第三节 流体流动中的守恒原理 流体流动规律的一个重要方面是流速 压强等运动参数在流动过程中的变化规律 流体流动应当服从一般的守恒原理 : 质量守恒 能量守恒和动量守恒 从这些守恒原理可以得到有关运动参数的变化规律
一 质量守恒 流量单位时间内流体流过管道任一截面的物质量体积流量单位时间内流经管道任意截面的流体体积 q V 单位 (m 3 /s 或 m 3 /h) 因次 [L 3 /T] 质量流量单位时间内流经管道任意截面的流体质量 q m 单位 (kg/s 或 kg/h) 因次 [M/T] 二者关系 : q m =q v ρ
流速 ( 平均流速 ) 单位时间内流体质点在流动方向上所流经的距离 m/s 式中 : q = ua = uda V uda A u = A u 平均流速,m/s; u 某点的流速,m/s; A 垂直于流动方向的管截面积,m 平均流速与流量的关系为 : A q V = ua
平均流速与流量的关系为 : u m q V A q = q ρ = uaρ G = q V m = = A uρ G 质量流速或质量通量,Kg/(m s) 对圆管 : π qv = ua= u d 4 q V = ua
3 质量守恒方程 ρua ρua = ρdv t 对于定态流动系统, 在管路中流体没有增加和漏失的情 况下 : ρ ua 推广至任意截面 : m s = ρ ua = ρ u A = ρ u A = = ρua = 常数 质量守恒方程 ( 定态流动时的连续性方程 )
不可压缩性流体, ρ = Const. q = u A = u A = = ua= s 常数 圆形管道 : u u A d = = A d 即 : 不可压缩流体在管路中任意截面的平均 流速与管截面积有关, 与管内径的平方成反比
二 机械能守恒 柏努利方程 沿轨线的机械能守恒 在运动流体中, 任取一立方体流体微元 由于 假设粘度为零, 微元表面不受剪应力, 微元受力与静止流体相同 但是在静止流体中, 微元所受各力必成平衡, 而在运动流体中则各力不平衡而造成加速度 du/dt 由牛顿第二定律可知: 体积力 + 表面力 = 质量 加速度 故单位质量流体所受的力在数值上等于加速度
因此, 直接在欧拉平衡方程式的右方补上加速度项便可得到 : p X = ρ x p Y = ρ y p Z = ρ z du dt du dt du dt 理想流体的运动方程 y z x
因 d x d y d z 为流体质点的位移. 按速度的定义 : ux = dx ; u dy y = ; u dz z = ; dt dt dt 代入上式得 : p X = uxdux = du ρ x p Y = uyduy = du ρ y p Z = uzduz = du ρ z y z x
对于定态流动 且注意到 p p p p = 0; dp= dx + dy + dz t x y z d( u + u + u )=du x y z 于是将以上三式相加可得 : u ( Xdx + Ydy + Zdz) dp = d ρ
若流体只是在重力场中流动. 取 z 轴垂直向上, 则 : X = Y = 0, z = g 上式成为 : gdz dp u + + d =0 ρ 对于不可压缩流体,ρ 为常数, 上式的积分形式为 gz p u + + = 常数 ρ 此式称为沿轨线的柏努利 (Bernoulli) 方程
使用条件 : 不可压缩的理想流体作定态流动 ; 流体微元在流动过程中与其它微元之间未发生机械能交换
() 位能 流体受重力作用在不同高度所具有的能量 kg 的流体所具有的位能为 zg(j/kg) () 压强能 kg 的流体所具有的静压能为 (3) 动能 p ρ (J/kg) kg 的流体所具有的动能为 u (J/kg) 对不可压缩流体, 位能和压强能均属于势能 u + = C ρ
沿流线的机械能守恒 柏努利方程也适合于做定态流动时同一流线的流体, 因为定态流动时流线和轨线重合 3 理想流体管流的机械能守恒 gz p u p u ρ ρ + + = gz + +
4 实际流体管流的机械能衡算 u u + + he = + + h ρ ρ f 平均动能 u u ( ) = ρuda = ρq A ρua A V ρ 3 u da 显然 u u A ( ) ( u = uda ) A
u α u ( ) = ( ) α u ( ) = ρuda α ρ ua = A u A u u ( + = + + hf ) ρ ρ 3 3 3 A αu αu + = + + h ρ ρ α---- 动能校正系数 f uda α( 动能校正系数 ) 与速度分布有关, 可由速度分布曲线计算 若速度分布均匀, α
5 柏努利方程的几何意义将柏努利各项同除重力加速度 g : 令则 p h e p Σh z+ u f + + = z + u + + g ρg g g ρg g H e = h e g ΣH f = Σh p p z + u He z u H g + ρg + = + g + ρg +Σ g f f 式中各项单位为 : J N / / kg kg = J N = m
z 位压头 u g p ρ g 动压头 静压头 总压头 ΣH f 压头损失 H e 外加压头或有效压头 单位 m 或 J/N
0 u g u g H p ρg p ρg z 演示
柏努利方程的讨论 () 若流体处于静止,u=0,Σh f =0,h e =0, 则柏 努利方程变为流体静力学基本方程 p p z g + = z g + ρ 说明柏努利方程既表示流体的运动规律, 也表示流体静止状态的规律 () 理想流体在流动过程中流体的势能和动能可以相互转换. 但是其和保持不变 p zg + u + = Const. p z + u + = Const. ρ g ρg ρ
实际流体的机械能衡算 p p zg + u + + he = zg + u + +Σh ρ ρ f g z 位能 u p ρ Σh f 能量损失 h e 外加能量 动能 静压能 总机械能 单位 J/kg
用柏努利方程解决问题的步骤 : 条件 : 对不可压缩的定态流动且与外界没有能量交换 p p zg + u + + he = zg + u + +Σh ρ ρ ) 取界面 : 流速垂直与界面, 已知量足够, 且包括 待求的未知参数 ; ) 取基准面 : 一般取水平面 ; 3) 各项能量都取界面能量的平均值 注意 :P P 可用表压计算, 也可用绝压计算 f
柏努利方程的应用举例. 重力射流 位能与动能的相互转换. 压力射流 压强能与动能相互转换
三 动量守恒 管流中的动量守恒 m u 称为物体的动量牛顿第二定律的另一种表达式 : 物体动量随时间的变化率等与作用于物体上的外力之和 作用于控制体内流体上的外力的合力 = ( 单位时间内流出控制体的动量 ) 一 ( 单位时间内进入控制体的动量 ) 十 ( 单位时间内控制体中流体动量的累积量 ) 对定态流动, 动量累积项为零, 并假定管截面上的速度作均匀分布, 则动量守恒定律可表达为 :
Σ F = q ( u u ) x m x x Σ F = q ( u u ) y m y y Σ F = q ( u u ) z m z z 式中 q m 为流体的质量流量,kg/s;ΣF x ΣF y ΣF z 为作用于控制体内流体上的外力之和在三个坐标轴上的分量
动量守恒定理的应用举例 () 弯管受力 () 流量分配
动量守恒定律和机械能守恒定律的关系 () 相同点 : 都从牛顿第二定律出发导出, 两者都反映了流动流体各运动参数变化规律 () 不同点 : 机械能守恒定律中出现了 h f, 而动量守恒定理只是将力和动量变化率联系起来, 并不涉及 h f 使用时 : () 能量法 : 截面能量清楚, 不牵扯受力问题, h f 可以算出 ; () 动量法 : 受力清楚,h f 不知道, 也不能用能量法求出