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00 青少年數學國際城市邀請賽 參賽代表遴選初選個人數學競賽試題 編號 : 校名 : 國中姓名 : 作答時間 : 二小時 第一部分 : 填充題, 每小題 分, 共 60 分 1. + ++..+00=. 將分數 1 化為小數後, 則小數點後第 00 位數字為何?. 在一條道路上, 測得,,, 四個城市之間的某些距離資料, 列表如下 : 8 1 1 1 請問城市 和城市 之間的距離為. 設 X 為一實數, 定義 X 表示不大於 X 的最大整數, 例如 :. =, =, 則 1 + + +. + 9 =.. 右圖中, 已知 F 為一菱形, 且 =10,=1 則 =. F 6. 一長方形的長與寬各增加 0%, 則其面積增加的百分率為 %.

7. 平面上兩個全等的正三角形, 若其中一個三角形的頂點恰好落在另一個三角形的重心, 則兩個三角形重疊部分的可能最大面積與可能最小面積之比值為. 8. 已知一正方形與一正三角形的周長相等, 且該正三角形面積為, 則該正方形面積為. 9. 設 p, q 為質數, 若方程式 x px q 0 有正整數解 a, b, 那麼 p q q p a b b a 之值為. 10. 設 x,y 為正整數且 x+y+xy=1, 則 x+y 之值為. 11. 設 ( a b) 6ab 8, 則 ab 的最大值為. 1. 如下圖, 正方形 FG 內接於 ;, 在 上,F G 分別在, 上, 已知 F, GF 及 G 的面積分別為,,1, 請問正方形 FG 的邊長為 多少?. G F

第二部分 : 計算證明, 每題 0 分, 共 60 分 ( 注意 : 在答案卷上請依題號作答, 須詳列過程及說明理由 ) 1. 有一數列, 第一個數是 1, 第二個數是, 從第二個數起的每個數是前一個數的 倍加上前前一個數之和 故此數為 1,,,1,9, 請問這數列的第 00 個數的個位數為多少?. 下圖中, 為矩形,=,==,F=F=, 請問四邊形 GHFJ 之面積為多少? G H J F 6, 為三個兩兩相異之正整數 試證 : a b ab, b c bc, c a ca 三個數中, 至少有一個數能被 0 所整除. 設 a b, c

00 青少年數學國際城市邀請賽 參賽代表遴選初選隊際競賽試題 編號 : 校名 : 國中姓名 : 作答時間 : 一小時 每大題各 0 分, 共 10 分 1. 利用 個每邊長皆為 1 公分的正方形組成對稱圖形如下圖, 請問包含這個圖形的最小圓之半徑為何?. 設 為一正三角形, 其每邊長皆為一公分, 如下圖將頂點 向 邊方向摺疊, 若 為其摺痕並使得 落在 上的某一點, 並使得, 請問四邊形 的面積為多少?

. 在下列方格表中, 每個格子內放入一個貼有數字的硬幣, 這些硬幣中有些是真的, 有些是假的 但不全是假的 硬幣上的數字是指出在它所有的相鄰格子 ( 包括斜對角的格子 ) 上真幣的數量 真幣上貼的數字都是正確的, 假幣上貼的數字都是錯的 請將假幣找出來並將它塗上顏色. 將 79 個單位小正方體木塊黏成一個 9 9 9 的大正立方體 用此大正立方體切割出一個底圓直徑為 9 單位, 高為 9 單位的圓錐體 請問在此圓錐體內有多少塊沒有被切割的完整小正方立體?

00 青少年數學國際城市邀請賽 參賽代表遴選初選個人數學競賽試題 編號 : 校名 : 國中姓名 : 作答時間 : 二小時 第一部分 : 填充題, 每小題 分, 共 60 分 1. + ++..+00= 0176. 將分數 1 化為小數後, 則小數點後第 00 位數字為何? 9. 在一條道路上, 測得,,, 四個城市之間的某些距離資料, 列表如下 : 8 1 1 1 請問城市 和城市 之間的距離為. 設 X 為一實數, 定義 X 表示不大於 X 的最大整數, 例如 :. =, =, 則 1 + + +. + 9 = 61.. 右圖中, 已知 F 為一菱形, 且 =10,=1 則 = 6. F 6. 一長方形的長與寬各增加 0%, 則其面積增加的百分率為 %.

7. 平面上兩個全等的正三角形, 若其中一個三角形的頂點恰好落在另一個三角形的重心, 則兩個三角形重疊部分的可能最大面積與可能最小面積之比值為. 8. 已知一正方形與一正三角形的周長相等, 且該正三角形面積為, 則該正方形面積為 9/. 9. 設 p, q 為質數, 若方程式 x px q 0 有正整數解 a, b, 那麼 p q q p a b b a 之值為 0. 10. 設 x,y 為正整數且 x+y+xy=1, 則 x+y 之值為. 11. 設 ( a b) 6ab 8, 則 ab 的最大值為 8. 1. 如下圖, 正方形 FG 內接於 ;, 在 上,F G 分別在, 上, 已知 F, GF 及 G 的面積分別為,,1, 請問正方形 FG 的邊長為 多少?. G F

第二部分 : 計算證明, 每題 0 分, 共 60 分 ( 注意 : 在答案卷上請依題號作答, 須詳列過程及說明理由 ) 1. 有一數列, 第一個數是 1, 第二個數是, 從第二個數起的每個數是前一個數的 倍加上前一個數之和 故此數為 1,,,1,9, 請問這數列的第 00 個數的個位數為多少? ns: 0. 下圖中, 為矩形,=,==,F=F=, 請問四邊形 GHFJ 之面積為多少? G H J F ns:. 6, 為三個兩兩相異之正整數 試證 : a b ab, b c bc, c a ca 三個數中, 至少有一個數能被 0 所整除 由 0= x x 再証三數都是 的倍數也是 倍數 ; 另証三數中有一個為 的倍數.. 設 a b, c

00 青少年數學國際城市邀請賽 參賽代表遴選初選隊際競賽試題 編號 : 校名 : 國中姓名 : 作答時間 : 一小時 每大題各 0 分, 共 10 分. 利用 個每邊長皆為 1 公分的正方形組成對稱圖形如下圖, 請問包含這個圖形的最小圓之半徑為何? Problem 1: 17/16 6. 設 為一正三角形, 其每邊長皆為一公分, 如下圖將頂點 向 邊方向摺疊, 若 為其摺痕並使得 落在 上的某一點, 並使得, 請問四邊形 的面積為多少? Problem: (17 7)/8

7. 在下列方格表中, 每個格子內放入一個貼有數字的硬幣, 這些硬幣中有些是真的, 有些是假的 但不全是假的 硬幣上的數字是指出在它所有的相鄰格子 ( 包括斜對角的格子 ) 上真幣的數量 真幣上貼的數字都是正確的, 假幣上貼的數字都是錯的 請將假幣找出來並將它塗上顏色

8. 將 79 個單位小正方體木塊黏成一個 9 9 9 的大正立方體 用此大正立方體切割出一個底圓直徑為 9 單位, 高為 9 單位的圓錐體 請問在此圓錐體內有多少塊沒有被切割的完整小正方立體? +1+1+9++1+1=9 7+1+1+9++1+1=9( 正確解答 )

1. 有一數列, 第一個數是 1, 第二個數是, 從第二個數起的每個數是前一個數的 倍加上前前一個數之和 故此數為 1,,,1,9, 請問這個數列的第 00 個數的個位數為多少? 解 : 假設此數列的第 n 項為 a n ( n N ), 因為此數列的第一個數是 1, 第二個數是, 且從第二個數起的每個數是前一個數的 倍加上前前一個數之和 ; 所以可知 a1 1, a, 且 an an 1 an, n 觀察前幾個數的個位數字 : 1,,,,9,0,9,8,,8,1,0,1,,, ( 開始循環 ) a a k N 0, m 1,,,,1 則可知 1k m 的個位數字的個位數字, m 因此 a00的個位數字 a1 166 1的個位數字 a1的個位數字 0 故這個數列的第 00 個數的個位數字為 0. 下圖中, 為矩形,=,==,F=F=, 請問四邊形 GHFJ 之面積為多少? Sol 法 1- 座標化 Sol 法 - 幾何解法 : 考慮 : GHFJ 面積 = F- JF- G = F- JF-( G- H) = 6 1 - h 1 - h1 1 + h 1 故須求出 h1 h 及 h. h1: 由 = G+ G 知 1 = h1 1 + h1 1 ( 利用 GI )=>h1= h: 同理, 由 F= J+ JF 知 1 = h 1 + h 1 ( 利用 HK F)=>h= h: 同理, 由 = H+ H 知 6 1 =6 h 1 + h 1 ( 利用 JL )=>h= GHFJ 面積 =6-1 - 1 + 1 =.. 設 a, b, c 為三個兩兩相異之正整數 試證 : a b ab, b c bc, c a ca 三個數中, 至少有一個數能被 0 所整除 解 :0 (1) 因為 a b ab ab a b ab a b a b a b ab a b a b ab a b a b

奇數 奇數 奇數 偶數 偶數 偶數 奇數 偶數 偶數 奇數 奇數 偶數 偶數 偶數 偶數 偶數 偶數 偶數 則 a b ab 必為偶數同理可得 : b c bc, c a ac 皆為偶數因此, a b ab, b c bc, c a ca 都是 的倍數 () 討論此三數是否為 的倍數 : 因為 a b ab ab a b ab a b a b 1 當 a b 中有一個數是 的倍數, 則 a b ab 必為 的倍數 當 a b 都不能被 整除 ( 即 a b 都不是 的倍數 ), 則 a b 必為 k 1或 k 的型式 * 1. 若 a b 同為 k 1的型式, a b k 1 k 1 k k, 則 a b 則 1 1 *. 若 a b 為 k 1及 k 的型式, a b k 1 k k k 1, 則 1 1 或 a b k k 1 k k 1, 則 a b 1 1 *. 若 a b 同為 k 的型式, a b k k k k, 則 a b 則 1 1 因此, a b ab 必為的之倍數同理可得 : b c bc, c a ca 皆為 的倍數因此, a b ab, b c bc, c a ca 都是 的倍數 () 只須證明此三數中必有一個數為 的倍數 : 1 若 a b c 中至少有一個數為 的倍數, 則此三數中必有一個數為 的倍數 若 a b c 均不是 的倍數, 則 a b c 的個位數字可能為 1,,6,9 ( 1 1,, 9, 6,6 6,7 9,8 6,9 81) 因此 a b b c c a 的個位數字是從 1,,6,9 四個數中任取三個數兩兩相減而得, 這些數中必有 0 或 又因為 a b ab ab a b b c bc bc b c c a ca ca c a,,, 所以 a b ab, b c bc, c a ca 三個數中至少有一個數能被 整除 由 (1) () () 之討論可知 : 0,, 1, 且 a b ab, b c bc, c a ca 三個數中至少有一個數是 0 的倍數 亦即 a b ab, b c bc, c a ca 三個數中至少有一個數能被 0 所整除

第六屆高雄市青少年數學城市盃隊際賽參考解答 1. 當 點在 上, 且 F 圓心, 且 即為圓半徑 時, 即為此圓之 三個正方形組成對稱圖形, 因此圓心必在 上, 當圓心在 上且不為 時, 分為兩種情況 : (1) 圓心 O 在 點上方, 則為了容納正方形, 半 徑為 OF F, 故圓 O 較圓 大 () 圓心 O 在 點下方, 則為了容納正方形, 半 徑為 O, 故圓 O 較圓 大 由上述的討論發現, 圓 確實為包含三個正方形最小的圓 令 x, 又 F 與 均為直角三角形, 由畢氏定理則可得到 : (1 x ) r F F 1 F (1 ) 1 (1 16) (1 x) r x 16 16 17 16 F. 首先,, 且令 x, y 則 x, y 且 60 0 又 中, 60, 故 90 則令 x 在 中, 則令 y 故 x x 1 x ( 1) 且 y y 1 y ( ) x y x y 且 之面積為 xy [( 1)( )] ( 7 1 ) 8 故四邊形 之面積為 之面積 之面積 則為 ( 17 7) 8. 解法如右圖所示, 由最左下的 1 開始討論起 暗紅色部分為假, 黃色部分為真 7 6 1