Microsoft Word - 实验习题N.doc

数 学 实 验 实 验 练 习 题 汇 总 实 验 数 学 建 模 初 步 实 验 目 的 通 过 解 决 简 化 的 实 际 问 题 学 习 初 步 的 数 学 建 模 方 法, 培 养 建 模 意 识 实 验 内 容. 怎 样 解 决 下 面 的 实 际 问 题? 包 括 需 要 哪 些 数 据 资 料, 要 做 些 什 么 观 察 试 验 以 及 建 立 什 么 样 的 数 学 模 型 等 : ) 估 计 一 个 人 体 内 血 液 的 总 量 ) 为 保 险 公 司 制 定 人 寿 保 险 金 计 划 ( 不 同 年 龄 的 人 应 缴 纳 的 金 额 和 公 司 赔 偿 的 金 额 ) ) 估 计 一 批 日 光 灯 管 的 寿 命 ) 确 定 火 箭 发 射 至 最 高 点 所 需 的 时 间 5) 决 定 十 字 路 口 黄 灯 亮 的 时 间 长 度 6) 为 汽 车 租 赁 公 司 制 订 车 辆 维 修 更 新 和 出 租 计 划 7) 一 高 层 办 公 楼 有 部 电 梯, 早 上 班 时 间 非 常 拥 挤, 试 制 订 合 理 的 运 行 计 划. 在 超 市 购 物 时 你 注 意 到 大 包 装 商 品 比 小 包 装 商 品 便 宜 这 种 现 象 了 吗? 比 如 洁 银 牙 膏 5 克 装 的 每 支.5 元, 克 装 的 每 支. 元, 二 者 单 位 重 量 的 价 格 比 是.: 试 构 造 模 型 解 释 这 个 现 象 ) 分 析 商 品 价 格 c 与 商 品 重 量 w 的 关 系 价 格 由 生 产 成 本 包 装 成 本 和 其 它 成 本 等 决 定, 这 些 成 本 中 有 的 与 重 量 w 成 正 比, 有 的 与 表 面 积 成 正 比, 还 有 与 w 无 关 的 因 素 ) 给 出 单 位 重 量 价 格 c 与 w 的 关 系, 画 出 它 的 简 图, 说 明 w 越 大 c 越 小, 但 是 随 着 w 的 增 加 c 减 小 的 程 度 变 小 解 释 实 际 意 义 是 什 么. 利 用 表 给 出 的 79~ 年 的 美 国 实 际 人 口 资 料 建 立 下 列 模 型 : ) 分 段 的 指 数 增 长 模 型 将 时 间 分 为 若 干 段, 分 别 确 定 增 长 率 r ) 阻 滞 增 长 模 型 换 一 种 方 法 确 定 固 有 增 长 率 r 和 最 大 容 量 m. 说 明 Logistic 模 型 () 可 表 为 ( t) = m, 其 中 t r( t t 是 人 口 增 长 出 现 拐 点 的 时 刻, 并 给 出 + e ) t 与 r, m, 的 关 系 5. 假 定 人 口 的 增 长 服 从 这 样 的 规 律 : 时 刻 t 的 人 口 为 (t),t 到 t + t 时 间 内 人 口 的 增 量 与 m -(t) 成 正 比 ( 其 中 m 为 最 大 容 量 ) 试 建 立 模 型 并 求 解 作 出 解 的 图 形 并 与 指 数 增 长 模 型 阻 滞 增 长 模 型 的 结 果 进 行 比 较 6. 一 垂 钓 俱 乐 部 鼓 励 垂 钓 者 将 钓 上 的 鱼 放 生, 打 算 按 照 放 生 的 鱼 的 重 量 给 予 奖 励 俱 乐 部 只 准 备 了 一 把 软 尺 用 于 测 量, 请 你 设 计 按 照 测 量 的 长 度 估 计 鱼 的 重 量 的 方 法 假 定 鱼 池 中 只 有 一 种 鱼 ( 鲈 鱼 ), 并 且 得 到 8 条 鱼 的 如 下 数 据 ( 胸 围 指 鱼 身 的 最 大 周 长 ): 身 长 (cm) 6.8.8.8 6.8. 5. 5.9. 重 量 (g) 765 8 6 77 8 89 65 5 胸 围 (cm).8. 7.9.8.6.8.9.6 用 机 理 分 析 建 立 模 型, 并 试 用 数 据 确 定 参 数 7. 要 在 雨 中 从 一 处 走 到 另 一 处, 雨 的 方 向 和 大 小 都 不 变, 试 建 立 一 个 模 型 讨 论 是 否 走 得 越 快, 淋 雨 量 越 小 设 人 体 为 长 方 柱, 表 面 积 之 比 为 前 : 侧 : 顶 =:a:b 人 沿 方 向 以 速 度 v 前 进, 而 雨 速 在,y,z

方 向 的 分 量 为 u,u y,u z 写 出 淋 雨 量 的 表 达 式, 画 出 淋 雨 量 随 v 变 化 的 曲 线, 从 而 确 定 在 什 么 情 况 下 走 得 越 快, 淋 雨 量 越 小, 在 什 么 情 况 下 不 是 这 样 8. 甲 乙 两 公 司 通 过 广 告 来 竞 争 销 售 商 品 的 数 量, 广 告 费 分 别 是 和 y 设 甲 乙 公 司 商 品 的 售 量 在 两 公 司 总 售 量 中 占 的 份 额, 是 它 们 的 广 告 费 在 总 广 告 费 中 所 占 份 额 的 函 数 f ( ) 和 y f ( ) 又 设 公 + y + y 司 的 收 入 与 售 量 成 正 比, 从 收 入 中 扣 除 广 告 费 后 即 为 公 司 的 利 润 试 构 造 模 型 的 图 形, 并 讨 论 甲 公 司 怎 样 确 定 广 告 费 才 能 使 利 润 最 大 ) 令 t =, 则 f ( t) + f ( t) = 画 出 f (t) 的 示 意 图 + y ) 写 出 甲 公 司 利 润 的 表 达 式 p () 对 于 一 定 的 y, 使 p () 最 大 的 的 最 优 值 应 满 足 什 么 关 系 用 图 解 法 确 定 这 个 最 优 值 实 验 差 分 方 程 和 数 值 微 分 实 验 目 的 ) 练 习 用 差 分 方 程 建 立 离 散 动 态 过 程 的 数 学 模 型, 并 用 MATLAB 计 算 其 数 值 解 ; ) 了 解 差 分 方 程 平 衡 点 及 其 稳 定 性 的 基 本 知 识 ; ) 练 习 数 值 微 分 的 计 算 实 验 内 容. 某 人 从 银 行 贷 款 购 房, 若 他 今 年 初 贷 款 万 元, 月 利 率.5%, 每 月 还 元, 建 立 差 分 方 程 计 算 他 每 年 末 欠 银 行 多 少 钱, 多 少 时 间 才 能 还 清? 如 果 要 年 还 清, 每 月 需 还 多 少?. 一 老 人 6 岁 时 将 养 老 金 万 元 存 入 基 金 会, 月 利 率.%, 他 每 月 取 元 作 生 活 费, 建 立 差 分 方 程 计 算 他 每 岁 末 尚 有 多 少 钱? 多 少 岁 时 将 基 金 用 完? 如 果 6 岁 时 存 入 5 万 元, 可 以 用 到 多 少 岁?. 某 湖 泊 每 天 有 m 的 河 水 流 入, 河 水 中 污 物 浓 度 为.g/m, 经 渠 道 排 水 后 湖 泊 容 积 保 持 m 不 变, 现 测 定 湖 泊 中 污 物 浓 度 为. g/m, 建 立 差 分 方 程 计 算 湖 泊 中 一 年 内 逐 月 ( 每 月 按 天 计 ) 下 降 的 污 物 浓 度, 问 要 多 长 时 间 才 能 达 到 环 保 要 求 的 浓 度. g/m? 为 了 把 这 个 时 间 缩 短 为 一 年, 应 将 河 水 中 污 物 浓 度 降 低 到 多 少?. 某 日 凌 晨 一 住 所 发 生 一 件 凶 杀 案, 警 方 于 6 时 到 达 现 场 后 测 得 尸 温 6 C, 室 温 7 C, 小 时 后 尸 温 下 降 了 C, 试 根 据 冷 却 定 律 建 立 差 分 方 程, 估 计 凶 杀 案 发 生 的 时 间 ( 可 设 正 常 体 温 为 7 C) 5. 据 报 道, 某 种 山 猫 在 较 好 中 等 及 较 差 的 自 然 环 境 下, 年 平 均 增 长 率 分 别 为.68%,.55% 和 -.5%, 假 定 开 始 时 有 只 山 猫, 按 以 下 情 况 讨 论 山 猫 数 量 逐 年 变 化 过 程 及 趋 势 : ) 种 自 然 环 境 下 5 年 的 变 化 过 程 ( 作 图 ); ) 如 果 每 年 捕 获 只, 会 发 生 什 么 情 况? 山 猫 会 灭 绝 吗? 如 果 每 年 只 捕 获 只 呢? ) 在 较 差 的 自 然 环 境 下, 如 果 想 使 山 猫 数 量 稳 定 在 6 只 左 右, 每 年 要 人 工 繁 殖 多 少 只? 6. 下 表 是 美 国 加 州 和 其 它 各 州 955 年 至 96 年 人 口 出 生 死 亡 和 迁 移 ( 只 考 虑 加 州 和 其 它 各 州 之 间 的 净 迁 移 ) 的 情 况 ( 单 位 : 千 人 ), 根 据 这 些 数 据 建 立 差 分 方 程 模 型, 计 算 并 预 测 直 至 年 的 人 口 状 况

) 以 加 州 和 其 它 各 州 的 人 口 数 量 为 对 象 ) 以 加 州 和 其 它 各 州 在 美 国 总 人 口 中 的 比 例 为 对 象, 观 察 趋 势 955 年 人 口 955 年 至 96 955 年 至 96 955 年 至 96 96 年 人 口 年 出 生 年 死 亡 年 迁 移 加 州 988 78 6 5 6 其 它 各 州 5 8 9 99 7 7-6 总 数 65 7 7 8 78 6 7. 与 蛛 网 模 型 稍 有 差 别, 设 第 k+ 与 k 时 段 商 品 上 市 数 量 之 差 是 第 k 时 段 价 格 的 线 性 增 函 数, 系 数 为 a; 第 k+ 与 k 时 段 商 品 价 格 之 差 是 第 k 时 段 数 量 的 线 性 减 函 数, 系 数 为 b 又 已 知 当 商 品 数 量 为 5 价 格 为 时, 处 于 平 衡 状 态 建 立 差 分 方 程 模 型 描 述 商 品 数 量 和 价 格 的 变 化 规 律, 对 以 下 情 况 作 图 讨 论 其 变 化 趋 势 ) 设 a=.,b=., 开 始 时 商 品 数 量 和 价 格 分 别 在 5 和 附 近 ) 对 a,b 作 些 改 变, 开 始 时 商 品 数 量 和 价 格 分 别 在 5 和 附 近 ) 利 用 特 征 根 讨 论 变 化 趋 势 8. 在 某 种 环 境 下 猫 头 鹰 的 主 要 食 物 来 源 是 田 鼠, 设 田 鼠 的 年 平 均 增 长 率 为 r, 猫 头 鹰 的 存 在 引 起 的 田 鼠 增 长 率 的 减 少 与 猫 头 鹰 的 数 量 成 正 比, 比 例 系 数 为 a ; 猫 头 鹰 的 年 平 均 减 少 率 为 r ; 田 鼠 的 存 在 引 起 的 猫 头 鹰 减 少 率 的 增 加 与 田 鼠 的 数 量 成 正 比, 比 例 系 数 为 a 建 立 差 分 方 程 模 型 描 述 田 鼠 和 猫 头 鹰 共 处 时 的 数 量 变 化 规 律, 对 以 下 情 况 作 图 给 出 5 年 的 变 化 过 程 ) 设 r =.,r =.,a =.,a =., 开 始 时 有 只 田 鼠 和 5 只 猫 头 鹰 ) r,r,a,a 同 上, 开 始 时 有 只 田 鼠 和 只 猫 头 鹰 ) 适 当 改 变 参 数 a,a ( 初 始 值 同 上 ) ) 求 差 分 方 程 的 平 衡 点, 它 们 稳 定 吗? 9. 研 究 将 鹿 群 放 入 草 场 后 草 和 鹿 两 种 群 的 相 互 作 用 草 的 生 长 遵 从 Logistic 规 律, 年 固 有 增 长 率.8, 最 大 密 度 为 ( 密 度 单 位 ), 在 草 最 茂 盛 时 每 只 鹿 每 年 可 吃 掉.6( 密 度 单 位 ) 的 草 若 没 有 草, 鹿 群 的 年 死 亡 率 高 达.9, 而 草 的 存 在 可 使 鹿 的 死 亡 得 以 补 偿, 在 草 最 茂 盛 时 补 偿 率 为.5 作 出 一 些 简 化 假 设, 用 差 分 方 程 模 型 描 述 草 和 鹿 两 种 群 数 量 的 变 化 过 程, 就 以 下 情 况 进 行 讨 论 ) 比 较 将 只 鹿 放 入 密 度 为 和 密 度 为 的 草 场 两 种 情 况 ) 适 当 改 变 参 数, 观 察 变 化 趋 势. 某 居 民 小 区 有 一 个 直 径 m 的 圆 柱 形 水 塔, 每 天 午 夜 时 向 水 塔 供 水, 此 后 每 隔 小 时 记 录 水 位 (cm), 如 下 表, 计 算 小 区 在 这 些 时 刻 每 小 时 的 用 水 量 时 刻 6 8 6 8 水 位 5 98 9 65 6 5 7 89 65 8

实 验 插 值 与 数 值 积 分 实 验 目 的 ) 掌 握 用 MATLAB 计 算 拉 格 朗 日 分 段 线 性 三 次 样 条 三 种 插 值 的 方 法, 改 变 节 点 的 数 目, 对 三 种 插 值 结 果 进 行 初 步 分 析 ) 掌 握 用 MATLAB 及 梯 形 公 式 辛 普 森 公 式 计 算 数 值 积 分 ) 通 过 实 例 学 习 用 插 值 和 数 值 积 分 解 决 实 际 问 题 实 验 内 容 预 备 : 编 制 计 算 拉 格 朗 日 插 值 的 m 文 件 对 于 数 值 给 出 的 函 数, 编 制 用 辛 普 森 公 式 计 算 定 积 分 的 程 序, 命 名 为 simp.m 文 件. 选 择 一 些 函 数, 在 n 个 节 点 上 (n 不 要 太 大, 如 5~ ) 用 拉 格 朗 日 分 段 线 性 三 次 样 条 三 种 插 值 方 法, 计 算 m 个 插 值 点 的 函 数 值 (m 要 适 中, 如 5 ~ ) 通 过 数 值 和 图 形 输 出, 将 三 种 插 值 结 果 与 精 确 值 进 行 比 较 适 当 增 加 n, 再 作 比 较, 由 此 作 初 步 分 析 下 列 函 数 供 选 择 参 考 : a.y = sin, π ; b. y = ( - ) /,- ; c. y = cos,- ; d. y = ep( - ),-. 用 y = / 在 =,,, 9, 6 产 生 5 个 节 点 P, P 5. 用 不 同 的 节 点 构 造 插 值 公 式 来 计 算 =5 处 的 插 值 ( 如 用 P P 5 ; P P ; P P 等 ), 与 精 确 值 比 较 并 进 行 分 析.5. 用 梯 形 公 式 和 辛 普 森 公 式 计 算 由 下 表 数 据 给 出 的 积 分 y ( ) d. k 5 6 7 k..5.7.9...5 y k.895.6598.97.6.97.6.85 已 知 该 表 数 据 为 函 数 y = + sin / 所 产 生, 将 计 算 值 与 精 确 值 作 比 较. 选 择 一 些 函 数 用 梯 形 辛 普 森 和 Gauss-Lobatto 三 种 方 法 计 算 积 分 改 变 步 长 ( 对 梯 形 ), 改 变 精 度 要 求 ( 对 辛 普 森 和 Gauss-Lobatto), 进 行 比 较 分 析 如 下 函 数 供 选 择 参 考 : a. y =, ; + b. y = e sin, ; c. y = +, ; d. y = e,. π 5. 选 用 三 种 数 值 积 分 方 法 计 算 π 6. 弹 簧 在 周 期 性 外 力 作 用 下 ( 忽 略 阻 力 ) 其 位 移 (t) 满 足 微 分 方 程 m& &+ k = F cosωt, 在 初 始 条 件 ( ) = & () = 下 的 解 为 F ω ω ω + ω k ( t) = sin t sin t, ω = ω m( ω ω ) m

已 知 m=, k=9, F=,ω=, 求 t 内 (t) 的 平 均 值, 作 (t) 和 这 个 平 均 值 的 图 形 7. 如 图 电 路, 电 容 C 充 电 至 电 压 V 后 开 关 K 倒 向 电 阻 R, 求 放 电 电 流 在 电 阻 上 作 的 功 设 V=5( 伏 ),R=( 千 欧 ),C=( 微 微 法 ) 适 当 处 理 时 间 t 的 问 题, 并 与 精 确 值 比 较 V K C R e + 8. 求 d 的 数 值 积 分, 使 误 差 在 - 以 内 9. 求 π sin 图 第 7 题 电 路 d 的 数 值 积 分, 使 误 差 在 - 以 内. 下 表 给 出 的,y 数 据 位 于 机 翼 断 面 的 轮 廓 线 上,y 和 Y\y 分 别 对 应 轮 廓 的 上 下 线 假 设 需 要 得 到 坐 标 每 改 变. 时 的 y 坐 标 试 完 成 加 工 所 需 数 据, 画 出 曲 线, 求 加 工 断 面 的 面 积 5 7 9 5 y.8..7...9.5..6 y..7....8...6. 图 是 欧 洲 一 个 国 家 的 地 图, 为 了 算 出 它 的 国 土 面 积, 首 先 对 地 图 作 如 下 测 量 : 以 由 西 向 东 方 向 为 轴, 由 南 到 北 方 向 为 y 轴, 选 择 方 便 的 原 点, 并 将 从 最 西 边 界 点 到 最 东 边 界 点 在 轴 上 的 区 间 适 当 地 划 分 为 若 干 段, 在 每 个 分 点 的 y 方 向 测 出 南 边 界 点 和 北 边 界 点 的 y 坐 标 y 和 y, 这 样 就 得 到 了 下 表 中 的 数 据 ( 单 位 mm) 根 据 地 图 的 比 例 我 们 知 道 8 mm 相 当 于 km, 试 由 测 量 数 据 计 算 该 国 国 土 的 近 似 面 积, 与 它 的 精 确 值 88 km 比 较 km 图 地 图 7..5. 7.5..5.5 8. 56. 6. 68.5 76.5 8.5 9. y 5 7 5 5 8 6 5 6 y 59 7 7 9 7 8 6 8 8 96... 6.5.5 8..5 6.5. 6. 5. 57. 58. y 7 8 65 55 5 5 5 66 66 68 y 6 8 8 8 86 85 68 5

. 在 桥 梁 的 一 端 每 隔 一 段 时 间 记 录 一 分 钟 有 几 辆 车 过 桥, 得 到 以 下 数 据 : 时 间 车 辆 数 时 间 车 辆 数 时 间 车 辆 数 : 9: 8: : : 5 9: : : : 9 5: : : 6: 5 : 7 : 8 7: 8 6: 9 : 9 8: 5 7: 8 : 试 估 计 一 天 通 过 桥 梁 的 车 流 量 实 验 目 的 实 验 常 微 分 方 程 数 值 解 ) 掌 握 用 MATLAB 软 件 求 微 分 方 程 初 值 问 题 数 值 解 的 方 法 ; ) 通 过 实 例 学 习 用 微 分 方 程 模 型 解 决 简 化 的 实 际 问 题 ; ) 了 解 欧 拉 方 法 和 龙 格 库 塔 方 法 的 基 本 思 想 和 计 算 公 式, 及 稳 定 性 等 概 念 实 验 内 容. 用 Euler 方 法 和 Runge-Kutta 方 法 求 下 列 微 分 方 程 初 值 问 题 的 数 值 解, 画 出 解 的 图 形, 对 结 果 进 行 分 析 比 较. ) y = y +, y() =,, 精 确 解 y = e ; ) y = y, y() = 或 y()=; ) y + y + ( n ) y =, y( π / ) =, y ( π / ) / π (Bessel 方 程, 令 n=.5), 精 确 解 y = sin π /. 小 型 火 箭 初 始 重 量 为 kg, 其 中 包 括 8kg 燃 料 火 箭 竖 直 向 上 发 射 时 燃 料 燃 烧 率 为 8kg/s, 由 此 产 生 N 的 推 力, 火 箭 引 擎 在 燃 料 用 尽 时 关 闭 设 火 箭 上 升 时 空 气 阻 力 正 比 于 速 度 的 平 方, 比 例 系 数 为.kg/m, 求 引 擎 关 闭 瞬 间 火 箭 的 高 度 速 度 加 速 度, 及 火 箭 到 达 最 高 点 时 的 高 度 和 加 速 度, 并 画 出 高 度 速 度 加 速 度 随 时 间 变 化 的 图 形. 某 容 器 盛 满 水 后, 底 端 直 径 为 d 的 小 孔 开 启 ( 图 5). 根 据 水 力 学 知 识, 当 水 面 高 度 为 h 时, 水 从 小 孔 中 流 出 的 速 度 为 v =. 6 gh (g 为 重 力 加 速 度,.6 为 孔 口 收 缩 系 数 ) ) 若 容 器 为 倒 圆 锥 形 ( 图 5-), 现 测 得 容 器 高 和 上 底 面 直 径 均 为. m, 小 孔 直 径 为 cm, 问 水 从 小 孔 中 流 完 需 要 多 少 时 间 ; 分 钟 时 水 面 高 度 是 多 少 ) 若 容 器 为 倒 葫 芦 形 ( 图 5-), 现 测 得 容 器 高. m, 小 孔 直 径 cm, 由 底 端 ( 记 作 =) 向 上 每 隔.m 测 出 容 器 的 直 径 D(m) 如 下 表 所 示, 问 水 从 小 孔 中 流 完 需 要 多 少 时 间 ; 分 钟 时 水 面 高 度 是 多 少. 6

.....5.6.7.8.9... D..5.8..9..5.68.98.... d = d = 图 5- 倒 圆 锥 形 容 图 5- 倒 葫 芦 形 容. 放 射 性 废 物 的 处 理 : 有 一 段 时 间, 美 国 原 子 能 委 员 会 ( 现 为 核 管 理 委 员 会 ) 处 理 浓 缩 放 射 性 废 物 时, 把 它 们 装 入 密 封 性 能 很 好 的 圆 桶 中, 然 后 扔 到 水 深 英 尺 的 海 里. 这 种 做 法 是 否 会 造 成 放 射 性 污 染, 自 然 引 起 生 态 学 家 及 社 会 各 界 的 关 注 原 子 能 委 员 会 一 再 保 证, 圆 桶 非 常 坚 固, 决 不 会 破 漏, 这 种 做 法 是 绝 对 安 全 的. 然 而 一 些 工 程 师 们 却 对 此 表 示 怀 疑, 认 为 圆 桶 在 和 海 底 相 撞 时 有 可 能 发 生 破 裂. 于 是 双 方 展 开 了 一 场 笔 墨 官 司. 究 竟 谁 的 意 见 正 确 呢? 原 子 能 委 员 会 使 用 的 是 55 加 仑 的 圆 桶, 装 满 放 射 性 废 物 时 的 圆 桶 重 量 为 57.6 磅, 在 海 水 中 受 到 的 浮 力 为 7.7 磅. 此 外, 下 沉 时 圆 桶 还 要 受 到 海 水 的 阻 力, 阻 力 与 下 沉 速 度 成 正 比, 工 程 师 们 做 了 大 量 实 验, 测 得 其 比 例 系 数 为.8( 磅 秒 / 英 尺 ). 同 时, 大 量 破 坏 性 实 验 发 现 当 圆 桶 速 度 超 过 英 尺 / 秒 时, 就 会 因 与 海 底 冲 撞 而 发 生 破 裂 ) 建 立 解 决 上 述 问 题 的 微 分 方 程 数 学 模 型 ) 用 数 值 和 解 析 两 种 方 法 求 解 微 分 方 程, 并 回 答 谁 赢 了 这 场 官 司 5. 一 只 小 船 渡 过 宽 为 d 的 河 流 ( 图 6), 目 标 是 起 点 A 正 对 着 的 另 一 岸 B 点. 已 知 河 水 流 速 v 与 船 在 静 水 中 的 速 度 v 之 比 为 k. ) 建 立 描 述 小 船 航 线 的 数 学 模 型, 求 其 解 析 解 ; ) 设 d= m, v m/s, v m/s, = = 用 数 值 解 法 求 渡 河 所 需 时 间 任 意 时 刻 小 船 的 位 置 及 航 行 曲 线, 作 图, 并 与 解 析 解 比 较 ; ) 若 流 速,.5,.5, (m/s), 结 果 将 如 何 6.. 海 上 缉 私 问 题 的 进 一 步 研 究 B v v A 图 6 小 船 过 河 对 以 下 两 种 情 况 建 立 缉 私 艇 位 置 和 航 线 的 数 学 模 型, 自 己 设 定 速 度 等 参 数, 求 数 值 解 : ) 若 走 私 船 沿 着 与 正 东 方 向 成 某 一 角 度 的 直 线 行 驶 ; v 7

) 若 走 私 船 仍 向 正 北 方 向 行 驶, 一 段 时 间 ( 设 尚 未 被 缉 私 艇 追 上 ) 后 又 掉 头 返 回 ) 讨 论 走 私 船 和 缉 私 艇 位 于 任 意 初 始 位 置, 走 私 船 按 任 意 给 定 的 路 线 行 驶 的 情 况 7. 适 当 改 变. 弱 肉 强 食 中 的 参 数 r,d,a,b,,y, 讨 论 它 们 对 周 期 的 影 响 8. 两 种 群 相 互 竞 争 模 型 如 下 : y y & ( t) = r ( s ), y& ( t) = r y( s ) n n n n 其 中 ( t), y( t) 分 别 为 甲 乙 两 种 群 的 数 量, r, r 为 它 们 的 固 有 增 长 率, n, n 为 它 们 的 最 大 容 量 s 的 含 义 是, 对 于 供 养 甲 的 资 源 而 言, 单 位 数 量 乙 ( 相 对 n ) 的 消 耗 为 单 位 数 量 甲 ( 相 对 n ) 消 耗 的 s 倍, 对 s 可 作 相 应 的 解 释 该 模 型 无 解 析 解, 试 用 数 值 解 法 研 究 以 下 问 题 : ) 设 r = r =, n = n =, s =.5, s =, 初 值 = y =, 计 算 ( t), y( t), 画 出 它 们 的 图 形 及 相 图 (, y), 说 明 时 间 t 充 分 大 以 后 ( t), y( t) 的 变 化 趋 势 ( 人 们 今 天 看 到 的 已 经 是 自 然 界 长 期 演 变 的 结 局 ) ) 改 变 r, r, n, n,, y, 但 s, s 不 变 ( 或 保 持 s <, s > ), 计 算 并 分 析 所 得 结 果 ; 若 s =.5 ( > ), s =.7 ( < ), 再 分 析 结 果 由 此 你 能 得 到 什 么 结 论, 请 用 各 参 数 生 态 学 上 的 含 义 作 出 解 释 ) 试 验 当 s =.8 ( < ), s =.7 ( < ) 时 会 有 什 么 结 果 ; 当 s =.5 ( > ), s =.7 ( > ) 时 又 会 有 什 么 结 果 能 解 释 这 些 结 果 吗, 9. 对 下 列 级 Runge-Kutta 方 法 : h yn+ = yn + ( K + K ) K = f ( n, yn ) K = f ( n + th, yn + thk) K = f [ n + ( t) h, yn + ( t) hk] 试 证 明 对 于 任 意 的 参 数 t, 此 方 法 均 为 阶, 给 出 其 局 部 截 断 误 差 主 项, 并 讨 论 t= 时 方 法 的 稳 定 性 实 验 5 线 性 代 数 方 程 组 的 数 值 解 法 实 验 目 的 ) 学 会 用 MATLAB 软 件 数 值 求 解 线 性 代 数 方 程 组, 对 迭 代 法 的 收 敛 性 和 解 的 稳 定 性 作 初 步 分 析 ; ) 通 过 实 例 学 习 用 线 性 代 数 方 程 组 解 决 简 化 的 实 际 问 题 实 验 内 容. 通 过 求 解 方 程 组 A = b 和 A = b, 理 解 条 件 数 的 意 义 和 方 程 组 的 性 态 对 解 的 影 响 其 中 A 是 n 阶 范 德 蒙 (Vondermonde) 矩 阵, 即 8

n L n L A =, k = +.k, k =,, L, n LL n n n L n A 是 n 阶 Hilbert 矩 阵 ( 见 (7) 式 ),b,b 分 别 是 A,A 的 行 和 ) 编 程 构 造 A(A 可 直 接 用 命 令 产 生 ) 和 b,b ; 你 能 预 先 知 道 方 程 组 A = b 和 A = b 的 解 吗? 令 n=5, 用 左 除 命 令 求 解 ( 用 预 先 知 道 的 解 可 检 验 程 序 ) ) 令 n=5, 7, 9,, 计 算 A 和 A 的 条 件 数 为 观 察 它 们 是 否 病 态, 作 以 下 试 验 :b, b 不 变,A 和 A 的 元 素 A (n,n), A (n,n) 分 别 加 扰 动 ε 后 求 解 ;A 和 A 不 变,b,b 的 分 量 b (n), b (n) 分 别 加 扰 动 ε 后 求 解 分 析 A 和 b 的 微 小 扰 动 对 解 的 影 响 ε 取 -, -8, -6 ) 经 扰 动 得 到 的 解 记 作 ~ ~, 计 算 误 差, 与 用 条 件 数 估 计 的 误 差 相 比 较. 分 别 用 Jacobi 迭 代 法 和 Gauss-Seidel 迭 代 法 计 算 下 列 方 程 组, 均 取 相 同 的 初 值 () T = (,, ), 观 察 其 计 算 结 果, 并 分 析 其 收 敛 性 9 = 5 = () 9 + + 5 = () + + = 8 + 7 + = + + 5 = + + 5 = () + + 7 = 5 + 7 + =. 已 知 方 程 组 A= b, 其 中 A R, 定 义 为 / / / / / / / / O A = O O O O / / / / / / 试 通 过 迭 代 法 求 解 此 方 程 组, 认 识 迭 代 法 收 敛 的 含 义 以 及 迭 代 初 值 和 方 程 组 系 数 矩 阵 性 质 对 收 敛 速 度 的 影 响 实 验 要 求 : () ) 选 取 不 同 的 初 始 向 量 和 不 同 的 方 程 组 右 端 项 向 量 b, 给 定 迭 代 误 差 要 求, 用 Jacobi 迭 代 法 和 Gauss-Seidel 迭 代 法 计 算, 观 测 得 到 的 迭 代 向 量 序 列 是 否 均 收 敛? 若 收 敛, 记 录 迭 代 次 数, 分 析 计 算 结 果 并 得 出 你 的 结 论 ; () ) 取 定 右 端 向 量 b 和 初 始 向 量, 将 A 的 主 对 角 线 元 素 成 倍 增 长 若 干 次, 非 主 对 角 ( k ) 5 线 元 素 不 变, 每 次 用 Jacobi 迭 代 法 计 算, 要 求 迭 代 误 差 满 足 + (k) <, 比 较 收 敛 速 度, 分 析 现 象 并 得 出 你 的 结 论. 对 于 中 的 例, 假 设 c=, a =.5,a =.5,b=., 第 一 年 有 5 棵 植 物, 且 第 5 年 后 有 6 棵 植 物 试 分 别 用 追 赶 法 稀 疏 系 数 矩 阵 和 满 矩 阵 求 解 ; 若 b 有 % 的 误 9

差, 估 计 对 结 果 的 影 响 5. 输 电 网 络 : 一 种 大 型 输 电 网 络 可 r r r n 简 化 为 图 5 所 示 电 路, 其 中 R, R, R n 表 示 负 载 电 阻,r, r, r n 表 示 线 路 内 阻, 表 示 负 载 上 的 电 流 设 电 源 电 压 为 V V I I R I R I n R n ) 列 出 求 各 负 载 电 阻 R, R, R n 的 图 5 第 5 题 图 方 程 ; ) 设 I =I = =I n =I, r =r = =r n =r, 在 r=, I=.5, V=8, n= 的 情 况 下 求 R, R, R n 及 总 电 阻 R 6. 有 5 个 反 应 器 连 接 如 图 6, 各 个 Q 表 示 外 部 输 入 输 出 及 反 应 器 间 的 流 量 (m /min), 各 个 c 表 示 外 部 输 入 及 反 应 器 内 某 物 质 的 浓 度 (mg/m ) 假 定 反 应 器 内 的 浓 度 是 均 匀 的, 利 用 质 量 守 衡 准 则 建 立 模 型, 求 出 各 反 应 器 内 的 浓 度 c ~c 5, 并 讨 论 反 应 器 j 外 部 输 入 的 改 变 个 单 位 (mg/min) 所 引 起 的 反 应 器 i 浓 度 的 变 化 Q 5 = Q 55 = Q =5 c = Q = Q 5 = Q 5 = Q = Q = Q =8 c = Q = Q = Q =8 图 6 第 6 题 图 7. 有 个 结 点 的 钢 架 结 构 如 图 7, 点 受 到 kg 的 外 力 作 用, 点 是 固 定 支 点, 点 是 滑 动 支 点 利 用 力 的 平 衡 原 理 建 立 模 型, 求 出 力 F, F, F, H, V, V, 讨 论 外 力 变 化 kg 时 对 各 个 力 的 影 响 k 9 F F H 6 F V 图 7 第 7 题 图 V

8. 种 群 的 繁 殖 与 稳 定 收 获 : 种 群 的 数 量 因 繁 殖 而 增 加, 因 自 然 死 亡 而 减 少, 对 于 人 工 饲 养 的 种 群 ( 比 如 家 畜 ) 而 言, 为 了 保 证 稳 定 的 收 获, 各 个 年 龄 的 种 群 数 量 应 维 持 不 变 种 群 因 雌 性 个 体 的 繁 殖 而 改 变, 为 方 便 起 见 以 下 种 群 数 量 均 指 其 中 的 雌 性 种 群 年 龄 记 作 k =,, Ln, 当 年 年 龄 k 的 种 群 数 量 记 作, 繁 殖 率 记 作 b ( 每 个 雌 性 个 体 k k 一 年 繁 殖 的 数 量 ), 自 然 存 活 率 记 作 s ( = d, d 为 一 年 的 死 亡 率 ), 收 获 量 记 作 h, k k k k n 则 来 年 年 龄 k 的 种 群 数 量 ~ 应 为 ~ = b, ~ = s h ( k =,, L n ) 要 求 各 个 年 龄 k k k k + k k k k = 的 种 群 数 量 每 年 维 持 不 变 就 是 要 使 ~ = ( k =, L n ) k k ) 若 b, s 已 知, 给 定 收 获 量 h, 建 立 求 各 年 龄 的 稳 定 种 群 数 量 的 模 型 ( 用 矩 阵 k k k k 向 量 表 示 ) ) 设 n = 5, b = b = b =, b = 5, b =, s = s =., s = s =.6, 如 要 求 h ~ h 5 5 为 5,,,,, 求 ~ 5 ) 要 使 h ~ h 5 均 为 5, 如 何 达 到? 9. 通 过 下 面 的 数 字 例 子 观 察 加 权 因 子 ω 对 超 松 弛 迭 代 收 敛 速 度 的 影 响 已 知 方 程 组 + + + = + + = + + = + + = 取 ω =.75,.,.5,.5, 用 SOR 迭 代 法 求 解, 比 较 其 迭 代 结 果 ( 并 与 精 确 解 相 比 ) 实 验 目 的 实 验 6 非 线 性 方 程 求 解. 掌 握 用 MATLAB 软 件 求 解 非 线 性 方 程 和 方 程 组 的 基 本 用 法, 并 对 结 果 作 初 步 分 析. 练 习 用 非 线 性 方 程 和 方 程 组 建 立 实 际 问 题 的 模 型 并 进 行 求 解 实 验 内 容. 分 别 用 fzero 和 fsolve 程 序 求 方 程 sin- / = 的 所 有 根, 准 确 到 -, 取 不 同 的 初 值 计 算, 输 出 初 值 根 的 近 似 值 和 迭 代 次 数, 分 析 不 同 根 的 收 敛 域 ; 自 己 构 造 某 个 迭 代 公 式 ( 如 = (sin) / 等 ) 用 迭 代 法 求 解, 并 自 己 编 写 Newton 法 的 程 序 进 行 求 解 和 比 较. 对 k=,,,5,6, 分 别 求 一 个 阶 方 阵 A, 使 得 A k =[,,;,5,6;7,8,9]. () 小 张 夫 妇 以 按 揭 方 式 贷 款 买 了 套 价 值 万 元 的 房 子, 首 付 了 5 万 元, 每 月 还 款 元,5 年 还 清 问 贷 款 利 率 是 多 少? () 某 人 欲 贷 款 5 万 元 购 房, 他 咨 询 了 两 家 银 行, 第 一 家 银 行 开 出 的 条 件 是 每 月 还 5 元,5 年 还 清 ; 第 二 家 银 行 开 出 的 条 件 是 每 年 还 5 元, 年 还 清 从 利 率 方 面 看, 哪 家 银 行 较 优 惠 ( 简 单 地 假 设 年 利 率 = 月 利 率 )?

. 水 槽 由 半 圆 柱 体 水 平 放 置 而 成, 如 图 所 示 圆 柱 体 长 L, 半 径 r, 当 给 定 水 槽 内 盛 水 的 体 积 V 后, 要 求 计 算 从 水 槽 边 沿 到 水 面 的 距 离 今 已 知 L=5.m, r=m, 求 V 分 别 为,5,m 的. r L 图 第 题 图 5. 由 汽 缸 控 制 关 闭 的 门, 关 闭 状 态 的 示 意 图 如 图 - 门 宽 a, 门 枢 在 H 处, 与 H 相 距 为 b 处 有 一 门 销, 通 过 活 塞 与 圆 柱 形 的 汽 缸 相 连, 活 塞 半 径 r, 汽 缸 长 l, 汽 缸 内 气 体 的 压 强 为 p 当 用 力 F 推 门, 使 门 打 开 一 个 角 度 α 时 ( 示 意 图 如 图 -), 活 塞 下 降 的 距 离 为 c, 门 销 与 H 的 水 平 距 离 b 保 持 不 变, 于 是 汽 缸 内 的 气 体 被 压 缩, 对 活 塞 的 压 强 增 加 已 知 在 绝 热 条 件 下, 气 体 的 压 强 p 和 体 积 v 满 足 pv γ =c, 其 中 γ 是 绝 热 系 数,c 是 常 数 试 利 用 开 门 力 矩 和 作 用 在 活 塞 上 的 力 矩 相 平 衡 的 关 系 ( 对 门 枢 而 言 ), 求 在 一 定 的 力 F 作 用 下, 门 打 开 的 角 度 α 设 a=.8m, b=.5m, r=.m, l =.5m, p = N/m, γ=., F=5N a a F b H b α c r F l P l=l -c P 图 - 门 的 关 闭 状 态 图 - 门 的 开 启 状 态 6. 给 定 种 物 质 对 应 的 参 数 a i, bi, ci 和 交 互 作 用 矩 阵 Q 如 下 : a =8.67, a =5.8, a =.,a =9.9; b =6., b =755.6, b =68.96, b =7.7; c =9.7, c =9.6, c =5.6,c =7.; Q= [..9.69.6.6..77.5.77.6..96.5.8.65. ] 在 压 强 P=76mmHg 下, 为 了 形 成 均 相 共 沸 混 合 物, 温 度 和 组 分 分 别 是 多 少? 请 尽 量 找 出

所 有 可 能 的 解 7. 用 迭 代 公 式 k+ = a k ep (-b k ) 计 算 序 列 { k }, 分 析 其 收 敛 性, 其 中 a 分 别 取 5,, 5; b(>) 任 意, 初 值 = 观 察 是 否 有 混 沌 现 象 出 现, 并 找 出 前 几 个 分 岔 点, 观 察 分 岔 点 的 极 限 趋 势 是 否 符 合 费 根 鲍 姆 常 数 揭 示 的 规 律 8. 假 设 商 品 在 t 时 期 的 市 场 价 格 为 p(t), 需 求 函 数 为 D(p(t))=c-d p(t) (c,d>) 而 生 产 方 的 期 望 价 格 为 q(t), 供 应 函 数 为 S(q(t)) 当 供 销 平 衡 时 S(q(t))= D(p(t)) 若 期 望 价 格 与 市 场 价 格 不 符, 商 品 市 场 不 均 衡, 生 产 方 t+ 时 期 的 的 期 望 价 格 将 会 调 整, 方 式 为 q(t+)- q(t)= r[p(t)- q(t)], <r<, 以 p(t)=[c- D(p(t))]/ d=[c- S(q(t))]/ d 代 入, 得 到 关 于 q(t) 的 递 推 方 程 设 S ( ) = arctg( µ ), µ=.8,d=.5,r=., 以 c 为 可 变 参 数, 讨 论 期 望 价 格 q(t) 的 变 化 规 律, 是 否 有 混 沌 现 象 出 现, 并 找 出 前 几 个 分 岔 点, 观 察 分 岔 点 的 极 限 趋 势 是 否 符 合 费 根 鲍 姆 常 数 揭 示 的 规 律 实 验 7 无 约 束 优 化 实 验 目 的 ) 掌 握 Matlab 优 化 工 具 箱 的 基 本 用 法, 对 不 同 算 法 进 行 初 步 分 析 比 较 ) 练 习 用 无 约 束 优 化 方 法 建 立 和 求 解 实 际 问 题 的 模 型 ( 包 括 非 线 性 最 小 二 乘 拟 合 ) 实 验 内 容 7. 取 不 同 的 初 值 计 算 下 列 平 方 和 形 式 的 非 线 性 规 划, 尽 可 能 求 出 所 有 局 部 极 小 点, 进 而 找 出 全 局 极 小 点, 并 对 不 同 算 法 ( 搜 索 方 向 搜 索 步 长 数 值 梯 度 与 分 析 梯 度 等 ) 的 结 果 进 行 分 析 比 较 ) min ( + ) + ( + 7) ) min ( + ) + (9 + 9 + 8 + 68) ) min ( + ) + 5( ) + ( ) + ( ) / ) min{[ θ (, )] + [( + ) ] } + π arctg( / ), > 其 中 θ (, ) = π arctg( / ) +, < 8. 取 不 同 的 初 值 计 算 下 列 非 线 性 规 划, 尽 可 能 求 出 所 有 局 部 极 小 点, 进 而 找 出 全 局 极 小 点, 并 对 不 同 算 法 ( 搜 索 方 向 搜 索 步 长 数 值 梯 度 与 分 析 梯 度 等 ) 的 结 果 进 行 分 析 比 较 5 ) min z = ( ) ( ) [ ( ) ] ) min z = e ( + ). ) min z = ( ) + ( ) + + 5( + ).5 + ) min z =, R T T ( a ) ( a ) + c ( a ) ( a ) + c T 其 中 c = (.7,.7), a = (,), a = (.5,.8) T

. 如 图 所 示, 一 个 简 单 的 电 路 由 三 个 固 定 电 阻 R R R 和 一 个 可 调 电 阻 R a 组 成, 其 中 V=8V, R =8Ω,R =Ω, R =Ω 如 何 调 整 可 调 电 阻 R R R a, 才 能 使 该 电 阻 消 耗 的 能 量 尽 量 大? 讨 论 当 电 压 V 在 5V~5V 之 间 变 化 时, 该 最 大 能 量 和 对 应 的 电 阻 如 何 变 化? 如 果 R 和 R a 都 是 可 调 电 阻, 如 何 调 整 这 两 个 可 调 电 阻 使 它 们 消 耗 的 总 能 量 尽 量 大?. 某 海 岛 上 有 个 主 要 的 居 民 点, 每 个 居 民 点 的 位 置 ( 用 平 面 坐 标, y 表 示, 距 离 单 位 :km) 和 居 住 的 人 数 (R) 如 下 表 所 示 现 在 准 备 在 岛 上 建 一 个 服 务 中 心 为 居 民 提 供 各 种 服 务, 那 么 服 务 中 心 应 该 建 在 何 处? V + R R a 图 第 题 图 5 6 7 8 9 8..5 5.7.77.87..58.7 9.76.9 5.55 y.5.9 5. 6.9 8.76.6 9. 9.96.6 7. 7.88 R 6 8 7 6 8 5. 某 分 子 由 5 个 原 子 组 成, 并 且 已 经 通 过 实 验 测 量 得 到 了 其 中 某 些 原 子 对 之 间 的 距 离 ( 假 设 在 平 面 结 构 上 讨 论 ), 如 下 表 所 示 请 你 确 定 每 个 原 子 的 位 置 关 系 原 子 对 距 离 原 子 对 距 离 原 子 对 距 离 原 子 对 距 离 (,).967 (5,).758 (8,8).86 (5,).575 (,).99 (,). (,9).8 (9,).766 (,).8 (,).76 (5,9).57 (5,).9 (7,).765 (8,6).95 (,9).76 (6,).95 (,).7 (,6).559 (,).578 (,6). (5,).59 (9,6).68 (,).95 (,6).855 (6,).6 (5,6).587 (9,).6 (8,7).5 (7,).766 (8,7).5 (,).67 (9,7).85 (5,).689 (,7).878 (,).77 (,9).995

(5,).988 (6,7).6 (8,).8 (,9).77 (,).8 (,7).87 (5,).66 (,9).7 (,).9 (,7).75 (5,).7 (,).76 (,). (,8).9 (7,).9 (,).85 6. 有 一 组 数 据 ( t, y ), i =, L, 其 中 t = ( i ), y 由 下 表 给 出 现 要 用 这 组 数 据 拟 合 i i i i 函 数 t 5t f (, t) = + e + e 中 的 参 数, 初 值 可 选 为 (.5,.5,-,.,.), 用 GN 和 LM 两 种 方 法 求 解 对 yi 作 一 扰 动, 即 y + e, e 为 (-.5,.5) 内 的 随 机 数, 观 察 并 分 析 迭 代 收 敛 是 否 会 变 慢 i i i i y i i y i i y i.8.78.78.98.685.67.9.658 5.57.96 5.68 6.8 5.95 6.6 7.8 6.98 7.58 8. 7.88 8.558 9. 8.85 9.58. 9.88.5..78.56..75.9.6 7. 经 济 学 中 著 名 的 柯 布 道 格 拉 斯 (Cobb Douglas) 生 产 函 数 的 一 般 形 式 为 α β Q ( K, L) = ak L, < α, β < 其 中 Q, K, L 分 别 表 示 产 值 资 金 劳 动 力, 式 中 α, β, a 要 由 经 济 统 计 数 据 确 定 现 有 中 国 统 计 年 鉴 () 给 出 的 统 计 数 据 如 下 表, 请 用 非 线 性 最 小 二 乘 拟 合 求 出 式 中 的 α, β, a, 并 解 释 α, β 的 含 义 年 份 总 产 值 ( 万 亿 元 ) 资 金 ( 万 亿 元 ) 劳 动 力 ( 亿 人 ) 98.77.9.879 985.896.5.987 986.. 5.8 987.96.79 5.78 988.98.75 5. 989.699. 5.59 99.858.57 6.79 99.68.5595 6.59 99.668.88 6.65 5

99.6.7 6.688 99.6759.7 6.755 995 5.878.9 6.865 996 6.7885.9 6.895 997 7.6.9 6.98 998 7.85.86 7.67 999 8.68.985 7.9 9.968.98 7.85 9.75.7 7.5.79.5 7.7 其 中 总 产 值 取 自 国 内 生 产 总 值, 资 金 取 自 固 定 资 产 投 资, 劳 动 力 取 自 就 业 人 员 8. 给 药 方 案 设 计 需 要 依 据 药 物 吸 收 与 排 除 过 程 的 原 理 药 物 进 入 机 体 后 随 血 液 输 送 到 全 身, 不 断 地 被 吸 收 分 布 代 谢, 最 终 排 出 体 外 药 物 在 血 液 中 的 浓 度, 即 单 位 体 积 血 液 中 的 药 物 含 量, 称 血 药 浓 度 在 最 简 单 的 一 室 模 型 中, 将 整 个 机 体 看 作 一 个 房 室, 称 中 心 室, 室 内 的 血 药 浓 度 是 均 匀 的 这 里 我 们 用 一 室 模 型, 讨 论 在 口 服 给 药 方 式 下 血 药 浓 度 的 变 化 规 律, 及 根 据 实 验 数 据 拟 合 参 数 的 方 法 口 服 给 药 方 式 相 当 于 先 有 一 个 将 药 物 从 肠 胃 吸 收 入 血 液 的 过 程, 这 个 过 程 可 简 化 为 在 药 物 进 入 中 心 室 之 前 有 一 个 吸 收 室 ( 如 图 5 所 示 ), 记 中 心 室 和 吸 收 室 的 容 积 分 别 为 V,V, 而 t 时 刻 的 血 药 浓 度 分 别 为 c(t),c (t); 中 心 室 的 排 除 速 率 为 k, 吸 收 速 率 为 k ( 这 里 k 和 k 分 别 是 中 心 室 和 吸 收 室 血 药 浓 度 变 化 率 与 浓 度 本 身 的 比 例 系 数 ) 设 t = 时 刻 口 服 剂 量 为 d 的 吸 收 室 k 中 心 室 药 物, 容 易 写 出 吸 收 室 的 血 药 浓 度 c (t) 的 微 分 c (t) c(t) 方 程 为 dc, ( ) d = k c c = dt V k 中 心 室 血 药 浓 度 c(t) 的 变 化 率 由 两 部 分 组 成 : 与 c 成 正 比 的 排 除 ( 比 例 系 数 k); 图 5 口 服 给 药 方 式 下 的 一 室 模 型 与 c 成 正 比 的 吸 收 ( 比 例 系 数 k ) 再 考 虑 到 中 心 室 和 吸 收 室 的 容 积 分 别 为 V,V, 得 到 c(t) 的 微 分 方 程 为 dc V = kc + k c, c() = dt V 由 以 上 两 个 微 分 方 程 不 难 解 出 中 心 室 血 药 浓 度 6

d k kt kt c( t) = ( e e ) V k k 在 制 定 给 药 方 案 时 必 须 知 道 这 种 药 物 的 个 参 数 k, k, b( = d / V ), 实 际 中 通 常 通 过 实 验 数 据 确 定 设 t = 时 刻 口 服 一 定 剂 量 的 药 物, 下 表 是 实 验 数 据 c (t), 请 由 此 确 定 k, k,b t.8.67.5.5.75..5 c(t).9. 7. 6. 5.5 8..8 t.5.. 6. 8... c(t)..6 5.7 8. 8...8 实 验 8 约 束 优 化 实 验 目 的 :. 掌 握 用 MATLAB 优 化 工 具 箱 解 线 性 规 划 和 非 线 性 规 划 的 方 法 ;. 练 习 建 立 实 际 问 题 的 线 性 规 划 和 非 线 性 规 划 模 型 实 验 内 容 :. () 给 定 A =, b =, 求 A = b 的 所 有 基 ( 本 ) 解 及 可 行 域 { A = b, } 的 所 有 基 ( 本 ) 可 行 解 由 此 回 答 : 如 果 在 该 可 行 域 上 考 虑 线 性 函 数 c T T, 其 中 c = (,, ), 那 么 c T 的 最 小 值 和 最 大 值 是 多 少? 相 应 的 最 小 点 和 最 大 点 分 别 是 什 么? 并 指 出 有 效 约 束 () 对 于 线 性 规 划 (opt 可 以 是 min 或 ma) opt z = + s. t., + + +, + + 5 考 虑 与 () 类 似 的 问 题. 对 于 如 下 线 性 规 划 问 题 ( 有 n 个 决 策 变 量 (,r,s) 和 n 个 约 束 ): min( ) s. t. n r =, + s =, r, r j j j + j, s j j j + s j j =, j =,,..., n, =, j =,,..., n,, j =,,..., n. 请 分 别 对 n 的 不 同 取 值 ( 如 n=,,5 等 ) 求 解 上 述 规 划. 对 于 如 下 二 次 规 划 问 题 ( 只 有 为 决 策 变 量 ): 7

λ i i= min z =.5 ( i ) s. t. A b, 已 知 b=(-5,,-,-,5,,-,,9,) T, A 为 的 矩 阵,A T = ( a ij ), 且 : =,( i,,...,); a i, = ai, i =,( i =,,...,); ai, i = 7,( i =,5,...,); ai, i =,( i = 5,6,...,); ai, 5 i = 5,( i = 6,7,...,); ai, 6 i =,( i = 7,8,...,5); ai, 7 i =,( i = 8,9,...,6); ai, 8 i =,( i = 9,,...,7); ai, 9 i =,( i =,,...,8); ai, i =,( i =,,...,9) 注 意 : 在 上 面 的 表 达 中, 当 a ij 中 的 下 标 i 超 过 时, 应 理 解 为 将 该 下 标 减 去 ( 即 对 取 模 ), 如 a, = 的 含 义 是 a, =, a, = 7 的 含 义 是 a, = 7, 依 此 类 推 假 设 还 已 知 λ i ( i =,,...,) 的 取 值, 请 分 别 对 它 的 不 同 取 值 ( 如 以 下 两 种 取 值 ) 求 解 上 述 规 划 () λ i = ( i =,,...,) () λ i = i ( i =,,...,). 取 不 同 的 初 值 计 算 下 列 非 线 性 规 划, 尽 可 能 求 出 所 有 局 部 极 小 点, 进 而 找 出 全 局 极 小 点 : () 5 min z =.898.8 +.99866.6995 +. s. t. () min z = cos s. t. s. t. () min z = sin, 8, + + 8 + 88 + 96 + 6 () min z = ( s. t. ) + 5 = 5 i + ( + + ) + ( = + = 5, i =,,,,5 ) + ( ) + ( 5 ) 5 8

(5) min z = 5( ) ( ) ( ) s. t. ( ) + ( 5 ) + 6 + + 6,, 5 5 6 6 5. 对 问 题 min{ ( ) + ( ) + 9( ) + ( ) +.[( ) + ( ) ] + 9.8( )( ( ) ( 5 ) ( 6 ) 增 加 以 下 条 件, 并 分 别 取 初 值 (-,-,-,-) 和 (,,,), 求 解 非 线 性 规 划 : a. ; i b. i, +.5, +, ; c., +.5, +, +, 6 ; i = = 再 试 取 不 同 的 初 值 或 用 分 析 梯 度 计 算, 比 较 计 算 结 果 你 能 从 中 得 到 什 么 启 示? 6. 某 市 有 甲 乙 丙 丁 四 个 居 民 区, 自 来 水 由 A,B,C 三 个 水 库 供 应 四 个 区 每 天 必 须 得 到 保 证 的 基 本 生 活 用 水 量 分 别 为 7 千 吨, 由 于 水 源 紧 张, 三 个 水 库 每 天 最 多 只 能 分 别 供 应 5 6 5 千 吨 自 来 水 由 于 地 理 位 置 的 差 别, 自 来 水 公 司 从 各 水 库 向 各 区 送 水 所 需 付 出 的 引 水 管 理 费 不 同 ( 见 下 表, 其 中 C 水 库 与 丁 区 间 没 有 输 水 管 道 ), 其 他 管 理 费 用 都 是 5 元 / 千 吨 根 据 公 司 规 定, 各 区 用 户 按 照 统 一 标 准 9 元 / 千 吨 收 费 此 外, 四 个 区 都 向 公 司 申 请 了 额 外 用 水 量, 分 别 为 每 天 5 7 千 吨 该 公 司 应 如 何 分 配 供 水 量, 才 能 获 利 最 多? 为 了 增 加 供 水 量, 自 来 水 公 司 正 在 考 虑 进 行 水 库 改 造, 使 三 个 水 库 每 天 的 最 大 供 水 量 都 提 高 一 倍, 问 那 时 供 水 方 案 应 如 何 改 变? 公 司 利 润 可 增 加 到 多 少? 引 水 管 理 费 ( 元 / 千 吨 ) 甲 乙 丙 丁 A 6 7 B 9 5 C 9 / 7. 某 银 行 经 理 计 划 用 一 笔 资 金 进 行 有 价 证 券 的 投 资, 可 供 购 进 的 证 券 以 及 其 信 用 等 级 到 期 年 限 收 益 如 下 表 所 示 按 照 规 定, 市 政 证 券 的 收 益 可 以 免 税, 其 他 证 券 的 收 益 需 按 5% 的 税 率 纳 税 此 外 还 有 以 下 限 制 : ) 政 府 及 代 办 机 构 的 证 券 总 共 至 少 要 购 进 万 元 ; ) 所 购 证 券 的 平 均 信 用 等 级 不 超 过. ( 信 用 等 级 数 字 越 小, 信 用 程 度 越 高 ); ) 所 购 证 券 的 平 均 到 期 年 限 不 超 过 5 年 )} 9

证 券 名 称 证 券 种 类 信 用 等 级 到 期 年 限 到 期 税 前 收 益 (%) A 市 政 9. B 代 办 机 构 5 5. C 政 府 5. D 政 府. E 市 政 5.5 () 若 该 经 理 有 万 元 资 金, 应 如 何 投 资 () 如 果 能 够 以.75% 的 利 率 借 到 不 超 过 万 元 资 金, 该 经 理 应 如 何 操 作 () 在 万 元 资 金 情 况 下, 若 证 券 A 的 税 前 收 益 增 加 为.5%, 投 资 应 否 改 变? 若 证 券 C 的 税 前 收 益 减 少 为.8%, 投 资 应 否 改 变 8. 如 下 图, 有 若 干 工 厂 的 排 污 口 流 入 某 江, 各 口 有 污 水 处 理 站, 处 理 站 对 面 是 居 民 点 工 厂 上 游 江 水 流 量 和 污 水 浓 度, 国 家 标 准 规 定 的 水 的 污 染 浓 度, 以 及 各 个 工 厂 的 污 水 流 量 和 污 水 浓 度 均 已 知 道 设 污 水 处 理 费 用 与 污 水 处 理 前 后 的 浓 度 差 和 污 水 流 量 成 正 比, 使 每 单 位 流 量 的 污 水 下 降 一 个 浓 度 单 位 需 要 的 处 理 费 用 ( 称 处 理 系 数 ) 为 已 知 处 理 后 的 污 水 与 江 水 混 合, 流 到 下 一 个 排 污 口 之 前, 自 然 状 态 下 的 江 水 也 会 使 污 水 浓 度 降 低 一 个 比 例 系 数 ( 称 自 净 系 数 ), 该 系 数 可 以 估 计 试 确 定 各 污 水 处 理 站 出 口 的 污 水 浓 度, 使 在 符 合 国 家 标 准 规 定 的 条 件 下 总 的 处 理 费 用 最 小 工 厂 工 厂 工 厂 处 理 站 处 理 站 处 理 站 江 水 居 民 点 居 民 点 居 民 点 先 建 立 一 般 情 况 下 的 数 学 模 型, 再 求 解 以 下 的 具 体 问 题 : 设 上 游 江 水 流 量 为 ( 升 / 分 ), 污 水 浓 度 为.8( 毫 克 / 升 ), 个 工 厂 的 污 水 流 量 均 为 5( 升 / 分 ), 污 水 浓 度 ( 从 上 游 到 下 游 排 列 ) 分 别 为,6,5( 毫 克 / 升 ), 处 理 系 数 均 为 ( 万 元 /(( 升 / 分 ) ( 毫 克 / 升 )), 个 工 厂 之 间 的 两 段 江 面 的 自 净 系 数 ( 从 上 游 到 下 游 ) 分 别 为.9 和.6 国 家 标 准 规 定 水 的 污 染 浓 度 不 能 超 过 ( 毫 克 / 升 ) () 为 了 使 江 面 上 所 有 地 段 的 水 污 染 达 到 国 家 标 准, 最 少 需 要 花 费 多 少 费 用 () 如 果 只 要 求 三 个 居 民 点 上 游 的 水 污 染 达 到 国 家 标 准, 最 少 需 要 花 费 多 少 费 用 9. 一 家 糖 果 商 店 出 售 三 种 不 同 品 牌 的 果 仁 糖, 每 个 品 牌 含 有 不 同 比 例 的 杏 仁 核 桃 仁 腰 果 仁 胡 桃 仁 为 了 维 护 商 店 的 质 量 信 誉, 每 个 品 牌 中 所 含 有 的 果 仁 的 最 大 最 小 比 例 是 必 须 满 足 的, 如 下 表 所 示 :

品 牌 含 量 需 求 每 磅 售 价 ( 美 圆 ) 普 通 腰 果 仁 不 超 过 %.89 胡 桃 仁 不 低 于 % 核 桃 仁 不 超 过 5% 杏 仁 没 有 限 制 豪 华 腰 果 仁 不 超 过 5%. 蓝 带 杏 仁 不 低 于 % 核 桃 仁 胡 桃 仁 没 有 限 制 腰 果 仁 含 量 位 于 -5% 之 间 杏 仁 不 低 于 %.8 核 桃 仁 胡 桃 仁 没 有 限 制 下 表 列 出 了 商 店 从 供 应 商 每 周 能 够 得 到 的 每 类 果 仁 的 最 大 数 量 和 每 磅 的 价 格 : 每 磅 价 格 ( 美 圆 ) 每 周 最 大 供 应 量 ( 磅 ) 杏 仁.5 核 桃 仁.55 腰 果 仁.7 5 胡 桃 仁.5 商 店 希 望 确 定 每 周 购 进 杏 仁 核 桃 仁 腰 果 仁 胡 桃 仁 的 数 量, 使 周 利 润 最 大 建 立 数 学 模 型, 帮 助 该 商 店 管 理 人 员 解 决 果 仁 混 合 的 问 题. 某 公 司 将 种 不 同 含 硫 量 的 液 体 原 料 ( 分 别 记 为 甲 乙 丙 ) 混 合 生 产 两 种 产 品 ( 分 别 记 为 A,B) 按 照 生 产 工 艺 的 要 求, 原 料 甲 乙 必 须 首 先 倒 入 混 合 池 中 混 合, 混 合 后 的 液 体 再 分 别 与 原 料 丙 混 合 生 产 A,B 已 知 原 料 甲 乙 丙 的 含 硫 量 分 别 是,,(%), 进 货 价 格 分 别 为 6,6,( 千 元 / 吨 ); 产 品 A,B 的 含 硫 量 分 别 不 能 超 过.5,.5(%), 售 价 分 别 为 9,5( 千 元 / 吨 ) 根 据 市 场 信 息, 原 料 甲 乙 丙 的 供 应 量 都 不 能 超 过 5 吨 ; 产 品 A,B 的 最 大 市 场 需 求 量 分 别 为, 吨 () 应 如 何 安 排 生 产? () 如 果 产 品 A 的 最 大 市 场 需 求 量 增 长 为 6, 应 如 何 安 排 生 产? () 如 果 乙 的 进 货 价 格 下 降 为 ( 千 元 / 吨 ), 应 如 何 安 排 生 产? 分 别 对 () () 两 种 情 况 进 行 讨 论. 在 如 图 所 示 的 电 网 中, 需 要 从 节 点 传 送 7A 的 电 流 到 节 点 当 电 流 通 过 电 网 传 送 时, 存 在 功 率 损 失, 而 电 流 在 传 送 时 将 自 然 而 然 地 使 总 功 率 损 失 达 到 最 小 请 根 据 这 种 自 然 特 性, 确 定 流 过 各 个 电 阻 的 电 流, 并 与 按 照 电 路 定 律 列 出 的 代 数 方 程 组 的 解 相 比 较

7A Ω 欧 6 Ω 7A Ω Ω. 现 有 一 电 路 由 三 个 电 阻 R,R,R 并 联, 再 与 电 阻 R 串 联 而 成 记 R k 上 电 流 为 I k, 电 压 为 V k, 在 下 列 情 况 下 确 定 R k 使 电 路 总 功 率 损 失 最 小 (k=~): a. I =,I =6, I =8, V k ; b. V =V =V =6, V =, I k 6.. 某 房 地 产 开 发 商 准 备 在 两 片 开 发 区 上 分 别 圈 出 一 块 长 方 形 土 地, 并 砌 围 墙 将 这 两 块 土 地 分 别 围 起 来 每 块 土 地 的 面 积 不 得 小 于 平 方 米, 围 墙 的 高 度 不 能 低 于 米 能 够 用 于 砌 围 墙 的 每 块 砖 是 一 样 的, 每 块 砖 的 高 度 为 厘 米, 长 度 为 厘 米, 宽 度 为 5 厘 米 ( 假 设 砖 的 宽 度 就 是 围 墙 的 宽 度 ) 该 开 发 商 希 望 用 万 块 砖, 使 圈 出 的 两 块 土 地 的 面 积 之 和 最 大, 问 应 如 何 圈 地? 如 果 两 块 土 地 不 要 求 是 长 方 形, 而 是 三 角 形, 结 果 如 何? 实 验 9 整 数 规 划 实 验 目 的 : ) 练 习 建 立 实 际 问 题 的 整 数 规 划 模 型 ) 掌 握 用 LINDO 和 LINGO 软 件 求 解 整 数 规 划 问 题 实 验 内 容 :. 用 分 枝 定 界 算 法 求 解, 并 用 LINDO 或 LINGO 验 证 你 的 结 果 是 否 正 确 : () min z = 7 + 9 s. t. + 6 7 + 5 +, Z () ma z = s. t. 9 7 + 9 + 7 +, 56 Z 7 +. 用 动 态 规 划 方 法 求 解, 并 用 LINDO 或 LINGO 验 证 你 的 结 果 是 否 正 确 :

() min z = s. t. () ma z = 5 s. t.,, + + +,, + + +,, + 5. 用 LINGO 软 件 求 解 : T T ma z = c + Q s. t.,,, + + Z + +., +. + 6 + Z + + +, + {,}., 其 中 c=(6,8,,-) T, Q 是 三 对 角 线 矩 阵, 主 对 角 线 上 元 素 全 为 -, 两 条 次 对 角 线 上 元 素 全 为. 某 货 运 公 司 需 要 从 9 个 货 运 订 单 中 选 定 一 些 订 单 作 为 一 批 用 一 个 集 装 箱 发 送, 以 获 得 最 大 利 润 该 集 装 箱 的 最 大 装 载 容 积 ( 不 允 许 重 叠 堆 放, 所 以 这 里 以 底 面 积 表 示 ) 为 (sq ft), 最 大 装 载 重 量 为 (pounds) 9 个 货 运 订 单 的 相 关 信 息 如 下 : 订 单 号 5 6 7 8 9 利 润 7 6 6 空 间 6 7 5 7 9 重 量 7 7 7 8 6 7 5.( 指 派 问 题 ) 考 虑 指 定 n 个 人 完 成 n 项 任 务 ( 每 人 单 独 承 担 一 项 任 务 ), 使 所 需 的 总 完 成 时 间 ( 成 本 ) 尽 可 能 短. 已 知 某 指 派 问 题 的 有 关 数 据 ( 每 人 完 成 各 任 务 所 需 的 时 间 ) 如 下 表 所 示, 试 求 解 该 指 派 问 题 时 间 任 务 工 人 5 8 9 8 6 8 6 9 9 7 6.( 二 次 指 派 问 题 ) 某 公 司 指 派 n 个 员 工 到 n 个 城 市 工 作 ( 每 个 城 市 单 独 一 人 ), 希 望 使 所 花 费 的 总 电 话 费 用 尽 可 能 少 n 个 员 工 两 两 之 间 每 个 月 通 话 的 时 间 表 示 在 下 面 的 矩 阵 的 上 三 角 部 分 ( 因 为 通 话 的 时 间 矩 阵 是 对 称 的, 没 有 必 要 写 出 下 三 角 部 分 ),n 个 城 市 两 两 之 间 通 话 费 率 表 示 在 下 面 的 矩 阵 的 下 三 角 部 分 ( 同 样 道 理, 因 为 通 话 的 费 率 矩 阵 是 对 称 的, 没 有 必 要 写 出 上 三 角 部 分 ). 试 求 解 该 二 次 指 派 问 题 ( 如 果 你 的 软 件 解 不 了 这 么 大 规 模 的 问 题, 那 就 只 考 虑 最 前 面 的 若 干 员 工 和 城 市 )

7 6 8 8 8 6 6 5 5 8 6 5 6 8 6 7 7 6 7 7 8 9 6 6 9 6 9 8 6 8 8 6 5 8 8 9 8 6 7 8 8 7 8 7 8 8 9 5 9 5 9 5 9 7 9 5 5 5 7. 一 家 出 版 社 准 备 在 某 市 建 立 两 个 销 售 代 理 点, 向 7 个 区 的 大 学 生 售 书, 每 个 区 的 大 学 生 数 量 ( 单 位 : 千 人 ) 已 经 表 示 在 图 上 每 个 销 售 代 理 点 只 能 向 本 区 和 一 个 相 邻 区 的 大 学 生 售 书, 这 两 个 销 售 代 理 点 应 该 建 在 何 处, 才 能 使 所 能 供 应 的 大 学 生 的 数 量 最 大 建 立 该 问 题 的 整 数 线 性 规 划 模 型 并 求 解 9 56 8 7 8. 某 储 蓄 所 每 天 的 营 业 时 间 是 上 午 9 时 到 下 午 5 时 根 据 经 验, 每 天 不 同 时 间 段 所 需 要 的 服 务 员 数 量 如 下 : 时 间 段 ( 时 ) 9~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~5 服 务 员 数 量 6 5 6 8 8 储 蓄 所 可 以 雇 佣 全 时 和 半 时 两 类 服 务 员 全 时 服 务 员 每 天 报 酬 元, 从 上 午 9 时 到 下 午 5 时 工 作, 但 中 午 时 到 下 午 时 之 间 必 须 安 排 小 时 的 午 餐 时 间 储 蓄 所 每 天 可 以 雇 佣 不 超 过 名 的 半 时 服 务 员, 每 个 半 时 服 务 员 必 须 连 续 工 作 小 时, 报 酬 元 问 该 储 蓄 所 应 如 何 雇 佣 全 时 和 半 时 两 类 服 务 员 如 果 不 能 雇 佣 半 时 服 务 员, 每 天 至 少 增 加 多 少 费 用 如 果 雇 佣 半 时 服 务 员 的 数 量 没 有 限 制, 每 天 可 以 减 少 多 少 费 用 9.( 原 油 采 购 与 加 工 ) 某 公 司 用 两 种 原 油 (A 和 B) 混 合 加 工 成 两 种 汽 油 ( 甲 和 乙 ) 甲 乙 两 种 汽 油 含 原 油 A 的 最 低 比 例 分 别 为 5% 和 6%, 每 吨 售 价 分 别 为,8 元 和 5,6 元 该 公 司 现 有 原 油 A 和 B 的 库 存 量 分 别 为 5 吨 和, 吨, 还 可 以 从 市 场 上 买 到 不 超 过,5 吨 的 原 油 A 原 油 A 的 市 场 价 为 : 购 买 量 不 超 过 5 吨 时 的 单 价 为, 元 / 吨 ; 购 买 量 超 过 5 吨 但 不 超 过, 吨 时, 超 过 5 吨 的 部 分 8, 元 / 吨 ; 购 买 量 超 过, 吨 时, 超 过, 吨 的 部 分 6, 元 / 吨 该 公 司 应 如 何 安 排 原 油 的 采 购 和 加 工? 请 分 别 建 立 连 续 规 划 和 整 数 规 划 模 型 来 求 解 这 个 问 题. 生 产 裸 铜 线 和 塑 包 线 的 工 艺 如 图 所 示 :

拉 丝 机 裸 铜 线 塑 包 机 塑 包 线 联 合 机 塑 包 线 某 厂 现 有 I 型 拉 丝 机 和 塑 包 机 各 一 台, 生 产 两 种 规 格 的 裸 铜 线 和 相 应 达 到 两 种 规 格 的 塑 包 线, 没 有 拉 丝 塑 包 联 合 机 ( 简 称 联 合 机 ) 由 于 市 场 需 求 扩 大 和 现 有 塑 包 机 设 备 陈 旧, 计 划 新 增 II 型 拉 丝 机 或 联 合 机 ( 由 于 场 地 限 制, 每 种 设 备 最 多 台 ), 或 改 造 塑 包 机, 每 种 设 备 选 用 方 案 及 相 关 数 据 如 下 : 拉 丝 机 塑 包 机 联 合 机 原 有 I 型 新 购 II 型 原 有 改 造 新 购 方 案 代 号 5 所 需 投 资 ( 万 元 ) 5 运 行 费 用 ( 元 / 小 时 ) 5 7 8 8 固 定 费 用 ( 万 元 / 年 ) 5 8 规 格 生 产 效 率 ( 米 / 小 时 ) 5 6 6 规 格 生 产 效 率 ( 米 / 小 时 ) 8 废 品 率 (%) 每 千 米 废 品 损 失 ( 元 ) 5 5 5 已 知 市 场 对 两 种 规 格 裸 铜 线 的 需 求 分 别 为 和 千 米, 对 两 种 规 格 塑 包 线 的 需 求 分 别 为 和 8 千 米 按 照 规 定, 新 购 及 改 进 设 备 按 每 年 5% 提 取 折 旧 费, 老 设 备 不 提 ; 每 台 机 器 每 年 最 多 只 能 工 作 8 小 时 为 了 满 足 需 求, 确 定 使 总 费 用 最 小 的 设 备 选 用 方 案 和 生 产 计 划. ( 钢 管 下 料 ) 某 钢 管 零 售 商 从 钢 管 厂 进 货, 将 钢 管 按 照 顾 客 的 要 求 切 割 后 售 出 从 钢 管 厂 进 货 时 得 到 的 原 料 钢 管 长 度 都 是 85 毫 米 现 有 一 客 户 需 要 5 根 9 毫 米 长 8 根 5 毫 米 长 根 5 毫 米 长 和 根 55 毫 米 长 的 钢 管 为 了 简 化 生 产 过 程, 规 定 所 使 用 的 切 割 模 式 的 种 类 不 能 超 过 种, 使 用 频 率 最 高 的 一 种 切 割 模 式 按 照 一 根 原 料 钢 管 价 值 的 / 增 加 费 用, 使 用 频 率 次 之 的 切 割 模 式 按 照 一 根 原 料 钢 管 价 值 的 / 增 加 费 用, 依 次 类 推, 且 每 种 切 割 模 式 下 的 切 割 次 数 不 能 太 多 ( 一 根 原 料 钢 管 最 多 生 产 5 根 产 品 ) 此 外, 为 了 减 少 余 料 浪 费, 每 种 切 割 模 式 下 的 余 料 浪 费 不 能 超 过 毫 米 为 了 使 总 费 用 最 小, 应 如 何 下 料.( 易 拉 罐 的 下 料 ) 某 公 司 采 用 一 套 冲 压 设 备 生 产 一 种 罐 装 饮 料 的 易 拉 罐, 这 种 易 拉 罐 是 用 镀 锡 板 冲 压 制 成 的 易 拉 罐 为 圆 柱 形, 包 括 罐 身 上 盖 和 下 底, 罐 身 高 厘 米, 上 盖 和 下 底 的 直 径 均 为 5 厘 米 该 公 司 使 用 两 种 不 同 规 格 的 镀 锡 板 原 料, 规 格 的 镀 锡 板 为 正 方 形, 边 长 厘 米 ; 规 格 的 镀 锡 板 为 长 方 形, 长 宽 分 别 为 和 8 厘 米 由 于 生 产 设 备 和 生 产 工 艺 的 限 制, 对 于 规 格 的 镀 镀 锡 板 原 料, 只 可 以 按 照 图 中 的 模 式 或 5

进 行 冲 压 ; 对 于 规 格 的 镀 锡 板 原 料 只 能 按 照 模 式 进 行 冲 压 使 用 模 式 进 行 每 次 冲 压 所 需 要 的 时 间 分 别 为.5 ( 秒 ) 模 式 模 式 模 式 上 盖 罐 身 下 底 模 式 该 工 厂 每 周 工 作 小 时, 每 周 可 供 使 用 的 规 格 的 镀 锡 板 原 料 分 别 为 5 万 张 和 万 张 目 前 每 只 易 拉 罐 的 利 润 为. 元, 原 料 余 料 损 失 为. 元 / 厘 米 ( 如 果 周 末 有 罐 身 上 盖 或 下 底 不 能 配 套 组 装 成 易 拉 罐 出 售, 也 看 作 是 原 料 余 料 损 失 ) 问 工 厂 应 如 何 安 排 每 周 的 生 产? 实 验 数 据 的 统 计 与 分 析 实 验 目 的 : ) 掌 握 概 率 统 计 的 基 本 概 念 及 用 MATLAB 实 现 的 方 法 ; ) 练 习 用 这 些 方 法 解 决 实 际 问 题 实 验 内 容 :. 设 总 体 X ~ N(,5 ), 抽 取 容 量 为 n 的 样 本, 样 本 均 值 记 作, ) 设 n=6, 求 在 8 与 之 间 的 概 率 ; ) 设 n=6, 求 与 总 体 均 值 之 差 不 超 过 的 概 率 ; ) 要 使 与 总 体 均 值 之 差 不 超 过 的 概 率 达 到.95,n 应 多 大 ; ) 若 抽 取 容 量 为 n =,n =5 的 两 个 样 本, 求 它 们 的 均 值 之 差 不 超 过.8 的 概 率. 设 总 体 X ~ N( µ, σ ), 现 有 样 本 容 量 n =6, 均 值 =.5, 方 差 s =5, ) 已 知 σ =, 求 µ 与 之 差 不 超 过.5 的 概 率 ; ) 未 知 σ, 求 µ 与 之 差 不 超 过.5 的 概 率 ; ) 求 σ 大 于 的 概 率 6

. 某 厂 从 一 台 机 床 生 产 的 滚 珠 中 随 机 抽 取 个, 测 得 直 径 ( 毫 米 ) 如 下 :.6,.7,5.,.9,.8,5.,5.,5.,.8,., 5.,.,,,.,.6, 5.,.9,.7,.5,.7 试 给 出 这 些 数 据 的 均 值 标 准 差 方 差 极 差, 并 画 出 直 方 图. 某 校 6 名 学 生 的 一 次 考 试 成 绩 如 下 : 9 75 8 9 9 85 8 8 77 76 77 95 9 89 9 88 86 8 96 8 79 97 78 75 67 69 68 8 8 8 75 66 85 7 9 8 8 8 8 78 7 7 76 7 86 76 9 89 7 66 86 7 8 9 79 78 77 6 5 55 作 直 方 图, 计 算 均 值 标 准 差 极 差 偏 度 峰 度 ; 5. 用 蒙 特 卡 罗 方 法 计 算 以 下 函 数 在 给 定 区 间 上 的 积 分, 并 改 变 随 机 点 数 目 观 察 对 结 果 的 影 响 ) y =, ; + ) y = e sin, ; ) y = +, ; ) y = e,. π 6. 与 例 6 类 似, 但 炮 弹 射 击 的 目 标 为 一 半 径 米 的 圆 形 区 域, 弹 着 点 以 圆 心 为 中 心 呈 二 维 正 态 分 布, 设 在 密 度 函 数 () 式 中 σ = 8 米 和 σ = 5 米, 相 关 系 数 r =. 求 炮 弹 命 中 圆 形 区 域 的 概 率 7. 冰 淇 淋 的 下 部 为 锥 体, 上 部 为 半 球 设 它 由 锥 面 z = + y 和 球 面 + y + ( z ) = 围 成, 用 蒙 特 卡 罗 方 法 计 算 它 的 体 积 n 8. 对 于 报 童 问 题, 如 果 报 纸 的 销 售 量 服 从 正 态 分 布 N ( µ, σ ), 且 批 发 价 为 a = A( ), K 其 中 n 为 购 进 报 纸 的 数 量,K 为 一 个 给 定 的 常 数 建 立 报 童 为 获 得 最 大 利 润 的 数 学 模 型 当 已 知 µ =, σ = 5, A=.5,K=5,b=.5,c=.5 时, 为 了 获 得 最 大 的 利 润, 求 解 报 童 每 天 购 进 的 报 纸 数 量 n 9. 在 路 灯 更 换 问 题 中, 考 虑 没 有 坏 的 灯 泡 还 有 一 定 的 回 收 价 值 ( 常 数 ), 建 立 相 应 的 数 学 模 型 并 求 出 更 换 周 期 的 表 达 式 当 已 知 某 品 牌 灯 泡 的 平 均 寿 命 为 小 时, 服 从 N (, ), 每 个 灯 泡 的 安 装 价 格 为 7 元, 管 理 部 门 对 每 个 不 亮 的 灯 泡 制 定 的 惩 罚 费 用 为. 元 / 小 时, 每 个 未 坏 灯 泡 的 回 收 价 格 为 5 元, 计 算 最 佳 更 换 周 期. 轧 钢 有 两 道 工 序 : 粗 轧 和 精 轧 粗 轧 钢 坯 时 由 于 各 种 随 机 因 素 的 影 响, 得 到 的 钢 材 的 长 度 呈 正 态 分 布, 其 均 值 可 由 轧 机 调 整, 而 方 差 是 设 备 精 度 决 定 的, 不 能 改 变 ; 精 轧 时 将 粗 轧 得 到 的 钢 材 轧 成 规 定 的 长 度 ( 可 以 认 为 没 有 误 差 ) 如 果 粗 轧 后 的 钢 材 长 度 大 于 规 定 长 度, 精 轧 时 要 把 多 出 的 部 分 轧 掉, 造 成 浪 费 ; 如 果 粗 轧 后 的 钢 材 长 度 已 经 小 于 规 定 长 度, 则 整 根 报 废, 浪 费 更 大 问 题 是 已 知 钢 材 规 定 的 长 度 l 和 粗 轧 后 的 钢 材 长 度 的 均 方 差 σ, 求 可 以 调 整 的 粗 轧 时 钢 材 长 度 的 均 值 m, 使 总 的 浪 费 最 小 试 从 以 下 两 种 目 标 函 数 中 选 择 一 个, 在 l=m,σ=cm 条 件 下 求 均 值 m: y 7

) 每 粗 轧 一 根 钢 材 的 浪 费 最 小 ; ) 每 得 到 一 根 规 定 长 度 钢 材 的 浪 费 最 小 实 验 统 计 推 断 实 验 目 的 : ) 掌 握 数 据 的 参 数 估 计 假 设 检 验 的 基 本 原 理 算 法, 及 用 MATLAB 实 现 的 方 法 ; ) 练 习 用 这 些 方 法 解 决 实 际 问 题 实 验 内 容 :. 某 厂 从 一 台 机 床 生 产 的 滚 珠 中 随 机 抽 取 9 个, 测 得 直 径 ( 毫 米 ) 如 下 :.6,.7,5.,.9,.8,5.,5.,5.,.8 设 滚 珠 直 径 服 从 正 态 分 布, 试 自 行 给 出 不 同 的 显 著 性 水 平, 对 直 径 的 均 值 和 标 准 差 作 区 间 估 计. 据 说 某 地 汽 油 的 价 格 是 每 加 仑 5 美 分, 为 了 验 证 这 种 说 法, 一 位 司 机 开 车 随 机 选 择 了 一 些 加 油 站, 得 到 某 年 月 和 月 的 数 据 如 下 : 月 9 7 5 6 5 6 8 9 9 7 9 9 8 月 8 9 5 8 8 6 9 7 9 8 6 8 5 ) 分 别 用 两 个 月 的 数 据 验 证 这 种 说 法 的 可 靠 性 ; ) 分 别 给 出 月 和 月 汽 油 价 格 的 置 信 区 间 (α =.5); ) 如 何 给 出 月 和 月 汽 油 价 格 差 的 置 信 区 间 (α =.5). 某 校 6 名 学 生 的 一 次 考 试 成 绩 如 下 : 9 75 8 9 9 85 8 8 77 76 77 95 9 89 9 88 86 8 96 8 79 97 78 75 67 69 68 8 8 8 75 66 85 7 9 8 8 8 8 78 7 7 76 7 86 76 9 89 7 66 86 7 8 9 79 78 77 6 5 55 ) 作 直 方 图, 计 算 均 值 标 准 差 极 差 偏 度 峰 度 ; ) 检 验 分 布 的 正 态 性. 设 第 题 的 数 据 是 机 床 甲 产 生 的, 另 从 机 床 乙 生 产 的 滚 珠 中 抽 取 个, 测 得 直 径 (mm) 如 下 : 5.,5.,5.,.9,5.,5.,5.,.8,5.7,5. µ, 试 作 µ = µ, µ 记 两 机 床 乙 生 产 的 滚 珠 直 径 分 别 为, µ µ, µ µ 三 种 检 验 5. 甲 方 向 乙 方 成 批 供 货, 甲 方 承 诺 合 格 率 为 9%, 双 方 商 定 置 信 概 率 为 95% 现 从 一 批 货 中 抽 取 5 件, 件 为 合 格 品, 问 乙 方 应 否 接 受 这 批 货 物? 你 能 为 乙 方 不 接 受 它 出 谋 划 策 吗? 6. 学 校 随 机 抽 取 名 学 生, 测 量 他 们 的 身 高 和 体 重, 所 得 数 据 如 表 6 ) 对 这 些 数 据 给 出 直 观 的 图 形 描 述, 检 验 分 布 的 正 态 性 ; ) 根 据 这 些 数 据 对 全 校 学 生 的 平 均 身 高 和 体 重 做 出 估 计, 并 给 出 估 计 的 误 差 范 围 ; ) 学 校 年 前 作 过 普 查, 学 生 的 平 均 身 高 为 67.5 厘 米, 平 均 体 重 为 6. 公 斤, 根 据 8

这 次 抽 查 的 数 据, 对 学 生 的 平 均 身 高 和 体 重 有 无 明 显 变 化 做 出 结 论 表 6 名 学 生 的 身 高 ( 厘 米 ) 和 体 重 ( 公 斤 ) 身 高 体 重 身 高 体 重 身 高 体 重 身 高 体 重 身 高 体 重 7 75 69 55 69 6 7 65 67 7 7 6 68 67 65 5 69 6 68 65 66 6 68 65 6 59 7 58 65 6 6 55 75 67 7 7 7 6 68 57 55 57 76 6 7 69 69 58 76 57 7 58 68 5 69 5 67 7 7 57 66 55 6 9 7 57 75 76 58 5 7 6 69 6 7 6 6 59 65 6 67 5 7 6 66 7 66 6 7 5 7 6 78 6 6 57 69 5 69 66 78 6 77 66 7 56 67 5 69 58 7 7 7 58 6 65 79 6 7 5 6 7 7 67 65 58 76 6 6 5 65 66 7 59 77 66 8 69 75 75 7 6 7 6 69 6 86 77 7 66 6 5 7 59 76 6 66 76 67 6 7 57 77 58 77 67 69 7 66 5 8 6 76 68 7 56 7 59 7 6 7 59 75 68 65 56 69 65 68 6 77 6 8 7 66 9 7 7 7 59 7. 为 研 究 胃 溃 疡 的 病 理 医 院 作 了 两 组 人 胃 液 成 分 的 试 验, 患 胃 溃 疡 的 病 人 组 与 无 胃 溃 疡 的 对 照 组 各 取 人, 胃 液 中 溶 菌 酶 含 量 如 表 7( 溶 菌 酶 是 一 种 能 破 坏 某 些 细 菌 的 细 胞 壁 的 酶 ) ) 根 据 这 些 数 据 判 断 患 胃 溃 疡 病 人 的 溶 菌 酶 含 量 与 正 常 人 有 无 显 著 差 别 ; ) 若 表 7 患 胃 溃 疡 病 人 组 的 最 后 5 个 数 据 有 误, 去 掉 后 再 作 判 断 表 7 胃 溃 疡 病 人 和 正 常 人 ( 各 人 ) 的 溶 菌 酶 含 量 病 人.....9.... 6.. 7.6 8.9..8.7.5.8. 5..9. 5.. 5. 5. 6. 7.5 9.8 5. 正 常. 5.. 5.7. 5.8.7 7.5. 8.7.5 8.8.5 9..9.. 5.6. 6..5 6.5.8 6.7.6..8.7.8. 8. 名 学 生 参 加 了 某 课 程 进 行 的 考 查 同 样 知 识 的 两 次 测 验, 成 绩 如 表 8 根 据 这 些 9

数 据 判 断 两 次 测 验 的 难 度 是 否 相 同 表 8 名 学 生 的 两 次 测 验 成 绩 ( 每 列 是 同 一 名 学 生 的 两 次 成 绩 ) 第 一 次 : 9 85 79 9 78 76 8 85 88 68 9 7 88 8 9 7 69 8 8 85 第 二 次 : 88 89 86 85 87 88 75 9 88 78 86 86 8 89 85 79 78 88 88 9 9. 调 查 了 9 名 5 岁 以 上 吸 烟 习 惯 与 患 慢 性 气 管 炎 的 关 系, 得 表 9: 表 9 习 惯 与 患 慢 性 气 管 炎 的 人 数 是 否 吸 烟 吸 烟 不 吸 烟 总 和 是 否 患 病 患 慢 性 气 管 炎 56 未 患 慢 性 气 管 炎 6 8 总 和 5 9 患 病 率.% 9.7% 6.5% 问 吸 烟 者 与 不 吸 烟 者 的 慢 性 气 管 炎 患 病 率 是 否 相 同. 表 给 出 的 中 国 7-8 岁 青 少 年 身 高 资 料 来 源 于 995 年 全 国 学 生 体 质 健 康 调 研, 分 层 随 机 整 群 抽 样 自 除 西 藏 台 湾 外 的 所 有 省 ( 市 自 治 区 ), 年 龄 7- 岁, 共 约 万 各 年 龄 段 的 数 据 日 本 7-8 岁 青 少 年 身 高 资 料 以 995 年 日 本 学 校 保 健 调 查 为 依 据 表 中 是 各 个 样 本 的 均 值 和 标 准 差 设 法 用 这 些 数 据 判 断 中 国 和 日 本 男 女 生 身 高 是 否 有 差 异 表 995 年 中 国 和 日 本 男 女 生 身 高 资 料 ( 单 位 :cm) 年 龄 段 中 国 男 生 样 本 日 本 男 生 样 本 中 国 女 生 样 本 日 本 女 生 样 本 均 值 标 准 差 均 值 标 准 差 均 值 标 准 差 均 值 标 准 差 7-.5 5.7.5 5.. 5..8 5. 8-9. 5.6 8. 5.5 8. 5.5 7.6 5.7 9-.6 6.. 5.. 6..5 6. - 9. 6.6 8.9 5.9. 6.9. 6.6-5. 7..9 6.7 6.7 7. 6.7 6.7-5. 8. 5. 7.8 5.5 6.6 5.9 6. - 6. 8. 59.6 7.6 56. 6. 55. 5. - 65. 7. 65. 6.8 57.7 5.5 56.7 5.

5-68. 6. 68.5 6. 58.9 5.6 57. 5. 6-7. 6. 7. 5.9 59. 5. 57.9 5. 7-7. 6. 7.8 6. 59. 5. 58. 5. 8-7.8 5.8 7. 5.9 59. 5. 58. 5. 实 验 回 归 分 析 实 验 目 的. 了 解 回 归 分 析 的 基 本 原 理, 掌 握 MATLAB 实 现 的 方 法 ;. 练 习 用 回 归 分 析 解 决 实 际 问 题 实 验 内 容. 用 切 削 机 床 加 工 时, 为 实 时 地 调 整 机 床 需 测 定 刀 具 的 磨 损 速 度, 每 隔 一 小 时 测 量 刀 具 的 厚 度 得 到 以 下 数 据, 建 立 刀 具 厚 度 对 于 切 削 时 间 的 回 归 模 型, 对 模 型 和 回 归 系 数 进 行 检 验, 并 预 测 7.5 小 时 和 5 小 时 后 的 刀 具 厚 度, 用 () 和 () 两 种 办 法 计 算 预 测 区 间, 解 释 计 算 结 果 时 间 ( 小 时 ) 5 6 7 8 9 刀 具 厚 度 ( 厘 米 ).6 9. 8. 8. 8. 7.7 7.5 7. 7. 6.8 6.5. 电 影 院 调 查 电 视 广 告 费 用 和 报 纸 广 告 费 用 对 每 周 收 入 的 影 响, 得 到 下 面 的 数 据, 建 立 回 归 模 型 并 进 行 检 验, 诊 断 异 常 点 的 存 在 并 进 行 处 理 每 周 收 入 96 9 95 9 95 95 9 9 电 视 广 告 费 用.5..5.5....5 报 纸 广 告 费 用 5....5..5.5.. 营 养 学 家 为 研 究 食 物 中 蛋 白 质 含 量 对 婴 儿 生 长 的 影 响, 按 照 食 物 中 蛋 白 质 含 量 的 高 低, 调 查 了 两 组 两 个 月 到 三 岁 婴 儿 的 身 高 (cm), 见 下 表 高 蛋 白 食 物 组 年 龄..5.8....8...5.5.7. 身 高 5 55 6 66 69 7 8 8 8 9 9 9 9 低 蛋 白 食 物 组 年 龄...7....5.8....8. 身 高 5 5 55 6 6 65 66 69 68 69 7 76 77 ) 分 别 用 两 组 数 据 拟 合 食 物 中 蛋 白 质 高 低 含 量 对 婴 儿 身 高 的 回 归 直 线, 解 释 所 得 结 果 ) 怎 样 检 验 食 物 中 蛋 白 质 含 量 的 高 低 对 婴 儿 的 生 长 有 无 显 著 影 响? 检 验 结 果 如 何?

. 名 少 年 儿 童 参 加 了 一 项 睡 眠 时 间 与 年 龄 关 系 的 调 查, 以 下 结 果 中 的 ( 每 天 ) 睡 眠 时 间 ( 分 钟 ) 是 根 据 连 续 天 记 录 的 平 均 值 得 到 的 序 号 睡 眠 时 间 年 龄 序 号 睡 眠 时 间 年 龄 586. 8 55 8.9 6. 9 9. 9. 58 7.8 565 6.7 576 5.5 5 6.5 5 8.6 6 5 9.6 5 7. 7 78. ) 画 出 散 点 图, 建 立 回 归 模 型 并 检 验 模 型 的 有 效 性, 解 释 得 到 的 结 果 ) 给 出 岁 孩 子 的 平 均 睡 眠 时 间 及 预 测 区 间 5. 社 会 学 家 认 为 犯 罪 与 收 入 低 失 业 及 人 口 规 模 有 关, 对 个 城 市 的 犯 罪 率 y( 每 万 人 中 犯 罪 的 人 数 ) 与 年 收 入 低 于 5 美 元 家 庭 的 百 分 比 失 业 率 和 人 口 总 数 ( 千 人 ) 进 行 了 调 查, 结 果 如 下 序 号 y 序 号 y. 6.5 6. 587.5 8. 6. 7895..5 6. 6 6.9. 7. 76.7 6. 9. 65 5.7 9. 5.8 79 5. 6.5 5. 69 6..7 8.6 7 5.8 9. 7. 8 5 8. 8.6 6.5 65 6.7 6.5 5.9 6 6 8.9.9 8. 85 7.9. 6. 96 7.9 7.9 6.7 76 8 5.7. 7.6 5 8 5.8. 8.6 9 9 8.7 7..9 7 9.7. 8. 595 9.6. 6. 79 5.7 6.9 6.7 5 ) 若 ~ 中 至 多 只 许 选 择 个 变 量, 最 好 的 模 型 是 什 么? ) 包 含 个 自 变 量 的 模 型 比 上 面 的 模 型 好 吗? 确 定 最 终 模 型 ) 对 最 终 模 型 观 察 残 差, 有 无 异 常 点, 若 有, 剔 除 后 如 何 6. 为 得 到 研 磨 机 速 度 ( 转 / 分 ) 与 纤 维 制 品 磨 损 量 的 关 系, 在 6 种 不 同 转 速 下 分 别 对 8 块 同 样 材 料 的 制 品 进 行 试 验, 结 果 如 下 转 速 磨 损 量..5. 5. 5.6 6..9 5.6

6.7 6. 5.8 6. 7. 7.9 8. 7. 8. 8. 7. 8.8 9.8 9. 8.7 9. 6.7..9..5.7..5 8..7...5.8..6 5..7 5. 5.8 55.6 55.9 5.7 5.5 ) 假 定 磨 损 量 与 转 速 之 间 的 关 系 是 线 性 的, 对 所 给 数 据 采 用 两 种 办 法 建 立 模 型 : 原 始 数 据 ; 先 将 每 种 转 速 下 的 8 个 磨 损 量 平 均 比 较 得 到 的 两 个 结 果 的 异 同, 并 作 解 释 ) 对 模 型 ) 作 改 进, 如 建 立 二 次 函 数 模 型 ( 对 数 据 仍 用 两 种 办 法 ) 7. 在 有 氧 锻 炼 中 人 的 耗 氧 能 力 y (ml/min kg) 是 衡 量 身 体 状 况 是 重 要 指 标, 它 可 能 与 以 下 因 素 有 关 : 年 龄, 体 重 (kg),5 米 跑 用 的 时 间 (min), 静 止 时 心 速 ( 次 /min), 跑 步 后 心 速 5 ( 次 /min) 对 名 至 57 岁 的 志 愿 者 进 行 了 测 试, 结 果 如 下 表 试 建 立 耗 氧 能 力 y 与 诸 因 素 之 间 的 回 归 模 型 序 号 y 5.6 89.5 6.8 6 78 5. 75. 6. 6 85 5. 85.8 5.9 5 56 59.6 68..9 66 5 9.9 8 89. 5.5 55 78 6.8 7 77.5 6.98 58 76 7 5.7 76. 7.7 7 76 8 9. 8. 6.5 6 6 9 9. 8. 7.85 6 7 6. 8 8.9 5.8 8 7 5.5 7. 6.8 5 68 7. 5 87.7 8. 56 86.8 5 66.5 6.67 5 76 7. 7 79. 6.6 7 6 5 5.9 5 8. 6. 5 66 6 9. 9 8. 5.7 8 7.9 5 69.6 6.57 57 68 8 6.7 5 77.9 6. 8 6 9 6.8 8 9.6 6.5 8 6 5. 7 7. 6.5 67 68 9. 57 7. 7.58 58 7 6. 5 79. 6.7 6 56 5. 5 76. 5.78 8 6 5.7 5 7.9 5.5 8 6

) 若 ~ 5 中 只 许 选 择 个 变 量, 最 好 的 模 型 是 什 么? ) 若 ~ 5 中 只 许 选 择 个 变 量, 最 好 的 模 型 是 什 么? ) 若 不 限 制 变 量 个 数, 最 好 的 模 型 是 什 么? 你 选 择 哪 个 作 为 最 终 模 型, 为 什 么? ) 对 最 终 模 型 观 察 残 差, 有 无 异 常 点, 若 有, 剔 除 后 如 何 8. 汽 车 销 售 商 认 为 汽 车 销 售 量 与 汽 油 价 格 贷 款 利 率 有 关, 两 种 类 型 汽 车 ( 普 通 型 和 豪 华 型 )8 个 月 的 调 查 资 料 如 下, 其 中 y 是 普 通 型 汽 车 售 量 ( 千 辆 ),y 是 豪 华 型 汽 车 售 量 ( 千 辆 ), 是 汽 油 价 格 ( 元 / 加 仑 ), 是 贷 款 利 率 (%) 序 号 y y. 7..89 6. 5. 5..9 6..7 7.6.95 6...5.8 8. 5...85 9.8 6 7.5.7.78. 7...76.5 8.8.7.76 8.7 9.6.9.75 7. 8.9 7..7 6.9 9. 6.8.7 5....7.9 8. 9..68. 5.6 7.9.6.7 5 7.5..6.6 6 6..5.6. 7 9.8.9.67.8 8. 5.6.68. ) 对 普 通 型 和 豪 华 型 汽 车 分 别 建 立 如 下 模 型 : () () () () () () y = β + β + β, y = β + β + β 给 出 β 的 估 计 值 和 置 信 区 间, 决 定 系 数 R,F 值 及 剩 余 方 差 等 ) 用 =, 表 示 汽 车 类 型, 建 立 统 一 模 型 : y = β + β + β + β, 给 出 β 的 估 计 值 和 置 信 区 间, 决 定 系 数 R,F 值 及 剩 余 方 差 等 以 =, 代 入 统 一 模 型, 将 结 果 与 ) 的 两 个 模 型 的 结 果 比 较, 解 释 二 者 的 区 别 ) 对 统 一 模 型 就 每 种 类 型 汽 车 分 别 作 和 与 残 差 的 散 点 图, 有 什 么 现 象, 说 明 模 型 有 何 缺 陷? ) 对 统 一 模 型 增 加 二 次 项 和 交 互 项, 考 察 结 果 有 什 么 改 进 9. 一 家 洗 衣 粉 制 造 公 司 作 新 产 品 试 验 时, 关 心 洗 衣 粉 泡 沫 的 高 度 y 与 搅 拌 程 度 和 洗

衣 粉 用 量 之 间 的 关 系, 其 中 搅 拌 程 度 从 弱 到 强 分 为 个 水 平 试 验 得 到 的 数 据 如 下 y y y 6 8. 6 65. 6 8. 7. 7 67.7 7 85. 8.8 8 69. 8 88. 9 8. 9 7. 9 9.7.5 76.9 9.6 ) 将 搅 拌 程 度 作 为 普 通 变 量, 建 立 y 与 和 的 回 归 模 型, 从 残 差 图 上 发 现 问 题 ) 将 搅 拌 程 度 视 为 没 有 定 量 关 系 的 个 水 平, 用 - 变 量 表 示, 建 立 回 归 模 型, 与 ) 比 较 从 残 差 图 上 还 能 发 现 什 么 问 题 ) 加 入 搅 拌 程 度 与 洗 衣 粉 用 量 的 交 互 项, 看 看 模 型 有 无 改 进. 下 表 列 出 了 某 城 市 8 位 5 岁 ~ 岁 经 理 的 年 平 均 收 入 ( 千 元 ), 风 险 偏 好 度 和 人 寿 保 险 额 y( 千 元 ) 的 数 据, 其 中 风 险 偏 好 度 是 根 据 发 给 每 个 经 理 的 问 卷 调 查 表 综 合 评 估 得 到 的, 它 的 数 值 越 大, 就 越 偏 爱 高 风 险 研 究 人 员 想 研 究 此 年 龄 段 中 的 经 理 所 投 保 的 人 寿 保 险 额 与 年 均 收 入 及 风 险 偏 好 度 之 间 的 关 系 研 究 者 预 计, 经 理 的 年 均 收 入 和 人 寿 保 险 额 之 间 存 在 着 二 次 关 系, 并 有 把 握 地 认 为 风 险 偏 好 度 对 人 寿 保 险 额 有 线 性 效 应, 但 对 于 风 险 偏 好 度 对 人 寿 保 险 额 是 否 有 二 次 效 应 以 及 两 个 自 变 量 是 否 对 人 寿 保 险 额 有 交 互 效 应, 心 中 没 底 通 过 表 中 的 数 据 来 建 立 一 个 合 适 的 回 归 模 型, 验 证 上 面 的 看 法, 并 给 出 进 一 步 的 分 析 序 号 y 序 号 y 96 66.9 7 9 7.8 5 6.96 5 5 5.76 5 7.996 98 6.86 7 8 5. 6 77 6. 5 6 57..66 6 6.85 5 5 56 9.6 5 7 9 8. 6 5 79.8 8 9 5.8 6 7 5.766 8 9 66 75.796 9 8 55.96 6. 一 个 医 药 公 司 的 新 药 研 究 部 门 为 了 掌 握 一 种 新 止 痛 剂 的 疗 效, 设 计 了 一 个 药 物 实 验, 给 名 患 有 同 种 病 痛 的 病 人 使 用 这 种 新 止 痛 剂 的 以 下 个 剂 量 中 的 某 一 个 :,5,7 和 ( 克 ), 并 记 录 每 个 病 人 病 痛 明 显 减 轻 的 时 间 ( 以 分 钟 计 ) 为 了 解 新 药 的 疗 效 与 病 人 性 别 和 血 压 有 什 么 关 系, 试 验 过 程 中 研 究 人 员 把 病 人 按 性 别 及 血 压 的 低 中 高 三 档 平 均 分 配 来 进 行 测 试 通 过 比 较 每 个 病 人 血 压 的 历 史 数 据, 从 低 到 高 分 成 组, 分 别 记 作.5,.5 和.75 实 验 结 束 后, 公 司 的 记 录 结 果 见 下 表 ( 性 别 以 表 示 女, 表 示 男 ) 5

请 你 为 公 司 建 立 一 个 模 型, 根 据 病 人 用 药 的 剂 量 性 别 和 血 压 组 别, 预 测 出 服 药 后 病 痛 明 显 减 轻 的 时 间 病 人 病 痛 减 轻 时 间 用 药 剂 量 性 别 血 压 组 序 号 ( 分 钟 ) ( 克 ) 别 5.5.5 55.75 7.5 5.5 6 57.75 7 6 5.5 8 7 5.5 9 8 5.75 9 5.5 5.5 9 5.75 9 7.5 7.5 5 7.75 6 7.5 7 7.5 8 7.75 9.5 8.5.75 7.5 6.5 5.75. 对 于 酶 促 反 应 中 的 反 应 速 度 与 底 物 浓 度 的 混 合 反 应 模 型 (7), 计 算 回 归 系 数 估 计 值 及 其 置 信 区 间, 检 验 回 归 系 数 是 否 为 零, 得 到 你 认 为 最 好 的 模 型. Logistic 增 长 曲 线 模 型 和 Gompertz 增 长 曲 线 模 型 是 计 量 经 济 学 等 学 科 中 的 两 个 常 用 模 型, 可 以 用 来 拟 合 销 售 量 的 增 长 趋 势 L 记 Logistic 增 长 曲 线 模 型 为 y = t kt + ae, 记 Gompertz kt be 增 长 曲 线 模 型 为 y t = Le, 这 两 个 模 型 中 L 的 经 济 学 意 义 都 是 销 售 量 的 上 限 下 表 中 给 出 的 是 某 地 区 高 压 锅 的 销 售 量 ( 单 位 : 万 台 ), 为 给 出 此 两 模 型 的 拟 合 结 果, 请 考 虑 如 下 的 问 题 : ) Logistic 增 长 曲 线 模 型 是 一 个 可 线 性 化 模 型 吗 如 果 给 定 L=, 是 否 是 一 个 可 线 6

性 化 模 型, 如 果 是, 试 用 线 性 化 模 型 给 出 参 数 a 和 k 的 估 计 值 ) 利 用 ) 所 得 到 的 a 和 k 的 估 计 值 和 L= 作 为 Logistic 模 型 的 拟 合 初 值, 对 Logistic 模 型 做 非 线 性 回 归 () () ) 取 初 值 L =, b () =, k =., 拟 合 Gompertz 模 型 并 与 Logistic 模 型 的 结 果 进 行 比 较 年 份 t y 年 份 t y 98.65 988 7 8.75 98 9.86 989 8 56. 98 87. 99 9 8.9 98.67 99 99. 985 96.58 99 8.89 986 5 77.65 99 77.7 987 6 96.5 实 验 数 学 建 模 与 数 学 实 验 实 验 目 的 : 综 合 利 用 学 过 的 数 学 知 识, 分 析 解 决 几 个 简 化 的 实 际 问 题, 锻 炼 和 检 验 数 学 建 模 的 能 力 实 验 内 容 : ) 影 院 座 位 设 计 下 图 为 影 院 的 剖 面 示 意 图, 座 位 的 满 意 程 度 主 要 取 决 于 视 角 α 和 仰 角 β 视 角 α 是 观 众 眼 睛 到 屏 幕 上 下 边 缘 视 线 的 夹 角,α 越 大 越 好 ; 仰 角 β 是 观 众 眼 睛 到 屏 幕 上 边 缘 视 线 与 水 平 线 的 夹 角,β 太 大 使 人 的 头 部 过 分 上 仰, 引 起 不 舒 适 感, 一 般 要 求 β 不 超 过 记 影 院 屏 幕 高 h, 上 边 缘 距 地 面 高 H, 地 板 线 倾 角 θ, 第 一 排 和 最 后 一 排 座 位 与 屏 幕 水 平 距 离 分 别 为 d 和 D, 观 众 平 均 坐 高 为 c( 指 眼 睛 到 地 面 的 距 离 ) 已 知 参 数 h=.8, H=5, d=.5, D=9, c=.( 单 位 :m) () 地 板 线 倾 角 θ =, 问 最 佳 座 位 在 什 么 地 方 () 求 地 板 线 倾 角 θ( 一 般 不 超 过 ), 使 所 有 观 众 的 平 均 满 意 程 度 最 大 () 地 板 线 设 计 成 什 么 形 状 可 以 进 一 步 提 高 观 众 的 满 意 程 度 h 屏 幕 H β α c θ 地 板 线 d D 影 院 剖 面 示 意 图 7

) 铅 球 掷 远 铅 球 掷 远 比 赛 的 场 地 是 直 径.5m 的 圆, 要 求 运 动 员 从 场 地 中 将 7.57kg( 男 子 ) 重 的 铅 球 投 掷 在 5 的 扇 形 区 域 内, 如 图 观 察 运 动 员 比 赛 的 录 象 发 现, 他 们 的 投 掷 角 5m 5 度 变 化 较 大, 一 般 在 8 ~5, 有 的 高 达 55, 试 建 立 模 型 讨 论 以 下 问 题 : () 以 出 手 速 度 出 手 角 度 出 手 高 度 为 参 数, 建 立 铅 球 掷 远 的 数 学 模 型 () 给 定 出 手 高 度, 对 于 不 同 的 出 手 速 度, 确 定 最 佳 出 手 角 度 比 较 掷 远 结 果 对 出 手 速 度 和 出 手 角 度 的 灵 敏 性 () 考 虑 运 动 员 推 铅 球 时 用 力 展 臂 的 动 作, 改 进 上 面 的 模 型 ) 血 样 的 分 组 检 验 在 一 个 很 大 的 人 群 中 通 过 血 样 检 验 普 查 某 种 疾 病, 假 定 血 样 为 阳 性 的 先 验 概 率 为 p( 通 常 p 很 小 ) 为 减 少 检 验 次 数, 将 人 群 分 组, 一 组 人 的 血 样 混 合 在 一 起 化 验 当 某 组 的 混 合 血 样 呈 阴 性 时, 即 可 不 经 检 验 就 判 定 该 组 每 个 人 的 血 样 都 为 阴 性 ; 而 当 某 组 的 混 合 血 样 呈 阳 性 时, 则 可 判 定 该 组 至 少 有 一 人 血 样 为 阳 性, 于 是 需 要 对 这 组 的 每 个 人 再 作 检 验 () 当 p 固 定 时 ( 如.%,,.%,,%, ) 如 何 分 组, 即 多 少 人 一 组, 可 使 平 均 总 检 验 次 数 最 少, 与 不 分 组 的 情 况 比 较 () 当 p 多 大 时 不 应 分 组 检 验 () 当 p 固 定 时 如 何 进 行 二 次 分 组 ( 即 把 混 合 血 样 呈 阳 性 的 组 再 分 成 小 组 检 验, 重 复 一 次 分 组 时 的 程 序 ) () 讨 论 其 它 分 组 方 式, 如 二 分 法 ( 人 群 一 分 为 二, 阳 性 组 再 一 分 为 二, 继 续 下 去 ) 三 分 法 等 ) 飞 行 管 理 (995 年 全 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 A 题 ) 在 约 m 高 空 的 某 边 长 为 6 km 的 正 方 形 区 域 内, 经 常 有 若 干 架 飞 机 作 水 平 飞 行 区 域 内 每 架 飞 机 的 位 置 和 速 度 向 量 均 由 计 算 机 记 录 其 数 据, 以 便 进 行 飞 行 管 理 当 一 架 欲 进 入 该 区 域 的 飞 机 到 达 区 域 边 缘 时, 记 录 其 数 据 后, 要 立 即 计 算 并 判 断 是 否 会 与 区 域 内 的 飞 机 发 生 碰 撞 如 果 会 碰 撞, 则 应 计 算 如 何 调 整 各 架 ( 包 括 新 进 入 的 ) 飞 机 飞 行 的 方 向 角, 以 避 免 碰 撞 现 假 定 条 件 如 下 : 不 碰 撞 的 标 准 为 任 意 两 架 飞 机 的 距 离 大 于 8km; 飞 机 飞 行 方 向 角 调 整 的 幅 度 不 应 超 过 度 ; 所 有 飞 机 飞 行 速 度 均 为 每 小 时 8 km; 进 入 该 区 域 的 飞 机 在 到 达 该 区 域 边 缘 时, 与 区 域 内 飞 机 的 距 离 应 在 6 km 以 上 ; 不 必 考 虑 飞 机 离 开 此 区 域 后 的 状 况 ; 请 你 对 这 个 避 免 碰 撞 的 飞 行 管 理 问 题 建 立 数 学 模 型, 列 出 计 算 步 骤, 对 以 下 数 据 进 行 计 算 ( 方 向 角 误 差 不 超 过. 度 ), 要 求 飞 机 飞 行 方 向 角 调 整 的 幅 度 尽 量 小 设 该 区 域 个 顶 点 的 坐 标 为 :(,),(6,),(6,6),(,6) 记 录 数 据 为 : 飞 机 编 号 横 坐 标 X 纵 坐 标 Y 方 向 角 ( 度 ) 5 8

85 85 6 5 55.5 5 5 59 5 5 新 进 入 5 注 : 方 向 角 指 飞 行 方 向 与 X 轴 正 向 的 夹 角 5) 水 塔 流 量 估 计 (99 年 美 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 A 题 ) 某 居 民 区 有 一 个 供 居 民 日 常 用 水 的 水 塔, 它 是 一 个 高.m 直 径 7.m 的 正 圆 柱 按 照 设 计, 当 水 塔 水 位 下 降 到 设 定 的 最 低 水 位 ( 约 8.m) 时, 水 泵 自 动 启 动 向 水 塔 供 水 ; 当 水 位 上 升 到 设 定 的 最 高 水 位 ( 约.8m) 时 水 泵 停 止 供 水 在 水 泵 工 作 的 这 段 时 间 内 无 法 测 量 水 塔 的 水 位 和 水 泵 的 供 水 量 通 常 水 泵 每 天 供 水 一 两 次, 每 次 约 两 小 时 下 表 是 某 一 天 水 塔 的 水 位 测 量 记 录 ( 符 号 // 表 示 水 泵 启 动 ), 试 由 此 估 计 任 何 时 刻 ( 包 括 水 泵 正 在 供 水 时 ) 从 水 塔 流 出 的 水 流 量, 及 一 天 的 总 用 水 量 时 刻 (h).9.8.95.87.98 5.9 7. 7.9 8.97 水 位 (cm) 968 98 9 9 898 88 869 85 89 8 时 刻 (h) 9.98.9.95..95.88.98 5.9 6.8 7.9 水 位 (cm) // // 8 5 99 965 9 98 89 时 刻 (h) 9. 9.96.8..96.88.99 5.9 水 位 (cm) 866 8 8 // // 59 5 8 6) 彩 票 中 的 数 学 ( 年 全 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛 B 题 ) 近 年 来 彩 票 飓 风 席 卷 中 华 大 地, 巨 额 诱 惑 使 越 来 越 多 的 人 加 入 到 彩 民 的 行 列, 目 前 流 行 的 彩 票 主 要 有 传 统 型 和 乐 透 型 两 种 类 型 传 统 型 采 用 选 6+ 方 案 : 先 从 6 组 ~9 号 球 中 摇 出 6 个 基 本 号 码, 每 组 摇 出 一 个, 然 后 从 ~ 号 球 中 摇 出 一 个 特 别 号 码, 构 成 中 奖 号 码 投 注 者 从 ~9 十 个 号 码 中 任 选 6 个 基 本 号 码 ( 可 重 复 ), 从 ~ 中 选 一 个 特 别 号 码, 构 成 一 注, 根 据 单 注 号 码 与 中 奖 号 码 相 符 的 个 数 多 少 及 顺 序 确 定 中 奖 等 级 以 中 奖 号 码 abcdef+g 为 例 说 明 中 奖 等 级, 如 下 表 (X 表 示 未 选 中 的 号 码 ) 中 奖 选 6+(6+/) 等 级 基 本 号 码 特 别 号 码 说 明 一 等 奖 abcdef g 选 7 中 (6+) 二 等 奖 abcdef 选 7 中 (6) 三 等 奖 abcdex Xbcdef 选 7 中 (5) 四 等 奖 abcdxx XbcdeX XXcdef 选 7 中 () 五 等 奖 abcxxx XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7 中 () 六 等 奖 abxxxx XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选 7 中 () 9

乐 透 型 有 多 种 不 同 的 形 式, 比 如 选 7 的 方 案 : 先 从 ~ 个 号 码 球 中 一 个 一 个 地 摇 出 7 个 基 本 号, 再 从 剩 余 的 6 个 号 码 球 中 摇 出 一 个 特 别 号 码 投 注 者 从 ~ 个 号 码 中 任 选 7 个 组 成 一 注 ( 不 可 重 复 ), 根 据 单 注 号 码 与 中 奖 号 码 相 符 的 个 数 多 少 确 定 相 应 的 中 奖 等 级, 不 考 虑 号 码 顺 序 又 如 6 选 6+ 的 方 案, 先 从 ~6 个 号 码 球 中 一 个 一 个 地 摇 出 6 个 基 本 号, 再 从 剩 下 的 个 号 码 球 中 摇 出 一 个 特 别 号 码 从 ~6 个 号 码 中 任 选 7 个 组 成 一 注 ( 不 可 重 复 ), 根 据 单 注 号 码 与 中 奖 号 码 相 符 的 个 数 多 少 确 定 相 应 的 中 奖 等 级, 不 考 虑 号 码 顺 序 这 两 种 方 案 的 中 奖 等 级 如 下 表 中 奖 选 7(7/) 6 选 6+(6+/6) 等 级 基 本 号 码 特 别 号 码 说 明 基 本 号 码 特 别 号 码 说 明 一 等 奖 选 7 中 (7) 选 7 中 (6+) 二 等 奖 选 7 中 (6+) 选 7 中 (6) 三 等 奖 选 7 中 (6) 选 7 中 (5+) 四 等 奖 选 7 中 (5+) 选 7 中 (5) 五 等 奖 选 7 中 (5) 选 7 中 (+) 六 等 奖 选 7 中 (+) 选 7 中 () 七 等 奖 选 7 中 () 选 7 中 (+) 注 : 为 选 中 的 基 本 号 码 ; 为 选 中 的 特 别 号 码 ; 为 未 选 中 的 号 码 以 上 两 种 类 型 的 总 奖 金 比 例 一 般 为 销 售 总 额 的 5%, 投 注 者 单 注 金 额 为 元, 单 注 若 已 得 到 高 级 别 的 奖 就 不 再 兼 得 低 级 别 的 奖 现 在 常 见 的 销 售 规 则 及 相 应 的 奖 金 设 置 方 案 如 下 表, 其 中 一 二 三 等 奖 为 高 项 奖, 后 面 的 为 低 项 奖 低 项 奖 数 额 固 定, 高 项 奖 按 比 例 分 配, 但 一 等 奖 单 注 保 底 金 额 6 万 元, 封 顶 金 额 5 万 元, 各 高 项 奖 额 的 计 算 方 法 为 : [( 当 期 销 售 总 额 总 奖 金 比 例 ) - 低 项 奖 总 额 ] 单 项 奖 比 例 () 根 据 这 些 方 案 的 具 体 情 况, 综 合 分 析 各 种 奖 项 出 现 的 可 能 性 奖 项 和 奖 金 额 的 设 置 以 及 对 彩 民 的 吸 引 力 等 因 素 评 价 各 方 案 的 合 理 性 () 设 计 一 种 更 好 的 方 案 及 相 应 的 算 法, 并 据 此 给 彩 票 管 理 部 门 提 出 建 议 () 给 报 纸 写 一 篇 短 文, 供 彩 民 参 考 序 号 奖 一 等 奖 二 等 奖 三 等 奖 四 等 奖 五 等 奖 六 等 奖 七 等 奖 备 注 项 比 例 比 例 比 例 金 额 金 额 金 额 金 额 方 案 6+/ 5% % % 5 按 序 6+/ 6% % % 5 按 序 6+/ 65% 5% % 5 按 序 6+/ 7% 5% 5% 5 按 序 5 7/9 6% % % 5