大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐 31 經 等 經 典 可 以 遵 循 所 謂 基 本 教 義 派, 對 我 來 說, 指 的 是 : 去 想 一 些 最 根 本 最 底 層 的 問 題, 希 望 從 那 些 問 題 出 發 去 了 解 紛 雜 的 現 象 幾 十 年 來, 我 從 數

黃 武 雄 教 授 演 講 及 其 回 響 一 一 大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐 一. 緣 起 演 講 : 黃 武 雄 時 間 : 2004 年 2 月 5 日 地 點 : 交 通 大 學 應 用 數 學 系 整 理 : 詹 宗 智 許 元 春 教 授 大 約 三 四 年 前, 交 通 大 學 應 用 數 學 系 執 行 教 務 處 推 動 的 世 界 性 數 學 課 程 調 查 一 年 期 計 劃 在 這 一 年 裡, 系 裡 六 七 位 同 仁 每 週 聚 會 一 次, 大 家 一 起 探 討 世 界 各 地 著 名 大 學 數 學 系 之 課 程 規 劃, 並 檢 討 本 系 之 相 關 課 程 很 可 惜, 計 劃 告 一 段 落 後 相 關 的 活 動 也 跟 著 結 束 一 年 前, 本 人 有 幸 參 與 教 育 部 的 中 小 學 數 學 課 程 改 進 相 關 事 項, 同 時, 於 書 店 偶 然 邂 逅 了 黃 武 雄 教 授 所 寫 的 學 校 在 窗 外 ( 左 岸 出 版 社 (2003 年 )) 從 這 裡, 看 到 數 學 界 同 仁 對 數 學 教 育 與 社 會 的 積 極 關 懷 與 無 私 奉 獻 在 深 受 感 動 之 餘, 也 點 起 了 再 續 本 系 課 程 改 進 之 因 緣 很 高 興 也 很 難 得, 我 們 邀 請 黃 武 雄 教 授 於 2004 年 2 月 5 日 至 本 系 演 講 黃 教 授 從 比 較 寬 廣 的 面 向, 深 談 數 學 教 育 的 各 種 基 本 層 面 在 這 強 調 應 用 追 求 卓 越 的 時 代 裡, 誠 摯 地 盼 望, 這 份 演 講 內 容 能 帶 給 讀 者 一 些 反 思 基 本 問 題 的 思 緒 當 然, 我 們 更 樂 見 這 份 思 緒 能 燃 起 每 位 數 學 教 育 人 員 對 教 育 本 身 的 關 懷 與 無 私 奉 獻 ( 黑 體 字 部 份 是 我 從 演 講 內 容 裡 摘 要 出 來 的, 希 望 能 引 起 讀 者 注 意 以 作 為 進 一 步 的 對 話 素 材 ) 二. 本 文 今 年 年 初, 許 元 春 教 授 打 電 話 邀 我 來 交 大 談 談 數 學 教 育 的 一 些 看 法, 他 說 他 看 了 去 年 年 底, 我 在 左 岸 出 版 社 出 的 一 本 叫 學 校 在 窗 外 的 書, 覺 得 很 有 意 思 我 很 高 興 這 本 一 般 性 的 通 俗 書, 居 然 引 起 數 學 同 行 的 注 意 雖 然, 十 年 來 我 因 病 已 很 少 出 來 演 講, 也 盡 量 避 免 在 公 開 場 合 出 現, 因 為 我 想 多 留 點 時 間 給 自 己, 做 心 中 最 喜 歡 做 的 事, 但 許 教 授 的 誠 意, 透 過 電 話 中 的 談 話 傳 來, 立 即 感 動 了 我 我 便 一 口 答 應 下 來 文 學 使 人 重 構 價 值, 藝 術 使 人 了 解 自 由, 數 學 使 人 追 溯 根 本 題 目 本 來 是 大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐, 但 涵 蓋 面 太 大 了, 我 只 能 閒 談 其 中 一 二 來 這 裡 是 跟 大 家 交 換 意 見, 也 說 不 上 演 講 在 思 想 上, 我 經 常 是 基 本 教 義 派, 但 是 沒 有 可 蘭 經 聖 30

大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐 31 經 等 經 典 可 以 遵 循 所 謂 基 本 教 義 派, 對 我 來 說, 指 的 是 : 去 想 一 些 最 根 本 最 底 層 的 問 題, 希 望 從 那 些 問 題 出 發 去 了 解 紛 雜 的 現 象 幾 十 年 來, 我 從 數 學 得 到 最 大 的 好 處 就 是 這 件 事 情 在 六 零 年 代, 越 戰 那 段 時 間, 有 很 多 數 學 家 物 理 學 家 都 加 入 反 戰 的 行 列, 我 想 其 中 主 要 原 因, 便 是 思 考 根 本 問 題 的 人 不 容 易 相 信 世 俗 的 權 威 在 學 校 在 窗 外 這 本 書 中 談 到 : 文 學 使 人 重 構 價 值, 當 你 去 接 觸 文 學 的 時 候, 你 會 去 想 一 些 價 值 的 問 題, 你 會 把 自 己 的 經 驗, 與 小 說 裡 面 作 者 的 經 驗, 相 互 去 碰 撞 印 證, 在 那 個 過 程 裡 面, 你 會 去 思 考 一 些 價 值 書 中 也 談 到 藝 術 使 人 了 解 自 由, 一 位 藝 術 工 作 者, 如 果 沒 有 自 由, 藝 術 就 不 是 藝 術, 他 會 不 斷 的 思 考 自 由, 所 謂 自 由 是 在 這 個 世 界 所 擁 有 的 自 由, 相 對 於 社 會 加 在 個 人 身 上 密 密 麻 麻, 使 人 不 知 不 覺 馴 服 的 種 種 規 範 我 在 書 中 最 後 談 到 數 學 訓 練 的 好 處 就 是 一 個 人 可 以 去 追 溯 根 本, 由 於 你 可 以 去 想 一 些 根 本 的 問 題, 所 以 你 不 會 輕 易 相 信 世 俗 的 權 威 個 人 做 數 學 想 數 學 的 一 些 經 驗 我 回 想 自 己 的 過 去, 花 了 很 多 時 間 做 數 學 在 座 各 位 同 學 各 位 老 師 也 一 樣, 花 了 很 多 時 間 在 做 數 學 在 想 數 學 我 從 個 人 的 經 驗 來 談, 來 分 享 經 驗, 這 裡 頭 並 沒 有 誰 對 誰 錯, 只 有 透 過 經 驗 的 碰 撞, 讓 大 家 更 進 一 步 去 思 考 一 些 問 題 我 中 學 的 時 候, 代 數 很 不 好, 因 為 不 懂 代 數 在 幹 什 麼, 那 時 是 以 解 題 取 向, 比 如 說 行 列 式 的 運 算, 兩 行 交 換 要 換 一 個 符 號, 為 什 麼 這 樣 規 定? 當 時 我 對 這 件 事 一 直 不 了 解, 我 問 老 師 問 別 人 都 問 不 出 一 個 道 理 來, 於 是 我 就 放 棄 了 學 習 行 列 式 我 以 前 的 習 慣 是, 我 學 習 一 樣 東 西, 如 果 不 知 道 為 什 麼 的 話, 我 讀 不 下 去 ; 那 時 也 許 學 校 的 功 課 並 沒 有 給 我 那 麼 大 的 壓 力, 所 以 並 沒 有 被 逼 著 一 定 要 讀 下 去, 反 正 成 績 不 好 就 不 好 一 直 到 大 學 一 年 級 的 時 候, 為 了 生 活 要 去 當 家 教, 就 把 范 氏 大 代 數 花 了 兩 個 禮 拜 的 時 間 很 努 力 地 把 它 讀 完, 因 為 那 時 心 智 比 較 成 熟 了, 整 本 書 從 頭 讀 起 也 比 較 能 掌 握 來 龍 去 脈, 讀 起 來 便 覺 容 易 得 多 西 方 和 東 方 思 想 上 最 大 的 不 同 是 有 幾 何 原 本, 以 及 希 臘 哲 學 中 以 理 性 為 基 礎 的 思 考 系 統 在 這 之 前, 我 的 數 學 經 驗 主 要 是 思 考 一 些 幾 何 難 題 平 面 幾 何 的 很 多 難 題, 對 很 多 孩 子 來 講, 是 非 常 重 要 的 歐 幾 里 得 的 貢 獻, 真 的 是 跨 越 數 十 個 世 紀, 西 方 的 思 想 和 東 方 最 大 的 不 同 是, 西 方 有 幾 何 原 本, 以 及 希 臘 哲 學 中 以 理 性 為 基 礎 的 思 考 系 統 歐 幾 里 德 的 幾 何 系 統 對 許 多 人 ( 包 含 愛 因 斯 坦 羅 素 等 ) 的 成 長 經 驗, 都 是 一 種 震 撼, 而 且 開 始 知 道 這 裡 面 有 很 好 玩 的 東 西 西 方 人 很 早 就 開 始 會 看 一 個 系 統 裡 的 結 構, 然 後 抓 出 結 構 的 骨 架 出 來, 接 著 進 入 演 繹, 再 從 演 繹 裡 去 推 出 現 象 這 套 方 法 在 其 他 文 明 裡 比 較 少 出 現 平 面 幾 何 在 我 的 成 長 過 程 裡 也 非 常 重 要, 當 時 我 並 不 是 非 常 用 功 的 孩 子, 但 是 很 多 朋 友 都 會 把 幾 何 難 題 拿 來 考 我, 我 從 裡 頭 得 到 很

32 數 學 傳 播 28 卷 4 期 民 93 年 12 月 多 的 快 樂 更 早 期 時, 我 哥 哥 常 拿 一 些 好 玩 的 問 題 問 我, 例 如 zeno 詭 論, 我 記 得 小 學 五 年 級 開 始 就 接 觸 這 個 東 西 大 一 的 時 候 認 識 楊 維 哲, 他 是 從 醫 科 轉 過 來 的, 大 我 三 屆, 他 影 響 我 很 大 當 我 對 數 學 幾 近 無 知 的 時 期, 常 和 他 在 一 起, 他 給 了 我 很 多 東 西, 包 括 拿 Jacobson 的 抽 象 代 數 給 我 讀 那 時 候 要 擁 有 一 本 書 是 很 困 難 的, 但 是 楊 維 哲 有 很 多 珍 藏, 我 大 一 的 時 候 他 就 把 這 本 書 丟 給 我, 那 時 英 文 對 我 來 講 都 還 很 困 難, 而 且 裡 頭 有 很 多 德 文 符 號 書 一 開 始 就 是 抽 象 的 Group Theory, 這 是 什 麼 東 西? 還 記 得 每 天 都 在 台 大 文 學 系 館 前 面 的 大 草 坪 的 大 樹 下 想, 覺 得 很 苦 悶 有 人 問, 為 什 麼 到 文 學 院 呢? 因 為 人 家 說 文 學 院 有 漂 亮 的 女 生 那 時 就 每 天 坐 在 那 邊 看 那 本 天 書, 讀 了 很 久, 慢 慢 知 道 它 在 講 一 些 東 西, 但 是 還 是 搞 不 清 楚, 常 常 讀 了 一 二 十 頁, 又 回 過 頭 來 重 新 讀 一 遍, 大 概 過 了 二 十 幾 天, 稍 微 搞 清 楚 了, 能 搞 清 楚 的 原 因 是 什 麼? 是 我 放 棄 自 己 的 經 驗 過 去 覺 得, 一 定 要 用 自 己 原 有 的 經 驗 去 想 那 些 東 西, 但 是 剛 進 入 抽 象 代 數 時, 它 反 而 要 求 你 拋 棄 原 有 雜 七 雜 八 的 經 驗, 那 時 候 乾 脆 把 它 當 邏 輯 來 想, 不 要 去 想 它 背 後 要 說 明 什 麼 東 西, 就 當 作 一 個 一 個 的 抽 象 概 念 去 演 繹, 大 約 兩 個 月 之 後 慢 慢 就 讀 完 了 第 一 卷 利 用 這 樣 的 背 景 在 大 二 修 高 等 微 積 分 線 性 代 數 的 時 候, 我 都 不 上 課, 考 試 也 很 容 易 就 通 過 了 要 進 入 抽 象 這 個 東 西, 對 許 多 人 來 說 都 有 困 難, 可 是 進 入 抽 象 世 界 並 不 表 示 掌 握 數 學 要 進 入 抽 象 這 個 東 西, 對 許 多 人 來 說 都 有 困 難 對 數 學 系 的 學 生 來 說 第 一 個 困 難 就 是 進 入 了 一 個 抽 象 的 世 界 可 是 進 入 抽 象 世 界 並 不 表 示 掌 握 數 學, 像 我 那 時 雖 然 高 等 代 數 的 成 績 不 錯, 但 總 覺 得 有 什 麼 地 方 不 對 勁, 覺 得 那 個 東 西 就 是 脫 離 了 自 己 的 經 驗 一 直 到 了 大 四, 仔 細 讀 Kurosh 的 群 論, 上 下 兩 本 我 都 好 好 的 唸 了, 然 後 是 Irving Kaplansky 的 Infinite Abelian Groups, 再 讀 一 些 方 程 式 論, 才 發 現 原 來 這 些 東 西 是 連 在 一 起 的, 是 人 去 了 解 這 個 世 界 慢 慢 發 展 出 來 的 歷 史 發 展 的 順 序 是 先 有 方 程 式 論, 才 慢 慢 發 展 出 抽 象 的 群 論 ; 但 我 們 學 的 時 候 卻 反 而 從 抽 象 的 群 論 開 始, 把 它 當 作 一 個 抽 象 的 東 西 去 學 這 樣 的 學 習 方 法 是 有 問 題 的, 我 因 為 有 這 些 矛 盾 的 學 習 經 驗, 又 時 常 去 回 想 自 己 學 習 成 長 的 過 程, 使 得 我 後 來 對 認 知 心 理 能 做 深 入 一 點 的 分 析 進 入 抽 象 世 界, 會 使 人 掌 握 普 遍 性 思 考 的 能 力, 但 只 在 抽 象 世 界 裡 玩 弄 概 念, 會 有 偏 差, 必 須 再 回 到 真 實 世 界, 與 個 人 的 主 體 經 驗 結 合 不 論 是 文 學 數 學 藝 術 任 何 知 識, 要 學 到 東 西 就 一 定 要 有 自 己 的 主 體 經 驗 我 想 表 達 一 個 觀 念, 不 論 是 文 學 數 學 藝 術 任 何 知 識, 要 學 到 東 西 就 一 定 要 有 自 己 的 主 體 經 驗, 要 自 覺 自 己 的 主 體 經 驗 才 能 夠 跟 那 些 知 識 結 合 起 來, 可 是 這 件 事 在 我 們 的 成 長 過 程 中

大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐 33 似 乎 沒 有 被 強 調, 而 且 不 斷 被 壓 抑, 大 部 份 時 間 我 們 是 被 強 迫 讀 一 些 沒 有 感 覺 的 概 念, 這 個 現 象 大 概 會 延 續 到 做 研 究 甚 至 到 整 個 人 生 的 不 同 階 段 還 有 一 件 有 趣 的 事, 記 得 在 大 二 的 時 候, 楊 維 哲 拿 一 本 Veblen 的 Foundation of Geometry 給 我, 那 是 一 本 很 好 玩 的 小 書, 它 從 基 礎 開 始 說 起, 從 抽 象 空 間 的 直 線 性 射 影 空 間 仿 射 空 間 講 到 歐 幾 里 得 空 間, 我 讀 完 的 時 候, 覺 得 自 己 讀 懂 了, 又 覺 得 自 己 不 懂, 直 到 有 一 天 在 台 大 門 口 的 麵 攤 和 楊 維 哲 一 起 吃 麵 楊 維 哲 是 我 的 老 朋 友, 那 時 我 剛 進 數 學 系, 對 數 學 還 懵 懵 懂 懂, 楊 維 哲 已 經 是 一 個 不 得 了 的 大 天 才, 他 懂 很 多 東 西, 和 他 在 一 起 純 粹 是 友 情, 因 為 問 他 數 學, 常 被 他 罵 得 狗 血 淋 頭, 讓 我 不 敢 輕 易 發 問, 我 那 時 和 他 常 常 窩 在 同 一 個 研 究 室, 我 記 得 在 大 學 的 那 四 年 裡, 只 敢 問 他 三 個 問 題 第 二 個 問 題, 就 是 在 台 大 門 口 的 麵 攤 問 的 我 問 他 : 我 讀 完 了 Veblen, 可 是 讀 到 最 後 的 歐 幾 里 得 空 間 時 ( 架 構 是 一 個 向 量 空 間, 賦 予 一 個 metric, 就 變 成 歐 幾 里 得 空 間 ), 有 一 個 問 題 : 原 來 歐 幾 里 得 空 間 的 metric 跑 到 那 裡 去 了? 他 跟 我 講 說 : 本 來 就 沒 有 那 個 東 西!! 這 句 話 對 我 像 當 頭 棒 喝 楊 維 哲 的 回 答 就 像 禪 宗 裡 講 的 本 來 無 一 物, 那 個 metric 是 我 們 自 己 腦 中 該 拋 棄 而 未 拋 棄 的 東 西! 從 這 件 事 之 後, 我 才 真 正 明 白 抽 象 體 系 是 不 是 我 太 眷 戀 日 常 生 活 中 那 麼 熟 悉 的 尺 度 觀 念, 還 是 我 的 抽 象 領 悟 力 太 差? 詭 異 的 是, 唯 有 甩 掉 自 己 的 主 體 經 驗 才 能 進 入 抽 象 世 界, 但 是 又 不 能 完 全 甩 掉 這 學 期, 我 在 台 大 教 正 交 標 架 法, 一 個 醫 學 系 畢 業 生 很 喜 歡 數 學, 所 以 跑 來 旁 聽 我 談 到 什 麼 是 Riemann 結 構?, 說 了 半 天 他 還 是 沒 聽 懂, 其 實 像 他 這 樣 聰 明 的 孩 子, 如 果 沒 有 專 注 用 一 段 時 間 去 考 慮 抽 象 結 構 的 意 涵, 這 種 概 念 對 他 也 會 覺 得 蠻 困 難 的 記 得 大 二 楊 維 哲 講 那 句 話 後, 我 突 然 開 竅, 了 解 了 什 麼 叫 結 構, 這 也 就 是 Bourbaki 學 派 在 50 年 代 所 提 倡 的 數 學 結 構 主 義 中 所 說 的 結 構 (structure) 雖 然 當 時 我 已 讀 過 Jacobson 的 書, 但 是 並 沒 有 真 正 掌 握 結 構 的 意 義, 還 是 受 原 來 經 驗 世 界 裡 的 東 西 綁 住, 當 我 問 的 原 來 歐 幾 里 得 空 間 的 metric 到 那 裡 去 了? 這 個 就 是 自 己 原 來 熟 悉 的 主 體 經 驗 裡 的 東 西, 它 到 那 裡 去 了? 這 中 間 有 很 有 趣 的 辯 證, 就 是 一 方 面 要 維 持 自 己 的 主 體 經 驗, 一 方 面 又 要 甩 掉 自 己 的 主 體 經 驗, 唯 有 甩 掉 自 己 的 主 體 經 驗 才 能 進 入 抽 象 世 界, 但 是 又 不 能 完 全 甩 掉, 講 這 句 話 或 許 大 家 有 一 些 同 感 吧 一 個 人 最 重 要 的, 是 要 真 正 沉 浸 在 某 件 事 裡, 而 且 要 專 注 投 入 我 寫 學 校 在 窗 外, 慢 慢 在 釐 清 一 些 東 西 人 進 到 學 校 受 教 育 有 很 多 東 西 要 學, 像 家 長 對 孩 子 不 放 心 老 師 對 學 生 不 放 心, 就 是 因 為 覺 得 怎 麼 這 個 東 西 你 到 現 在 還 不 懂? 我 後 來 慢 慢 想 通, 其 實 人 不 需 要 懂 那 麼 多 東 西, 也 許 有 人 會 問 你 不 是 一 天 到 晚 在 提 倡 通 識 教 育 嗎, 怎 麼 又 說 人 不 需 要 懂 很 多? 我 的 看 法 正 好 相 反 我 現 在 帶 我 十 五 歲 的 兒 子, 我 比 較 成 熟 了, 知 道 怎 麼 帶 他, 基 本 上 我 給 他 完 全 的 自 由 他 到 小 三 時 還 不 會 寫 國 字, 我 都 笑 他 文 盲, 他 一 天 到 晚

34 數 學 傳 播 28 卷 4 期 民 93 年 12 月 鬼 混, 沒 事 接 觸 一 些 雜 書, 一 直 沒 受 過 良 好 的 中 文 訓 練, 但 到 國 中 二 年 級 時, 已 能 寫 出 很 有 特 色 的 小 說 雖 然 他 的 語 彙 不 夠 豐 富, 但 文 字 的 感 覺 很 濃 烈 到 他 十 四 歲 有 一 天 看 到 陳 俊 全 李 瑩 英 訪 問 姚 鴻 澤 的 那 篇 訪 問 稿 1, 內 容 談 得 非 常 不 錯 他 看 完 後, 一 個 下 午 都 不 講 話 隔 一 段 時 間 後, 他 又 看 愛 因 斯 坦 的 傳 記 有 一 天, 他 跟 我 說 : 爸 爸, 我 現 在 很 想 自 學, 想 好 好 把 一 些 東 西 學 下 來, 一 個 人 要 很 厲 害, 一 定 要 好 好 專 注 在 一 件 事 上 然 後 他 就 自 己 開 始 讀 書 了 他 原 來 成 績 落 後 很 多, 最 近 突 然 進 步 很 快, 從 小 我 看 他 長 大, 覺 得 他 不 算 是 特 別 聰 明 的 孩 子 一 個 人 最 重 要 的, 是 要 真 正 沉 浸 在 某 件 事 裡, 而 且 要 專 注 投 入 一 個 人 一 生 一 定 要 有 幾 次 這 樣 的 經 驗, 廢 寢 忘 食, 真 正 對 某 件 事 熱 情 而 完 全 投 入, 在 學 習 的 過 程 是 這 樣, 在 研 究 的 過 程 也 是 這 樣 可 是 我 們 的 教 育 環 境 沒 有 機 會 讓 孩 子 培 養 熱 情 讓 他 專 注, 我 想 我 們 太 急 著 讓 孩 子 什 麼 都 學 會, 我 總 覺 得 人 先 要 有 機 會 能 在 某 方 面 熱 情 投 入, 他 才 會 成 熟 比 如 說 剛 才 講 的, 我 過 去 對 代 數 一 竅 不 通, 但 是 大 一 真 正 想 了 解 時, 可 以 花 兩 個 禮 拜 把 范 氏 大 代 數 讀 完, 並 不 是 我 特 別 聰 明, 是 我 常 想 一 些 困 難 的 問 題 我 是 一 個 數 學 家, 但 不 是 很 出 色, 所 以 算 是 一 個 平 凡 的 數 學 家, 正 因 為 我 平 凡, 所 以 比 較 了 解 一 般 人, 我 不 是 天 才, 所 以 比 較 知 道 人 是 怎 麼 長 大 的 人 心 智 方 面 的 成 長 最 重 要 的, 一 個 是 培 養 抽 象 能 力, 另 一 個 就 是 要 維 持 想 像 能 力, 發 展 直 覺 我 們 來 想 一 個 問 題, 對 人 心 智 方 面 的 成 長 有 兩 個 影 響, 一 個 是 抽 象 能 力, 大 家 可 能 會 直 接 想 到 是 數 學 的 那 個 抽 象 能 力, 那 只 是 其 中 一 部 份 其 實 人 類 文 明 最 重 要 的 特 徵, 就 是 抽 象 二 字, 人 和 動 物 最 關 鍵 性 差 別 也 是 在 抽 象 二 字 但 抽 象 能 力 是 教 不 來 的, 只 有 讓 人 沉 浸 在 裡 頭 才 能 慢 慢 了 解 我 觀 察 台 大 數 學 系 的 學 生, 每 一 年 都 有 三 四 個 本 來 就 想 讀 數 學, 而 且 讀 得 很 不 錯 的, 其 他 人 就 比 較 一 般 但 是 到 大 二 大 三 時, 有 些 人 讀 不 下 去 了, 轉 到 其 他 科 系 去, 例 如 去 經 濟 系 資 訊 系, 甚 至 人 類 學 系 等, 他 們 都 讀 得 不 錯, 為 什 麼? 因 為 他 們 有 二 年 的 時 間 被 逼 著 一 定 要 讀 抽 象 的 東 西, 從 這 裡 發 展 出 掌 握 普 遍 性 的 能 力, 不 過, 我 這 樣 說 也 只 是 一 個 觀 察 數 學 系 畢 業 後 要 走 那 方 面, 路 都 蠻 廣 的, 很 多 領 域 都 需 要 有 這 種 抽 象 能 力 的 人, 不 要 把 數 學 當 作 純 粹 工 具 看 待, 只 盯 著 讀 高 微 複 變 幾 何 代 數... 等 學 科 中 那 些 所 謂 有 用 的 部 份, 而 忘 掉 思 考 根 本 問 題, 分 析 根 本 問 題, 並 從 中 發 展 出 自 己 的 抽 象 能 力 這 個 抽 象 能 力 不 只 是 數 學 的 抽 象 結 構 掌 握, 而 是 真 正 的 抽 象 能 力 事 實 上 藝 術 文 學 領 域 也 一 樣, 如 果 沒 有 抽 象 能 力, 就 不 會 是 好 的 文 學 藝 術 人 成 長 的 過 程 最 重 要 的, 一 個 是 要 培 養 抽 象 能 力, 另 一 個 就 是 要 維 持 想 像 能 力, 發 展 直 覺, 這 些 又 是 相 互 扣 合 在 一 起 的, 它 們 是 相 互 影 響 提 拔 的 幾 何 學 家 們 在 討 論 事 情 時, 常 常 畫 很 簡 單 的 圖 形, 但 彼 此 知 道 這 圖 形 不 是 具 體 的 圖 形 本 身, 而 是 它 背 後 所 代 表 的 那 個 形 體, 也 註 : 數 學 傳 播 27 卷 第 3 期, 民 92 年 9 月

大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐 35 許 用 一 條 曲 線 來 代 表 高 維 的 空 間 以 談 論 問 題 每 一 門 學 科 都 有 它 特 殊 的 直 覺, 只 靠 抽 象 掌 握 普 遍 性, 時 常 會 忽 略 不 同 學 科 中 的 直 覺, 直 覺 和 抽 象 是 不 斷 相 互 影 響 的 這 兩 個 東 西 其 實 是 人 心 智 發 展 最 重 要 的 事 情, 很 多 書 可 以 不 讀, 想 讀 時 你 就 要 讀 最 重 要 的 東 西, 自 然 以 後 你 就 可 以 自 己 學 會 衍 生 出 來 的 知 識, 這 是 我 基 本 教 義 派 的 教 育 理 論 人 最 重 要 的 不 是 學 很 多 東 西, 而 是 想 學 什 麼 的 時 候, 就 有 能 力 學 什 麼 數 學 大 概 是 表 現 抽 象 最 極 緻 的 學 科 有 學 生 問 說 : 學 微 積 分 有 什 麼 用? 為 什 麼 不 學 統 計? 現 在 大 家 都 要 用 統 計! 可 是 如 果 好 好 修 過 微 積 分 再 學 統 計, 只 要 能 力 到 某 一 種 程 度, 花 一 個 月 的 時 間, 到 圖 書 館 裡 好 好 把 統 計 讀 一 遍, 就 可 以 進 入 統 計 的 領 域 了 可 是 我 們 總 覺 得 要 別 人 來 教, 這 個 是 整 個 社 會 對 人 的 心 智 成 長 最 大 的 誤 解, 今 日 教 育 很 多 問 題 都 出 在 這 個 誤 解 本 身, 不 管 是 急 著 學 英 文 急 著 做 這 做 那, 問 題 都 出 在 急 著, 而 輕 忽 這 個 過 程 例 如, 多 數 人 一 輩 子 用 不 到 二 次 方 程, 但 每 個 孩 子 都 要 學, 為 什 麼 一 定 要 學? 事 實 上 是 透 過 學 二 次 方 程 這 樣 一 系 列 的 東 西, 慢 慢 發 展 抽 象 能 力 數 學 大 概 是 表 現 抽 象 最 極 緻 的 學 科, 如 果 數 學 老 師 了 解 到 這 件 事, 就 可 以 放 心 而 不 急 著 要 孩 子 學 很 多 東 西, 這 是 我 對 數 學 教 育 的 基 本 看 法 人 為 什 麼 要 學 數 學? 我 們 要 從 宏 觀 的 角 度 從 人 類 整 個 的 文 明 來 看 數 學 的 角 色 今 天 談 數 學 教 育, 我 們 來 想 人 為 什 麼 要 學 數 學? 在 學 校 有 一 些 學 生, 到 了 大 二 大 三 時, 會 來 找 我 談 話, 因 為 不 知 道 學 數 學 要 幹 嘛? 許 多 數 學 系 的 人 都 經 歷 過 這 段 疑 惑 時 期, 還 未 體 會 出 數 學 真 正 趣 味 的 時 候, 當 然 會 問 這 件 事 不 過 我 們 也 要 從 宏 觀 的 角 度 從 人 類 整 個 的 文 明 來 看 數 學 的 角 色 在 台 灣, 大 學 教 育 是 分 科 教 育, 講 好 聽 是 專 業 教 育, 其 實 是 專 科 教 育 在 中 學 之 前, 我 對 文 學 繪 畫 有 高 度 興 趣, 一 進 入 數 學 系 幾 週 後, 我 就 感 覺 到 一 種 氣 氛, 好 像 自 己 已 經 進 入 某 種 軌 道, 身 不 由 己 不 能 再 隨 意 離 開 這 個 軌 道, 我 覺 得 如 果 手 裡 拿 著 不 是 數 學 系 的 書 走 進 數 學 系, 似 乎 就 要 承 擔 某 種 罪 惡 感, 在 數 學 系 裡 如 果 談 的 不 是 數 學 的 事, 就 是 不 務 正 業, 好 像 是 在 逃 避 數 學, 其 實 不 只 數 學 系 如 此, 很 多 科 系 都 這 樣 學 科 訓 練 常 常 使 一 個 人 技 術 化 了, 過 份 強 調 技 術 化 之 後 即 使 對 本 行 來 說 也 是 不 利 的, 它 的 好 處 是 可 以 專 心 發 展 技 術, 可 是 會 慢 慢 不 去 思 考 它 的 意 義, 當 不 去 思 考 意 義 後, 技 術 化 會 反 過 來 限 制 研 究 工 作 我 們 要 注 意 社 會 學 的 一 些 理 論 對 科 學 的 批 評, 其 中 最 具 代 表 性 的 是 法 蘭 克 福 學 派, 他 們 對 科 學 在 現 代 文 明 所 扮 演 的 角 色 的 批 評 是 非 常 負 面 的, 他 們 認 為 科 技 本 身 已 經 蘊 含 一 種 計 劃, 這 個 計 劃 規 定 了 科 技 要 去 支 配 自 然 支 配 社 會 的 目 的, 也 就 是 當 人 進 入 科 技 時, 他 對 自 然 對 社 會 的 態 度 就 已 經 確 立 了 : 人 想 要 去 了 解 自 然, 然 後 去 利 用 自 然, 因 此 發 展 科 技, 但 與 此 同 時, 他 要 支 配 自 然 支 配 社 會 的 目 的 也 隱 含 其 中 了 因 為 這 樣, 法 蘭 克 福 學 派 批 評 科 技 是 替 資 本 主 義 的 社

36 數 學 傳 播 28 卷 4 期 民 93 年 12 月 會 在 辯 護, 但 是 今 日 人 類 也 沒 有 多 少 選 擇, 共 產 主 義 社 會 主 義 都 垮 了, 只 剩 資 本 主 義 當 紅, 大 家 覺 得 資 本 主 義 是 人 類 唯 一 的 出 路, 但 是 我 覺 得 不 一 定, 五 十 年 後 會 怎 樣 很 難 說, 因 為 人 類 會 碰 到 資 源 耗 竭 的 問 題 現 在 美 國 在 發 展 外 太 空 的 移 民 計 畫, 不 過 這 些 東 西 背 後 都 有 很 多 商 業 軍 事 政 治 的 目 的, 這 都 是 我 們 科 技 工 作 者, 在 投 入 心 力 於 科 技 研 究 時, 不 能 不 去 深 思 的 問 題 意 識 到 自 己 所 努 力 要 去 發 展 的 行 業 去 研 究 的 偉 大 的 學 問, 在 人 類 文 明 中 到 底 扮 演 什 麼 角 色, 這 是 個 很 重 要 的 思 考 面 向 資 本 主 義 基 本 上 是 應 該 被 批 評 的, 我 們 要 用 一 種 批 判 的 態 度 去 對 待 資 本 主 義, 資 本 主 義 社 會 提 供 了 相 當 大 的 物 質 自 由, 物 質 自 由 裡 又 隱 含 了 精 神 自 由, 如 果 人 活 不 下 去 的 話, 談 不 上 什 麼 精 神 自 由, 這 是 資 本 主 義 正 面 的 部 份, 但 是 它 也 有 它 的 問 題 一 般 來 說, 法 蘭 克 福 學 派 會 很 尖 銳 地 批 評 科 學 在 人 類 文 明 的 角 色, 這 些 批 評 對 數 學 工 作 者 科 學 工 作 者 都 很 重 要, 因 為 要 意 識 到 自 己 所 努 力 要 去 發 展 的 行 業 去 研 究 的 偉 大 的 學 問, 在 人 類 文 明 中 到 底 扮 演 什 麼 角 色, 這 是 個 很 重 要 的 思 考 面 向 這 樣 去 看 待 問 題, 會 讓 人 謙 虛 一 些 教 育 家 John Buchan, 說 人 類 要 培 養 humility ( 謙 卑 ) humanity ( 人 道 ) and humor ( 幽 默 ), 其 中 humility 怎 麼 來? 就 是 了 解 自 己 投 身 的 行 業 所 代 表 的 意 義 時, 才 有 humility 很 多 人 學 了 一 些 東 西, 在 本 行 做 得 不 錯, 就 覺 得 自 己 對 人 類 有 很 大 的 貢 獻, 他 的 努 力 當 然 會 被 肯 定, 可 是 他 一 定 要 自 覺 到 自 己 所 扮 演 的 角 色 我 三 十 多 歲 時, 那 時 算 比 較 沉 潛, 就 是 一 天 到 晚 在 讀 數 學 的 時 候, 有 一 段 時 間 會 以 為 全 心 做 數 學 才 是 自 己 唯 一 應 該 做 的 正 業 當 然 今 天 還 是 會 從 做 數 學 得 到 快 樂, 雖 然 常 做 了 二 三 個 月 才 發 現 所 做 的 東 西 都 垮 掉 了, 只 好 再 重 來 一 遍 二 遍, 但 是 一 次 次, 仍 然 會 想 再 沉 浸 其 中 這 種 和 自 己 學 科 長 期 培 養 出 來 的 感 覺, 使 得 自 己 和 它 是 血 脈 相 連 雖 然 如 此, 還 是 應 該 去 想 做 這 些 東 西 的 目 的 是 要 幹 什 麼? 這 個 或 許 也 是 各 位 同 學 同 事 值 得 一 起 去 想 的 問 題 數 學 在 人 類 文 明 的 角 色 再 來, 談 的 是 數 學 在 人 類 文 明 的 角 色 物 理 學 家 Freeman Dyson, 和 Feynman 的 態 度 非 常 不 一 樣 Feynman 是 一 個 老 頑 童 有 點 子 叛 逆 的 人, 而 Dyson 是 一 個 偏 向 人 文 的 物 理 學 家 Dyson 說 得 很 明 白, 科 學 是 六 面 山, 有 三 面 是 非 常 醜 陋 的 : 僵 化 的 紀 律, 與 營 利 的 目 的 掛 勾, 以 及 製 造 集 體 殺 人 的 武 器 原 子 彈 的 發 明 者, 歐 本 海 默 後 來 時 常 懊 惱, 他 一 輩 子 到 底 做 對 還 是 做 錯 了 事 情 為 了 要 做 殺 人 的 武 器, 科 學 家 在 其 中 扮 演 了 關 鍵 性 的 角 色, 所 以 Dyson 說 科 學 有 醜 陋 的 三 面, 但 也 有 美 麗 的 三 面 : 有 如 藝 術 般 美 麗 的 姿 顏, 對 世 俗 權 威 的 巔 覆, 以 及 跨 越 國 界 人 類 一 家 一 個 相 信 理 性 的 人 不 太 會 隨 便 受 人 影 響, 會 重 新 回 到 本 質 思 考 問 題 數 學 也 一 樣, 它 有 抽 象 系 統 的 封 閉 性, 可 以 完 全 脫 離 實 際 世 界, 進 入 抽 象 世 界 的 抽 象 系 統 數 學 家 有 一 些 負

大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐 37 面 的 面 向, 就 是 由 於 封 閉 性, 它 使 人 變 得 專 斷 但 反 過 來, 它 有 根 本 性, 讓 人 相 對 自 由 數 學 是 一 個 相 當 個 人 的 行 業, 它 的 研 究 具 有 個 人 性 數 學 家 到 了 成 熟 時, 可 以 自 己 提 一 些 問 題, 而 不 是 只 做 別 人 的 問 題, 或 只 為 一 個 研 究 組 織 做 分 工 研 究 當 自 己 提 問 題 時, 會 更 知 道 其 意 義 在 那 裡, 當 然, 提 的 問 題 也 不 能 太 無 聊 數 學 跟 科 學 的 關 係, 跟 整 個 人 類 的 關 係, 都 值 得 去 思 考 問 題 是 最 重 要 的, 人 類 要 了 解 一 個 東 西 的 意 義 一 定 要 有 問 題 最 後, 我 想 提 一 下 問 題 中 心, 問 題 是 最 重 要 的, 人 要 了 解 一 個 東 西 的 意 義, 一 定 要 先 有 問 題, 從 問 題 出 發 才 容 易 進 入 該 領 域, 相 信 很 多 同 事 都 有 同 感 但 是 當 回 到 大 學 的 課 堂 上, 我 們 又 只 能 照 教 科 書 的 順 序 教, 這 件 事 是 須 要 改 革 的 很 多 學 生 在 課 堂 上 會 失 去 興 趣, 主 要 是 因 為 它 只 是 一 套 邏 輯 演 繹 的 系 統, 尤 其 數 學, 但 是 它 的 意 義 在 那 裡? 有 沒 有 重 要 的 問 題? 剛 剛 在 教 授 休 息 室 翁 志 文 教 授 提 到, 十 幾 年 前 台 大 數 學 系 上 有 一 個 研 究 生 叫 尤 釋 賢, 現 在 他 在 香 港 中 文 大 學, 研 究 工 作 非 常 出 色, 當 他 在 台 大 當 研 究 生 時, 有 一 段 時 候 他 在 做 代 數 拓 璞, 十 分 困 頓, 覺 得 不 知 道 自 己 在 做 什 麼, 我 看 他 很 苦 惱, 就 向 他 提 了 一 個 問 題, 一 個 好 玩 又 重 要 的 熱 傳 導 問 題 也 就 是, 在 正 曲 率 負 曲 率 ( 鞍 形 ) 平 面 的 熱 傳 導 問 題 這 個 問 題 把 微 分 方 程 機 率 幾 何 結 合 在 一 起 三 種 不 同 曲 率 的 流 形 上, 熱 傳 導 的 行 為 如 何 刻 劃? 在 正 曲 率 流 形 上 熱 傳 導 速 度 最 慢, 這 件 事 與 幾 何 直 覺 似 有 矛 盾 但 因 為 這 樣, 所 以 在 正 曲 率 流 形 上 面, Liouville 定 理 是 對 的, 因 為 無 窮 遠 的 訊 息 無 法 傳 進 有 限 世 界 來 相 應 的 在 負 曲 率 流 形 上, 無 窮 遠 邊 界 的 Dirichlet 定 理 才 正 確, 因 為 在 負 曲 率 流 形 上, 訊 息 能 從 無 窮 遠 處 快 速 傳 遞 進 來 這 個 問 題 非 常 有 趣 我 當 時 把 這 個 問 題 告 訴 他, 他 非 常 感 興 趣, 但 是 我 對 機 率 不 在 行, 所 以 介 紹 他 去 中 央 研 究 院 跟 許 順 吉 學 機 率, 不 久 他 就 做 了 一 些 不 錯 的 東 西 出 來 問 題 出 發 是 很 重 要 的, 另 一 個 就 是 意 義, 數 學 是 一 種 人 的 活 動, 講 數 學 史, 不 一 定 要 去 考 證, 是 要 了 解 人 的 思 想 怎 麼 變 化 數 學 思 想 變 化 的 過 程, 這 會 讓 一 個 人 覺 得 他 學 這 個 有 意 義, 會 讓 他 比 較 願 意 投 入 文 明 的 創 造 活 動, 從 中 取 得 樂 趣 反 對 二 一 退 學 制, 也 反 對 學 年 學 分 制 我 在 學 校 在 窗 外 這 本 書 裡 頭, 反 對 二 一 退 學 制, 我 也 很 反 對 學 年 學 分 制 到 現 在 大 學 還 不 能 解 放, 還 規 定 最 晚 六 年 畢 業, 這 使 得 人 被 擠 壓 在 一 個 範 圍 裡, 變 成 老 師 學 生 間 要 常 談 分 數 的 事 對 我 來 說, 老 師 的 功 能 就 是 提 供 好 的 教 材, 學 生 要 學 就 學, 不 學 就 算 了, 等 他 想 學 了 再 回 來 學, 不 要 逼 他 學, 逼 著 學 學 不 到 什 麼 的 逼 他 學 最 多 只 學 到 技 術 性 的 東 西, 這 種 東 西 學 了 不 見 得 對 他 好, 畢 業 後 拿 文 憑 到 社 會 工 作, 腦 中 沒 有 意 義, 只 有 技 術 是 危 險 的 法 蘭 克 福 學 派 就 常 批 評 科 技 人 常 有 技 術 意 識, 用 技 術 在 看 問 題, 會 使 得 人 生 活 受 扭 曲 教 育 主 要 是 讓 人 了 解 意 義, 技 術 當 然 也 重 要, 沒 有 技 術, 意 義 就 呈 現 不 出 來, 意 義 與 技 術 兩 方 面 的 教 育 要 一 起 進 行 的, 缺 一 不 可

38 數 學 傳 播 28 卷 4 期 民 93 年 12 月 黃 榮 村 當 部 長 的 時 候, 我 就 去 和 他 說 過 了, 看 教 育 部 能 不 能 把 學 年 學 分 制 取 消, 改 成 純 學 分 制, 讀 到 五 六 十 歲 才 畢 業 也 沒 關 係, 那 是 個 人 的 事 情 一 門 課 老 師 要 求 一 定 的 水 準 是 老 師 的 事 情, 今 年 修 不 通 過, 明 年 再 來 三 十 年 後 再 來 都 可 以, 一 個 人 想 要 玩 就 讓 他 玩, 一 個 人 一 生 總 要 玩 過, 台 灣 的 孩 子 從 小 學 中 學 以 來 都 沒 有 玩 過, 赫 塞 哥 德 愛 因 斯 坦 都 有 徬 徨 少 年 時, 可 是 今 天 我 們 的 孩 子 都 不 能 有 徬 徨 少 年 時 這 是 很 危 險 的 事, 年 輕 不 出 軌 到 老 了 才 出 軌, 會 更 糟 糕 人 生 活 在 世 界 總 要 有 些 壓 力, 但 這 壓 力 是 自 己 願 意 的, 因 為 有 了 內 在 興 趣 自 己 會 給 自 己 壓 力, 這 樣 的 奮 鬥 是 有 意 義 的 ; 反 過 來 如 果 只 透 過 外 力 給 自 己 壓 力 才 能 工 作, 生 活 會 過 得 很 痛 苦 一 生 混 沌 過 去, 很 沒 有 意 義 的 三. 回 響 莊 重 教 授 : 第 一 次 讀 到 黃 武 雄 教 授 寫 的 文 章 是 他 在 數 學 傳 播 的 創 刊 年 (1977) 所 寫 的 數 學 的 理 論 與 實 用, 那 時, 我 剛 畢 業 正 準 備 去 當 高 中 老 師 接 下 來 的 幾 年, 藉 著 讀 黃 教 授 的 彰 中 試 教 心 得 及 他 所 耕 耘 的 文 章, 倒 也 讓 我 心 安 理 得 及 理 直 氣 壯 地 去 教 導 我 的 學 生 後 來 赴 美 求 學, 當 時 網 路 世 界 尚 未 出 現, 但 偶 爾 回 台 必 去 翻 閱 數 學 傳 播 是 否 有 黃 教 授 的 文 章 對 他 走 出 象 牙 塔, 熱 忱 地 傳 播 數 學 理 念 佩 服 不 已 二 十 多 年 後, 在 本 系 有 機 會 親 耳 聆 聽 黃 教 授 談 大 學 數 學 教 育 他 的 熱 忱 依 然, 想 法 更 見 深 刻 一 小 時 的 演 講, 他 娓 娓 道 來, 談 了 : 1. 數 學 的 本 質 是 抽 象 的, 是 應 用 的, 也 是 問 題 導 向 的 2. 如 何 追 求 之 要 真 正 能 持 續 地 沉 浸 其 間, 要 有 自 己 的 主 體 經 驗, 又 要 能 忘 掉 自 己 的 主 體 經 驗 3. 數 學 在 人 類 文 明 所 扮 演 的 角 色 一 如 文 學 和 藝 術 一 樣 重 要, 就 如 文 學 使 人 重 構 價 值, 和 藝 術 使 人 了 解 自 由, 數 學 使 人 追 溯 根 本 其 間, 他 也 提 了 不 少 親 身 經 驗 來 佐 證, 使 嚴 肅 的 話 題, 多 了 些 親 切 和 輕 鬆 的 調 子 黃 教 授 從 數 學 是 一 個 學 科 和 訓 練 的 觀 點 提 到 了 上 述 三 件 事 然 而, 數 學 作 為 一 個 應 用 性 的 角 色, 或 因 時 間 的 限 制, 並 沒 有 被 黃 教 授 多 談 到 也 即 數 學 作 為 另 一 面 向 ( 和 其 他 領 域 的 對 話 角 色, 甚 而 因 此 創 造 知 識 和 技 術 的 功 能 ) 的 需 求 是 一 個 擋 不 住 的 趨 勢 過 去 的 大 學 數 學 教 育, 即 使 在 所 謂 的 應 用 數 學 系, 大 多 僅 強 調 數 學 作 為 一 個 學 科 和 訓 練 的 面 向, 因 此, 如 何 將 現 代 演 化 中 的 數 學 的 另 一 面 向 : 應 用 性, 納 入 目 前 的 數 學 教 育 是 個 該 加 速 討 論 的 課 題 總 而 言 之, 追 求 最 根 本 和 最 底 層 的 問 題 的 習 慣, 使 黃 教 授 總 能 看 得 想 得 更 高 和 更 遠, 就 是 這 股 永 遠 如 一 的 熱 忱, 使 黃 教 授 勤 於 筆 耘 他 的 看 法 二 十 多 年 前, 受 益 於 他 的 筆 耘, 我 也 勉 能 作

大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐 39 為 一 個 稱 職 的 高 中 數 學 老 師 ; 我 更 樂 見, 一 些 大 學 生 及 教 大 學 的 數 學 老 師, 讀 了 黃 教 授 的 大 學 數 學 教 育 的 理 念 與 實 踐 能 多 些 省 思 許 元 春 教 授 : 個 人 所 受 的 數 學 教 育 與 所 從 事 的 研 究 工 作, 都 是 比 較 偏 向 理 論 性 的, 所 以 對 數 學 教 育 的 看 法 在 心 態 上 比 較 偏 向 黃 武 雄 教 授 所 謂 的 基 本 教 義 派, 是 比 較 自 然 並 且 可 以 理 解 的 ( 當 然, 不 一 定 是 正 確 的 ) 最 近 三 四 年, 從 事 計 量 財 務 ( 或 財 務 數 學 ) 的 教 學 與 研 究 工 作, 讓 我 對 基 本 教 義 派, 有 更 深 一 層 的 體 認 計 量 財 務 在 金 融 市 場 有 非 常 重 要 與 廣 泛 的 實 務 應 用 在 計 量 財 務 裡, 理 論 模 型 的 建 立 與 分 析 是 最 根 本 的 工 作 沒 有 好 的 理 論 模 型 分 析 當 基 礎, 其 它 很 多 部 份 都 是 奢 談 從 教 學 與 帶 研 究 生 的 過 程 裡, 我 看 到 很 多 學 生 對 此 領 域 有 非 常 高 的 興 趣, 但 因 為 基 礎 數 學 ( 含 計 算 能 力 ) 及 抽 象 能 力 之 不 足, 使 得 他 們 很 難 真 正 進 入 此 領 域 的 核 心 課 題 我 為 這 些 同 學 深 感 遺 憾 此 項 經 驗 也 讓 我 更 加 體 認 基 礎 課 程 及 抽 象 能 力 的 重 要 性 但 什 麼 是 大 學 基 礎 數 學 及 如 何 教 如 何 學 這 些 課 程? 這 些 問 題 在 數 學 同 仁 間 就 有 非 常 大 的 不 同 看 法 黃 教 授 在 其 演 講 中 首 先 說 明 數 學 抽 象 學 習 與 主 體 經 驗 間 緊 密 及 詭 異 的 互 動 關 係, 進 而 指 出 抽 象 及 直 觀 在 人 類 文 明 發 展 的 重 要 角 色 最 後, 黃 教 授 提 出 我 們 應 該 從 人 類 文 明 的 角 色 來 看 數 學 的 基 本 意 義 與 價 值 在 此 觀 點 下, 我 們 從 演 講 中 可 約 略 地 聽 到 黃 教 授 對 上 述 問 題 的 看 法, 這 些 看 法 值 得 我 們 再 度 用 心 去 體 會 與 思 索 這 些 看 法, 在 實 務 的 執 行 面 上 還 有 很 大 的 討 論 及 發 揮 空 間 尤 其 在 大 環 境 不 斷 快 速 地 變 遷 下, 除 了 上 述 這 些 問 題 外, 我 們 更 應 該 加 強 數 學 基 本 演 算 能 力 的 培 養 這 所 有 的 一 切, 都 需 要 數 學 界 同 仁 透 過 多 元 的 對 話 及 在 互 相 尊 重 的 原 則 下 去 營 造 出 最 好 的 教 育 環 境, 以 造 福 受 教 育 的 學 生 另 外, 文 中 也 談 到 二 一 退 學 及 學 年 學 分 制 交 通 大 學 於 五 六 年 前 取 消 二 一 退 學 制, 但 執 行 二 年 後, 在 二 一 人 數 大 量 增 加, 及 學 生 學 習 情 緒 更 加 低 落 的 考 量 下, 讓 大 家 ( 包 括 我 自 己 ) 很 自 然 地 於 三 年 前 贊 成 回 復 二 一 退 學 制 現 今 再 回 想 此 事, 深 覺 不 安 教 育 就 如 同 黃 教 授 於 演 講 中 所 言, 應 該 從 比 較 寬 廣 的 生 命 自 然 層 面 來 看 在 此 層 面 下, 短 期 的 效 應 與 問 題 ( 包 括 教 育 資 源 使 用 的 問 題 ) 應 該 是 教 育 人 員 要 去 瞭 解 並 且 從 大 的 格 局 下 去 協 助 解 決 的 畢 竟 教 育 的 終 極 意 義 是 協 助 每 一 個 人 都 能 找 到 其 安 身 立 命 之 所 在! 翁 志 文 教 授 : 雖 然 之 前 聽 過 黃 老 師 演 講, 但 再 讀 整 理 後 的 摘 錄 文, 感 觸 仍 深 許 多 內 容 觸 及 每 一 個 數 學 人 的 經 驗 黃 老 師 對 抽 象 數 學 與 經 驗 數 學 的 見 解 相 當 平 衡, 我 的 經 驗 是 部 份 數 學 抽 象 化 後 並 沒 有 變 難, 反 而 容 易 理 解 ; 但 有 許 多 數 學 可 以 靠 直 覺 正 確 解 釋, 所 以 學 生 時 代 為 了 強 化 一 方 的 學 習 正 確 及 效 果, 而 壓 抑 另 一 方 應 該 是 短 暫 的 行 為 這 如 同 為 了 練 輕 功 可 以 腳 綁 鉛 塊 走 路, 但 不 能 一 輩 子 都 這 樣 一 個 人 一 生 一 定 要 有 幾 次 這 樣 的 經 驗, 廢 寢 忘 食, 真 正 對 某 件 事 情 熱 情 而 完 全 投 入, 這 句 話 說 得 太 好! 我 也 不 擔 心 孩 子 成 績 不 好, 只 擔 心 他 無 法 真 正 專 注 於 一 件 感 興 趣 的 事 物 上 因 為 社 會 變 遷, 大 學 入 學 考 試 壓 力 轉 到 研 究 所 入 學 考 試, 大 學 生 能 專 注 的 事 情 也 愈 來 愈 少 了

40 數 學 傳 播 28 卷 4 期 民 93 年 12 月 盧 鴻 興 教 授 : 黃 武 雄 教 授 在 交 通 大 學 應 用 數 學 系 今 年 二 月 的 演 講 內 容, 是 引 人 深 思 的 黃 教 授 在 個 人 身 體 病 況 長 期 困 難 的 狀 況 中, 仍 可 以 突 破 肉 體 的 困 境, 追 求 內 在 世 界 的 最 大 自 由, 讓 人 非 常 敬 佩! 黃 教 授 在 這 次 的 演 講 中, 著 墨 較 多 數 學 教 育 的 抽 象 能 力 之 培 養, 強 調 從 具 象 抽 離 出 結 構 的 訓 練 這 方 面 的 訓 練 可 以 讓 人 省 思 事 物 的 根 本 結 構, 並 且 進 一 步 嘗 試 改 變 結 構, 追 求 不 同 形 式 或 最 小 結 構 的 自 由 這 方 面 的 訓 練 可 以 教 育 學 生 探 討 問 題 的 根 本 形 成, 但 是 如 果 缺 乏 問 題 的 推 動 力, 結 構 和 具 象 的 互 相 來 往 就 無 法 形 成, 形 式 或 結 構 的 自 由 就 無 法 實 踐 成 具 象 的 自 由! 黃 教 授 也 在 演 講 中 指 出 進 入 抽 象 世 界, 會 使 人 掌 握 普 遍 性 思 考 的 能 力, 但 只 在 抽 象 世 界 裡 玩 弄 概 念, 會 有 偏 差, 必 須 再 回 到 真 實 世 界, 與 個 人 的 主 體 經 驗 結 合 唯 有 甩 掉 自 己 的 主 體 經 驗 才 能 進 入 抽 象 世 界, 但 是 又 不 能 完 全 甩 掉 舉 例 來 說, 黃 教 授 提 到 行 列 式 的 運 算, 兩 行 交 換 要 換 一 個 符 號 的 問 題, 黃 教 授 是 從 范 氏 大 代 數 的 書 來 了 解 從 物 理 學 的 角 度, 我 們 也 可 以 由 向 量 的 外 積 來 理 解 行 列 式 的 這 個 運 算 規 則 ( a b = b a) 因 此, 結 構 與 一 些 具 象 的 對 應, 可 以 培 養 學 生 應 用 數 學 到 科 學 問 題 的 能 力, 並 進 一 步 欣 賞 數 學 的 抽 象 和 一 般 性 又 如 黃 教 授 提 到 的 熱 傳 導 問 題, 更 是 一 個 好 的 例 子 因 此 微 積 分 和 統 計 這 二 門 課 是 可 以 相 輔 相 成, 讓 學 生 同 時 具 備 抽 象 與 具 象 的 能 力, 才 有 問 題 導 向 的 動 力, 進 一 步 學 習 抽 象 的 結 構, 推 廣 到 各 種 不 同 變 化 的 形 式, 方 能 舉 一 反 三, 培 養 解 決 相 關 問 題 的 能 力 演 講 中 最 後 提 到 數 學 及 科 學 研 究 在 現 代 文 明 中 的 一 個 困 境 科 研 的 成 果, 正 如 潘 朵 拉 的 盒 子, 一 旦 打 開 它, 內 容 就 有 自 己 的 生 命, 脫 離 創 造 者 的 控 制 其 實 這 個 困 境 自 古 皆 然, 祇 是 現 代 科 技 的 影 響 更 快 速 和 巨 大 要 解 決 這 個 困 境 必 須 透 過 人 類 文 化 共 同 價 值 的 確 定, 來 導 引 新 科 技 之 正 面 應 用 科 研 工 作 者 應 時 時 反 省 發 展 出 的 工 具 之 正 負 面 效 應, 導 引 新 工 具 往 正 面 發 展 但 是 不 應 該 因 噎 廢 食, 祇 強 調 抽 象 結 構 的 研 究, 壓 抑 具 象 實 體 的 應 用 否 則 數 學 教 育 將 可 能 流 於 清 談, 演 變 成 不 斷 的 悖 論 和 智 力 上 的 益 智 遊 戲, 無 法 和 其 他 學 科 共 同 促 進 人 類 科 學 文 化 的 進 步 因 此 數 學 及 科 學 二 方 面 的 研 究 可 以 共 同 合 作, 協 力 追 求 內 在 與 外 在 世 界 實 踐 的 自 由, 而 不 必 劃 地 自 限, 過 份 強 調 單 一 領 域 的 自 體 價 值! 本 文 演 講 人 黃 武 雄 教 授 曾 任 教 於 台 大 數 學 系, 現 已 退 休 ; 許 元 春 莊 重 翁 志 文 盧 鴻 興 為 交 大 教 授, 詹 宗 智 為 交 大 應 數 系 助 教