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1 抽 象 代 数 课 程 教 学 大 纲 课 程 基 本 信 息 (Course Information) 课 程 代 码 (Course Code) * 学 时 MA20 (Credit Hours) 6 * 学 分 (Credits) * 课 程 名 称 抽 象 代 数 (Course Name) Abstract Algebra 课 程 性 质 (Course Type) 必 修 课 授 课 对 象 (Audience) 授 课 语 言 (Language of Instruction) * 开 课 院 系 (School) 先 修 课 程 (Prerequisite) 授 课 教 师 (Instructor) * 课 程 简 介 (Description) * 课 程 简 介 (Description) 数 学 与 应 用 数 学 专 业 本 科 生 ; 信 息 与 计 算 科 学 专 业 本 科 生 中 文 ( 如 果 需 要, 亦 可 用 英 文 教 学 ) 数 学 系 数 学 分 析, 高 等 代 数 ( 包 括 多 项 式 理 论 和 空 间 解 析 几 何 ), 初 等 数 论 章 璞 课 程 网 址 (Course Webpage) 抽 象 代 数 ( 通 常 又 称 为 近 世 代 数 ) 是 现 代 数 学 的 重 要 基 础 之 一, 并 且 在 计 算 机 科 学 信 息 与 通 讯 物 理 化 学 等 领 域 有 广 泛 的 应 用 它 是 高 等 学 校 数 学 类 各 专 业 的 必 修 课 这 门 课 程 研 究 群 环 域 这 三 种 基 本 的 代 数 结 构 的 结 构 理 论 ( 由 于 课 程 的 时 间 所 限, 作 为 本 科 生 的 抽 象 代 数 课 程, 一 般 不 涉 及 群 和 环 的 表 示 理 论 群 表 示 论 是 本 科 生 的 另 一 课 程 ; 而 模 论 一 般 是 研 究 生 阶 段 的 基 础 课 程 ) 主 要 内 容 包 括 群 的 基 本 结 构 理 论 置 换 群 群 在 集 合 上 的 作 用 及 其 在 计 数 中 的 应 用 Sylow 定 理 有 限 生 成 Abel 群 的 结 构 可 解 群 的 性 质 ; 环 的 基 本 结 构 中 国 剩 余 定 理 及 其 应 用 环 的 因 子 分 解 理 论 多 项 式 环 ; 域 的 扩 张 理 论 有 限 域 及 其 应 用 基 本 的 Galois 理 论 及 应 用 通 过 这 门 课 的 教 学, 要 使 学 生 掌 握 抽 象 代 数 的 基 本 理 论 与 方 法, 结 合 具 体 的 例 子 理 解 抽 象 代 数 中 的 数 学 思 想 和 思 维 方 法, 使 学 生 的 抽 象 思 维 能 力 得 到 系 统 的 训 练 和 提 高, 为 进 一 步 学 习 数 学 和 其 它 学 科 奠 定 坚 实 的 代 数 学 基 础 Abstract Algebra (also called Modern Algebra) is an important basis of modern mathematics, and is widely used, such as in computer science, information and communication, physics, and chemistry. The course Abstract Algebra is one of the main required courses for undergraduates in mathematics. It studies the fundamental algebraic structures of groups, rings, and fields (for the limited time, as a course for undergraduates, it will not deal with the representation theory of groups and rings. In fact, Representation

2 Theory of Groups is another course for undergraduates; and Module Theory will be a basic course of graduates). The main contents include the basic structural theory of groups, permutation groups, groups actions on sets and applications of these actions, Sylow Theorems, the structure of finitely generated abelian groups, properties of solvable groups; the basic structures of rings, the Chinese Remainder with applications, the properties of uniquely factorized domains, and polynomial rings; the extensions of fields, finite fields with applications; and the basic Galois theory with applications. The aim of the course is to make students to acquire the fundamental theories and tools; to train and strengthen their interest and ability of abstract thinking, such that a solid foundation in algebra will be built for their further studies. We emphasize that it is important to understand Abstract Algebras via concrete examples and backgrounds; and also we stress the applications of ideals and tools in this course. 课 程 教 学 大 纲 (course syllabus) 对 应 目 标 体 系 的 代 码 的 标 注 方 法 : 在 以 下 课 程 教 学 大 纲 中, 我 们 在 每 一 章 题 目 后 的 括 号 中 标 注 适 用 于 该 章 每 一 节 的 代 码 ; 只 有 当 某 一 节 需 要 特 别 标 注 新 的 代 码 时, 我 们 才 会 在 该 节 后 的 括 号 中 重 新 加 以 标 注 第 1 章 群 论 (28 学 时, 对 应 代 码 A, A5,B1, B2, B3, C1, C2, C) 1.1 群 的 定 义 (2 学 时, 对 应 代 码 A2, A3) 课 程 简 介 ( 历 史 演 变 与 研 究 对 象, 特 点 与 重 要 性, 要 求 与 学 习 方 法 提 示 ) 对 称 性 与 群 概 念 的 引 入 (GL(n, C), 变 换 群, 美 的 基 本 要 素, 怎 样 数 学 地 描 述 现 实 世 界 中 对 称 性? 引 出 群 的 观 念 ) * 学 习 目 标 (Learning Outcomes) 什 么 是 群 ; 简 单 性 质 ( 单 位 元 与 逆 元 的 唯 一 性 ; 左 右 消 去 律 ; 穿 脱 原 理 ); 举 例 ; 稍 进 一 步 的 性 质 ( 单 边 定 义 ; 除 法 定 义 ; 有 限 半 群 成 群 的 充 要 条 件 ) 1.2 子 群 与 Lagrange 定 理 ( 学 时 ) 子 群 的 定 义 性 质 判 定 例 子 构 造 ( 两 个 子 群 的 积 成 为 子 群 的 条 件 ) 集 合 上 的 二 元 关 系 等 价 关 系 与 划 分 利 用 等 价 关 系 导 出 陪 集 分 解 和 Lagrange 定 理 ;Lagrange 定 理 的 应 用 举 例 : 元 素 的 阶 及 计 算 ; 两 子 群 积 集 的 计 数 公 式. 共 轭 关 系 中 心 中 心 化 子 共 轭 元 的 个 数 ; 类 方 程 及 其 应 用 :p- 群 有 非 平 凡 的 中 心 ;p 平 方 阶 群 是 Abel 群 1.3 循 环 群 (2 学 时 )

3 群 同 态 和 同 构 及 其 意 义 ; 举 例 固 定 阶 循 环 群 在 同 构 意 义 下 的 唯 一 性 ; 有 限 循 环 群 的 固 定 阶 子 群 在 通 常 意 义 下 的 唯 一 性 ; 循 环 群 的 生 成 元 和 自 同 构 群 1. 正 规 子 群 商 群 群 同 态 基 本 定 理 (2 学 时 ) 正 规 子 群 的 定 义 与 例 子 ; 商 群 的 构 造 ; 为 什 么 要 商 群? 同 态 基 本 定 理 : 表 述 意 义 证 明 和 应 用 ( 子 群 对 应 定 理 和 两 个 同 构 定 理 ); 应 用 举 例 : 内 自 同 构 群 同 构 于 G/Z(G). 1.5 置 换 群 (2 学 时 ) 变 换 群 的 重 要 性 ;Cayley 定 理 ; S_n 中 元 素 的 表 达 奇 偶 性 阶 ; 对 称 群 与 交 错 群 的 生 成 系 ; 置 换 的 型 ; 共 轭 类 的 划 分 ; 有 限 单 群 ;A_n (n>) 的 单 性 ; 举 例 :S_n 的 正 规 子 群 ;S_/K_ 同 构 于 S_ 群 在 集 合 上 的 作 用 及 其 应 用 (3 学 时, 对 应 代 码 A2, A3) 群 作 用 的 思 想 ; 两 种 定 义 的 等 价 性 ; 作 用 的 核 ; 三 种 典 型 的 作 用 及 其 核 ; 轨 道 公 式 ; 举 例 Burnside 引 理 在 不 同 领 域 计 数 中 的 应 用 ( 通 常 选 讲 项 链 问 题 ) 1.7 Sylow 定 理 (3 学 时 ) 有 限 群 Sylow I, II, III 的 表 述 与 证 明 ( 作 为 群 作 用 的 应 用 ); 举 例 : 利 用 Sylow 定 理 判 断 有 限 群 的 非 单 性 ; 确 定 阶 数 最 小 的 单 的 非 Abel 群, 即 A_5 1.8 群 的 直 积 (2 学 时 ) 外 直 积 与 内 直 积 的 统 一 ; 直 积 的 等 价 刻 画 ; Z_n X Z_m = Z_{nm} 当 且 仅 当 (n, m)=1; 举 例 :5X 7 X 13 阶 群 是 循 环 群 1.11 群 的 生 成 元 与 定 义 关 系 (2 学 时 ) 自 由 群 的 概 念 ; 自 由 群 的 商 群 可 表 达 任 一 群 ; 由 此 导 出 用 生 成 元 和 定 义 关 系 表 达 群 ; 举 例 : 二 面 体 群 生 成 元 和 定 义 关 系 ; 四 元 数 群 的 生 成 元 和 定 义 关 系 ; 有 限 生 成 自 由 Abel 群 的 秩 有 限 生 成 Abel 群 (2 学 时 )

4 归 结 为 有 限 生 成 自 由 Abel 群 ( 秩 ) 与 有 限 Abel 群 ; 有 限 Abel 群 是 其 Sylow 子 群 的 直 和 ; 素 数 幂 p^n 阶 Abel 群 的 同 构 类 与 数 n 的 划 分 之 间 的 一 一 对 应 ; 会 用 初 等 因 子 和 不 变 因 子 对 有 限 Abel 群 分 类 ; 举 例 : 求 互 不 同 构 的 1500 阶 Abel 群 ; 有 限 Abel 群 的 Lagrange 定 理 之 逆 成 立 小 阶 群 的 结 构 (2 学 时 ) 2p 阶 非 Abel 群 ;8 阶 和 12 阶 非 Abel 群 ; 确 定 1 至 15 阶 群 ( 列 表 ). 1.1 可 解 群 (2 学 时 ) 换 位 子 群 与 商 群 的 可 换 性 之 间 的 关 系 ; 可 解 群 的 定 义 和 基 本 性 质 ; 举 例 :S_n, A_n, D_n; p- 群 ;pq 阶 群 ; 可 解 群 的 等 价 刻 画 大 专 业 布 置 ( 对 应 目 标 体 系 代 码 B,C3) 期 中 考 试 ( 不 占 用 课 时, 对 应 代 码 A,B1, B2, B3, B8, C3) 第 2 章 环 论 (12 学 时, 对 应 代 码 A, A5,B1, B2, B3, C1, C2, C) 期 中 试 卷 点 评 ( 对 应 B5, B7, B8) 2.1 环 的 基 本 概 念 (2 学 时 ) 定 义 ; 名 词 与 简 单 性 质 ;( 交 换 环, 无 零 因 子 环, 整 环, 除 环, 域 ) 举 例 ( 数 环 剩 余 类 环 矩 阵 环 加 群 的 自 同 态 环 群 环 四 元 数 体 ) 2.2 环 同 态 基 本 定 理 (2 学 时 ) 理 想 的 构 造 ; 主 理 想 整 环 (PID); 举 例 : 除 环 上 的 全 矩 阵 环 是 单 环 ; 商 环 的 构 造 ; 环 同 态 基 本 定 理 的 意 义 ( 强 调 与 群 论 的 平 行 和 区 别 ) 2.3 同 态 基 本 定 理 的 应 用 (1 学 时 ) 无 零 因 子 环 的 特 征 ; 整 环 的 商 域 2. 中 国 剩 余 定 理 在 秘 密 共 享 中 的 应 用 (1 学 时, 对 应 代 码 A1, A3) 2.5 极 大 理 想 与 素 理 想 (1 学 时 ) 定 义 及 关 系 ; 意 义 : 构 造 域 及 整 环 PID 中 的 极 大 理 想 和 素 理 想

5 Zorn 引 理 ; 极 大 理 想 和 素 理 想 的 存 在 性 2.5 唯 一 因 子 分 解 整 环 (UFD)( 2 学 时 ) 不 可 约 元 与 素 元 ;UFD 的 定 义 ; 非 UFD 的 例 子 UFD 的 等 价 刻 画 ;PID 是 UFD 2.6 Euclid 整 环 (ED)( 1 学 时 ) 定 义 与 例 子 ; 环, 整 环,UFD, PID, ED, 域 之 间 的 关 系 图 2.7 多 项 式 环 (2 学 时 ) 简 略 回 顾 及 推 广 高 等 代 数 中 多 项 式 部 分 ( 包 括 Eisenstein 不 可 约 性 判 别 法 ); Gauss 定 理 :UFD 上 的 多 项 式 环 仍 是 UFD; 域 上 多 元 多 项 式 环 不 是 主 理 想 整 环. 第 3 章 域 论 (1 学 时, 对 应 目 标 体 系 代 码 A, A5,B1, B2, B3, C1, C2, C) 3.1 域 的 扩 张 (3 学 时 ) 素 域 有 限 扩 域 维 数 的 望 远 镜 公 式 域 扩 张 的 方 法 ( 归 结 为 单 扩 域 ) 单 扩 域 的 结 构 ; 举 例 有 限 扩 域 与 代 数 扩 域 及 其 关 系 3.2 尺 规 作 图 问 题 (1 学 时, 对 应 目 标 体 系 代 码 A1, A2, A3, C3) 3.3 分 裂 域 (2 学 时 ) 定 义 与 意 义 ; 存 在 性 同 构 延 拓 定 理 及 其 证 明 利 用 同 构 延 拓 定 理 证 明 分 裂 域 的 唯 一 性 分 裂 域 的 Galois 群 的 阶 3. 有 限 域 ( 学 时 ) 结 构 定 理 具 体 构 造 举 例 有 限 域 上 的 不 可 约 多 项 式 提 及 :Wedderburn 定 理 ( 有 限 体 是 域, 不 作 证 明 ) 举 例 : 有 限 域 上 的 一 般 线 性 群 和 特 殊 线 性 群

6 3.5 可 分 扩 域 (2 学 时 ) 定 义 ; 完 全 域 ; 不 可 分 扩 域 的 存 在 性 ; 大 部 分 代 数 扩 域 是 可 分 的 Artin 本 原 性 定 理 : 有 限 可 分 扩 域 是 单 扩 域 3.6 正 规 扩 域 (2 学 时 ) 定 义 ; 有 限 正 规 扩 域 = 多 项 式 的 分 裂 域 有 限 Galois 扩 域 的 定 义 ; 从 而 有 限 Galois 扩 域 = 可 分 多 项 式 的 分 裂 域 为 什 么 要 有 限 Galois 扩 域 : Gal(E/F) = [E:F] 大 专 业 布 置 ( 对 应 代 码 B,C3) 第 章 Galois 理 论 (8 学 时, 对 应 代 码 A, A5,B1, B2, B3, C1, C2, C).1 Galois 理 论 的 基 本 定 理 ( 学 时 ) 群 和 域 的 反 序 对 应 关 系 ;Artin 引 理 ; 正 规 性 引 理 Galois 理 论 的 基 本 定 理 及 其 证 明 举 例 : X^-2 在 有 理 数 域 Q 上 的 分 裂 域 E; Galois 群 Gal(E/Q) =S_3; E/Q 的 中 间 域 与 S_3 的 子 群 之 间 的 反 序 一 一 对 应..2 方 程 的 Galois 群 (2 学 时 ) 方 程 的 Galois 群 作 为 根 集 上 的 ( 可 迁 ) 置 换 群 有 理 数 域 上 只 有 两 个 非 实 的 复 根 的 素 数 次 不 可 约 多 项 式 的 Galois 群 纯 粹 方 程 的 Galois 群 Galois 反 问 题.3 代 数 方 程 的 根 式 可 解 性 (2 学 时, 对 应 代 码 A1, A2, A3, C3) 根 式 可 解 的 含 义 Lagrange 预 解 式 Galois Theorem ( 利 用 Galois 理 论 的 基 本 定 理 怎 样 将 代 数 方 程 的 根 式 可 解 性 归 结 为 其 Galois 群 的 可 解 性 ) 机 动 学 时 或 课 程 总 结 及 进 一 步 学 习 推 荐 (2 学 时, 对 应 代 码 A1, A2, A3, C3)

7 * 教 学 内 容 进 度 安 排 及 要 求 (Class Schedule &Requirements) 教 学 内 容 学 时 教 学 方 式 及 要 求 基 本 要 求 考 查 方 式 群 的 基 本 结 构 理 论 10 置 换 群 2 群 在 集 合 上 作 用 及 应 用 (Burnside 引 理 及 项 链 问 题 ) 3 Sylow 定 理 3 直 积 定 义 关 系 有 限 生 成 Abel 群 小 阶 群 8 可 解 群 2 布 置 布 置 布 置 布 置 布 置 布 置 大 0 课 堂 布 置 大 完 成 面 谈 期 中 考 试 及 点 评 环 的 基 本 概 念 特 征 商 域 中 国 剩 余 定 理 极 大 理 想 与 素 理 想 0 课 外 安 排 思 考 完 成 面 谈 3 各 类 整 环 5 域 扩 张 理 论 6 有 限 域 及 其 应 用 可 分 与 正 规 扩 张 布 置 布 置 布 置 布 置 布 置 布 置

8 * 考 核 方 式 (Grading) * 教 材 或 参 考 资 料 (Textbooks & Other Materials) 其 它 (More) 备 注 (Notes) 大 0 课 堂 布 置 大 完 成 面 谈 Galois 理 论 的 基 本 定 理 Galois 群 的 计 算 方 程 的 根 式 可 解 性 2 2 课 小 结 布 置 布 置 机 动 总 结 及 2 课 堂 思 考 完 成 面 谈 展 望 最 终 成 绩 由 平 时 大 期 中 与 期 未 考 试 成 绩 组 合 而 成 各 部 分 所 占 比 例 如 下 : 平 时 与 大 :10% 考 试 : 期 中 0%, 期 未 50% 教 材 : 近 世 代 数 引 论, 冯 克 勤 李 尚 志 章 璞, 中 国 科 学 技 术 大 学 出 版 社, 2009( 第 3 版 ). ( 十 一 五 国 家 重 点 图 书 ; 中 国 科 学 院 指 定 考 研 参 考 书 ") 参 考 资 料 : 1. 代 数 学 引 论, 聂 灵 沼 丁 石 孙, 高 等 教 育 出 版 社, 伽 罗 瓦 理 论 - 天 才 的 激 情, 章 璞, 现 代 数 学 基 础 37, 高 等 教 育 出 版 社, 近 世 代 数 导 引, 刘 绍 学, 章 璞, 数 学 基 础 课 程 系 列 简 明 教 材, 高 等 教 育 出 版 社, 近 世 代 数 三 百 题, 冯 克 勤 章 璞, 数 学 类 专 业 学 习 辅 导 丛 书, 高 等 教 育 出 版 社, Basic Algebra I, Nathan Jacobson, W.H.Freman and Company, Contemporary Abstract Algebra,J.A. Gallian, Heath and Company, Algebra, M. Artin, Pearson Education, Inc Algebra, I. M. Isaacs, Wadworth Inc Modern Algebra with Applications, W. J. Gilbert, Wiley-Int., New York, 应 用 近 世 代 数, 胡 冠 章, 清 华 大 学 出 版 社,2002( 第 2 版 ) 本 课 程 还 有 不 同 的 版 本 ( 例 如 二 专 工 科 院 系 用 近 世 代 数 等 ) 这 个 系 列 课 程 教 学 团 队 人 员 主 要 有 以 下 老 师 ( 按 姓 氏 为 序 ): 崔 振, 邓 大 萌, 高 云, 姜 翠 波, 蒋 启 芬, 励 建 书, 李 吉 有, 李 红 泽, 刘 春 雷, 麻 志 浩, 马 俊, 司 梅, 武 同 锁, 吴 耀 琨, 张 晓 东, 张 跃 辉, 周 钢 等 与 本 课 程 关 联 较 多 的 后 续 课 程 有 : 群 与 代 数 表 示 论, 编 码 与 密 码, 图 与 网 络, 代 数 数 论, 代 数 拓 扑, 李 群 与 李 代 数, 代 数 几 何 等 备 注 说 明 : 1. 带 * 内 容 为 必 填 项 2. 课 程 简 介 字 数 为 字 ; 课 程 大 纲 以 表 述 清 楚 教 学 安 排 为 宜, 字 数 不 限

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