2016 西城区高二 ( 下 ) 期末数学 ( 文科 ) 一 选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 ) 1.( 5 分 ) 已知集合 A={x R 0<x<1},B={x R x (2x-1)>0}, 则 A B=( ) A.{x R 0<x< } B.{x R <x<1} C.{x R 0<x<1} D.{x R x 0} 2.( 5 分 ) 已知 {a n } 是公差为-2 的等差数列, 如果 a 1 和 a 5 的等差中项为-1, 那么 a 2 =( ) A. -3 B. -2 C.1 D.3 3.( 5 分 ) 下列函数中, 在区间 (0,+ ) 上单调递增的是 ( ) A.y= -x 2 B.y= x C.y=( ) x D.y=x- 4.( 5 分 ) 函数 y= 的图象是 ( ) A. B. C. D. 5.( 5 分 ) 若 a>b>0,c<d<0, 则一定有 ( ) A. > B. < C. > D. < 6.( 5 分 ) 设 {a n } 是等比数列, 下列结论中不正确的是 ( ) A. 若 a 1 a 2 >0, 则 a 2 a 3 >0 B. 若 a 1 +a 3 <0, 则 a 5 <0 C. 若 a 1 a 2 <0, 则 a 1 a 5 <0 D. 若 0<a 1 <a 2, 则 a 1 +a 3 >2a 2 7.( 5 分 ) 函数 f(x)= +cx 2, 其中 c 为常数, 那么 c=0 是 f(x) 为奇函数 的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.( 5 分 ) 已知函数 f(x) 的定义域为 R, 若 常数 c>0, 对 x R, 都有 f(x)+c f(x+c), 则称 函数 f(x) 具有性质 P, 给定下列三个函数 : 1f(x)= x+1;2f(x)=x 2 ;3f(x)=2 x. 其中, 具有性质 P 的函数的序号是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.13 第 1 页共 10 页
二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分 ) 9.( 5 分 ) 已知命题 p: x R,x 2, 那么命题 p 为. 10.( 5 分 ) 函数 f(x)=cosx, 则 f ( )=. 11.( 5 分 ) 已知函数 f(x)=log 3 x, 若正数 a,b 满足 b=9a, 则 f(a) -f(b)=. 12.( 5 分 ) 一小区计划植树不少于 1000 棵, 若第一天植 2 棵, 以后每天植树棵树是前一天的 2 倍, 则需要的最少天数 n(n N * ) 等于. 13.( 5 分 ) 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 x R, 都有 f(x+2)=f(x)+2, 则 f(1) = ; f(k)=.( 注 : a k =a 1 +a 2 + +a n ) 14.( 5 分 ) 研究函数 f(x)= 的性质, 完成下面两个问题 : 1 将 f(2) f(3) f(5) 按从小到大排列为 ; 2 函数 g(x)= (x>0) 的最大值为. 三 解答题 ( 本大题共 6 小题, 共 80 分, 解答时应写出文字说明, 证明过程或验算步骤 ) 15.( 13 分 ) 已知等差数列 {a n } 的前 n 项为 S n,a 3 -a 1 =4,S 3 = -18, (1) 求 {a n } 的通项公式 ; (2) 若 S k = -14, 求 k 的值. 16.( 13 分 ) 已知函数 f(x)=x 3 +3x 2-9x; (1) 求 f(x) 的单调区间 ; (2) 若函数 f(x) 在区间 [-4,c] 上的最小值为-5, 求 c 的取值范围. 17.( 13 分 ) 已知函数 f(x)=ax+, 其中 a,b 为常数, 曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程是 3x-y+2=0. (1) 确定 f(x) 的解析式 ; (2) 求 f(x) 的取值范围. 18.( 13 分 ) 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n =3-2a n,( n N * ). (1) 证明 :{a n } 是等比数列 ; (2) 证明 : 对于任意正整数 n, 都有 1 S n <3. 19.( 14 分 ) 已知函数 f(x)=ax-lnx, 其中 a>0. (1) 若 f(x) 在 x=x 0 处取得最小值 2, 求 a 和 x 0 的值 ; (2) 设 x 1,x 2 是任意正数, 证明 :f(x 1 )+f(x 2 ) 2f( ). 第 2 页共 10 页
20.( 14 分 ) 已知函数 f(x)=e x,g(x)=lnx-a(x-1), 其中 a>0, 经过坐标原点分别作曲线 y=f (x) 和 y=g(x) 的切线 l 1,l 2, 两条切线的斜率依次为 k 1,k 2. (1) 求 k 1 的值 ; (2) 如果 k 1 k 2 =1, 证明 :1- <a<e-. 第 3 页共 10 页
参考答案与试题解析 一 选择题 ( 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的 ) 1. 解答 集合 A={x R 0<x<1}, B={x R x (2x-1)>0}={x R x<0 或 x> }, 所以 A B={x R <x<1}. 故选 :B. 2. 解答 a 1 和 a 5 的等差中项为-1, a 1 +a 5 = -2, 2a 1 +4 ( -2)=-2, 解得 a 1 =3. 那么 a 2 =3-2=1. 故选 :C. 3. 解答 函数 y= - x 2 在区间 (0,+ ) 上单调递减 ; 函数 y= x 在区间 (0,+ ) 上单调递减 ; 函数 y=( ) x 在区间 (0,+ ) 上单调递减 ; 函数 y=x 在区间 (0,+ ) 上单调递增, 函数 y= 在区间 (0,+ ) 上单调递减, 故函数 y=x-在区间 (0,+ ) 上单调递增 ; 故选 :D 4. 解答 函数 y= 的定义域为 [0,+ ) 所求图象在第一象限, 可排除 A C, 再根据函数 y= 的图象横过 (4,2), 可排除 B, 故选 D. 5. 解答 不妨令 a=3,b=1,c= - 3,d= - 1, 则, C D 不正确 ; 第 4 页共 10 页
= - 3, = - A 不正确,B 正确. 解法二 : c<d<0, -c>-d>0, a>b>0, -ac>-bd,,. 故选 :B. 6. 解答 设等比数列{a n } 的公比为 q, A. a 1 a 2 >0, >0, q>0, 则 a 2 a 3 = >0, 正确. B. a 1 +a 3 <0, <0, a 1 <0, 则 a 5 = <0, 正确. C. a 1 a 2 <0, <0, q<0, 则 a 1 a 5 = >0, 因此不正确. D. 0<a 1 <a 2, 0<a 1 <a 1 q, a 1 >0,q>0.q 1. 则 a 1 +a 3 = >2a 1 q=2a 2, 正确. 故选 :C. 7. 解答 若 c=0, 则 f(x)=, 在定义域 (-,0) (0,+ ) 上为奇函数, 则充分性成立, 若 f(x) 为奇函数, 则 f( -x)=-f(x), 即- +cx 2 = - -cx 2, 即 c= -c, 得 c=0, 则必要性成立, 即 c=0 是 f(x) 为奇函数 的充要条件, 故选 :C 8. 解答 函数 f(x) 的定义域为 R, 若 常数 c>0, 对 x R, 都有 f(x)+c f(x+c), 则称函数 f(x) 具有性质 P, 给定下列三个函数 : 对于 1f(x)= x+1;f(x)+c= x+1+c> x+1+ =f(x+c), 满足新定义, 所以 1 正确 ; 第 5 页共 10 页
对于 2f(x)=x 2 ;f(x)+c=x 2 +c; f(x+c)=(x+c) 2 =x 2 +2cx+c 2, 对 x R,1 2x+c, 不恒成立, 所以 2 不正确 ; 对于 3f(x)=2 x,f(x)+c=2 x +c; f(x+c)=2 x+c =2 c 2 x, 如果 f(x)+c f(x+c), 可得 2 x +c 2 c 2 x, 即, 此式对于 x R 不恒成立, 所以 3 不满足新定义. 故选 :A. 二 填空题 ( 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分 ) 9. 解答 命题是全称命题, 则命题的否定是 : x R,x<2, 故答案为 : x R,x<2 10. 解答 f(x)=cosx, f (x)= - sinx,f ( )= - sin = -, 故答案为 : - 11. 解答 函数 f(x)=log 3 x,b=9a, f(a) - f(b)=log 3 a - log 3 b=log 3 =log 3 = - 2, 故答案为 : - 2 12. 解答 由题意可得, 第 n 天种树的棵数 a n 是以 2 为首项, 以 2 为公比的等比数列, S n = =2 n+1-2, 令 2 n+1-2 1000, 2 n+1 1002, 又 n N * n+1 10 n 9, 即 n 的最小值为 9 故答案为 :9 13. 解答 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, f(0)=0, 又对任意 x R, 都有 f(x+2)=f(x)+2, 令 x= -1, 可得 f(1)=f( -1)+2=-f(1)+2, f(1)=1. 令 x=0, 可得 f(2)=f(0)+2=2, 令 x=1, 可得 f(3)=f(1)+2=3, 第 6 页共 10 页
令 x=2, 可得 f(4)=f(2)+2=4, 令 x=3, 可得 f(5)=f(3)+2=5, 以此类推, 可得 f(n)=n,n [1,20], f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+ +f(20)=1+2+3+ +20=210, 故答案为 :1; 210. 14. 解答 1 函数 f(x)=, f (x)=, f (x)= f (x)= f (x)= =0,x=e,,>0,x (0,e) <0,x (e,+ ) 在 (0,e) 递增,(e,+ ) 递减 f(3)>f(5), f(2) -f(5)= = = >0 f(2)>f(5) f(2) -f(3)= = <0 f(3)>f(2) 故答案 :f(5)<f(2)<f(3); 2 函数 g(x)= ln(g(x)) = (x>0), lnx(x>0) 令 h(x)= h (x)= h (x)= h (x)= h(x)= lnx(x>0), (1-lnx)=0,x=e (1-lnx)<0,x>e (1-lnx)>0,0<x<e lnx(x>0), 在 (0,e) 递增, 在 (e,+ ) 递减, 第 7 页共 10 页
h(x) 的极大值为 h(e)= lne=, 函数 g(x)= (x>0) 的最大值为 e, 故答案为 :e 三 解答题 ( 本大题共 6 小题, 共 80 分, 解答时应写出文字说明, 证明过程或验算步骤 ) 15. 解答 (1) 设等差数列 {a n } 的公差为 d, a 3 -a 1 =4,S 3 = -18, 2d=4,3a 1 +3d= -18, 联立解得 a 1 = -8,d=2. a n = -8+2(n-1)=2n-10. (2) S k = -14, = -14, 化为 :k 2-9k+14=0, 解得 k=2 或 7. 16. 解答 (1) 函数 f(x) 的定义域是 R, f (x)=3x 2 +6x-9, 令 f (x)>0, 解得 :x>1 或 x<-3, 令 f (x)<0, 解得 :-3<x<1, f(x) 在 (-,-3) 递增, 在 (-3,1) 递减, 在 (1,+ ) 递增 ; (2) 由 f( -4)=20 结合 (1) 得 : c 1 时, 函数 f(x) 在 [-4,c] 上的最小值是 f(1)= -5, -4<c<1 时, 函数 f(x) 在区间 [-4,c] 上的最小值大于-5, 故 c 的范围是 [1,+ ). 17. 解答 (1) 函数 f(x)=ax+ 的导数为 f (x)=a-, 可得曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线斜率为 a-b, 由切线方程 3x-y+2=0, 可得 a-b=3,a+b=5, 解得 a=4,b=1, 可得 f(x)=4x+ ; (2) 当 x>0 时,4x+ 2 =4, 第 8 页共 10 页
当且仅当 x= 取得最小值 4; 当 x<0 时,4x+ = -[(-4x)+(- ) -2 = -4, 当且仅当 x= - 取得最大值-4. 综上可得,f(x) 的取值范围是 (-,-4] [4,+ ). 18. 解答 (1) S n =3-2a n,( n N * ), a 1 =S 1 =3-2a 1, 解得 a 1 =1. n 2 时,a n =S n -S n-1 =3-2a n -(3-2a n-1 ), 化为 a n-1. 数列 {a n } 是等比数列, 首项为 1, 公比为. (2) 由 (1) 可得 :a n =. S n =3-2. n N *, (0,1], 对于任意正整数 n, 都有 1 S n <3. 19. 解答 (1)f(x) 的定义域是 {x x>0},f (x)=, 令 f (x)>0, 解得 :x>, 令 f (x)<0, 解得 :0<x<, f(x) 在 (0, ) 递减, 在 (,+ ) 递增, f(x) 最小值 =f( )=1+lna=2, 解得 :a=e, 则 x 0 = = ; (2) f(x 1 )+f(x 2 ) - 2f( ) =(ax 1 - lnx 1 )+(ax 2 - lnx 2 ) - 2(a - ln ) =ln - lnx 1 x 2 =ln ln =0, f(x 1 )+f(x 2 ) 2f( ). 第 9 页共 10 页
20. 解答 (1) 对 f(x) 求导, 得 f (x)=e x, 设经过坐标原点作曲线 y=f(x) 的切线 l 1, 其切点为 P(x 1,e x1 ), 即有切线的斜率为 k 1 =e x1, 切线的方程为 y-e x1 =e x1 (x-x 1 ), 代入原点 (0,0), 可得-e x1 =e x1 (-x 1 ), 可得 x 1 =1, 即有 k 1 =e; (2) 证明 : 由 (1) 可得 k 1 =e. 由题意知, 切线 l 2 的斜率为 k 2 = =, l 2 的方程为 y=k 2 x= x. 设 l 2 与曲线 y=g(x) 的切点为 Q(x 2,y 2 ), 则 k 2 =f (x 2 )= - a= =, 所以 y 2 = =1 - ax 2,a= -. 又因为 y 2 =lnx 2 - a(x 2-1), 消去 y 2 和 a 后, 整理得 lnx 2-1+ - =0. 令 m(x)=lnx-1+ -, 则 m (x)= - =, m(x) 在 (0,1) 上单调递减, 在 (1,+ ) 上单调递增. 若 x 2 (0,1), 因为 m( )=-2+e- >0,m(1)= - <0, 所以 x 2 (,1), 而 a= -在 x 2 (,1) 上单调递减, 所以 1 - <a<e -. 若 x 2 (1,+ ), 因为 m(x) 在 (1,+ ) 上单调递增, 且 m(e)=0, 则 x 2 =e, 所以 a= - =0 与 a>0 矛盾. 综上可知,1 - <a<e -. 第 10 页共 10 页