目录 1 光子晶体的概念 一维光子晶体及其带结构 ( 垂直入射情况下 ) 3 一维光子晶体带结构计算 ( 垂直入射情况下 ) 4 光子带结构的标度特性 5 问题 1
1 光子晶体的概念半导体材料具有周期性晶体结构 在半导体材料中, 电子波在周期势场中传播时, 受到周期性势场的 ( 布拉格 ) 散射, 在所形成的能带结构会出现电子带隙 ( 或电子禁带 ): 能量值位于电子带隙的电子波无法在半导体材料中传播 其实, 不管任何波, 只要受到周期性调制, 都有能带结构, 也都有可能出现带隙 能量落在带隙中的波是不能传播的 电磁波或者光波也不会例外 而光子有着电子所不具有的优点 : 传播速度快, 频带宽, 光子之间没有相互作用, 故而传输能耗低, 非电子性抗干扰能力强 为了能像调制电子一样来调制光, 科学家们想到了光子晶体 光子晶体是指由不同介电常数的介质材料周期性排列构成的一种人工结构或材料 ; 按其周期性的空间分布分类, 光子晶体可分为三类 : 一维 二维和三维光子晶体, 如图 1 所示 图 1 一维 二维和三维光子晶体结构 ; 图中不同颜色代表不同折射率的电介质材料 自然界中也有光子晶体的例子, 例如蛋白石和蝴蝶翅膀 它们由一些周 期性微结构组成, 由于在不同方向不同频率的光被散射和透射不一样, 呈现 出美丽的色彩
固体物理中的许多概念都可用于光子晶体上, 如倒格子 布里渊区 色散关系 Bloch 函数等 由于周期性, 对光子晶体也可定义有效质量 但是光子晶体和常规的晶体也有本质的区别 : 如光子晶体服从的是 Mxwell 方程, 电子服从的是薛定鄂方程 ; 光子波是矢量波, 而电子波是标量波 ; 光子是自旋为 1 的玻色子, 而电子为 1/ 的费米子 ; 光子间没有很强的相互作用, 而电子有 ; 若采用 k 作为波矢, E 光子 k, 而 E k 电子 在光子晶体中, 介质材料折射率的的周期性变化会形成光子带隙 光子带隙的存在是光子晶体最为显著的特性 光子带隙是一个频率 ( 或者能量 ) 范围, 在光子带隙内, 不存在任何电磁波的传播模式, 换言之, 频率 ( 或者能量 ) 位于光子带隙范围内的光波 ( 或光子 ) 无法在光子晶体中传播 尤其引人注目的是抑制原子分子的自发辐射以及半导体中电子 空穴对的复合 当原子分子的激发态能量位于光子带隙内时, 它们将不能跃迁回基态 这种特殊性质能显著提高半导体激光器 发光二极管 太阳能电池等的效率, 从而有效地控制光子的状态, 这将对现代光电产业产生深远的影响 此外, 由于它能够有效地控制光子的状态, 将在未来全光集成电路中扮演重要角色 3
一维光子晶体及其带结构 ( 垂直入射情况下 ) 对于一维光子晶体来说, 垂直带隙的存在主要决定于两个条件 : 两种材料介电常数 ( 或折射率 ) 的比值以及其的体积占有率 f 的比值 对于图 所示一维光子晶体的结构, 当光波沿着 Z 方向垂直入射, 随着两种材料相对介电常数比值的逐渐增加, 光子带隙逐渐增宽, 如图 3 所示 其实只要介电常数之比不为 1, 带隙就开始出现 与图 3 相比, 图 4 给出了不同体积占有率 f 时候的带隙结构 图 5 是利用一维光子晶体中的缺陷结构来实现对光的约束 图 一维光子晶体结构示意图 4
图 3 随着材料相对介电常数比值的增加, 光子带隙逐渐打开 图 4 与图 3 相比, 材料填充比不同, 带隙会影响带隙结构 图 5 利于一维光子晶体中的缺陷结构, 实现对光的约束 5
3 一维光子晶体带结构计算 ( 垂直入射情况下 ) 在如图 所示一维光子晶体中, 在 z 方向上, 两种电介质材料 A 和 B 周期性交替出现, ε A, ε B 和, A B 分别是两层的介电常数和厚度 原胞的大 小是 : 将波矢量限制在 z 方向 电场 E 者的极化都垂直于 z 方向 磁感应强度 B B =, 在非磁性光子晶体中 0 H µ 0 向是 x 方向, 而 B 的极化方向是 y 方向 = A + B (1) 和磁感应强度 B, 是相互垂直的, 两和磁场 H 之间满足 : µ 是真空磁导率 假设 考虑场矢量的上述方向分量, 电场满足一下标量方程 : z E 周期性介电常数 ε 为 : ( z t) E( z, t) = 0, 把周期性函数 ( < z < ) E 的极化方 1 ε () c t ε A z在 A中 ε = (3) ε B z在 B中 ε 展开成傅立叶级数 : ε 定义倒格子矢量如下 : p= ε π p i z pe = (4) π p ( p = 0, ± 1, ±,... ) 傅立叶系数由以下公式给出 : 6
ε p 1 ( ) π p i z = dzε z e (5) 0 前面的系数 对于单位原胞 : 1 是单位原胞体积的倒数, 在整个单位原胞体积上积分 ε 带入 (5) 中得到 : ε A = ε B 0 < z < A A < z < (6) ε p A B εa + εb p = 0 = i p i π A ( εa εb) e 1 p 0 π p (7) 假设电场是时谐场 : iωt (, ) ( ) E z t = e E z (8) 为了得到波方程 () 的解, 对于 E 应用布洛赫形式展成以下形式 : ( ) E z ik p π + z cpe p= = (9) 将 (7) 和 (9) 带入 () 中, 并令平面波 e 期方程 : π p ik + z π p ω k+ cp ε p pcp = p= ± ± p c 前面的系数为零, 得到久 0 ( 0, 1,,... ) (10) = 这些方程是对系数..., c 1, c0, c1, c,... 的线性耦合方程 方程组存在有意 7
义解的必要条件是系数行列式为零, 由此得到无穷多个 k 的解 每一个解 对应的行列式对角元素是 ( k ± pπ / ) 和 ε ± p 对于一个波矢 k, 不同的 ω 值解构成了不同的带, 其中 p = 0 和 ε 0 对应的是基带 ( 第一带 )............... π ω ω ω... k ε ε ε... 0 1 c c c det ω ω ω... ε1 ( k ) ε ε... = 0 0 1 c c ω ω π ω... ε ε k + ε... 1 0 c c c............... (11) ( ) E z 以这种方式求出的解完全是前面假设的布洛赫形式 ik p π + z cpe p= = 该式满足 : ( z ) E E + = (1) 这是周期性系统的任何解都满足的布洛赫定理 矢量 k 指定了本征解 π 另外因为 k 的周期性, 对于 k 和 k + p, 方程的解是相同的 也就是说 ik E( z + ) = e E( z), 对于同一个频率 ω,k 和 k ± ( π / ) p 对应的波型是相同 的 在色散曲线或布里渊图上, 通常只给出 ± π / 之间的曲线, 称为简约 形式 也就是说因为介质常数周期性空间调制的存在, 彼此相差 数倍的波矢量应被视为相同的 从而, k 被限定在 : π 的整 8
π π k 即在第一布里渊区给定 k 值, 从上面的特征方程可以得到 ω1, ω 从以上的解法可以清晰的看到平面波展开方法的思路 : 先通过麦克斯 韦方程得到电场 ( 磁场 ) 的方程 在利用傅立叶变换展开电介质常数, 和 把电场 ( 磁场 ) 用布洛赫形式展开 把这两个量带入原始方程中, 得到久 期方程 得到久期方程并解之是这一方法的关键 9
4 光子带结构的标度特性从公式 () 和 (10) 中, 我们可以推论出一个重要的标度特性 k 和频率 ω 来代替 k 和 ω 定义: k ω k =, ω = π π c k 就是在 π 单位下测量的光子波矢数,ω 是在 π c 单位下测量的频 率 对应这种新的波矢标量, 倒格子可以简单的表示为,, 1,0,1, 因此第一布里渊区被限制在 0.5 k 0.5 把 (.5) 用 k 和 ω 重新演绎后, 可以被除去 用 作为单位时, 最后的计算结果以无量纲的相对单位给出, 与光子晶 体周期性系数 无关 ; 此时, 如果两个光子晶体的介电常数一样, 则它们 的能带结构 ( 用 k ~ω 表示 ) 相同 例如两个光子晶体 : = µ m, A= 0.8 µ m, B= 1.µ m = 1 mm, A= 0.4 mm, B= 0.6mm 当用 k 和 ω 来表示, 且 ε A 和 ε B 相同时, 它们的能带结构是相同的 10
5 问题 : (1) 考虑介电常数变化对于光子带隙的影响 f=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9( 或者 0.,0.4,0.6,0.8) 时, 分别计算两种材料相对介电常数比值 ( 从 1:1 变化到 13:1) 对于相对带宽影响, 给出二者的关系曲线 () 考虑 f 系数对于光子带隙的影响 相对介电常数比值为 3:1, 5:1,7:1, 9:1, 11:1 时, 分别计算不同 f 对相 对带宽的影响, 给出二者的关系曲线 (3) 根据 (1) 与 () 中的计算结果, 综合分析介电常数变化以及 f 系数 对于光子带隙相对带宽的影响 11