.4 一维定态问题 无限深方势阱 一维定态问题 设质量为 m, 能量为 E 的粒子沿 x 轴运动, 势能是不含时的 V(x), 则这是一个一维的定态问题, 其 Schrödinger 方程 : d + Vx ( ) ux ( )= Eux ( ) m dx 一维无限深方势阱 V( x) 0, 0 x a =, x < 0, or, x > a 0 a 一维无限深方势阱
.4 一维定态问题 无限深方势阱 结论 : () 处在一维无限深势阱中粒子, 其定态波函数为 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, or, x > a 0 n =,,3,
.4 一维定态问题 无限深方势阱 结论 : () 粒子在一维无限深势阱中的概率 ( 密度 ) 分布 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, or, x > a 0 n =,,3, 概率分布不均匀, 存在概率为零的节点 但 : 概率分布不随时间变化!
.4 一维定态问题 无限深方势阱 结论 : (3) 束缚在势阱中的粒子的能量是量子化的 π E = En = n n= ma,,,3, (4) 束缚在势阱中的粒子存在零点能 基态 (n =) 能量 : E π = ma 在阱内,V(x) =0, E = 动能 T 表明在阱内粒子的动能不可能为零! 能级图 与经典物理学中的概念是矛盾的 这是粒子波粒二象性的结果
.4 一维定态问题 方势垒散射 设一个质量为 m, 能量为 E 的自由粒子从 - 沿 +x 方向入射一个高度为 V 0, 宽度为 a 的一维方势垒 : 0, x < 0 V( x) = V0, 0 x a 0, x> a 也是一个一维的定态问题, 其 Schrödinger 方程 : d + Vx ( ) ux ( )= Eux ( ) m dx E V(x) V 0 I II III 0 a x 设 0 < E < V 0 区域 (I):x < 0, V(x) = 0 令 k = me du m dx du 则 dx = = Eu ku u( x) = Ae + Be ik x ik x 解为 入射波 反射波
.4 一维定态问题 方势垒散射 区域 (II):0< x < a, V(x) = V 0 d + m dx 令 k 则 u Eu V 0 = = mv ( E) du = dx 0 ku u( x) = Ae + Be kx 解为 区域 (III):x > a, V(x) = 0 du m dx = Eu kx u( x) = Ae + Be ik x 3 3 ik x 解为 E V(x) V 0 I II III 0 a x 透射波无 -x 方向的平面波 B 3 = 0
.4 一维定态问题 概率流密度和概率守恒 设粒子的波函数为 :ψ (r, t), 则粒子在空间 r 处的概率密度为 对时间求导 * * ρ(,) r t = ψ(,) r t = ψ (,) r t ψ(,) r t ρ (,) r t * = ψ ψ + ψ ψ t t t 由薛定谔方程得 ψ = + V(,) r t ψ t i m * ψ * = + V(,) r t ψ t i m ρ ( ψ * ψ ψ ψ * ) = t mi
.4 一维定态问题 概率流密度和概率守恒 记 ( * * j(,) r t = ) 类比 粒子概率守恒 mi ψ ψ ψ ψ 概率密度 ρ(,) r t t 描述粒子概率密度随时间变化的方程 电流连续性方程 ( 电荷守恒定律 ) 电荷密度 ρ + j = t + j(,) r t = 0 粒子在空间某处出现的概率的改变, 是通过概率流的方式与空间其它处进行概率传递的 0 概率流密度 电流密度
.4 一维定态问题 方势垒散射 入射波 u ( x) = Ae I ik x 入射的概率流密度 反射波 u ( x) = Be R ik x 反射的概率流密度 透射波 u ( x) = Ae T 3 ik x 透射的概率流密度 定义 : 反射系数 有 R 透射系数 j j R = = I B A R = T j j j j j j j I R I R T k = m k = m k = m A B A 3 jr j I (,) t = jr mi ψ ψ ψ ψ 表示一个粒子被势垒反射的概率 T = 表示一个粒子穿透势垒的概率 I T * * ( ) = jt = A3 概率守恒 T + R= j I A j T
.4 一维定态问题 方势垒散射 利用波函数的标准条件 u(x) 和 u (x) 在 x = 0 和 x = a 两点连续 A + B = A + B ik( A B) = k( A B) Ae + Be = Ae k A e B e ik A e ka ka ika 3 ka ka ika ( ) = 3 jr j I (,) t = jr mi ψ ψ ψ ψ * * ( ) j T 得 T 3 4kk ( + )sinh ( ) + 4 A = = A k k ka kk 当 k a >> 时, 即势垒高度 V 0 比 E 大得多, 或势垒宽度 a 很宽 双曲正弦函数 shx=(e^x-e^-x)/ k = mv ( E) 0 T a 6 EV ( 0 E) e V0 mv ( E) 0
.4 一维定态问题 方势垒散射 隧道效应
.4 一维定态问题 方势垒散射 例.3 试计算能量为 ev 的电子穿越高度 V 0 = ev, 宽度为 a = 0-8 cm 的势垒的概率 如果是质子, 透射概率是多少? [ 解 ] 电子 a a me( V 0 E) = mec ( V0 E) c 透射率 8 0 cm = 97eV nm 6 ev ( ) ev T e ev 6 0.5 0 ev ( ) ev ~ 0.5 质子 a m ( V E) 44 p 0 透射率 38 T.5 0
.4 一维定态问题 隧道效应的应用 Scanning Tunneling Microscopy (STM) The Nobel Prize in Physics 986 Gerd Binnig Heinrich Rohrer
.4 一维定态问题 隧道效应的应用
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 粒子在外场 V(r) 中运动, 体系的定态薛定谔方程 : m + V () r u()= r Eu() r 求解该方程, 可以得到体系的波函数和能量 E 例如 : 粒子束缚在一维无限深方势阱中 0 a 一维无限深方势阱 波函数 能量 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, or, x > a 0 π En = n ma n =,,3,
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 能量的实验观测 : 能谱 ( 光谱 ) 测量 γ 光谱测量 e EG 能谱测量 (Franck-Hertz)
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 其它力学量呢? 比如 : 粒子的位置 r 动量 p 动能 T 角动量 L, () 粒子的位置 r 例如 : 一维无限深方势阱 粒子的位置是不确定的, 取值在 [0, a] 之间 但粒子的概率分布是确定的, 是 nπ sin x, 0 x a ux ( ) = a a, x < 0, or, x > a 0 n =,,3, 所以, 可以得到粒子位置的平均值 ( 假设粒子处在基态 n = 态 ): a a π x a x = x u( x) dx = x sin dx 0 = 0 a a 加权平均
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 一般地, 设粒子的波函数为 ψ (r, t), 则在 t 时刻粒子出现在 r 附近 dτ 体积元内的概率为 : * ρ(,) r tdτ = ψ (,) r tψ(,) r tdτ 其中 ρ (r, t) 是概率密度 假设波函数已经归一化, 即 则位置 r 的平均值为 : + ρ(,) r tdτ = + + * ρ(,) tdτ ψ (,) t ψ(,) tdτ r = r r = r r r
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 () 粒子的势能 V( r, t) 粒子在 r 点的势能为 V(r, t), 而粒子出现在该点的概率密度为 ρ (r, t) 则 V(r, t) 的平均值为 : (3) 粒子的动量 p * V(,) r + + t = V(,) r t (,) r t d = (,) t V(,) t (,) t d r r r ρ τ ψ ψ τ 如果粒子动量可以表示为 r 点的函数 p(r, t), 则可以用上述同样的方法求平均值 但是, 按照不确定关系, 位置和动量不能同时具有确定的取值! 因此, 粒子在空间某点的动量 是没有意义的 p(r, t)
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 将位置空间的波函数用平面单色波展开 : ψ( r, t) ( p)e dp i + ( pr -Et ) = φ 3/ ( π ) = ϕ( p, t)e ( π ) 3/ 展开系数是 ψ (r, t) 的傅立叶变换 ( π ) 3/ i + pr dp 动量空间体积元 i + pr ϕ( p, t ) = ψ( r,t)e dτ d p = dpxdpydpz ϕ( p,) t 表示平面波 e i pr 的所占的比重, 即粒子动量取为 p 的概率 ϕ (p, t) 称为动量空间波函数
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 所以, 动量的平均值 + + * ϕ(,) ϕ (,) ϕ(,) p = p p t d p = p t p p td p + i + pr ϕ( p, t ) = ψ( r,t)e dτ ( π ) 3/ p = ψ * (,)( r t i ) ψ(,) r tdτ 仍然可以用位置空间波函数为 ψ (r, t) 来求平均值, 但 p i 动量算符 : pˆ = i
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 (4) 粒子的动能 T = p /m 类似地, 动能的平均值 动能算符 : + * T = ψ (,)( r t ) ψ(,) r tdτ m ˆ ˆ T = 且有 Tˆ m = p m (5) 粒子的总能 E = T+V (r, t) 平均值 + * E = ψ (,) r t + V(,) r t ψ(,) r tdτ m H ˆ (,) (,) V t p = + r = + m m V r t 总能能算符 : ˆ 称为粒子的哈密顿算符
.5 力学量的平均值 算符表示 平均值 含时薛定谔方程 : ψ = + (,) ψ t m i V r t i ψ = t Hˆ ψ 定态薛定谔方程 : m + V () r u()= r Eu() r Hu ˆ ()= r Eu() r
.5 力学量的平均值 算符表示 算符表示 量子力学中, 描述微观粒子的力学量均有对应的算符 () 位矢 r r () 势能 V(r) V(r) (3) 动量 p pˆ = i (4) 动能 T (5) 总能量 E Tˆ (6) 角动量 L= r p = m ˆ H = V() m + r 在直角坐标系中的三个分量 pˆ x = i x pˆ y = i y pˆ z = i z Lˆ = r pˆ ˆ ˆ ˆ 在直角坐标系中的三个分量 Lx = ypz zpy = i y z z y Lˆ y = zpˆ x xpˆ z = i z x x z Lˆ z = xpˆ y ypˆ x = i x y y x
.5 力学量的平均值 算符表示 算符表示 Cartesian coordinates Spherical coordinates ( x, y, z) ( r, θ, ϕ) x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ y θ = arccos ϕ = arctan r = x + + y x x z + z y + z
.5 力学量的平均值 算符表示 算符表示 角动量算符 Lˆ = r pˆ ˆ Lx = i sinϕ + ctgθcosϕ θ ϕ Lˆ y = i cosϕ + ctgθsinϕ θ ϕ Lˆ z = i ϕ 在球坐标系中的三个分量为 角动量平方算符 ( 表征其大小 ) Lˆ = sinθ + sinθ θ θ sin θ ϕ
.5 力学量的平均值 算符表示 算符表示 任意力学量 A 算符 Â + 其平均值 * ˆ A = ψ (,)A r t ψ(,) r tdτ 定态薛定谔方程 : Hu ˆ ()= r Eu() r 哈密顿算符的本征方程 不是所有的能量取值, 本征方程都有满足物理条件的解的, 能有满足物理条件解的能量 E, 称为哈密顿算符的本征值 满足本征方程的波函数 u(r), 称为哈密顿算符的本征函数 任意力学量算符 Â 的本征方程 Au ˆ ()= r Au () r A 本征函数本征值 A