依据折纸问题的知识模块设计解题思路的流程初探 浙江省衢州市实验学校 (4000) 余献虎摘要 : 学数学就要学解题 数学难, 某种意义上讲就是解题难 引导学生学会依据不同内容的知识结构构建知识模块, 在多样化的知识模块下形成一定的综合性模块系统, 在解题需要时能自觉联想到相应知识模块设计解题思路, 实现有条理 有依据地解题, 是解题教学有效 可塑的途径 折纸, 因简易 方便, 直观又有百般变化, 数学内容丰富, 而备受命题者青睐, 因此以 折纸 为基础的解题模块系统构建具有代表性, 值得探析和研究 关键词 : 模块联想系统分析解题思路设计流程 数学难, 其实是解题难 有些同学学了多年数学, 可还是不会解题 数学上应该不存在 适合任何问题的万能解题方法, 但一定有适合特定类型问题的通用解法, 因此, 数学解题教 学, 应该教会学生依据问题所包含知识的来龙去脉, 从浅入深逐步积累解题经验, 进而形成 多样化的知识系统下的综合性解题经验, 形成一定的知识解题模块系统, 并能自觉形成解题 时联想到相应知识模块系统设计解题思路的目标, 实现有条理 有依据地解题 本文以折纸 问题为例, 探析 构建模块联想系统设计有序解题 这一话题 垂线 一 折纸活动的数学属性分析 折纸, 在数学中, 常说成对折 折叠 翻折, 操作过程呈现如下数学属性 : 全等性 : 折纸前后对应的两部分图形是全等图形 平分性 : 折痕是折纸前后两线的夹角的平分线, 是折纸前后对应点连接而成的线段的中 对称性 : 折纸前后对应的两部分图形关于折痕所在的直线轴对称 二 模块构建与解题思路设计枚举 折纸, 常用的有三角形纸片 四边形纸片 圆形纸片等 依据纸片形状可细分为如下研 究内容 : 三角形纸片 例 如图, 将三角形纸片 沿着 折叠压平, 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 问题内容简约, 解题策略典型 依据折纸的全等性 角的平分性及问题解决 复原 原 图
则构建知识模块, 依据经验联想起三角形内角和定理, 解题思路如下 : () 补全图形, 由对称性得, 90, 90 () 由三角形内角和定理得, 80 90 90 ( ) 问题简约但不简单 复原 图形, 是解答折纸问题典型策略 例 如图, 在 中, =90,=,= 5 把 沿着 折叠, 使点 与 重合, 连结, 求 tan 的值 图 关于直角三角形的折纸形式多, 依据中垂线的平分性可知 =, 由直角联想到勾股定理, 可设计如下解题思路 : () 在 Rt 中, 0 4 4 () 由中垂线性质得,= () 在 Rt 中, 依据勾股定理得, (4 ), 解之得 4 (4) 依据正切三角函数得,tan = 简单解题经验的积累是必须的 题中折痕若为, 就有角平分线的 个性质可选 ; 若 90, 可研究 是等腰三角形, 这时倍角三角 形出现了 ; 结合例, 可编制新问题 : 如图, 把等边三角形 沿着 翻折, 使点 落在边 上, 当知,=+ 时, 求 长 图 由例 得, 0 0 90 再依据模块联想系统构建方法, 可 有序设计解题思路 这些折纸, 问题直率 简捷, 解答方法平实 典型, 等量代换思想得到 体现, 图形 复原 原则得到落实 四边形纸片 四边形纸片的折叠活动中, 最常见的是矩形, 其次是正方形纸片和其它四边形纸片 矩形纸片 例 如图 4, 在矩形纸片 中,=,=4 将矩形纸片沿 折叠, 使点 与 点 重合, 折叠后在其一面着色, 则着色部分的面积为 ( ) 8 4 5 折矩形纸片求线段长, 与折直角三角形一样, 都强调直角的应 用, 不同之处是矩形对边平行且相等, 有更丰富的全等性和对称性 依据全等 等腰及直角间的知识模块结构关系, 可设计如下思路 : () 由对称性得,=; 由平分性得, = G 图 4
() 由勾股定理得, 5, 即 (4 ) 4, 解之得 () 在矩形 中, 依据 得 = =, 即 == 5, (4) 由 G 得,S 着色部分 = S +S =4+ 5 矩形, 或 8-S = 8 与例 相比, 例 多了等腰三角形, 但两例都回归问题基本属性, 联系知识结构本源, 利用知识模块结构, 寻找数学解题方法 由此可见, 解答折矩形纸片问题, 要善用其中的全 等 等腰及勾股关系, 这是解答此类问题的必杀技 例 4 将四边形纸片 折叠, 使点 落在 边上的 点 ( 不与点, 重合 ) 处, 压平后得到折痕 MN 探究 : 示 () 如图 5, 若四边形纸片 是正方形 当 M 时, 求的值 N N 图 5 若, M 则的值等于 ; 若 N 4, M 则的值等于 ; 若 N M ( n 为整数 ), 则的值等于 ( 用含 n 的式子表示 ) n N,, 试用含, n的式子表 n () 若四边形纸片 是矩形, 且 M N 的值 与之前相比, 重叠部分是四边形, 少了等腰三角形 问题设 计呈现探究性, 设计意图明显 : 简单入手, 特殊入手 说明解答 起步思路的归纳与总结是关键, 体现了模块联想的重要性 综合 M M 问题特征联想到用参量分别表示 M,N, 思路如下 : () 如图 5- 所示, 设 ==a N 图 5- 依据对称性可知, 连接 M,M, 则 M=M,N=N 根据勾股定理, 得 : N ( N) N N M M ( M ) ( ) M M 依据特殊情形找方法 : 当 时, N ( a N) a, 解之得 N= 5 4 a 4 a M ( a M ) a, 解之得 M= 4 a M 综上可知, N 5 同理可求, 当, 4 时, M N = 5 ( 4 0 ), 9 7
依据数字变化规律, 归纳特征得, 当 ( n 为整数 ), M n N = n n 总结反思, 优化思路 设 =, 当 ( n 为整数 ) 时,==n 由勾股定理得, N ( n N), n 解方程得,N= n ; n M ( n M ) ( n ), 解方程得,M= M N = n n () 推敲模块结构, 类比拓广解法 在矩形 中, 设 =, 则 ==n,=n ( n ) 由勾股定理得, ( n N) N, n M ( n M ) ( n ) 所以, n 解方程得, N, M n n n n,, 则 n 所以, 在矩形 中, 若 M N = n n n 由此可见, 折纸问题的关键是联想到相应的全等性 对称性和直角三角形的勾股定理 当 我们把无序 混乱和隐形的解答模型变为有序 条理清晰和显性的时候, 通法的目标就自然 而然实现, 具体问题只需代入求值 类似地, 继续研究如下变式 : 变式一已知, 在矩形纸片 中, 6, 85, 点 在 上, 且 6, 点 P 是 边上一动点 按如下步骤操作 :() 折叠纸片, 使点 P 与点 重合, 展开纸片得 折痕 MN ;() 过 P 作 PT, 交直线 MN 于点 Q 现将纸片 放入平面直角坐标 系 xoy 中, 如图 6 所示, 试判定点 P 从 向 的运动过程中, 所有这些点 Q 形成的图象形状, 并求出该图象的函数表达式 运动过程中, 所有点 Q 形成的图象取决于这些点 Q 在坐标系中的横 纵坐标满足的函数关系式 设 P=x,PQ=y 思路一归纳 y M T Q G () N P 图 6 x 当 x=0 时, 折痕 MN 的函数表达式是 y=, 即 y=, 即 Q(0,) 当 x=6 时, 折痕 MN 的函数表达式是 y=x, 即 y=6, 即 Q(6,6) 当 x= 时, 依据折叠的对称性可知, PG P 5 依据相似三角形的判定定理可知, PQ P PGQ P, 即 5, 求之得 PQ 5, 即 Q(,5) PG
通过描点观察可知, 这样的点 Q 形成的图象大致是二次函数图象, 依据上述点的坐标用 待定系数法可求得函数表达式为 y x (0 x 6) 检验 : 当 x=8 时, 依据上述方法求得 Q(8,7), 符合题意 所以, 所有这些点 Q 形 成的图象是二次函数, 表达式是 y x (0 x 6) 思路二演绎 () 由勾股定理得, P 6 x () 由对称性可知, PG P 6 x PQ P P PG P () 由相似性可知, 即 PQ PG (4) 代入得, y x, 其中 0 x 6, 即所有点 Q 形成的图象是二次函数 变式二如图 7, 将矩形 的四个角向内折起, 恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形 GH() 求证 : 四边形 GH 是矩形 () 若 H=,=4, 求边 的长 折叠次数的增加, 使问题面上的形式变得复杂, 条件与结论的 关系变得模糊, 但模块结构不会有大变动 依据题设与结论的关系, 解题思路如下 : () 由平分性可知, H HJ, J H J K G () 由平角的性质可知, H 90 同理可证, G GH 90, 即四边形 GH 是矩形 图 6 7 () 由上可知, H H 5 (4) 由上可证 HKG J, 即 HK=J (5) 由全等性可知,H=HJ,HK=H (6) 等量代换, 得 =H+H=H+HK=HJ+J=H=5 当然, 若能依据知识模块联想到 H 的中点是整个图形的对称中心, 则 JK==H, 解 答更为简洁 正方形纸片 例 6 如图 8, 已知正方形纸片,M,N 分别是, 的 M P Q 中点, 把 边向上翻折, 使点 恰好落在 MN 上的 P 点处,Q 为折 N 痕, 则 PQ= 度 图 8 问题解决的难, 多不是性质直白的对照, 多在于 云深不知处 的含蓄和混沌的条件与结论的带来的无所适从的思维的混乱和思绪的迷茫 不联通, 是数学解题难的罪魁祸首 要
突破不联通, 就得在模块基础上, 建设好知识联想系统 本解题思路是 : () 由对称性可知, N N () 由全等性可知,P= () 在 Rt PN 中, N P, 所以 PN=0, 即 PN=60 (4) 由平分性可知, PQ= 0 PN 本设计的优点是联通了 N P 这一点, 这是解决该问题的金钥匙 例 7 如图 9-, 在直角坐标系 xoy 中, 直线 l: y kx b 交 x 轴,y 轴于点, 点 的 坐标是 (,), 过点 分别作 x 轴,y 轴的垂线, 垂足为, 点 是线段 上的动点, 以 为对称轴, 作与 成轴对称的 ˊ () 当 =5 时, 求点 ˊ 的坐标 ; k () 当图 9- 中的直线 l 经过点, 且 动过程中, 线段 扫过的图形与 重叠部分的面积 ; 时 ( 如图 9-), 求在点 由 到 的运 () 当图 9- 中的直线 l 经过点,ˊ 时 ( 如图 9-), 以 为对称轴, 作与 成 轴对称的 ˊ, 连结 ˊ,ˊ 问 : 是否存在这样的点, 使得 ˊ 与 ˊ 相似? 若存在, 求出 k,b 的值 ; 若不存在, 请说明理由 y y y l l l () 图 x () x 图 图 9- 图 9- 图 9- 图 x 折纸, 数学化后就是轴对称变换 同样地, 以轴对称变换呈现出的数学问题可以等价地理解为 折纸 问题 本题变化较多, 要以静制动, 还要清晰地分辨出其解题模块结构 : () 由全等性可知,, 5 () 由 () 可知 0, 联想到通过构造含 0 角的 Rt 求点 ˊ 的坐标 通过添加辅助线可求得点 ˊ 的坐标是 (-,) () 由对称性可知, 点 到定点 的距离恒等于, 所以, 点 总在以 为圆心, 为半径的圆弧上, 即线段 扫过的图形是扇形
y (4) 当直线 l 为 x 线段 扫过的与 重叠部分的图形是弓形 (5) 由 () 可知 三角形恰是等边三角形, 这时 中点 时, =0,, 即 =60, 逆向分析 : 第一次落在直线 l 上的点 与, 围成的 60, 弓形所在的圆的半径为 60 由此可知, 重叠部分的面积是 60 4 (6) 由全等性可知 90 ; 由轴对称性可知, 垂足是 的 (7) 若 ˊ 与 ˊ 相似, 只有 90, 即 (8) 由 (6) (7) 可知, ˊ 由平行线等分线段定理得 == =, 即 b= (9) 由 (4) 可知 由 90 联想到 Rt Rt, 且 =+=+- 在 Rt 中, 根据勾股定理得 4 所以 (0,), (,0), k 利用代入消元法求得 4 4 ( ), 解之得 =, 综观全题, 在显性的折纸活动之下隐形而又灵动的相关数学知识的联想和挖掘是问题解 答的关键, 由一般结论延伸而出的模块对应知识的综合运用才能克制千变万化的问题, 由知 识的改变联想到方法的万化, 数学学习的觉悟要在其中! 其它四边形纸片 四边形还有平行四边形 菱形 梯形等, 不能面面俱到, 关键是数学思想和数学方法的 统一, 不能拘泥 例 8 如图 0, 在菱形纸片 中, =60, 将纸片折 叠, 点 分别落在点 处, 且 经过点, 为 折痕, 当 时, 则 : 的值为 ( ) 图 0 在这个折叠过程中, 背景相对复杂, 边的条件被弱化, 角的作用得到加强, 说明利用角进行转化和联通是问题解决的核心 解题思路如下 : () 由题设可知, = =60, =0,== () 由全等性可知,=,=,=, =60, =0 () 当 时,, = G= G= G=0 (4) 参量思想 : 设 =a,=b, 则 = =a+b,g=b a
b (5) 解三角形 : 在 G 中,G= G, 即 ( b a) b a, 化简得, a 选, 问题解决优化策略是设而不求, 连续等量代换是顺利解答的关键 当然, 从知识模 块建构看, 学生要能在操作活动中自主探究图形性质, 并利用探究所得的性质解决问题 一 旦理清解答模块思绪, 问题纵有万般变化, 解答都犹如探囊取物 圆形纸片 例 9 如图, 把一张圆形纸片沿弦 翻折, 恰好经过圆心, 点 是 上一点, 连结并延长 交 P 于点 P, 连结, () 求证 : P 为正三角形 P () 若 =,=, 求 的度数及 P 的长 图 折纸, 使原本完整图形有了缺失 这一缺失使得解答折纸问题有了困难, 而补回图形可 以弥补这种缺失 如图 -, 结合知识模块, 有如下思路 : () 补回图形, 则,, 在 Rt 中, =0 () 由圆心角定理可知, 0, P 40, 由圆周角定理 及结论以可知, P 60, P 0 P 图 - 综上可知, P 60, 即 P 为正三角形 () 由题设可知, 联想到 90, 由圆周角定理可知, =45, 根据三角形的内角和定理可知 =5 (4) 由 0 联想到 由 () 可知 P 为正三角形, 则 =P (5) 在 中, 已知,=, =45, 0, 解这个三 角形得,P== 6 生活中, 我们常说 退一步海阔天空 还原图形, 就是数学解题过程中的 退一步 在数学解题中, 融合模块结构并有序思考问题的 退一步 思想往往在遇到难题时能起到力 挽狂澜的作用 三 编外小语 数学折纸, 名目繁多, 很多基于 压轴 意识的问题则重在考查学生的数学学习能力和 综合数学素养 例 0 如图, 在矩形 中, 点 在 上, 点 是 的中点, =90 把
沿着 翻折, 点 落在点 ˊ 处, 连结 ˊ,ˊ, 若 =,=n, 点 ˊ 到 的距离为 0 5, 求 n 的值 本题由 06 年丽水卷 4 题 () 问改编 作为压轴题的压轴 一问, 其关系不仅仅只滞留在 折纸 上, 更主要的是突出其间 几何图形性质的综合应用, 其基于知识模块的解答思路如下 : () 由直角三角形的性质可知,==, = () 由 = =90, = 可知, 则 n () 设把 沿着 翻折后,ˊ 与 交于点 Q, 作 ˊP 于 P, 则四边形 PQˊ 图 P Q 是矩形,ˊP=Q= 0 5 (4) 在 中, 由 ( Q ) Q 得 0 5 n, 即, 所以 n=4 纵观解答, 不拘泥于活动的全等性 平分性和对称性, 看到了相似的判定和性质, 矩形的判定和性质, 由此可见, 数学问题的解决, 重在活学活用, 善联想, 巧识性 折纸, 作为初中教学课堂中最常用 简捷的数学活动, 活力四射 由折纸活动演化而来的数学问题, 举不胜举, 当这些问题的解答往往要经历 简单到复杂 浅显到深刻 直观到抽象 生活到数学 的过程 这个过程中, 也会演绎出形形式式的新问题 新方法 新思考 概括为一句, 就是 : 问题会千变, 模块构建来相伴, 方法要万化, 设计思路程序化 只要学习的觉悟在其中, 学习的乐趣也就在其中了 参考文献 : 范良火, 许凤英, 岑申, 张宝珍 义务教育教科书 八年级下册 数学 [M] 杭州 : 浙江教育出版社,04 余献虎, 汪立爱 从 两个阶段 到 两种结果 的变化 [J] 中学数学教育 ( 初中版 ),006 年第 期 余献虎 动中求静, 以静制动 [J] 中小学数学 ( 学生版 ),007 年第 0 期 4 阮夏丽, 李建芳, 叶春怡, 陈永明 中巧说 的理论意义和实用价值 [J] 现代教育,04 第 期