a, a, Q, ˆ P 的 矩 阵 元 五 测 量 一 个 电 子 ( 处 于 自 由 空 间 ) 自 旋 的 分 量, 结 果 为 () 紧 接 测 量 自 旋 的 x 分 量, 可 能 得 到 什 么 结 果? () 得 到 这 些 结 果 的 几 率 是 多 少? ħ (3) 如 果 测 量 自 旋 方 向 的 轴 与 轴 成 θ 角, 测 得 各 种 可 能 值 的 几 率 分 别 是 多 少? (4) 在 (3) 中 测 得 的 期 望 值 为 多 少? 六 有 一 个 两 能 级 体 系, 哈 密 顿 量 为 H ˆ = H ˆ ˆ + H ', 在 Ĥ 表 象, Ĥ 和 H ˆ ' 表 示 为 ˆ E ˆ H =, H ' b E =, H ˆ ' 为 微 扰, E E, b表 示 微 扰 强 度 试 求 Ĥ 的 本 征 值 和 本 征 态 (996 年 ( 理 论 型 ) 第 四 题 ) 995 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ), x <, x > a 一 一 个 质 量 为 µ 的 粒 子 在 势 阱 V ( x) = a 中 运 动, 其 中 α 为 αδ ( x ), < x < a 常 数, 试 求 第 一 激 发 态 的 能 量 - 3 - putiasog3@63.

二 质 量 为 µ 电 荷 为 q 的 粒 子 在 均 匀 定 常 的 磁 场 中 运 动 取 不 对 称 规 范 : cpˆ Ax = By, Ay = A =, B 为 磁 场 大 小, 可 知 x cp y = 是 守 恒 量 证 明 x = + x 也 qb qb 是 守 恒 量, 请 问 它 与 y 是 否 可 以 同 时 被 观 察? ˆ ˆ 三 两 个 相 互 耦 合 的 一 维 谐 振 子 由 哈 密 顿 算 符 ˆ p p H = + + µ µ µω λ ( x a) + ( x a) + ( x x) 描 写, λ > 请 求 出 此 体 系 的 能 量 四 算 符 b 及 其 厄 密 共 轭 b 满 足 下 面 的 关 系 : bb + b b =, b =,( b ) = 它 们 被 称 为 费 米 子 算 符, 而 N = b b是 费 米 子 数 算 符 () 求 N 的 本 征 值 ; () 在 N 的 表 象 中 给 出 b 与 b 的 表 达 式 五 电 子 偶 素 是 由 正 电 子 和 电 子 构 成 的 类 氢 体 系 考 虑 处 于 基 态 的 电 子 偶 素 ( l = ) 系 统 的 哈 密 顿 可 改 写 为 Hˆ = Hˆ ˆ + H s, 其 中 Ĥ 是 通 常 的 与 自 旋 无 关 的 库 ˆ s p e 仑 力 部 分, H = ASˆ ˆ S 是 正 电 子 与 电 子 的 自 旋 作 用 部 分 请 问 在 无 外 磁 场 存 在 时, 选 择 怎 样 的 自 旋 和 角 动 量 的 本 征 态 最 为 方 便? 对 于 这 些 态, 计 算 由 于 H ˆ s 引 起 的 能 量 的 改 变 994 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) p 一 () 自 由 粒 子 能 量 为 E =, 写 出 物 质 波 的 色 散 关 系, 并 证 明 物 质 波 包 m 必 然 扩 散 () 写 出 分 立 谱 和 连 续 谱 的 正 交 归 一 化 和 完 备 性 关 系 式 (3) 写 出 ˆF 表 象 ( 其 基 矢 记 为 k ) 中 的 薛 定 谔 方 程 二 证 明 一 维 体 系 的 分 立 本 征 值 总 是 非 简 并 的 ˆ y - 3 - putiasog3@63.

三 试 在 动 量 表 象 中 求 解 谐 振 子 问 题 ( 即 求 哈 密 顿 算 符 的 本 征 值 和 本 征 函 数 ) 四 假 定 一 电 子 状 态 由 波 函 数 ( iϕ ψ = e si θ + cos θ ) g ( r ) 描 述, 其 中 4π g( r) r dr =, θ 与 ϕ 分 别 是 方 位 角 和 极 角 求 处 于 该 态 电 子 的 轨 道 角 动 量 分 量 L 的 可 能 取 值, 相 应 的 几 率 和 期 望 值 3 4 五 试 求 其 哈 密 顿 量 为 ˆ ˆ ˆ ħ d H = H + H ' = + mω x + ax + bx 的 能 谱, 式 中 a m dx 和 b 是 小 的 常 数 ( 精 确 到 一 级 近 似 ) 提 示 : x ψ = ( ) ψ ( ) ψ ( )( ) ψ + α + + + + + 六 一 个 具 有 磁 矩 常 磁 场 中 在 t = S y = ± ħ 粒 子 的 几 率 ˆM = M ˆ S ( Ŝ 具 有 的 自 旋 幅 ) 的 粒 子 放 在 沿 x 轴 方 向 的 一 时, 发 现 粒 子 具 有 S = ħ, 求 在 以 后 的 任 意 时 刻 发 现 具 有 994 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ) 一 质 量 为 m 的 单 粒 子 作 一 维 束 缚 运 动, 两 个 能 量 本 征 函 数 分 别 为 α x α x ψ ( x) = Ae, ψ ( x) = B( x + bx + c) e,( < x < ) A, B, b, c, α 等 均 为 实 常 数 试 求 这 两 个 态 的 能 量 间 隔, 并 说 明 对 参 数 b, c 有 什 么 限 制 二 试 求 在 氢 原 子 能 量 本 征 态 ψ lm中, r 的 平 均 值 r 三 自 旋 投 影 算 符 ˆ ħ S = σ, σ 为 泡 利 矩 阵, 为 单 位 方 向 矢 量, = ħ () 对 于 电 子 自 旋 朝 上 态 χ + ( S ˆ 的 本 征 值 为 ), 求 σ 的 可 能 值 及 相 应 几 率 - 33 - putiasog3@63.

() 对 σ 的 本 征 值 为 的 本 征 态, 求 σ y 的 可 能 值 及 相 应 几 率 四 () 已 知 带 电 粒 子 在 磁 场 B 和 势 场 V ( r ) 中 运 动, 求 带 电 粒 子 速 度 分 量 算 符 的 对 易 关 系 ˆ v, ˆ v, ˆ v, ˆ v,[ ˆ v, ˆ v ] x y y x 的 表 达 式 ; () 质 量 为 m 电 荷 为 e 的 粒 子 在 磁 场 中 的 哈 密 顿 量 为 ˆ e H = ( ˆ p A) m c 求 在 什 么 条 件 下 它 可 以 写 成 如 下 形 式 : ˆ e e H ' = ˆ p A ˆ p + A ; m mc mc (3) 设 A = A cosωt( A 为 常 矢 量 ), 略 去 上 式 中 的 A 项, 求 与 H ˆ ' 相 应 的 薛 定 谔 方 程 的 解 五 质 量 为 m 电 荷 为 e 的 粒 子 被 一 个 势 场 V ( r ) 散 射, 此 势 场 是 一 个 球 对 称 电 荷 分 布 ρ ( r) 产 生 的 静 电 势 场 设 ρ ( r) 随 r 很 快 趋 于 零, 并 有 ρ( r) dτ = r ρ( r ) d τ = A ( A 为 已 知 常 数 ) 试 用 一 级 玻 恩 近 似 计 算 向 前 散 射 的 微 分 截 面 993 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) 一 设 一 维 粒 子 由 x = 处 以 平 面 波 ψ ikx i( x ) = e 入 射, 在 原 点 处 受 到 势 能 V ( x) = V δ ( x) 的 作 用 () 写 出 波 函 数 的 一 般 表 达 式 ψ ( x) () 确 定 粒 子 波 函 数 在 原 点 处 应 满 足 的 边 界 条 件 (3) 求 该 粒 子 的 透 射 系 数 和 反 射 系 数 (4) 分 别 指 出 V > 和 V < 时 的 量 子 力 学 效 应 二 两 原 子 态 间 电 偶 极 跃 迁 几 率 与 它 们 的 偶 极 矩 阵 元 平 方 成 正 比 已 知 氢 原 子 波 函 数 为 ψ lm ( r) = Rl ( r) Ylm ( θ, ϕ), 取 玻 尔 半 径 a = ħ 为 长 度 单 位, 则 : me 3 3 r r r r =, = ( ), = R e R r e R e 3 3 3 ± i Y =, Y = cos θ, Y siθe ϕ ± = 4π 4π 8π 和 - 34 - putiasog3@63.

() 算 出 = 的 所 有 矩 阵 元 ψ ψ () lm 结 合 你 的 计 算 结 果, 讨 论 这 种 矩 阵 元 所 涉 及 的 有 关 l 的 选 择 定 则 ( 不 考 虑 自 旋 ) 三 设 碱 金 属 原 子 处 于 沿 向 的 均 匀 弱 磁 场 B 中, 忽 略 自 旋, 其 哈 密 顿 量 为 ˆ ˆ eb H H ˆ L µc = +, 其 中 Ĥ 为 无 外 场 B 时 的 哈 密 顿 量, 其 本 征 函 数 和 本 征 值 分 别 为 ψ lm ( r) = Rl ( r) Ylm ( θ, ϕ) 和 ˆ eb ε ; ˆ l H = L 是 微 扰 µ c ( k ) () 按 简 并 定 态 一 级 微 扰 论 方 法, 求 出 对 应 ε l 的 各 定 态 能 量 E l 和 波 函 数 ( k ) ( r) ψ l ()(a) 此 系 统 t 时 刻 一 般 状 态 Ψ ( r, t) 可 以 写 成 什 么 形 式? 其 能 量 平 均 值 E 是 否 随 t 变 化 ( 写 出 E 的 表 达 式 )?(b) 设 系 统 t = 时 处 于 基 态 Ψ ( r,), 写 出 t > 时 的 态 Ψ ( r, t) 和 能 量 平 均 值 E 的 表 达 式, 并 说 明 其 意 义 (3) 设 此 系 统 再 受 到 一 个 含 时 微 扰 Ĥ ( t ) 的 作 用, 定 性 回 答 () 中 的 两 个 问 题 (a) 与 (b) 四 在 讨 论 磁 性 材 料 时, 由 于 电 子 间 的 库 仑 作 用 和 泡 利 不 相 容 原 理, 可 导 致 两 相 邻 电 子 之 间 如 下 自 旋 相 互 作 用 哈 密 顿 量 : Ĥ = JS ˆ ˆ S, 其 中 J > 此 算 符 作 用 在 两 电 子 的 如 量 利 用 角 动 量 性 质 来 简 化 计 算 ) = 诸 自 旋 态 上, 试 求 出 Ĥ 的 本 征 态 和 本 征 值 ( 尽 五 带 电 粒 子 ( 电 荷 为 e ) 在 均 匀 磁 场 中 的 哈 密 顿 量 为 ˆ e H ˆ = p A m c, 其 中 ˆP = i ħ 和 A = ( By,,) 为 矢 量 算 符 ikx x+ ik () 求 出 该 粒 子 能 谱 ( 可 假 设 定 态 波 函 数 形 式 为 ψ = e ϕ ( y y ), 不 必 求 解 ϕ 的 具 体 形 式 ) g kx, k, ()(a) 试 讨 论 该 体 系 波 函 数 与 自 由 粒 子 与 谐 振 子 波 函 数 之 间 的 关 系 (b) - 35 - putiasog3@63.

结 合 经 典 运 动 图 像, 根 据 量 子 力 学 某 些 一 般 规 律, 讨 论 本 征 谱 的 连 续 性 和 分 立 性 993 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ) 一 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 V ( x) = αδ ( x)( α > ) 的 作 用 下 作 一 维 运 动, 设 粒 子 能 量 E < λx λx ϕ ( x) = A e + A' e, x <, 它 的 波 函 数 可 写 为 λx λx ϕ ( x) = A e + A' e, x > A A () 计 算 矩 阵 M : M A' = A' () 求 能 量 E 的 值, 解 出 波 函 数 (3) 求 动 量 的 几 率 分 布 表 达 式 二 有 一 个 量 子 体 系, 其 态 空 间 三 维, 选 择 基 矢 为 {,, 3 }, 定 义 哈 密 顿 量 H 及 另 两 个 力 学 量 A, B 为 H = ħω, A a, B b = = 设 t = 时, 系 统 状 态 为 ( ) ψ = 3 + + () 在 t = 时 测 量 能 量 E, 可 得 那 些 结 果, 相 应 几 率 多 大? 计 算 H 的 平 均 值 H 及 H H ( H ) = () 如 在 t = 时 测 量 A, 可 能 值 及 相 应 几 率 是 多 少? 写 出 测 量 后 相 应 的 态 矢 量 (3) 计 算 t 时 刻 A 与 B 的 平 均 值 iασ 三 σ, σ 为 泡 利 矩 阵, 证 明 e = cosα + iσ siα (α 为 实 数 ), 并 推 广 到 矩 阵 σ = λσ + µσ 的 情 形 ( λ, µ 为 实 数, 且 λ + µ = ) 四 求 在 方 向 一 致, 空 间 均 匀 但 随 时 间 t 衰 减 的 电 场 ε ( t) - 36 -, t < = t ( ε, τ 为 τ ε e, t > putiasog3@63.

常 数, τ > ) 中 原 先 处 于 基 态 的 氢 原 子 最 后 处 于 p 态 的 几 率 r r r 已 知 ψ r r a a a e Y 3, ψ m e Y 3 m, e Y 3 a ψ = = = a a 6a a a 五 一 个 质 量 为 µ 的 高 能 ( E ) 粒 子 被 中 心 势 V ( r) = Ae ( A >, a > ) 散 射, 求 散 射 的 总 截 面 六 两 个 自 旋 为 的 全 同 粒 子 在 公 共 的 各 向 同 性 谐 振 子 场 中 运 动, 彼 此 之 间 没 有 相 互 作 用 设 一 个 粒 子 处 于 谐 振 子 基 态, 另 一 个 处 于 沿 方 向 的 第 一 激 发 态, 求 :() 两 粒 子 体 系 的 波 函 数 () 系 统 的 总 角 动 量 ( j, m j ) 的 可 能 值 99 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 一 简 单 回 答 下 列 问 题 : 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) () 举 出 一 个 实 验 事 实 说 明 微 观 粒 子 具 有 波 粒 二 象 性 () 量 子 力 学 的 波 函 数 与 经 典 的 波 场 有 何 本 质 的 区 别 (3) 如 图 所 示 : 一 个 光 子 入 射 到 半 透 半 反 镜 面 M, P 和 P 为 光 电 探 测 器, 试 分 别 按 照 经 典 与 量 子 的 观 点 说 明 P 和 P 是 否 能 同 时 接 收 到 光 信 号 ( l l ) = 二 若 厄 密 算 符 Â 与 ˆB 具 有 共 同 本 征 函 数, 即 ˆ Aψ = A ψ, Bˆ ψ = B ψ, 而 且 构 成 体 系 状 态 的 完 备 函 数 组, 试 证 明 ˆ A, ˆ B = ˆ 三 在 一 维 谐 振 子 的 哈 密 顿 量 ˆ p H = + µω x 中 引 进 µ r α α α α α µω ˆ µω ˆ µω µω ħ ħ ħ ħ a = x + i p, a = x i p () 证 明 a, a = ;() 用 a, a 写 出 哈 密 顿 量 Ĥ ;(3) 设 为 Ĥ 的 本 征 矢, - 37 - putiasog3@63.

本 征 值 为 E 证 明 a 为 Ĥ 的 本 征 矢, 本 征 值 为 ( E ħ ω ) 四 在 S ˆ 的 对 角 表 象 ( 用 泡 利 矩 阵 的 形 式 表 示 ) 中, 求 出 自 旋 算 符 ˆ S, ˆ, ˆ x S y S 的 本 征 值 和 本 征 矢 量 五 在 t = 时, 氢 原 子 的 波 函 数 ψ ( r,) = ( ψ + ψ + ψ + 3ψ ) 式 中 波 函 数 的 下 标 分 别 是 量 子 数, l, m 的 值, 忽 略 自 旋 和 辐 射 跃 迁 () 该 体 系 的 能 量 期 待 值 是 多 少? () 在 t 时 刻 体 系 处 在 的 态 l =, m = 的 几 率 是 多 少? 99 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ) 一 N 个 质 量 都 是 m 的 粒 子 在 一 宽 为 a 的 无 限 深 方 势 阱 中 运 动, 忽 略 彼 此 间 的 相 互 作 用, 请 求 出 最 低 的 四 条 能 级, 并 写 出 相 应 的 简 并 度 二 () 写 出 角 动 量 算 符 ˆ, ˆ, ˆ Lx Ly L 及 算 符 ˆL 之 间 的 一 切 对 易 关 系 ;() 设 ψ lm 是 ˆL 与 ˆ L 的 本 征 态, 本 征 值 分 别 为 ( ) l l + ħ 和 mħ, 证 明 ϕ ( ˆ L ˆ x ily ) ψ lm = + 亦 为 ˆL 与 L ˆ 的 本 征 态, 求 出 本 征 值 ;(3) 证 明 当 l = 时, 态 ψ lm 也 是 ˆL 和 L ˆ 本 征 态 三 请 根 据 不 确 定 关 系 估 计 氢 原 子 基 态 的 能 量 四 有 一 个 定 域 电 子 ( 作 为 近 似 模 型, 可 以 不 考 虑 轨 道 运 动 ), 受 到 均 匀 磁 场 的 作 用, 磁 场 B 指 向 正 x 轴 方 向, 相 互 作 用 势 为 ˆ ebħ eb H = σ ˆ x = S µ c µ c 电 子 自 旋 朝 上, 即 s = ħ, 求 t > 时 自 旋 Ŝ 的 平 均 值 x, 设 t = 时 3 五 假 定 氢 原 子 内 的 质 子 是 一 个 半 径 为 cm 的 均 匀 带 电 球 壳, 而 不 是 点 电 荷, 试 用 一 级 微 扰 论 计 算 氢 原 子 s 态 能 量 的 改 变 六 一 束 中 子 射 向 氢 分 子 而 发 生 弹 性 碰 撞 忽 略 电 子 对 中 子 的 作 用, 而 两 原 - 38 - putiasog3@63.

( 子 核 与 中 子 的 作 用 可 用 下 面 的 简 化 势 代 替 : ( ) δ ) ( ) ( ) ( ) 3 3 V r = V r + a + δ r a 其 中 V 是 常 数, a 是 常 矢 量 ( a 与 a 分 别 是 两 核 的 位 置 矢 量 ) 试 求 高 能 下 的 中 子 散 射 微 分 截 面, 并 指 出 散 射 截 面 的 一 个 极 大 的 方 向 99 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) 一 () 电 子 双 窄 缝 实 验 中, 什 么 结 果 完 全 不 能 用 粒 子 性 而 必 须 用 波 动 性 来 解 释, 为 什 么?() 解 释 钠 原 子 光 谱 主 线 系 ( p 3s) 的 精 细 结 构 (3) 量 子 力 学 角 动 量 用 矢 量 图 表 示 时, 和 经 典 角 动 量 有 什 么 不 同, 为 什 么? 二 一 个 质 量 为 µ 的 粒 子, 处 于 x a 的 无 限 深 方 势 阱 中, t = 时, 其 归 一 化 波 函 数 为 ψ ( x t ) 8 π x π x, = = + cos si 5a a a 求 :() 在 后 来 某 一 时 刻 t = t 时 的 波 函 数 ;() 在 t = 和 t = t 时 的 体 系 平 均 能 量 三 精 确 到 微 扰 的 一 级 近 似, 试 计 算 如 图 所 示 宽 度 OB 为 a, AO 为 V, AOB 被 切 去 的 无 限 深 方 势 阱 ( 如 图 CABD ) 的 最 低 三 个 态 的 能 量 λ 四 质 量 为 µ 的 粒 子 在 势 场 V ( r) = ( 常 数 λ > ) 中 运 动, 试 用 测 不 准 关 系 3 r 估 算 基 态 能 量 五 如 系 统 的 哈 密 顿 量 不 显 含 时 间, 用 算 符 对 易 关 系 [, ˆ ], x p, 证 明 能 量 表 象 中 ħ 有 ( E Em ) xm = 其 中 µ 为 系 统 质 量, E 与 E m 是 能 量 本 征 值, 满 足 µ ˆ, ˆ H = E H m = E m, 是 对 的 完 全 求 和 - 39 - putiasog3@63.

99 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ) 一 一 个 带 电 粒 子 在 电 磁 场 中 运 动, 请 推 导 相 应 的 几 率 守 恒 定 律, 求 出 几 率 密 度 与 几 率 流 密 度 的 表 达 式 二 当 两 个 质 量 为 m 的 粒 子 通 过 球 对 称 势 V ( r) Al r = r ( A r >, > 为 常 数 ) 而 束 缚 在 一 起, 其 第 一 激 发 态 能 量 与 基 态 能 量 之 差 为 E 今 有 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 与 另 一 个 质 量 为 84m 的 粒 子 通 过 同 一 位 势 形 成 束 缚 态, 则 这 一 系 统 的 第 一 激 发 态 与 基 态 能 量 之 差 是 多 少? 说 出 理 由, 并 证 明 之 三 一 束 极 化 的 s 波 ( l = ) 电 子 通 过 一 个 不 均 匀 的 磁 场 后 分 裂 为 强 度 不 同 的 两 束, 其 中 自 旋 反 平 行 于 磁 场 的 一 束 与 自 旋 平 行 于 磁 场 的 一 束 之 强 度 之 比 为 3:, 求 入 射 电 子 自 旋 方 向 与 磁 场 方 向 夹 角 大 小, r > a V, r < a 四 质 量 为 µ 的 粒 子 在 一 个 三 维 球 方 势 阱 中 运 动 V ( r) = ( V > ) : 问 :() 存 在 s 波 束 缚 态 的 条 件 是 什 么?() 当 粒 子 能 量 E > 时, 求 粒 子 的 s 波 相 移 δ ;(3) 证 明 lim δ = π, 为 整 数 E, < G, > 五 质 量 为 m 的 粒 子 在 一 维 势 场 V ( ) = ( G > ) 中 运 动 () 用 变 分 法 求 基 态 能 量, 则 在 区 域 中 的 试 探 波 函 数 应 取 下 列 函 数 中 的 哪 一 个? 为 什 么? α, α + α e, e,siα () 算 出 基 态 能 量 值 99 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 实 验 型 ) - 4 - putiasog3@63.

一 () 光 电 效 应 实 验 指 出 : 当 光 照 射 到 金 属 上,(a) 只 有 当 光 频 率 大 于 一 定 值 v 时, 才 有 光 电 子 发 射 出 ;(b) 光 电 子 的 能 量 只 与 光 的 频 率 有 关, 而 与 光 的 强 度 无 关 ;(c) 只 要 光 的 频 率 大 于 v, 光 子 立 即 产 生 试 述 (a) 经 典 理 论 为 何 不 能 解 释 上 述 现 象, 或 者 说 这 些 实 验 现 象 与 经 典 理 论 矛 盾 何 在?(b) 用 爱 因 斯 坦 假 说 正 确 解 释 上 述 实 验 结 果 () 电 子 是 微 观 粒 子, 为 什 么 在 阴 极 射 线 实 验 中, 电 子 运 动 轨 迹 可 用 牛 顿 定 律 描 述? (3) ψ 和 ψ 为 体 系 本 征 态, 任 一 态 为 ψ = cψ + cψ 如 果 ψ =, 试 问 (a) 如 ψ 和 ψ 是 经 典 波, 在 ψ 态 中 ψ 和 ψ 态 的 几 率 如 何 表 示?(b) 如 ψ 和 ψ 是 几 率 波, 在 ψ 态 中 ψ 和 ψ 态 的 几 率 如 何 表 示? (4) 如 何 知 道 电 子 存 在 自 旋? ˆ 二 一 维 振 子 的 哈 密 顿 量 ˆ p α H = + mω x, 基 态 波 函 数 ψ ( x) = e α m π x, α = mω ħ, 设 振 子 处 于 基 态 : () 求 x 和 p ; () 写 出 本 征 能 量 E, 并 说 明 它 反 映 微 观 粒 子 什 么 特 性? (3) 一 维 谐 振 子 的 维 里 定 理 是 T = V, 试 利 用 这 个 定 理 证 明 : x p = ħ, 其 中 x = x x, p = p p 三 精 确 到 微 扰 论 的 一 级 近 似, 试 计 算 由 于 不 把 原 子 核 当 做 点 电 荷, 而 作 为 是 半 径 为 R, 均 匀 带 电 荷 Ze 的 球 体 所 引 起 的 类 氢 原 子 基 态 能 量 的 修 正 已 知 球 内 静 电 势 ϕ ( r ) Ze 3 r = R R Ze, 球 外 电 势 为 r, 类 氢 原 子 基 态 波 函 数 3 Zr Z a s, 3 e a ψ = 为 玻 尔 半 径 π a - 4 - putiasog3@63.

四 () 用 j, l, s 写 出 ˆ L ˆ S, ˆ J ˆ S 的 表 达 式 () 对 于 l =, s =, 计 算 ˆL ˆ S 的 可 能 值 (3) 确 定 () 中 ˆL 和 Ŝ 间 夹 角 的 可 能 值, 并 画 出 ˆ, L ˆ S 和 Ĵ 的 矢 量 模 型 图 五 求 在 一 维 常 虚 势 场 iv ( V E) 中 运 动 粒 子 的 波 函 数, 计 算 几 率 流 密 度, 并 证 明 虚 势 代 表 粒 子 的 吸 收, 求 吸 收 系 数 ( 用 V 表 示 ) 一 在 99 年 招 收 攻 读 硕 士 研 究 生 学 位 研 究 生 入 学 考 试 试 题 试 题 名 称 : 量 子 力 学 ( 理 论 型 ) t = 时, 氢 原 子 波 函 数 ψ ( r,) ( ψ ψ ψ 3ψ ) 方 函 数 下 标 表 示 量 子 数 lm, 忽 略 自 旋 和 辐 射 跃 迁 () 此 系 统 的 平 均 能 量 是 多 少? = + + + 为 其 中 右 () 这 系 统 再 任 意 时 刻 处 于 角 动 量 投 影 L = 的 几 率 是 多 少? 二 利 用 坐 标 和 动 量 算 符 之 间 的 对 易 关 系, 证 明 ( ) E E x = 常 数 这 里 E 是 哈 密 顿 量 ˆ ˆ p H = + V ( x) 的 本 征 能 量, 相 应 的 本 征 态 为, 求 出 该 常 m 数 三 设 一 质 量 为 µ 的 粒 子 在 球 对 称 势 V ( r) = kr ( k > ) 中 运 动, 利 用 测 不 准 关 系 估 算 其 基 态 的 能 量 四 电 子 偶 素 ( e + e 束 缚 态 ) 类 似 于 氢 原 子, 只 是 用 一 个 正 电 子 代 替 质 子 作 为 核, 在 非 相 对 论 极 限 下, 其 能 量 和 波 函 数 与 氢 原 子 类 似 今 设 在 电 子 偶 素 8 的 基 态 里, 存 在 一 种 接 触 型 自 旋 交 换 作 用 ˆ π H ' = Mˆ ˆ e M p 其 中 M ˆ e 和 M ˆ p 是 电 子 3 和 正 电 子 的 自 旋 磁 矩 ˆ q M ˆ = S, q = ± e mc 利 用 一 级 微 扰 论, 计 算 此 基 态 中 自 旋 单 态 与 三 重 态 之 间 的 能 量 差, 决 定 哪 一 个 能 量 更 低 对 于 普 通 的 氢 原 子, 基 - 4 - putiasog3@63.

态 波 函 数 ψ r ħ e a = e, a =, = 3 π a me ħc 37 a 五 一 个 质 量 为 µ 的 粒 子 被 势 场 V ( r) = V e ( V > a > ) 所 散 射, 用 一 级 玻 恩 近 似 计 算 微 分 散 射 截 面 r, - 43 - putiasog3@63.