Part I 許 湘 伶 August, 2015 黃 文 璋 (2013). 統 計 探 索. 國 立 高 雄 大 學 統 計 學 研 究 所 1 / 50
? 謊 言 統 計 美 國 著 名 的 小 說 家 馬 克 吐 溫 : 在 1907 年 的 自 傳 裡, 引 用 曾 任 英 國 首 相 的 迪 斯 雷 利 (Benjamin Disraeli, 1804-1881) 的 話 : ( 有 三 種 謊 言 : 謊 言, 可 惡 的 謊 言, 及 統 計 ) Wiki: 一 句 著 名 的 西 方 諺 語 主 要 描 述 數 字 的 說 服 能 力, 特 別 是 用 來 諷 刺 一 些 使 用 統 計 數 字 支 持 但 毫 無 說 服 力 的 分 析 報 告, 以 及 人 們 傾 向 於 貶 低 那 些 不 支 持 其 立 場 的 統 計 結 論 2 / 50
從 小 學 起 的 數 學 加 (+) 減 (-) 乘 ( ) 除 ( ) 解 方 程 函 數 幾 何 論 證 3 / 50
數學素養 發揮數學思維方式的特長 做出理性反思與判斷 首頁 數學素養 語文素養 數學素養 科學素養 數位素養 數學素養 數學素養係指個人的數學能力與態度 使其在學習 生活 與職業生涯的情境 脈絡中面臨問題時 能辨識問題與數學的關聯 從而根據數學知識 運用數學技 能 並藉由適當工具與資訊 去描述 模擬 解釋與預測各種現象 發揮數學思維 方式的特長 做出理性反思與判斷 並在解決問題的歷程中 能有效地與他人溝通 觀點 教養/美感素養 教師專業素養 統計思維 N 4 / 50
為什麼要學數學 會具有什麼特質 生活上, 及專業上, 會用到一些數學, 數學可視為一種工具 較有邏輯 計算較精準 數字較敏感 統計思維 N 5 / 50
數 學 素 養 內 容 數 學 內 容 領 域 數 學 歷 程 變 化 與 關 係 空 間 與 形 狀 數 量 不 確 定 性 與 數 據 形 成 數 學 情 境 應 用 數 學 概 念 事 實 程 序 以 及 推 理 詮 釋 應 用 以 及 評 鑑 數 學 結 果 ; 6 / 50
數 學 vs. 統 計 Richard D. De Veaux: 數 學 是 音 樂 ; 統 計 是 文 學 ( 或 者 說, 為 什 麼 天 下 沒 有 六 歲 的 天 才 作 家 ) 參 考 資 料 : Math Is Music; Statistics Is Literature (Or, Why Are There No Six-Year-Old Novelists?) 7 / 50
七 種 非 常 反 人 類 的 (The seven unnatural acts of statistical thinking) Think critically: 批 判 地 思 考, 挑 戰 數 據 的 可 靠 性 ; 尋 找 可 能 的 偏 差 和 隱 藏 訊 息 Be skeptical: 持 懷 疑 態 度 質 疑 權 威 和 現 有 理 論 Think about variation: 考 慮 變 化, 而 不 只 是 中 心 Focus on what we don t know: 關 注 我 們 不 知 道 的 Perfect the process: 盡 量 完 善 分 析 的 每 一 步 Think about conditional probabilities and rare events: 習 慣 於 考 慮 條 件 機 率 和 稀 少 事 件 Embrace vague concepts: 學 會 接 納 不 精 確 的 概 念 和 定 義 參 考 資 料 : 從 學 習 數 學 公 式 到 實 踐 統 計 分 析 8 / 50
七 種 非 常 反 人 類 的 (The seven unnatural acts of statistical thinking) Think critically: 批 判 地 思 考, 挑 戰 數 據 的 可 靠 性 ; 尋 找 可 能 的 偏 差 和 隱 藏 訊 息 Be skeptical: 持 懷 疑 態 度 質 疑 權 威 和 現 有 理 論 Think about variation: 考 慮 變 化, 而 不 只 是 中 心 Focus on what we don t know: 關 注 我 們 不 知 道 的 Perfect the process: 盡 量 完 善 分 析 的 每 一 步 Think about conditional probabilities and rare events: 習 慣 於 考 慮 條 件 機 率 和 稀 少 事 件 Embrace vague concepts: 學 會 接 納 不 精 確 的 概 念 和 定 義 參 考 資 料 : 從 學 習 數 學 公 式 到 實 踐 統 計 分 析 8 / 50
七 種 非 常 反 人 類 的 (The seven unnatural acts of statistical thinking) Think critically: 批 判 地 思 考, 挑 戰 數 據 的 可 靠 性 ; 尋 找 可 能 的 偏 差 和 隱 藏 訊 息 Be skeptical: 持 懷 疑 態 度 質 疑 權 威 和 現 有 理 論 Think about variation: 考 慮 變 化, 而 不 只 是 中 心 Focus on what we don t know: 關 注 我 們 不 知 道 的 Perfect the process: 盡 量 完 善 分 析 的 每 一 步 Think about conditional probabilities and rare events: 習 慣 於 考 慮 條 件 機 率 和 稀 少 事 件 Embrace vague concepts: 學 會 接 納 不 精 確 的 概 念 和 定 義 參 考 資 料 : 從 學 習 數 學 公 式 到 實 踐 統 計 分 析 8 / 50
七 種 非 常 反 人 類 的 (The seven unnatural acts of statistical thinking) Think critically: 批 判 地 思 考, 挑 戰 數 據 的 可 靠 性 ; 尋 找 可 能 的 偏 差 和 隱 藏 訊 息 Be skeptical: 持 懷 疑 態 度 質 疑 權 威 和 現 有 理 論 Think about variation: 考 慮 變 化, 而 不 只 是 中 心 Focus on what we don t know: 關 注 我 們 不 知 道 的 Perfect the process: 盡 量 完 善 分 析 的 每 一 步 Think about conditional probabilities and rare events: 習 慣 於 考 慮 條 件 機 率 和 稀 少 事 件 Embrace vague concepts: 學 會 接 納 不 精 確 的 概 念 和 定 義 參 考 資 料 : 從 學 習 數 學 公 式 到 實 踐 統 計 分 析 8 / 50
七 種 非 常 反 人 類 的 (The seven unnatural acts of statistical thinking) Think critically: 批 判 地 思 考, 挑 戰 數 據 的 可 靠 性 ; 尋 找 可 能 的 偏 差 和 隱 藏 訊 息 Be skeptical: 持 懷 疑 態 度 質 疑 權 威 和 現 有 理 論 Think about variation: 考 慮 變 化, 而 不 只 是 中 心 Focus on what we don t know: 關 注 我 們 不 知 道 的 Perfect the process: 盡 量 完 善 分 析 的 每 一 步 Think about conditional probabilities and rare events: 習 慣 於 考 慮 條 件 機 率 和 稀 少 事 件 Embrace vague concepts: 學 會 接 納 不 精 確 的 概 念 和 定 義 參 考 資 料 : 從 學 習 數 學 公 式 到 實 踐 統 計 分 析 8 / 50
七 種 非 常 反 人 類 的 (The seven unnatural acts of statistical thinking) Think critically: 批 判 地 思 考, 挑 戰 數 據 的 可 靠 性 ; 尋 找 可 能 的 偏 差 和 隱 藏 訊 息 Be skeptical: 持 懷 疑 態 度 質 疑 權 威 和 現 有 理 論 Think about variation: 考 慮 變 化, 而 不 只 是 中 心 Focus on what we don t know: 關 注 我 們 不 知 道 的 Perfect the process: 盡 量 完 善 分 析 的 每 一 步 Think about conditional probabilities and rare events: 習 慣 於 考 慮 條 件 機 率 和 稀 少 事 件 Embrace vague concepts: 學 會 接 納 不 精 確 的 概 念 和 定 義 參 考 資 料 : 從 學 習 數 學 公 式 到 實 踐 統 計 分 析 8 / 50
七 種 非 常 反 人 類 的 (The seven unnatural acts of statistical thinking) Think critically: 批 判 地 思 考, 挑 戰 數 據 的 可 靠 性 ; 尋 找 可 能 的 偏 差 和 隱 藏 訊 息 Be skeptical: 持 懷 疑 態 度 質 疑 權 威 和 現 有 理 論 Think about variation: 考 慮 變 化, 而 不 只 是 中 心 Focus on what we don t know: 關 注 我 們 不 知 道 的 Perfect the process: 盡 量 完 善 分 析 的 每 一 步 Think about conditional probabilities and rare events: 習 慣 於 考 慮 條 件 機 率 和 稀 少 事 件 Embrace vague concepts: 學 會 接 納 不 精 確 的 概 念 和 定 義 參 考 資 料 : 從 學 習 數 學 公 式 到 實 踐 統 計 分 析 8 / 50
統 計 的 重 要 性 有 人 做 決 策 時, 非 有 統 計 不 可 有 人 對 統 計 嗤 之 以 鼻 有 人 以 為 統 計 就 是 數 學 有 人 強 調 統 計 與 數 學 完 全 不 一 樣 9 / 50
統 計 的 重 要 性 有 人 做 決 策 時, 非 有 統 計 不 可 有 人 對 統 計 嗤 之 以 鼻 有 人 以 為 統 計 就 是 數 學 有 人 強 調 統 計 與 數 學 完 全 不 一 樣 9 / 50
統 計 的 重 要 性 有 人 做 決 策 時, 非 有 統 計 不 可 有 人 對 統 計 嗤 之 以 鼻 有 人 以 為 統 計 就 是 數 學 数 理 统 计 论 文 _ 统 计 学 论 文 _ 免 费 论 文 下 载 中 心 www.hi138.com/lixue/tongjixue/shulitongji/ 有 人 強 調 統 計 與 數 學 完 全 不 一 樣 免 费 论 文 下 载 中 心 数 理 统 计 论 文 频 道 含 有 1 万 多 篇 数 理 统 计 论 文 供 下 载, 是 最 专 业 的 免 费 数 理 统 计 论 文 下 载 网 站. 數 理 統 計 學 - 中 文 百 科 在 線 www.zwbk.org/mylemmashow.aspx?zh=zh-tw&lid=68411 2010 年 7 月 4 日... 數 理 統 計 學, 數 學 的 一 個 分 支 學 科 研 究 怎 樣 有 效 地 收 集 整 理 和 分 析 帶 有 隨 機 性 的 數 據, 以 對 所 考 察 的 問 題 作 出 推 斷 或 預 測, 直 至 爲 采 取 一 定 的 決 策... [DOC] 數 理 統 計 學 e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=1269 數 理 統 計 學 Mathematical Statistics 是 研 究 大 量 隨 機 現 象 的 統 計 規 律 性 的 數 學 學 科 其 核 心 問 題 是 根 據 從 總 體 中 隨 機 抽 出 的 樣 本 裏 所 獲 得 的 信 息 來 推 斷 總 體 的 性 質... 數 理 統 計 學 英 文 - 查 查 綫 上 翻 譯 tw.ichacha.net/ 數 理 統 計 學.html 數 理 統 計 學 英 文 翻 譯 :mathematic statistics, 點 擊 查 查 權 威 綫 上 辭 典 詳 細 解 釋 數 理 統 計 學 英 文 怎 麽 說, 怎 麽 用 英 語 翻 譯 數 理 統 計 學, 數 理 統 計 學 的 英 語 例 句 用 法 和... 9 / 50
統 計 素 養?? 統 計 學 的 思 維 方 式 與 內 涵 經 濟 頭 腦 ; 文 學 細 胞 ; 音 樂 素 養 ; 統 計 究 竟 在 做 什 麼? 跳 脫 從 小 到 大 所 學 的 若 A 則 B 10 / 50
統 計 素 養?? 統 計 學 的 思 維 方 式 與 內 涵 經 濟 頭 腦 ; 文 學 細 胞 ; 音 樂 素 養 ; 統 計 究 竟 在 做 什 麼? 跳 脫 從 小 到 大 所 學 的 若 A 則 B 10 / 50
統 計 素 養?? 統 計 學 的 思 維 方 式 與 內 涵 經 濟 頭 腦 ; 文 學 細 胞 ; 音 樂 素 養 ; 統 計 究 竟 在 做 什 麼? 跳 脫 從 小 到 大 所 學 的 若 A 則 B 10 / 50
統 計 素 養?? 統 計 學 的 思 維 方 式 與 內 涵 經 濟 頭 腦 ; 文 學 細 胞 ; 音 樂 素 養 ; 統 計 究 竟 在 做 什 麼? 跳 脫 從 小 到 大 所 學 的 若 A 則 B 統 計 頭 腦 ; 統 計 細 胞 ; 統 計 素 養 10 / 50
什 麼 是 統 計? Wikipedia Statistics is the study of the collection, organization, analysis, interpretation and presentation of data. Statistics is a mathematical body of science that pertains to the collection, analysis, interpretation or explanation, and presentation of data, or as a branch of mathematics. 統 計 學 的 世 界 I 產 生 數 據 統 計 是 用 來 處 理 數 據 的 統 計 是 從 數 據 中 找 出 訊 息, 並 且 做 成 結 論 11 / 50
統 計 分 析 Statistics( 統 計 分 析 ) 比 較 偏 重 於 觀 察 與 實 驗 的 累 積 ( 也 就 是 歸 納 " 類 型 的 研 究 ) 萬 事 萬 物 有 其 共 同 性, 這 使 得 統 計 變 成 可 能 ; 萬 事 萬 物 有 其 不 同 性, 這 使 得 統 計 變 成 必 須 Things are the same, this makes Statistics possible. Things are different, this makes Statistics necessary. Professor Dennis K.J. Lin, Statistics for BIG data" 12 / 50
統 計 Statistics 人 類 對 事 物 數 量 的 認 識 形 成 的 定 義 漢 語 中 的 統 計 " 有 合 計 總 計 的 意 思 英 語 中 的 統 計 "(statistics) 詞 源 : 德 語 Statistik, 政 治 學 ; 新 拉 丁 語 statisticus, 國 事 ; 意 大 利 語 statista, 老 練 的 政 客 ; 舊 意 大 利 語 拉 丁 語 status, 形 勢, 政 體 統 計 " 一 詞, 英 語 為 statistics, 用 作 複 數 名 詞 時, 意 思 是 統 計 資 料, 作 單 數 名 詞 時, 指 的 是 統 計 學 商 鞅 ( 西 元 前 359 年 ) 提 出 強 國 須 知 十 三 數 ( 食 口 壯 男 壯 女 老 弱 官 士 以 言 取 食 利 民 馬 牛 芻 蒿 ) 13 / 50
統 計 學 究 竟 在 做 什 麼? 統 計 學 裡 所 能 達 到 的 是 : 1 允 許 誤 差 下 的 機 率 保 證 2 允 許 誤 差 下 的 無 罪 推 定 14 / 50
差 異 數 學 : 探 討 必 然 性 1 就 是 1 命 題 一 但 被 證 明 是 對 的, 問 題 就 底 定 統 計 : 處 理 隨 機 性 允 許 誤 差, 沒 有 誤 差 反 令 人 懷 疑 機 率 式 的 保 證 通 常 所 能 保 證 的 機 率, 不 但 不 是 百 分 之 百, 還 附 帶 誤 差 的 描 述 15 / 50
差 異 數 學 : 探 討 必 然 性 1 就 是 1 命 題 一 但 被 證 明 是 對 的, 問 題 就 底 定 統 計 : 處 理 隨 機 性 允 許 誤 差, 沒 有 誤 差 反 令 人 懷 疑 機 率 式 的 保 證 通 常 所 能 保 證 的 機 率, 不 但 不 是 百 分 之 百, 還 附 帶 誤 差 的 描 述 15 / 50
標 示 值 誤 差 例 : 宣 稱 有 95% 的 機 率, 某 飲 料 的 容 量, 介 於 325cc 331cc 間 附 表 四 營 養 標 示 值 誤 差 允 許 範 圍 項 目 蛋 白 質 碳 水 化 合 物 誤 差 允 許 範 圍 標 示 值 之 80%~120% ( 食 品 型 態 屬 膠 囊 錠 狀 者 標 示 值 之 120%) 熱 量 脂 肪 飽 和 脂 肪 ( 酸 ) 反 式 標 示 值 之 120% 脂 肪 ( 酸 ) 膽 固 醇 鈉 糖 胺 基 酸 標 示 值 之 80% 維 生 素 ( 不 包 括 維 生 素 A 維 生 素 D) 礦 物 質 ( 不 包 括 鈉 ) 膳 食 纖 維 維 生 素 A 維 生 素 D 標 示 值 之 80%~180% (a) 糧 食 標 示 辦 法 修 正 簡 介 (b) 營 養 標 示 12 16 / 50
選 舉 民 調 tw.news.yahoo.com https://tw.news.yahoo.com/ 最 新 民 調 - 歐 巴 馬 - 美 國 二 戰 以 來 最 差 總 統 -130300949.html 最 新 民 調 : 歐 巴 馬 美 國 二 戰 以 來 最 差 總 統 作 者 : 黃 啟 霖 中 央 廣 播 電 台 2014 年 7 月 2 日 下 午 9:03 根 據 美 國 奎 尼 匹 克 大 學 (Quinnipiac University) 民 調 研 究 所 今 天 (2 日 ) 公 布 的 最 新 民 調, 美 國 現 任 總 統 民 主 黨 的 歐 巴 馬 (Barack Obama), 名 列 美 國 二 次 大 戰 以 來 最 差 的 總 統 這 項 民 調 結 果 顯 示, 他 們 抽 樣 調 查 的 民 眾 當 中,33% 認 為 歐 巴 馬 是 過 去 70 年 來 最 差 的 總 統 至 於 共 和 黨 的 小 布 希 (George W. Bush) 總 統, 則 有 29% 民 眾 認 為 最 差 奎 尼 匹 克 大 學 指 出, 接 受 調 查 的 民 眾 當 中,35% 認 為 1981 到 1989 年 的 共 和 黨 總 統 雷 根 (Ronald Reagan), 是 自 從 1945 年 以 來 最 好 的 總 統 ;18% 的 民 眾 認 為 柯 林 頓 (Bill Clinton) 總 統 最 好 ; 另 有 15% 認 為, 遭 刺 殺 的 甘 迺 迪 (John F. Kennedy) 是 最 好 的 總 統 奎 尼 匹 克 大 學 民 調 研 究 所 助 理 師 長 馬 洛 伊 (Tim Malloy) 指 出, 在 過 去 70 年 的 12 位 總 統 當 中, 歐 巴 馬 總 統 發 現, 他 自 己 和 小 布 希 在 人 氣 方 面 墊 底 這 項 民 調 是 在 6 月 20 到 24 日 之 間, 抽 樣 調 查 1,446 位 美 國 登 記 選 民 得 出 的 結 果, 誤 差 值 為 正 負 2.6 個 百 分 點 Yahoo News Network 服 務 中 心 / 建 議 隱 私 權 關 鍵 字 廣 告 服 務 條 款 17 / 50
政 策 議 題 民 調 tisr.com.tw http://www.tisr.com.tw/?p=4416#more-4416 最 新 消 息 2014 年 07 月 31 日 台 灣 民 心 動 態 調 查 對 外 經 濟 與 兩 岸 民 調 新 聞 稿 一 2014 年 7 月 下 旬, 台 灣 民 心 動 態 調 查 (Taiwan Mood Barometer Survey,TMBS) ) 與 本 期 議 題 調 查 結 果 摘 要 台 灣 民 心 動 態 調 查 1 民 眾 對 於 經 濟 面 現 況 的 評 價,12.3% 認 為 國 內 整 體 經 濟 狀 況 好 79.4% 認 為 不 好, 與 7 月 上 旬 調 查 相 較, 正 向 評 價 增 加 3.4 個 百 分 點, 負 面 評 價 減 少 4.1 個 百 分 點 就 民 眾 家 庭 經 濟 現 況 而 言,52.7% 表 示 財 務 收 支 夠 用 40.3% 不 夠 用, 與 7 月 上 旬 調 查 相 較, 正 向 評 價 增 加 5.6 個 百 分 點, 負 面 評 價 減 少 4.0 個 百 分 點 歸 結 而 言, 本 期 調 查 顯 示 民 眾 對 經 濟 現 況 評 價 略 趨 改 善 2 民 眾 對 政 治 面 評 價 之 總 統 與 行 政 院 長 的 表 現,26.0% 信 任 馬 總 統 56.0% 不 信 任, 與 7 月 上 旬 調 查 相 較, 正 向 評 價 增 加 8.0 個 百 分 點, 負 面 評 價 減 少 10.5 個 百 分 點 對 馬 總 統 執 政 表 現 21.0% 滿 意 66.0% 不 滿 意, 與 7 月 上 旬 調 查 相 較, 正 向 評 價 增 加 6.2 個 百 分 點, 負 面 評 價 減 少 8.3 個 百 分 點 至 於 民 眾 對 行 政 院 長 江 宜 樺 施 政 表 現 21.7% 滿 意 54.6% 不 滿 意, 與 7 月 上 旬 相 較, 正 向 評 價 增 加 6.1 個 百 分 點, 負 面 評 價 減 少 8.9 個 百 分 點 本 期 調 查 結 果 民 眾 對 馬 總 統 閣 揆 江 宜 樺 評 價 明 顯 變 動, 與 7 月 上 旬 相 較 皆 超 過 抽 樣 誤 差 範 圍, 惟 負 面 評 價 仍 遠 高 於 正 向 評 價 五 調 查 過 程 說 明 本 調 查 是 TISR 台 灣 指 標 民 調 公 司 在 2014 年 7 月 28 日 至 30 日 進 行, 經 由 隨 機 跳 號 抽 樣 及 電 腦 輔 助 人 員 的 電 話 訪 問 方 式, 完 訪 1152 位 居 住 在 台 澎 金 馬 年 滿 20 歲 民 眾, 在 95% 信 賴 水 準 時 抽 樣 誤 差 最 大 值 為 ±2.9% 上 述 各 項 結 果 已 對 受 訪 者 性 別 居 住 縣 市 年 齡 教 育 程 度, 進 行 樣 本 代 表 性 檢 定 與 加 權 處 理 (raking) 18 / 50
證 明 很 少 經 由 統 計 去 證 明 那 件 事 必 是 對 的 探 索 真 相? 真 相 留 給 上 帝! 在 隨 機 世 界, 真 相 常 難 以 大 白 一 切 都 是 假 設, 只 看 你 接 受 那 一 個 19 / 50
無 罪 推 定 的 精 神 接 受 或 拒 絕, 採 類 似 刑 事 訴 訟 法 第 154 條 無 罪 推 定 的 精 神 在 電 影 嫌 豬 手 事 件 簿 中, 一 位 法 官 在 審 理 金 子 徹 平 ( 加 瀨 亮 飾 ) 之 餘, 他 對 實 習 生 說 的 一 段 話 他 問 那 些 實 習 生 究 竟 法 官 扮 演 何 種 角 色, 所 得 的 答 案 不 外 是 追 求 公 平 和 正 義 然 而, 該 法 官 給 了 一 個 令 人 出 乎 意 料 的 觀 點 : 不 要 讓 無 罪 之 人 受 到 處 罰 " 虛 無 假 設 H 0? 20 / 50
一 統 計 方 法, 常 對 應 人 們 的 某 種 思 維 機 率 及 誤 差, 構 成 之 兩 大 支 柱 因 而 發 展 出 統 計 學 裡 所 著 重 的 幾 項 要 點 : 善 用 資 訊 了 解 變 異 相 信 機 率 合 理 估 計 無 罪 推 定 紙 上 談 兵 21 / 50
善 用 資 訊 Data! data! data! he cried impatiently. I can t make bricks without clay. 柯 南 道 爾 著 的 桐 山 毛 櫸 山 莊 22 / 50
善 用 資 訊 沒 有 規 矩 不 能 成 方 圓 沒 有 黏 土 不 能 做 磚 沒 有 資 料 (data) 無 法 做 決 策 23 / 50
什 麼 是 data? 資 料 數 據, 從 調 查 實 驗 或 研 究 中 獲 得 資 訊 A general term for observations and measurements collected during any type of scientific investigation 做 決 策 不 能 沒 有 data, 算 命 者 所 倚 賴 的 也 是 data: 要 收 集 很 多 人 的 命 運, 並 按 面 相 八 字 等 分 類 算 命 是 在 做 統 計 實 務 24 / 50
數 據 從 何 而 來? 數 字 不 會 說 謊, 但 說 謊 的 人 會 想 出 辦 法 葛 洛 斯 維 納 數 據 是 數 字, 而 數 字 總 顯 得 牢 不 可 破 其 實 有 的 如 此, 有 的 卻 不 是 任 何 一 項 統 計 研 究 中 最 重 要 的 事, 就 是 數 據 的 來 源 好 的 數 據 是 人 類 的 智 慧 結 晶 壞 的 數 據 則 是 懶 惰 或 無 知 的 結 果, 甚 至 可 能 是 有 人 存 心 誤 導 25 / 50
讓 數 據 說 話 是 否 真 了 解 數 據 所 說 的 話? 統 計 學 家 的 本 事 要 能 發 揮, 就 得 善 用 資 訊 有 些 有 用 的 資 訊 不 見 得 容 易 看 出 26 / 50
找 出 資 訊 有 人 敲 門, 是 男 是 女? 沒 有 其 他 資 訊 : 原 來 男 女 各 1/2 的 機 率 27 / 50
找 出 資 訊 有 人 敲 門, 是 男 是 女? 沒 有 其 他 資 訊 : 原 來 男 女 各 1/2 的 機 率 更 多 資 訊 : 原 來 男 女 各 1/2 的 機 率, 此 假 設 便 不 必 然 仍 存 在 27 / 50
隨 機 應 變 機 率 值 會 變, 是 機 率 的 一 特 性 視 新 的 資 訊 產 生, 對 一 事 件 機 率 之 判 斷, 也 隨 之 而 變 善 用 資 訊 以 隨 機 應 變 28 / 50
化 繁 為 簡 化 簡 為 繁 有 時 想 儘 量 減 少 資 訊 的 透 露 號 碼 鎖 提 款 卡, 或 上 網 的 密 碼 等, 要 愈 難 被 猜 中 買 樂 透 彩 時 想 要 猜 中 號 碼 樂 透 彩 公 司 則 希 望 儘 量 不 易 被 猜 中 29 / 50
如 何 藏 東 西? 將 樂 透 彩 中 獎 號 碼 隨 機 產 生 對 於 密 碼, 隨 機 挑 選 付 出 代 價 : 密 碼 自 己 不 易 記 得 30 / 50
了 解 變 異 一 樹 之 果 有 酸 甜 之 別 一 母 之 子 有 賢 愚 之 分 封 神 演 義 ( 黃 天 化 潼 關 會 父 ) 31 / 50
了 解 變 異 由 常 數 至 隨 機 變 異! 各 種 數 量 不 再 全 然 是 常 數 小 學 裡 的 數 學 題 目 : 同 年 級 的 男 生 同 重 同 一 人 跑 步 同 一 個 人 的 體 重 應 為 一 常 數 的 二 定 點 之 間 距, 每 次 可 能 都 有 些 差 異 32 / 50
宇 宙 的 運 轉 必 然 性 與 隨 機 性 交 錯 進 行 對 未 來, 知 道 大 致 會 發 生 那 些 事, 但 又 無 法 完 全 掌 握 33 / 50
宇 宙 的 運 轉 必 然 性 與 隨 機 性 交 錯 進 行 對 未 來, 知 道 大 致 會 發 生 那 些 事, 但 又 無 法 完 全 掌 握 33 / 50
自 由 落 體 如 果 忽 略 空 氣 阻 力, 在 高 度 固 定 下, 銅 板 落 地 所 需 時 間, 是 個 固 定 值 ( 必 然 性 ) 落 地 後 那 一 面 朝 上? ( 隨 機 性 ) 34 / 50
必 然 性 使 人 們 願 意 事 先 好 好 準 備 隨 機 性 使 人 們 對 未 來, 充 滿 著 盼 望 與 戒 慎 恐 懼 光 有 必 然 性, 亳 無 變 異, 對 未 來 缺 乏 盼 望, 人 們 將 少 了 努 力 的 動 機 光 有 隨 機 性, 只 靠 運 氣, 將 令 人 失 去 積 極 認 真 的 企 圖 心 三 分 天 注 定, 五 分 靠 打 拼, 兩 分 靠 運 氣 35 / 50
必 然 性 使 人 們 願 意 事 先 好 好 準 備 隨 機 性 使 人 們 對 未 來, 充 滿 著 盼 望 與 戒 慎 恐 懼 光 有 必 然 性, 亳 無 變 異, 對 未 來 缺 乏 盼 望, 人 們 將 少 了 努 力 的 動 機 光 有 隨 機 性, 只 靠 運 氣, 將 令 人 失 去 積 極 認 真 的 企 圖 心 三 分 天 注 定, 五 分 靠 打 拼, 兩 分 靠 運 氣 35 / 50
減 少 變 異 由 於 變 異 無 可 避 免 的 存 在, 要 了 解 變 異, 設 法 減 少 變 異 抽 樣 調 查 某 產 品 的 良 品 率 { 良 品 :1; 不 良 品 :0. 得 到 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0,... 估 計? 以 平 均 l 出 現 的 次 數, 估 計 良 品 率 估 計 要 夠 精 準, 樣 本 數 便 要 較 大 36 / 50
隨 機 法 則 雖 世 事 多 變, 但 萬 物 有 常, 存 在 隨 機 法 則 看 似 沒 有 規 律 的 0,1 數 列, 其 實 被 大 數 法 則 規 範 不 論 樣 本 數 多 大, 都 不 能 保 證 前 述 平 均 值, 剛 好 等 於 良 品 率 誤 差 究 竟 有 多 大? 37 / 50
在 數 學 中, 常 在 求 近 似 值 射 飛 標, 有 時 偏 右 有 時 偏 左, 不 能 只 說 平 均 會 命 中 紅 心 一 支 職 棒 球 隊 的 平 均 年 薪 雖 很 高, 但 除 了 少 數 幾 位 身 價 超 高 者 外, 很 多 球 員 可 能 只 得 溫 飽 還 要 知 道 薪 水 的 變 異, 才 能 對 整 支 球 隊 的 薪 資 結 構, 有 較 清 晰 的 概 念 38 / 50
在 數 學 中, 常 在 求 近 似 值 射 飛 標, 有 時 偏 右 有 時 偏 左, 不 能 只 說 平 均 會 命 中 紅 心 一 支 職 棒 球 隊 的 平 均 年 薪 雖 很 高, 但 除 了 少 數 幾 位 身 價 超 高 者 外, 很 多 球 員 可 能 只 得 溫 飽 還 要 知 道 薪 水 的 變 異, 才 能 對 整 支 球 隊 的 薪 資 結 構, 有 較 清 晰 的 概 念 38 / 50
的 變 異, 才 能 對 整 支 球 隊 的 薪 38 / 50
平 均 薪 資 及 其 他 數 據 探 索 39 / 50
平 均 薪 資 及 其 他 數 據 探 索 39 / 50
平 均 薪 資 及 其 他 數 據 探 索 39 / 50
平 均 薪 資 及 其 他 數 據 探 索 39 / 50
平 均 薪 資 及 其 他 數 據 探 索 39 / 50
平 均 薪 資 及 其 他 數 據 探 索 一 支 職 棒 球 隊 的 平 均 年 薪 雖 很 高, 但 除 了 少 數 幾 位 身 價 超 高 者 外, 很 多 球 員 可 能 只 得 溫 飽 還 要 知 道 薪 水 的 變 異, 才 能 對 整 支 球 隊 的 薪 資 結 構, 有 較 清 晰 的 概 念 39 / 50
另 一 個 重 要 的 隨 機 法 則 中 央 極 限 定 理 (central limit theorem) 便 告 訴 我 們, 在 一 些 並 不 太 強 (strong) 的 條 件 下, 量 測 所 得 之 誤 差 有 常 態 分 佈 (normal distribution) 與 數 學 中 的 誤 差 不 同, 此 處 誤 差 大 小 是 隨 機 的 但 誤 差 之 散 佈 情 形, 則 能 描 述 40 / 50
在 統 計 裡, 常 在 做 預 測 做 估 計 本 質 上 是 在 做 以 偏 概 全 的 事 雖 偏 卻 能 概 全, 這 是 統 計 學 家 的 本 領 但 如 果 樣 本 實 在 太 偏 差, 沒 有 代 表 性, 那 就 真 是 以 管 窺 天, 見 不 到 全 貌 了 Figure 1 : 當 小 老 鼠 誤 導 我 們 41 / 50
袋 中 白 球 所 佔 比 例? 42 / 50
圓 周 率 π 例. 如 何 估 計 圓 周 率 π? 隨 機 灑 芝 麻,n 粒 落 進 正 方 形 內,a 粒 落 進 圓 中 π 4 = πr 2 4r 2 = a n π = 4a n 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 43 / 50
圓 周 率 π 例. 如 何 估 計 圓 周 率 π? 隨 機 灑 芝 麻,n 粒 落 進 正 方 形 內,a 粒 落 進 圓 中 π 4 = πr 2 4r 2 = a n π = 4a n 1.0 3.5 3.4 0.5 3.3 3.2 0.0 3.1 0.5 3.0 2.9 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 200 400 600 800 1000 43 / 50
一 個 常 見 的 條 件 是, 各 次 取 樣 要 彼 此 沒 有 關 連 樣 本 須 相 互 獨 立, 不 同 的 樣 本 要 分 佈 相 同 以 估 計 銅 板 出 現 正 面 的 機 率 為 例, 不 能 每 次 投 擲, 只 是 往 前 輕 輕 一 丟, 這 樣 每 次 大 約 都 得 到 相 同 的 面 ( 不 獨 立 ) 另 外, 也 不 能 每 次 所 用 的 銅 板, 現 正 面 的 機 率 不 同 ( 分 佈 不 同 ) 44 / 50
但 獨 立 且 分 佈 相 同 的 假 設 容 不 容 易 辦 到 呢? 如 果 是 投 擲 銅 板, 此 假 設 大 致 會 成 立 如 果 要 藉 由 隨 機 地 投 擲 芝 麻, 落 進 一 圓 中 的 芝 麻 數, 與 落 進 其 外 切 圓 的 芝 麻 數 之 比 值, 來 估 計 圓 周 率 π, 可 能 也 大 致 還 可 以 1.0 3.5 3.4 0.5 3.3 3.2 0.0 3.1 0.5 3.0 2.9 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 200 400 600 800 1000 45 / 50
但 獨 立 且 分 佈 相 同 的 假 設 容 不 容 易 辦 到 呢? 但 對 於 要 處 理 人 的 問 題, 就 不 是 很 容 易 辦 到 了 一 方 面 不 同 的 人 之 間, 就 是 有 差 異 性 任 取 n 人, 每 人 支 持 某 候 選 人 之 機 率 皆 相 同 的 假 設, 比 投 擲 一 銅 板 n 次, 每 次 出 現 正 面 機 率 皆 相 同 之 假 設, 強 得 太 多 另 一 方 面, 人 可 不 像 銅 板 般, 會 馴 服 地 讓 你 重 覆 實 驗 以 民 意 調 查 為 例, 人 不 見 得 會 誠 實 回 答 問 題, 甚 至 還 會 改 變 主 意 所 以 實 際 應 用 統 計 方 法 時, 要 更 謹 慎, 否 則 造 成 的 變 異, 會 比 預 期 的 大 很 多 46 / 50
常 態 分 佈 事 實 上, 即 使 在 弱 一 些 的 條 件 下, 大 數 法 則 及 中 央 極 限 定 理 也 仍 適 用 在 大 量 的 觀 測 後, 大 數 法 則 指 出, 所 得 到 的 平 均 值, 會 接 近 該 得 到 的 值 平 均 值 會 在 此 該 得 到 的 值 附 近 波 動 至 於 誤 差, 為 一 隨 機 的 量 中 央 極 限 定 理 給 出, 誤 差 差 不 多 有 常 態 分 佈 47 / 50
誤 差 理 論 科 學 上 常 要 做 量 測 高 斯 (Carl F. Gauss, 1777-1855): 三 大 數 學 家 之 ㄧ:, 曾 研 究 誤 差 理 論 在 一 些 假 設 下 = 導 出 量 測 的 誤 差 有 常 態 分 佈 常 態 分 佈 又 稱 高 斯 分 佈 高 斯 在 數 學 上 有 諸 多 重 要 成 就, 但 在 10 馬 克 上 陪 伴 高 斯 的, 不 是 其 他, 就 是 一 常 態 分 佈 的 曲 線 48 / 50
相 對 頻 率 那 一 串 0, 1 數 列, 1 出 現 的 相 對 頻 率 ( 即 出 現 次 數 除 以 觀 測 次 數 n), 會 接 近 1 出 現 的 機 率 但 此 不 表 1 出 現 的 頻 率 ( 即 出 現 總 次 數 ), 會 接 近 我 們 所 期 望 1 該 出 現 的 次 數 例 : 投 擲 一 公 正 銅 板, 對 於 n 為 2, 與 n 為 10, 你 認 為 是 前 者, 還 是 後 者 較 易 出 現 正 反 面 數 相 同? 答 案 是 前 者, 發 生 之 機 率 為 2 分 之 1, 後 者 發 生 之 機 率 為 1,024 分 之 252, 約 為 0.246, 不 到 4 分 之 1 若 n 為 10,000, 此 機 率 將 更 小, 約 為 0.008 即 若 n 愈 大, 出 現 之 正 面 數, 將 在 投 擲 數 之 半 附 近 一 更 大 的 範 圍 內 波 動 ( 變 異 增 加 ), 愈 易 偏 離 所 期 望 的 投 擲 數 之 半 49 / 50
相 對 頻 率 那 一 串 0, 1 數 列, 1 出 現 的 相 對 頻 率 ( 即 出 現 次 數 除 以 觀 測 次 數 n), 會 接 近 1 出 現 的 機 率 但 此 不 表 1 出 現 的 頻 率 ( 即 出 現 總 次 數 ), 會 接 近 我 們 所 期 望 1 該 出 現 的 次 數 例 : 投 擲 一 公 正 銅 板, 對 於 n 為 2, 與 n 為 10, 你 認 為 是 前 者, 還 是 後 者 較 易 出 現 正 反 面 數 相 同? 答 案 是 前 者, 發 生 之 機 率 為 2 分 之 1, 後 者 發 生 之 機 率 為 1,024 分 之 252, 約 為 0.246, 不 到 4 分 之 1 若 n 為 10,000, 此 機 率 將 更 小, 約 為 0.008 即 若 n 愈 大, 出 現 之 正 面 數, 將 在 投 擲 數 之 半 附 近 一 更 大 的 範 圍 內 波 動 ( 變 異 增 加 ), 愈 易 偏 離 所 期 望 的 投 擲 數 之 半 49 / 50
相 對 頻 率 那 一 串 0, 1 數 列, 1 出 現 的 相 對 頻 率 ( 即 出 現 次 數 除 以 觀 測 次 數 n), 會 接 近 1 出 現 的 機 率 但 此 不 表 1 出 現 的 頻 率 ( 即 出 現 總 次 數 ), 會 接 近 我 們 所 期 望 1 該 出 現 的 次 數 例 : 投 擲 一 公 正 銅 板, 對 於 n 為 2, 與 n 為 10, 你 認 為 是 前 者, 還 是 後 者 較 易 出 現 正 反 面 數 相 同? 答 案 是 前 者, 發 生 之 機 率 為 2 分 之 1, 後 者 發 生 之 機 率 為 1,024 分 之 252, 約 為 0.246, 不 到 4 分 之 1 若 n 為 10,000, 此 機 率 將 更 小, 約 為 0.008 即 若 n 愈 大, 出 現 之 正 面 數, 將 在 投 擲 數 之 半 附 近 一 更 大 的 範 圍 內 波 動 ( 變 異 增 加 ), 愈 易 偏 離 所 期 望 的 投 擲 數 之 半 49 / 50
相 對 頻 率 那 一 串 0, 1 數 列, 1 出 現 的 相 對 頻 率 ( 即 出 現 次 數 除 以 觀 測 次 數 n), 會 接 近 1 出 現 的 機 率 但 此 不 表 1 出 現 的 頻 率 ( 即 出 現 總 次 數 ), 會 接 近 我 們 所 期 望 1 該 出 現 的 次 數 例 : 投 擲 一 公 正 銅 板, 對 於 n 為 2, 與 n 為 10, 你 認 為 是 前 者, 還 是 後 者 較 易 出 現 正 反 面 數 相 同? 答 案 是 前 者, 發 生 之 機 率 為 2 分 之 1, 後 者 發 生 之 機 率 為 1,024 分 之 252, 約 為 0.246, 不 到 4 分 之 1 若 n 為 10,000, 此 機 率 將 更 小, 約 為 0.008 即 若 n 愈 大, 出 現 之 正 面 數, 將 在 投 擲 數 之 半 附 近 一 更 大 的 範 圍 內 波 動 ( 變 異 增 加 ), 愈 易 偏 離 所 期 望 的 投 擲 數 之 半 49 / 50
大 數 法 則 是 針 對 平 均, 而 非 和 也 就 是 所 得 之 正 面 數 除 以 投 擲 數, 才 會 愈 來 愈 接 近 ( 變 異 減 小 )1/2 看 到 樂 透 彩 已 經 開 了 這 麼 多 期, 怎 麼 各 號 碼 出 現 的 頻 率 差 異 愈 來 愈 大, 以 為 真 有 氣 比 較 旺 的 號 碼, 或 真 有 冷 門 號 碼 大 數 法 則 是 告 訴 我 們, 當 開 的 期 數 愈 多 (n 愈 大 ), 任 一 號 碼 出 現 的 相 對 頻 率, 會 愈 來 愈 接 近 該 號 碼 出 現 的 機 率 值 相 當 開 的 期 數 愈 多 時, 任 一 號 碼 出 現 的 相 對 頻 率, 與 該 號 碼 出 現 的 機 率 值 之 差 異, 會 很 小 的 機 率 將 很 大 ( 即 接 近 1) 這 是 隨 著 n 的 增 大, 變 異 會 愈 來 愈 小 的 意 思 50 / 50