大學入學考試中心 指定科目考試參考試卷 ( 適用於 99 課綱微調 ) 數學甲 考試時間 :80 分鐘 作答注意事項 作答方式 : 選擇 ( 填 ) 題用 B 鉛筆在 答案卡 上作答 ; 更正時, 應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液 ( 帶 ) 非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在 答案卷 上作答 ; 更正時, 可以使用修正液 ( 帶 ) 未依規定畫記答案卡, 致機器掃描無法辨識答案 ; 或未使用黑色墨水的筆書寫答案卷, 致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者, 其後果由考生自行承擔 答案卷每人一張, 不得要求增補 選填題作答說明 : 選填題的題號是 A,B,C,, 而答案的格式每題可能不同, 考生必須依各題的格式填答, 且每一個列號只能在一個格子畫記 請仔細閱讀下面的例子 例 : 若第 B 題的答案格式是 18 19 3, 而依題意計算出來的答案是, 則考生 8 必須分別在答案卡上的第 18 列的 3 8 與第 19 列的畫記, 如 : 18 19 1 3 4 5 6 7 8 9 0 1 3 4 5 6 7 8 9 0 例 : 若第 C 題的答案格式是 0 1 50, 而答案是 7 時, 則考生必須分別在答 50 案卡的第 0 列的 與第 1 列的 7 劃記, 如 : 0 1 1 3 4 5 6 7 8 9 0 1 3 4 5 6 7 8 9 0 著作權屬財團法人大學入學考試中心基金會所有, 僅供非營利目的使用, 轉載請註明出處 若作為營利目的使用, 應事前經由財團法人大學入學考試中心基金會書面同意授權
第 1 頁共 7 頁 第壹部分 : 選擇題 ( 單選題 多選題及選填題共占 76 分 ) 一 單選題 ( 占 30 分 ) 說明 : 第 1 題至第 5 題, 每題有 5 個選項, 其中只有一個是正確的選項, 請畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題答對者, 得 6 分 ; 答錯 未作答或畫記多於一個選項者, 該題以零分計算 1. 設 3 f (1 x ) f(1) f ( x) 8x 4x 1, 請問極限 lim 之值為下列哪一個選項? x 0 x (1) 0 () 3 (3) 1 (4) 15 (5) 0. 在 ABC 中, 已知 B 60 C 45, 且知 ABC 之面積為 3 3, 則其最短邊長為下列哪一個選項? (1) 3 () 3 (3) 3 (4) (5) 3-1 -
第 頁共 7 頁 3. 坐標空間中有一長度為 17 的線段 AB, 若 AB 在 xy 平面 yz 平面上正射影的長度分別為 11 1, 則 AB 在 zx 平面上正射影的長度為下列哪一個選項? (1) 11 () 1 (3) 13 (4) 14 (5) 15 4. 因應民眾對肉品安全的疑慮, 某研究機構研發了一種毒物試劑, 宣稱如果肉品內含有此種毒物, 一定可以檢測出來, 但是有 5% 的機率會將不含該毒物的肉品誤判為含有該毒物 假設已知某一批進口肉品, 其中有 0.% 含有此毒物, 今隨機抽驗該批肉品中之一包, 檢體被檢測出含有該毒物 若依該機構宣稱之檢測率, 請問該檢體確實含有該毒物的機率 P 滿足下列哪一個選項? (1) P 0.03 () 0.03 P 0.04 (3) 0.04 P 0.05 (4) 0.05 P 0.1 (5) P 0.1 - -
第 3 頁共 7 頁 x y 5. 當點 ( x, y ) 在過 A (, 0) B (0, 3) 的直線上變動時, 關於 K 8 4 的敘述, 請選出正確的選項 (1) K 有最大值 64 最小值 16 () K 有最大值 64 但沒有最小值 (3) K 沒有最大值 但有最小值 16 (4) K 沒有最大值 但有最小值 0 (5) K 沒有最大值也沒有最小值 二 多選題 ( 占 3 分 ) 說明 : 第 6 題至第 9 題, 每題有 5 個選項, 其中至少有一個是正確的選項, 請將正確選項畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 各題之選項獨立判定, 所有選項均答對者, 得 8 分 ; 答錯 1 個選項者, 得 4.8 分 ; 答錯 個選項者, 得 1.6 分 ; 答錯多於 個選項或所有選項均未作答者, 該題以零分計算 6. 坐標平面上, 直線 xa( a 0) 與函數 y log x y log4 x 的圖形分別交於點 A B 以 d a 表示此兩點距離 ( 即 AB ), 請選出正確的選項 1 (1) d () d8 d1 8 (3) d3 d5 (4) 對任意正數 a, d a 恆小於 8 (5) 若 r, s, t 三數皆大於 1 且成等比數列, 則 dr d s d t - 3 -
第 4 頁共 7 頁 7. 已知多項式 f ( x ) 的函數圖形 y f( x) 通過 (, 1) ( 1, 3) (0, ) 與 (1,3), 請選出正確的選項 (1) f ( x ) 是三次多項式 () 能找到正實數 使得 f ( )=0 (3) 只能找到一個負實數 使得 f ( )=0 (4) f ( x ) 的函數圖形在點 (0, ) 之切線為水平線 (5) 1 1 f( x) dx 0 8. 關於函數 f ( x) 3cosx sinx, 其中 x 為任意實數, 請選出正確的選項 (1) f ( x ) 有最大值 3 1 () f ( x ) 是一個週期函數, 其最小正週期為 (3) y f( x) 的圖形對稱於直線 x 6 (4) y f( x) 的圖形與 x 軸的交點中, 離原點最近的為 (,0) 6 (5) y f( x) 的圖形對稱於原點 - 4 -
第 5 頁共 7 頁 9. 設實數 abcd,,, 滿足 a b (1) ac ( 3) bd ( 4) 的最大值為 () ac bd 的最大值為 8 1且 ( c 3) ( d 4) 4, 請選出正確的選項 a (3) 行列式 c b d 的最大值為 7 (4) 僅有一組 abcd,,, 使得 ac bd 之值最大 (5) 僅有一組 abcd,,, 使得行列式 a c b d 之值最大 三 選填題 ( 占 14 分 ) 說明 :1. 第 A 與第 B 題, 將答案畫記在答案卡之 選擇 ( 填 ) 題答案區 所標示的列號 (10 15). 每題完全答對給 7 分, 答錯不倒扣, 未完全答對不給分 A. 若坐標空間中通過點 A (1,3, ) B (5,,0) 且與直線 x1 y z3 平行的平面方程 1 1 式為 ax by cz 1, 則 ( abc,, ) = ( 10, 11 1, 13 ) - 5 -
第 6 頁共 7 頁 B. 同時擲一枚均勻硬幣與一顆公正骰子, 若硬幣擲出正面, 可得骰子點數的 30 倍獎金, 若硬幣擲出反面, 可得骰子點數的 10 倍獎金 ( 單位 : 元 ) 則擲一次硬 幣與骰子的獎金期望值為 14 15 元 以下第貳部分的非選擇題, 必須作答於答案卷 - 6 -
第 7 頁共 7 頁 第貳部分 : 非選擇題 ( 占 4 分 ) 說明 : 本部分共有二大題, 答案必須寫在 答案卷 上, 並於題號欄標明大題號 ( 一 二 ) 與子題號 ((1) () (3)), 同時必須寫出演算過程或理由, 否則將予扣分甚至給零 分 作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫, 且不得使用鉛筆 每一子題配分 標於題末 一 設 f ( x ) 為實係數三次多項式 已知 (i) 當 0 x 時, f( x) 0; 而 f( x) 0對所有其他 x 成立 ; (ii) f ( x ) 的圖形在反曲點的切線斜率為 3 (1) 試求 f ( x) ( 7 分 ) () 若 f ( x ) 又滿足 f( x) dx 0, 試求 ( ) 0 f x ( 5 分 ) 二 坐標平面上有一序列的點 ( a1, b 1) ( a, b ) ( a 3, b 3 ) 3 1 a a b 1 3 b a b n1 n n n1 n n, 已知 對所有的正整數 n 1,,3, 都成立 請回答下列問題 (1) 試求二階方陣 A 使得 a a1 A b b ( 3 分 ) 1 () A 如 (1), 試求最小正整數 n, 使得 (3) 若 ( a100, b100) (1,), 試求 ( a1, b 1) ( 5 分 ) n A 1 0 0 1 ( 4 分 ) - 7 -