2015年北京市怀柔区中考数学一模试卷

2015 年 北 京 市 怀 柔 区 中 考 数 学 一 模 试 卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一 选 择 题 ( 本 题 共 30 分, 每 小 题 3 分 ) 下 列 各 题 均 有 四 个 选 项, 其 中 只 有 一 个 是 符 合 题 意 的. 1.( 3 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 把 8000 用 科 学 记 数 法 表 示 是 ( ) A.80 10 2 B.8 10 3 C.0.8 10 4 D.8 10 4 考 点 科 学 记 数 法 表 示 较 大 的 数. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10 n 的 形 式, 其 中 1 a <10,n 为 整 数. 确 定 n 的 值 时, 要 看 把 原 数 变 成 a 时, 小 数 点 移 动 了 多 少 位,n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同. 当 原 数 绝 对 值 >1 时,n 是 正 数 ; 当 原 数 的 绝 对 值 <1 时,n 是 负 数. 解 答 解 : 将 8000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 :8 10 3. 故 选 :B. 点 评 此 题 考 查 科 学 记 数 法 的 表 示 方 法. 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a 10 n 的 形 式, 其 中 1 a <10,n 为 整 数, 表 示 时 关 键 要 正 确 确 定 a 的 值 以 及 n 的 值. 2.( 3 分 )(2015 中 山 校 级 三 模 ) 数 轴 上 有 A,B,C,D 四 个 点, 其 中 绝 对 值 相 等 的 点 是 ( ) A. 点 A 与 点 D B. 点 A 与 点 C C. 点 B 与 点 C D. 点 B 与 点 D 考 点 绝 对 值 ; 数 轴. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 本 题 需 先 根 据 各 点 在 数 轴 上 表 示 得 数, 再 根 据 绝 对 值 的 性 质 即 可 求 出 结 果. 解 答 解 : 数 轴 上 点 A,B,C,D 在 数 轴 上 表 示 的 数 是 ;A=-2,B=-1,C=1,D=3.5, B =1, C =1, 绝 对 值 相 等 的 两 个 点 是 点 B 和 点 C, 故 选 :C. 点 评 本 题 主 要 考 查 了 数 轴 的 表 示 方 法, 在 解 题 时 要 注 意 绝 对 值 的 性 质 是 解 题 的 关 键. 3.( 3 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 下 列 手 机 软 件 图 标 中, 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 ( ) A. B. C. D. 考 点 中 心 对 称 图 形 ; 轴 对 称 图 形. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 根 据 轴 对 称 图 形 与 中 心 对 称 图 形 的 概 念 求 解. 解 答 解 :A 是 轴 对 称 图 形, 不 是 中 心 对 称 图 形. 故 错 误 ; B 是 轴 对 称 图 形, 也 是 中 心 对 称 图 形. 故 正 确 ; C 是 轴 对 称 图 形, 不 是 中 心 对 称 图 形. 故 错 误 ; D 不 是 轴 对 称 图 形, 也 不 是 中 心 对 称 图 形. 故 错 误. 故 选 B. 第 1 页 ( 共 22 页 )

点 评 本 题 考 查 了 中 心 对 称 图 形 与 轴 对 称 图 形 的 概 念 : 轴 对 称 图 形 的 关 键 是 寻 找 对 称 轴, 图 形 两 部 分 沿 对 称 轴 折 叠 后 可 重 合 ; 中 心 对 称 图 形 是 要 寻 找 对 称 中 心, 旋 转 180 度 后 与 原 图 重 合. 4.( 3 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 小 华 的 老 师 让 他 在 无 法 看 到 袋 子 里 小 球 的 情 形 下, 从 袋 子 里 摸 出 一 个 小 球. 袋 子 里 各 种 颜 色 小 球 的 数 量 统 计 如 表 所 示. 小 华 摸 到 褐 色 小 球 的 概 率 为 ( ) 颜 色 红 色 橙 色 黄 色 绿 色 蓝 色 紫 色 褐 色 数 量 6 4 3 3 2 2 5 A. B. C. D. 考 点 概 率 公 式. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 由 表 格 可 得 共 有 小 球 :6+4+3+3+2+2+5=25( 个 ), 其 中 褐 色 小 球 5 个, 然 后 直 接 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案. 解 答 解 : 共 有 小 球 :6+4+3+3+2+2+5=25( 个 ), 其 中 褐 色 小 球 5 个, 小 华 摸 到 褐 色 小 球 的 概 率 为 : =. 故 选 B. 点 评 此 题 考 查 了 概 率 公 式 的 应 用. 用 到 的 知 识 点 为 : 概 率 = 所 求 情 况 数 与 总 情 况 数 之 比. 5.( 3 分 )(2014 德 州 ) 如 图,AD 是 EAC 的 平 分 线,AD BC, B=30, 则 C 为 ( ) A.30 B.60 C.80 D.120 考 点 平 行 线 的 性 质 ; 角 平 分 线 的 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 根 据 两 直 线 平 行, 同 位 角 相 等 可 得 EAD= B, 再 根 据 角 平 分 线 的 定 义 求 出 EAC, 然 后 根 据 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 列 式 计 算 即 可 得 解. 解 答 解 : AD BC, B=30, EAD= B=30, AD 是 EAC 的 平 分 线, EAC=2 EAD=2 30 =60, C= EAC- B=60-30 =30. 故 选 :A. 点 评 本 题 考 查 了 平 行 线 的 性 质, 角 平 分 线 的 定 义, 以 及 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与 它 不 相 邻 的 两 个 内 角 的 和 的 性 质, 熟 记 性 质 是 解 题 的 关 键. 6.( 3 分 )(2015 河 北 区 二 模 ) 如 图, 已 知 O 的 半 径 为 10, 弦 AB 长 为 16, 则 点 O 到 AB 的 距 离 是 ( ) 第 2 页 ( 共 22 页 )

A.3 B.4 C.5 D.6 考 点 垂 径 定 理 ; 勾 股 定 理. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 如 图, 连 接 OA, 过 O 作 弦 AB 的 垂 线 OF, 设 垂 足 为 C, 在 构 造 的 Rt OAF 中, 由 垂 径 定 理 可 得 AF 的 长, 圆 的 半 径 已 知, 即 可 由 勾 股 定 理 求 得 OF 的 值, 即 圆 心 O 到 弦 AB 的 距 离. 解 答 解 : 过 圆 心 O 作 OF AB 于 点 F, 则 AF= AB=8, Rt OAF 中,AF=8,OA=10, 由 勾 股 定 理 得, OF= = =6, 即 点 O 到 弦 AB 的 距 离 是 6, 故 选 D. 点 评 本 题 考 查 了 勾 股 定 理 垂 径 定 理. 此 题 涉 及 圆 中 求 弦 心 距 的 问 题, 作 出 合 适 的 辅 助 线, 利 用 勾 股 定 理 是 解 答 此 题 的 关 键. 7.( 3 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 某 校 在 中 国 梦. 我 的 梦 演 讲 比 赛 中, 有 11 名 学 生 参 加 决 赛, 他 们 决 赛 的 最 终 成 绩 各 不 相 同. 其 中 的 一 名 学 生 想 要 知 道 自 己 能 否 进 入 前 6 名, 不 仅 要 了 解 自 己 的 成 绩, 还 要 了 解 这 11 名 学 生 成 绩 的 ( ) A. 平 均 数 B. 众 数 C. 中 位 数 D. 方 差 考 点 统 计 量 的 选 择. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 9 人 成 绩 的 中 位 数 是 第 5 名 的 成 绩. 参 赛 选 手 要 想 知 道 自 己 是 否 能 进 入 前 5 名, 只 需 要 了 解 自 己 的 成 绩 以 及 全 部 成 绩 的 中 位 数, 比 较 即 可. 解 答 解 : 由 于 总 共 有 9 个 人, 且 他 们 的 分 数 互 不 相 同, 第 5 的 成 绩 是 中 位 数, 要 判 断 是 否 进 入 前 6 名, 故 应 知 道 中 位 数 的 多 少. 故 选 C. 点 评 此 题 主 要 考 查 统 计 的 有 关 知 识, 主 要 包 括 平 均 数 中 位 数 众 数 方 差 的 意 义. 8.( 3 分 )(2003 桂 林 ) 如 图, 已 知 矩 形 ABCD 中,R P 分 别 是 DC BC 上 的 点,E F 分 别 是 AP RP 的 中 点, 当 P 在 BC 上 从 B 向 C 移 动 而 R 不 动 时, 那 么 下 列 结 论 成 立 的 是 ( ) 第 3 页 ( 共 22 页 )

A. 线 段 EF 的 长 逐 渐 增 大 B. 线 段 EF 的 长 逐 渐 减 小 C. 线 段 EF 的 长 不 改 变 D. 线 段 EF 的 长 不 能 确 定 考 点 三 角 形 中 位 线 定 理. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 压 轴 题. 分 析 因 为 R 不 动, 所 以 AR 不 变. 根 据 中 位 线 定 理,EF 不 变. 解 答 解 : 连 接 AR. 因 为 E F 分 别 是 AP RP 的 中 点, 则 EF 为 APR 的 中 位 线, 所 以 EF= AR, 为 定 值. 所 以 线 段 EF 的 长 不 改 变. 故 选 :C. 点 评 本 题 考 查 了 三 角 形 的 中 位 线 定 理, 只 要 三 角 形 的 边 AR 不 变, 则 对 应 的 中 位 线 的 长 度 就 不 变. 9.( 3 分 )(2014 毕 节 市 ) 如 图, 函 数 y=2x 和 y=ax+4 的 图 象 相 交 于 点 A(m,3), 则 不 等 式 2x ax+4 的 解 集 为 ( ) A.x B.x 3 C.x D.x 3 考 点 一 次 函 数 与 一 元 一 次 不 等 式. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 将 点 A(m,3) 代 入 y=2x 得 到 A 的 坐 标, 再 根 据 图 形 得 到 不 等 式 的 解 集. 解 答 解 : 将 点 A(m,3) 代 入 y=2x 得,2m=3, 解 得,m=, 点 A 的 坐 标 为 (,3), 第 4 页 ( 共 22 页 )

由 图 可 知, 不 等 式 2x ax+4 的 解 集 为 x. 故 选 :A. 点 评 本 题 考 查 了 一 次 函 数 与 一 元 一 次 不 等 式, 要 注 意 数 形 结 合, 直 接 从 图 中 得 到 结 论. 10.( 3 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 如 图 1, 在 等 边 ABC 中, 点 E D 分 别 是 AC,BC 边 的 中 点, 点 P 为 AB 边 上 的 一 个 动 点, 连 接 PE,PD,PC,DE. 设 AP=x, 图 1 中 某 条 线 段 的 长 为 y, 若 表 示 y 与 x 的 函 数 关 系 的 图 象 大 致 如 图 2 所 示, 则 这 条 线 段 可 能 是 图 1 中 的 ( ) A. 线 段 PD B. 线 段 PC C. 线 段 PE D. 线 段 DE 考 点 动 点 问 题 的 函 数 图 象. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 设 出 等 边 三 角 形 的 边 长, 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 确 定 各 个 线 段 取 最 小 值 时,x 的 范 围, 结 合 图 象 得 到 答 案. 解 答 解 : 设 边 长 AC=a, 则 0<x<a, 根 据 题 意 和 等 边 三 角 形 的 性 质 可 知, 当 x= a 时, 线 段 PE 有 最 小 值 ; 当 x= a 时, 线 段 PC 有 最 小 值 ; 当 x= a 时, 线 段 PD 有 最 小 值 ; 线 段 DE 的 长 为 定 值. 故 选 :C. 第 5 页 ( 共 22 页 )

点 评 本 题 考 查 的 是 动 点 问 题 的 函 数 图 象, 灵 活 运 用 等 边 三 角 形 的 性 质 和 函 数 的 对 称 性 是 解 题 的 关 键. 二 填 空 题 ( 本 题 共 18 分, 每 小 题 3 分 ) 11.( 3 分 )(2012 咸 宁 ) 函 数 y= 中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 x 3. 考 点 函 数 自 变 量 的 取 值 范 围. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 根 据 分 母 不 等 于 0 列 式 进 行 计 算 即 可 求 解. 解 答 解 : 根 据 题 意 得,x-3 0, 解 得 x 3. 故 答 案 为 :x 3. 点 评 本 题 考 查 了 函 数 自 变 量 的 取 值 范 围, 函 数 自 变 量 的 范 围 一 般 从 三 个 方 面 考 虑 : (1) 当 函 数 表 达 式 是 整 式 时, 自 变 量 可 取 全 体 实 数 ; (2) 当 函 数 表 达 式 是 分 式 时, 考 虑 分 式 的 分 母 不 能 为 0; (3) 当 函 数 表 达 式 是 二 次 根 式 时, 被 开 方 数 非 负. 12.( 3 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 请 写 出 一 个 过 一 三 象 限 的 反 比 例 函 数 的 表 达 式 y= ( 答 案 不 唯 一 ). 考 点 反 比 例 函 数 的 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 开 放 型. 分 析 首 先 设 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y=, 再 根 据 图 象 位 于 第 一 三 象 限, 可 得 k>0, 再 写 一 个 k 大 于 0 的 反 比 例 函 数 解 析 式 即 可. 解 答 解 ; 设 反 比 例 函 数 解 析 式 为 y=, 图 象 位 于 第 一 三 象 限, k>0, 可 写 解 析 式 为 y=, 故 答 案 为 :y= ( 答 案 不 唯 一 ). 点 评 此 题 主 要 考 查 了 反 比 例 函 数 y= 的 性 质, 关 键 是 掌 握 反 比 例 函 数 (k 0),(1)k>0, 反 比 例 函 数 图 象 在 一 三 象 限 ;(2)k<0, 反 比 例 函 数 图 象 在 第 二 四 象 限 内. 13.( 3 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 下 面 有 五 个 图 形, 与 其 它 图 形 众 不 同 的 是 第 3 个. 考 点 轴 对 称 图 形. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 根 据 轴 对 称 图 形 的 概 念 求 解. 第 6 页 ( 共 22 页 )

解 答 解 : 第 1245 个 图 形 是 轴 对 称 图 形, 第 3 个 不 是. 故 答 案 为 :3. 点 评 本 题 考 查 了 轴 对 称 图 形 的 概 念 : 轴 对 称 图 形 的 关 键 是 寻 找 对 称 轴, 图 形 两 部 分 沿 对 称 轴 折 叠 后 可 重 合. 14.( 3 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 如 图, 在 长 方 形 ABCD 中,AB:BC=3:5, 以 点 B 为 圆 心, BC 的 长 为 半 径 画 弧, 交 边 AD 于 点 E. 若 AE DE=16, 则 长 方 形 ABCD 的 面 积 为 60. 考 点 矩 形 的 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 连 接 BE, 设 AB=3x,BC=5x, 根 据 勾 股 定 理 求 出 AE=4x,DE=x, 求 出 x 的 值, 求 出 AB BC, 即 可 求 出 答 案. 解 答 解 : 如 图, 连 接 BE, 则 BE=BC. 设 AB=3x,BC=5x, 四 边 形 ABCD 是 矩 形, AB=CD=3x,AD=BC=BE=5x, A=90, 由 勾 股 定 理 得 :AE=4x, 则 DE=5x-4x=x, AE DE=16, 4x x=16, 解 得 :x=2( 负 数 舍 去 ), 则 AB=3x=6,BC=5x=10, 矩 形 ABCD 的 面 积 是 AB BC=6 10=60, 故 答 案 为 :60. 点 评 本 题 考 查 了 矩 形 的 性 质, 勾 股 定 理 的 应 用, 解 此 题 的 关 键 是 求 出 x 的 值, 题 目 比 较 好, 难 度 适 中. 15.( 3 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 当 三 角 形 中 一 个 内 角 α 是 另 一 个 内 角 β 的 一 半 时, 我 们 称 此 三 角 形 为 半 角 三 角 形, 其 中 α 称 为 半 角. 如 果 一 个 半 角 三 角 形 的 半 角 为 20, 那 么 这 个 半 角 三 角 形 的 最 大 内 角 的 度 数 为 120. 考 点 三 角 形 内 角 和 定 理. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 新 定 义. 分 析 根 据 半 角 三 角 形 的 定 义 得 出 β 的 度 数, 再 由 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 另 一 个 内 角 即 可. 解 答 解 : α=20, β=2α=40, 第 7 页 ( 共 22 页 )

最 大 内 角 的 度 数 =180-20 -40 =120. 故 答 案 为 :120. 点 评 本 题 考 查 的 是 三 角 形 内 角 和 定 理, 熟 知 三 角 形 内 角 和 是 180 是 解 答 此 题 的 关 键. 16.( 3 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 )2014 年 5 月 1 日 开 始, 北 京 市 开 始 实 施 居 民 用 水 阶 梯 水 价. 具 体 方 案 如 下 : 户 年 用 水 量 180 立 方 米 ( 含 ) 内, 每 立 方 米 5 元 ;181 立 方 米 至 260 立 方 米 ( 含 ) 内, 每 立 方 米 7 元 ;260 立 方 米 以 上, 每 立 方 米 9 元. 阶 梯 水 价 以 日 历 年 ( 每 年 1 月 1 日 到 12 月 31 日 ) 为 周 期 计 算. 小 王 家 2014 年 4 月 30 日 抄 表 示 数 550 立 方 米,5 月 1 日 起 实 施 阶 梯 水 价,6 月 抄 表 时 因 用 户 家 中 无 人 未 见 表,8 月 12 日 抄 表 示 数 706 立 方 米, 那 么 小 王 家 本 期 用 水 量 为 156 立 方 米, 本 期 用 水 天 数 104 天, 日 均 用 水 量 为 1.5 立 方 米. 如 果 按 这 样 每 日 用 水 量 计 算, 小 李 家 今 后 每 年 的 水 费 将 达 到 4047.5 元 ( 一 年 按 365 天 计 算 ). 考 点 有 理 数 的 混 合 运 算. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 应 用 题. 分 析 首 先 求 出 5 月 1 日 到 8 月 12 日 基 本 用 水 量, 进 而 求 出 日 均 用 水 量, 最 后 按 照 阶 梯 收 费 方 案 求 出 一 年 水 费. 解 答 解 : 根 据 题 意 得 :706-550=156,156 104=1.5,1.5 365=547.5, 180 5=900,80 7=560, (547.5-260) 9=2587.5, 900+560+2587.5=4047.5. 故 答 案 为 156 1.5 4047.5. 点 评 此 题 考 查 了 有 理 数 的 混 合 运 算, 解 答 本 题 的 关 键 是 理 解 阶 梯 水 价 的 收 费 方 案, 此 题 难 度 一 般. 三 解 答 题 ( 本 题 共 30 分, 每 小 题 5 分 ) 17.( 5 分 )(2015 黄 冈 模 拟 ) 如 图, 点 C,D 在 线 段 BF 上,AB DE,AB=DF, A= F, 求 证 :BC=DE. 考 点 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 证 明 题. 分 析 先 由 平 行 线 得 出 B= EDF, 再 由 ASA 证 明 ABC FDE, 得 出 对 应 边 相 等 即 可. 解 答 证 明 : AB DE B= EDF; 在 ABC 和 FDE 中,, ABC FDE(ASA), 第 8 页 ( 共 22 页 )

BC=DE. 点 评 本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 平 行 线 的 性 质 ; 证 明 三 角 形 全 等 是 解 决 问 题 的 关 键. 18.( 5 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 计 算 :. 考 点 实 数 的 运 算 ; 零 指 数 幂 ; 负 整 数 指 数 幂 ; 特 殊 角 的 三 角 函 数 值. 菁 优 网 版 权 所 有 专 题 计 算 题. 分 析 原 式 第 一 项 利 用 零 指 数 幂 法 则 计 算, 第 二 项 化 为 最 简 二 次 根 式, 第 三 项 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 计 算, 最 后 一 项 利 用 负 指 数 幂 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果. 解 答 解 : 原 式 =1+2-2 +2=1+2 - +2=3+. 点 评 此 题 考 查 了 实 数 的 运 算, 熟 练 掌 握 运 算 法 则 是 解 本 题 的 关 键. 19.( 5 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 解 不 等 式 组 :. 考 点 解 一 元 一 次 不 等 式 组. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 先 解 不 等 式 组 中 的 每 一 个 不 等 式, 再 求 其 公 共 解 集 即 可. 解 答 解 : 由 1 得 :x<2, 由 2 得 :x, 所 以 不 等 式 组 的 解 集 为 : x<2. 点 评 本 题 考 查 了 解 一 元 一 次 不 等 式 组, 解 不 等 式 组 应 遵 循 的 原 则 : 同 大 取 较 大, 同 小 取 较 小, 小 大 大 小 中 间 找, 大 大 小 小 解 不 了. 20.( 5 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 已 知, 求 代 数 式 的 值. 考 点 分 式 的 化 简 求 值. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 先 根 据 分 式 混 合 运 算 的 法 则 把 原 式 进 行 化 简, 再 根 据 = 得 出 2a=3b, 代 入 原 式 进 行 计 算 即 可. 解 答 解 : 原 式 = =, =, 2a=3b, 2a=3b. 第 9 页 ( 共 22 页 )

原 式 = =-6. 点 评 本 题 考 查 的 是 分 式 的 化 简 求 值, 熟 知 分 式 混 合 运 算 的 法 则 是 解 答 此 题 的 关 键. 21.( 5 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 列 方 程 或 方 程 组 解 应 用 题 : 为 了 培 育 和 践 行 社 会 主 义 核 心 价 值 观, 引 导 学 生 广 泛 阅 读 古 今 文 学 名 著, 传 承 优 秀 传 统 文 化, 我 区 某 校 决 定 为 初 三 学 生 购 进 相 同 数 量 的 名 著 三 国 演 义 和 红 岩. 其 中 三 国 演 义 的 单 价 比 红 岩 的 单 价 多 28 元. 若 学 校 购 买 三 国 演 义 用 了 1200 元, 购 买 红 岩 用 了 400 元, 求 三 国 演 义 和 红 岩 的 单 价 各 多 少 元. 考 点 分 式 方 程 的 应 用. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 首 先 设 红 岩 的 单 价 为 x 元, 则 三 国 演 义 的 单 价 为 (x+28) 元, 由 题 意 可 得 等 量 关 系 :1200 元 购 买 三 国 演 义 的 数 量 =400 元 购 买 红 岩 的 数 量, 根 据 等 量 关 系, 列 出 方 程, 再 解 即 可. 解 答 解 : 设 红 岩 的 单 价 为 x 元, 则 三 国 演 义 的 单 价 为 (x+28) 元, 由 题 意, 得, 解 得 x=14. 经 检 验,x=14 是 原 方 程 的 解, 且 符 合 题 意. x+28=42. 答 : 红 岩 的 单 价 为 14 元, 三 国 演 义 的 单 价 为 42 元. 点 评 此 题 主 要 考 查 了 分 式 方 程 的 应 用, 关 键 是 正 确 理 解 题 意, 找 出 题 目 中 的 等 量 关 系, 列 出 方 程. 22.( 5 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 已 知 : 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 kx 2 -(4k+1)x+3k+3=0(k 是 整 数 ). (1) 求 证 : 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ; (2) 若 方 程 的 两 个 实 数 根 都 是 整 数, 求 k 的 值. 考 点 根 的 判 别 式. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 根 据 一 元 二 次 方 程 的 定 义 得 k 0, 再 计 算 判 别 式 得 到 =(2k-1) 2, 然 后 根 据 非 负 数 的 性 质 即 k 的 取 值 得 到 >0, 则 可 根 据 判 别 式 的 意 义 得 到 结 论 ; (2) 根 据 求 根 公 式 求 出 方 程 的 根, 方 程 的 两 个 实 数 根 都 是 整 数, 求 出 k 的 值. 解 答 (1) 证 明 : 方 程 kx 2 -(4k+1)x+3k+3=0, =(-4k-1) 2-4k(3k+3)=4k 2-4k+1=(2k-1) 2, kx 2 -(4k+1)x+3k+3=0 是 一 元 二 次 方 程,k 是 整 数, k 0,k, =(2k-1) 2 >0, 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ; (2) 解 : 方 程 kx 2 -(4k+1)x+3k+3=0, a=k,b=-(4k+1), c=3k+3, 第 10 页 ( 共 22 页 )

运 用 公 式 法 解 方 程 可 知 道 此 方 程 的 根 为 x= =, 此 方 程 的 两 个 根 分 别 为 x 1 =3,x 2 =1+, 方 程 的 两 个 实 数 根 都 是 整 数,k 是 整 数, k=1 或 k=-1. 点 评 本 题 主 要 考 查 了 根 的 判 别 式 的 知 识, 熟 知 一 元 二 次 方 程 的 根 与 的 关 系 是 解 答 此 题 的 关 键, 此 题 难 度 不 大. 四 解 答 题 ( 本 题 共 20 分, 每 小 题 5 分 ) 23.( 5 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 如 图,BD 是 ABC 的 角 平 分 线, 点 E,F 分 别 在 BC,AB 上, 且 DE AB,BE=AF. (1) 求 证 : 四 边 形 ADEF 是 平 行 四 边 形 ; (2) 若 ABC=60,BD=4, 求 平 行 四 边 形 ADEF 的 面 积. 考 点 平 行 四 边 形 的 判 定 与 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 由 BD 是 ABC 的 角 平 分 线,DE AB, 易 证 得 BDE 是 等 腰 三 角 形, 且 BE=DE; 又 由 BE=AF, 可 得 DE=AF, 即 可 证 得 四 边 形 ADEF 是 平 行 四 边 形 ; (2) 首 先 过 点 D 作 DG AB 于 点 G, 过 点 E 作 EH BD 于 点 H, 由 ABC=60,BD 是 ABC 的 平 分 线, 可 求 得 DG 的 产, 继 而 求 得 DE 的 长, 则 可 求 得 答 案. 解 答 (1) 证 明 : BD 是 ABC 的 角 平 分 线, ABD= DBE, DE AB, ABD= BDE, DBE= BDE, BE=DE; BE=AF, AF=DE; 四 边 形 ADEF 是 平 行 四 边 形 ; (2) 解 : 过 点 D 作 DG AB 于 点 G, 过 点 E 作 EH BD 于 点 H, ABC=60,BD 是 ABC 的 平 分 线, ABD= EBD=30, DG= BD= 4=2, 第 11 页 ( 共 22 页 )

BE=DE, BH=DH=2, BE= =, DE=, 四 边 形 ADEF 的 面 积 为 :DE DG=. 点 评 此 题 考 查 了 平 行 四 边 形 的 判 定 与 性 质 等 腰 三 角 形 的 判 定 与 性 质 以 及 三 角 函 数 等 知 识. 注 意 掌 握 辅 助 线 的 作 法. 24.( 5 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 某 公 司 有 5 个 股 东, 每 个 股 东 的 利 润 相 同, 有 100 名 工 人, 每 名 工 人 的 工 资 相 同.2015 年 第 一 个 季 度 工 人 的 工 资 总 额 与 公 司 的 股 东 总 利 润 情 况 见 表 : 月 份 工 人 工 资 总 额 ( 万 元 ) 股 东 总 利 润 ( 万 元 ) 1 28 14 2 30 16 3 32 18 该 公 司 老 板 根 据 表 中 数 据, 作 出 了 图 1, 并 声 称 股 东 利 润 和 工 人 工 资 同 步 增 长, 公 司 和 工 人 做 到 了 有 福 同 享. 针 对 老 板 的 说 法, 解 决 下 列 问 题 : (1) 这 三 个 月 工 人 个 人 的 月 收 入 分 别 是 0.28,0.30,0.32 万 元 ; (2) 在 图 2 中, 已 经 做 出 这 三 个 月 每 个 股 东 利 润 统 计 图, 请 你 补 出 这 三 个 月 工 人 个 人 月 收 入 的 统 计 图 ; (3) 通 过 完 成 第 (1),( 2) 问 和 对 图 2 的 观 察, 你 如 何 看 待 老 板 的 说 法?( 用 一 两 句 话 概 括 ) 第 12 页 ( 共 22 页 )

考 点 折 线 统 计 图. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 根 据 统 计 表 给 出 的 数 据 和 工 人 的 总 人 数, 分 别 求 出 三 个 月 工 人 个 人 的 月 收 入 ; (2) 根 据 (1) 得 出 的 结 果 即 可 补 全 统 计 图 ; (3) 根 据 图 2 中 的 数 字 可 以 看 出 老 板 的 说 法 是 不 正 确 的, 应 该 提 高 工 人 的 工 资. 解 答 解 :(1) 第 一 个 月 工 人 个 人 的 月 收 入 是 =0.28( 万 元 ); 第 二 个 月 工 人 个 人 的 月 收 入 是 =0.30( 万 元 ); 第 三 个 月 工 人 个 人 的 月 收 入 是 =0.32( 万 元 ); 则 这 三 个 月 工 人 个 人 的 月 收 入 分 别 是 0.28 万 元,0.30 万 元,0.32 万 元 ; 故 答 案 为 :0.28,0.3,0.32. (2) 补 图 如 下 : (3) 从 图 2 的 观 察 来 看, 老 板 这 样 说 是 不 正 确 的, 工 人 的 月 平 均 工 资 和 股 东 的 月 收 入 是 不 成 比 例 的. 点 评 本 题 考 查 的 是 折 线 统 计 图, 读 懂 统 计 图, 从 统 计 图 中 得 到 必 要 的 信 息 是 解 决 问 题 的 关 键. 折 线 统 计 图 表 示 的 是 事 物 的 变 化 情 况, 如 增 长 率. 25.( 5 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 如 图,AB 是 O 的 直 径,C 是 弧 AB 的 中 点,D 是 O 的 切 线 CN 上 一 点,BD 交 AC 于 点 E, 且 BA=BD. (1) 求 证 : ACD=45 ; (2) 若 OB=2, 求 DC 的 长. 第 13 页 ( 共 22 页 )

考 点 切 线 的 性 质 ; 勾 股 定 理. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 根 据 C 是 弧 AB 的 中 点, 证 明 AC=BC, 连 接 OC, 根 据 切 线 的 性 质 证 明 OCD=90, 得 到 答 案 ; (2) 作 BH DC 于 H 点, 求 出 BH, 根 据 勾 股 定 理 计 算 即 可. 解 答 (1) 证 明 : C 是 弧 AB 的 中 点, =, AC=BC, AB 是 O 的 直 径, ACB=90, BAC= CBA=45, 连 接 OC, OC=OA, AC0=45, CN 是 O 切 线, OCD=90, ACD=45. (2) 解 : 作 BH DC 于 H 点, ACD=45, DCB=135, BCH=45, OB=2, BA=BD=4,AC=BC=. BC=, BH=CH=2, 设 DC=x, 在 Rt DBH 中, 利 用 勾 股 定 理 :(x+2) 2 +2 2 =4 2, 解 得 :x= ( 舍 负 的 ), x=, DC 的 长 为 :. 点 评 本 题 考 查 了 圆 的 切 线 性 质, 以 及 勾 股 定 理 的 应 用, 运 用 切 线 的 性 质 来 进 行 计 算 或 论 证, 常 通 过 作 辅 助 线 连 接 圆 心 和 切 点, 利 用 垂 直 构 造 直 角 三 角 形 解 决 有 关 问 题. 26.( 5 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 阅 读 下 面 材 料 : 小 聪 遇 到 这 样 一 个 有 关 角 平 分 线 的 问 题 : 如 图 1, 在 ABC 中, A=2 B,CD 平 分 ACB, AD=2.2,AC=3.6 求 BC 的 长. 第 14 页 ( 共 22 页 )

小 聪 思 考 : 因 为 CD 平 分 ACB, 所 以 可 在 BC 边 上 取 点 E, 使 EC=AC, 连 接 DE. 这 样 很 容 易 得 到 DEC DAC, 经 过 推 理 能 使 问 题 得 到 解 决 ( 如 图 2). 请 回 答 :(1) BDE 是 等 腰 三 角 形. (2)BC 的 长 为 5.8. 参 考 小 聪 思 考 问 题 的 方 法, 解 决 问 题 : 如 图 3, 已 知 ABC 中,AB=AC, A=20,BD 平 分 ABC,BD=2.3,BC=2. 求 AD 的 长. 考 点 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ; 等 腰 三 角 形 的 判 定 与 性 质. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 由 已 知 条 件 和 辅 助 线 的 作 法, 证 得 ACD ECD, 得 到 AD=DE, A= DEC, 由 于 A=2 B, 推 出 DEC=2 B, 等 量 代 换 得 到 B= EDB, 得 到 BDE 是 等 腰 三 角 形 ; (2) 在 BA 边 上 取 点 E, 使 BE=BC=2, 连 接 DE, 得 到 DEB DBC, 在 DA 边 上 取 点 F, 使 DF=DB, 连 接 FE, 得 到 BDE FDE, 即 可 推 出 结 论. 解 答 解 :(1) BDE 是 等 腰 三 角 形, 在 ACD 与 ECD 中,, ACD ECD, AD=DE, A= DEC, A=2 B, DEC=2 B, B= EDB, BDE 是 等 腰 三 角 形 ; (2)BC 的 长 为 5.8, ABC 中,AB=AC, A=20, ABC= C=80, BD 平 分 B, 1= 2=40 BDC=60, 在 BA 边 上 取 点 E, 使 BE=BC=2, 连 接 DE, 则 DEB DBC, BED= C=80, 4=60, 3=60, 在 DA 边 上 取 点 F, 使 DF=DB, 连 接 FE, 第 15 页 ( 共 22 页 )

则 BDE FDE, 5= 1=40,BE=EF=2, A=20, 6=20, AF=EF=2, BD=DF=2.3, AD=BD+BC=4.3. 点 评 本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质 和 判 定, 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质, 角 平 分 线 的 定 义, 根 据 题 意 正 确 的 作 出 辅 助 线 是 解 题 的 关 键. 五 解 答 题 ( 本 题 共 22 分, 第 27 题 7 分, 第 28 题 7 分, 第 29 题 8 分 ) 27.( 7 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中, 二 次 函 数 y=(a-1)x 2 +2x+1 与 x 轴 有 交 点,a 为 正 整 数. (1) 求 a 的 值. (2) 将 二 次 函 数 y=(a-1)x 2 +2x+1 的 图 象 向 右 平 移 m 个 单 位, 向 下 平 移 m 2 +1 个 单 位, 当 -2 x 1 时, 二 次 函 数 有 最 小 值 -3, 求 实 数 m 的 值. 考 点 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 ; 二 次 函 数 图 象 与 几 何 变 换. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 根 据 二 次 函 数 y=(a-1)x 2 +2x+1 与 x 轴 有 交 点, 令 y=0, 则 (a-1)x 2 +2x+1=0, 0, 求 出 a 的 取 值 范 围, 再 根 据 a 为 正 整 数 求 出 a 的 值 ; (2) 根 据 (1) 中 a 的 值 得 出 二 次 函 数 的 表 达 式, 根 据 二 次 函 数 平 移 的 性 质 得 出 其 顶 点 坐 标, 再 由 二 次 函 数 有 最 小 值 -3 即 可 得 出 结 论. 解 答 解 :(1) 二 次 函 数 y=(a-1)x 2 +2x+1 与 x 轴 有 交 点, 第 16 页 ( 共 22 页 )

令 y=0, 则 (a-1)x 2 +2x+1=0, =4-4(a-1) 0, 解 得 a 2. a 为 正 整 数, a=1 2 又 y=(a-1)x 2 +2x+1 是 二 次 函 数, a-1 0, a 1, a 的 值 为 2. (2) a=2, 二 次 函 数 表 达 式 为 y=x 2 +2x+1, 将 二 次 函 数 y=x 2 +2x+1 化 成 顶 点 式 y=(x+1) 2, 二 次 函 数 图 象 向 右 平 移 m 个 单 位, 向 下 平 移 m 2 +1 个 单 位 后 的 表 达 式 为 y=(x+1-m) 2 -( m 2 +1). 此 时 函 数 的 顶 点 坐 标 为 (m-1,-m 2-1). 当 m-1<-2, 即 m<-1 时,x=-2 时, 二 次 函 数 有 最 小 值 -3, -3=(-1-m) 2 -(m 2 +1), 解 得 m=- 且 符 合 题 目 要 求. 当 -2 m-1 1, 即 -1 m 2, 时, 当 x=m-1 时, 二 次 函 数 有 最 小 值 -m 2-1=-3, 解 得 m=±. m=- 不 符 合 -1 m 2 的 条 件, 舍 去. m=. 当 m-1>1, 即 m>2 时, 当 x=1 时, 二 次 函 数 有 最 小 值 -3, -3=(2-m) 2 -(m 2 +1), 解 得 m=, 不 符 合 m>2 的 条 件 舍 去. 综 上 所 述,m 的 值 为 - 或. 点 评 本 题 考 查 的 是 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点, 熟 知 二 次 函 数 的 图 象 与 x 轴 的 交 点 与 的 关 系 是 解 答 此 题 的 关 键. 28.( 7 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 在 等 边 ABC 外 侧 作 直 线 AP, 点 B 关 于 直 线 AP 的 对 称 点 为 D, 连 接 BD,CD, 其 中 CD 交 直 线 AP 于 点 E. (1) 依 题 意 补 全 图 1; (2) 若 PAB=30, 求 ACE 的 度 数 ; (3) 如 图 2, 若 60 < PAB<120, 判 断 由 线 段 AB,CE,ED 可 以 构 成 一 个 含 有 多 少 度 角 的 三 角 形, 并 证 明. 考 点 作 图 - 轴 对 称 变 换. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 根 据 题 意 作 出 图 形 ; 第 17 页 ( 共 22 页 )

(2) 根 据 题 意 可 得 DAP= BAP=30, 然 后 根 据 AB=AC, BAC=60, 得 出 AD=AC, DAC=120, 最 后 根 据 三 角 形 的 内 角 和 公 式 求 解 ; (3) 由 线 段 AB,CE,ED 可 以 构 成 一 个 含 有 60 度 角 的 三 角 形, 连 接 AD,EB, 根 据 对 称 可 得 EDA= EBA, 然 后 证 得 AD=AC, 最 后 即 可 得 出 BAC= BEC=60. 解 答 解 :(1) 所 作 图 形 如 图 1 所 示 : (2) 连 接 AD, 如 图 1. 点 D 与 点 B 关 于 直 线 AP 对 称, AD=AB, DAP= BAP=30, AB=AC, BAC=60, AD=AC, DAC=120, 2 ACE+60 +60 =180, ACE=30 ; (3) 线 段 AB,CE,ED 可 以 构 成 一 个 含 有 60 角 的 三 角 形. 证 明 : 连 接 AD,EB, 如 图 2. 点 D 与 点 B 关 于 直 线 AP 对 称, AD=AB,DE=BE, EDA= EBA, AB=AC,AB=AD, AD=AC, ADE= ACE, ABE= ACE. 设 AC,BE 交 于 点 F, 又 AFB= CFE, BAC= BEC=60, 线 段 AB,CE,ED 可 以 构 成 一 个 含 有 60 角 的 三 角 形. 第 18 页 ( 共 22 页 )

点 评 本 题 考 查 了 根 据 轴 对 称 变 换 作 图 以 及 等 腰 三 角 形 的 性 质, 解 答 本 题 的 关 键 是 根 据 轴 对 称 的 性 质 作 出 对 应 点 的 位 置 以 及 掌 握 等 腰 三 角 形 的 性 质. 29.( 8 分 )(2015 怀 柔 区 一 模 ) 对 某 种 几 何 图 形 给 出 如 下 定 义 : 符 合 一 定 条 件 的 动 点 所 形 成 的 图 形, 叫 做 符 合 这 个 条 件 的 点 的 轨 迹. 例 如, 平 面 内 到 定 点 的 距 离 等 于 定 长 的 点 的 轨 迹, 是 以 定 点 为 圆 心, 定 长 为 半 径 的 圆. (1) 如 图 1, 在 ABC 中,AB=AC, BAC=90,A(0,2), B 是 x 轴 上 一 动 点, 当 点 B 在 x 轴 上 运 动 时, 点 C 在 坐 标 系 中 运 动, 点 C 运 动 形 成 的 轨 迹 是 直 线 DE, 且 DE x 轴 于 点 G. 则 直 线 DE 的 表 达 式 是 x=2. (2) 当 ABC 是 等 边 三 角 形 时, 在 (1) 的 条 件 下, 动 点 C 形 成 的 轨 迹 也 是 一 条 直 线. 1 当 点 B 运 动 到 如 图 2 的 位 置 时,AC x 轴, 则 C 点 的 坐 标 是 (,2). 2 在 备 用 图 中 画 出 动 点 C 形 成 直 线 的 示 意 图, 并 求 出 这 条 直 线 的 表 达 式. 3 设 2 中 这 条 直 线 分 别 与 x,y 轴 交 于 E,F 两 点, 当 点 C 在 线 段 EF 上 运 动 时, 点 H 在 线 段 OF 上 运 动,( 不 与 O F 重 合 ), 且 CH=CE, 则 CE 的 取 值 范 围 是 CE<. 考 点 一 次 函 数 综 合 题 ; 轨 迹. 菁 优 网 版 权 所 有 分 析 (1) 过 C 作 CM y 轴, DMA AOB, 可 求 得 DM 的 长, 可 得 出 DE 的 表 达 式 ; (2)1 过 C 作 CN x 轴 于 点 N, 由 等 边 三 角 形 的 性 质 可 求 得 CN 和 ON, 可 求 得 C 点 坐 标 ;2 可 再 求 得 满 足 条 件 的 一 个 C 点, 如 当 C(0,-2) 时, 满 足 条 件, 利 用 待 定 系 数 数 法 可 求 得 直 线 表 达 式 ;3 以 C 为 圆 心,CE 长 为 半 径 画 圆, 当 该 圆 过 点 O 时, 此 时 CE 有 最 第 19 页 ( 共 22 页 )

大 值 ( 取 不 到 该 值 ), 当 该 圆 与 y 轴 相 切 时,CE 有 最 小 值, 再 根 据 等 腰 三 角 形 和 平 行 线 分 线 段 成 比 例 分 别 求 得 CE 的 值, 即 可 求 得 答 案. 解 答 解 : (1) 过 C 作 CM y 轴 于 点 M, 如 图 1, BAC=90, CAM+ BAO= MCA+ CAM=90, BAO= MCA, 在 DMA 和 AOB 中 DMA AOB(AAS), MC=OA=2, 且 DE x 轴, 直 线 DE 的 表 达 式 为 x=2, 故 答 案 为 :x=2; (2)1 过 C 作 CN x 轴 于 点 N, 如 图 2, AC x 轴, CN=AO=2, 又 ABC 为 等 边 三 角 形, ACB=60, BCN=30, AC=BC= =, C 点 坐 标 为 (,2), 故 答 案 为 :(,2); 2 由 1 知 C 点 坐 标 为 (,2), 第 20 页 ( 共 22 页 )

且 当 C(0,-2) 时, 由 A C 关 于 x 轴 对 称 可 知 在 x 轴 上 存 在 B 点 使 ABC 为 等 边 三 角 形, 点 (0,-2) 也 在 C 点 所 形 成 的 直 线 上, 设 直 线 表 达 式 为 y=kx+b, 把 点 (,2) 和 (0,-2) 代 入 可 得, 解 得. 直 线 的 表 达 式 是 y= x-2; 动 点 C 运 动 形 成 直 线 如 图 3 所 示 3 当 点 C 在 线 段 EF 上 时, 以 C 为 圆 心,CE 长 为 半 径 画 圆, 当 圆 过 点 O 时, 如 图 4, 边 接 CO, 可 知 此 时 CE 最 长, 由 2 可 求 得 E 点 坐 标 为 (,0), F(0,-2), 由 勾 股 定 理 可 求 得 EF=, 由 圆 周 角 定 理 可 知 此 时 CE= EF=, 当 圆 与 y 轴 相 切 时, 则 切 点 即 为 满 足 条 件 的 点 H, 连 接 CH, 如 图 5, 第 21 页 ( 共 22 页 )

此 时 CE 的 值 时 小, HC OE, 且 CH=CE, = = =, 即 =, 解 得 CE=, 又 点 H 与 O F 不 重 合, CE 取 不 到 最 大 值, CE 的 取 值 范 围 为 CE<, 故 答 案 为 : CE<. 点 评 本 题 主 要 考 查 一 次 函 数 的 综 合 应 用, 涉 及 知 识 点 有 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 待 定 系 数 法 等 边 三 角 形 的 性 质 圆 的 有 关 性 质 等. 在 (1) 中 求 得 C 到 y 轴 的 距 离 是 解 题 的 关 键, 在 (2)3 中 确 定 出 CE 的 最 大 值 和 最 小 值 是 解 题 的 关 键. 本 题 知 识 点 较 多, 综 合 性 较 强, 但 难 度 不 大. 第 22 页 ( 共 22 页 )